Nghiên cứu phương pháp chỉnh định bộ điều khiển PID cho các hệ thống có trễ vận tải (dựa trên lý thuyết hermite biehler)

Lời cam đoan Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt Danh mục các hình vẽ, đồ thị Lời nói đầu Chương I – NGHIÊN CỨU ĐẶC ĐIỂM ĐỘNG HỌC CỦA HỆ I.3 Đặc tính và mô hình các đối tượng có trễ 7

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÀNH: ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

NGUYỄN VĂN MẠNH

HÀ NỘI – 2010

AUV Autonomous Underwater Vehicle

CHR Chien, Hrones, và Reswick

IMC Internal Model Controller

ROV Remotely Operated Vehicle

P Proportional

PID Proportional, Integral, Derivative

Lời cam đoan

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Lời nói đầu

Chương I – NGHIÊN CỨU ĐẶC ĐIỂM ĐỘNG HỌC CỦA HỆ

I.3 Đặc tính và mô hình các đối tượng có trễ 7

I.4 Tổng quan các phương pháp điều khiển cho các hệ thống có trễ

vận tải

13

I.5 Kết luận 13

II.1 Lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển và các đa thức Hurwitz 14

II.2 Lý thuyết Hermite-Biehler mở rộng 17

II.3 Thiết kế bộ điều khiển P ổn định hóa hệ tuyến tính, bất biến theo

thời gian (và không trễ)

19

II.4 Thiết kế bộ điều khiển PI ổn định hóa hệ tuyến tính, bất biến theo

thời gian

23

II.5 Thiết kế bộ điều khiển PID ổn định hóa hệ tuyến tính, bất biến

theo thời gian

29

II.6 Kết luận 34

Chương III – ÁP DỤNG CÁC KẾT QUẢ PONTRYAGIN (DỰA

TRÊN PHƯƠNG PHÁP CỦA LÝ THUYẾT HERMITE –

35

III.1 Giới hạn của lý thuyết xấp xỉ Padé 35

III.2 Tổng quát hóa lý thuyết Hermite-Biehler cho các tựa đa thức 39III.2.1 Ứng dụng với lý thuyết điều khiển 42III.2.2 Ổn định của các hệ thống có trễ đơn 46III.3 Thiết kế bộ điều khiển P ổn định hóa hệ có trễ vận tải 47III.3.1 Hệ thống bậc một có trễ 48III.3.2 Hệ thống bậc hai có trễ 51III.4 Thiết kế bộ điều khiển PI ổn định hóa hệ bậc một có trễ 54III.5 Thiết kế bộ điều khiển PID ổn định hóa hệ bậc một có trễ 58III.6 Kết luận 67Chương IV – PHÂN TÍCH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH

ĐỊNH BỘ ĐIỀU KHIỂN PID THEO MÔ HÌNH QUÁN TÍNH BẬC

NHẤT CÓ TRỄ

68

IV.1 Phương pháp đáp ứng bước Ziegler-Nichols 68

IV.5 Kết luận 85KẾT LUẬN 86TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

sinh ra Trong thực tế, khâu trễ thường kết hợp với những khâu tuyến tính khác như khâu quán tính, khâu tích phân, tạo thành những hệ thống phức tạp

Việc điều khiển trong các hệ thống có trễ vận tải có thể sử dụng bộ điều khiển PID, phương pháp này có thể thực hiện cài đặt dễ dàng trên phần cứng

Trong số nhiều phương pháp thiết kế, chỉnh định các bộ điều khiển PID ứng dụng cho hệ thống có trễ vận tải, chúng tôi tập trung tìm hiểu sâu vào các kết quả dựa trên lý thuyết Hermite-Biehler; một số phương pháp điển hình chỉnh định bộ PID trong hệ điều khiển có trễ và biên của các tham số ổn định được đánh giá là tốt trong không gian các tham số của bộ điều khiển đánh giá với các phương pháp cổ điển khác

Đề tài: “Nghiên cứu phương pháp chỉnh định bộ điều khiển PID cho các hệ

thống có trễ vận tải (dựa trên cơ sở lý thuyết Hermite-Biehler)” với nhiệm vụ chính

của đồ án là:

- Nghiên cứu về đặc điểm động học của hệ thống có trễ vận tải

- Trình bày lý thuyết Hermite-Biehler và ứng dụng cho hệ thống không trễ, trên

cơ sở đấy nghiên cứu sự hạn chế của xấp xỉ Padé cho các hệ thống có trễ vận tải

- Trình báy phương pháp chỉnh định hệ thống có trễ vận tải dựa trên sự tổng quát hóa lý thuyết Hermite-Biehler (kết quả Pontryagin)

- Phân tích một số phương pháp điển hình chỉnh định bộ PID trong hệ điều khiển có trễ và đánh giá so sánh

Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TSKH Nguyễn Văn Mạnh, Viện KHCN Nhiệt Lạnh, BKHN, TS Phan Duy Hùng, Đại học FPT Hà nội, đã giúp đỡ và hướng dẫn em tận tình trong quá trình làm tốt nghiệp Em cũng xin cám ơn các thầy cô giáo bộ môn Tự động hoá xí nghiệp công nghiệp, các bạn đồng nghiệp thuộc bộ môn Tự động hóa quá trình nhiệt lạnh, Viện Nhiệt Lạnh trường đại học Bách Khoa Hà Nội Đồng đã đóng góp ý kiến xây dựng để đồ án của em được hoàn thiện

Hà Nội, ngày tháng năm 2010

I.1.1 Trễ là gì ?

Khi vật chất, thông tin hay năng lượng được truyền từ nơi này đến nơi khác, trễ sinh ra Thời gian trễ (trễ vận tải) phụ thuộc khoảng cách và tốc độ truyền dẫn Với các hệ thống có trễ vận tải lớn, việc thiết kế và phân tích hệ thống là phức tạp

Trễ vận tải xuất hiện trong các hệ thống sinh học, sinh thái học, kinh tế, xã hội, các hệ thống kĩ thuật… Chẳng hạn sự phơi nhiễm phóng xạ tăng nguy cơ ung thư,

và ảnh hưởng của nó có thể xuất hiện sau vài năm Trong lĩnh vực kinh tế, ngân hàng trung ương thường tác động đến nền kinh tế thông qua công cụ điều chỉnh tỉ lệ lãi suất, và điều này cũng cần một vài tháng mới có ảnh hưởng thực sự Trong lĩnh vực chính trị, các chính trị gia cần một khoảng thời gian để ra các quyết định và phải đợi một khoảng thời gian trước khi biết được các quyết định đó là tích cực hay không

Một xu hướng chung khi gặp lỗi trong một hệ thống là phản ứng ngay lập tức và phản ứng càng nhiều nếu lỗi chưa kết thúc Tuy nhiên đối với một hệ thống có các trễ vận tải, một điều rất quan trọng là cần hiểu chính xác sự tồn tại của các thời gian trễ và không phản ứng thái quá, nếu không hệ thống dễ rơi vào trạng thái quá điều

chỉnh hoặc thậm chí không ổn định Như vậy, khi làm việc với các hệ thống trễ rất

cần sự kiên nhẫn để nhìn nhận và đánh giá vấn đề trễ và lỗi

I.1.2 Các ví dụ của các hệ thống có trễ vận tải

Vòi hoa sen

Một ví dụ đơn giản của hệ thống có trễ vận tải là vòi hoa sen (Hình I.1) Hầu hết

chúng ta đã từng có khó khăn trong việc điều chỉnh nhiệt độ nước Nhiệt độ thực tế

thường vượt quá nhiệt độ mong muốn, và thỉnh thoảng chúng ta mất một khoảng

thời gian để điều chỉnh nó Sở dĩ có điều này là do cần một khoảng thời gian để

dòng nước chảy từ khóa nước đến đầu hoa sen (hay là cơ thể người) Khoảng thời

gian trễ này phụ thuộc vào áp suất và chiều dài của ống Theo công thức Poiseuille,

tốc độ dòng chảy của nước là:

trong đó μ = 0.01 là độ nhớt, R là bán kính, l là chiều dài của ống và Δp là chênh áp

giữa hai đầu cuối của ống Thời gian trễ h theo đó được tính toán bởi:

Các quá trình hóa học

Phần lớn các quá trình hóa học đều chứa khâu trễ, tuy nhiên khâu trễ bậc nhất

thường được sử dụng rộng rãi nhất để mô hình hóa chúng:

Trong những năm gần đây, các mạng truyền thông phát triển với tốc độ nhanh

chóng và theo đó các hệ thống điều khiển dựa trên nền các mạng truyền thông cũng

là một đề tài hấp dẫn Ví dụ dựa trên các mạng tốc độ cao, bài toán điều khiển qua

mạng Internet được đặt ra Các hệ thống điều khiển này được mô hình hóa như là

các hệ thống có trễ vận tải bởi vì tồn tại các giá trị trễ trên đường truyền dẫn Các

giá trị trễ này là yếu tố quyết định đối với sự ổn định và chất lượng dịch vụ của hệ

thống

Ví dụ trong hình I.2 là một kết nối đơn giữa nốt nguồn được điều khiển bởi một

bộ điều chỉnh truy nhập và nốt đích ở xa, giả thiết nốt đích được cung cấp sao cho

khả năng truyền dẫn μ không đổi Tại nốt nguồn, bộ điều chỉnh truy nhập sẽ điều

khiển tốc độ đầu vào u(t) tương ứng với trạng thái nghẽn truyền dẫn tại nốt đích

Trạng thái nghẽn truyền dẫn tại nốt đích được định nghĩa như là sự khác nhau

giữa các nội dung bộ đệm hiện hành x(t) và giá trị đặt X :

( ) ( )

y t =x t −X

Có hai thời gian trễ: trễ truyền dẫn phản hồi từ nốt đích về nốt nguồn h b, trạng

thái nghẽn từ đích về nguồn sau đúng khoảng thời gian này và trễ truyền thẳng h f

cho thời gian truyền từ nguồn tới đích Các gói tới được lưu vào bộ đệm và sau đó

được gửi với khả năng truyền dẫn không đổi μ Mục tiêu quá trình điều khiển là

thay đổi u(t) trong khi duy trì bộ đệm x(t) ở một mức có thể chấp nhận Biểu đồ

khối được dẫn ra trong hình I.2-b

Biểu đồ khối

Biểu đồ mô tả

Bộ điều chỉnh truy nhập

Hình I.2 Mạng truyền thông kết nối đơn

Các mạng truyền thông trong thực tế được xây dựng từ nhiều kết nối đơn và hiển nhiên là phức tạp hơn rất nhiều Những khoảng thời gian trễ thường biến thiên ngẫu nhiên theo thời gian, thêm nữa các gói tin có thể bị mất trên đường truyền

