Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA

Tính cấp thiết của luận văn CDMA” của học viên Đặng Ngọc Hà đề cập đến vấn đề phân tích Wavelet được sử dụng để thay thế các hàm cơ sở trực giao dùng FFT bằng tập các tín hiệu có cấu tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT WAVELET TRONG

HỆ THỐNG THÔNG TIN TRẢI PHỔ CDMA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Kỹ thuật Điện tử viễn thông

Hà Nội – Năm 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

Đặng Ngọc Hà

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT WAVELET TRONG HỆ

THỐNG THÔNG TIN TRẢI PHỔ CDMA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Kỹ thuật Điện tử viễn thông

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

PGS.TS Nguyễn Hữu Trung

Hà Nội – Năm 2011

(Dùng cho học viên cao học)

I Sơ lược lý lịch:

Họ và tên: Đặng Ngọc Hà Giới tính: Nam

Sinh ngày:18 tháng 05 năm 1985

Nơi sinh(Tỉnh mới): Hà Nam

Quê quán: Phủ Lý – Hà Nam

Chức vụ: Giảng viên

Đơn vị công tác: Khoa Kỹ thuật – Điện tử, Trường Cao Đẳng Phát Thanh – Truyền Hình I

Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc:SN 77 – Tổ 21 – P.Hai Bà Trưng – TP.Phủ Lý – Tỉnh Hà Nam Điện thoại CQ: Điện thoại NR: 0351.3855076 Điện thoại di động: 0983051885 Fax: E-mail: deathvov1@gmail.com

II Quá trình đào tạo: 1 Trung học chuyên nghiệp (hoặc cao đẳng): - Hệ đào tạo(Chính quy, tại chức, chuyên tu): Thời gian đào tạo: từ / đến - Trường đào tạo

- Ngành học: Bằng tốt nghiệp đạt loại: 2 Đại học: - Hệ đào tạo(Chính quy,tại chức, chuyên tu) : Chính quy Thời gian đào tạo: từ 09/2003 đến 06/2008 - Trường đào tạo: Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

- Ngành học: Điện tử viễn thông Bằng tốt nghiệp đạt loại: Khá 3 Thạc sĩ: - Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo: từ: 10/2009 đến 10/2011 - Chuyên ngành học: Điện tử viễn thông

- Tên luận văn: Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA

- Người hướng dẫn Khoa học: Tiễn sĩ Nguyễn Hữu Trung

4 Trình độ ngoại ngữ (Biết ngoại ngữ gì, mức độ nào): Tiếng Anh, TOEFL ITP 460 điểm

III Quá trình công tác chuyên môn kể từ khi tốt nghiệp đại học:

IV Các công trình khoa học đã công bố:

Tôi cam đoan những nội dung viết trên đây là đúng sự thật

Ngày tháng năm

NGƯỜI KHAI KÝ TÊN

ảnh 4x6

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Trung

Cơ quan công tác: Trường Cao đẳng Phát Thanh – Truyền Hình 1

NỘI DUNG NHẬN XÉT

1 Tính khoa học của đề tài:

1.1 Tính cấp thiết của luận văn

CDMA” của học viên Đặng Ngọc Hà đề cập đến vấn đề phân tích Wavelet được sử dụng để thay thế các hàm cơ sở trực giao dùng FFT bằng tập các tín hiệu có cấu trúc cao, truyền dẫn hiệu quả, tin cậy trong các hệ thống thông tin trải phổ CDMA

Luận văn đã trình bày lý thuyết về Wavelet và hệ thống thông tin trải phổ đa truy nhập theo mã từ đó xây dựng mô hình CDMA dùng Wavelet có tính năng ưu việt Quá trình thực hiện luận văn với hệ thống đề suất WP-MC/MU-CDMA kết hợp với bộ tách sóng giả ngẫu nhiên và điều chế gói wavelet được miêu tả và phân tích dưới dạng xác suất BER và xác suất bị mất kênh trong fading Nakagami Phân tích khung, mô hình hệ thống và biểu thức của hệ thống hiện tại

1.2 Hướng tiếp cận

Để thực hiện được công việc đề xuất và thực hiện tính toán các mô hình toán học, học viên

đã nghiên cứu lý thuyết wavelet, các hệ thống thông tin trải phổ CDMA, so sánh các hệ thống trải phổ, đề suất WP-MC/MU-CDMA kết hợp với bộ tách sóng giả ngẫu nhiên Kết quả đồ thị chỉ ra rằng hệ thống WP-MC/MU-CDMA phối hợp ưu điểm của cả hai điều chế gói Wavelet và tách sóng đa truy nhập

2 Về bố cục của luận văn

Luận văn được chia thành 4 chương với hơn 100 trang kể cả mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, bảng biểu, Bố cục của luận văn được trình bày như sau: Chương 1 trình bày tổng quan về luận văn, mục đích, phương pháp luận từ trang 8 đến trang 12 Chương 2 từ trang 13 đến trang 47 trình bày về lý thuyết wavelet Chương 3 từ trang 48 đến 100 trình bày lý thuyết nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA Chương 4 gồm các trang còn lại trình bày kết luận và hướng phát triển của luận văn Bố cục và trình bày theo đúng yêu cầu của bộ Giáo dục và Đào tạo

