Tài liệu hướng dẫn sinh viện tự học an toàn thông tin

Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin việc ứng dụng các công nghệ mạng máy tính trở nên vô cùng phổ cập và cần thiết. Công nghệ mạng máy tính đã mang lại những lợi ích to lớn. Sự xuất hiện mạng Internet cho phép mọi người có thể truy cập, chia sẽ và khai thác thông tin một cách dễ dàng và hiệu quả. Các công nghệ Email cho phép mọi người có thể gửi thư cho người khác cũng như nhận thư ngay trên máy tính của mình. Gần đây có công nghệ Ebusiness cho phép thực hiện các hoạt động thương mại trên mạng máy tính. Việc ứng dụng các mạng cục bộ trong các tổ chức, công ty hay trong một quốc gia là rất phong phú. Các hệ thống chuyển tiền của các ngân hàng hàng ngày có thể chuyển hàng tỷ đôla qua hệ thống của mình. Các thông tin về kinh tế, chính trị, khoa học xã hội được trao đổi rông rãi.

CHƯƠNG 1: AN TOÀN DỮ LIỆU TRÊN MẠNG MÁY TÍNH 1

CHƯƠNG 2 : CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN 3

2.1 Lý thuyết số 3

2.1.1 Khái niệm đồng dư Modulo 3

2.1.2 Định lý về đồng dư thức 3

2.1.3 Khái niệm phần tử nghịch đảo 3

2.1.4Thuật toán Euclide 3

2.1.5Phần tử nguyên thủy và logarith rời rạc 4

2.1.6Thặng dư bậc hai và ký hiệu Legendre 4

2.1.7Một số thuật toán kiểm tra tính nguyên tố 5

2.2 Lý thuyết về độ phức tạp tính toán 5

2.2.4Độ phức tạp tính toán 5

2.2.5Các lớp phức tạp 6

2.3 Hàm một phía và hàm cửa sập một phía 7

CHƯƠNG 3 : GIỚI THIỆU VỀ MÃ HÓA 8

3.1 Các thuật ngữ 8

3.2 Định nghĩa hệ mật mã 8

3.3 Những yêu cầu đối với hệ mật mã 8

3.4 Các phương pháp mã hoá 9

3.4.1Mã hoá đối xứng khoá bí mật 9

3.4.1.1 Nơi ứng dụng 9

3.4.1.2 Các vấn đề đối với phương pháp mã hoá này 10

3.4.2Mã hoá phi đối xứng khoá công khai 10

3.4.2.1 Nơi ứng dụng 11

3.4.2.2 Điều kiện hệ mã hóa khóa công khai 11

3.5 Các hệ mã hóa đơn giản 11

3.5.1Mã dịch vòng 12

3.5.2Mã thay thế 14

3.5.3Mã Apphin 15

3.5.4Mã Vigenère 16

3.5.5Mã HILL 17

3.5.6Mã hoán vị 19

CHƯƠNG 4 : HỆ MÃ HÓA DES 21

4.1 Mô tả DES 21

4.1.1Thuật toán DES 21

4.1.2Mô tả hàm f 22

4.1.3Mô tả chi tiết các hàm trong DES 23

4.1.4Tính toán bảng khóa từ khóa K 24

4.2 Ví dụ 27

4.3 Tranh luận về DES 30

4.4 DES trong thực tế 31

4.5 Ứng dụng của DES 33

5.1 Bài toán Logarit rời rạc (DL) 35

5.2 Các thuật toán cho bài toán Logarit rời rạc 35

5.3 Hệ mật RSA 37

5.3.1Định nghĩa hệ mật RSA 38

5.3.2Ðộ an toàn của hệ RSA 39

5.3.3Một số tính chất của hệ RSA 40

5.3.4Ứng dụng của RSA 40

5.4 Hệ mật Elgamal 40

CHƯƠNG 6 : CHỮ KÝ ĐIỆN TỬ 42

6.1 Định nghĩa 42

6.2 Hàm băm 43

6.3 Phân loại các sơ đồ chữ ký điện tử 44

6.3.1Sơ đồ chữ ký kèm thông điệp 45

6.3.2Sơ đồ chữ ký khôi phục thông điệp 46

6.4 Sơ đồ chữ ký RSA 47

6.5 Sơ đồ chữ kí ELGAMAL 48

6.5.1Định nghĩa 49

6.5.2Độ an toàn của chữ ký Elgamal 49

6.6 Chuẩn chữ ký số DSS (Digital Signature Standard) 52

6.6.1Giới thiệu 52

6.6.2Các giải thuật cơ bản của DSS 52

6.6.3Tính chất của chữ ký của DSS 54

6.6.4Lựa chọn sơ đồ ký khả thi 55

6.7 Tấn công chữ ký điện tử 56

6.8 Kết luận 56

CHƯƠNG 7 : ỨNG DỤNG CỦA AN TOÀN THÔNG TIN VÀ CÁC CHỦ ĐỀ THẢO LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

PHỤ LỤC: MÃ NGUỒN 61

7.1 Mã hóa dịch chuyển 61

7.2 Mã hóa thay thế 64

7.3 Mã hóa RSA 68

7.4 Chữ ký số Elgamal 74

CHƯƠNG 1

AN TOÀN DỮ LIỆU TRÊN MẠNG MÁY TÍNH

Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin việc ứng dụng các công nghệ mạng máy tính trở nên vô cùng phổ cập và cần thiết Công nghệ mạng máy tính đã mang lại những lợi ích to lớn

Sự xuất hiện mạng Internet cho phép mọi người có thể truy cập, chia sẽ và khai thác thông tin một cách dễ dàng và hiệu quả Các công nghệ E-mail cho phép mọi người có thể gửi thư cho người khác cũng như nhận thư ngay trên máy tính của mình Gần đây có công nghệ E-business cho phép thực hiện các hoạt động thương mại trên mạng máy tính Việc ứng dụng các mạng cục bộ trong các tổ chức, công ty hay trong một quốc gia

là rất phong phú Các hệ thống chuyển tiền của các ngân hàng hàng ngày có thể chuyển hàng tỷ đôla qua hệ thống của mình Các thông tin về kinh tế, chính trị, khoa học xã hội được trao đổi rông rãi

Tuy nhiên lại nảy sinh vấn đề về an toàn thông tin Đó cùng là một quá trình tiến triển hợp logic: khi những vui thích ban đầu về một siêu xa lộ thông tin, bạn nhất định nhận thấy rằng không chỉ cho phép bạn truy nhập vào nhiều nơi trên thế giới, Internet còn cho phép nhiều người không mời mà tự ý ghé thăm máy tính của bạn

Thực vậy, Internet có những kỹ thuật tuyệt vời cho phép mọi người truy nhập, khai thác, chia sẻ thông tin Những nó cũng là nguy cơ chính dẫn đến thông tin của bạn bị hư hỏng hoặc phá huỷ hoàn toàn

Có những thông tin vô cùng quan trọng mà việc bị mất hay bị làm sai lệch có thể ảnh hưởng đến các tổ chức, các công ty hay cả một quốc gia Các thông tin về an ninh quốc gia, bí mật kinh doanh hay các thông tin tài chính là mục tiêu của các tổ chức tình báo nước ngoài về chính trị hay công nghiệp hoặc kẻ cắp nói chung Bọn chúng có thể làm mọi việc có thể để có được những thông tin quý giá này Thử tưởng tượng nếu có

kẻ xâm nhập được vào hệ thống chuyển tiền của các ngân hàng thì ngân hàng đó sẽ chịu những thiệt hại to lớn như mất tiền có thể dẫn tới bị phá sản Chưa kể nếu hệ thông thông tin an ninh quốc gia bị đe doạ thì hậu quả không thể lường trước được

Theo số liệu của CERT(Computer Emegency Response Team - “Đội cấp cứu máy

tính”), số lượng các vụ tấn công trên Internet được thông báo cho tổ chức này là ít hơn

200 vào năm 1989, khoảng 400 vào năm 1991, 1400 vào năm 1993, và 2241 vào năm

1994 Những vụ tấn công này nhằm vào tất cả các máy tính có mặt trên Internet, các máy tính của tất cả các công ty lớn như AT&T, IBM, các trường đại học, các cơ quan nhà nước, các tổ chức quân sự, nhà băng Một số vụ tấn công có quy mô khổng lồ (có tới 100.000 máy tính bị tấn công) Hơn nữa, những con số này chỉ là phần nổi của tảng băng Một phần rất lớn các vụ tấn công không được thông báo, vì nhiều lý do, trong đó có thể kể đến nỗi lo bị mất uy tín, hoặc đơn giản những người quản trị hệ thống không hề hay biết những cuộc tấn công nhằm vào hệ thống của họ

Không chỉ số lượng các cuộc tấn công tăng lên nhanh chóng, mà các phương pháp tấn công cũng liên tục được hoàn thiện Điều đó một phần do các nhân viên quản trị hệ thống được kết nối với Internet ngày càng đề cao cảnh giác Cũng theo CERT, những cuộc tấn công thời kỳ 1988-1989 chủ yếu đoán tên người sử dụng-mật khẩu (UserID-password) hoặc sử dụng một số lỗi của các chương trình và hệ điều hành (security hole) làm vô hiệu hệ thống bảo vệ, tuy nhiên các cuộc tấn công vào thời gian gần đây bao gồm cả các thao tác như giả mạo địa chỉ IP, theo dõi thông tin truyền qua mạng, chiếm các phiên làm việc từ xa (telnet hoặc rlogin)

