SKKN:bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi lớp 8

Có những bài toán cha cho phép học sinh vận dụng trực tiếp định lý, Trong quá trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đa về hình huống quen thuộc để có thể vận dụng trực tiếp cá

Bồi dỡng cho học sinh khá giỏi lớp 8

Các cách vẽ hình phụ khi giải toán hình học

-o0o -I Nhận thức

Toán học là một bộ môn khoa học trừu tợng Muốn tìm hiểu chính xác, theo tôi khi dạy Toán cho học sinh, mộ yêu cầu nổi bật nhất là phát triển t duy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi đối với những bài toán khó Do đó, đòi hỏi học sinh phải có t duy logic cao, biết kết hợp kiến thức cũ và mới một cách chặt chẽ

Thông thờng, trong hình học mỗi bài toán có một tình huống mới lạ

Có những bài toán cha cho phép học sinh vận dụng trực tiếp định lý,

Trong quá trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đa về hình huống quen thuộc để có thể vận dụng trực tiếp các kiến thức đã biết Ngoài việc phải vẽ hình chính xác, tổng quát theo dữ kiện bài toán (tránh vẽ hình rơi vào trờng hợp đặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình), thì một trong các biện pháp có hiệu quả là phơng pháp vẽ hình phụ Việc vẽ hình phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào

và đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp

lý Vì vậy, cần thiết có thể bồi dỡng cho học sinh phát triển năng lực này

ở đây tôi không muốn đề cập tới các dạng bài tập, các hệ thống câu hỏi gợi mở Mà tôi chỉ muốn nêu lên một số cách hớng dẫn học sinh đi tìm lời giải cho bài toán hình học lớp 8 thông qua việc vẽ hình phụ

II Biện pháp

1 Phơng pháp 1 : Tìm yếu tố trung gian.

Thực chất của phơng pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi ra hớng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó để suy ra kết luận

Ví dụ 1: (Bài 155 trang 76 SBT)

Cho hình vuông ABCD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC a) Chứng minh rằng CE vuông góc với DF.

b) Gọi M là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng AM = AD.

GT

Hình vuông ABCD

CE cắt DF tại M

EA = EB; FB = FC

Phân tích

C D

E

F M

K N

a Học sinh cha cần tạo ra yếu tố phụ trên hình vẽ cũng chứng minh

đợc :

b Đối với trờng hợp này, giáo viên dẫn dắt học sinh phải kẻ đờng phụ nh sau: Để AM = AD khi và chỉ khi tam giác AMD cân tại A, khi và chỉ khi trung tuyến đồng thời là đờng cao Vậy dẫn tới kẻ thêm đờng phụ phải mang yếu tố trung điểm và vuông góc Từ đó phải xuất phát

từ trung điểm K của DC Lấy K là trung điểm của DC nối AK cắt DF tại

N Ta Chứng minh cho AN là trung tuyến, là đờng cao của tam giác ADM

Lời giải

a) Xét hai tam giác BEC và CFD có :

2

Hay CE  DF (1)

b) Gọi K là trung điểm của CD, N là giao điểm của AK và CD

Tứ giác AECK là hình bình hành vì AE // CK, AE = CK

Suy ra AK // CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK  DF (3)

Mà K là trung điểm của CD, AK // CE (c/m trên) nên ND = NM (4)

Từ (3) và (4) suy ra AN vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của tam giác ADM Do đó tam giác ADM cân tại A

Hay AD = AM (đpcm)

2 Phơng pháp 2 : Biến đổi kết luận của bài toán về dạng tơng

đ-ơng.

Thực chất của phơng pháp này là biến đổi kết luận (ở dạng cha thấy hớng giải) thành một trong các dạng tơng đơng có khả năng gợi ra hớng vẽ hình phụ và từ đó đi đến hớng giải Đây là phơng pháp đơn giản và thờng đợc thử nghiệm đầu tiên.“ thử nghiệm” đầu tiên ” đầu tiên.

Ví dụ 2 : Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông

ABDE và BCKF Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng DF

GT

ABC

Dựng các hình vuông

ABDE; BCKF

MA = MC

B

E

D

F

K

M

KL BM 1DF

2

=

Phân tích

Ta thử biến đổi kết luận:

Vế trái của đẳng thức (2) gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM khi đó ta thử tìm cách chứng minh BN = DF

Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm)

Hình bình hành ABCN và cặp tam giác bằng nhau BDF = CNB

Chứng minh

Lấy N đối xứng với B qua N Tứ giác ABNC có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng nê nó là hình bình hành

chúng bằng nhau theo trờng hợp c – g – c

Vậy DF = BN hay DF = 2BM

3 Phơng pháp 3: Vẽ hình phụ bằng hoặc tỉ lệ với các hình có trong kết luận.

Thực chất của phơng pháp này là vẽ thêm các yếu tố phụ hoặc bằng, hoặc tỉ lệ (hoặc có diện tích bằng hoặc tỉ lệ) phụ thuộc vào yêu cầu bài toán với các hình có trong kết luận ở dạng nhìn thấy hớng giải

rõ hơn

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, một điềm M chạy trên cạnh CD.

Gọi P, Q và R theo thứ tự là chân các đờng vuông góc hạ từ B, C, D xuống đờng thẳng AM Chứng minh rằng BP = DQ + CR

GT

ABCD là hình bình hành

CR  AM , M  CD;

BP  AM; QD  AM

Phân tích :

A B

Q R’

C’

P

R

Ta thấy các đoạn thẳng có trong đẳng thức của KL cha có mối liên

hệ trực tiếp nào Có thể nghĩ đến tạo ra các đoạn thẳng trung gian bằng các đoạn thẳng trong đẳng thức ở kết luận trên hình vẽ, nên có các hớng sau:

1 Vẽ trên đoạn thẳng lớn BP một đoạn thẳng bằng DQ (hoặc bằng CR) và tìm cách cm phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai

2 Kéo dài đoạn thẳng CR (hoặc DQ) một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng ngắn thứ hai và tìm cách c/m phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai

Hớng thứ nhất gợi cho ta hai cách vẽ hình phụ:

a Để PC = CR (hoặc CC = PR) chỉ còn phải c/m BC = DQ ( Dễ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ

dàng c/m đợc BC C = ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ DQA trờng hợp cạnh huyền - góc nhọn)

b Kẻ RR // BC => BR = CR Cần c/m PR = QD ta cũng có cách’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ

vẽ tơng tự với hớng thứ hai

Chứng minh

Cách 1 : Kẻ CC ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ  AM Tứ giác CRPC lcó ba góc vuông nên nó là hình ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ

chữ nhật, suy ra CR = C P.’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ

Xét hai tam giác vuông DQA và BC C có ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ Qà =C'à = 900, AD = BC ( cạnh

Suy ra DQ = BC’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Cách 2 : Kẻ RR // BC, chứng minh RC = BR , DR/ = DQ Từ đó suy ra’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ ’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ

điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1 Nối A với

trung điểm M của cạnh BC, AM cắt đờng chéo BD tại O Tính diện tích của tứ giác OMCD

AM  BD = 0

Phân tích

Trên hình vẽ cần tạo ra  bằng hoặc có diện tích bằng BOM và các tứ giác có diện tích bằng nhau (có thể tính đợc), sao cho giữa tứ giác OMCD có mối liên hệ diện tích với các tứ giác, tam giác nói trên, với hình bình hành ABCD

B M C N O

I

P A E D

Muốn thế từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đờng // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành các tứ giác

Dễ dàng chứng minh đợc:

SAMCE = S BCD ( =

2

1

6

5

2

1

SABCD =

12

5

12

5

Chứng minh

Từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đờng // với AM chúng cắt

BC, BD, AD, tạo thành các tứ giác

Dễ dàng chứng minh đợc:

SAMCE = S BCD ( =

2

1

6

5

2

1

SABCD =

12

5

12

5

Bài tập vân dụng

Bài 1 : Cho hình vuông ABCD E thuộc miền trong của hình vuông sao

Bài 2 : Cho hình thang vuông ABCD có Qua điểm E thuộc cạnh AB,

kẻ đờng vuông góc với DE, cắt BC tại F Chứng minh rằng ED = EF Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đ-ờng thẳng vuông góc với Bc, cắt các đđ-ờng thẳng AB, AC ở E, F Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK Chứng minh A là trung điểm của HK Bài 4 Cho tam giác ABC Lờy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC Gọi O là giao điểm của BE

và CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác của góc A, đ-ờng thẳng này cắt AC ở K Chứng minh rằng AB = CK

Bài 5 : Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB lấy điểm P tuỳ ý Hãy kẻ qua P đờng thẳng chia tứ giác thành 2 đa giác có diện tích bằng nhau

Bài 6: Cho hình bình hành OBCA Gọi E và F lần lợt là các điểm trên

Đoạn thẳng EF cắt đờng chéo OC tại M Tính tỉ lệ số

OC

OM

= ?

III Kết quả và những bài học rút ra.

Trong tiếp thu kiến thức hình, tìm đờng lối chứng minh hình là một

điều khó với học sinh Với học sinh khá giỏi, ngoài việc biết chứng minh các bài tập cơ bản còn phải biết giải các bài toán khó Với cách h ớng dẫn trên giáo viên đã chuẩn bị, tạo ra tình huống dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính Tuy nhiên, để làm đợc điều đó, giáo viên phải đầu t thời gian cho việc chuẩn bị nội dung và phơng pháp giảng dạy của mình Muốn bồi dỡng cho học sinh giỏi toán, có kỹ năng giải các bài toán hình chính xác, lập luận phải có căn cứ thì giáo viên bồi d -ỡng phải nâng dần t duy cho học sinh và nắm chắc phơng pháp giải toán

Bằng cách hớng dẫn đó, chung ta sẽ hình thành cho học sinh khả năng giải các bài tập, đặc biệt các bài tập khó

Trên đây là những ý kiến của cá nhân tôi, mong các đồng nghiệp tham khảo góp ý kiến chung để có đợc phơng pháp bồi dỡng học sinh giỏi tốt

Thụy Phúc, ngày 10 tháng 11 năm 2007

Ngời viết

Trần Ngọc Đại