Nghiên cứu sự ổn định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tác dụng của tải trọng khác nhau

Trong nhiều trường hợp, đặc biêt là các kết cấu chịu nén hoặc nén cùng với uốn, tuy tải trọn chưa đạt đến giá trị phá hủy và có khi còn nhỏ hơn giá trị cho phép về điều kiện bền và điều

Hoàng Hữu Tân

NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ HÌNH DẠNG KHÁC NHAU CHỊU TẢI TRỌNG

KHÁC NHAU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2010

Hoàng Hữu Tân

NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ HÌNH DẠNG KHÁC NHAU CHỊU TẢI TRỌNG

KHÁC NHAU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2010

1 Tính cấp thiết của đề tài

Ngày nay, những cụng trỡnh và mỏy múc ngày càng sử dụng nhiều những vật liệu dạng tấm và vỏ mỏng ngày càng nhiều Chớnh vỡ vậy, việc nghiờn cứu và tớnh toỏn

tỉ mỉ cú ý nghĩa vụ cựng quan trọng cứng không thôi thì chưa đủ để phán đoán khả năng làm việc của công trình Trong nhiều trường hợp, đặc biêt là các kết cấu chịu nén hoặc nén cùng với uốn, tuy tải trọn chưa đạt đến giá trị phá hủy và có khi còn nhỏ hơn giá trị cho phép về điều kiện bền và điều kiện cứng nhưng kết cấu vẫn có thể mất khả năng bảo toàn hình dáng ban đầu ở trạng thái biến dạng và chuyển sang dạng cân bằng khác.Nội lực trong dạng cân bằng mới sẽ phát triển rất nhanh và làm cho công trình bị phá hủy Đó là hiện tượng mất ổn định

Vào cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, đã xảy ra nhiều tai nạn do kết cấu công trình bị mất ổn định và dẫn đến phá hủy Ví dụ :

ở Liên Xô cũ, trong khoảng thời gian 1951 - 1967 đã có 39 công trình kết cấu thép bị phá hủy, trong số đó có 17 trường hợp ( 44%) là do nguyên nhân mất ổn định

Hiện nay, yêu cầu phát triển kinh tế đòi hỏi phải xây dựng các công trình lớn và nhẹ, trong đó thường dùng các thanh chịu nén có chiều dài lớn, dễ mất ổn định Do đó việc nghiên cứu ổn định công trình là cần thiết và có ý nghĩa thực tế

2 Mục đích của đề tài

- Tính lực tới hạn, ứng suất và chuyển vị chuyển vị của tấm dưới tác động của tải trọng khác nhau

- ảnh hưởng của điều kiện liên kết đến lực tới hạn, ứng suất và chuyển vị

3 Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài

- Tấm có ứng dụng rộng rãi trong xây dựng, công nghiệp Do tác động của nhiều dạng tải trọng khác nhau ( áp lực của gió, sóng biển, nhiệt độ, ) kết cấu có thể bị mất ổn

định gây nên sự phá hủy hoặc ảnh hưởng đến hoạt động của công trình, do đó việc nghiên cứu bài toán ổn định của tấm là rất cần thiết

- Việc tìm ra sự liên hệ giữa hệ số liên kết với lực tới hạn, ứng suất tới hạn sẽ góp phần

dự đoán và phòng tránh sự mất ổn định của công trình

4.Nội dung luận văn gồm:

Chương 1: Cỏc phương trỡnh cơ bản về tấm

Trỡnh bày túm tắt cỏc phương trỡnh cơ bản vế tấm, Quan hệ ứng suất -biến dạng, Quan hệ giữa nội lực và ứng suất, quan hệ biến dạng và chuyển vị, phương trỡnh cõn bằng tĩnh học và cỏc điều kiện biờn

Chương II: Sự ổn định của tấm nhiều lớp

Trong chương này, tụi trỡnh bày cỏc vấn đề cơ bản của lý thuyết đàn hồi trong vấn đề

ổn định của tấm nhiều lớp làm việc ở ngoài miền đàn hồi

Chương III: Một số bài toỏn cụ thể về ổn định của tấm

Trong chương này, tụi trỡnh bày một số bài toỏn tớnh toỏn cụ thể đối với tấm hỡnh chữ nhật và tấm hỡnh tam giỏc vuụng

