Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT CDMA Code division multiple access Đa truy nhập theo mã AWGN Additive white gaussian noise Nhiễu cộng chuẩn trắng CWT Continuous wavelet transform Biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

ĐẶNG PHAN THU HƯƠNG

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT WAVELET TRONG HỆ THỐNG THÔNG TIN TRẢI PHỔ CDMA

Chuyên ngành : ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐIỆN TỬ- VIỄN THÔNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN HỮU TRUNG

Hà Nội – 2010

Mục Lục

Trang

Trang phụ bìa………

Mục lục………

Lời cảm ơn……… 1

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt……… 2

Danh mục các bảng……… 4

Danh mục các hình vẽ đồ thị……… 4

Lời nói đầu……… 7

Chương 1: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu……… 9

1.1 Giới thiệu về Waveelet……… 9

1.1.1 Các công cụ phân tích thời gian – tần số……… 13

1.1.2 Độ phân giải thời gian và tần số……… 13

1.2 Giới thiệu về CDMA ……… 15

1.3 Ứng dụng của wavelet ……… 16

Chương 2: Lý thuyết Wavelet……… 19

2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet ……… 19

2.1.1 Biến đổi Fourier ……… 19

2.1.2 Khái niệm biến đổi Wavelet ……… 22

2.1.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier ………… 23

2.1.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier……… 24

2.2 Biến đổi Wavelet liên tục……… 25

2.2.1 Định nghĩa……… 25

2.2.2 Đặc điểm của CWT……… 27

2.2.2.1 Tính tuyến tính……… 28

2.2.2.2 Tính dịch (translation)……… 28

2.2.2.3 Tính tỷ lệ (scaling)……… 28

2.2.2.4 Tính bảo toàn năng lượng……… 29

2.2.2.5 Tính định vị (localization)……… 29

2.2.2.6 Ví dụ Wavelet Morlet……… 29

2.3 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)……… 30

2.3.1 Định nghĩa DWT……… 30

2.3.2 Tính chất biến đổi DWT……… 31

2.3.3 Ví dụ Wavelet Haar……… 32

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank)……… 33

2.4.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis)……… 33

2.4.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc……… 35

2.4.3 Biểu diễn ma trận DWT……… 39

2.4.4 Phân loại Wavelet……… 42

2.4.4.1 Đặc điểm của băng lọc Wavelet trực giao……… 42

2.4.4.2 Đặc điểm của băng lọc Wavelet song trực giao……… 43

2.5 Phân tích gói Wavelet……… 43

2.5.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms)……… 44

2.5.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet……… 46

2.5.3 Lựa chọn phân tích tối ưu……… 46

2.6 Các họ Wavelet……… 47

Chương 3: Ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA……… 49

3.1 Giới thiệu chung về hệ thống thông tin trải phổ CDMA ……… 49

3.1.1 DS - CDMA (Direct sequence - Code Division multiple Access) 49

3.1.1.1 Nguyên lý ……… 49

3.1.1.2 Ảnh hưởng của nhiễu nhiệt……… 51

3.1.1.3 Nhiễu đơn tần (Single – tone Interference) ………. 51

3.1.1.4 Nhiễu băng rộng (Wideband Interference)……… 54

3.1.2 FH – CDMA (Frequency Hopping CDMA)……… 55

3.1.2.1 Nguyên lý ……… 55

3.1.2.2 Hệ thống SFH……… 57

3.1.2.3 Hệ thống FFH……… 58

3.1.2.4 Hệ thống FH sử dụng kỹ thuật BFSK……… 59

3.1.3 TH - CDMA (Time Hopping CDMA) ……… 60

3.1.4 Hệ thống hỗn hợp (Hybrid) FH/DS……… 61

3.1.5 Đồng bộ ……… 63

3.1.5.1 Đồng bộ cho hệ thống DS……… 64

3.1.5.1.1 Đồng bộ thô……… 64

3.1.5.1.2 Tinh chỉnh đồng bộ ……… 65

3.1.5.2 Đồng bộ cho hệ thống FH……… 67

3.1.5.2.1 Đồng bộ thô……… 67

3.1.5.2.2 Tinh chỉnh đồng bộ……… 69

3.1.6 So sánh các phương pháp trải phổ……… 71

3.1.6.1 DS - CDMA……… 71

3.1.6.2 FH - CDMA……… 72

3.1.6.3 TH - CDMA……… 72

3.2 Mô hình Điều chế Fractal……… 73

3.2.1 Giới thiệu……… 73

3.2.2 Thiết kế máy phát: Điều chế……… 76

3.2.3 Thiết kế máy thu: Giải điều chế……… 81

3.2.3.1 Giải điều chế dữ liệu số……… 82

3.2.3.2 Giải điều chế của dữ liệu tương tự……… 86

3.3 Đề xuất mô hình hệ thống CDMA đa người dùng đa tải tin dùng gói Wavelet……… 89

3.3.1 Giới thiệu……… 89

3.3.2 Mô hình hệ thống ……… 90

3.3.2.1 Mô hình máy phát……… 90

3.3.2.2 Mô hình kênh……… 92

3.3.2.3 Mô hình máy thu……… 94

3.3.3 Công suất tín hiệu và phương sai nhiễu……… 98

3.3.4 Đặc tính lỗi bít (BER – Bit Error Rate) ……… 100

3.3.4.1 Đặc tính phân tập lựa chọn (SD)……… 100

3.3.4.2 Đặc tính phối hợp bằng độ tăng ích (EGC)……… 101

3.3.4.3 Đặc tính phối hợp tỷ lệ tối ưu (MRC)……… 102

3.3.5 Đặc tính xác suất ngừng chạy……… 103

3.3.6 Kết quả mô phỏng……… 104

Chương 4: Kết luận và hướng phát triển……… 107

4.1 Kết luận chung……… 107

4.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo……… 107

Tài liệu tham khảo………

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, em đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và góp ý nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Trước hết, em xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô trường Đại học Bách khoa

Hà Nội, đặc biệt là những thầy cô Khoa Điện Tử - Viễn Thông đã tận tình dạy bảo cho

em suốt thời gian học tập tại trường

Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS Nguyễn Hữu Trung đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết hướng dẫn nghiên cứu và giúp em hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Bách khoa

Hà Nội cùng quý thầy cô khoa Điện tử - Viễn thông, gia đình và đồng nghiệp đã ủng

hộ, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài

Mặc dù em đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt tình và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của các thầy cô và những người quan tâm tới đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn!

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

CDMA Code division multiple access Đa truy nhập theo mã

AWGN Additive white gaussian noise Nhiễu cộng chuẩn trắng

CWT Continuous wavelet transform Biến đổi wavelet liên tục STFT Short time fourier transform Biến đổi fourier thời gian ngắn DWT Discrette wavelet transform Biến đổi wavelet rời rạc

FFT Fast fourier trasform Biến đổi fourier nhanh

MRA Multiresolution analysis Phân tích đa phân giải

FIR Finite impulse response Đáp ứng xung hữu hạn

CMF Conjugate mirror filters Bộ lọc gương liên hợp

WPA Wavelet packet analysis Phân tích gói wavelet

BPSK Binary phase shift keying Khóa dịch pha nhị phân

QPSK Quadrature phase shift keying Khóa dịch pha cầu phương DS-CDMA Direct sequence - CDMA Chuỗi trực tiếp- CDMA

FH- CDMA Frequency hopping - CDMA Nhảy tần số - CDMA

FSK Frequency shift keying Khóa dịch tần số

BFSK Binary frequency shift keying Khóa dịch tần số nhị phân

VCO Voltage-controlled oscillator Bộ dao động điều khiển điện áp

NRZ Non-return-to-zero Không trở về zero

SNR Signal-to-noise ratio Tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu

QMF Quadrature mirror filter Bộ lọc gương vuông góc

MMSE Minimum mean square error Sai lệch trung bình bình phương

tối thiểu

SD Selection diversity Phân tập lựa chọn

MIP Multipath intensity profile Dạng cường độ đa đường

TH- CDMA Time hopping - CDMA Nhảy thời gian - CDMA

pdf Probability density funtion Hàm mật độ xác suất

EGC Equal gain combining Phối hợp bằng độ tăng ích MRC Maximum ratio combining Phối hợp tỷ lệ tối ưu

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1: Tổng kết tính chất của một số Wavelet……… 48

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet……… 17

Hình 2.1 Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số - thời gan……… 20

Hình 2.2 Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian – tần số Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số……… 21

Hình 2.3 Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.3)………… 23

Hình 2.4 Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian – tần số và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian – tần số……… 24

Hình 2.5 Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian – tần số và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian – tần số……… 25

Hình 2.6 Biểu diễn Wavelet Morlet……… 29

Hình 2.7 Wavelet Haar……… 33

Hình 2.8 Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hóa băng con (a) Quá trình phân tích, (b) Quá trình tổng hợp……… 36

Hình 2.9 Phân tích Wavelet sử dụng ký hiệu toán tử……… 38

Hình 2.10 Băng lọc hai kênh……… 39

Hình 2.11 Phân tích gói Wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử……… 44

Hình 2.12 So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian – tần số của Wavelet và gói Wavelet……… 44

Hình 2.13 Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2…… 45

Hình 2.14 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies2 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat……… 47

Hình 3.1 Dạng sóng của d(t),g(t) và d(t)g(t)……… 50

Hình 3.2 Sơ đồ thu – phát trải phổ của DS……… 51

Hình 3.3 Bộ phát nhảy tần số……… 56

Hình 3.4 Bộ thu nhảy tần số……… 56

Hình 3.5 Quá trình truyền phát SFH dùng 4-FSK……… 57

Hình 3.6 Quá trình truyền phát FH dùng 4-FSK……… 58

Hình 3.7 Điều chế FH dùng BPSK……… 59

Hình 3.8 Dải điều chế FH dùng BPSK……… 60

Hình 3.9 TH Modulator……… 60

Hình 3.10 TH Receiver……… 61

Hình 3.11 Phổ tần số của hệ thống tổng hợp FH/DS……… 61

Hình 3.12 Bộ điều chế tổng hợp FH/DS……… 62

Hình 3.13 Bộ thu tổng hợp FH/DS……… 63

Hình 3.14 Mạch đồng bộ thô DS……… 64

Hình 3.15 Mạch tinh chỉnh đồng bộ DS……… 65

Hình 3.16 VCO Input……… 66

Hình 3.17 Mạch đồng bộ thô FH……… 67

Hình 3.18 Dạng sóng của mạch đồng bộ thô FH……… 68

Hình 3.19 Mạch tinh chỉnh đồng bộ FH(hay mạch tinh chỉnh cổng sớm trễ) 69

Hình 3.20 Sóng của cổng sớm trễ……… 70

Hình 3.21 Hệ thống thông tin để truyền liên tục hay rời rạc chuỗi dữ liệu q[n] trên nhiễu ……… 73

Hình 3.22 Mô hình kênh đặc trưng cho chuỗi thông tin mong muốn………… 74 Hình 3.23 Ảnh về thời gian – tần số của tín hiệu đồng nhất với mức H = -1/2 77

Hình 3.24 Một phần ảnh thời gian - tần số truyền tín hiệu với vector dữ liệu q

chiều dài hữu hạn với trường hợp H = -1/2 ……… 80

Hình 3.25 Thuật toán phân tích khả năng hiệu quả phép biến đổi Wavelet cơ sở trực giao dựa trên mô tả biến đổi Wavelet……… 84

Hình 3.26 Mô hình hệ thống máy phát WP – MC/MU – CDMA……… 92

Hình 3.27 Mô hình hệ thống máy thu WP – MC/MU – CDMA……… 94

Hình 3.28 Bộ giải mã WP – MC/MU – CDMA cho hth giải con……… 94

Hình 3.29 So sánh đặc tính BER của các kỹ thuật phân tán khác nhau……… 105

Hình 3.30 So sánh đặc tính Pout của các kỹ thuật phân tán khác nhau ……… 105

LỜI MỞ ĐẦU

Trong hệ thống thông tin liên lạc và mạng viễn thông thì việc xử lý tín hiệu đóng vai trò vô cùng quan trọng Ngày nay, cùng với sự phát triển vô cùng mạnh mẽ của kỹ thuật số với những ưu điểm nổi bật, lĩnh vực xử lý số tín hiệu ngày càng được quan tâm nhằm tạo ra được các tín hiệu chất lượng cao, đáp ứng tốt cho các thiết bị hiện đại cũng như nâng cao mức sống của con người Song song với quá trình đó thực tiễn đòi hỏi hệ thống thông tin có khả năng chống phá sóng cao, có khả năng giảm mật độ công suất, độ định vị cao, độ phân giải cao đang là đòi hỏi cấp thiết

Trong việc xử lý tín hiệu số thì lý thuyết Fourier luôn là nền tảng cơ sở không thể thiếu được từ trước đến nay Nó là công cụ toán học và ứng dụng trong kỹ thuật đặc biệt là xử lý tín hiệu số Tuy nhiên trong một số trường hợp nó trở nên khá phức tạp Phép biến đổi Wavelet được phát triển nhằm khắc phục những hạn chế của biến đổi Fourier trong lĩnh vực xử lý tín hiệu.Thực ra biến đổi Wavelet đã được biết đến và được khai thác từ lâu Nhưng dưới khía cạnh toán học, trong những năm gần đây, biến đổi Wavelet được quan tâm để đầu tư cho nghiên cứu phát triển và đã thu được những kết quả nổi bật Kỹ thuật phân tích wavelet dựa trên cơ sở khoa học là các bộ lọc số có nhiều đặc điểm và tính vượt trội so với biến đổi Fourier kinh điển Biến đổi wavelet được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như hình ảnh, âm thanh, quân sự, y học, điều khiển tự động và nhiều lĩnh vực khác nữa

Có thể nói đây là lĩnh vực nghiên cứu còn khá mới mẻ, nhiều tiềm năng và rất

hấp dẫn Đó cũng là lý do tôi chọn đề tài “Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA”

Trong luận văn này, phân tích Wavelet được sử dụng để thay thế các hàm cơ sở trực giao dùng FFT bằng tập các tín hiệu có cấu trúc cao, truyền dẫn hiệu quả, tin cậy trong các hệ thống thông tin trải phổ CDMA Mục tiêu thứ nhất của luận văn là giới thiệu và trình bày chi tiết về lý thuyết Wavelet, đưa ra các đặc điểm chi tiết và ứng

dụng của Wavelet Mục tiêu thứ hai là trình bày lý thuyết về hệ thống thông tin trải phổ và ứng dụng Wavelet vào hệ thống thông tin trải phổ đa truy nhập theo mã

Dựa trên những yêu cầu đặt ra với đề tài Ngiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet trong các hệ thống thông tin trải phổ CDMA, luận văn của em được cấu

trúc như sau :

Chương 1: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu Giới thiệu một số khái niệm

trong luận văn, trình bày mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong luận văn

Chương 2 : Lý thuyết Wavelet Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những

đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau

Chương 3 : Ứng dụng của lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA Trình bày khái niệm chung về CDMA Qua đó xây dựng mô hình hệ

thống và mô phỏng trên Matlab

Chương 4 : Kết luận và hướng phát triển Nêu ra nhận xét về ứng dụng

Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA.Qua đó đề xuất hướng phát triển cho

đề tài về sau

Trong quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp với quỹ thời gian không cho phép nên luận văn chưa thể giải quyết được mọi vấn đề một cách hoàn chỉnh, nên khó tránh khỏi được những thiếu xót nhất định, kính mong các thầy cô giáo cùng đồng nghiệp đóng góp, chỉ bảo, phê bình để đề tài ngày càng được hoàn thiện

Quy trình phân tích Wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là

Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong

khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ

Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào

đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc Mã hóa rời rạc (sparse coding)

làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học,

kỹ thuật hạt nhân, mã hóa băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,

turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần túy toán học như giải

phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

Lịch sử hình thành Wavelet

Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi Wavelet đã được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên ở thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đã không đưa ra được một lý thuyết chặt chẽ, thống nhất

Trước 1930

Trước năm 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu

với Josep Fourier (1807) và lý thuyết của ông về giải tích tần số ( frequency analyis),

hiện nay thường được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT)

( )

2 0

0

1

,2

a f x dx

ππ

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier

và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới khái

niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis) Ý tưởng cơ bản là xây dựng một hàm gốc, dịch và

thay đổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu để thu được một xấp xỉ mới của tín hiệu đó Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác nhau Khái niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục của lý huyết của A.Haar (1909) Wavelet triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn, và Wavelet Haar không khả vi liên tục, điều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar

Những năm 1930

Trong thập kỷ năm 1930, một vài nhóm các nhà toán học đã độc lập nghiên cứu

sự biểu diễn hàm sử dụng các hàm cơ sở tỷ lệ thay đổi Bằng cách sử dụng hàm cơ sở

tỷ lệ thay đổi gọi là hàm gốc Haar, Paul Levy, một nhà vật lý đã nghiên cứu chuyển động Brownian, một dạng tín hiệu ngẫu nhiên Paul Levy nhận thấy hàm gốc Haar tốt hơn các hàm cơ sở Fourier khi nghiên cứu các chi tiết nhỏ phức tạp trong chuyển động Brownian Và một nghiên cứu khác trong những năm 1930 do Littlewood, Paley, và Stein thực hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm ƒ(x):

Năm 1960 đến 1980

Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toán học Guido Weiss và Ronal R Coifman đã

nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom( nguyên tử), với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp “assembly

rules) cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các atoms Năm

1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã định nghĩa chung Wavelet trong lĩnh vực vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý

Cuối những năm 1980

Năm 1985, Stephane Mallat đã tạo ra một bước nhảy vọt trong nghiên cứu

Wavelet với các công trình nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số Stephane

Mallat đã khám phá ra mối liên hệ giữa các bộ lọc (quadrature mirror filters – các bộ

lọc gương cầu phương), các thuật toán hình chóp (pyramid algorithms), và các cơ sở

Wavelet trực chuẩn Dựa trên những kết quả này, Y Meyer đã xây dựng Wavelet Y Meyer Khác với Wavelet Haar, Wavelet Meyer là khả vi liên tục Sau đó một vài năm,

Ingrid Daubechies đã ứng dụng các nghiên cứu của Mallat để xây dựng một tập hợp các hàm cơ sở trực chuẩn Wavelet, là cơ sở cho các ứng dụng Wavelet ngày nay

Mặc dù lý thuyết về biến đổi Wavelet hiện đại chính thức được phát triển khoảng hai mươi năm gần đây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến đổi Wavelet đã xuất hiện từ trước đó rất lâu Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại bắt nguồn từ cuối những năm 1970 và 1980 Ban đầu Jean Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải tần số cho các thành phần tần số thấp hơn Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ phân giải thời gian và ngược lại muốn

có độ phân gải thời gian tốt thì độ phân giải tần số sẽ kém đi Để giải quyết vấn đề này Joseph Morlet đã đưa ra ý tưởng về các hàm biến đổi: Xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay trải hàm này ra để thu được hàm tần số thấp hơn Để theo dõi toàn bộ thay đổi của tín hiệu theo thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian

Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng tuyệt vời: tín hiệu được khai triển trên một tập hợp của các hàm được giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ - mother Wavelet)

Trong đó b là dịch chuyển của hàm wavelet trên toàn bộ trục thời gian, a là

thang tỷ lệ (scale) và nó là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ phân giải thời gian

và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu Quy trình phân tích Wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích (analyzing Wavelet) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version)

co lại tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra tần số thấp của cùng Wavelet mẹ

Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, kỹ thuật hạt nhân,

mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, quang học,

dự báo động đất , radar, ảnh cộng hưởng từ và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần

Lý thuyết Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu mà ở đây là trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA

1.1.1 Các công cụ phân tích thời gian - tần số

Phân tích thời gian tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier Các phương pháp phân tích thời gian - tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT

và biến đổi Wavelet

Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier Tín hiệu ƒ(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổ w t( −τ), sau đó thực hiện biến đổi Fourier truyền thống Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa

sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại Một ví dụ điển hình của hàm cửa sổ Gaussian được đưa ra bởi Dennis Gabor (1946)

Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỉ lệ (scale) ( giãn ra hay co

vào) của hàm wavelet mẹ ψ( )t Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra

độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần

số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp

1.1.2 Độ phân giải thời gian và tần số

Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào độ phân giải thời gian - tần số là một vấn đề quan trọng cần quan tâm Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức

định vị cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định vị cao theo tần số Điều đó dẫn đến vấn đề thỏa hiệp giữa độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số

Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian – tần số của hàm đó Diện tích cơ bản trong mặt phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile) Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa sổ hình chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian - tần số

Để tập trung ‘ô ngói ‘ trong mặt phẳng thời gian - tần số, các biến đổi sử dụng cho biểu diễn thời gian - tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy tỷ lệ Rõ ràng dịch theo thời gian bởi τ dẫn đến sự dịch ô ngói theo τ qua trục thời gian Tương tự như vậy, nhân với e jws tdẫn đến dịch ô ngói bởi ws Ngoài ra cần chú ý rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay không có kích thước hẹp vô hạn Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm cơ sở được

sử dụng cho khai triển

Giả thiết tín hiệu ƒ(t) tập trung xung quanh gốc tọa độ ở miền thời gian là t0, với phổ tần số F(ω) tập trung xung quanh gốc tọa độ ở miền tần số là ω0 tức là thỏa mãn ( )2

t

2 2 0

E

2 2

0

2

2

11

1.2 Giới thiệu về CDMA

Lý thuyết về CDMA đã được xây dựng từ những năm 1950 và được áp dụng trong thông tin quân sự từ những năm 1960 Cùng với sự phát triển của công nghệ bán dẫn và lý thuyết thông tin trong những năm 1980, CDMA đã dần dần được thương mại hoá

CDMA viết đầy đủ là Code Division Multiple Access nghĩa là đa truy nhập (đa người dùng) phân chia theo mã

Hệ thống CDMA sử dụng kỹ thuật trải phổ nhằm thực hiện cho các hệ thống thông tin có khả năng chống phá sóng cao Kỹ thuật trải phổ là ứng dụng trực tiếp của lý thuyết thông tin của Shannon, đã trở nên rất quan trọng trong các hệ thống thông tin do có nhiều tính năng ưu việt như giảm mật độ công suất, độ định vị cao,

độ phân giải cao,…

Có 3 kỹ thuật trải phổ:

- Chuỗi trực tiếp (DS - Direct Sequence)

- Nhảy tần số (FH - Frequency Hopping)

- Nhảy thời gian (TH - Time Hopping)

Trải phổ là một kỹ thuật được thực hiện bằng cách điều chế lần thứ hai một tín hiệu đã được điều chế nhằm tạo ra một dạng sóng sẽ là nhiễu đối với bất kỳ một tín hiệu nào khác hoạt động trong cùng băng tần.Vì vậy, khi máy thu tín hiệu AM hay FM thông thường sẽ không nhận thấy sự hiện diện của tín hiệu trải phổ đang hoạt động trên cùng băng tần Tương tự, máy thu tín hiệu trải phổ sẽ không nhận diện được sự hiện diện của tín hiệu AM hay FM Vì thế, người ta nói các tín hiệu này "trong suốt" (transparent) với nhau

Để tạo được sự "trong suốt" này, kỹ thuật trải phổ điều chế một tín hiệu đã điều chế, điều biên hay điều tần băng rộng, vì vậy sẽ tạo ra một tín hiệu có băng thông rất rộng Ví dụ: tín hiệu AM thông thường có băng thông 10KHz, một tín hiệu trải phổ hoạt động ở cùng tần số sóng mang như tín hiệu AM và có cùng công suất Ps nhưng có băng thông 1MHz Như vậy trong khoảng băng tần 10KHz của tín hiệu AM công suất của tín hiệu trải phổ là Ps(104/106) = Ps/100 và đối với đầu thu của tín hiệu AM, phần công suất của tín hiệu trải phổ giao thoa với nó tương đương như tín hiệu nhiễu thấp hơn 20 dB

Trong hệ thống CDMA, nhiều user sử dụng chung miền thời gian và tần số, các mã giả ngẫu nhiên (PN - Pseudo Noise) với sự tương quan chéo thấp được ấn định cho mỗi user Tốc độ bit của chuỗi PN phải đủ lớn để trải phổ tín hiệu trên toàn băng thông User truyền tín hiệu bằng cách trải phổ tín hiệu truyền sử dụng chuỗi

PN đã được ấn định Máy thu sẽ tạo lại một chuỗi giả ngẫu nhiên như ở máy phát và khôi phục lại tín hiệu nhờ việc dồn phổ các tín hiệu đồng bộ thu được

Tính chất của kỹ thuật trải phổ

-Băng thông tín hiệu phát lớn hơn nhiều so với băng thông cần thiết để truyền thông tin chứa trong tín hiệu đó

-Việc trải phổ được thực hiện nhờ tín hiệu trải phổ c(t), thường được gọi là tín hiệu mã (code) Tín hiệu này độc lập với dữ liệu truyền đi

-Ở đầu thu, việc thu lại tín hiệu ban đầu được thực hiện nhờ kỹ thuật dồn phổ (despreading) khôi phục dữ liệu nguyên thuỷ bằng cách xét sự tương quan của tín hiệu thu được với tín hiệu giống hệt và được đồng bộ với tín hiệu mã dùng để trải phổ

1.3 Ứng dụng của Wavelet

Ngày nay biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi Biến đổi Wavelet được áp dụng trong lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi

ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng được mở rộng Một trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI Biến đổi Wavelet được sử dụng để nén ảnh dấu vân tay để lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI Ban đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến đổi này không được thực hiện tốt ở tỷ

số nén cao Biến đổi này đưa ra một vài hiệu ứng chặn làm cho không thể theo các đường vân tay sau khôi phục Điều này hoàn toàn không xảy ra với biến đổi Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu

Với biến đổi Wavelet rời rạc, hầu hết thông tin quan trọng xuất hiện trong các biên độ lớn và các thông tin kém quan trọng hơn xuất hiện ở những biên độ rất nhỏ Việc nén dữ liệu có thể thu được nhờ loại bỏ các biên độ thấp Biến đổi Wavelet cho phép tỷ số nén cao với chất lượng khôi phục tốt Hiện nay, ứng dụng Wavelet cho nén ảnh là một trong những lĩnh vực nghiên cứu được quan tâm nhất Gần đây, biến đổi Wavelet đã được chọn cho chuẩn nén JPEG 2000

Hình 1.1: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet

Hình 1.1 thể hiện các bước chung trong xử lý tín hiệu Quá trình xử lý tín hiệu

có thể bao gồm nén, mã hóa , khử nhiễu,…Tín hiệu đã xử lý được lưu giữ hoặc truyền phát đi Với hầu hết các ứng dụng nén, quá trình xử lý bao gồm lượng tử hóa mã hóa Entropy cho tới nén ảnh Trong suốt quá trình này, toàn bộ các hệ số Wavelet dưới ngưỡng được chọn bị loại bỏ Các hệ số bị bỏ qua được thay thế bằng không trong suốt quá trình khôi phục ở đầu kia Để khôi phục tín hiệu, mã hóa Entropy được giải mã, sau đó được lượng tử hóa và cuối cùng được biến đổi Wavelet ngược

Wavelet cũng được ứng dụng trong nén tiếng nói, nó làm giảm bớt thời gian truyền dẫn trong các ứng dụng di động Wavelet được sử dụng để khử nhiễu, phát hiện sườn, trích các đặc điểm, nhận dạng tiếng nói, loại bỏ tiếng vọng,…Wavelet cũng cho

thấy nhiều ứng dụng triển vọng trong nén tín hiệu audio và video thời gian thực Wavelet cũng được ứng dụng trong thông tin số tiêu biểu như ghép kênh phân chia

theo tần số trực giao OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing), đồng thời Wavelet cũng được ứng dụng trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA (Code Division

Multiple Access) để tạo ra một hệ thống thông tin có khả năng vượt trội so với các hệ

thống khác

Chương 2

Lý thuyết Wavelet

Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần tần

số khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương ứng với thang tỷ lệ của thành phần phổ đó

Chương hai trình bày về sự hình thành của biến đổi Wavelet, so sánh biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của biến đổi Wavelet với biến đổi Fuorier, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của biến đổi Wavelet

2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

2.1.1 Biến đổi Fourier

Thế kỷ 19, nhà toán học người Pháp Joseph Fourier đã chứng rằng một hàm tuần hoàn bất kỳ có thể biểu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ phức Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của hàm, đầu tiên ý tưởng của ông đã được tổng quát hóa với các hàm không tuần hoàn, và sau đó cho các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian Sau đó tổng kết này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy tính Năm 1965, một thuật toán mới

được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier Transform) được phát triển và biến đổi Fourier FT (Fourier Transform) trở thành một công cụ phổ biến Định nghĩa

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ -∞ tới +∞ Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay

đổi theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non stationary) Điều đó có nghĩa là

biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần phổ đó

Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là biến đổi Fourier nhanh STFT

(Short Time Fourier Transform) được đưa ra Trong biến đổi STFT, tín hiệu được chia

thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng đoạn được phân chia có thể coi là

dừng (stationary) Với mục đích này, hàm cửa sổ được lựa chọn độ rộng của cửa sổ

phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng tín hiệu là phù hợp Định nghĩa STFT:

( , w) ( ) (w* ) j tw

t

STFT l =∫⎡⎣f t t l e− ⎤⎦ − dt (2.2) với w là hàm cửa sổ

Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử dụng Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số - thời gian

Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần số

bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg Các phương trình cơ bản không thể đưa

ra biểu diễn thời gian - tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết được các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc chắn khoảng thời gian nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại

Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng Nếu như các thành phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt Tuy nhiên, trong trường hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp là khó khăn

Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật lý

(nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào, tuy

nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử dụng

phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT - Wavelet

Transform) Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những

độ phân giải khác nhau Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian – tần số Trục hoành biểu diễn

thời gian, trục tung biểu diễn tần số

Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn

ở tần số thấp Phép tính gần đúng này có ý nghĩa đặc biệt khi tín hiệu gốc có các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần tần số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài

2.1.2 Khái niệm biến đổi: Wavelet

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies 92):

1

là hàm cửa sổ còn được gọi là Wavelet mẹ (mother wavelet), a là tỷ lệ và b là khoảng

dịch, ψ∗( )t là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ Thuật ngữ Wavelet nghĩa là sóng ( )t

nhỏ Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu đầu tiên để tạo nên các hàm cửa sổ

Thuật ngữ dịch (translation) liên quan với vị trí của cửa sổ, như là cửa sổ được

dịch chuyển trên tín hiệu Thuật ngữ này rõ ràng tương ứng với thông tin thời gian

trong miền khai triển (transform domain) Tuy nhiên, chúng ta không có tham số tần

số như trong biến đổi STFT Thay thế cho tham số tần số, chúng ta có khái niệm tỷ lệ,

là phép toán mở rộng hoặc nén tín hiệu Các tỷ lệ nhỏ tương ứng với mở rộng hay giãn các tín hiệu và các tỷ lệ lớn tương ứng để nén tín hiệu Việc lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần thô) của tín hiệu

Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau – xem hình 2.3:

1 Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản

2 Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín hiệu Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet đã chọn

3 Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn

bộ tín hiệu

4 Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3

Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.3) 2.1.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, điền đầy và biến đổi chúng thành các vector dữ liệu với độ dài 2n

Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của

ma trận nguyên gốc Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở

đó là sin và cosin Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở phức

tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet)

Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân

bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất

2.1.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Điểm khác biệt đáng chú ý nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là các hàm wavelet riêng được khu biệt trong không gian, trong khi các hàm sin và cosin của biến đổi Fourier thì không Đặc điểm khu biệt, cùng với sự khu biệt các wavelet theo tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng wavelet được rải rác ra

“sparse” khi biến đổi sang miền Wavelet Sự rải rác này dẫn đến một số ứng dụng hữu

ích như là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của ảnh, và khử nhiễu

Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian - tần số giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt phẳng thời gian - tần số Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian - tần số

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt

Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội

tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số

Một điểm cần ghi nhớ rằng các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin Thay vào đó, các biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng Do vậy, phân tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so với các phương pháp thời gian - tần số truyền thống như biến đổi Fourier

2.2 Biến đổi Wavelet liên tục

1

với a,b là các số thực (a ≠ 0), ψa, b( )t là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng

không: ∫∞ ( ) =0

∞

−

dt t

ψ Hàm wavelet ψa, b( )t có dạng bất biến trong không gian L2(R) của

các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hoá 2

ωψ

Để chắc chắn rằng các hàm Wavelet phân rã nhanh chóng tới không và do vậy chúng được khu biệt rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn điều kiện:

là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần số thấp đi) tốc

độ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm

2.2.2 Đặc điểm của CWT

Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện thừa nhận

(admisibility condition) và các điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và các đặc điểm này dẫn đến tên gọi Wavelet (sóng nhỏ) Người ta chứng minh rằng tích phân

bình phương các hàm ψ( )t thoả mãn điều kiện admissibility:

( ) ωω

ωψ

ψ Điều kiện admissibility chỉ ra rằng biến đổi Fourier của hàm ψ( )t triệt tiêu ở

Và do vậy phải có dạng dao động, nói cách khác ψ( )t phải là dạng sóng

Người ta sử dụng các điều kiện thêm (additional condition) của các hàm

Wavelet để làm cho biến đổi Wavelet giảm nhanh chóng cùng với sự giảm tỷ lệ a Đó

là điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời gian và tần số Regularity là một khái niệm

phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm momen triệt tiêu

p

a

t p

t o f a a

ở đây f p có nghĩa là đạo hàm bậc p của f và O(n + 1) nghĩa là phần dư của biểu thức Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng M p:

( )t dt t

++

+

2

2 2 1

1 0

!

0

!2

0

!1

00

f a

M

f a M

f a M f a

a

Từ điều kiện admissibility có Momen M 0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế

phải là bằng 0, Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen M n

cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như a n + 2 cho tín hiệu trơn ƒ(t) Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ Nếu Wavelet có

momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N Trên thực tế, nghiên

cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn vào ứng dụng

2.2.2.4 Tính bảo toàn năng lượng

Biến đổi Wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Nếu hàm ƒ(t) ∈ L2(R) và có biến đổi Wavelet liên tục là Wt(a,b) thì:

2 2

t = − ω −

πψ

ψ rất nhỏ nên vẫn được xem là một hàm của Wavelet

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet

2.3 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)

Vì những hàm Wavelet ψa, b( )ω được định nghĩa đối với mọi điểm trong không

gian (a,b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet ψa, b( )ω rất dư thừa Do vậy,

để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi

DWT dựa trên cơ sở mã hóa băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh

vực mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hóa băng con (sub-band coding)

Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hóa băng con được phát triển được gọi là

mã hóa hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA)

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian - tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

π

Các tham số a,b được xác định: a = 2j, b = 2j k

Biến đổi DWT có thể biến đổi ngược chiều nếu như tập hợp tương ứng của các mẫu xác định một khung Wavelet:

,

2

,, a b B f f

f A

Với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn khung (framebounds)

Biến đổi được xác định như sau:

( )n C( ) ( )j k n

z k z

Để tìm hiểu tại sao phép tổng (2.25) theo j là hữu hạn với một số sấp xỉ, phần tiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA được phát triển bới Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng Wavele sau này

2.3.2 Tính chất biến đổi DWT

Wavelet được xác định bởi một số xác định các hệ số khác không M Số hệ số

này đại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moment) được xác định như sau:

Nếu ψ( )x là khả vi M lần và phân rã đủ nhanh, thì M - 1 momen Wavelet đầu tiên triệt tiêu, nghĩa là:

0 1

101

t

t t

1 2

1 1

2 1 0

1

t

t

t t

Hình 2.7: Wavelet Haar

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank)

2.4.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis)

Định nghĩa: Không gian L2 = L2( )R là không gian của các tín hiệu tương tự Phân tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j ⊂L2( )R :

• φ xác định một cơ sở trực chuẩn cho V0 (2.35e)

Như vậy họ {φ(t− ,k) k∈Z} tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian tham chiếu 0

V Các không gian V j lồng vào nhau Không gian L2( )R đóng kín tập hợp mọi V j

Hàm tỷ lệ φ : ( )t

Hàm φ trong định nghĩa đa phân giải MRA được gọi là hàm tỷ lệ (scaling ( )t

function) hay hàm cha (father function) đôi khi còn được gọi là hàm xấp xỉ

Họ {ψ j,k :k∈Z} tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho W n

Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

Tổng hợp lại ta có:

1 2

2 1

0 0

k j k

j J

Với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích

Vì ψ ∈W0 ⊂V1 và ψ(2t−k) là một cơ sở trực chuẩn của V1, ψ có thể được viết thành:

Được gọi là phương trình Wavelet

Các hệ số ( )h k và ( )g k từ các phương trình tỷ lệ và phương trình Wavelet tương ứng với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này được

sử dụng trong thuật toán Mallat

2.4.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc được sử dụng phổ biến Wavelet có thể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi Độ phân giải của tín hiệu

là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu Độ phân giải của tín hiệu được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sự phân chia

(upsampling) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con (subsampling)

Biến đổi Wavelet rời rạc được tính toán bởi quá trình lọc thông thấp và thông cao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toán mallat hay sự

phân tích cây Mallat (Mallat – tree decomposition) Ý nghĩa quan trọng của thuật toán

Mallat là thuật toán này đã kết nối sự đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc

3.Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)

4 Lặp lại bước (2) và (3) cho đến khi đạt được kết quả thỏa mãn