Để vừa bảo đảm tính bảo mật của thông tin lại không làm giảm sự phát triển của

việc trao đổi thông tin quảng bá trên toàn cầu thì một giải pháp tốt nhất là mã hoá thông

tin Có thể hiểu sơ lược mã hoá thông tin là che đi thông tin của mình làm cho kẻ tấn công nếu chặn được thông báo trên đường truyền thì cũng không thể đọc được và phải

có một giao thức giữa người gửi và người nhận để có thể trao đổi thông tin, đó là các cơ chế mã và giải mã thông tin

Ngày nay thì việc mã hoá đã trở nên phổ cập Các công ty phần mềm lớn trên thế giới đều có nghiên cứu và xây dựng các công cụ, thuật toán mã hoá để áp dụng cho thực

tế Mỗi quốc gia hay tổ chức đều có những cơ chế mã hoá riêng để bảo vệ hệ thống thông tin của mình

Một số vấn đề an toàn đối với nhiều mạng hiện nay:

 Một người dùng chuyển một thông báo điện tử cho một người sử dụng khác Một bên thứ ba trên cùng mạng LAN này sử dụng một thiết bị nghe trộm gói để lấy thông báo và đọc các thông tin trong đó

 Cũng trong tình huống trên bên thứ ba chặn thông báo, thay đổi các thành phần của nó và sau đó lại gửi cho người nhận Người nhận không hề nghi ngờ gì trừ khi nhận ra thông báo đó là vô lý, và có thể thực hiện vài hành động dựa trên các thành phần sai này đem lại lợi ích cho bên thứ ba

 Người dùng log vào một server mà không sử dụng mật khẩu được mã hoá Một người khác đang nge trộm trên đường truyền và bắt được mật khẩu logon của người dùng, sau đó có thể truy nhập thông tin trên server như người sử dụng

 Một người quản trị hệ thống không hiểu về khía cạnh an toàn và yêu cầu của hệ thống và vô tình cho phép người dùng khác truy nhập vào thư mục chứa các thông tin hệ thống Người dùng phát hiện ra họ có thể có được các thông tin hệ thống và có thể dùng nó phục vụ cho loựi ích của mình

CHƯƠNG 2 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN

Trong phần này sẽ trình bày về một số cơ sở toán học của mã hóa, điều này sẽ giúp

ta nắm được một cách chi tiết hơn về các phương pháp mã hóa

2.1 Lý thuyết số

2.1.1 Khái niệm đồng dư Modulo

Định nghĩa 1: Giả sử a và b là các số nguyên và m là một số nguyên dương Khi

đó ta viết a  b(mod m) nếu m chia hết cho b-a Mệnh để a  b(mod m) được gọi

là “a đồng dư với b theo mođun m”

Giả sử chia a và b cho m và ta thu được thương nguyên và phần dư, các phần dư nằm giữa 0 và m-1, nghĩa là a = q1m + r1 và b = q2m + r2 trong đó 0  r1  m-1 và 0  r2

 m-1 Khi đó có thể dễ dàng thấy rằng a  b(mod m) khi và chỉ khi r1 = r2

Ta sẽ dùng ký hiệu a mod m để xác định phần dư khi a được chia cho m (chính là giá trị r1 ở trên) Như vậy: ab(mod m) khi và chỉ khi (a mod m) = (b mod m) Nếu thay

a bằng a mod m thì ta nói rằng a được rút gọn theo modulo m

Nhận xét: Nhiều ngôn ngữ lập trình của máy tính xác định a mod m là phần dư

trong dải -m+1,…,m-1 có cùng dấu với a Ví dụ -18 mod 7 sẽ là –4, giá trị này khác với giá trị 3 là giá trị được xác định theo công thức trên Tuy nhiên, để thuận tiện ta sẽ xác định a mod m luôn là một số không âm

Bây giờ ta có thể định nghĩa số học mođun m: Zm được coi là tập hợp {0,1,…,m-1}

có trang bị hai phép toán cộng và nhân Việc cộng và nhân trong Zm được thực hiện giống như cộng và nhân các số thực ngoại trừ một điểm là các kết quả được rút gọn theo mođun m

2.1.3 Khái niệm phần tử nghịch đảo

Định nghĩa 2: Giả sử a  Z m Phần tử nghịch đảo (theo phép nhân) của a là phần

tử a -1 Z m sao cho aa -1 a -1 a  1 (mod m)

Bằng các lý luận tương tự như trên, có thể chứng tỏ rằng a có nghịch đảo theo mođun m khi và chỉ khi UCLN(a,m) = 1, và nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó phải là duy nhất Ta cũng thấy rằng, nếu b = a-1 thì a = b-1 Nếu m là số nguyên tố thì mọi phần

tử khác không của Zm đều có nghịch đảo

2.1.4 Thuật toán Euclide

Cho hai số tự nhiên a,n Ký hiệu (a,n) là ước số chung lớn nhất của a,n; (n) là số các số nguyên dương  n và nguyên tố với n Giả sử n  a Thuật toán Euclide tìm UCLN (a,n) được thực hiện bằng một dãy các phép chia liên tiếp sau đây:

Đặt r0 = n, r1 = a,

ta dễ chứng minh bằng qui nạp rằng: rj  tjr1 (mod r0)

Do đó, nếu (n,a) = 1, thì tm = a-1 mod n

2.1.5 Phần tử nguyên thủy và logarith rời rạc

Cho số n nguyên dương Ta biết rằng tập các thặng dư thu gọn theo mođun n (tức là tập các số nguyên dương  n và nguyên tố với n) lập thành một nhóm với phép nhân mod n, ta ký hiệu là Zn* Nhóm đó có cấp (số phần tử) là (n) Một phẩn tử g  Zn* có cấp m, nếu m là số nguyên dương bé nhất sao cho gm = 1 trong Zn*

Theo một định lý đại số, ta có m (n) (ký hiệu m là ước số của (n)) vì vậy với mọi

b  Zn* ta luôn có: b(n)  1 (mod n)

Nếu p là số nguyên tố, thì do (p) = p-1, nên ta có với mọi b nguyên tố với p

bp-1  1 (mod p) (1) Nếu b có cấp p-1, thì p-1 là số mũ bé nhất sao cho có công thức (1), do đó các phần

tử b, b2,…, bp-1 đều khác nhau, và lập thành Zp* Nói cách khác, b là một phẩn tử sinh, hay như thường gọi là phần tử nguyên thủy của Zp* ; và khi đó Zp* là một nhóm cyclic Trong lý thuyết số, người ta đã chứng minh đươc các định lý sau đây:

 Với mọi số nguyên tố p, Zp* là nhóm cyclic, và số các phần tử nguyên thủy của

Zp* bằng (p-1)

 Nếu g là phần tử nguyên thủy theo mođun p, thì  = gi

, với mọi i mà (i,p-1) = 1, cũng là phần tử nguyên thủy theo mođun p

2.1.6 Thặng dƣ bậc hai và ký hiệu Legendre

Cho p là một số nguyên tố lẻ, và x là một số nguyên dương  p-1 x được gọi là một thặng dư bậc hai theo mođun p, nếu phương trình: y2  x (mod p) có lời giải

Ta có tiêu chuẩn Euler sau đây: x là thặng dư bậc hai theo mođun p, nếu và chỉ nếu

x(p-1)/2  1 (mod p)

Tiêu chuẩn đó được chứng minh như sau: Giả sử có x y2 (mod p) Khi đó có:

x(p-1)/2  (y2)(p-1)/2  yp-1  1 (mod p) ; Ngược lại, giả sử rằng x(p-1)/2  1 (mod p) Lấy b là một phần tử nguyên thủy (mod

p), ta có x  bi (mod p) với số i nào đó

Ta có:

x(p-1)/2  (bi)(p-1)/2 (mod p)

 bi(p-1)/2 (mod p)

Vì b có cấp p-1, do đó p-1 phải là ước số của i(p-1)/2, suy ra i phải là số chẵn, và

căn bậc hai của x là bi/2

Giả sử p là số nguyên tố lẻ Với mọi a 0, ta định nghĩa ký hiệu Legendre như sau:

Ta có tính chất quan trọng sau đây: nếu p là số nguyên tố lẻ thì với mọi số nguyên

a0, ta có:

 a(p-1)/2 (mod p)

2.1.7 Một số thuật toán kiểm tra tính nguyên tố

Ta phát biểu một số tính chất sau đây, chúng là cơ sở cho việc phát triển một số

thuật toán xác suất thử tính nguyên tố của các số nguyên

a  a(n-1)/2 (mod n)}  (n-1)/2

Solovay_Strassen (cải tiến bởi Lehmann):

Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi 1  a  n-1:

Lý thuyết thuật toán và các hàm tính ra đời từ những năm 30 đã đặt nền móng cho

các nghiên cứu về các vấn đề “tính được”, “giải được”, và đã thu được nhiều kết quả rất

quan trọng Nhưng từ cài “tính được” một cách trừu tượng, tiềm năng đến việc tính

được trong thực tế của khoa học tính toán bằng máy tính điện tử là một khoảng cách rất lớn Lý thuyết về độ phức tạp tính toán được nghiên cứu bắt đầu từ những năm 60 đã bù đắp cho khoảng trống đó, cho ta nhiều tri thức cơ bản, đồng thời có nhiều ứng dụng thực tế rất phong phú

Độ phức tạp (về không gian hay thời gian) của một quá trình tính toán là số ô nhớ hay số các phép toán được thực hiện trong quá trình tính toán đó

Độ phức tạp tính toán của một thuật toán được hiểu là một hàm số f, sao cho với mỗi n, f(n) là là số ô nhớ hay số các phép toán tối đa mà thuật toán thực hiện quá trình tính toán của mình trên các dữ liệu vào có độ lớn n

Độ phức tạp tính toán của một bài toán (của một hàm) được định nghĩa là độ phức tạp của một thuật toán tốt nhất có thể tìm được để giải bài toán (hay tính hàm) đó

Một bài toán được cho bởi:

 Một tập các dữ liệu vào Y

 Một câu hỏi dạng R(I)? với I  Y, lời giải bài toán là đúng hay không

Ví dụ:

 Bài toán đồng dư bậc hai

o Dữ liệu: Các số nguyên dương a,b,c

o Câu hỏi: Có hay không số x  c sao cho x2  a mod b ?

 Bài toán hợp số

o Dữ liệu: Số nguyên dương N

o Câu hỏi: Có hay không hai số m,n  1 sao cho N = mn ?

Nhiều bài toán được chứng tỏ là thuộc lớp NP, nhưng chưa ai chứng minh được là chúng thuộc lớp P hay không Và một vấn đề cho đến nay vẫn còn mở, chưa có lời giải là: NP = P ?

Một cách trực giác, lớp NP bao gồm các bài toán khó hơn phức tạp hơn các bài toán thuộc lớp P, nhưng điều có vẻ hiển nhiên trực giác đó vẫn chưa được chứng minh hay bác bỏ

Giả sử NP  P, thì trong NP có một lớp con các bài toán được gọi là NP_đầy đủ , đó

là những bài toán mà bản thân thuộc lớp NP, và mọi bài toán bất kỳ thuộc lớp NP đều

có thể qui dẫn về bài toán đó bằng một hàm tính được trong thời gian đa thức

Cho đến nay, người ta đã chứng minh được hàng trăm bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau là NP_đầy đủ Bài toán đồng dư bậc hai kể trên là NP_đầy đủ, bài toán hợp

số không là NP_đầy đủ, nhưng chưa tìm được một thuật toán làm việc trong thời gian

đa thức giải nó

2.3 Hàm một phía và hàm cửa sập một phía

Hàm f(x) được gọi là hàm một phía, nếu tính y = f(x) là dễ, nhưng việc tính ngược x=f-1(y) là rất khó Có thể hiểu “dễ” là tính được trong thời gian đa thức (với đa thức bậc thấp), và “khó” là không tính được trong thời gian đa thức

Ví dụ: Hàm f(x) = gx (mod p) (p là số nguyên tố, g là phần tử nguyên thủy theo mođun p) là hàm một phía Vì biết x tính f(x) là khá đơn giản, nhưng biết f(x) để tính x thì với các thuật toán đã biết hiện nay đòi hỏi một khối lượng tính toán cỡ

O(exp(lnp lnlnp) 112 ) phép tính (nếu p là số nguyên tố cỡ 200 chữ số thập phân, thì

khối lượng tính toán trên đòi hỏi một máy tính 1 tỷ phép tính/giây làm việc không nghỉ trong khoảng 3000 năm)

Hàm f(x) được gọi là hàm cửa sập một phía, nếu tính y = f(x) là dễ, tính x = f-1(y) là rất khó, nhưng có cửa sập z để tính x = fz-1(y) là dễ

Ví dụ: Cho n = pq là tích của hai số nguyên tố lớn, a là số nguyên, hàm

f(x)=xa(mod n) là hàm cửa sập một phía, nếu chỉ biết n và a thì tính x = f-1(y) là rất khó, nhưng nếu biết cửa sập, chẳng hạn hai thừa số của n, thì sẽ tính được f-1(y)

khá dễ

Trên đây là hai thí dụ điển hình, và cũng là hai trường hợp được sử dụng rộng rãi về hàm một phía và hàm cửa sập một phía Vì đây là những điểm then chốt của lý thuyết mật mã khóa công khai, nên việc tìm kiếm các loại hàm một phía và cửa sập một phía được nghiên cứu rất khẩn trương, và đến nay tuy có đạt được một số kết quả, nhưng việc tìm kiếm vẫn tiếp tục, đầy hứng thú nhưng cũng đầy khó khăn

CHƯƠNG 3 GIỚI THIỆU VỀ MÃ HÓA

Giải mã là quá trình chuyển ngược lại thông tin được mã hoá thành bản rõ

Thuật toán mã hoá là các thủ tục tính toán sử dụng để che dấu và làm rõ thông tin

Thuật toán càng phức tạp thì bản mã càng an toàn

Một khoá là một giá trị làm cho thuật toán mã hoá chạy theo cách riêng biệt và sinh

ra bản rõ riêng biệt tuỳ theo khoá Khoá càng lớn thì bản mã kết quả càng an toàn Kích thước của khoá được đo bằng bit Phạm vi các giá trị có thể có của khoá được gọi là

không gian khoá

Phân tích mã là quá trình hay nghệ thuật phân tích hệ mật mã hoặc kiểm tra tính

toàn vẹn của nó hoặc phá nó vì những lý do bí mật

Một kẻ tấn công là một người (hay hệ thống) thực hiện phân tích mã để làm hại hệ

thống Những kẻ tấn công là những kẻ thọc mũi vào chuyện người khác, các tay hacker, những kẻ nghe trộm hay những các tên đáng ngờ khác, và họ làm những việc thường gọi là cracking

3.2 Định nghĩa hệ mật mã

Hệ mật mã: là một hệ bao gồm 5 thành phần (P, C, K, E, D) thoả mãn các tính chất sau

P ( Plaintext ) là tập hợp hữu hạn các bản rõ có thể

C ( Ciphertext ) là tập hợp hữu hạn các bản mã có thể

K ( Key ) là tập hợp các bản khoá có thể

E ( Encrytion ) là tập hợp các qui tắc mã hoá có thể

D ( Decrytion ) là tập hợp các qui tắc giải mã có thể

Chúng ta đã biết một thông báo thường được tổ chức dưới dạng bản rõ Người gửi

sẽ làm nhiệm vụ mã hoá bản rõ, kết quả thu được gọi là bản mã Bản mã này được gửi

đi trên một đường truyền tới người nhận sau khi nhận được bản mã người nhận giải mã

nó để tìm hiểu nội dung

Dễ dàng thấy được công việc trên khi sử dụng định nghĩa hệ mật mã :

E K ( P) = C và D K ( C ) = P 3.3 Những yêu cầu đối với hệ mật mã

Cung cấp một mức cao về độ tin cậy, tính toàn vẹn, sự không từ chối và sự xác thực

 Độ tin cậy: cung cấp sự bí mật cho các thông báo và dữ liệu được lưu bằng việc che dấu thông tin sử dụng các kỹ thuật mã hóa

 Tính toàn vẹn: cung cấp sự bảo đảm với tất cả các bên rằng thông báo còn lại không thay đổi từ khi tạo ra cho đến khi người nhận mở nó

 Tính không từ chối: có thể cung cấp một cách xác nhận rằng tài liệu đã đến từ

ai đó ngay cả khi họ cố gắng từ chối nó

 Tính xác thực: cung cấp hai dịch vụ: đầu tiên là nhận dạng nguồn gốc của một thông báo và cung cấp một vài sự bảo đảm rằng nó là đúng sự thực Thứ hai là kiểm tra đặc tính của người đang logon một hệ thống và sau đó tiếp tục kiểm tra đặc tính của họ trong trường hợp ai đó cố gắng đột nhiên kết nối và giả dạng là người sử dụng

3.4 Các phương pháp mã hoá

3.4.1 Mã hoá đối xứng khoá bí mật

Định nghĩa: Thuật toán đối xứng hay còn gọi thuật toán mã hoá cổ điển là thuật

toán mà tại đó khoá mã hoá có thể tính toán ra được từ khoá giải mã Trong rất nhiều trường hợp, khoá mã hoá và khoá giải mã là giống nhau Thuật toán này còn có nhiều tên gọi khác như thuật toán khoá bí mật, thuật toán khoá đơn giản, thuật toán một khoá Thuật toán này yêu cầu người gửi và người nhận phải thoả thuận một khoá trước khi thông báo được gửi đi, và khoá này phải được cất giữ bí mật Độ an toàn của thuật toán này vẫn phụ thuộc và khoá, nếu để lộ ra khoá này nghĩa là bất kỳ người nào cũng

có thể mã hoá và giải mã thông báo trong hệ thống mã hoá

Sự mã hoá và giải mã của thuật toán đối xứng biểu thị bởi :

3.4.1.2 Các vấn đề đối với phương pháp mã hoá này

Các phương mã hoá cổ điển đòi hỏi người mã hoá và người giải mã phải cùng chung một khoá Khi đó khoá phải được giữ bí mật tuyệt đối, do vậy ta dễ dàng xác định một khoá nếu biết khoá kia

Hệ mã hoá đối xứng không bảo vệ được sự an toàn nếu có xác suất cao khoá người gửi bị lộ Trong hệ khoá phải được gửi đi trên kênh an toàn nếu kẻ địch tấn công trên kênh này có thể phát hiện ra khoá

Vấn đề quản lý và phân phối khoá là khó khăn và phức tạp khi sử dụng hệ mã hoá

cổ điển Người gửi và người nhận luôn luôn thông nhất với nhau về vấn đề khoá Việc thay đổi khoá là rất khó và dễ bị lộ

Khuynh hướng cung cấp khoá dài mà nó phải được thay đổi thường xuyên cho mọi người trong khi vẫn duy trì cả tính an toàn lẫn hiệu quả chi phí sẽ cản trở rất nhiều tới việc phát triển hệ mật mã cổ điển