Chương IV: Ứng dụng phương phỏp phần tử hữu hạn bằng cỏch sử dụng

ANSYS

Trong chương này, tụi trỡnh bày một số lệnh cơ bản của phần mềm ANSYS sử dụng trong tớnh toỏn về tấm Ứng dụng ANSYS để tớnh toỏn một số bài toỏn cụ thể về tấm

- Kết luận chung

Với sự quan tâm, chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS – TS Nhữ Phương Mai

và sự cố gắng của bản thân, tôi đã hoàn thành đề tài này Nội dung trình bày của đề tài

chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót, những hạn chế.Rất mong đ−ợc các thầy cô và các bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý kiến để đề tài đạt chất l−ợng cao hơn

Chương I : Các phương trình cơ bản của tấm

I Các khái niệm cơ bản về tấm

Hình 1.1 Phần tử tấm

Tấm là vật thể hình chữ nhật mà chiều cao vật thể nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước

của bề rộng Mặt phẳng xy là mặt phẳng trung gian của tấm Chiều dày của tấm h là

khoảng cách giữa hai bề mặt của tấm, a là chiều rộng của tấm

khi đó ứng suất theo hướng bề dày là rất nhỏ so với hai

hướng còn lại và có thể bỏ qua khi tính toán ( bỏ qua σ so vớizz σ vàyy σ ) xx

Trong phần này chúng ta xem xét các tấm mỏng bằng vật liệu đàn hồi tuyến tính, xác

định theo định luật Hook

Các giả thuyết:

1 Chuyển vị và biến dạng của tấm là nhỏ Bỏ qua biến dạng của mặt phẳng trung bình

(Không biến dạng trong mặt phẳng trung gian.)

X

Miên trung gian h

2 Tải trọng thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung gian (Giả thuyết Kirchoff)

3 Ứng suất σ theo hướng tác dụng vào mặt phẳng trung gian là rất nhỏ so với những zhướng khác, có thể bỏ qua

Các giả thuyết về tấm tương tự như các giả thuyết Bernoulli về uốn thanh trong miền đàn hồi của các vật liệu

II.Quan hệ ứng suất- biến dạng Quan hệ giữa nội lực và ứng suất

Các tấm có chiều dày h, đặt nằm ngang chịu tác dụng của lực, mặt phẳng xy là mặt phẳng trung bình, trục z là trục vuông góc với mặt phẳng xy và có hướng xuống dưới

σ σxz

Hình 1.2 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

Xét phân tố diện tích vô cùng nhỏ vuông góc với trục y ,

Tại điểm K ứng suất pháp theo phương y làσ , ứng suất tiếp là yy σ và yx σ yz

Tổng ứng suất theo chiều dày của tấm, chúng ta thu được nội lực

Chuyển nội lực về mặt phẳng trung gian, ta được :

' x

Q S

x

x ∂

∂+

=

x

H H

H x

∂

∂+

∂

∂ +

=

x

H H

H x

∂

∂+

Q

x

Q x y

(1-2)

H x

M

∂+

2

2

=+

∂

∂+

M y

x

H

x

M x y (1-5)

III Quan hệ biến dạng và chuyển vị Phương trình cân bằng tĩnh học

Chuyển vị tại điểm (x, y,z) tương ứng là (u, v, w)

Chuyển vị tại điểm (x, y,0) tương ứng là (u0, v0 , w0 )

Chuyển vị tại điểm A(x,y,z) và A0(x,y,0)

w z y

u x

χ ,χ ,y χ là độ cong, góc xoay của mặt trung gian sau khi biến dạng xy

IV Phương trình vi phân độ võng của tấm Điều kiện biên

Đối với tấm đàn hồi, ta có:

)(

2 2

2 ,

0 , 0

w x

w z

E

y x

∂ +

∂

∂

− +

2 2

2 ,

0 ,

0

w y

w z

E

x y

∂ +

∂

∂

− +

−

µ

σ

( [

2

1

1

2 ,

0 ,

0

w z

E

y xy

∂

− +

w x

w z

E dz

h h h

2 ,

0 , 0

2 /

2 /

∂ +

∂

∂

− +

εµσ

Sau khi tích phân, chúng ta thu được:

)(

w h

w D

w D

w D

x D

M =− χ +µχ w

x D

x D

M =− χ +µχ w

y D

Chúng ta có:

) (

1

.

, 0 ,

1

.