3 Tóm tắt các nội dung chủ yếu của luận án và nhận xét

Chương 1 Học viên giới thiệu tổng quan về các phương pháp phân tích thời gian – tần

số truyền thống nhờ biến đổi Fourier và các phương pháp phân tích phổ biển hiện nay như biến đổi STFT, biến đổi Wavelet…

Chương 2 Trình bày lý thuyết wavlet Chương này học viên nêu các lý thuyết wavlet cơ

bản và nâng cao Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần tần số khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương ứng với thang tỷ lệ của thành phần phổ đó Chương hai trình bày về sự hình thành của biến đổi Wavelet, so sánh biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của biến đổi Wavelet, và giới thiệu một số ứng dụng của biến đổi Wavelet

Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA

Chương này học viên trình bày khái niệm chung về CDMA gồm 3 hệ thống trải phổ cơ bản: chuỗi trực tiếp đa truy cập nhập phân chia theo mã (DS-CDMA),Nhảy tần số đa truy cập phân chia theo mã (FH-CDMA) và nhảy thời gian đa truy nhập phân chia theo mã (TH-CDMA) So sánh các hệ thống trải phổ, hệ thống đề suất WP-MC/MU-CDMA kết hợp với

xác suất BER và xác suất bị mất kênh trong fading Nakagami Qua đó xây dựng mô hình hệ

thống và mô phỏng trên matlab

Chương 4: Kết luận và hướng phát triển Học viên nêu ra nhân xét về ứng dụng

Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA Qua đó đề xuất hướng phát triển cho đề tài về sau

Kết luận: Kết quả đồ thị chỉ ra rằng hệ thống WP-MC/MU-CDMA phối hợp ưu điểm

của cả hai điều chế gói Wavelet và tách sóng đa truy nhập Hệ thống này có thể coi như kế hoạch triển vọng về xóa bỏ giao thoa cho hệ thống thông tin vô tuyến thế hệ tiếp theo.Hướng nghiên cứu phát triển tiếp theo của đề tài: kênh trong mô hình ứng dụng là

mượn kênh fading Nakagami-m, cho các hệ thống sử dụng wavelet gói như là điều chế dạng

sóng, nghiên cứu thực hiện phân tích hệ thống đề suất trong tín hiệu nhiễu dải hẹp

4 Kết luận

Tên đề tài sát với nội dung, phù hợp với nội dung của luận văn thạc sỹ khoa học

Hướng nghiên cứu và phương pháp luận khoa học, logic

Học viên đã có các kết quả về mặt khoa học và thu nhận được các kiến thức:

Trong việc xử lý tín hiệu số thì lý thuyết Fourier luôn là nền tảng cở sở không thể thiếu được từ trước đến nay Nó là công cụ toán học và ứng dụng trong kỹ thuật đặc biệt là xử lý tín hiệu số Tuy nhiên trong một số trường hợp nó trở lên khá phức tạp Phép biến đổi Wavelet được phát triển nhằm khắc phục những hạn chế của biến đổi Fourier trong lĩnh vực xử lý tín hiệu Thực ra biến đổi Wavelet đã được biết đến

và được khai thác từ lâu Nhưng dưới khía cạnh toán học, trong những năm gần đây, biến đổi Wavelet được quan tâm để đầu tư cho nghiên cứu phát triển và đã thu được những kết quả nổi bật Kỹ thuật phân tích Wavelet dựa trên cơ sở khoa học là các

bộ lọc số có nhiều đặc điểm và tính vượt trội so với biến đổi Fourier kinh điển Biến đổi Wavelet được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như hình ảnh, âm thanh, quân sự,

y học, điều khiển tự động và nhiều lĩnh vực khác nữa

Có thể nói đây là lĩnh vực nghiên cứu còn khá mới mẻ, nhiều tiềm năng và rất

hấp dẫn Đó là lý do em chọn để tài “Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet

trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA”

Trong luận văn này, phân tích Wavelet được sử dụng để thay thế các hàm cơ sở trực giao dùng FFT bằng tập các tín hiệu có cấu trúc cao, truyền dẫn hiệu quả, tin cây trong các hệ thống thông tin trải phổ CDMA Mục tiêu thứ nhất của luận văn là giới thiệu và trình bày chi tiết về lý thuyết Wavelet, đưa ra các đặc điểm chi tiết và ứng dụng của Wavelet Mục tiêu thứ hai là trình bày lý thuyết về hệ thống thông tin trải phổ đâ truy nhập theo mã

Dựa trên những yêu cầu đặt ra với đề tài “Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết

Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA” , luận văn của em được cấu

trúc như sau:

Chương 1: Giới thiệu Giới thiệu một số khái niệm trong luận văn, trình bày

mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong luận văn

Chương 2: Lý thuyết Wavelet Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những

đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau

Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA Trình bày khái niệm chung về CDMA, qua đó xây dựng mô hình hệ

thống và mô phỏng trên Matlab

Chương 4: Kết luận và hướng phát triển Nêu ra nhân xét về ứng dụng

Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA Qua đó đề xuất hướng phát triển cho đề tài về sau

Trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của thầy cô giáo, các bạn để luận văn được hoàn thiện và mang tính thực tế hơn

Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Hữu Trung

và TS Nguyễn Thuý Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

3

Mục lục

Lời mở đầu 1

Mục lục 3

Danh sách hình vẽ 6

Chương 1 9

Giới thiệu 9

1 Giới thiệu chung 9

1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số 12

1.2 Độ phân giải thời gian và tần số 12

2 Giới thiệu về CDMA 13

3 Ứng dụng của Wavelet 15

Chương 2: 17

Lý thuyết Wavelet 17

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet 17

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet 18

2.2.1 Biến đổi Fourier 18

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet 21

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier 22

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier 22

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục 24

2.3.1 Định nghĩa 24

2.3.2 Đặc điểm của CWT 25

2.3.2.1 Tính tuyến tính 26

2.3.2.2 Tính dịch (translation) 26

2.3.2.3 Tính tỷ lệ (scaling) 27

2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng 27

2.3.2.5 Tính định vị (localization) 27

2.3.2.6 Ví dụ Wavelet Morlet 27

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) 28

2.4.1 Định nghĩa DWT 28

2.4.2 Tính chất biến đổi DWT 29

2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar 30

2.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) 31

2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 33

2.5.3 Biểu diễn ma trận DWT 37

2.5.4 Phân loại Wavelet 41

2.5.4.1 Đặc điểm của băng lọc Wavelet trực giao (orthogonal wavelet filter banks) 41

filter banks) 41

2.6 Phân tích gói Wavelet 42

2.6.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms) 43

2.6.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet 44

2.6.3 Lựa chọn phân tích tối ưu 45

2.7 Các họ Wavelet 46

Chương 3 48

Ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA 48

3.1 Giới thiệu chung về hệ thống thông tin trải phổ CDMA 48

3.1.1 DS – CDMA (Direct sequence Code Division multiple Access) 48

3.1.1.1 Nguyên lý 48

3.1.1.2 Ảnh hưởng của nhiễu nhiệt 50

3.1.1.3 Nhiễu đơn tần (Single – tone Interference) 51

3.1.1.4 Nhiễu băng rộng (Winderband Interference) 53

3.1.2 FH – CDMA (Frequency Hopping CDMA) 54

3.1.2.1 Nguyên lý 54

3.1.2.2 Hệ thống SFH 55

3.1.2.3 Hệ thống FFH 56

3.1.2.3 Hệ thống FH sử dụng kỹ thuật BFSK 57

3.1.3 TH – CDMA (Time Hopping CDMA) 58

3.1.4 Hệ thống hỗn hợp (Hybrid) FH/DS 59

3.1.5 Đồng bộ 61

3.1.5.1.1 Đồng bộ thô 61

3.1.5.1 Tinh chỉnh đồng bộ (Tracking or Fine Synchronization) 62

3.1.5.2 Đồng bộ cho hệ thống FH 64

3.1.5.2.1 Đồng bộ thô 64

3.1.5.2.2 Tinh chỉnh đồng bộ 66

3.1.6 So sánh các phương pháp trải phổ 68

3.1.6.1 DS-CDMA 68

3.1.6.2 FH – CDMA 69

3.1.6.3 TH – CDMA 69

3.2 Mô hình Điều chế Fractal 70

3.2.1 Giới thiệu 70

3.2.2 Thiết kế máy phát: Điều chế 73

3.2.3 Thiết kế máy thu: Giải điều chế 78

3.2.3.1 Giải điều chế dữ liệu số 78

3.2.3.2 Giải điều chế của dữ liệu tương tự 82

5

Wavelet 85

3.3.1 Giới thiệu 85

3.3.2 Mô hình hệ thống 86

3.3.2.1 Mô hình máy phát 86

3.3.2.2 Mô hình kênh 88

3.3.2.3 Mô hình máy thu 89

3.3.3 Công suất tín hiệu và phương sai nhiễu 93

3.3.4 Đặc tính lỗi bít (BER – Bit Error Rate) 95

3.3.4.1 Đặc tính phân tập lựa chọn (SD) 95

3.3.4.2 Đặc tính phối hợp bằng độ tăng ích (EGC) 96

3.3.4.3 Đặc tính phối hợp tỷ lệ tối ưu (MRC) 97

3.3.5 Đặc tính xác suất ngừng chạy 98

3.3.6 Kết quả mô phỏng 99

Chương 4 101

Kết luận và hướng phát triển 101

4.1 Kết luận chung 101

4.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 101

Danh sách hình vẽ

Hình 1.1: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet 15

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian 19

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn20 Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức 4.6 19

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số 23

Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số 23

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet 28

Hình 2.7: Wavelet Haar 31

Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L2 biểu diễn toàn bộ không gian V biểu diễn một không gian con, W j j biểu diễn chi tiết 32

Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con 34

Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 37

Hình 2.11: Băng lọc hai kênh 35

Hình 2.12: Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử 42

Hình 2.13: So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và43 Hình 2.14: Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 44

Hình 2.15: Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet246 Hình 3.1: Dạng sóng của d(t), g(t) và d(t)g(t) 49

Hình 3.2: Sơ đồ thu – phát trải phổ của DS 50

Hình 3.3: Bộ phát nhảy tần số. 54

Hình 3.4: Bộ thu nhảy tần số. 55

Hình 3.5: Quá trình truyền phát SFH dùng 4-FSK 56

Hình 3.6: Quá trình truyền phát FFH dùng 4-FSK 57

Hình 3.7: Điều chế FH dùng BPSK 57

Hình 3.9: TH Modulator 58

Hình 3.10: TH Receiver 59

Hình 3.11: Phổ tần số của hệ thống tổng hợp FH/DS 59

Hình 3.12: Bộ điều chế tổng hợp FH/DS 60

Hình 3.13: Bộ thu tổng hợp FH/DS 60

Hình 3.14: Mạch đồng bộ thô DS 62

Hình 3.15: Mạch tinh chỉnh đồng bộ DS 63

Hình 3.16: VCO Input 64

Hình 3.17: Mạch đồng bộ thô FH 65

Hình 3.18: Dạng sóng của mạch đồng bộ thô FH 66

Hình 3.19: Mạch tinh chỉnh đồng bộ FH (hay mạch tinh chỉnh cổng sớm trễ).67 Hình 3.20: Sóng của cổng sớm trễ 68

Hình 3.21: Hệ thống thông tin để truyền liên tục hay rời rạc chuỗi dữ liệu q[n] trên nhiễu 70

Hình 3.22: Mô hình kênh đặc trưng cho chuỗi thông tin mong muốn 71

7

Hình 3.24: Một phần ảnh thời gian – tần số tín hiệu với vector dữ liệu q chiều

dài hữu hạn với trường hợp H=-1/2 77

Hình 3.25: Thuật toán phân tích khả năng hiệu quả phép biến đổi Wavelet cơ sở trực giao dựa trên mô tả biến đổi Wavelet 80

Hình 3.26: Mô hình hệ thống máy phát WP-MC/MU-CDMA. 87

Hình 3.28: bộ giải mã WP-MC/MU-CDMA cho hth dải con 90

Hình 3.29: So sánh đặc tính BER của các kỹ thuật phân tán khác nhau 100

Hình 3.30: So sánh đặc tính Pout của các kỹ thuật phân tán khác nhau 100

Danh sách bảng

Bảng 2.1 Tổng kết tính chất của một số Wavelet 47

Chương 1

Giới thiệu

1 Giới thiệu chung

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thỏa mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác Í tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đó tồn tại từ đầu thế kỷ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn

Quy trình phân tích Wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là

Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong

khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ

Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet ), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào

đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc Mó húa rời rạc (sparse coding)

làm cho Wavelet trở thành một cụng cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu

kỹ thuật hạt nhân, mã hóa băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,

turbulence, dự bỏo động đất, radar, và các ứng dụng thuần túy toán học như giải

phương trỡnh vi phõn từng phần (partial differential equation)

Lịch sử hình thành Wavelet

Wavelet đó được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên ở thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đó không đưa ra được một lý thuyết chặt chẽ, thống nhất

Trước 1930

Trước năm 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu

với Josep Fourier (1807) và lý thuyết của ụng về giải tớch tần số (frequency analyis),

hiện nay thương được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT)

( )

0 1

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier

và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới khái

niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis) Í tưởng cơ bản là xây dựng một hàm gốc, dịch và

thay đổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu để thu được một xấp xỉ mới của tín hiệu đó Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác nhau Khái niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục của lý thuyết của A.Haar (1909) Wavelet triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn Và Wavelet Haar không khả vi liên tục, điều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar

Những năm 1930

sự biểu diễn hàm sử dụng các hàm cơ sở tỷ lệ thay đổi Bằng cách sử dụng hàm cơ sở

tỷ lệ thay đổi gọi là hàm gốc Haar, Paul Levy, một nhà vật lý đó nghiên cứu chuyển động Brownian, một dạng tín hiệu ngẫu nhiên Paul Levy nhận thấy hàm gốc Haar tốt hơn các hàm cơ sở Fourier khi nghiên cứu các chi tiết nhỏ phức tạp trong chuyển động Brownian Và một nghiên cứu khác trong những năm 1930 do Littlewood, Paley, và Stein thực hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm f(x):

toàn năng lượng khi tính toán năng lượng hàm David Marr đó đưa ra với thuật toán hiệu quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet

Năm 1960 đến 1980

Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toán học Guido Weiss và Ronal R.Coifman đó

nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom (nguyên tử), với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp (assembly

rules) cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các atoms Năm

1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đó định nghĩa chung Wavelet trong lĩnh vực vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý

Cuối những năm 1980

Năm 1985, Stephane Mallat đã tạo ra một bước nhảy vọt trong nghiên cứu Wavelet với các công trình nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số Stephane

Mallat đó khám phá ra mối liên hệ giữa các bộ lọc (quadrature mirror filters – các bộ

lọc gương cầu phương), các thuật toán hình chóp (pyramid algorithms), và các cơ sở

Wavelet trực chuẩn Dựa trên những kết quả này, Y Meyer đó xây dựng Wavelet Y Meyer Khác với Wavelet Haar, Wavelet Meyer là khả vi liên tục Sau đó một vài năm Ingrid Daubechies đó ứng dựng các nghiên cứu của Mallat để xây dựng một tập hợp các hàm cơ sở trực chuẩn Wavelet, là cơ sở cho các ứng dụng Wavelet ngày nay

Mặc dù lý thuyết về biến đổi Wavelet hiện đại chính thức được phát triển khoảng hai mươi năm gần đây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến đổi Wavelet đó xuất hiện từ trước đó rất lâu Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại bắt nguồn từ cuối những năm 1970 và 1980 Ban đầu Jean Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi

Fourier thời gian ngắn STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ

phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải tần số cho các thành phần tần số thấp hơn Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ phân giải thời gian và ngược lại muốn

có độ phần giải thời gian tốt thì độ phân giải tần số sẽ kém đi Để giải quyết vấn đề này Joseph Morlet đó đưa ra ý tưởng về các hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay trải hàm này ra để thu được hàm tần số thấp hơn Để theo dừi toàn bộ thay đổi của tín hiệu theo thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian

Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng tuyệt vời: tín hiệu được khai triển trên một tập hợp của các hàm được giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ - mother Wavelet)

t b a

ψ⎛⎜ − ⎞⎟

thang tỷ lệ (scale) và nó là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ phân giải thời gian

và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu Quy trình phân tích Wavelet là chọn một

hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích (analyzing Wavelet) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version)

co lại tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng gión ra tần số thấp của cựng Wavelet mẹ

Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, kỹ thuật hạt nhân,

mã hóa băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, quang học,

dự báo động đất, radar, ảnh cộng hưởng từ và các ứng dụng thuần túy toán học như giải phương trình vi phân từng phần

Lý thuyết Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu mà ở đây là trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA

1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số

Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT và biến đổi Wavelet

Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier Tín hiệu ƒ(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổw(t−τ), sau đó thực hiện biến đổi Fourier truyền thống Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp

lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại Một ví dụ điển hình của hàm cửa

sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946

Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (giãn ra hay co

vào) của hàm nguyên mẫu đầu tiên ψ Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các ( )t

tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp

1.2 Độ phân giải thời gian và tần số

Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là một vấn

đề quan trọng cần quan tâm Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức định vị cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định vị cao theo tần số Điều đó dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số

Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đó Diện tích cơ bản trong mặt

phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile) Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa sổ hình

chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số

Để tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến đổi sử dụng cho biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy tỷ

Tương tự như vậy, nhân với e jw S t dẫn đến dịch ô ngói bởi wS Ngoài ra, cần chú ỷ rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay không có kích thước hẹp vô hạn Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm cơ sở được sử dụng cho khai triển

Giả thiết tín hiệu f( )t tập trung quanh t0 với phổ tần số F(w) tập trung quanh w0,

0

2

2

11

với E là năng lượng của tín hiệu Độ phân giải thời gian và tần số liên hệ theo nguyên

lý bất định Heisenberg Nguyên lý này thiết lập một giới hạn cho độ phân giải thời gian và tần số được biểu diễn bởi tích ∆t∆w Nếu f( )t phân rã nhanh hơn 1 / t khi

2 Giới thiệu về CDMA

trong thông tin quân sự từ những năm 1960 Cùng với sự phát triển của công nghệ bán dẫn và lý thuyết thông tin trong những năm 1980, CDMA đã dần dần được thương mại hóa

Hệ thống CDMA sử dụng kỹ thuật trải phổ nhằm thực hiện cho các hệ thống thông tin có khả năng chống phá sóng cao Kỹ thuật trải phổ là ứng dụng trực tiếp của

lý thuyết thông tin của Shannon, đã trở nên rất quan trọng trong các hệ thống thông tin

do có nhiều tính năng ưu việt như: giảm mật độ cống suất, độ định vị cao, độ phân giải cao

Có 3 kỹ thuật trải phổ:

Trải phổ là một kỹ thuật được thực hiện bằng cách điều chế lần thứ hai một tín hiệu đã được điều chế nhằm tạo ra một dạng sóng sẽ là nhiễu đối với bất kỳ một tín hiệu nào khác hoạt động trong cùng băng tần Vì vậy, khi máy thu tín hiệu AM hay

FM thông thường sẽ không nhận thấy sự hiện diện của tín hiệu trải phổ đang hoạt động trên cùng băng tần Tương tự, máy thu tín hiệu trải phổ sẽ không nhận diện được sự hiện diện của tín hiệu AM hay FM Vì thế, người ta nói các tín hiệu này “trong suốt” (transparent) với nhau

Để tạo được sự trong suốt này, kỹ thuật trải phổ điều chế một tín hiệ đã điều chế, điều biên hay điều tần băng rộng, vì vậy sẽ tạo ra một tín hiệu có băng thông rất rộng Ví dụ: tín hiệu AM thông thường có băng thông là 10Khz, một tín hiệu trải phổ

thông là 1Mhz Như vậy trong khoảng băng tần 10Khz của tín hiệu AM công suất của tín hiệu trải phổ là Ps (104/106) = Ps/100 và đối với đầu thu tín của tín hiệu AM, phân công suất của tín hiệu trải phổ giao thoa với nó tương đương như tín hiệu nhiễu thấp hơn 20 dB

mã giả ngẫu nhiên (PN – Pseudo Noise) với sự tương quan chéo thấp được ấn định cho mỗi user Tốc độ bit của chỗi PN phải đủ lớn để trải phổ tín hiệu trên toàn băng thông User truyền tín hiệu bằng cách trải phổ tín hiệ truyền sử dụng chuỗi PN đã được ấn định Máy thu sẽ tạo lại một chuỗi giả ngẫu nhiên như ở máy phát và khôi phục lại tín hiệu nhờ việc dồn phổ các tín hiệu đồng bộ thu được

Tính chất của kỹ thuật trải phổ:

- Băng thông tín hiệu phát lớn hơn nhiều so với băng thông cần thiết để truyền thông tin chứa trong tín hiệu đó

- Việc trải phổ được thực hiện nhờ tín hiệu trải phô c(t), thường được gọi là tính hiệu mã (code) Tín hiệu này độc lập với dữ liệu truyền đi

- Ở đầu thu, việc thu lại tín hiệu ban đầu được thực hiện nhờ kỹ thuật dồn phổ (despreading) khô phuc dữ liệu nguyên thủy bằng cách xét sự tương quan của tín hiệu thu được với tín hiệu giống hệt và được đồng bộ với tính hiệu

mã dùng để trải phổ

3 Ứng dụng của Wavelet

Ngày nay biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi Biến đổi Wavelet được áp dụng trong những lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng được mở rộng Một trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI Biến đổi Wavelet được sử dụng để nén ảnh dấu vân tay để lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI Ban đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến đổi này không được thực hiện tốt ở tỷ số nén cao Biến đổi này đưa ra một vài hiệu ứng chặn làm cho không thể theo các đường vân tay sau khôi phục Điều này hoàn toàn không xảy ra với biến đổi Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu

Với biến đổi Wavelet rời rạc, hầu hết thông tin quan trọng xuất hiện trong các biên

độ lớn và các thông tin kém quan trọng hơn xuất hiện ở những biên độ rất nhỏ Việc nén dữ liệu có thể thu được nhờ loại bỏ các biên độ thấp Biến đổi Wavelet cho phép

tỷ số nén cao với chất lượng khôi phục tốt Hiện nay, ứng dụng Wavelet cho nén ảnh

là một trong những lĩnh vực nghiên cứu được quan tâm nhất Gần đây, biến đổi Wavelet đã được chọn cho chuẩn nén JPEG 2000

Hình 1.1: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet

Hình 2.16 thể hiện các bước chung trong ứng dụng xử lý tín hiệu Quá trình xử lý tín hiệu có thể bao gồm nén, mã hoá, khử nhiễu, … Tín hiệu đã xử lý được lưu giữ hoặc truyền phát đi Với hầu hết các ứng dụng nén, quá trình xử lý bao gồm lượng tử hoá mã hoá entropy cho tới nén ảnh Trong suốt quá trình này, toàn bộ các hệ số wavelet dưới ngưỡng được chọn bị loại bỏ Các hệ số bị bỏ qua được thay thế bằng không trong suốt quá trình khôi phục ở đầu kia Để khôi phục tín hiệu, mã hoá entropy được giải mã, sau đó được lượng tử hoá và cuối cùng được biến đổi Wavelet ngược

Wavelet cũng được ứng dụng trong nén tiếng nói, nó làm giảm thời gian truyền dẫn trong các ứng dụng di động Wavelet được sử dụng để khử nhiễu, phát hiện sườn, trích các đặc điểm, nhận dạng tiếng nói, loại bỏ tiếng vọng,… Wavelet cũng cho thấy nhiều ứng dụng triển vọng trong nén tín hiệu audio và video thời gian thực Wavelet cũng được ứng dụng trong thông tin số tiêu biểu như ghép kênh phân chia theo tần số

trực giao OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)

Chương 2:

Lý thuyết Wavelet

Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần tần số khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương ứng với thang tỷ lệ của thành phần phổ đó

Chương hai trình bày về sự hình thành của biến đổi Wavelet, so sánh biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của biến đổi Wavelet, và giới thiệu một số ứng dụng của biến đổi Wavelet

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thoả mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu diễn một hàm khác Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa

sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn

Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là

Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong

khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ

Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính

toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào

đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc Mã hoá rời rạc (sparse coding)

làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm

nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,

turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải

phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

2.2.1 Biến đổi Fourier

Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier đã chứng minh rằng một hàm tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ phức Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của các hàm, đầu tiên ý tưởng của ông đã được tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau đó cho các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian Sau đó tổng kết này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy tính Năm 1965, một

thuật toán mới được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier Transform) được

phát triển và biến đổi FT (Fourier Transform) trở thành một công cụ phổ biến

f

dt e t f w F

iwt

jwt

)()

(

)()

(

(2.4)

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ

-∝ tới +-∝ Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay đổi theo

thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary) Điều đó có nghĩa là biến đổi

Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần số nào đó,

Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là biến đổi Fourier nhanh

STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra Trong biến đổi STFT, tín hiệu

được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng đoạn được phân chia có thể

coi là dừng (stationary) Với mục đích này, hàm cửa sổ được lựa chọn Độ rộng của

cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng của tín hiệu là phù hợp Định nghĩa STFT:

t

jwtdt e l t w t f w

l STFT ( , ) [ ( ) *( )]

(2.5) với w là hàm cửa sổ

Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử dụng Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian

Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg Các phương trình cơ bản không thể đưa ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết được các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc chắn khoảng thời nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại

Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng Nếu như các thành phần tần

số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt Tuy nhiên, trong trường hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp là khó khăn

Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào, tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử dụng

phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet

Transform) Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những

độ phân giải khác nhau Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn

thời gian, trục tung biểu diễn tần số

Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn

ở tần số thấp Phép tính gần đúng này có ý nghĩa đặc biệt khi tín hiệu gốc có các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần tần số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài, đó là trường hợp của hầu hết các tín hiệu y sinh: tín hiệu

điện não đồ EEG (electroencephalogram), điện cơ đồ EMG (electromyogram), và điện tâm đồ ECG (electrocardiogram)

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies92):

1 , ( ) (2.7)

là hàm cửa sổ còn được gọi là Wavelet mẹ (mother wavelet), a là tỷ lệ và b là khoảng

dịch, ψ*(t) là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ(t) Thuật ngữ Wavelet nghĩa là sóng nhỏ Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu đầu tiên để tạo nên các hàm cửa sổ

Thuật ngữ dịch (translation) liên quan với vị trí của cửa sổ, như là cửa sổ được

dịch chuyển trên tín hiệu Thuật ngữ này rõ ràng tương ứng với thông tin thời gian

trong miền khai triển (transform domain) Tuy nhiên, chúng ta không có tham số tần

số như trong biến đổi STFT Thay thế cho tham số tần số, chúng ta có khái niệm tỷ lệ,

là phép toán mở rộng hoặc nén tín hiệu Các tỷ lệ nhỏ tương ứng với mở rộng hay giãn các tín hiệu và các tỷ lệ lớn tương ứng để nén tín hiệu Việc lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần thô) của tín hiệu

Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau – xem hình 3.3:

1 Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản

2 Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín

hiệu Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet đã chọn

3 Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn bộ tín hiệu

4 Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3

Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6)

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log 2 n độ dài thay đổi, điền đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n

Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet,

Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet)

Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần

số và tính phân bố công suất

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Điểm khác biệt đáng chú ý nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là các hàm Wavelet riêng được khu biệt trong không gian, trong khi các hàm sin và cosin của biến đổi Fourier thì không Đặc điểm khu biệt, cùng với sự khu biệt các wavelet theo

tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng Wavelet được rải rác ra “sparse”

khi biến đổi sang miền Wavelet Sự rải rác này, dẫn đến một số ứng dụng hữu ích như

là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của ảnh, và khử nhiễu

Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian-tần số giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt phẳng thời gian-tần số Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian-tần số

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt

phẳng thời gian - tần số

Một ưu điểm của biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi Để tách các điểm gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm đó

để có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài

Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội

tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số

Một điểm cần ghi nhớ rằng các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin Thay vào đó, các

biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng Do vậy, phân tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục

2.3.1 Định nghĩa

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:

W(a,b)=∫−+∞∞ f(t)ψ* ,b(t)dt (2.8)

với a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t) là liên hợp

phức của hàm wavelet ψa,b(t) Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet ψ ,b(t)có thể thu được từ Wavelet cơ bản:

1 , ( ) (2.9) với a, b là các số thực (a ≠ 0), ψ ,b(t)là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng

không: ∫∞

∞

−

= 0 )

( dt t

ψ Hàm Wavelet ψ ,b(t)có dạng bất biến trong không gian L2(R) của

(

a

dadb t b a W C t

ψ

(2.10) trong đó Cψ phải thoả mãn điều kiện:

=+∫∞ <+∞

∞

−

ωω

ωψ

C

2

)(

(2.11) với ψ(ω)là biến đổi Fourier của hàm Wavelet ψ ,b(t) C là hằng số phụ thuộc vào ψ

hàm Wavelet ψ ,b(t) C là hữu hạn chỉ khi hàm ψ ψ(0)=0hay điều kiện tương đương: +∞∫ψ( dt t) = 0 (2.12)

Để chắc chắn rằng các hàm Wavelet phân rã nhanh chóng tới không và do vậy chúng được khu biệt rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn điều kiện:

2.3.2 Đặc điểm của CWT

Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện thừa nhận (admisibility

condition) và các điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và các đặc điểm này dẫn

đến tên gọi Wavelet (sóng nhỏ) Người ta chứng minh rằng tích phân bình phương các hàm ψ(t) thoả mãn điều kiện admissibility:

và do vậy phải có dạng dao động Nói cách khác, ψ(t)phải là dạng sóng

Người ta sử dụng các điều kiện thêm (additional condition) của các hàm Wavelet

để làm cho biến đổi Wavelet giảm nhanh chóng cùng với sự giảm tỷ lệ a Đó là điều

kiện điều chỉnh (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm Wavelet phải trơn

và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số Regularity là một khái niệm phức

tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm momen triệt tiêu

p

a

t p

t f

1)0,(

++

+

2

2 2 1

1 0

!

0

!2

0

!1

00

1)

f a

M

f a M

f a M f a a

(2.19)

Từ điều kiện admissibility có momen M0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế phải

bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho tín hiệu trơn ƒ(t) Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ Nếu Wavelet có momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N Trên thực tế, nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn vào ứng dụng

2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng

Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Nếu hàm f(t)∈L2(R)và có biến đổi Wavelet liên tục là Wf(a,b) thì:

,W

1

a

dadb b

a C

dt t f

( ) ( )2/ 2

2

πω

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet 2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)

gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet ψa, b( )ω rất dư thừa Do vậy,

để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh vực

mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band coding) Năm

1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển được gọi là mã

hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA)

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ

sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

2.4.1 Định nghĩa DWT

Chúng ta có hàm rời rạc f(n) và định nghĩa biến đổi Wavelet rời rạc DWT đưa ra

n f k

j C b a

1)

a f f

A

,

2 2

2

,

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds)

Biến đổi ngược được xác định như sau:

Nếu giới hạn khung (framebounds) trong (2.27) là A=B=1, thì phép biến đổi là

trực giao

Đây là tổng vô hạn theo cả chỉ số thời gian k và chỉ số tỷ lệ j Tuy nhiên tổng này

có thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Wavelet với toàn

bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nào đó, như vậy phép tổng hữu hạn (2.28) theo k là đúng với một số xấp xỉ

Để tìm hiểu tại sao phép tổng (2.28) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ, phần tiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA được phát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Wavelet sau này

2.4.2 Tính chất biến đổi DWT

này đại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moments) được xác định như sau: Nếu

( )x

nghĩa là:

k h

h 2 0 (2.35)

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi dãy

h(k) và để biểu diễn sự phân tích và khôi phục Wavelet chúng ta chỉ cần các hệ số của

2/10,1

t

t

t t

Hình 2.7: Wavelet Haar

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank)

2.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis)

Định nghĩa: Không gian L2 = L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự Phân

tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j ⊂L2( )R :

• {φ(t−k) }k∈Z xác định một cơ sở trực chuẩn cho V (2.38e) 0

Như vậy họ {φ(t− ,k) k∈Z} tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian tham chiếu V Các không gian 0 V lồng vào nhau Không gian L j 2(R) đóng kín tập hợp mọi

function) hay hàm cha (father function) đôi khi còn được gọi là hàm xấp xỉ

Họ {ψj,k :k∈Z} tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho W n

Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

φ

Đặt không gian W là phần bù của j V với j V , j+ 1 V j+1 =V j⊕Wj Các hàm ψj, k là một cơ sở trực chuẩn của W j

Với các tín hiệu thực tế có dải thông giới hạn, có một tỷ số j = J cho các hệ số wavelet w j,klà đủ nhỏ Do đó có thể viết hàm f J ∈ thành V J f J( )t =∑k s ,kφ ,k( )t

2 1 -

0 j0

0

, 0 , 0 ,

J j

J J k j k j k

j k

với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích

Vì ψ∈W0 ⊂V1, và ψ(2t−k) là một cơ sở trực chuẩn của V , 1 ψ có thể được viết thành:

được gọi là phương trình Wavelet

Các hệ số ( )h và k ( )g từ các phương trình tỷ lệ và phương trình Wavelet tương ứng k

với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này được sử dụng trong thuật toán Mallat

2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi Độ phân giải của tín hiệu

là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu Độ phân giải của tín