Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)

Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

Chương 1 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA GINCHEV - IVANOV 3

Chương 2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CHO CỰC TIỂU CÔ LẬP

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker (KKT) là công cụ hữuhiệu để giải các bài toán tối ưu phi tuyến Các điều kiện cần cấp 1 cho phép

ta tìm được tập các điểm dừng Các điều kiện tối ưu cấp 2 cho phép loại

bỏ các điểm dừng không là nghiệm và xác định liệu một điểm dừng có lànghiệm hay không I Ginchev và V I Ivanov ([6], 2008) đã thiết lập cácđiều kiện cần tối ưu KKT và Fritz John (FJ) cấp 2 cho bài toán tối ưu có

hàm của chúng không Lipschitz địa phương Các điều kiện đủ nhận đượcvới hàm mục tiêu khả vi và giả lồi cấp 2 V I Ivanov ([10], 2009) tiếp tụcnghiên cứu các điều kiện tối ưu cho cực tiểu cô lập của bài toán đó; các điềukiện đủ được dẫn với các giả thiết về tính lồi suy rộng Điều kiện tối ưu cấp

2 là đề tài thời sự, được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiêncứu Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp

2 Nội dung đề tài

Luận văn trình bày các điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker vàFritz John cấp 2 của Ginchev – Ivanov ([6], 2008) cho bài toán tối ưu vớihữu hạn ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập với các hàm khả vi liêntục, và điều kiện tối ưu cấp 2 cho cực tiểu cô lập của Ivanov ([10], 2009)cho bài toán đó

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mụccác tài liệu tham khảo

CHƯƠNG I ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA GINCHEV - IVANOV

Trình bày các kết quả nghiên cứu của Ginchev - Ivanov ([6], 2008)

về các điều kiện tối ưu Fritz John và KKT cấp 2 cho bài toán tối ưu có ràng

buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập Trong điều kiện cần, hàm mục tiêu vàcác hàm ràng buộc tích cực được giả thiết là khả vi liên tục, nhưng gradientcủa chúng không nhất thiết Lipschitz địa phương Các điều kiện cần dạng

hệ không tương thích và dạng đối ngẫu được trình bày Trong điều kiện đủ,hàm mục tiêu khả vi và giả lồi cấp 2, các hàm ràng buộc khả vi và tựa lồi.Trong các điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập ta giả thiết bài toán

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Đỗ VănLưu, Viện toán học - Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học của mình,thầy đã tận tâm và nhiệt tình chỉ bảo

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệmkhoa Toán - Tin, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, cùng toàn thể cán bộ giảng dạy lớp cao học toán K8B đã nhiệt tìnhgiảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè và đồngnghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập và hoànthành luận văn này

Tác giả Trần Thị Minh Tâm

của chúng không nhất thiết Lipschitz địa phương Các điều kiện cần dạng

hệ bất đẳng thức không tương thích và dạng đối ngẫu được trình bày Trongđiều kiện đủ, hàm mục tiêu được giả thiết khả vi và giả lồi cấp 2, các hàmràng buộc khả vi và tựa lồi Các điều kiện đủ cho cực tiểu parabolic cô lập

1.1 Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu toàn cục

Trong chương này chúng ta trình bày điều kiện tối ưu KKT và FJ cho bàitoán (P) sau:

Hàm f : X → R trong đó X là tập mở, X ⊂ Rn, f khả vi tại điểm x ∈ X ,

t→+0

2

Nhắc lại hàm f : X → R được gọi là tựa lồi tại x ∈ X (theo X) nếu

⇒ f ((1 − t) x + ty) 6 f (x) Nếu tập X là lồi thì hàm f được gọi là tựa lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X

và t ∈ [0, 1] thì ta có

Bổ đề 1.1.1 ([12]) Giả sử X là tập mở trong Rn và f là hàm thực xác định trên X khả vi và tựa lồi tại x ∈ X Khi đó,

Khi đó, f được gọi là giả lồi tại x ∈ X nếu

x∈ X nếu với mỗi y ∈ X,

Trong phần này ta giả sử fi, i = 0, , m là các hàm thực xác định

trên không gian Euclid hữu hạn chiều Rn Xét bài toán (P) Ký hiệu S là tập chấp nhận được

định trên X Giả sử fi, (i ∈ {0} ∪ I( ¯x)) khả vi tại điểm chấp nhận được ¯x và

khả vi theo phương cấp 2 tại ¯ x theo mọi phương tới hạn d ∈ Rn, f0là 2-giả lồi tại x, f¯ i, (i ∈ I( ¯x)) là tựa lồi tại ¯x Với mỗi phương tới hạn d ∈ Rn, tồn tại các nhân tử Lagrange không âm λ1, λ2, , λm với