, 0 ,

=

∂

∂ +

w D

2

=

∂

∂ +

w D

dy Trên mặt cắt có toạ độ y + dy, giá trị của mô men uốn là H+dH được thay thế bằng ngẫu lực tương ứng, có chiều ngược nhau :

H dy

H dy

dy y H dy

H dy

dH dy

=

∂

∂ +

= +

=

+

Hình 1.7 Biểu diễn các lực tác dụng Hình 1.8 Tấm có biên tự do

Ta có hai hệ lực theo chiều ngược nhau để thay thế mô men xoắn trên mặt cắt ngang Một hệ lực có hướng lên trên và một hệ lực có hướng xuống dưới sai số của các lực là

Q

∂+

=+

w w

w D y

x

w D

w x

D

Q eq

x

3 3

3 2

nếu biên vuông góc với trục x là tự do, Điều kiện biên : mô ment uốn, lực cắt, mô ment xoắn bằng 0 thay thế bằng phương trình mô ment uốn và lực cắt bằng 0

0

2 2

2

=

∂

∂+

w

M x µ (1-20a)

0)

2(

w x

2 2

2

=

∂

∂+

w

M y µ (1-21a)

0)

2(

3 3

w y

w y

w D

k

w µ (1-22a)

2 2

2

=

∂

∂+

2

.

.

x

w y

w D c M

5

18

Trường hợp này, ngoại lực ở mặt phẳng trung gian không có biến dạng uốn và độ võng Hàm F tuân theo công thức sau :

VII.Kết luận chương I

Trong chương này, chúng ta tìm hiểu về các loại tấm có hình dạng khác nhau với các điều kiện biên khác nhau Qua đó, ứng với mỗi trường hợp ta thu được các điều kiên biên khác nhau và các phương trình cân bằng tĩnh học khác nhau

Chương II: SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM NHIỀU LỚP

1 Phương trình vi phân của tấm chịu uốn

Xét sự cân bằng của 1 phân tố nhỏ cắt ra từ tấm bởi các cặp mặt phẳng song song với các mặt phẳng xz và yz như hình vẽ Chúng ta có các nội lực trong mặt phẳng trung gian của tấm là Nx, Ny và Nxy = Nyx (lực trên một đơn vị chiều dài của tấm ) Chiếu các lực trên theo phưoơng x và y và giả thiết rằngtrên tấm không có lực khối và lực tiếp tuyến tác dụng theo phương của các mặt của tấm, chúng ta thu được các phương trình cân bằng tĩnh học:

Nxydy N

Khi xem xét các lực thể hiện trên trục z, chúng ta phải đưa vào giá trị độ uốn của tấm

và tổng các góc xoay nhỏ giữa Nx và Ny trên các cạnh đối diện của phân tố này Chiếu trên trục z ta được giá trị độ uốn của lực uốn Nx :

dy dx x

w x

w dx x

N N x

∂

∂

∂

∂++

w x

N dxdy

w x

N dxdy

w y

N dxdy y

w x

N dxdy

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂2

Nhân các phương trình (a), (b), (c) với qdxdy và sử dụng công thức (2-1), ta thu được phương trình cân bằng sau :

)2

(2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

y x

w N y

w N x

w N q y

M y

x y

xy x

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

−

=

∂

∂+

(

1 2

2 2

2 2

2 4

4 2 2

4

4

4

y x

w N y

w N x

w N q D y

w y

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

=

∂

∂ +

w y

4

4

4

2

II Ứng dụng của lý thuyết đàn hồi trong các vấn đề ổn định của tấm :

II.1 Lý thuyết đàn hồi :

Từ đồ thị σ(ε) với các thí nghiệm xoắn Môđun đàn hồi E tương ứng tgα Vẽ đường 0tiếp tuyến với đường cong môđun tại N tiếp tuyến đường 0

Với hệ số Poisson µ , Bên trong khu vực đàn hồi, chúng ta có được 0,25 < µ < 0,3 Khi

có xảy ra biến dạng dẻo, µ giá trị sẽ tăng lên và giới hạn là 0,5 Giả sử là vật liệu chưa được nén khi µ = 0,5 (không xảy ra bất kỳ sự biến dạng của khối lượng)

Trong trạng thái ứng suất phức tạp, trong trường hợp cường độ ứng suất σ và cường i

độ biến dạng ε sẽ được xác định như sau : i

)(

6)(

)(

)(

2

zx yz xy x

z z

y y

x

i σ σ σ σ σ σ τ τ τ

σ = − + − + − + + + (2-5)