3.4.2 Mã hoá phi đối xứng khoá công khai

Định nghĩa: Vào những năm 1970 Diffie và Hellman đã phát minh ra một hệ mã

hoá mới được gọi là hệ mã hoá công khai hay hệ mã hoá phi đối xứng

Thuật toán mã hoá công khai là khác biệt so với thuật toán đối xứng Chúng được

thiết kế sao cho khoá sử dụng vào việc mã hoá là khác so với khoá giải mã Hơn nữa

khoá giải mã không thể tính toán được từ khoá mã hoá Chúng được gọi với tên hệ thống mã hoá công khai bởi vì khoá để mã hoá có thể công khai, một người bất kỳ có thể sử dụng khoá công khai để mã hoá thông báo, nhưng chỉ một vài người có đúng khoá giải mã thì mới có khả năng giải mã

Trong nhiều hệ thống, khoá mã hoá gọi là khoá công khai (public key), khoá giải mã thường được gọi là khoá riêng (private key)

3.4.2.1 Nơi ứng dụng

Sử dụng chủ yếu trên các mạng công khai như Internet khi mà khoá chuyển tương đối khó khăn

3.4.2.2 Điều kiện hệ mã hóa khóa công khai

Diffie và Hellman đã xác đinh rõ các điều kiện của một hệ mã hoá công khai như sau:

1 Việc tính toán ra cặp khoá công khai KB và bí mật kB dựa trên cơ sở các điều kiện ban đầu phải được thực hiện một cách dễ dàng, nghĩa là thực hiện trong thời gian đa thức

2 Người gửi A có được khoá công khai của người nhận B và có bản tin P cần gửi

đi thì có thể dễ dàng tạo ra được bản mã C

C = EKB (P) = EB (P)

Công việc này cũng trong thời gian đa thức

3 Người nhận B khi nhận được bản tin mã hóa C với khoá bí mật kB thì có thể giải

mã bản tin trong thời gian đa thức

P = DkB (C) = DB[EB(M)]

4 Nếu kẻ địch biết khoá công khai KB cố gắng tính toán khoá bí mật thì khi đó chúng phải đương đầu với trường hợp nan giải, trường hợp này đòi hỏi nhiều yêu cầu không khả thi về thời gian

5 Nếu kẻ địch biết được cặp (KB,C) và cố gắng tính toán ra bản rõ P thì giải quyết bài toán khó với số phép thử là vô cùng lớn, do đó không khả thi

3.5 Các hệ mã hóa đơn giản

Đối tượng cơ bản của mật mã là tạo ra khả năng liên lạc trên một kênh không mật cho hai người sử dụng (tạm gọi là Alice và Bob) sao cho đối phương (Oscar) không thể hiểu được thông tin được truyền đi Kênh này có thể là một đường dây điện thoại hoặc một mạng máy tính Thông tin mà Alice muốn gửi cho Bob (bản rõ) có thể là một văn bản tiếng Anh, các dữ liệu bằng số hoặc bất cứ tài liệu nào có cấu trúc tuỳ ý Alice sẽ

mã hoá bản rõ bằng một kháo đã được xacs định trước và gửi bản mã kết quả trên kênh Oscar có bản mã thu trộm được trên kênh song không thể xác định nội dung của bản rõ, nhưng Bob (người đã biết khoá mã) có thể giải mã và thu được bản rõ

Ta sẽ mô tả hình thức hoá nội dung bằng cách dung khái niệm toán học như sau:

Định nghĩa:

Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D) thoả mãn các điều kiện sau:

P là một tập hữu hạn các bản rõ có thể

C là một tập hữu hạn các bản mã có thể

K (không gian khoá) là tập hữu hạn các khoá có thể

Đối với mỗi k K có một quy tắc mã ek: P  C và một quy tắcv giải mã tương ứng

dk  D Mỗi ek: P  C và dk: C  P là những hàm mà:

d k (e k (x)) = x với mọi bản rõ x P

Trong tính chất 4 là tính chất chủ yếu ở đây Nội dung của nó là nếu một bản rõ x

được mã hoá bằng e k và bản mã nhận được sau đó được giải mã bằng d k thì ta phải thu được bản rõ ban đầu x Alice và Bob sẽ áp dụng thủ tục sau dùng hệ mật khoá riêng

Trước tiên họ chọn một khoá ngẫu nhiên K  K Điều này được thực hiện khi họ ở cùng một chỗ và không bị Oscar theo dõi hoặc khi họ có một kênh mật trong trường hợp họ ở xa nhau Sau đó giả sử Alice muốn gửi một thông baó cho Bob trên một kênh không mật và ta xem thông báo này là một chuỗi:

x = x1,x2 , .,xn với số nguyên n  1 nào đó Ở đây mỗi ký hiệu của mỗi bản rõ xi  P , 1  i  n Mỗi

xi sẽ được mã hoá bằng quy tắc mã ek với khoá K xác định trước đó Bởi vậy Alice sẽ tính yi = ek(xi), 1  i  n và chuỗi bản mã nhận được:

y = y1,y2 , .,yn

sẽ được gửi trên kênh Khi Bob nhận đươc y1,y2 , .,yn anh ta sẽ giải mã bằng hàm giải mã dk và thu được bản rõ gốc x1,x2 , .,xn Hình dưới là một ví dụ về một kênh liên lạc

Hình 3.3 Kênh liên lạc

Rõ ràng là trong trường hợp này hàm mã hoá phải là hàm đơn ánh ( tức là ánh xạ 1), nếu không việc giải mã sẽ không thực hiện được một cách tường minh Ví dụ

1-y = ek(x1) = ek(x2) trong đó x1  x2 , thì Bob sẽ không có cách nào để biết liệu sẽ phải giải mã thành x1 hay x2 Chú ý rằng nếu P = C thì mỗi hàm mã hoá là một phép hoán vị, tức là nếu tập các bản mã và tập các bản rõ là đồng nhất thì mỗi một hàm mã sẽ là một sự sắp xếp lại (hay hoán vị ) các phần tử của tập này

Do các ví dụ của chúng ta xét trên tập dữ liệu là bảng chữ cái nên chúng ta coi bảng chữ cãi tiếng anh là tập hợp gồm 26 giá trị như bảng bên dưới

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)

Giả sử P = C = K = Z26 với 0  k  25 , định nghĩa:

eK(x) = x +K mod 26

và dK(x) = y -K mod 26 (x,y  Z26)

Nhận xét: Trong trường hợp K = 3, hệ mật thường được gọi là mã Caesar đã từng

được Julius Caesar sử dụng

Ta sẽ sử dụng MDV (với modulo 26) để mã hoá một văn bản tiếng Anh thông thường bằng cách thiết lập sự tương ứnggiữa các kí tự và các thặng dư theo modulo 26 như sau: A  0,B  1, , Z  25

Ví dụ 1:

Giả sử khoá cho MDV là K = 11 và bản rõ là: wewillmeetatmidnight

Trước tiên biến đổi bản rõ thành dãy các số nguyên nhờ dùng phép tương ứng trên

Nhận xét: Trong ví dụ trên , ta đã dùng các chữ in hoa cho bản mã, các chữ thường cho bản rõ để tiện phân biệt Quy tắc này còn tiếp tục sử dụng sau này

Nếu một hệ mật có thể sử dụng được trong thực tế thì nó phảo thoả mãn một số tính chất nhất định Ngay sau đây sẽ nêu ra hai trong số đó:

1 Mỗi hàm mã hoá eK và mỗi hàm giải mã dK phải có khả năng tính toán được một cách hiệu quả

2 Đối phương dựa trên xâu bản mã phải không có khả năng xác định khoá K đã dùng hoặc không có khả năng xác định được xâu bản rõ x

Tính chất thứ hai xác định (theo cách khá mập mờ) ý tưởng ý tưởng "bảo mật" Quá trình thử tính khoá K (khi đã biết bản mã y) được gọi là mã thám (sau này khái niệm này sẽ đực làm chính xác hơn) Cần chú ý rằng, nếu Oscar có thể xác định được K thì anh ta có thể giải mã được y như Bob bằng cách dùng dK Bởi vậy, việc xác định K chí

ít cũng khó như việc xác định bản rõ x

Nhận xét: MDV (theo modulo 26) là không an toàn vì nó có thể bị thám theo

phương pháp vét cạn Do chỉ có 26 khoá nên dễ dàng thử mọi khoá dK có thể cho tới khi nhận được bản rõ có nghĩa Điều này được minh hoạ theo ví dụ sau:

Ví du 2: Cho bản mã

JBCRCLQRWCRVNBJENBWRWN

ta sẽ thử liên tiếp các khoá giải mã d0 ,d1 và y thu được:

Tới đây ta đã xác định được bản rõ và dừng lại Khoá tương ứng K = 9

Trung bình có thể tính được bản rõ sau khi thử 26/2 = 13 quy tắc giải mã Như đã chỉ ra trong ví dụ trên , điều kiện để một hệ mật an toàn là phép tìm khoá vét cạn phải không thể thực hiện được; tức không gian khoá phải rất lớn Tuy nhiên, một không gian khoá lớn vẫn chưa đủ đảm bảo độ mật

3.5.2 Mã thay thế

Một hệ mật nổi tiếng khác là hệ mã thay thế Hệ mật này đã được sử dụng hàng trăm

năm Trò chơi đố chữ "cryptogram" trong các bài báo là những ví dụ về MTT Trên

thực tế MTT có thể lấy cả P và C đều là bộ chữ cái tiếng anh, gồm 26 chữ cái Ta dùng

Z26 trong MDV vì các phép mã và giải mã đều là các phép toán đại số Tuy nhiên, trong MTT, thích hợp hơn là xem phép mã và giải mã như các hoán vị của các kí tự

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)

Cho P =C = Z26 K chứa mọi hoán vị có thể của 26 kí hiệu 0,1, ,25

Với mỗi phép hoán vị  K , ta định nghĩa:

e(x) = (x)

và d(y) = -1(y) trong đó -1 là hoán vị ngược của 

Sau đây là một ví dụ về phép hoán vị ngẫu nhiên  tạo nên một hàm mã hoá (cũng như trước, các kí hiệu của bản rõ được viết bằng chữ thường còn các kí hiệu của bản mã

