Xử lý ảnh radar đa phân giải bằng phương pháp curvelet

Trong khuôn khổ nghiên cứu của luận văn này, tôi xin phép được giới thiệu những vấn đề cơ bản và ứng dụng điển hình trong kỹ thuật xử lý ảnh đa phân giải-ảnh SAR sử dụng biến đổi Curvele

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn trung thực, của tôi, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật sở hữu trí tuệ và pháp luật Việt Nam Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Nguyễn Tuấn Hải

LỜI MỞ ĐẦU

Trong thế giới hiện đại, cùng với sự bùng nổ về công nghệ, con người ngày

càng quan tâm đến các vấn đề như y sinh, địa chất học, viễn thám,… Chính vì vậy

mà các phương pháp xử lý ảnh, mà cụ thể hơn là xử lý biên ảnh và xử lý nhiễu ảnh

ngày càng cần thiết

Trong những thập niên gần đây, biến đổi Curvelet-một dạng đặc biệt của

biến đổi Wavelet đang nổi lên như là những công cụ rất mạnh trong kỹ thuật xử lý

hình ảnh, đặc biệt trong lĩnh vực y sinh, viễn thám, quân sự, địa chất,…, do hiệu

quả của kỹ thuật này đối với xử lý nhiễu biên ảnh Không chỉ ở các nước phát triển

mà ở một số nước đang phát triển gần chúng ta như Trung Quốc, Thái Lan, Ấn

Độ, phép biến đổi Wavelet và Curvelet đang được nghiên cứu rất nhiều

Trong khuôn khổ nghiên cứu của luận văn này, tôi xin phép được giới thiệu

những vấn đề cơ bản và ứng dụng điển hình trong kỹ thuật xử lý ảnh đa phân

giải-ảnh SAR sử dụng biến đổi Curvelet nhằm nâng cao chất lượng giải-ảnh phục vụ cho

việc khai thác thông tin ảnh SAR trong các ứng dụng địa chất, quân sự

Vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Xử lý ảnh Radar đa phân giải bằng

phương pháp curvelet ”, làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp

Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi xin đặc biệt cảm ơn tới PGS.TS

Nguyễn Thúy Anh Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại Học

Bách Khoa Hà Nội đã hỗ trợ, tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập Tôi xin

cảm ơn các bạn đồng nghiệp và người thân trong gia đình đã luôn động viên, khích

TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN

Khử nhiễu ảnh, tăng cường cấu trúc ảnh, là một trong những vấn đề được nghiên cứu phổ biến và quan trọng nhất trong xử lý ảnh và tầm nhìn máy tính Hướng tới tác vụ khôi phục ảnh, nâng cao chất lượng ảnh phục vụ cho các quá trình khai thác thông tin, xử lý thông tin trong các ứng dụng y khoa, viễn thám, địa chất… Đã được nghiên cứu ở nhiều nước phát triển, Curvelet đã trở thành một công cụ xử lý ảnh rất hiệu quả trong những năm gần đây

Mục tiêu của nghiên cứu này là ứng dụng những ưu điểm của Curvelet vào

xử lý ảnh SAR SAR đã được áp dụng rộng rãi trong các vấn đề quân sự và lĩnh vực dân sự như lập bản đồ, xác định mục tiêu tự động,…, vì độ phân giải cao của nó về không gian, thời gian, hướng phương vị Tuy nhiên, ảnh SAR chịu tác động của nhiễu đốm bội, một hiện tượng hỗn loạn là kết quả của sự kết hợp bước sóng radar

Sự tồn tại của nhiễu đốm bội ảnh hưởng đến nhận thức và tầm nhìn máy tính, và các kết quả xử lý thông tin từ ảnh SAR Vì vậy, giảm nhiễu là quan trọng và cần thiết cho các mục đích phát hiện mục tiêu, nhận dạng, và các hệ thống phân loại Kỹ thuật giảm nhiễu ảnh SAR điển hình có hai loại: một là các kỹ thuật xử lý đa tầm nhìn trước khi chụp ảnh và hai là các kỹ thuật lọc sau khi chụp ảnh Các kỹ thuật xử

lý đa tầm nhìn gây ra các ảnh hưởng không tốt, làm giảm độ phân giải của ảnh Các

kỹ thuật sử dụng bộ lọc dựa trên thống kê cục bộ, được tính toán trong một cửa sổ vuông cố định Bằng cách này, nhiễu đốm giảm đi như là một chức năng của sự không đồng nhất được đo bằng hệ số cục bộ của biến

Nội dung nghiên cứu của đề tài:

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI

CHƯƠNG 2 GIẢI PHÁP XỬ LÝ ẢNH RADAR ĐA PHÂN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP CURVELET

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM, ĐÁNH GIÁ VÀ KẾT LUẬN

ABSTRACT

Image noise reduction, image enhancement structure, is one of the issues to

be studied popularly and the most important factor in image processing and computer vision Heading to restore image, improve images‟ quality for information extraction process, information processing in medical applications, remote sensing, geological Studied in many developed countries, curvelet became a very effective tools for image processing in recent years

The objective of this study is to apply the advantages of curvelet in SAR image processing SAR has been widely applied in military field and civil sectors such as mapping, automatic target identification, , thanks to its high resolution in space and time, the azimuthal direction However, SAR images are affected by multiple interference spot, a chaotic phenomenon as a result of a combination of radar wavelengths The existence of multiple spots interference affects cognition and vision of computers, and the results of processing information from SAR images Therefore, noise reduction is important and necessary for the purpose of target detection, identification, and classification systems SAR image noise reduction techniques typically have two kinds: one is the multi-processing techniques before taking photos and the other is the masking technique after shooting Techniques for handling multiple views cause negative impacts such as reducing the image resolution The techniques using filters based on local statistics, calculated in a fixed square window In this way, interference spots decreases as a function of the inhomogeneity is measured by local coefficient of variations

Content of this study:

CHAPTER 1 AN OVERVIEW OF THIS STUDY

CHAPTER 2 SOLUTIONS TO PROCESSING RADAR MULTI-RESOLUTION BASED ON CURVELET METHOD

CHAPTER 3 EXPERIMENTS, EVALUATION AND CONCLUSION

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI MỞ ĐẦU

TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN

ABSTRACT

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1

1.1 Nguyên lý radar 1

1.1.1 Giới thiệu 1

1.1.2 Nguyên tắc 1

1.1.3 Ảnh radar 4

1.2 Lý thuyết Wavelet 7

1.2.1 Biến đổi Wavelet liên tục 8

1.2.2 Biến đổi Wavelet rời rạc 10

1.2.3 Wavelet và phân tích đa phân giải 13

1.2.4 Phân tích gói Wavelet 15

1.2.5 Các họ Wavelet 19

1.2.6 Ứng dụng của Wavelet 20

1.3 Lý thuyết Curvelet 20

1.3.1 Mối quan của Curvelet với Wavelet 21

1.3.2 Biến đổi curvelet 23

1.4 Mục đích đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài 30

1.5 Phương pháp nghiên cứu đề tài 30

1.6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 31

1.7 Kết luận chương 31

CHƯƠNG 2 GIẢI PHÁP XỬ LÝ ẢNH RADAR ĐA PHÂN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP CURVELET 32

2.1 Các phương pháp xử lý ảnh radar hiện nay 32

2.1.1 Những biến dạng hình học cơ bản của ảnh radar 32

2.1.2 Phương pháp xử lý hình học ảnh radar 35

2.2 Nhiễu và các phương pháp xử lý nhiễu trên ảnh radar đa phân giải 41

2.2.1 Nhiễu của ảnh radar 41

2.2.2 Xử lý nhiễu trên ảnh radar - các loại phin lọc 42

2.3 Biểu diễn ảnh đa phân giải 44

2.3.1 Các tiên đề của phân tích đa phân giải 45

2.3.2 Biểu diễn Pyramid 47

2.3.3 Biểu diễn wavelet 50

2.4 Giải pháp xử lý ảnh radar đa phân giải bằng phương pháp Curvelet 60

2.4.1 Giới thiệu 60

2.4.2 Biến đổi Curvelet rời rạc nhanh (FDCT) 60

2.4.3 Giảm nhiễu đốm trên ảnh SAR dựa trên FDCT 62

2.5 Kết luận chương 63

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM, ĐÁNH GIÁ VÀ KẾT LUẬN 64

3.1 Giới thiệu 64

3.2 Xử lý tín hiệu một chiều (1-D signal) 64

3.3 Xử lý ảnh 2D sử dụng Curvelet 66

3.3.1 Khử nhiễu và khôi phục ảnh 2D 66

3.3.2 Tách biên và khôi phục biên 68

3.4 Xử lý ảnh radar đa phân giải bằng Curvelet 69

3.4.1 Khử nhiễu và khôi phục ảnh SAR 69

3.4.2 Tăng cường cấu trúc ảnh SAR 71

3.5 Kết luận chương 72

KẾT LUẬN CHUNG 73

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 1

TÀI LIỆU THAM KHẢO 2

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

CCT Continuous Curvelet Tranform Biến đổi Curvelet liên tục

CWT Continuous Wavelet Transform Biến đổi Wavelet liên tục

DCT Discrete Curvelet Transform Biến đổi Curvelet rời rạc

DFT Discrete Fourier Transform Biến đổi Fourier rời rạc

DST Discrete Shearlet Transform Biến đổi Curvelet rời rạc

DWT Discrete Wavelet Transform Biến đổi Wavelet rời rạc

FDCT Fast discrete Curvelet Transform Biến đổi Curvelet rời rạc nhanh FFT Fast Fourier Transform Biến đổi Fourier nhanh

FIR Finite-Impulse Response Bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn

IFFT Inverse Fast Fourier transform Biến đổi Fourier nhanh ngược LIDAR Light Detection And Raging Dò tìm bằng ánh sáng và tập hợp

ánh sángMRA Multi Resolution Analyzing Phân tích đa phân giải

PSNR Peak Signal to Noise Ratio Tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu đỉnh RMSE Root Mean Square Error Căn trung bình bình phương lỗi SAR Synthetic Aperture Radar Radar khẩu độ tổng hợp

UWT Undecimated Wavelet Transform Biến đổi Wavelet không phân rã WPA Wavelet Package Analyzing Phân tích gói Wavelet

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Hấp thụ và phản xạ sóng radio của địa hình 5

Hình 1.2 Một số ảnh LIDAR chụp bề mặt địa hình 6

Hình 1.3 Không gian và các không gian con trong đa phân giải 13

Hình 1.4 Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử 16

Hình 1.5 So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và gói Wavelet 16

Hình 1.6 Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 17

Hình 1.7 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 19

(e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat 19

Hình 1.8 Các phần tử của các wavelet( bên trái) và các curvelet với các tỷ lệ khác nhau, các hướng và các chuyển dời trong miền không gian ( bên phải ) 21

Hình 1.9 Cửa sổ V(t) (trái) và W(r) (phải) 25

Hình 1.10 Cửa sổ (bên trái) và hình chiếu đứng (bên phải) 25

Hình 1.11 Cửa sổ (bên trái) và hình chiếu đứng (bên phải) 27

Hình 2.1 Khác biệt về kích thước giữa cạnh gần và cạnh xa trên ảnh radar 33

Hình 2.2 Sự nén đối tượng cạnh gần so với cạnh xa của ảnh radar 33

Hình 2.3 Hiện tượng co ngắn phía trước 33

Hình 2.4 Hiện tượng chồng đè trên ảnh radar 34

Hình 2.5 Hiện tượng bóng trên ảnh radar 35

Hình 2.6 Ảnh hưởng của chênh cao địa hình tới vị trí điểm trên thực địa 40

Hình 2.7 Sự tạo thành nhiễu trên ảnh SAR 41

Hình 2.8 Mối tương quan giữa độ lệch chuấn và giá trị trung bình cục bộ 42

Hình 2.9 Vị trí của một tín hiệu trong mặt phẳng thời gian-tần số được giới hạn bởi định lý bất định Heisenberg 52

Hình 2.10 Những ví dụ về hàm wavelet mẹ và hàm scaling Hàng thứ nhất: Haar Hàng thứ hai: Daubechie 6 Hàng thứ ba: trực giao 2.8 Hàng thứ tư: Meyer 8 53

Hình 2.11 A) Biểu diễn tín hiệu lấy mẫu trong miền thời gian B) Biểu diễn theo biến đổi Fourier C) Biểu diễn theo cửa sổ Fourier D) Biểu diễn theo wavelet 53

Hình 2.12 Phân rã một xấp xỉ rời rạc 1 2j d A  f thành một xấp xỉ ở độ phân giải thô 2j d A f và tín hiệu chi tiết D f2j 56

Hình 2.13 Tái tạo xấp xỉ rời rạc A2j 1f

từ xấp xỉ ở mức thô hơn A f2j

và tín hiệu chi tiết D f2j

57

Hình 2.14 (a) Sử dụng phân đoạn W (b) Sử dụng phân đoạn định hướng V 62

Hình 2.15 Sơ đồ diễn tiến của khử nhiễu trên ảnh SAR dựa trên FDCT 63

Hình 3.1 Biểu diễn tín hiệu 1D và nhiễu 64

Hình 3.2 Biểu diễn quy luật ngưỡng của một vector 65

Hình 3.3 Biểu diễn ngưỡng cứng và ngưỡng mềm 65

Hình 3.4 Biểu diễn khử nhiễu tín hiệu 1D 66

Hình 3.5 Kết quả khôi phục ảnh 2D sử dụng Curvelet 66

Hình 3.6 So sánh chi tiết ảnh ban đầu và ảnh khôi phục 67

Hình 3.7 Kết quả RMSE và PSNR trên ảnh 2D với Curvelet 67

Hình 3.8 Kết quả RMSE và PSNR trên ảnh 2D với Wavelet 67

Hình 3.9 Kết quả tách biên ảnh 2D sử dụng Curvelet 68

Hình 3.10 Kết quả khôi phục ảnh tách biên 68

Hình 3.11 So sánh chi tiết ảnh tách biên và ảnh tách biên được khôi phục 68

Hình 3.12 Kết quả RMSE và PSNR trên ảnh tách biên được khôi phục 69

Hình 3.13 Kết quả khử nhiễu và khôi phục ảnh SAR với Curvelet 69

Hình 3.14 So sánh chi tiết ảnh ban đầu và ảnh khôi phục 70

Hình 3.15 Kết quả RMSE và PSNR giữa Curvelet và Wavelet 71

Hình 3.16 Các cấu trúc ảnh khôi phục với Curvelet 72

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI

1.1 Nguyên lý radar

1.1.1 Giới thiệu

Ra đa (phiên âm từ tiếng Pháp: radar) là thuật ngữ viết tắt của cụm từ tiếng Anh: Radio Detection and Ranging (dò tìm và định vị bằng sóng vô tuyến) hay của Radio Angle Detection and Ranging (dò tìm và định vị góc bằng sóng vô tuyến) trong tiếng Anh Đây là một hệ thống sử dụng để định vị và đo khoảng cách và lập bản đồ các vật thể như máy bay hay mưa

Ảnh radar cung cấp nhiều thông tin về đất, nước, rừng Lần đầu tiên các nhà khoa học dùng radar đặt trên vệ tinh để phát hiện nguồn nước ngầm Chi phí tìm kiếm chỉ bằng 1% so với phương pháp truyền thống chụp ảnh trên không

Kỹ thuật này dựa trên nguyên lý: khi lớp đất, đá bên dưới thấm nước mưa thì

bề mặt đất sẽ phồng lên, ngược lại khi nguồn nước ngầm nhiều, bề mặt đất sẽ bị lún xuống Những thay đổi trên có thể phát hiện và đo được bằng cách xem các ảnh chụp một vị trí nhưng tại các thời điểm khác nhau do radar khẩu độ tổng hợp (SAR) thực hiện

Đây là phương pháp nhanh chóng và kinh tế mà các nhà khoa học Mỹ vừa mới đưa tìm ra Họ dùng những hình ảnh có độ phân giải cao do SAR đặt trên các

vệ tinh của Cơ quan Hàng không châu Âu (ESA) chụp được để tìm ra những thay đổi trên bề mặt đất Kỹ thuật mày đã được ứng dụng chụp các vùng Bangkok (Thái Lan), Thượng Hải (Trung Quốc) và Jakarta (Indonesia) Trước đây, radar SAR mới chỉ được sử dụng để theo dõi những thay đổi ở bề mặt đất, nhưng chỉ nhằm phát hiện đất bị lún

1.1.2 Nguyên tắc

Trong kỹ thuật radar, người ta truyền đi một chùm xung vô tuyến có cường

độ lớn và thu sóng phản xạ lại bằng máy thu Bằng cách phân tích sóng phản xạ, vật phản xạ được định vị, và đôi khi được xác định hình dạng Chỉ với một lượng nhỏ sóng phản xạ, tín hiệu radio có thể dễ dàng thu nhận và khuếch đại Sóng radio có

thể dễ dàng tạo ra với cường độ thích hợp, có thể phát hiện một lượng sóng cực nhỏ

và sau đó khuếch đại vài lần Vì thế radar thích hợp để định vị vật ở khoảng cách xa

mà các sự phản xạ khác như của âm thanh hay của ánh sáng là quá yếu không đủ để định vị

Tuy nhiên, sóng radio không truyền xa được trong môi trường nước, do đó, dưới mặt biển, người ta không dùng được radar để định vị mà thay vào đó là máy sonar dùng siêu âm

bị phát hiện hơn trên màn radar Phương pháp trong kỹ thuật sóng vô tuyến này tương đương với việc sơn vật thể bằng các màu tối trong sóng ánh sáng

Sóng radar tán xạ theo nhiều cách phụ thuộc vào tỷ lệ giữa kích thước của vật thể tán xạ với bước sóng của sóng radio và hình dạng của vật Nếu bước sóng ngắn hơn nhiều so với kích thước vật, tia sóng sẽ dội lại tương tự như tia sáng phản chiếu trên gương Nếu như bước sóng lớn hơn so với kích thước vật, vật thể sẽ bị phân cực, giống như một ăngten phân cực Điều này được miêu tả trong hiện tượng tán xạ Rayleigh (một hiệu ứng làm bầu trời có màu xanh lam) Khi 2 tia có cùng cường độ thì có hiện tượng cộng hưởng Bước sóng radar càng ngắn thì độ phân giải hình ảnh trên màn radar càng rõ Tuy nhiên các sóng radar ngắn cần nguồn năng lượng cao và định hướng, ngoài ra chúng dễ bị hấp thụ bởi vật thể nhỏ (như

mưa và sương mù ), không dễ dàng đi xa như sóng có bước sóng dài Các radar thế hệ đầu tiên dùng sóng có bước sóng lớn hơn mục tiêu và nhận được tia phản hồi

có độ phân giải thấp đến mức không nhận diện được, trái lại các hệ thống hiện đại

sử dụng sóng ngắn hơn (vài xentimét hay ngắn hơn) có thể họa lại hình ảnh một vật nhỏ như bát cơm hay nhỏ hơn

Sóng radio phản chiếu từ bề mặt cong hay có góc cạnh, tương tự như tia sáng phản chiếu từ gương cầu Ví dụ, đối với tia sóng radio ngắn, hai bề mặt tạo nhau một góc 90° sẽ có khả năng phản chiếu mạnh Cấu trúc bao gồm 3 mặt phẳng gặp nhau tại 1 góc, như là góc của hình hộp vuông, luôn phản chiếu tia tới trực tiếp trở lại nguồn Thiết kế này áp dụng cho vật phản chiếu góc dùng làm vật phản chiếu với mục đích làm các vật khó tìm trở nên dễ dàng định dạng, thường tìm thấy trên tàu

để tăng sự dò tìm trong tình huống cứu nạn và giảm va chạm Cùng một lý do đó, để tránh việc bị phát hiện, người ta có thể làm cho các bề mặt có độ cong thích hợp để giảm các góc trong và tránh bề mặt và góc vuông góc với hướng định vị Các thiết

kế kiểu này thường dẫn đến hình dạng kỳ lạ của các máy bay tàng hình Các thận trọng như thế không hoàn toàn loại bỏ sự phản xạ gây ra bởi sự nhiễu xạ, đặc biệt với các bước sóng dài Để giảm hơn nữa tín hiệu phản xạ, các máy bay tàng hình có thể tung ra thêm các mảnh kim loại dẫn điện có chiều dài bằng nửa bước sóng, gọi

là các miếng nhiễu xạ, có tính phản xạ cao nhưng không trực tiếp phản hồi năng lượng trở lại nguồn

Phân cực

Sự phân cực thể hiện hướng dao động của sóng; với sóng điện từ, mặt phẳng phân cực là mặt phẳng chứa vector dao động từ trường Radar sử dụng sóng radio được phân cực ngang, phân cực dọc, và phân cực tròn tùy theo từng ứng dụng cụ thể để định vị tốt hơn các loại phản xạ Ví dụ, phân cực tròn dùng để làm giảm thiểu

độ nhiễu xạ tạo bởi mưa Sóng phản xạ bị phân cực phẳng thường cho biết sóng được dội lại từ bề mặt kim loại, và giúp radar tìm kiếm vượt trở ngại mưa Các sóng radar có tính phân cực ngẫu nhiên thường là cho biết bề mặt phản xạ như đất đá, và được sử dụng bằng radar cho tàu bè

Hiện tượng nhiễu sóng

Hệ thống radar phải vượt qua một số nguồn sóng khác để tập trung trên mục tiêu thật sự Các sóng làm nhiễu bắt nguồn từ các nguồn bên trong và bên ngoài, gồm chủ động và bị động Khả năng vượt qua các sóng không mong đợi được định nghĩa là tỉ số tín hiệu trên nhiễu (signal-to-noise ratio hay SNR) Trong cùng một môi trường nhiễu, tỉ số SNR càng lớn, thì hệ thống radar càng dễ định vị vật

1.1.3 Ảnh radar

Ảnh Rada có những đặc điểm khác biệt cơ bản so với ảnh quang học, đó là năng lượng sóng điện từ do chính vệ tinh chủ động phát đến các vật thể trên bề mặt trái đất, bước sóng thường được sử dụng nằm trong dải tần sóng vô tuyến cao tần (1

cm đến 1m) Hình ảnh của vật thể được thể hiện trên ảnh rada rất khác so với cảm nhận của mắt người quan sát Độ xám của ảnh phụ thuộc rất nhiều vào năng lượng tán xạ ngược của sóng siêu cao tần và các bóng thể hiện trên ảnh chỉ liên quan đến góc tới của của sóng do vệ tinh phát ra Ảnh rada có ưu điểm là ít chịu ảnh hưởng của khí quyển, không lệ thuộc vào bức xạ mặt trời nên có thể thu được ảnh cả ngày lẫn đêm và bước sóng được sử dụng trong thu ảnh rada thường được xác định trước

và kiểm soát dễ dàng

Viễn thám RADAR có một số đặc điểm:

 Hoạt động trong một dải sóng rộng từ band radio đến band cực ngắn (với

bước sóng từ micromet đến vài milimét);

 Có thể thu và phát các tần số radio phân cực theo cả chiều ngang lẫn thẳng đứng;

 Đo được độ mạnh của backscatter (một phần năng lượng mà ăngten radar nhận được và thời gian kéo dài giữa quá trình nhận và truyền tín hiệu);

 Do bước sóng radio thường dài hơn bước sóng của ánh sáng nhìn thấy và ánh sáng hồng ngoại nên chúng có thể xuyên qua được tán cây của lớp phủ thực vật nên chất lượng ảnh RADAR không phụ thuộc thời tiết như ảnh viễn thám quang học Chưa kể với những hệ thống RADAR có bước sóng dài hơn có thể xuyên qua lớp phủ bề mặt Một số hệ thống RADAR có thiết bị có thể đo được độ ẩm của đất;

 Cách thức tương tác của các tín hiệu RADAR phụ thuộc vào kích thước vật thể, hình dạng, độ nhẵn bề mặt, góc tiếp xúc với các mức năng lượng sản sinh từ sóng cực ngắn và hằng số điện môi;

 So với các hệ thống viễn thám khác, viễn thám radar ghi tư liệu trên cơ sở của thời gian hơn là khoảng cách Radar có thể ghi lại hình ảnh ở bước sóng dài hơn với độ phân giải cao hơn vì ở vùng sóng cực ngắn, sự hấp thụ và tán

xạ ánh sáng là nhỏ nhất Thiết bị “chụp” ảnh RADAR có thể đặt trên máy bay hay vệ tinh

Hình 1.1 Hấp thụ và phản xạ sóng radio của địa hình

RADAR thường được dùng để thành lập bản đồ che phủ đất, xác định cấu

trúc thảm thực vật và lập mô hình số độ cao (DEM)

Các loại ảnh RADAR hay được dùng là RADARSAT, ERS, Envisat, Space Shutle

Gần đây còn có ảnh LIDAR (Light Detection And Raging, tạm dịch là dò tìm bằng ánh sáng và tập hợp ánh sáng), cũng thuộc loại bộ cảm chủ động nhưng sử dụng sóng LASER

Ảnh LIDAR có một số đăc điểm:

 Sử dụng bước sóng trong khoảng xanh biển đến cận hồng ngoại (from blue

to near- infrared)

 Đo khoảng cách giữa bộ cảm và đối tượng

Hình 1.2 Một số ảnh LIDAR chụp bề mặt địa hình

 Có thể triển khai hệ thống quét (scan) và chụp ảnh

 Có khả năng đo/ghi lại những tín hiệu phản hồi rời rạc, hệ thống hiện đại hơn

có thể đo/ghi lại toàn bộ các dạng sóng từ tín hiệu phản hồi

 Sử dụng phổ biến trong thu thập thông tin về mô hình số độ cao (DEM), và cũng có thể sử dụng để đo chiều cao và cấu trúc thảm thực vật

Xử lý ảnh RADAR cũng như LIDAR cần có những phần mềm chuyên biệt, khác với các phần mềm xử lý ảnh viễn thám quang học

Về giá cả ảnh vệ tinh có thể dao động từ miễn phí đến hơn 100 USD/1 km2

tuỳ theo thời gian cung cấp cũng như mục đích sử dụng ảnh

Có rất nhiều công ty kinh doanh được phép bán ảnh Người dùng cần thoả thuận bản quyền quy định rõ cách thức sử dụng cũng như phân phối ảnh vệ tinh để được phép sở hữu thông tin tối đa của ảnh cho hoạt động của mình

1.2 Lý thuyết Wavelet

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thoả mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu diễn một hàm khác Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung Tương tự, nếu chúng ta quan

sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn

Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi

là Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ

số dưới một ngưỡng nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc Mã hoá rời rạc (sparse coding) làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals, turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như

giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

1.2.1 Biến đổi Wavelet liên tục

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:



 f t t dt b

a, ) ( ) a b( )(

W * , (1.1)

với a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t)là liên hợp phức của hàm wavelet ψa,b(t) Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet )

1 , ( ) (1.2)

với a, b là các số thực (a  0),  ,b(t)là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình

bằng không: 





 0 )

( dt t

 Hàm Wavelet  ,b(t)có dạng bất biến trong không gian

L2(R) của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hoá 2

a

dadb t b a W C

(1.4)

với ˆ()là biến đổi Fourier của hàm Wavelet a,b(t) C là hằng số phụ thuộc vào hàm Wavelet  ,b(t) C là hữu hạn chỉ khi hàm  ˆ(0)0hay điều kiện tương đương:







0)

( dt t

 (1.5)

Để chắc chắn rằng các hàm Wavelet phân rã nhanh chóng tới không và do vậy

chúng đƣợc khu biệt rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn điều kiện:

Một chuỗi Wavelet có đƣợc nhờ gián đoạn hoá CWT Sự gián đoạn hoá CWT đƣợc thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ Tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu[8] Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm nhƣ vậy số lƣợng phép tính giảm

1.2.2.3 Tính tỷ lệ (scaling)

W f v(a,b)W f(v1a,vb), f v t  v f vt

(1.9) Tính chất tỷ lệ làm cho biến đổi wavelet thực sự phù hợp để phân tích các cấu trúc dạng bậc Nó nhƣ là một kính hiển vi toán học với các đặc tính không phụ thuộc vào sự phóng đại

1.2.2.4 Tính bảo toàn năng lượng

Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lƣợng giống nhƣ công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Nếu hàm f(t)L2(R)và có biến đổi Wavelet liên tục là Wf(a,b) thì:

1

a

dadb b

a C

dt t f

1.2.2 Biến đổi Wavelet rời rạc

Vì những hàm Wavelet được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet rất dư thừa Do vậy, để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu[8] Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh vực mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band coding) Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển được gọi là mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA)

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

Chúng ta có hàm rời rạc f(n) và định nghĩa biến đổi Wavelet rời rạc DWT đưa

k

j n n

f k

j C b a

C , ,  , (1.11)

với j , klà Wavelet rời rạc được định nghĩa:

j

j k

2

22

1)

f B b

a f f

A

,

2 2

2

,, (1.13)

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds)

Biến đổi ngược được xác định như sau:

j C n

f ,  , (1.14)

Nếu giới hạn khung (framebounds) trong (1.13) là A=B=1, thì phép biến đổi

là trực giao

Đây là tổng vô hạn theo cả chỉ số thời gian k và chỉ số tỷ lệ j Tuy nhiên tổng

này có thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Wavelet với toàn bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nào đó, như vậy phép tổng hữu hạn (1.14) theo k là đúng với một số xấp xỉ

Để tìm hiểu tại sao phép tổng (1.14) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ, phần tiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA được phát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Wavelet sau này

Tính chất biến đổi Wavelet

Wavelet được xác định bởi một số xác định các hệ số khác không M Số hệ

số này đại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moments) được xác định như

sau: Nếu   x là khả vi M lần và phân rã đủ nhanh, thì M-1 mômen Wavelet đầu tiên triệt tiêu, nghĩa là:

 x 

dt

d

k k

 tức là x k x dx0 với 1kM (1.15)

Wavelet phải thoả mãn hai phương trình tỷ lệ:

1

2        

k

m m m

k h k

h 2 0 (1.21)

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi

dãy h(k) và để biểu diễn sự phân tích và khôi phục Wavelet chúng ta chỉ cần các hệ

10

,1

t

t t

12

/1,1

2/10

,1

t

t

t t

 (1.23)

1.2.3 Wavelet và phân tích đa phân giải

Định nghĩa: Không gian L2

= L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự

Phân tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j L2 R :

(1.24e)

Như vậy họ   tk,kZ tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian

tham chiếu V Các không gian 0 V lồng vào nhau Không gian L j 2(R) đóng kín tập

hợp mọi V j

Hình 1.3 Không gian và các không gian con trong đa phân giải

Không gian L2 biểu diễn toàn bộ không gian Vj biểu diễn một không gian

con, Wj biểu diễn chi tiết

Hàm tỷ lệ  t :

Hàm  t trong định nghĩa đa phân giải MRA được gọi là hàm tỷ lệ (scaling function) hay hàm cha (father function) đôi khi còn được gọi là hàm xấp xỉ

k

j, 2 /2 2 

 , j,kZ (1.25) Với V j spanj,k :kZ

Họ  j,k :kZ tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho W n

Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

k

k t k h

 (1.27) Đặt không gian W là phần bù của j V với j V j1, V j1 V j Wj Các hàm  j , k

là một cơ sở trực chuẩn của W j

Với các tín hiệu thực tế có dải thông giới hạn, có một tỷ số j = J cho các hệ số wavelet w j,klà đủ nhỏ Do đó có thể viết hàm f J V J thành    

2 1

j k

w   (1.29)

với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích

Vì  W0 V1, và  2tk là một cơ sở trực chuẩn của V , 1  có thể được viết thành:

k

k t k g

 (1.30)

được gọi là phương trình Wavelet

Các hệ số  h k và  g k từ các phương trình tỷ lệ và phương trình Wavelet tương ứng với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này được sử dụng trong thuật toán Mallat

1.2.4 Phân tích gói Wavelet

Phân tích gói Wavelet (WPA) là sự khái quát hoá phân tích Wavelet cho

những thủ tục phân tích phức tạp hơn Trong thủ tục phân tích Wavelet trực giao, bước chung là phân chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần Sau khi phân chia chúng

ta thu được vectơ của các hệ số xấp xỉ và vectơ của các hệ số chi tiết, cả hai ở tỷ lệ thô Thông tin bị mất giữa hai bước xấp xỉ kế tiếp được giữ lại trong các hệ số chi tiết

Bước tiếp theo bao gồm phân chia vectơ hệ số xấp xỉ mới, các chi tiết kế tiếp không được phân tích lại Theo trạng thái gói Wavelet tương ứng, mọi vectơ hệ số chi tiết cũng được phân tích thành hai phần sử dụng cùng phép tính gần đúng như trong sự phân chia vectơ xấp xỉ Điều đó dẫn đến phân tích phức tạp, cây nhị phân đầy đủ được đưa ra như trong hình 3.12 Sự so sánh giữa biểu diến trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ của Wavelet và gói Wavelet được mô tả trong hình 3.13

Các hàm cơ bản w với nn  ỉ số tần số danh định:

Z k



22

n k

w 1 2 2 n0,1,2 (1.32)

Hình 1.4 Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử

Hàm ban đầu w0 chỉ là hàm tỷ lệ, cũng như vậy w1  Hàm phân tích

được gọi là nguyên tử gói Wavelet (wavelet packet atom) được cho trong trường

hợp trực giao:

 x  j w n j xk

22

w k,n /2 (1.33)