)(

2

3)(

)(

)(

2

zx yz xy x

z z

y y

x s x

E

S E

S E

τ

γ

σθ

ε

σθ

ε

3

).(

2

3

3

1

).(

2

3

= (2-14)

Thay thế τxy =τ,γxy =γ Sử dụng (2-11), công thức (2-8) được viết lại như sau:

µσ

3(

3(

y

s

x s

x

E

S E E

E

S E E

1 1

1 = + (2-16)

Ở đây

G: mođun đàn hồi

Gn : môđun đàn hồi biến dạng phẳng

Gp : môđun đàn hồi biến dạng dẻo

Mối quan hệ giữa G và E như sau :

)1(

E

G = ;

3

p p

) 1 (

=

−+

−

=

p

x p y

x

x

x p y

x

x

E E

S E

E

S E

E

3

2

3).(

1

)(

2

3).(

µσ

ε

σσ

µσ

ε

(2-20)

Phương trình 1 của (2-20) trong biểu thức trên thể hiện biến dạng đàn hồi

Phương trình 2 của (2-20) trong biểu thức trên thể hiện biến dạng dẻo

Từ (2-20) và (2-4) khi σx =σ,σx =0, chúng ta có :

) 3

.(

2

3

0

σσσ

E p n

1 1 1

2111

2 2 2 2

4

13

εi = x + y + z + (2-23) Các mối quan hệ giữa σ và i ε được tuân theo định luật Hook như sau : i

∆σi =E.∆εi (2-24)

II.2 Phương trình vi phân của vật liệu không nén được :

Chúng ta giả định vật liệu là không nén được Khi tấm là không ổn định , các ứng suất chính lần lượt là σ , x σ , y σz và τ và các biến dạng là εx,εy,γ

Thay θ = 0 vào (2-8) và sử dụng (2-14) chúng ta có được :

ε

σσ

ε

3

)2

1.(

1

)2

1.(

1

s

x y

s

y

y x

E

τ

ε = 3 (2-27) Khi sử dụng các biểu thức (2-7) chúng ta có :

y s

σε

γ =3 (2-28)

Khi tấm có nền không ổn định, vị trí cân bằng của tấm là vị trí gần giống vị trí ban đầu Đồng thời tại thời điểm uốn cong, các biến ứng suất δσ x, δσx,δτ sẽ được xác định Từ (2-25), chúng ta có :

σ

εε

σ

s

x y s

y

y x s

1 (

3

4

) 2

1 (

3

4

(2-29)

Ngoài ra En là hàm của ε Từ đó : i

=

++

+

=

i i

s s

i i

s x y x

y s

y

i i

s y x y

x s

x

d

dE E

d

dE E

d

dE E

δεεγδγ

δτ

δεεεεδε

δεδσ

δεεεεδε

δεδσ

3

1

3

1

.)

.2

1.(

3

4).2

1.(

3

4

.)

.2

1.(

3

4).2

1.(

d

d E

i i i

d

d d

σε

σε

=

−

−+

=

i i t s s

i i

y t s x y

s

y

i i

x t s y x

s

x

E E E

E E E

E E E

δεσ

τδγ

δτ

δεσ

σδε

δεδσ

δεσ

σδε

δεδσ

.)

(

3

1

.)

().2

1.(

3

4

.)

().2

1.(

i i

y t s y s

y

i i

x t s x

s

x

E E E

S E E E

S E E E

δεσ

τδγ

δτ

δεσδε

δσ

δεσδε

δσ

.)

(

3

1

.)

(

.)

(

ε

δγγδεεδεεδε

εδε

.2

3.3

.2

1

)

2

1()

2

1[(

.3

Giả định rằng, theo tác dụng của lực bên ngoài, cường độ ứng suất là vượt quá giới hạn đàn hồi trong khi các tấm không ổn định

Giả sử dụng thẳng yếu tố bình thường, sự biến động của bất kỳ điểm nào được thực hiện thông qua sự thay đổi trên máy bay giữa và biến thể của uốn:

x x

Trong đó z là các điểm nằm phẳng trung gian

Chúng tôi xác định vị trí của điểm trung hòa trên mặt phẳng trung gian Tại điểm này

Từ (2-37),chúng ta suy ra:

+ z + z = 0

y y

z x

xδε σ δε τδγ

σ (2-39) Thay (2-38) vào (2-39)và xác định z0 là phối hợp của các điểm trung hòa, chúng ta có được:

σx(δεx+χx.z0) +σy(δεy+χy.z0) +τ(δγ + 2χ.z0) = 0 (2-40)

Suy ra :

χτχσχσ

δγτδεσδεσ

2

++

−

=

y y x x

y y x x

) , (

εσ

z

i

z z

z

σ

χδγ

τχδεσχδε

z z

σ

χσ

x t s

z x s

z x

s E E E

σδε

i

x t s x x s

z

x

z z s E E z

E

s

σ

χσχ

δε

−++

( 0 )2 ( , )

)

() (

i

y t s y y s

z

y

z z s E E z

E

s

σ

χσχ

δε

−++

)

().2.(

3

1

i

y t s y s

E E z

E

σ

χσχ

δγ

−++

3

1

) (

) (

χδγ

δτ

χδε

δ

χδε

δ

z E

z E

s

z E

s

z

y y

z

y

x x

h h

z y

h h

N

R

h h

z x y

z y x

2

1δ δδ

Kết hợp với (2-48) và (2-51) chúng ta có :

dz z z S

E E dz

z E

dz z E

R

o o

o

z

x t n z

h

x x n h

z

x x

x ( ) ( ). ( ). . ( , )( 0 )

2 /

2 2

+ +

+

χσχ

δεχ

2 0 2

2

2

).

, ( ).

( 4 ).

( 2

1 ).

( 2 ).

h E E z

E E

h E

E

R

i

x t

s x s

x s s

χ σ χ

δε

(2-55)

Tương tự, chúng ta có được:

2 0 2

2 0 2

2

2

).

, ( ).

( 4 ).

( 2

1 ).

( 2 ).

h E E z

E E

h E

E

R

i

y t

s y s

y s

s

χ σ χ

δε δ

(2-56)

2 0 2

2 0

2 0 0

2

2

).

, ( ).

( 4 ).

( 3

1 ).

( 2 ).

h E E z

E E

h E

E

T

i t

s

τ χ σ χ

2

) , ( ).

( ) , ( 4 ).

( 2

1 ) , ( ).

2 0

h E E z

E E

h

E

χ σ ε

Lấy biểu thức trên chia cho ∏(σ,ε) và sử dụng (2-44) chúng ta có được:

02

)(

2

1),(.4

)

(2

1.)

(2

)

(

2 0

2 0

2 0

2 0

h2: Chiều dày của vùng trung gian

E h

E h

E E h z

+

−

= 2

0 (2-64)

Chúng ta tính toán thời điểm uốn cong và xoắn trên đơn vị chiều dài của tấm

zdz M

h h

z x

x .

2 /

2 /

∫

−

= σ , M zdz

h h

z y

y .

2 /

2 /

∫

−

= σ , H zdz

h h

z.

2 /

2 /

∫

−

= τ (2-65) Đặt :

M x = M M s z dz

h h

z x y

x 2

1 /2

2 /

z y x

y 2

1 /2

2 /

h

x x n h

2 2

++

δεχ

(2-67)

Kết hợp lại, chúng ta có

M x=

x s

s x

s h z E E h E E z E

8 ).

( 3

1

4 ).

3

E E

i

x t

σ

χσ

(2-68)

Với µ =0.5, độ cứng uốn của tấm trong vùng đàn hồi là

9

.)

1(12

5 0 2

z s

h

z h

h

z D

i

x t

s x

s x

s s

0 3

3 0 2

2

2 0

3 0

1.)

,()

(8

3

4

1)

1(2

9

)1()1

ϕδε

ϕχ

ϕϕ

z s

i

x t

3 0 2

.3.41.)

,()

(8

3

σ

χσϕ

Sử dụng

2 0

2 0

0

2 0 2

).

1 ( 2 ).

1 (

2 ).

, ( ).

( 2

1 ).

1 ( 2 ).

1 (

4 ).

1 ( 2

1

i n

s

x t

s

n s

x s

x

z h

z

h s z

h

z h

σϕ

ϕ

χσϕ

ϕϕ

ϕ

χϕ

1 ( 2

9

) 1 ( ) 1 ( 8

1

2 0

3 0 '

−

2 0

2 2 0

2 0 0

3 0

).

, ( ).

1 ( ) 1 ( 2 1

4

1 2

1 ).