Bởi vậy d(A) = d, d(B) = 1,

Bài tập: giải mã bản mã sau bằng cách dùng hàm giải mã đơn giản:

M G Z V Y Z L G H C M H J M Y X S S E M N H A H Y C D L M H A

Mỗĩ khoá của MTT là một phép hoán vị của 26 kí tự Số các hoán vị này là 26!, lớn hơn 4 1026 là một số rất lớn Bởi vậy, phép tìm khoá vét cạn không thể thực hiện được, thậm chí bằng máy tính Tuy nhiên, sau này sẽ thấy rằng MTT có thể dễ dàng bị thám bằng các phương pháp khác

3.5.3 Mã Apphin

MDV là một trường hợp đặc biệt của MTT chỉ gồm 26 trong số 26! các hoán vị có thể của 26 phần tử Một trường hợp đặc biệt khác của MTT là mã Affine được mô tả dưới đây trong mã Affine, ta giới hạn chỉ xét các hàm mã có dạng:

e(x) = ax + b mod 26, a,b  Z26 Các hàm này được gọi là các hàm Affine (chú ý rằng khi a = 1, ta có MDV)

Để việc giải mã có thể thực hiện được, yêu cầu cần thiết là hàm Affine phải là đơn ánh Nói cách khác, với bất kỳ y  Z26, ta muốn có đồng nhất thức sau:

ax + b  y (mod 26) phải có nghiệm x duy nhất Đồng dư thức này tương đương với:

ax  y-b (mod 26)

Vì y thay đổi trên Z26 nên y-b cũng thay đổi trên Z26 Bởi vậy, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình đồng dư:

ax  y (mod 26) (y Z26 )

Ta biết rằng, phương trình này có một nghiệm duy nhất đối với mỗi y khi và chỉ khi

UCLN(a,26) = 1 (ở đây hàm UCLN là ước chung lớn nhất của các biến của nó) Trước

tiên ta giả sử rằng, UCLN(a,26) = d 1 Khi đó, đồng dư thức ax  0 (mod 26) sẽ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong Z26 là x = 0 và x = 26/d Trong trường hợp này, e(x) =

ax + b mod 26 không phải là một hàm đơn ánh và bởi vậy nó không thể là hàm mã hoá hợp lệ

Giải thích theo một cách khác như sau:

Phép lập mã được cho bởi một hàm apphin dạng:

e(x) = ax + b mod 26

Để có được phép giải mã tương ứng, tức là để cho phương trình sau có nghiệm:

ax + b = c mod 26

có lời giải đối với x (với bất kỳ c cho trước), theo một định lý số học, điều kiện cần và

đủ là a nguyên tố với 26, tức là UCLN(a,26) = 1 Khi UCLN(a,26)=1 thì có:

a-1 Z26 sao cho a.a-1=a-1.a=1 mod 26

và do đó nếu y=ax+b mod 26 thì x=a-1(y-b) mod 26 và ngược lại

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)

Cho P = C = Z26 và giả sử P = { (a,b)  Z26  Z26 : UCLN(a,26) =1 }

Với K = (a,b) K , ta định nghĩa:

eK(x) = ax +b mod 26

và dK(y) = a-1(y-b) mod 26, x,y  Z26

Ví dụ: Giả sử K = (7,3) Như đã nêu ở trên, 7-1 mod 26 = 15

Hàm mã hoá là

eK(x) = 7x+3

Và hàm giải mã tương ứng là:

dK(x) = 15(y-3) = 15y -19

Ở đây, tất cả các phép toán đều thực hiện trên Z26

Ta sẽ kiểm tra liệu dK(eK(x)) = x với mọi x Z26 không?

Dùng các tính toán trên Z26 , ta có

dK(eK(x)) =dK(7x+3) =15(7x+3)-19 = x +45 - 19 = x

Để minh hoạ, ta hãy mã hoá bản rõ "hot" Trước tiên biến đổi các chữ h, o, t thành

các thặng du theo modulo 26 Ta được các số tương ứng là 7, 14 và 19

Bây giờ sẽ mã hoá:

7x7 +3 mod 26 = 52 mod 26 = 0

7 x14 + 3 mod 26 = 101 mod 26 =23

7 x19 +3 mod 26 = 136 mod 26 = 6

Bởi vậy 3 ký hiệu của bản mã là 0, 23 và 6 tương ứng với xâu ký tự AXG Việc giải

mã sẽ do bạn thực hiện như một bài tập

3.5.4 Mã Vigenère

Trong cả hai hệ MDV và MTT (một khi khoá đã được chọn) mỗi ký tự sẽ được ánh

xạ vào một ký tự duy nhất Vì lý do đó, các hệ mật còn được gọi hệ thay thế đơn biểu Bây giờ ta sẽ trình bày ( trong hùnh 1.5) một hệ mật không phải là bộ chữ đơn, đó là hệ

mã Vigenère nổi tiếng Mật mã này lấy tên của Blaise de Vigenère sống vào thế kỷ XVI

Sử dụng phép tương ứng A  0, B  1, , Z  25 mô tả ở trên, ta có thể gắn cho mỗi khoa K với một chuỗi kí tự có độ dài m được gọi là từ khoá Mật mã Vigenère

sẽ mã hoá đồng thời m kí tự: Mỗi phần tử của bản rõ tương đương với m ký tự

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)

Cho m là một số nguyên dương cố định nào đó

Định nghĩa P = C = K = (Z26)m Với khoá K = (k1, k2, ,km) ta xác định :

eK(x1, x2, ,xm) = (x1+k1, x2+k2, , xm+km)

và

dK(y1, y2, ,ym) = (y1-k1, y2-k2, , ym-km) trong đó tất cả các phép toán được thực hiện trong Z26

Ví dụ: Giả sử m =6 và từ khoá là CIPHER

Từ khoá này tương ứng với dãy số K=(2,8,15,4,17)

Giả sử bản rõ là xâu: thiscryptosystemisnotsecure

Ta sẽ biến đổi các phần tử của bản rõ thành các thặng dư theo modulo 26, viết chúng thành các nhóm 6 rồi cộng với từ khoá theo modulo 26 như sau:

Bởi vậy, dãy ký tự tương ứng của xâu bản mã sẽ là:

 107

Lượng khoá này đã đủ lớn để ngăn ngừa việc tìm khoá bằng tay( chứ không phải dùng máy tính)

Trong hệ mật Vigenère có từ khoá độ dài m,mỗi ký tự có thể được ánh xạ vào trong

m ký tự có thể có (giả sử rằng từ khoá chứa m ký tự phân biệt) Một hệ mật như vậy được gọi là hệ mật thay thế đa biểu (polyalphabetic) Nói chung, việc thám mã hệ thay thế đa biểu sẽ khó khăn hơn so việc thám mã hệ đơn biểu

3.5.5 Mã HILL

Trong phần này sẽ mô tả một hệ mật thay thế đa biểu khác được gọi là mật mã Hill

Mật mã này do Lester S.Hill đưa ra năm 1929 Giả sử m là một số nguyên dương, đặt P

= C = (Z26)m Ý tưởng ở đây là lấy m tổ hợp tuyến tính của m ký tự trong một phần tử của bản rõ để tạo ra m ký tự ở một phần tử của bản mã

Ví dụ nếu m = 2 ta có thể viết một phần tử của bản rõ là x = (x1,x2) và một phần tử của bản mã là y = (y1,y2) Ở đây, y1cũng như y2 đều là một tổ hợp tuyến tính của x1và

x2 Chẳng hạn, có thể lấy

y1 = 11x1+ 3x2

y2 = 8x1+ 7x2 Tất nhiên có thể viết gọn hơn theo ký hiệu ma trận như sau

11 8( y ) ( )

Nếu một phần tử ở hàng i và cột j của K là ki,,j thì có thể viết K = (ki,,j), với x = (x1,

Như vậy Bob đã nhận được bản đúng

Cho tới lúc này ta đã chỉ ra rằng có thể thực hiện phép giải mã nếu K có một nghịch đảo Trên thực tế, để phép giải mã là có thể thực hiện được, điều kiện cần là K phải có nghịch đảo ( Điều này dễ dàng rút ra từ đại số tuyến tính sơ cấp, tuy nhiên sẽ không chứng minh ở đây) Bởi vậy, chúng ta chỉ quan tâm tới các ma trận K khả nghich Tính khả nghịch của một ma trận vuông phụ thuộc vào giá trị định thức của nó Để tránh sự tổng quát hoá không cần thiết, ta chỉ giới hạn trong trường hợp 22

Định nghĩa : Định thức của ma trận A = (a,i j ) cấp 2 2 là giá trị

det A = a 1,1 a 2,2 - a 1,2 a 2,1

Một ma trận thức K là có nghịch đảo khi và chỉ khi định thức của nó khác 0 Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhớ là ta đang làm việc trên Z26 Kết quả tương ứng là ma trận K có nghịch đảo theo modulo 26 khi và chỉ khi UCLN(det K,26) = 1

Định lý: Giả sử A = (ai j) là một ma trận cấp 2  2 trên Z26 sao cho:

det A = a1,1a2,2 - a1,2 a2,1 có nghịch đảo Khi đó 1 1 2,2 1,2

 =(11.7-8.3) mod 26 = 77 - 24 mod 26 = 53 mod 26 =1

Vì 1-1 mod 26 = 1 nên ma trận nghịch đảo là

1563 Định nghĩa hình thức cho MHV được nêu ra bên dưới

Không giống như MTT, ở đây không có các phép toán đại số nào cần thực hiện khi

mã hoá và giải mã nên thích hợp hơn cả là dùng các ký tự mà không dùng các thặng dư theo modulo 26 Dưới đây là một ví dụ minh hoạ