Hình 1.5 So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và gói

Wavelet

1.2.4.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms)

Ví dụ của nguyên tử gói Wavelet được sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 được thể hiện trong hình 1.6

Trong biểu diễn Wavelet, k biễu diễn tham số thời gian và j là tham số tỷ lệ Còn tham số n, như trong hình 1.6 wn x “dao động” xấp xỉ n lần Do vậy với các

giá trị cố định của j và k, w k, n phân tích thay đổi của tín hiệu quanh vị trí j k

2 , ở

tỷ lệ 2 và ở tần số thay đổi cho các giá trị có thể chấp nhận được khác nhau của -jtham số n

Cũng như vậy, chúng ta có thể tính toán sự phân tích hàm liên tục u(t) sử dụng thuật toán DWT nhanh

Ví dụ với x(k):

       

R

Z k dt k t t u k

t

u 2 3/2 2 3 (1.34)

Ở đây tần số danh định là 5 và chỉ số tỷ lệ 3 Các tích trong của biểu thức (1.34) sẽ được tìm thấy trong ô được tô đậm GHGx, với số 5 từ bên trái ở mức 3 từ đỉnh khi đánh chỉ số bắt đầu từ 0

Hình 1.6 Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2

1.2.4.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet

Kết luận đưa ra trong phần 1.2.3 có thể áp dụng cho các gói Wavelet Người ta nhận ra rằng cơ sở gói Wavelet bao gồm cơ sở Wavelet

Đặt Wj ,n x W k,n x,kZ là tập hợp của các gói Wavelet

Z k k x x

,W

Nếu V0 biểu thị không gian mở rộng bởi W0,0chứa tín hiệu được phân tích thì

Wd,1,d 1 là một cơ sở trực giao của V0 Với mọi số nguyên dương D,

WD,0, Wd,1,d 1 là một cơ sở trực giao của V0

Sử dụng phương pháp đệ quy tương tự,Wn1, 2n,Wj1,2n1 là một cơ sở trực

giao của không gian được mở rộng bởỉ W Điểu đó dẫn đến sự loại bỏ các nhánh j , n

nhị phân liên kết của cây gói Wavelet tương ứng với một cơ sở trực giao của không gian ban đầu Với tín hiệu có năng lượng xác định, bất kỳ cơ sở gói Wavelet nào cũng sẽ đưa ra sự khôi phục chính xác và đưa ra một cách mã hoá tín hiệu riêng sử dụng các thông tin phân bố trong các băng con tỷ lệ tần số

1.2.4.3 Lựa chọn phân tích tối ưu

Dựa trên tổ chức của thư viện gói Wavelet, và cùng với các phân tích đưa ra từ Wavelet trực giao cơ sở, đưa đến kết quả là một tín hiệu với độ dài N = 2L có thể khai triển theo 2N cách khác nhau, số lượng các nhánh con của nhánh nhị phân đầy

đủ của độ sâu L Để xác định xem phân tích nào tốt nhất chúng ta phải tìm sự phân tích tối ưu đối với một tiêu chuẩn thích hợp Tiêu chuẩn cơ sở entropy phù hợp các điều kiện này và mô tả các tính chất thông tin liên quan cho một biểu diễn chính xác của tín hiệu đã cho

Với bất kỳ node trung gian nào trong một cây nhị phân đầy đủ ở độ sâu D

tương ứng với cây phân tích gói Wavelet, chúng ta sử dụng bước cơ bản để tím

nhánh tối ưu thoả mãn tiêu chuẩn entropy đã cho E, với Eopt biểu thị giá trị entropy

E( ) , với C là tập hợp các nút con của node

Nếu noderoot E opt nodeEnode





C k opt k E node

E( ) , với C là tập hợp các nút con của node

Chia và lập   





C k opt opt node E k

E( ) 2log 2 (1.36)

1.2.5 Các họ Wavelet

Hiện nay có một số hàm cơ bản có thể đƣợc sử dụng nhƣ là Wavelet mẹ cho các biến đổi Wavelet Vì Wavelet mẹ sinh ra tất cả các hàm Wavelet đƣợc sử dụng trong biến đổi nhờ phép tịnh tiến và lấy tỷ lệ, xác định các đặc điểm của biến đổi Wavelet kết quả Do vậy, đặc điểm của từng ứng dụng riêng cần đƣợc quan tâm và Wavelet mẹ thích hợp sẽ đƣợc chọn để có đƣợc biến đổi Wavelet hiệu quả

Hình 1.7 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2

(e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat

Hình 1.7 mô tả một số hàm Wavelet đƣợc sử dụng phổ biến Wavelet Haar là một trong những Wavelet đầu tiên và đơn giản nhất Wavelet Daubechies là Wavelet phổ biến nhất, wavelet Haar là cơ sở cho xử lý tín hiệu Wavelet và đƣợc sử dụng trong nhiều ứng dụng Các Wavelet Haar, Daubechies, Symlets và Coiflets là những Wavelet trực giao Những Wavelet theo dạng Wavelet Meyer có khả năng khôi phục hoàn hảo Các Wavelet Meyer, Morlet và Mexican Hat có dạng đối xứng

1.2.6 Ứng dụng của Wavelet

Ngày nay biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi Biến đổi Wavelet được áp dụng trong những lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng được mở rộng Một trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI Biến đổi Wavelet được sử dụng để nén ảnh dấu vân tay để lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI Ban đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến đổi này không được thực hiện tốt ở tỷ số nén cao Biến đổi này đưa ra một vài hiệu ứng chặn làm cho không thể theo các đường vân tay sau khôi phục Điều này hoàn toàn không xảy ra với biến đổi Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu

 Ứng dụng trong y sinh

 Ứng dụng trong viễn thám

 Ứng dụng trong khảo sát thời tiết

 Ứng dụng trong khảo sát địa chất

 ….v…v

1.3 Lý thuyết Curvelet

Học thuyết đa phân giải có liên quan sâu sắc đến xử lý ảnh, sinh học, khoa học tính toán…Biến đổi Curvelet là biến đổi có hướng đa tỷ lệ, cho phép gần như tối ưu các đại diện rời rạc không tương thích của đối tượng với biên Nó tạo ra sự quan tâm ngày càng tăng trong cộng đồng toán học ứng dụng và xử lý tín hiệu trong những năm qua Ta trình bày tổng quan về biến đổi Curvelet, bao gồm lịch sử bắt đầu từ Wavelets, sự liên quan logic của nó đến học thuyết đa hướng đa phân giải giống như Contourlets và Shearlets, lý thuyết cơ bản và thuật toán rời rạc của nó Hơn nữa, ta sẽ xem xét dựa trên các ứng dụng vào xử lý ảnh và video

Các ảnh số có hai ma trận chiều trong xử lý ảnh Một nhiệm vụ quan trọng là điều chỉnh các giá trị của những ma trận để có được các tính năng rõ ràng của hình ảnh Điều chỉnh các giá trị tuân theo một mô hình toán học nhất định Thách thức chính là xây dựng mô hình toán học phù hợp cho các yêu cầu thực tế Chống nhiễu cho ảnh là một ví dụ, nhiều mô hình toán học được dựa trên việc phân vùng tần số

của hình ảnh, nơi mà các phần có tần số cao được loại bỏ như là các nhiễu trong khi các thành phần tần số thấp được giữ lại là các hình ảnh hữu ích Các curvelet, có thể được xem như mô hình hiệu quả mà không chỉ xem xet như là một vùng tần số- thời gian đa tỷ lệ mà còn tạo ra cách sử dụng cho chức năng có hướng

Các khái niệm lý thuyết của curvelet khá dễ hiểu, nhưng làm thế nào để đạt được các thuật toán rời rạc trong những ứng dụng thực tế là một thách thức Sau đây, ta tìm hiểu về sự hình thành của các curvelet từ các wavelet cổ điển Ta đề cập vài cấu trúc wavelet để nâng cao biểu diễn của các hình bao trực giao hướng về sự thu nhận hình ảnh và xử lý hình ảnh Sau đó ta sẽ có cái hình gần hơn về định nghĩa

và các tính chất của biến đổi curvelet liên tục Ta nhận được từ khung curvelet rời rạc và thuật toán nhanh tương ứng cho biến đổi curvelet rời rạc trong khung hai và

ba chiều Trong thực tế, ta biểu diễn cấu trúc của hệ thống curvelet và sự rời rạc hoá của nó gián tiếp qua các ví dụ của “ Các curvelet thế hệ hai ” Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra vài ứng dụng gần đây của biến đổi curvelet trong xử lý ảnh và địa chấn, động học chất lỏng, xử lý số của phương trình cục bộ khác, và giảm thời gian lấy mẫu

Hình 1.8 Các phần tử của các wavelet( bên trái) và các curvelet với các tỷ lệ khác nhau, các hướng và các chuyển dời trong miền không gian ( bên phải )

1.3.1 Mối quan của Curvelet với Wavelet

Có một số sự phát triển khác của các hệ thống wavelet có hướng trong vài năm gần đây với cùng mục tiêu, là phân tích tốt hơn và biểu diễn tối ưu của các hình bao có hướng của tín hiệu trong nhiều chiều hơn Không có phương pháp tiếp cận nào đạt đến sự quảng bá rộng rãi như biến đổi Curvelet Tuy vậy, ta muốn đề

cập ngắn gọn của một vài sự phát triển và miêu tả mối quan hệ giữa chúng với các curvelet

Các wavelet Steerable, các wavelet Gabor, các wedgelet, các beamlet, các bandlet, các contourlet, các shearlet, các atom wave, các platelet, surfacelet, đã được đề xuất độc lập để nhận dạng và khối phục các đường bao hình học Các wavelet hình học này hay các wavelet có hướng đều được gọi là các X-let

Các wavelet steerable và các wavelet Gabor có thể được xem như là các wavelet có hướng đầu tiên Các wavelet steerable được xây dựng dựa trên các toán

tử đạo hàm có hướng ( ví dụ như đạo hàm bậc hai của phép khử Gauss), trong khi các wavelet Gabor được tạo ra bởi một nhân Gabor là sản phẩm của một phép khử Gauss elip và sóng phẳng phức Trong sự so sánh để phân chia các wavelet trực giao, các wavelet steerable cung cấp sự chuyển đổi bất biến và phép xoay bất biến biểu diễn của vị trí và sự định hướng của các cấu trúc ảnh Các ứng dụng của các wavelet Gabor tập trung vào phân chia hình ảnh và phân tích kết cấu Các wavelet Gabor đã được sử dụng để mô hình hoá các dạng trường nhận biết của các đơn tế bào vỏ não Các ứng dụng của các wavelet Gabor đề xuất độ chính xác của độ phân giải đạt được thông qua độ dôi có thể là vấn đề xác đáng hơn trong mô phỏng não

bộ, và định hướng đó tạo dựng vai trò chìa khoá trong vỏ thị giác gốc Sự khác biệt chihs giữa các wavelet steerable/ các wavelet Gabor và các X-let khác là đó là những phương pháp đầu tiên không cho phép cho số lượng các hướng khác nhau tại từng tỷ lệ trong khi đạt gần đến giới hạn lấy mẫu

Các Contourlet, được đề xuất bởi Do và Vetterli, thiếp lập cấu trúc băng lọc rời rạc để có thể phân phối hiệu quả với các hình ảnh phân đoạn mịn với các đường biên mịn Biến đổi rời rạc có thể được kết nối với các cấu trúc dạng cong trong miền liên tục Do đó, biến đổi contourlet có thể được xem như dạng rời rạc của biến đổi curvelet riêng biệt Các cấu trúc Curvelet yêu cầu toán tử quay và đúng với sự phân chia của mặt phẳng tần số 2D dựa trên hệ toạ độ cực Đặc tính này tạo ra đơn Curvelet lý tưởng trong miền liên tục nhưng những gây ra những vấn đề trong việc thực hiện cho các ảnh rời rạc Thực tế, tiếp cận giới hạn lấy mẫu dường như khó

khăn trong những cấu trúc rời rạc hoá của các curvelet Các contourlet dễ dàng để thực hiện việc lấy mẫu giới hạn Tồn tại một phiên bản trực giao contourlet chuyển đổi nhanh hơn thuật toán curvelet rời rại hiện tại Băng lọc có hướng, như thành phần chính của các contourlet, có cấu trúc cây thích hợp, nơi răng cưa được cho phép tồn tại và sẽ bị loại bởi các bộ lọc được thiết kế cẩn thận Như thế, pàn khác biệt giữa các contourlet và các wavelet là biến đổi contourlet được xác định trực tiếp trên các lưới chữ nhật rời rạc số Không may, các hàm contourlet so với các curvelet có hướng hình học/đường bao ít rõ ràng hơn dẫn đến những thành phần giả nhiễu và nén

Các surfacelet là những mở rộng 3D của các contourlet 2D thu được bởi chóp đa tỷ lệ và băng lọc có hướng nhiều chiều hơn Chúng có thể được dùng để bắt hiệu quả và biểu diễn các kỳ dị bề mặt trong dữ liệu thể tích đa chiều liên quan đến hình ảnh y sinh, hình ảnh địa chấn, xử lý video và thị giác nhân tạo Các surfacelet

và các Curvelet nhắm đến cùng sự phân chia tần số, nhưng hai biến đổi đạt được mực tiêu với 2 cách tiếp cận khác nhau mà ta đã miêu tả ở vùng 2D Biến đổi surfacelet có độ dư ít hơn so với biến đổi curvelet, và đặc điểm ưu việt này bị trả giá bởi sự suy giảm của các đường bao có hướng

Không giống như các curvelet, các shearlet hình thành một hệ thống cộng tuyến tính với việc khởi động tham số hàm shearlet mẹ bởi sự co giãn, sự trượt, và tham số chuyển dịch, nơi mà tham số trượt thu được hướng của các kỳ dị Điều này được thể hiện ở các biến đổi curvelet và shearlet có cùng tỷ lệ suy giảm Thực vậy,

sử dụng biến đổi curvelet nhanh đã dựa trên sự chuyển tiếp đến các dãy Cartesian, các thực hiện rời rạc của hai biến đổi rất giống nhau

Biến đổi bandlet được dựa trên các kỹ thuật đáp ứng và có chất lượng tốt cho các hình ảnh với kết cấu vượt xa hơn C2- các kỳ dị, nhưng nó phải trả những giá trị tính toán cao hơn cho sự đáp ứng của nó

1.3.2 Biến đổi curvelet

Xuất phát điểm đầu tiên của curvelet dựa trên các ridgelet block [1] Tuy nhiên một phần từ các hiệu ứng blocking, ứng dụng bị hạn chế, bởi vì hình dạng của các

ridgelet là không rõ ràng khi chúng không phải là các hàm ridge thực sự trong các ảnh số Trong phần này, chúng ta áp dụng phương pháp thứ hai được xem là đơn giản hơn để sử dụng là biến đổi curvelet rời rạc DCuT [2,3]

Cho và là một cặp làm trơn, các hàm cửa sổ giá trị thực không âm, như vậy được xét trên đoạn [ ] và trên * + Các cửa sổ cần thỏa mãn các điều kiện chấp nhận được

∑ ∑

Những điều kiện này được thỏa mãn ví dụ các cửa sổ Meyer có quy mô

, Đối với trường hợp đơn giản các hàm cửa sổ và được vẽ trong Hình 5.1

Hình 1.9 Cửa sổ V(t) (trái) và W(r) (phải)

Cho biến đổi Fourier của được định nghĩa bởi ̂

∫ 〈 〉 Bây giờ với cho cửa sổ trong miền tần số được biểu diễn bởi

| | ( | | ) trong đó | | biểu thị tọa độ cực tương ứng với Giá của là một cực „wedge‟ được xác định bởi supp [ ] và supp ( | |) [ | | | |]

Hình 1.10 Cửa sổ (bên trái) và hình chiếu đứng (bên phải)

Hệ curvelet lúc này được biểu diễn bởi ba tham số; một tham số quy mô

; một chuỗi cách đều các góc quay | | | | , và một tọa độ | | , trong đó biểu thị ma trận quay với góc Curvelet được định nghĩa bởi

( ( )) trong đó ̂ , là biến đổi Fourier của Chúng ta thấy rằng trong miền không gian, là suy giảm nhanh chóng từ bởi hình chữ nhật với tâm và hướng cùng với trục tung theo x Hơn nữa, việc đưa vào các giá trị thực, cửa số thông thấp không âm bởi

̃ [ √

trong đó cửa sổ một chiều thỏa mãn , supp [ ] và với [ ] Như trước đó, có thể được coi là một cửa sổ Meyer

Với cửa sổ Cartesian,

đối xứng và bởi phép quay radian để thu được hầu hết tập hợp Chúng ta tìm thấy đối ứng cartesian của các hệ số trong (3.62) bởi

̃ ∫ ̃̅̅̅̅̅̅̅̅ ∫ ̃ ̅̅̅̅̅̅̅̅ (1.38) Chúng ta thấy rằng trong trường hợp phân kỳ chúng ta có

̃ ̃ Hơn nữa, giả thiết rằng có dạng với , điều đó suy ra

̃ ̃ ( | | )

Do vậy, trong trường hợp N-chu kỳ tập hệ số M có dạng

{( ) } {( ) } (1.39)

Tuy nhiên chu kỳ của hệ curvelet được giải thích ở trên không được xét đến Người ta có thể áp dụng phương pháp sau cho một số ước lượng của ̅ Cố định và tính ̅ với , trong đó { } Một cách tương tự, tính ̅ theo ba góc phần tư khác, nếu ̅ được thay thế bởi ̅ một cách tương ứng

Đối với việc tính toán , người ta có thể nội suy bởi các hàm spine tuyến tính từng mảng mà biến đổi Fourier của chúng đã biết

Trong bước cuối cùng, một FFT không được cách đều có thể được sử dụng Tiếp theo DcuT nghịch có cùng giá tính toán cho một ảnh

1.4 Mục đích đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Năm 2002, biến đổi curvelet thế hệ đầu tiên được ứng dụng lần đầu tiên bởi Starck, Candes và Guo trong việc giảm nhiễu hình ảnh Sau đó, các ứng dụng này được mở rộng nhằm nâng cao độ tương phản hình ảnh và trình diễn hình ảnh vào năm 2003 và tổng hợp hình ảnh vệ tinh năm 2005 Sau khi biến đổi curvelet thế hệ thứ hai được đề xuất vào năm 2004, các ứng dụng của curvelet được ứng dụng nhiều hơn trong nhiều lĩnh vực liên quan đến hình ảnh / trình bày video, giảm nhiễu

và phân loại Ví dụ, Ma đã áp dụng curvelets thế hệ thứ hai để dự toán chuyển động

và theo dõi video của các dòng địa vật lý và tìm đặc điểm bề mặt Ma và Plonka trình bày hai mô hình khác nhau cho giảm nhiễu hình ảnh bằng cách kết hợp các biến đổi curvelet rời rạc với các khuếch tán phi tuyến Trong mô hình đầu tiên, độ

co curvelet được áp dụng cho các dữ liệu gây nhiễu, và kết quả được tiếp tục xử lý bởi một khuếch tán dao động nhằm ngăn chặn các hiện vật không phải Gibbs

Với mục đích tập trung nghiên cứu tính năng của Curvelet trong xử lý ảnh radar đa phân giải nên đề tài luận văn chỉ giới hạn với các vấn đề sau:

 Giới thiệu tổng quan về các lý thuyết viễn thám radar, Wavelet, và Curvelet

 Nghiên cứu giải pháp xử lý ảnh radar đa phân giải bằng Curvelet

 Nghiên cứu xây dựng mô hình thực nghiệm, đánh giá kết quả xử lý

 Thảo luận về một số ứng dụng của phương pháp xử lý ảnh radar đa phân giải

1.5 Phương pháp nghiên cứu đề tài

 Sử dụng công cụ toán học biến đổi các phương trình mô tả quá trình vật lý của đối tượng cần nghiên cứu

 Phân tích các mô hình bộ lọc xử lý ảnh truyền thống và Curvelet