Xe hoạt động dưới nước

Các xe hoạt động dưới nước được sử dụng để tìm hiểu đáy đại dương, cài đặt, giám sát hay sửa chữa các thùng dầu, trong các nhiệm vụ quân sự… So với thợ lặn, những loại xe này có thể lặn sâu hơn, có thể hoạt động dưới nước trong thời gian dài hơn và cần ít thiết bị hỗ trợ hơn Có hai loại xe hoạt động dưới nước:

- Xe được điều khiển từ xa (ROV – remotely operated vehicle) Loại xe này kết nối với một con tàu ở trên mặt nước qua một dây cáp, bao gồm đường nguồn và dữ liệu truyền thông Khoảng cách hoạt động của ROV do vậy bị giới hạn

- Xe tự hành (AUV – autonomous underwater vehicle) Loại xe này có nguồn nội bộ và có khả năng điều khiển cho các công việc xác định Việc truyền thông được tiến hành qua sóng âm Một ví dụ của loại này là trong hình I.3 Đây là một sản phẩm AUV của phòng thí nghiệm MIT, gồm các hệ thống định vị, cảm biến độ

sâu, độ mặn, nhiệt độ, các cảm biến gia tốc…Nó có thể hoạt động đến độ sâu 3000m

Hình I.3 Ví dụ của xe loại AUV của MIT [20]

Hình I.4 Hệ thống ROV khảo sát đáy đại dương

Việc điều khiển các xe hoạt động dưới nước bao gồm định vị, điều chỉnh bánh lái… Việc sử dụng sóng âm hay cáp đều dẫn đến một trễ truyền dẫn Đối với các AUV, trễ do tốc độ sóng âm trong môi trường nước là cỡ 1,500 m/s

Hệ thống ROV trong hình I.4 được sử dụng để khảo sát đáy đại dương, bao gồm

một tàu ở trên, xe phía dưới (có thể có thêm một xe phụ nhỏ hơn) Mô hình xấp xỉ,

với độ dài cáp 2,500 m và trọng lượng 17,000 N được khảo sát trong [14] là:

với a=1, b=1.1x10-4, c=2.58 x 10-2 vaf h=40s Chi tiết hơn về hệ thống này có thể

được tìm thấy trong [14] và các tham chiếu của nó

I.2 Khâu động học và sự hình thành hệ thống có trễ

Để đơn giản hoá việc khảo sát và thiết kế, người ta thường chia hệ thống thành

nhiều phần tử đơn giản Mỗi phần tử có thể có sự đồng nhất về tính chất lý, hóa, kỹ

thuật, hoặc đồng nhất về cấu tạo, nhưng phải có tính định hướng, tức chỉ truyền tín

hiệu theo một hướng nhất định Mỗi phần tử như vậy có tên gọi là một khâu động

học

Mỗi khâu hay một bộ phận của một hệ động học tuyến tính thường được mô tả

bởi phương trình vi phân hoặc hàm truyền Công cụ hàm truyền được ứng dụng rất

rộng rãi và hiệu quả trong các bài toán phân tích và tổng hợp các hệ thống điều

khiển quá trình trong công nghiệp Một trong những điểm ưu việt của công cụ này

là nó cho phép thể hiện cấu trúc lôgíc động học một cách tường minh [1] Ví dụ, mô

hình của một đối tượng phức tạp có thể phân tích dưới dạng tổ hợp cấu thành từ các

phần tử đơn giản, trong đó, mỗi phần tử phản ánh một tính chất động học nhất định

Một đối tượng động học phức tạp có thể mô tả bởi hàm truyền tổng quát, dạng:

trong đó, b 0, b1,…, bm, a0, a1,…, an – các hệ số; τ - thời gian trễ vận tải; m, n -

bậc của tử thức và mẫu thức Đối với các đối tượng vật lý thực, luôn luôn thoả mãn

điều kiện m≤ n

Về mặt toán học, phân thức (1.5) có thể phân tích thành tổng hoặc tích của

những đa thức và phân thức tối giản (không quá bậc hai), mà mỗi biểu thức tối giản

đó đặc trưng cho một đặc điểm động học trong quá trình biến đổi tín hiệu trong hệ

thống Những phân thức tối giản có thể là:

Mỗi biểu thức trên có thể coi giả định là mô hình của một khâu cơ bản, thể hiện

mối quan hệ vào-ra dưới dạng ảnh Laplace

Trong thực tế, tồn tại phổ biến sáu loại khâu động học cơ bản với sáu tính chất

động học đặc trưng: khâu tỉ lệ, khâu tích phân, khâu quán tính bậc nhất, khâu vi

phân, khâu dao động, khâu trễ

Khâu trễ thường kết hợp với những khâu tuyến tính khác tạo thành những hệ

thống phức tạp Luận văn này tập trung trình bày tìm hiểu về các hệ thống có trễ

vận tải, phương pháp chỉnh định dựa trên lý thuyết Hermite-Biehler, một số phương

pháp cổ điển điều chỉnh bộ PID trong hệ điều khiển có trễ và đánh giá chúng so với

phương pháp sẽ giới thiệu

I.3 Đặc tính và mô hình các đối tượng có trễ

Các đối tượng điều khiển công nghiệp (các hệ thống có trễ vận tải và có quán

tính lớn) có thể có một hoặc nhiều đầu ra, nhưng thường có nhiều kênh Mỗi kênh là

một đối tượng đơn, thể hiện một mối liên kết vào-ra nhất định Đặc tính động học

của đối tượng được thể hiện trên đặc tính tần số hoặc đặc tính thời gian, trong đó,

đặc tính quá độ (đáp ứng đối với xung bậc thang) phản ánh đầy đủ và trực quan các

đặc điểm động học của đối tượng

Điểm đặc trưng của các đối tượng công nghiệp là có trễ vận tải và có quán tính

lớn Trễ vận tải còn gọi là trễ tuyệt đối, trễ thời gian chết, v,v…, đó là thời gian kể

từ thời điểm xuất hiện xung đầu vào (≠0) đến khi đại lượng ra bắt đầu thay đổi so

với giá trị xác lập ban đầu

Theo tính chất động học, tồn tại phổ biến hai lớp đối tượng điều chỉnh công

nghiệp: lớp đối tượng tĩnh và lớp đối tượng phi tĩnh

Hình I.5 Dạng đặc tính quá độ đặc trưng của các đối tượng điều khiển công nghiệp

Đối tượng tĩnh có đặc tính quá độ tiến tới giá trị hữu hạn, tức đặc tính quá độ có

tiệm cận ngang (Hình I.5-a) Khi triệt bỏ xung đầu vào, thì đại lượng ra của nó quay

trở về giá trị ban đầu

Đối tượng phi tĩnh có đặc tính quá độ tiến tới vô hạn và thường có tiệm cận xiên

(Hình I.5-b), thể hiện qũi đạo tích phân Khi triệt bỏ xung đầu vào, thì đại lượng ra

của nó dừng ở giá trị cuối cùng mà không thể quay trở về giá trị ban đầu

Các đối tượng điều khiển trong thực tế được đặc trưng bởi tốc độ biến thiên cực

đại ε và hệ số tĩnh học K max ∞, định nghĩa như sau :

∞ – giá trị xác lập đầu ra

Trong thực tế, các đối tượng tĩnh có khả năng thiết lập trạng thái cân bằng tương

ứng với độ lớn của xung đầu vào, nên có tên gọi là đối tượng "có tự cân bằng" Ví

dụ, đối tượng điều chỉnh nhiệt độ, áp suất, lưu lượng, … là có tự cân bằng

Khả năng tự cân bằng của đối tượng càng lớn, nếu với cùng một xung bậc thang

đầu vào, giá trị xác lập đầu ra của nó càng ít sai lệch so với giá trị ban đầu Nói cách

khác, khả năng tự cân bằng giảm dần theo độ lớn của hệ số tĩnh học Khi hệ số tĩnh

học K∞ → ∞, thì khả năng tự cân bằng tiến tới không

Các đối tượng phi tĩnh không có khả năng tự thiết lập trạng thái cân bằng nên có

tên gọi là đối tượng "không có tự cân bằng" Ví dụ, các đối tượng điều chỉnh mức

chất lỏng, điều chỉnh tốc độ quay, v.v thường là những đối tượng không có tự cân

bằng (hệ số tĩnh học của chúng là K∞ → ∞)

Các đối tượng không có tự cân bằng thường thể hiện trội tính chất tích phân nên

khi đó có thể gọi là đối tượng tích phân

Sự phân tích đặc tính quá độ của các đối tượng có tự cân bằng trong thực tế cho

Hình I.6 Các dạng đặc tính quá độ của đối tượng có tự cân bằng

Trên hình I.6-a, đường cong quá độ thể hiện đặc điểm động học của một khâu

quán tính bậc nhất Tốc độ biến thiên đại lượng ra của nó đạt giá trị lớn nhất tại thời

điểm xuất hiện xung đầu vào, εmax = h 0’( )

Trên hình I.6-b, đường cong quá độ có một điểm uốn (tại t u - khi tốc độ biến

thiên đại lượng ra đạt giá trị lớn nhất) và có hình dáng chữ S Đó là dáng điệu của

khâu quán tính bậc cao, gồm nhiều khâu quán tính bậc nhất mắc nối tiếp Độ quán

tính của đối tượng loại này tương đương với tổng độ quán tính của các khâu quán

tính bậc nhất hợp thành

Trên hình I.6-c, đường cong quá độ thể hiện đặc điểm của đối tượng quán tính

bậc nhất có trễ vận tải, tức tạo bởi khâu quán tính bậc nhất mắc nối tiếp với khâu

trễ

Trên hình I.6-d, đường cong quá độ có hình chữ S với một điểm uốn, nhưng

nằm dịch về bên phải một khoảng τ , kể từ gốc toạ độ, so với đồ thị trên hình I.6-b

Đó là đặc tính quá độ của đối tượng, tạo thành từ nhiều khâu quán tính bậc nhất mắc

nối tiếp với một khâu trễ

Tóm lại, đối tượng có tự cân bằng với các đặc tính quá độ trên hình I.6, có thể

biểu diễn bởi một khâu quán tính bậc n mắc nối tiếp với một khâu trễ Hàm truyền

của chúng có dạng:

( )( )( ) ( )

s cb

trong đó, K – hệ số truyền; T1,T2,…,T n – các hằng số quán tính, tương ứng với các

khâu quán tính bậc nhất; n – bậc quán tính, bằng số khâu quán tính bậc nhất hợp

Trên hình I.7-a, đặc tính thay đổi theo một nửa đường thẳng tới vô hạn, kể từ

thời điểm xuất hiện xung đầu vào Đó là đặc tính quá độ của một khâu tích phân

Trên hình I.7-b, đặc tính quá độ bắt đầu thay đổi với tốc độ tăng dần từ thời

điểm xuất hiện xung đầu vào tới vô hạn, tiến tới một đường tiệm cận xiên Đó là

tính chất động học của khâu tích phân có quán tính, tức đối tượng loại này tạo bởi

khâu tích phân mắc nối tiếp với một khâu quán tính

Trên hình I.7-c, đặc tính quá độ khác với đường cong trên hình I.7-a ở chỗ là sự

thay đổi đại lượng ra chỉ bắt đầu sau một thời gian τ nhất định, kể từ thời điểm xuất

hiện xung đầu vào Điều đó chứng tỏ rằng, đối tượng tương ứng là một khâu tích

phân có trễ, tức là mạch mắc nối tiếp giữa khâu tích phân và khâu trễ

Trên hình I.7-d, đặc tính quá độ thể hiện tính chất của khâu tích phân có quán

tính, như trên hình I.7-b, nhưng lùi về bên phải một khoảng τ , kể từ thời điểm xuất

hiện xung đầu vào Do vậy, đối tượng tương ứng bộc lộ là khâu tích phân có quán

Hình I.7 Các dạng đặc tính quá độ của đối tượng không có tự cân bằng

Tóm lại, hầu hết các đối tượng không có tự cân bằng trong thực tế là một khâu

tích phân có quán tính và có trễ, có thể mô tả bởi mô hình:

trong đó, K – hệ số truyền; T 1,T2,…,Tn – các hằng số quán tính; q – là bậc tích phân

(bậc phi tĩnh) của đối tượng Trong thực tế, phổ biến trường hợp q=1

Ta thấy, mô hình (1.8) là trường hợp riêng của (1.9), ứng với q=0 Vậy, biểu

thức (1.9) là mô hình đặc trưng của các đối tượng công nghiệp Nó cho phép mô tả

cả ba đặc điểm cơ bản của các đối tượng công nghiệp, bao gồm trễ vận tải, tính chất

quán tính và tính chất tích phân

Trong thực tế để đơn giản hoá, người ta thường mô hình hoá đối tượng không

có tự cân bằng dưới dạng đơn giản:

Ngoài các đặc điểm trên, một số đối tượng còn có thể có tính chất dao động

(Hình I.8) Hơn nữa, ngoài sự hình thành từ mối liên kết nối tiếp giữa các khâu (hay

đặc điểm động học) cơ bản nói trên, đối tượng còn có thể tạo thành từ các liên kết

song song và liên kết vòng kín giữa các khâu Trong một số trường hợp, đối tượng

có thể có một số điểm cực không ổn định, ví dụ một số đối tượng tạo bởi công nghệ

liên quan tới phản ứng dây chuyền

h(t)

O

x0

Hình I.8 Đặc tính quá độ của đối tượng có dao động

Trong những trường hợp phức tạp, để mô tả các đối tượng một cách đúng đắn

hơn, có thể dùng mô hình dưới dạng tổng quát:

trong đó, b0 – hệ số truyền; a1, ,a m , b1, ,b n – các hệ số; τ – độ trễ vận tải; q – bậc

tích phân hay bậc phi tĩnh; m – bậc của tử thức; n – bậc mẫu thức Đối với các đối

tượng thực thì m ≤ n

I.4 Tổng quan các phương pháp điều khiển cho các hệ thống có trễ vận tải

Phương pháp điều khiển hiệu quả đầu tiên cho các hệ thống có trễ vận tải dựa trên bộ dự đoán Smith [13] Ý tưởng của Smith là sử dụng một vòng lặp phản hồi bao gồm bộ dự đoán để chuyển vấn đề thành việc thiết kế bộ điều khiển cho hệ thống không có trễ vận tải Tuy nhiên bộ dự đoán Smith cổ điển không áp dụng được cho các hệ thống không ổn định, dẫn đến các phương pháp sử dụng bộ dự đoán Smith sửa đổi [11] hay sử dụng phổ vô hạn [10]

Điều khiển H∞ là tiếp cận chính trong điều khiển bền vững [6], [8] Phương pháp điều khiển này đã được giải quyết với hệ thống không trễ từ những năm 1980 [2], [7] Điều khiển bền vững ứng dụng cho các hệ thống có trễ vận tải sử dụng ba phương pháp: lý thuyết toán tử, không gian trạng thái và phương pháp thừa số phổ

J Chi tiết của các phương pháp này có thể tham khảo ở [3], [4], [5], [12], [15]

Một phương pháp điều khiển phổ biến là sử dụng các bộ điều khiển PID, xét trên khía cạnh khả thi, cài đặt giải thuật dễ dàng trên phần cứng, trên các máy tính nhúng… phương pháp này sẽ được tập trung tìm hiểu sâu trong luận văn này Dựa vào lý thuyết Hermite-Biehler [9], thiết kế các bộ điều khiển PID để ổn định hóa hệ thống có trễ sẽ được giải quyết, đồng thời với đó là quá trình đánh giá hiệu quả của các phương pháp thiết kế PID cổ điển

I.5 Kết luận

Chương I là một nghiên cứu và tìm hiểu về đặc điểm động học của các hệ thống

có trễ vận tải

Nội dung bao gồm khái niệm trễ vận tải, ví dụ về các hệ thống có trễ Chúng ta

có thể khẳng định được tính phổ biến và tất yếu của yếu tố trễ vận tải trong các đối tượng điều khiển công nghiệp

Tiếp đó chương I đã trình bày những đặc tính và mô hình các đối tượng có trễ,

và kết thuc là giới thiệu tổng quan về các phương pháp điều khiển cho các hệ thống

có trễ vận tải

Chương II Lý thuyết Hermite-Biehler

II.1 Lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển và các đa thức Hurwitz

Với bài toán thiết kế ổn định cho các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian, việc xác định điều kiện sao cho tất cả các nghiệm của đa thức đặc trưng nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức là rất quan trọng Đa thức thỏa mãn điều kiện như vậy được gọi là đa thức Hurwitz Nhiều kết quả nghiên cứu như của Routh, Hurwitz, hay Hermite đã đưa ra các điều kiện gián tiếp để hệ thống ổn định mà không thông qua việc tính toán trực tiếp nghiệm của đa thức

Trong số đó, lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển khẳng định một đa thức với hệ

số thực là Hurwitz nếu thỏa mãn một vài điều kiện đan xen nghiệm Lý thuyết này rất có ý nghĩa cho việc nghiên cứu sự ổn định của hệ thống đồng thời với việc quan tâm đến biện luận miền bền vững của các tham số (thông qua các hệ số đa thức đặc trưng) Hạn chế của lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển là khi một một đa thức không

ổn định theo Hurwitz, lý thuyết này không đưa ra thông tin về sự phân bố nghiệm của đa thức

Các nghiên cứu gần đây đã đưa ra lý thuyết Hermite-Biehler mở rộng có thể ứng dụng cho các đa thức không nhất thiết là Hurwitz Điều này cho phép tìm được tập các bộ điều khiển PID có khả năng ổn định hóa một hệ thống có hàm truyền phân thức

Các định nghĩa, kết quả trung gian, định lý và thuật toán đã được tìm hiểu, tổng kết một cách tuần tự, có logic, theo đó có các ví dụ ứng dụng minh họa Luận văn sẽ không trình bày lại các chứng minh, có thể tham khảo chi tiết từ [9]

δ có lũy thừa chẵn và lẻ tương ứng

Biểu diễn δ ω( )j = p( )ω + jq( )ω , trong đĩ p( )ω =δe( )−ω2 =Re⎡⎣δ ω( )j ⎤⎦,

o

δ −ω , cả hai được sắp xếp tăng dần

Định lý 2.1: (Lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển): Giả sử

( ) 0 1 n

n

δ =δ +δ + +δ là một đa thức cĩ hệ số thực, bậc n δ( )s là Hurwitz nếu và

chỉ nếu tất cả các nghiệm của ( )2

n

[ ] { p ]-2sgn[p( ) 2sgn[p( ) 2sgn[p( ) 2sgn[p( ) } với n m

0 1

[ ] { p ]-2sgn[p( ) 2sgn[p( ) 2sgn[p( ) sgn[p( ) } với n

0 1

Kiểm tra bốn điều kiện đa thức Hurwitz:

1 Giải nghiệm trực tiếp của δ( )s :

Tất cả các nghiệm nằm nửa trái mặt phẳng phức

2 Đồ thị của p( )ω và q( )ω trong chỉ ra đa thức δ( )s thỏa mãn tính chất đan xen

ω rad/s

Hình II.1 Tính chất đan xen nghiệm của đa thức Hurwitz

3 Giải nghiệm của δ và e δ : o

II.2 Lý thuyết Hermite-Biehler mở rộng

Bổ đề 2.1: Giả sử δ( )s là một đa thức với hệ số thực, không có nghiệm nằm trên trục ảo Thì 0 2(l( ) ( )r )

Định nghĩa 2.2: Giả sử δ( )s là một đa thức với hệ số thực bậc n, k là số bội của nghiệm tại gốc tọa độ Định nghĩa:

Giả sử 0=ω0 <ω ω1< 2 < < ωm−1 là các nghiệm thực, hữu hạn của q f ( )ω với bội

lẻ và ωm = ∞ Dấu phần ảo σ δi( ) của δ( )s được định nghĩa bởi:

1 1

1 1

Định nghĩa 2.3: Giả sử δ( )s là một đa thức với hệ số thực bậc n, k là số bội của

nghiệm là gốc tọa độ Giả sử 0=ω0 <ω ω1< 2 < < ωm−1 là các nghiệm của p f ( )ω

với bội lẻ và ωm = ∞ Dấu phần thực σ δ của r( ) δ( )s được định nghĩa bởi:

s

{ [q ]-2sgn[q ( ) 2sgn[q ( )

2sgn[q ( ) 2sgn[q ( ) }.

p với n l

d q

Các nghiệm bội lẻ của q f ( )ω là: ω1 =1 2247 và ω2 =2 2361 Định nghĩa ω0 =0

và ω3 = ∞ Vì δ( )s có bậc chẵn, số bội của nghiệm tại gốc tọa độ là 3, ta có:

Kết quả này là phù hợp với giá trị của l( ) ( )δ −r δ = − = 2 1 1 đạt được từ các

nghiệm trực tiếp Ngoài ra vì σ δi( )≠ 12, đa thức không phải là đa thức Hurwitz

II.3 Thiết kế bộ điều khiển P ổn định hóa hệ tuyến tính, bất biến

theo thời gian (và không trễ)

Xét hệ thống điều khiển phản hồi trên hình II.2, trong đó r là đầu vào, y là đầu

ra, đối tượng điều khiển G s( ) N s( ) ( )

Bộ điều khiển Đối tượng

Hình II.2 Hệ thống điều khiển phản hồi

Đa thức đặc trưng của vòng lặp kín: δ( )s k, =D s( )+kN s( ) Mục tiêu là xác

định k sao cho hệ thống vòng lặp kín là ổn định hay đa thức δ( )s k, là Hurwitz

chẵn và lẻ của δ( )s k, đều phụ thuộc vào k vì vậy chúng ta sẽ xây dựng đa thức chỉ

cĩ phần chẵn phụ thuộc k bằng cách nhân δ( )s k, với N s*( )=N( )−s và áp dụng định lý 2.2

Bổ đề 2.2:

( )s k,

δ là Hurwitz nếu và chỉ nếu σ δi( ( ) ( )s k N s, * )= −n (l N s( ( ) )−r N s( ( ) ) ) Thay thế s= jω chúng ta cũng cĩ: δ ω(j k N, ) ( )* jω = p(ω,k)+ jq( )ω , trong đĩ: ( , ) 1( ) 2( )

, trong đĩ n là bậc của D s( ), m là bậc của N s( ) và n m≥

Giả sử 0=ω0 <ω ω1< 2 < < ωl−1 là các nghiệm bội lẻ của q f ( )ω Định nghĩa chuỗi số i i0 1, , ,i l như sau :

1

1 0

p nếu N s có điểm không bội k tại gốc tọa độ i

trường hợp khác

trong đĩ α∈ − { 1,1} và ( ) ( )

1 1

2 Với t 1= , ,l 1− :

( )ωα

⎧⎪

= ⎨

⎪⎩

t t

nếu n+m là lẻ

Định nghĩa 2.5: chuỗi số I ={i i 0, , ,1 i l}, A là tập tất cả các chuỗi I và γ ( )I là dấu phần ảo được kết hợp với chuỗi I :

( )I i 0 2i 1 2i 2 ( )1 l 1 2i l 1 ( )1 i l l .( )1 l 1sgn q( )

Định lý 2.3: Cĩ thể thiết kế bộ điều khiển P cho đối tượng với hàm truyền phân

thức G s( ) nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn :

Các nghiệm thực không âm của q f ( )ω với nghiệm bội lẻ là : ω0 =0,ω1 =0 8639

Vì n m 7+ = là lẻ và N s*( ) không có nghiệm trục ảo Tập A trở thành :

= − = ,

( ) ( ) .

Giả sử n là bậc của δ(s k k, ,p i) và m là bậc của N s( ) Vấn đề ổn định bằng bộ điều khiển PI tương đương với việc xác định các giá trị k k p, i sao cho đa thức

(s k k, ,p i)

δ là Hurwitz

Ta thấy rằng k k p, i ảnh hưởng đến cả hai phần chẵn và lẻ của δ(s k k, ,p i) Tương

tự thiết kế bộ điều khiển P, phương pháp tiếp cận ở đây là xây dựng một đa thức đặc trưng mới mà phần chẵn phụ thuộc k i và phần lẻ phụ thuộc k p Nhân δ(s k k, ,p i) với ( )

(s k k, ,p i)

δ bậc n là Hurwitz nếu và chỉ nếu l(δ(s k k, ,p i) )=n và

r δ s k k =0 Vì vậy, kết quả sau đây được dẫn ra :

Định lý 2.4: δ(s k k, ,p i) là Hurwitz nếu và chỉ nếu

,,

Ta thấy rằng với k p cố định, các nghiệm của q(ω,k p) không phụ thuộc vào k i, các kết quả của thiết kế bộ điều khiển P là có thể được áp dụng trong trường hợp này

Như vậy, bằng cách quét tất cả các giá trị thực k p và giải quyết bài toán ổn định bằng bộ điều khiển P,chúng ta có thể xác định tập tất cả các giá trị (k k i, p) cho đối tượng được đưa ra

Tuy nhiên miền giá trị của k pcó thể giảm xuống trong nhiều trường hợp xuất phát từ kết quả :

Với một giá trị k pcố định, điều kiện cần để tồn tại giá trị k i là số các nghiệm thực khác nhau, không âm, hữu hạn, bội lẻ của q(ω,k p)thỏa mãn phải lớn hơn hoặc bằng

tương ứng với với các dải khác nhau của k p

Phương pháp quĩ đạo nghiệm :

1 Xác định các điểm tách khỏi trục thực là nghiệm của phương trình :

Do n−(l N s( ( ) )−r N s( ( ) ) ) đã biết, chúng ta có thể tìm ra các khoảng giá trị của

k ∈ −61 67086 60− : hai nghiệm thực, dương, đơn,

hai nghiệm thưc, âm, đơn

( , )

p

k ∈ −60 2 54119− : một nghiệm thực, dương, đơn,

một nghiệm âm, dương, đơn

( , )

p

k ∈ −2 54119 16 44309 : ba nghiệm thực, dương, đơn,

ba nghiệm thực, âm, đơn

( , )

p

k ∈ 16 44309 ∞ : một nghiệm thực dương, đơn,

một nghiệm thực, âm, đơn

Hình II.3 Tập ổn định của các giá trị tham số (k k p, i)

II.5 Thiết kế bộ điều khiển PID ổn định hóa hệ tuyến tính, bất biến theo thời gian

Với bộ điều khiển PID, ta có : ( ) i

Tương tự như các mục trước k k k p, ,i d xuất hiện trong cả hai thành phần chẵn và

lẻ của δ(s k k k, , ,p i d) Phương pháp giải quyết là xây dựng đa thức mới có phần chẵn phụ thuộc vào (k k i, d) và phần lẻ phục thuộc vào k p

Nhân δ(s k k, ,p i) với N s*( ) chúng ta đạt được :

r δ s k k k =0 Vì vậy, kết quả sau đây được dẫn ra :

Định lý 2.5 : δ(s k k k, , ,p i d) là Hurwitz nếu và chỉ nếu

Ta thấy rằng với k p cố định, các nghiệm của q(ω,k p) không phụ thuộc vào

,

i d

k k , phương pháp lập trình tuyến tính được ứng dụng để giải quyết vấn đề này Bằng phương pháp quĩ đạo nghiệm như khi thiết kế bộ điều khiển PI chúng ta cũng

có thể giới hạn lại dải giá trị của k p

Các định nghĩa, kí hiệu khi xuất hiện thêm k p ‘ở phần chỉ số’ sau đây sẽ giữ nguyên ý nghĩa với điều kiện xét tại một giá trị k p cố định

Định lý 2.6: Có thể thiết kế bộ điều khiển PID ổn định với một giá trị k p xác định trước, cho một đối tượng có hàm truyền phân thức G s( ), nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn :

Ngoài ra, nếu các điều kiện trên được thỏa mãn với các chuỗi , , , *

p

I I I ∈F , thì tập tất cả các giá trị (k k i, d) tương ứng với giá trị k p là kết quả phép hợp của các tập giá trị thỏa mãn

Hình II.4 Tập các giá trị ổn định có thể của (k k i, d) khi k p =1

Vì n m 9+ = là lẻ và N s*( ) không có nghiệm nằm trên trục ảo, tập A 5 là:

{ } { }

, , , ,, , , ,

5

F = ∅ Như vậy với k p =5, không có tập giá trị ổn định (k k i, d)

Bằng phương pháp quĩ đạo nghiệm, dải giá trị k p để giải được tập giá trị ổn định (k k i, d) là k p∈ −( 8 5 4 23337 , )

Quét giá trị k p và giải (k k i, d), tập ổn định (k k k p, ,i d) để δ(s k k k, , ,p i d) là Hurwitz được vẽ trong hình II.5

Điểm quan trọng có thể rút ra là lý thuyết Hermite-Biehler mở rộng có thể ứng dụng cho các đa thức không nhất thiết là Hurwitz, cho phép tìm được tập các bộ điều khiển PID có khả năng ổn định hóa một hệ thống có hàm truyền phân thức Việc ứng dụng phương pháp này trên các hệ thống có bổ sung khâu trễ là phức tạp hơn và sẽ được nghiên cứu trong các chương tiếp theo

Chương III Áp dụng các kết quả Pontryagin (dựa trên phương pháp của lý thuyết Hermite-Biehler) thiết kế bộ điều khiển PID cho hệ thống có trễ

III.1 Giới hạn của lý thuyết xấp xỉ Padé

Xấp xỉ Padé thường được sử dụng để xấp xỉ đại lượng trễ thời gian bằng hàm truyền phân thức và qui hệ thống có trễ vận tải thành hệ thống có hàm truyền phân thức, từ đây có thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định của lý thuyết Hermite-Biehler để xây dựng miền tham số các bộ điều khiển PID ổn định cho hệ thống

Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng xấp xỉ Padé là có giới hạn, chúng ta sẽ lấy ví dụ với mô hình trễ bậc 1 đơn giản Hàm truyền của hệ thống như sau :

N sL e