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)

Cho m là mộ số nguyên dương xác định nào đó Cho P = C = (Z26 )m và cho K

gồm tất cả các hoán vị của {1, , m} Đối một khoá  ( tức là một hoán vị) ta xác định

e(x1, , xm ) = (x(1), , x(m))

và d(x1, , xm ) = (y -1(1), , y -1(m))

trong đó  -1 là hoán vị ngược của 

Ví dụ: Giả sử m = 6 và khoá là phép hoán vị (  ) sau:

Khi đó phép hoán vị ngược  -1 sẽ tương ứng như trên:

Bây giờ giả sử có bản rõ

Trước tiên ta nhóm bản rõ thành các nhóm 6 ký tự:

shesel | lsseas | hellsb | ythese | ashore

Bây giờ mỗi nhóm 6 chữ cái được sắp xếp lại theo phép hoán vị , ta có:

EESLSH | SALSES | LSHBLE | HSYEET | HRAEOS

Như vậy bản mã là

EESLSH SALSES LSHBLE HSYEET HRAEOS

Như vậy bản mã đã được mã theo cách tương tự bằng phép hoán vị đảo  -1

Thực tế mã hoán vị là trường hợp đặc biệt của mật mã Hill Khi cho phép hoán vị  của tập {1, ,m}, ta có thể xác định một ma trận hoán vị m  m thích hợp K= {ki,j} theo công thức: , 1 neu j= (i)

0 neu nguoc lai

i j

 

(ma trận hoán vị là ma trận trong đó mỗi hàng và mỗi cột chỉ có một số "1", còn tất

cả các giá trị khác đều là số "0" Ta có thể thu được một ma trận hoán vị từ ma trận đơn

vị bằng cách hoán vị các hàng hoặc cột)

Dễ dàng thấy rằng, phép mã Hill dùng ma trận K trên thực tế tương đương với phép

mã hoán vị dùng hoán vị  Hơn nữa K-1= K -1 tức ma trận nghịch đảo của K là ma trận hoán vị xác định theo hoán vị  -1 Như vậy, phép giải mã Hill tương đương với phép giải mã hoán vị

Đối với hoán vị  được dung trong ví dụ trên, các ma trận hoán vị kết hợp là:

Bạn có thể kiểm tra để thấy rằng, tích của hai ma trận này là một ma trận đơn vị

CHƯƠNG 4

HỆ MÃ HÓA DES

Ngày 15.5.1973 Uỷ ban tiêu chuẩn quốc gia Mỹ đã công bố một khuyến nghị cho các hệ mật trong Hồ sơ quản lý liên bang Điều này cuối cùng đã dẫn đến sự phát triển của Chuẩn mã dữ liệu (DES) và nó đã trở thành một hệ mật được sử dụng rộng rãi nhất trên thế giới DES được IBM phát triển và được xem như một cải biên cuả hệ mật LUCIPHER Lần đầu tiên DES được công bố trong Hồ sơ Liên bang vào ngày 17.3.1975 Sau nhiều cuộc trânh luận công khai, DES đã được chấp nhận chọn làm chuẩn cho các ứng dụng không được coi là mật vào 5.1.1977 Kể từ đó cứ 5 năm một lần, DES lại được Uỷ ban Tiêu chuẩn Quốc gia xem xét lại Lần đổi mới gàn đây nhất của DES là vào tháng 1.1994 và tiếp tới sẽ là 1998 Người ta đoán rằng DES sẽ không còn là chuẩn sau 1998

4.1 Mô tả DES

Mô tả đầy đủ của DES được nêu trong Công bố số 46 về các chuẩn xử lý thông tin Liên bang (Mỹ) vào 15.1.1977 DES mã hoá một xâu bít x của bẳn rõ độ dài 64 bằng một khoá 54 bít Bản mã nhận được cũng là một xâu bít có độ dài 48 Trước hết ta mô

tả ở mức cao của hệ thống

4.1.1 Thuật toán DES

1 Với bản rõ cho trước x, một xâu bít x0 sẽ được xây dựng bằng cách hoán vị các bít của x theo phép hoán vị cố định ban đầu IP

Ta viết:x0= IP(X) = L0R0, trong đó L0 gồm 32 bít đầu và R0 là 32 bít cuối

2 Sau đó tính toán 16 lần lặp theo một hàm xác định

Ta sẽ tính LiRi, 1≤i≤16 theo quy tắc sau:

Li = Ri-1

Ri = Li-1f(Ri-1,Ki) trong đó: kí hiệu phép hoặc loại trừ của hai xâu bít (cộng theo modulo 2) f là một hàm mà ta sẽ mô tả ở sau, còn K1,K2, ,K16 là các xâu bít độ dài 48 được tính như hàm của khoá K (trên thực tế mỗi Ki là một phép chọn hoán vị bít trong K) K1, ,

K16 sẽ tạo thành bảng khoá Một vòng của phép mã hoá được mô tả trên hình dưới

3 Áp dụng phép hoán vị ngược IP-1 cho xâu bít R16L16, ta thu được bản mã y

Các bước sau được thực hiện:

1 Biến thứ nhất A được mở rộng thành một xâu bít độ dài 48 theo một hàm mở rộng

cố định E E(A) gồm 32 bít của A (được hoán vị theo cách cố định) với 16 bít xuất hiện hai lần

2 Tính E(A)  J và viết kết quả thành một chuỗi 8 xâu 6 bít = B1B2B3B4B5B6B7B8

3 Bước tiếp theo dùng 8 bảng S1, S2, ,S8 ( được gọi là các hộp S ) Với mỗi Si là một bảng 416 cố định có các hàng là các số nguyên từ 0 đến 15 Với xâu bít có độ dài 6 (Kí hiệu Bi = b1b2b3b4b5b6), ta tính Sj(Bj) như sau: Hai bít b1b6 xác định biểu diễn nhị phân của hàng r của Sj ( 0  r  3) và bốn bít (b2b3b4b5) xác định biểu diễn nhị phân của cột c của Sj ( 0  c  15 )

Khi đó Sj(Bj) sẽ xác định phần tử Sj(r,c); phần tử này viết dưới dạng nhị phân là một xâu bít có độ dài 4 ( Bởi vậy, mỗi Sj có thể được coi là một hàm mã mà đầu vào là một xâu bít có độ dài 2 và một xâu bít có độ dài 4, còn đầu ra là một xâu bít có độ dài 4) Bằng cách tương tự tính các Cj = Sj(Bj), 1  j  8

4 Xâu bít C = C1C2 C8 có độ dài 32 được hoán vị theo phép hoán vị cố định P Xâu kết quả là P(C) được xác định là f(A,J)

Hàm f được mô tả trong hình dưới Chủ yếu nó gồm một phép thế (sử dụng hộp S), tiếp sau đó là phép hoán vị P 16 phép lặp của f sẽ tạo nên một hệ mật tích nêu như ở phần trên

4.1.3 Mô tả chi tiết các hàm trong DES

Phép hoán vị ban đầu IP nhƣ sau: bảng này có nghĩa là bít thứ 58 của x là bít đầu

tiên của IP(x); bít thứ 50 của x là bít thứ hai của IP(x), v.v

4.1.4 Tính toán bảng khóa từ khóa K

Trên thực tế, K là một xâu bít độ dài 64, trong đó 56 bít là khoá và 8 bít để kiểm tra tính chẵn lẻ nhằm phát hiện sai Các bít ở các vị trí 8,16, , 64 được xác định sao cho mỗi byte chứa một số lẻ các số "1" Bởi vậy một sai sót đơn lẻ có thể phát hiện được trong mỗi nhóm 8 bít Các bít kiểm tra bị bỏ qua trong quá trình tính toán bảng khoá

1 Với một khoá K 64 bít cho trước, ta loại bỏ các bít kiểm tra tính chẵn lẻ và hoán

vị các bít còn lại của K theo phép hoán vị cố định PC-1

Các hoán vị PC-1 và PC-2 được dùng trong bảng khoá là:

Phép giải mã được thực hiện nhờ dùng cùng thuật toán như phép mã nếu đầu vào là

y nhưng dùng bảng khoá theo thứ tự ngược lại K16, K1 Đầu ra của thuật toán sẽ là bản

rõ x

Sau khi thay đổi, hóan vị, , và dịch vòng, bạn có thể nghĩ rằng thuật toán giải mã hoàn toàn khác và phức tạp, khó hiểu như thuật toán mã hóa Trái lại, DES sử dụng cùng thuật toán làm việc cho cả mã hóa và giải mã

Với DES, có thể sử dụng cùng chức năng để giải mã hoặc mã hóa một khối Chỉ có

sự khác nhau đó là các khóa phải được sử dụng theo thứ tự ngược lại Nghĩa là, nếu các khóa mã hóa cho mỗi vòng là k1, k2, k3 , , k15, k16 thì các khóa giải là k16, k15, , k3,

k2, k1 Thuật toán dùng để sinh khóa được sử dụng cho mỗi vòng theo kiểu vòng quanh Khóa được dịch phải, và số ở những vị trí được dịch được tính từ cuối của bảng lên, thay vì từ trên xuống

Khi DES được đề xuất như một chuẩn mật mã, đã có rất nhiều ý kiến phê phán Một

lý do phản đối DES có liên quan đến các hộp S Mọi tính toán liên quan đến DES ngoại trừ các hộp S đều tuyến tính, tức việc tính phép hoặc loại trừ của hai đầu ra cũng giống như phép hoặc loại trừ của hai đầu vào rồi tính tóan đầu ra Các hộp S - chứa đựng thành phần phi tuyến của hệ mật là yếu tố quan trong nhất đối với độ mật của hệ thống(

Ta đã thấy trong chương 1 là các hệ mật tuyến tính - chẳng hạn như Hill - có thể dễ dàng bị mã thám khi bị tấn công bằng bản rõ đã biết) Tuy nhiên tiêu chuẩn xây dựng các hộp S không được biết đầy đủ Một số người đã gợi ý là các hộp S phải chứa các

"cửa sập" được dấu kín, cho phép Cục An ninh Quốc gia Mỹ (NSA) giải mã được các thông báo nhưng vẫn giữ được mức độ an toàn của DES Dĩ nhiên ta không thể bác bỏ được khẳng định này, tuy nhiên không có một chứng cớ nào được đưa ra để chứng tỏ rằng trong thực tế có các cửa sập như vậy

Năm 1976 NSA đã khẳng định rằng, các tính chất sau của hộp S là tiêu chuẩn thiết kế:

 P0 Mỗi hàng trong mỗi hộp S là một hoán vị của các số nguyên 0, 1, , 15

 P1 Không một hộp S nào là một hàm Affine hoặc tuyến tính các đầu vào của nó

 P2 Việc thay đổi một bít vào của S phải tạo nên sự thay đổi ít nhất là hai bít ra

 P3 Đối với hộp S bất kì và với đầu vào x bất kì S(x) và S(x  001100) phải khác nhau tối thiểu là hai bít ( trong đó x là xâu bít độ dài 6 )

Hai tính chất khác nhau sau đây của các hộp S có thể coi là được rút ra từ tiêu chuẩn thiết kế của NSA

 P4 Với hộp S bất kì, đầu vào x bất kì và với e, f {0,1}: S(x) S(x  11ef00)

 P5 Với hộp S bất kì , nếu cố định một bít vào và xem xét giá trị của một bít đầu

ra cố định thì các mẫu vào để bít ra này bằng 0 sẽ xấp xỉ bằng số mẫu ra để bít

đó bằng 1

Chú ý rằng, nếu cố định giá trị bít vào thứ nhất hoặc bít vào thứ 6 thì có 16 mẫu vào làm cho một bít ra cụ thể bằng 0 và có 16 mẫu vào làm cho bít này bằng 1 Với các bít vào từ bít thứ hai đến bít thứ 5 thì điều này không còn đúng nữa Tuy nhiên phân bố kết quả vẫn gần với phân bố đều Chính xác hơn, với một hộp S bất kì, nếu ta cố định giá trị của một bít vào bất kì thì số mẫu vào làm cho một bít ra cố định nào đó có giá trị 0 (hoặc 1) luôn nằm trong khoảng từ 13 đến 19

Người ta không biết rõ là liệu có còn một chuẩn thiết kế nào đầy đủ hơn được dùng trong việc xây dựng hộp S hay không Sự phản đối xác đáng nhất về DES chính là kích thước của không gian khoá: 256 là quá nhỏ để đảm bảo an toàn thực sự Nhiều thiết bi chuyên dụng đã được đè xuất nhằm phục vụ cho việc tấn công với bản rõ đã biết Phép tấn công này chủ yếu thực hiện tìm khoá theo phương pháp vét cạn Tức với bản rõ x 64 bít và bản mã y tương ứng, mỗi khoá đều có thể được kiểm tra cho tới khi tìm được một khoá K thảo mãn eK(x) = y Cần chú ý là có thể có nhiều hơn một khoá K như vậy) Ngay từ năm 1977, Diffie và Hellman đã gợi ý rằng có thể xây dựng một chíp VLSI (mạch tích hợp mật độ lớn) có khả năng kiểm tra được 106khoá/giây Một máy có thể tìm toàn bộ không gian khoá cỡ 106 trong khoảng 1 ngày Họ ước tính chi phí để tạo một máy như vậy khoảng 2.107$

Trong cuộc hội thảo tại hội nghị CRYPTO'93, Michael Wiener đã đưa ra một thiết

kế rất cụ thể về máy tìm khoá Máy này xây dựng trên một chíp tìm khoá, có khả năng thực hiện đồng thời 16 phép mã và tốc độ tới 5107 khoá/giây Với công nghệ hiện nay, chi phí chế tạo khoảng 10,5$/chíp Giá của một khung máy chứa 5760 chíp vào khoảng 100.000$ và như vậy nó có khả năng tìm ra một khoá của DES trong khoảng 1,5 ngày Một thiết bị dùng 10 khung máy như vậy có giá chừng 106 $ sẽ giảm thời gian tìm kiếm khoá trng bình xuống còn 3,5 giờ

4.4 DES trong thực tế

Mặc dù việc mô tả DES khá dài dòng song người ta có thể thực hiện DES rất hữa hiệu bằng cả phần cứng lẫn phần mền Các phép toán duy nhất cần được thực hiện là phép hoặc loại trừ các xâu bít Hàm mở rộng E, các hộp S, các hoán vị IP và P và việc tính toán các giá tri K1, ,K16 đều có thể thực hiện được cùng lúc bằng tra bảng (trong phần mền ) hoặc bằng cách nối cứng chúng thành một mạch

Các ứng dụng phần cứng hiện thời có thể đạt được tốc độ mã hoá cực nhanh Công

ty Digital Equipment đã thông báo tại hội nghị CRUPTO'92 rằng họ sẽ chế tạo một chíp

có 50 ngàn tranzistor có thể mã hoá với tốc độ 1 Gbít/s bằng cách dùng nhịp có tốc độ 250MHz Giá của chíp này vào khoảng 300$ Tới năm 1991 đã có 45 ứng dụng phần cứng và chương trình cơ sở của DES được Uỷ ban tiêu Chuẩn quốc gia Mỹ (NBS) chấp thuận

Một ứng dụng quan trọng của DES là trong giao dịch ngân hàng Mỹ - (ABA) DES được dùng để mã hoá các số định danh cá nhân (PIN) và việc chuyển tài khoản bằng máy thủ quỹ tự động (ATM) DES cũng được Hệ thống chi trả giữa các nhà băng của Ngân hàng hối đoái (CHIPS) dùng để xác thực các giao dụch vào khoản trên 1,51012USA/tuần DES còn được sử dụng rộng rãi trong các tổ chức chính phủ Chẳng hạn như

bộ năng lượng, Bộ Tư pháp và Hệ thống dự trữ liên bang

Các chế độ hoạt động của DES: Có 4 chế độ làm việc đã được phát triển cho DES:

Chế độ chuyển mã điện tử (ECB), chế độ phản hồi mã (CFB), chế độ liên kết khối mã (CBC) và chế độ phản hồi đầu ra (OFB) Chế độ ECB tương ứng với cách dùng thông thường của mã khối: với một dãy các khối bản rõ cho trước x1,x2, .( mỗi khối có 64 bít), mỗi xi sẽ được mã hoá bằng cùng một khoá K để tạo thành một chuỗi các khối bản

mã y1y2 theo quy tắc yi = eK(yi-1xi) i  1 Việc sử dụng chế độ CBC được mô tả trên hình 3.4

Trong các chế độ OFB và CFB dòng khoá được tạo ra sẽ được cộng mod 2 với bản

rõ (tức là nó hoạt động như một hệ mã dòng, xem phần 1.1.7) OFB thực sự là một hệ

mã dòng đồng bộ: dòng khoá được tạo bởi việc mã lặp véc tơ khởi tạo 64 bít (véc tơ IV) Ta xác định z0 =IV và rồi tính dòng khoá z1z2 theo quy tắc zi = eK(zi-1), i1 Dãy bản rõ x1x2 sau đó sẽ được mã hoá bằng cách tính yi = xi  zi,i 1

Trong chế độ CFB, ta bắt đầu với y0 = IV (là một véc tơ khởi tạo 64 bít) và tạo phần

tử zi của dòng khoá bằng cách mã hoá khối bản mã trước đó Tức zi = eK(yi-1), i 1 Cũng như trong chế độ OFB: yi = xi  zi,i 1 Việc sử dụng CFB được mô tả trên hình 3.5 (chú ý rằng hàm mã DES eK được dùng cho cả phép mã và phép giải mã ở các chế

độ CFB và OFB)

Cũng còn một số biến tấu của OFB và CFB được gọi là các chế độ phản hồi K bít (1

< K < 64 ) ở đây ta đã mô tả các chế độ phản hồi 64 bít Các chế độ phản hồi 1 bít và 8 bít thường được dùng trong thực tế cho phép mã hoá đồng thời 1 bit (hoặc byte) số liệu Bốn chế độ công tác có những ưu, nhược điểm khác nhau ở chế độ ECB và OFB,

sự thay đổi của một khối bản rõ xi 64 bít sẽ làm thay đổi khối bản mã yi tương ứng, nhưng các khối bản mã khác không bị ảnh hưởng Trong một số tình huống đây là một tính chất đáng mong muốn Ví dụ, chế độ OFB thường được dùng để mã khi truyền vệ tinh

Mặt khác ở các chế độ CBC và CFB, nếu một khối bản rõ xi bị thay đổi thì yi và tất

cả các khối bản mã tiếp theo sẽ bi ảnh hưởng Như vậy các chế độ CBC và CFB có thể được sử dụng rất hiệu quả cho mục đích xác thực Đặc biệt hơn, các chế độ này có thể

được dùng để tạo mã xác thực bản tin ( MAC - message authentication code) MAC được gắn thêm vào các khối bản rõ để thuyết phục Bob tin rằng, dãy bản rõ đó thực sự

là của Alice mà không bị Oscar giả mạo Như vậy MAC đảm bảo tính toàn vẹn (hay tính xác thực) của một bản tin ( nhưng tất nhiên là MAC không đảm bảo độ mật)

Ta sẽ mô tả cách sử dụng chế độ BCB để tạo ra một MAC Ta bắt đầu bằng véc tơ khởi tạ IV chứa toàn số 0 Sau đó dùng chế đô CBC để tạo các khối bản mã y1, ,yn

theo khoá K Cuối cùng ta xác định MAC là yn Alice sẽ phát đi dãy các khối bản rõ

x1,x2, ,xn cùng với MAC Khi Bob thu được x1 .xn anh ta sẽ khôi phục lại y1 .yn

bằng khoá K bí mật và xác minh xem liệu yn có giống với MAC mà mình đã thu được hay không

Nhận thấy Oscar không thể tạo ra một MAC hợp lệ do anh ta không biết khoá K mà Alice và Bob đang dùng Hơn nữa Oscar thu chặn được dãy khối bản rõ x1 .xn và thay đổi ít nhiều nội dung thì thì chắc chắn là Oscar không thể thay đổi MAC để được Bob chấp nhận

Thông thường ta muốn kết hợp cả tính xác thực lẫn độ bảo mật Điều đó có thể thực hiện như sau: Trước tiên Alice dùng khoá K1 để tạo MAC cho x1 xn Sau đó Alice xác định xn+1 là MAC rồi mã hoá dãy x1 .xn+1 bằng khoá thứ hai K2 để tạo ra bản mã

y1 .yn+1 Khi Bob thu được y1 .yn+1 , trước tiên Bob sẽ giải mã ( bằng K2) và kiểm tra xem xn+1 có phải là MAC đối với dãy x1 .xn dùng K1 hay không

Ngược lại, Alice có thể dùng K1 để mã hoá x1 .xn và tạo ra được y1 yn , sau đó dùng K2 để tạo MAC yn+1 đối với dãy y1 .yn Bob sẽ dùng K2 để xác minh MAC và dung K1 để giải mã y1 .yn

4.5 Ứng dụng của DES

Mặc dù việc mô tả DES khá dài dòng song người ta có thể thực hiện DES rất hữu hiệu bằng cả phần cứng lẫn phần mềm Các phép toán duy nhất cần được thực hiện là phép hoặc loại trừ các xâu bit Hàm mở rộng E, các hộp S, các hóan vị IP và P và việc

tính toán các giá tri K1, ,K16 đều có thể thực hiện được cùng lúc bằng tra bảng ( trong phần mềm ) hoặc bằng cách nối cứng chúng thành một mạch

Các ứng dụng phần cứng hiện thời có thể đạt được tốc độ mã hóa cực nhanh Năm

1991 đã có 45 ứng dụng phần cứng và chương trình cơ sở của DES được Uỷ ban tiêu Chuẩn quốc gia Mỹ (NBS) chấp thuận

Một ứng dụng quan trọng của DES là trong giao dịch ngân hàng Mỹ - (ABA) DES được dùng để mã hóa các số định danh cá nhân (PIN) và việc chuyển tài khoản bằng máy thủ quỹ tự động (ATM) DES cũng được Hệ thống chi trả giữa các nhà băng của Ngân hàng hối đoái (CHIPS) dùng để xác thực các giao dịch DES còn được sử dụng rộng rãi trong các tổ chức chính phủ Chẳng hạn như bộ năng lượng, Bộ Tư pháp và Hệ thống dự trữ liên bang

CHƯƠNG 5

MÃ HÓA KHÓA CÔNG KHAI

Nhờ những tính chất ưu việt của mã hóa khóa công khai, đã dẫn đến sự phát triển rất lớn của hệ mã hóa này và có lẽ chính nó đã tạo ra cuộc cách mạng trong toàn bộ lịch sử của mã hóa Trong thực tế có rất nhiều loại mã hóa khóa công khai nhưng trong phạm

vi phần này ta chỉ xét một số thuật toán rất phổ biến đó là Elgamal và RSA…

5.1 Bài toán Logarit rời rạc (DL)

Hệ mã hóa Elgamal được đề xuất từ năm 1985, dựa trên cơ sở bài toán logarith rời rạc Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc mô tả bài toán khi thiết lập môi trường hữu hạn Zp, p

là số nguyên tố (Nhóm nhân Zp* là nhóm cyclic và phần tử sinh của Zp* được gọi là phần tử nguyên thủy)

Bài toán logarith rời rạc trong Zp là đối tượng trong nhiều công trình nghiên cứu và được xem là bài toán khó nếu p được chọn cẩn thận Cụ thể không có một thuật toán thời gian đa thức nào cho bài toán logarith rời rạc Để gây khó khăn cho các phương pháp tấn công đã biết, p phải có ít nhất 150 chữ số và (p-1) phải có ít nhất một thừa số nguyên tố lớn Lợi thế của bài toán logarith rời rạc trong xây dựng hệ mã hóa là khó tìm được các logarith rời rạc, song bài toán ngược lấy lũy thừa lại có thể tính toán hiệu quả theo thuật toán “bình phương và nhân” Nói cách khác, lũy thừa theo mođun p là hàm một chiều với các số nguyên tố p thích hợp

5.2 Các thuật toán cho bài toán Logarit rời rạc

Trong phần này ta xem rằng p là số nguyên tố,  là phần tử nguyên thuỷ theo mođun p Ta thấy rằng p và  là các số cố định Khi đó bài toán logarith rời rạc có thể được phát biểu dưới dạng sau: tìm một số mũ a duy nhất, 0  a  p-2 sao cho a  (mod p), với   Zp* cho trước

Rõ ràng là bài toán logarith rời rạc (Discrete Logarith-DL) có thể giải bằng một phép tìm kiếm vét cạn với thời gian cỡ O(p) và không gian cỡ O(1) (bỏ qua các thừa số logarith) Bằng cách tính toán tất cả các giá trị a có thể và sắp xếp các cặp có thứ tự (a,

a mod p) có lưu ý đến các toạ độ thứ hai của chúng, ta có thể giải bài toán DL với thời gian cỡ O(1) bằng O(p) phép tính toán trước và O(p) bộ nhớ (vẫn bỏ qua các thừa số logarith) Có một số thuật toán cho bài toán logarith rời rạc như: Shanks, Pohlig-Hellman, phương pháp tính toán chỉ số… Chúng ta sẽ mô tả một thuật toán có tên là Shanks, một thuật toán tối ưu hóa thời gian - bộ nhớ của Shanks

Đặc trưng của bài toán: I = (p,,) trong đó p là số nguyên tố,   Zp là

 Nếu cần, các bước 1 và 2 có thể tính toán trước (tuy nhiên, điều này không ảnh hưởng tới thời gian chạy tiệm cận)

 Tiếp theo cần để ý là nếu (j,y)  L1 và (i,y)  L2 thì

mj = y = -i

Bởi vậy mj+i =  như mong muốn

Ngược lại, đối với  bất kì ta có thể viết: log = mj+i

trong đó 0  j,i  m-1 Vì thế phép tìm kiếm ở bước 5 chắc chắn thành công

Có thể áp dụng thuật toán này chạy với thời gian O(m) và với bộ nhớ cỡ O(m) (bỏ qua các thừa số logarith) Chú ý là bước 5 có thể thực hiện một cách (đồng thời) qua từng danh sách L1 và L2

Sau đây là một ví dụ nhỏ để minh hoạ:

Giả sử p=809 và ta phải tìm log3525 Ta có  = 3,  = 525 và m = 808 = 29 Khi đó: 29 mod 809 = 99

Trước tiên tính các cặp được sắp (j, 99j mod 809) với 0  j28 Ta nhận được danh sách sau:

3 Sắp xếp m cặp thứ tự (j,mj mod p) có lưu ý tới các toạ độ thứ hai

của các cặp này, ta sẽ thu được một danh sách L1

4 Tính -i mod p, 0  i  m-1

5 Sắp xếp m cặp thứ tự (i, -i mod p) có lưu ý tới các tọa độ thứ hai của các cặp được sắp này, ta sẽ thu được một danh sách L2

6 Tìm một cặp (j,y)  L1 và một cặp (i,y)  L2 (tức là một cặp có toạ

độ thứ hai như nhau)

7 Xác định log = mj + i mod (p-1)

Thuật toán Shanks cho bài toán DL

 Bài toán Logarith rời rạc

 Bài toán phân tích thành thừa số

Trong hệ mã hóa RSA các bản rõ, các bản mã và các khóa (public key và private key) là thuộc tập số nguyên ZN = {1, , N-1} Trong đó tập ZN với N=pq là các số nguyên tố khác nhau cùng với phép cộng và phép nhân mođun N tạo ra mođun số học

N Khóa mã hóa EKB là cặp số nguyên (N,KB) và khóa giải mã Dk B là cặp số nguyên (N,kB), các số là rất lớn, số N có thể lên tới hàng trăm chữ số Các phương pháp mã hóa

5.3.1 Định nghĩa hệ mật RSA

Nói một cách khác, đầu tiên người nhận B lựa chọn một khóa công khai KB một cách ngẫu nhiên Khi đó khóa bí mật kB được tính ra bằng công thức (5) Ðiều này hoàn toàn tính được vì khi B biết được cặp số nguyên tố (p,q) thì sẽ tính được (N)

Hai giá trị n, b công khai; các giá trị a là bí mật

Với mỗi giá trị K=(n, a, b) và xP; yC ta xác định hai hàm sau

 Hàm mã hóa: y = ek (x) = x b mod n

 Hàm giải mã: x = dk (y) = y a mod n