Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng (LV thạc sĩ)

Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏngPhương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN NGỌC HÀ

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TRƯỢT CỦA TẤM

TRONG MÔI TRƯỜNG CHẤT LỎNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN NGỌC HÀ

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TRƯỢT CỦA TẤM

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS

Vũ Vinh Quang, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này

Em cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2014 -2016, những người đã đem tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho chúng em nhiều kiến thức cơ sở

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết những người luôn động viên chia sẻ, giúp em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Tác giả

Trần Ngọc Hà

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iv

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Không gian các hàm và phương trình song điều hòa 3

1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 3

1.1.2 Không gian Sobolev 4

1.1.3 Phương trình song điều hòa và lý thuyết nghiệm yếu 5

1.2 Lý thuyết về các sơ đồ lặp 7

1.2.1 Sơ đồ lặp hai lớp 7

1.2.2 Định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp 8

1.3 Lý thuyết về sai phân 9

1.3.1 Công thức Taylor 9

1.3.2 Các phương pháp sai phân và đạo hàm 10

1.3.3 Giới thiệu thư viện RC2009 13

Chương 2 MÔ HÌNH BÀI TOÁN CƠ HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ 22

2.1 Mô hình bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng 22

2.1.1 Mô hình thực tế 22

2.1.2 Phương trình toán học và hệ điều kiện biên 23

2.2 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ 28

2.2.1 Xây dựng sơ đồ lặp xác định  31 4

2.2.2 Xây dựng sơ đồ lặp xác định  32 3

Chương 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SỐ 34

3.1 Kết quả kiểm tra trong trường hợp biết trước nghiệm đúng 34

3.2 Kết quả xác định nghiệm của bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng 37

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

PHỤ LỤC 41

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: Kết quả so sánh giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ 34

Bảng 3.2: Kết quả so sánh giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ 36

Bảng 3.3: Kết quả so sánh giữa hai bước lặp liên tiếp 37

MỞ ĐẦU

Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục như các bài toán nghiên cứu về truyền nhiệt, các bài toán về lý thuyết dao động qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai hoặc cấp bốn (phương trình song điều hòa) Trong trường hợp khi môi trường là thuần nhất và điều kiện biên bình thường thì việc tìm nghiệm của bài toán có thể được thực hiện thông qua các phương pháp giải tích như các phương pháp tách biến, phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ như các phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên khi điều kiện biên của bài toán là dạng đặc biệt (hỗn hợp giữa hàm và đạo hàm, thiếu điều kiện trên biên hay hỗn hợp mạnh tức là trên một đoạn biên trơn tồn tại 2 loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) và dạng đạo hàm (Neumann) thì các phương pháp kể trên không thể thực hiện được Để giải quyết các bài toán này, người ta thường nghiên cứu theo hướng sau đây: Sử dụng lý thuyết các toán tử biên để xây dựng các sơ đồ lặp xác định các giá trị thiếu trên biên, kết hợp với phương pháp phân rã phương trình cấp 4 về hai phương trình cấp hai Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để giải quyết các bài toán con qua đó xây dựng nghiệm của bài toán gốc ban đầu Trong trường hợp khi biên là kì dị thì một phương pháp thường áp dụng là phương pháp chia miền

Trong các bài toán cơ học điển hình thì bài toán nghiên cứu tấm trượt đàn hồi trong môi trường chất lỏng là một bài toán đã được các tác giả Nikolai V Priezjev, Anton A Darhuber and Sandra M Troian đưa ra năm

2005 Đây chính là một bài toán được mô tả của phương trình song điều hòa với dạng điều kiện biên hết sức phức tạp Tính chất nghiệm của bài toán cũng như ý nghĩa thực tế đã được các tác giả đề cập tuy nhiên vấn đề nghiên cứu phương pháp xác định nghiệm của bài toán chưa được đề cập đến

Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về mô hình toán học của bài toán mô tả chuyển động trượt của tấm đàn hồi trong môi trường chất lỏng không nén được, nghiên cứu cơ sở của phương pháp toán tử biên miền để xây dựng các sơ đồ lặp xác định giá trị trên biên của bài toán song điều hòa đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp phân

rã chuyển bài toán đang xét về các bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc, đánh giá kết quả thực nghiệm Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính điện tử

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nội dung chính của chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm, phương trình song điều hòa, lý thuyết về sơ đồ lặp 2 lớp, lý thuyết về sai phân và đặc biệt là các kết quả xây dựng thư viện giải số bài toán biên elliptic cấp hai trên miền chữ nhật Đây là các kiến thức và công cụ quan trọng sẽ sử dụng để nghiên cứu và thực hiện tính toán trong các chương tiếp sau của luận văn Các kết quả này đã được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 4]

1.1 Không gian các hàm và phương trình song điều hòa

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số

:( , ) ( , ),

điểm trên X

1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính, ta đưa vào ánh

xạ kí hiệu là chuẩn X : X   thỏa mãn các điều kiện

Khi đó cặp ( , )X , trong đó X là một không gian tuyến tính, là một chuẩn trên X, gọi là một không gian định chuẩn (hay còn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn)