Chứng minh

Sử dụng giả thiết của định lý suy ra tồn tại nhân tử không âm

thuẫn

Định lý 1.1.4 là một tổng quát hóa kết quả sau đây của Mangasarian[12, định lý 10.1.2], bởi vì lớp các hàm 2-giả lồi chứa lớp các hàm giả lồikhả vi

Định lý 1.1.5 (Xem [12]) Giả sử tập ràng buộc X mở Các hàm

Nếu tồn tại nhân tử Lagrange không âm λ1, λ2, , λm với

trong đó

Ví dụ 1.1.6 Xét bài toán sau:

(

−x2 , x < 0 , với ràng buộc f1= −x 6 0

Trong bài toán này fi ∈ C1, i = 0, 1 Hàm mục tiêu là 2-giả lồi tại ¯x= 0.

Hàm ràng buộc là tuyến tính, cho nên tựa lồi Hàm Lagrange là

phương d ∈ R sao cho d > 0 Dễ kiểm tra rằng

Khi đó, theo Định lý 1.1.4,x¯= 0 là cực tiểu toàn cục Bài toán này không

thể giải được với các điều kiện đủ của Mangasarian [12, định lý 10.1.2], bởi vì f0không giả lồi.

Ví dụ 1.1.7 Xét bài toán sau

Hàm ràng buộc f1 = x là tựa lồi Hàm mục tiêu f0= x3 không là 2-giả lồi

phương tới hạn là {d ∈ R|d 6 0} Điểm dừng duy nhất là ¯x = 0 với nhân

tử Lagrange λ = 0 Ta có L00(0, 0) = 0, nhưng ¯x= 0 không là cực tiểu toàn

cục.

Ta đưa vào các khái niệm sau đây:

Mỗi hàm 2-giả lồi chặt là 2-giả lồi

Định lý 1.1.9 Nếu ta thêm vào giả thiết của Định lý 1.1.4 là f0 2-giả lồi chặt tại x thì¯ x là cực tiểu toàn cục chặt.¯

Chứng minh

Ta có thể chứng minh định lý này tương tự Định lý 1.1.4

Định lý 1.1.10 Giả sử X ⊆ Rnmở, các hàm fi(i = 0, 1, , m) xác định trên

khả vi tại x, khả vi theo phương cấp 2 tại¯ x theo mỗi phương tới hạn d ∈ R¯ n

và 2-giả lồi chặt tại x Nếu với mỗi phương tới hạn d, tồn tại các nhân tử¯

không âm λ0, λ1, , λm với λ = (λ0, λ1, , λm) 6= 0 và

trong đó L = ∑mi=0λifi(x) thì ¯ x là cực tiểu toàn cục chặt của (P).

Chứng minh

lý này tương tự Định lý 1.1.4 Do tính 2-giả lồi chặt ta nhận được

i∈{0}∪I( ¯x)

Do đó, λi5 fi( ¯x) (x − ¯x) = 0 với mọi i ∈ {0} ∪ I( ¯x).

Đây là một mâu thuẫn

1.2 Điều kiện cần tối ưu cho cực tiểu địa phương

Trong phần này ta trình bày điều kiện cần tối ưu cho bài toán (P) với các

Định lý 1.2.1 (Điều kiện cần cấp 2) Giả sử X là tập mở trong Rn, các hàm

các hàm fi(i /∈ I ( ¯x)) liên tục tại ¯x, các hàm fi(i ∈ {0} ∪ I( ¯x)) khả vi liên

tục và các hàm fi(i ∈ I0( ¯x, d)) khả vi theo phương cấp 2 tại ¯x theo phương

tới hạn bất kì d ∈ Rn Khi đó, với mỗi phương tới hạn d ∈ Rn, không tồn tại

z∈ Rn là nghiệm của hệ

Chứng minh

Bởi vì z là một nghiệm của hệ (1.1) với phương d, ta suy ra với mọi

Xét các trường hợp sau:

(4) Nếu 0 /∈ I0( ¯x, d) thì 5 f0( ¯x) d < 0, nghĩa là ϕ00 (0) < 0 Do đó, với

Định lý 1.2.2 (Điều kiện cần cấp hai đối ngẫu) Giả sử tất cả các giả thiết

của Định lý 1.2.1 đúng Khi đó, ứng với phương tới hạn bất kỳ d, tồn tại các nhân tử không âm λ0, λ1, , λm thỏa mãn

có các thành phần của nó là n− fi00( ¯x, d) \ i ∈ I0( ¯x, d)o Với các khái niệmnày, Định lý 1.2.2 khẳng định rằng hệ tuyến tính Az < b không có nghiệm.Điều này tương đương với việc nói rằng bài toán quy hoạch tuyến tính

phần của nó bằng y Như vậy, bài toán quy hoạch đối ngẫu

tối ưu không dương Do đó, hệ

nhân tử không phụ thuộc vào phương

Xét bài toán (P1) sau đây có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức:

Ký hiệu Rm+ là orthant dương của Rm

Định lý 1.2.4 ([11]) Giả sử bài toán (P1) có cực tiểu địa phương tại ¯ x Giả

sử với mỗi λ ∈ Rm+và µ ∈ Rq, L (., λ , µ) có Hessian xấp xỉ ∂∗2L( ¯x, λ , µ) tại

¯

với i =1, 2, , m, µ∗∈ Rq, 5L ( ¯x, λ∗, µ∗) = 0 và

Ví dụ 1.2.5 Xét bài toán

Ở đây f0, f1, f2 là các C1hàm trong một lân cậnx¯= (0, 0) Điểm ¯x= (0, 0)

không là tối ưu Nếu ε > 0 đủ nhỏ tùy ý thì x (ε) = (ε, ε) là chấp nhận được

phương tới hạn d = (u, u), với u > 0.

Bởi vì dT 52f0+ λ152 f1+ λ252 f2
d = −5u2< 0, khi u 6= 0, theo Định

lý 1.2.2, x không là tối ưu.¯

So sánh Định lý 1.2.2 với Định lý 3.2 của Hiriart - Urruty, Strodiot,

không phụ thuộc vào phương Ta đưa vào định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử f ∈ C1,1(Rn) Ma trận Hessian suy rộng của f

hợp sau:

Tập hợp ∂2f( ¯x) quy về52f( ¯x) khi 5 f là khả vi chặt tại ¯x

của C (λ ) Khi đó, ta có định lý sau:

Định lý 1.2.7 ([7]) Giả sử rằng bài toán (P1) với dữ liệu C1,1 có cực tiểu địa phương tại x Nếu điều kiện chính quy cấp 1 đúng tại¯ x thì với mỗi nhân¯

tử (λ , µ) ∈ Rm+× Rq và với mỗi d ∈ T (C (λ ) , ¯x), tồn tại ma trận

1.3 Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2

Trong phần này ta trình bày điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập

Bổ đề 1.3.1 (Khai triển Taylor cấp 2) Giả sử f : X → R là hàm với miền

xác định lồi, mở X Giả sử rằng f là khả vi theo phương cấp 2 trên X Khi

đó, với mọi x, y ∈ X , tồn tại ξ ∈ [x, y) sao cho

trong đó ξ = x + θ (y − x) Vì vậy (1.6) đúng

Bổ đề 1.3.2 (Xem [4, Bổ đề 1]) Giả sử ϕ : Rn → R là hàm C1,1 khả vi theo phương cấp 2; 5ϕ là Lipschitz với hằng số L trên ¯x+ rclB, trong đó

6 L (kuk + kvk) ku − vk,

và |ϕ00( ¯x, u) | 6 2Lkuk2.

Định nghĩa 1.3.3 Điểm chấp nhận được ¯ x được gọi là cực tiểu địa phương

cô lập cấp 2 của bài toán (P) nếu tồn tại lân cận N của x và hằng số C >¯ 0

f000 ξ0,k, dk

Định lý 1.3.5 (Điều kiện đủ cấp 2) Giả sử X ⊆ Rn là tập lồi mở và x là¯

điểm chấp nhận được Giả sử fi(i ∈ {0} ∪ I ( ¯x)) thuộc lớp C1,1(X ) và khả

vi theo phương cấp 2 Nếu với mọi phương tới hạn d ∈ Rn\ {0}, không tồn

tại z ∈ Rnthỏa mãn

Chứng minh

Chứng minh như lý luận trong Định lý 1.2.2 Giả sử d 6= 0 là phương tới

ẩn số z, sẽ không thỏa mãn bất kỳ đẳng thức nào Sử dụng kí hiệu đó, từ sựkhông tương thích của hệ (1.11), ta nhận được hệ tuyến tính Az 6 b không

có nghiệm Do đó, đối ngẫu của bài toán quy hoạch

Định lý 1.3.4

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng Định lý 1.3.4 không đúng với các hàm

Ví dụ 1.3.6 Xét bài toán

max

Tất nhiên, điểm x¯= (0, 0) không là một cực tiểu địa phương cấp 2, bởi vì

x2 = 2x4/31 Thậm chí x không là một cực tiểu địa phương chặt Hàm mục¯

tiêu f0 thuộc lớp C1 R2
, nhưng f0 ∈ C/ 1,1

thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong một lân cận của x¯= (0, 0) Nếu ta lấy

mọi d ∈ Rn\ {0} Khi đó ¯x là một cực tiểu địa phương chặt của hàm f

1.4 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabolic

Ta trình bày các điều kiện cần mà sử dụng biến phân của giá trị hàm mụctiêu và hàm ràng buộc

Định nghĩa 1.4.1 Điểm chấp nhận được ¯ x được gọi là một điểm cực tiểu

địa phương parabolic (gọi tắt là pl-cực tiểu) của bài toán (P) nếu với mọi

miễn làx¯+ td + 0, 5t2z là một điểm chấp nhận được.

Rõ ràng là mỗi điểm cực tiểu địa phương là một điểm pl- cực tiểu Ví dụ đơn giản dưới đây chỉ ra rằng điều ngược lại không đúng.

Điểmx¯= (0, 0) là pl- cực tiểu nhưng không là cực tiểu địa phương.

Định nghĩa 1.4.3 Điểm chấp nhận được ¯ x được gọi là cực tiểu địa phương

parabolic cô lập cấp 2 của bài toán (P), nếu với mọi d, z ∈ Rn tồn tại các

số thực dương A = A (d, z) và ε = ε (d, z) sao cho

miễn làx¯+ td + 0, 5t2z là điểm chấp nhận được.

Trong điều kiện đủ sau đây, ta giả sử rằng các ràng buộc là khả viliên tục, nhưng không nhất thiết có gradient Lipschitz địa phương

Định lý 1.4.4 Giả sử X là tập mở và ¯ x là điểm chấp nhận được Giả sử

mọi phương d Nếu với mọi phương chấp nhận được d ∈ Rn, không ∃z ∈ Rnsao cho (d, z) 6= ( 0, 0) và

Rõ ràng là (d, z) 6= (0, 0) Ta chứng minh d là một phương tới hạn Theo

I0( ¯x, d) 6= /0 theo lý luận của Định lý 1.3.5 Giả sử i ∈ I0( ¯x, d) cố định bất

cho

fi x¯+ tkd+ 0, 5tk2z
= fi( ¯x+ tkd) + 5 fix¯+ tkd+ 0, 5tk2θikz



0, 5tk2z

với giả thiết là hệ (1.12) không có nghiệm

Định lý 1.4.5 Giả sử X là tập mở và ¯ x là điểm chấp nhận được Giả sử

rằng fi(i ∈ {0} ∪ I ( ¯x)) thuộc lớp C1(X ) và khả vi theo phương cấp 2 tại

¯

- (1.9) và điều kiện sau thỏa mãn:

Chứng minh

Sử dụng các ký hiệu trong chứng minh Định lý 1.2.2, từ giả thiết của định

lý ta suy ra hệ sau đây có một nghiệm

1.2.2, ta suy ra hệ Az 6 b không có nghiệm Như vậy kết luận cần chứngminh là hệ quả của Định lý 1.4.4

và dạng đối ngẫu, có và không có điều kiện chính quy cấp 2 được trình bày.Trong các điều kiện cần, các hàm được giả thiết là khả vi liên tục và khả vitheo phương cấp 2 Các điều kiện đủ tối ưu được trình bày với các giả thiết

về tính lồi suy rộng

2.1 Các khái niệm và định nghĩa

Trong chương này ta trình bày các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho bàitoán (P) sau:

Định nghĩa 2.1.1 Đạo hàm theo phương cấp 2 dưới f−00(x, u) của f tại

được gọi là khả vi theo phương cấp 2 trên X nếu đạo hàm f00(x, u) tồn tại

với mỗi x ∈ X và phương bất kỳ u ∈ Rn.

Định nghĩa 2.1.3 Cho một hàm khả vi f : X → R Ánh xạ gradient

δ > 0 sao cho:

Định nghĩa 2.1.4 Giả sử X là tập lồi Một hàm f : X → R được gọi là tựa

lồi trên X nếu

Định nghĩa sau đây về tính tựa lồi cho hàm khả vi được sử dụng cho cácđiều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục:

Định nghĩa 2.1.5 Giả sử f khả vi tại ¯x∈ X Khi đó f được gọi là tựa lồi

Một hàm khả vi f được gọi là tựa lồi trên X nếu suy luận (2.1) đúng với

đương

Khái niệm sau đây về hàm giả lồi mạnh được đưa vào bởi Diewert,Avriel, Zang [8]:

Định nghĩa 2.1.6 Cho X là tập con lồi mở của Rn Hàm f : X → R được gọi

là giả lồi mạnh nếu với mọi x ∈ X và v ∈ Rnsao cho kvk = 1 và 5 f (x) v = 0,

tồn tại các số dương ε và β sao cho x ± εv ∈ X và

5 f ( ¯x) v = 0, tồn tại các số dương ε và β sao cho ¯x ± εv ∈ X và

Định nghĩa 2.1.7 Hàm khả vi f xác định trên tập lồi mở X ⊆ Rn được gọi

là giả lồi chặt trên X nếu suy luận sau đây đúng: với mọi x ∈ X , y ∈ X phân biệt,

Một hàm f được gọi là giả lồi chặt tạix¯∈ X trên tập mở X nếu

Mọi hàm giả lồi mạnh là giả lồi chặt [8, mệnh đề 2.1].

Định nghĩa 2.1.8 Hàm f xác định trên tập lồi X được gọi là lồi mạnh trên

X nếu tồn tại κ > 0 sao cho

với mọi x ∈ X , y ∈ X và t ∈ [ 0, 1].

Định nghĩa 2.1.9 Xét hàm f : X → R khả vi tại x ∈ X và khả vi theo phương

cấp 2 tại x ∈ X theo mọi phương y − x sao cho

Hàm f là giả lõm cấp 2 tại x ∈ X nếu với mọi y ∈ X các suy luận sau đúng:

Định nghĩa 2.1.10 Điểm chấp nhận được ¯ x được gọi là cực tiểu địa phương

cô lập cấp 2 của bài toán (P) nếu tồn tại lân cận N của x và hằng số C >¯ 0

sao cho

Tên khác được sử dụng cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 là: cực tiểu

cục cô lập cấp 2 của bài toán (P) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho (2.2)

đúng với mọi x ∈ S.

Các định lý sau đây được cho trong Ginchev, Ivanov [6]

Định lý 2.1.11 (Điều kiện đủ cấp 2) Giả sử X ⊆ Rn là tập lồi mở và x là¯

điểm chấp nhận được Giả sử fi(i ∈ {0} ∪ I ( ¯x)) thuộc lớp C1,1(X ) và khả

vi theo phương cấp 2 Nếu với mọi phương tới hạn d ∈ Rn\ {0}, không tồn

tại z ∈ Rnthỏa mãn

Định lý 2.1.12 (Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2) Giả sử X là tập lồi mở và

¯

theo phương cấp 2 Nếu với mọi phương tới hạn d 6= 0 tồn tại các nhân tử

Lagrange λi > 0, i = 0, 1, 2, , m với λ = (λ0, λ1, , λm) 6= 0 sao cho

2.2 Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2

Trong phần này ta trình bày các điều kiện cần cho cực tiểu địa phương côlập cấp 2

Định lý 2.2.1 (Điều kiện cần cấp 2) Giả sử ¯ x là cực tiểu địa phương cô

lập cấp 2 của bài toán (P); Các hàm fi(i /∈ I ( ¯x)) liên tục tại ¯x, các hàm

phương cấp 2 tại x theo phương tới hạn d bất kỳ d ∈ R¯ n Khi đó, với mọi phương tới hạn d ∈ Rn\ {0}, không tồn tại z ∈ Rn thỏa mãn hệ

c? ? lập c? ??p toán (P) tồn lân c? ??n N x số C >¯

sao cho

Tên kh? ?c sử dụng cho c? ? ?c tiểu địa phương c? ? lập c? ??p là: c? ? ?c tiểu

c? ? ?c cô... λm) 6= cho

2.2 Điều kiện c? ??n cho c? ? ?c tiểu địa phương c? ? lập c? ??p 2

Trong phần ta trình bày điều kiện c? ??n cho c? ? ?c tiểu địa phương c? ?lập c? ??p

Định... trình bày.Trong điều kiện c? ??n, hàm giả thiết khả vi liên t? ?c khả vitheo phương c? ??p C? ?c điều kiện đủ tối ưu trình bày với giả thiết

về tính lồi suy rộng

2.1 C? ?c khái niệm định