1 (

6 3 4 1 ).

(

8

3

i x s

s

s t

s

s z

z z

z z

σ

χσϕ

ϕ

ϕϕ

s s

r D

σ

χσ

−

−+

0

.2)

1()1(

.41)1(.4

381)1

r

s s

s s

ϕϕ

−+

−++

0

3 0

.2)

1()1(

.41).21)(

1(.4

3.341)

z z s

s s

s s

ϕϕ

s s

r D

σ

χσ

D

H

σ

τχσ

2 '

)

,()1(4

32

1)

1(

)

,()1(4

32

1)

1(

i

y x

y y

i

x y

x x

s r

D M

s r

D M

σ

σχσχ

χ

σ

σχσχ

χ

(2-81)

Uốn cong và xoắn độ cong của mặt phẳng đàn hồi của tấm được trình bày bởi lệch sau

Do đó, chúng tôi viết lại như sau :

2 2

2

)1.(

4

3

2

1)

1

(

i

x x

w s

y

w x

w r D

M

σ

σσ

2 2

2

)1.(

4

3

2

1)

1

(

i

y y

w s

x

w y

w r D

M

σ

σσ

4

3)

y x

w r D

H

σ

τσ

(2-85)

Trong đó

y x

w y

w x

∂

∂ +

2

2

) ,

∂

∂

∂ +

∂

∂

0 ) , (

2 2

2

2

w h

y

w y x

H x

2 2

2

4 2

2 4

4 2

2

1

1.4

31

.2.1

1.4

312

s y

x

w r

s x

w r

s

i

y i

y x i

ττσσ

σ

∏ =

− +

1

1

.

4 3

4

D r

h y

x

w y

x

w r

s

y x

i

σσ

σσ

τ

(2-87)

Phương trình vi phân và điều kiện biên được sử dụng để giải quyết vấn đề của tấm Nếu xác định ϕs =ϕt =1 với r = 0, s = 1.Sử dụng (2-87) chúng ta có thể có được phương trình cân bằng của tấm đàn hồi là:

∏ = +

.4)

(

.4

t

t t

t

E E

E E

T t

ϕ

ϕ

+

=+

12

121.2.8

1

2 3

4

3 2

1 2 1 ).

1

(

2

t t

t t

t r

− +

− +

− +

−

−

− +

−

=

0 0 2

0 0

2 0 0

0 2 0

2 ).

1 ( ) 1 (

) 4 1 ( ) 2 1 )(

1 ( 4

3 ) 1 (

) 2 1 ( ).

( 2

1 ) 1 ( 4 ) 2 1

(

z

z z

z z

z z z

s

s s

s t

s

ϕϕ

ϕϕ

2 1

0 2

0 2

0 2

0 0

.2)

1()1(

).41)(

1().21().21(.8

3).21)(

1)(

z z

z t

s

n s

s s

ϕϕ

ϕ

−++

−

−

−

−+

−+

−

−

−

− +

−

−

− +

0 2

0 2

0 0

3 0

2 ).

1 ( ) 1 (

) 4 1 )(

1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( 8

3 ) 4 1 ( 3 ) 8 1 ( ) 1

z z

z z t

s

s s

s s

s

ϕϕ

ϕϕ

(2-99)

Chúng ta cũng có thể viết lại như sau

s=t+r (2-100)

III Tính ổn định của tấm 3 lớp bên ngoài khu vực đàn hồi

III.1 Cấu tạo của tấm 3 lớp

Tấm 3 lớp bao gồm:

- Một lớp cắt mỏng được làm bằng vật liệu cứng mà gọi lớp màng

-Lớp giữa là nhẹ và không cứng b mà bằng gọi là lớp đệm

- lớp cắt được làm bằng kim loại, bộ đệm nhiều lớp được làm bằng gỗ nén, cao su và

có thể là kim loại

III.2 Lực tới hạn và dạng mất ổn định của ổn định của tấm 3 lớp

Vấn đề ổn định cấu trúc là những vấn đề cổ điển, trong đó lý thuyết ổn định được áp dụng để xác định cấu trúc ổn định hay là không ổn định Trong lĩnh vực cơ khí, bên cạnh cấu trúc tấm, cấu trúc vỏ có ý nghĩa thực tế Lý do của các ứng dụng lớn như các tấm lớp và vỏ là có nhiều ưu điểm: trọng lượng nhẹ, độ bền cao, giá rẻ hơn, dễ dàng chế tạo và nó là loại vật liệu composite Bằng sự hỗ trợ của máy tính, bây giờ các nghiên cứu và tính toán trên cấu trúc tấm và vỏ ngày càng chính xác và cụ thể

Chúng tôi xem xét một tấm ba lớp Cả hai lớp bên ngoài và bên trong được làm bằng vật liệu đẳng hướng không nén Các giả thuyết sau đây được sử dụng:

- Độ cứng uốn của lớp bên ngoài bị bỏ qua

- Các đường cong của lớp bên ngoài là như nhau

- Cả hai lớp bên ngoài ổn định trước khi sự bất ổn định ở lớp giữa (chỉ nằm bên trong lớp trong khu vực đàn hồi) và lý thuyết của biến dạng bé đã được sử dụng

-Áp dụng của biến dạng dẻo-đàn hồi của lý thuyết của Iliushin Chúng ta có chuyển vị phụ thuộc vào sự biến đổi của biến dạng:

xzc c xz

G

G

δγδτ

δγδτ

.

với vùng chịu lực của lớp bên ngoài (-h-t <z <-h) sự biến động của nội lực là là:

( 3 1

) , ( ).

( 2

1

3 4

) , ( ).

( 2

1

3 4

1 2

1 1

1 2

1 2

1 1

1

1 1

1

εσσ

τδγ

δτ

εσσ

σδε

δεδσ

εσσ

σδε

δεδσ

i t c c

i

y t c x

y c y

i

x t c y

x c x

E E E

E E E

E E E

khi mất ổn định xảy ra, có bốn trường hợp có thể xuất hiện bốc ở các lớp trên và dưới như sau:

+ Trường hợp một: Lực tập trung của lớp trên cùng tương ứng với vùng lớp dưới cùng

+ Trường hợp hai: Lực tập trung của lớp tương ứng với vùng xếp lớp dưới cùng + Trường hợp ba: Lực tập trung của lớp trên cùng tương ứng với lực tập trung của lớp dưới cùng

+ Trường hợp bốn: Lực tập trung của lớp tương ứng lực tập trung của lớp dưới cùng

Do đó, các hệ thống của phương trình vi phân ổn định đàn hồi-dẻo của tấm ba lớp được thiết lập như sau đây:

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂

2 2

2 2

2 2

2 2 2

1

2 1

2 2

1

2

4

1

4

3

3

4

4

1

4

3

x

v x

u E y

u y

x

v x

u

E s

1)

2 1

2 2 2

1 2

1

2 1

2 1

2 2

1

2 2

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂+

∂

∂

∂+

v y

u x

v x

v y x

u y

x

v x

u E

i t

σ(2-101)

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂

2 2

2 2

2 2

2 2 2

1

2 1

2 2

1

2

4

1

4

3

3

4

4

1

x

u x

v E y

v y

x

u x

v

E s

0

.

.

.

1 ).

2 1

2 2 2 1 1

2 2 1

2 1

2 2

1

2 2

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

u x

u y

x

v y

u y

x

u y

v E

i t

∂

∂

∂ +

∂

∂

x

w t h u u t h

G y

u y

x

u x

u

2 ( ) (

2

1

4

1

4

3

.

3

4

2 1 2

2

2 2

2 2

∂

∂

∂ +

∂

∂

y

w t h v v t h

G y

v y

x

v x

v

2 ( ) (

2

1

4

1

4

3

.

3

4

2 1 2

2

2 2

2 2

(

3

4

3

4

2 2

2 2 1

1

2

y t s s

y

v x

u E

y

v x

∂

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

3 1 3 2

1 3 2

1 3 2

1 3 3

1

3 2 3 1

3 2

3

.

.

x

v y x

u y

x

v y

x

v y

v x

u

x y

x y

∂

∂

∂+

∂

∂+

y x

v y

x

u y

x

v y

u

3 2 1

3 2 2

1 3 3

1

3

.2

3

∂

∂ +

∂

∂ +

=

y x

w T y

w N x

w N t h

t( 2 ). x. y. 2 .

2

2 0 2

2

0 (2-105)

Trong đó:

N x0 ,N0y các lực trong mặt phẳng trung gian

T0 Lực cắt trong mặt phẳng trung gian

G z Môđun cắt của lớp bên trong

Trường hợp 2:

Phương trình thu được bằng cách thay thế 1 vào 2