Cho ( , )X là một không gian định chuẩn Xét hàm số

: X X

xác định bởi ( , )x y  x y , với x y, X Dễ chứng minh được với định nghĩa như trên thì  là một metric trên X , gọi là metric sinh bởi chuẩn Như vậy, không gian định chuẩn là một không gian metric

1.1.2 Không gian Sobolev

1.1.2.1 Định nghĩa Không gian W1,p 

Định nghĩa 1.3 Giả sử p là một số thực, 1  , p  là một miền trong n Không gian Sobolev W1,p  được định nghĩa như sau:

Trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng

Với p  , ta kí hiệu 2 W1,2  H1  , nghĩa là:

1.1.2.3 Không gian Sobolev với chỉ số âm H 1  và H12 

Định nghĩa 1.5 Ta kí hiệu H1  là một không gian Banach được xác định bởi:

0

H   H  với chuẩn:

     

   

 

1 1 0 1

,

,

F u 

  là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu

1.1.3 Phương trình song điều hòa và lý thuyết nghiệm yếu

1.1.3.1 Phương trình song điều hòa

Phương trình tổng quát được xét có dạng:

trong đó   m, là biên Lipshitz, f  L2( ), ,   0 1 là một số dạng toán

tử điều kiện biên đảm bảo điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất, g g là các 0, 1hàm số cho trước Phương trình (1.1) được gọi là phương trình song điều hòa tổng quát Tùy thuộc vào các hệ số c, d, xét hai dạng bài toán cơ bản:

Bài toán biên thứ nhất

Bài toán biên thứ hai

Định nghĩa 1.6 Giả sử u H1  ,f  L2  ,u được gọi là nghiệm yếu của phương trình (1.4) nếu (1.6) được thỏa mãn

Mệnh đề Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.4) và

k  , bản chất của những phương pháp này là giá trị y k1 có thể được tính thông qua các giá trị lặp trước: y y k, k1, Phương pháp lặp được gọi là

phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ y k1 có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị trước đó Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:

1 1

, 0,1,2,

k

y k

Trong trường hợp  k  là hằng số thì lược đồ lặp (1.9) còn gọi là 

lược đồ lặp đơn giản

Nếu B k  E thì lược đồ lặp (1.7) được gọi là lược đồ ẩn

1.2.2 Định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp

Lược đồ lặp (1.8) với toán tử B k  B, tham số  k1  không đổi 

k  0,1,2,  còn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng:

B   A hay  ,  1  A , , 

2

Bx x   x x   x H (1.11)

là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.10) trong không gian H với A

tốc độ hội tụ cấp số nhân Ta có đánh giá

trong đó:

 

1 2

0 2

 là phần tử đối xứng của toán tử B

Nhận xét Với B k  B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá trị  để lược đồ lặp hội tụ Trong trường hợp B E, điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn:

1.3 Lý thuyết về sai phân

Phương pháp lưới hay còn gọi là phương pháp sai phân được áp dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung chính của nó là đưa bài toán vi phân đang xét về giải hệ phương trình sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của hàm số tại các thời điểm khác nhau) bằng các phương pháp đại số

1.3.1 Công thức Taylor

Giả sử u x y , là một hàm số xác định và có các đạo hàm riêng theo các biến đến cấp m  trong một khoảng 1  R2 chứa các điểm ( , )x y và (x h y, k), trong đó h k là các đại lượng đủ nhỏ có thể dương hay âm ,

Khi đó tương tự như hàm 1 biến số, chúng ta có công thức khai triển Taylor như sau:

cấp m thì kết quả tính toán sẽ đảm bảo sai số xấp xỉ một đại lượng vô cùng bé

là (o h m) Sau đây luận văn sẽ đưa ra một số kết quả khi xậy dựng các phương pháp sai phân dựa trên công thức Taylo

1.3.2 Các phương pháp sai phân và đạo hàm

1.3.2.1 Lưới sai phân

N  và M 1, đặt h ba/N gọi là bước lưới theo x ,

 /

k  d c M gọi là bước lưới theo y

Đặt xi   a ih y , j   c jk i ,  0 , N j  0 M Mỗi điểm ( , ) x yi j gọi

là một nút lưới ký hiệu là nút  i j, Tập tất cả các nút trong ký hiệu là  hkNút ở trên biên  gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là  , tập hk

=

    gọi là một lưới sai phân trên 

1.3.2.2 Hàm lưới:

Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của hàm lưới u x y , tại nút lưới  i j, viết tắt là ui j, Mỗi hàm u i j , xác định tại mọi ( , )x y   tạo ra hàm lưới u xác định bởi ui j,

1.3.2.3 Bài toán sai phân:

Sử dụng công thức Taylo trong trường hợp 2 biến số, chúng ta thu được các công thức tính gần đúng các giá trị đạo hàm tại các nút lưới ( , )i j như sau

Số hạng o h( 2 k2) là một vô cùng bé bậc hai Ta nói toán tử  xấp kh

xỉ toán tử , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân:

Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới u tại các nút ( , )i j

thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.15) với các điều kiện biên (1.16) Như

vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân với độ chính xác cấp hai

được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.15) với điều kiện (1.16) bằng các

phương pháp đại số

Nhận xét:

Hệ phương trình sai phân (1.15) với điều kiện biên (1.16) hoặc các hệ

điều kiện biên dạng Neumann tương ứng trong miền chữ nhật [ , ] [ , ]a b  c d

thông qua các phép biến đổi sơ cấp sẽ được biểu diễn dưới dạng các hệ

phương trình vectơ 3 điểm dạng

Nhận xét:

+ Để giải được bài toán (1.17) hoặc (1.18) bằng phương pháp số, điều quan trọng nhất là ta phải xác định được thuật toán nhanh giải các hệ phương trình vector ba điểm (1.17), (1.18) là các hệ phương trình đại số tuyến tính

+ Có nhiều phương pháp khác nhau để giải được các hệ trên Tuy nhiên

do tính chất đặc biệt của hệ, phương pháp thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij - Nicolaev đề xuất [5, 7] với độ phức tạp tính toán O MN logN

sẽ được sử dụng để xây dựng thư viện số

1.3.3 Giới thiệu thư viện RC2009

Để giải bài toán biên elliptic (1.13) các tác giả đã sử dụng phương pháp sai phân xây dựng lược đồ sai phân cho các bài toán biên, chuyển bài toán vi phân (1.13) về các bài toán sai phân tương ứng với các hệ phương trình vector

ba điểm Sau đó áp dụng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán giải các

hệ phương trình đại số Các kết quả đã được công bố trong công trình [2]

a Bài toán biên Dirichlet

u u

Từ phương pháp sai phân với độ chính xác  2 2

O h h chuyển bài toán

vi phân (1.13) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm

Trong đó Yj là các vector nghiệm, Fj là các vector cấp M 1 , C là

ma trận hệ số cấp M  1 M 1 được xác định như sau:

, , , , 0,, , , , , , ,

2 2 2 2, 2

2 2

2, 2

2 2

2

j j

M j

M j M j

h

rg k

h k F

h k h

rb k

Trên cơ sở thuật toán thứ nhất [7] tiến hành cài đặt giải hệ phương trình trên với ngôn ngữ lựa chọn là Matlab Thiết kế các hàm 0000( , 1, 2, 3, 4,11,12, 1, 2, , , , )

RC phi b b b b k k c N M n thực hiện thuật toán thu gọn, trong đó phi là hàm vế phải b b b b lần lượt là các vector giá trị 1, 2, 3, 4điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các biên trái, phải, dưới, trên của miền chữ nhật

Hàm v0000(phi b b b b, 1, 2, 3, 4,11,12, 1, 2, , , , , 1, 2, 1, 2)k k c M N n p p q q

trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.19) bắt đầu từ tọa độ p q1, 1 đến

p q2, 2

b Bài toán biên Neamann

Xét bài toán biên hỗn hợp

 nếu điều kiện biên là Neumann)

Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng

Neumann

Từ phương pháp sai phân với độ chính xác  2 2

O h h chuyển bài toán

vi phân (1.13) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm

trong đó Yj là các vector nghiệm, Fj là các vector cấp M 1 , C là ma trận

hệ số cấp M  1 M 1 được xác định như sau:

2 2 2

2

2 2

2 2 2

M N

M N

h

h b rb N k

h

h b k

F

h

h b M k

1, 1 2

2 2 2, 2

2 2

2, 2

2 2

1, 2 2

h k F

h k h

rb j k

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.13) từ tọa độ p q1, 1 đến p q2, 2

Trong trường hợp khi điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại là dạng Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩn RC0001   xây dựng các hàm v0100 , 1000   v   trả lại nghiệm bằng số của các bài toán tương ứng

Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình

Trong đó Yj là vector nghiệm, Fj là vector cấp  M C, là ma trận hệ

số cấp    M  M được xác định như sau:

2 2 2

2, 2 4 2

2 2

1, 2 4 2

2 2

h b k

F

h

h b M k

1, 1 2

2 2 2, 2

2 2

1, 2

2 2 , 1 2 2

h k F

h k h

rh b j k

1,2, , 1

j  N  Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết vector F , tiến hành cài đặt giải hệ phương trình vector ba điểm ở trên bằng 0

cách thiết kế hàm RC0002(phi b b b b, 1, 2, 3, 4,11,12, 1, 2, , , , )k k c N M n thực hiện thuật toán thu gọn, hàm

0101( , 1, 2, 3, 4,11,12, 1, 2, , , , , 1, 2, 1, 2)

v phi b b b b k k c M N n p p q q trả lại

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán Trong trường hợp khi điệu kiện biên trên hai cạnh khác nhau là dạng Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩn RC0002   xây dựng các hàm

Trường hợp 4: Điều kiện biên trên tất cả các cạnh của hình chữ nhật

là Neumann

Với độ chính xác  2 2

O h h chuyển bài toán vi phân (1.13) về bài

toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm: