Nghiên cứu lý thuyết wavelet và ứng dụng trong công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số

Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi Fourier nhanh STFT Short Time Fourier Transform, đó là tăng cường độ phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ ph

Lời mở đầu

Cuộc sống càng phát triển thì nhu cầu thông tin của con người càng phong phú, dẫn đến sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các loại hình thông tin vô tuyến, các hình thức xử lý tín hiệu, đặc biệt là công nghệ xử lý ảnh Vấn đề này đặt ra yêu cầu ngày càng cao trong việc xử lý tín hiệu để đảm bảo vừa có thể nén dữ liệu, tiết kiệm dung lượng trên đường truyền tín hiệu, vừa đảm bảo loại trừ nhiễu tín hiệu và có khả năng khôi phục lại được tín hiệu với chất lượng tốt

Có rất nhiều phương pháp xử lý tín hiệu với rất nhiều thuật toán, biến đổi toán học đã được nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Wavelet hiện nay đang được xem là một phép biến đổi mới, có rất nhiều tiềm năng, đang phát triển khá mạnh mẽ với các ưu điểm vượt trội so với các phép biến đổi truyền thống Wavelet cho phép phân tích tín hiệu cả trong miền thời gian và tần số Do đó, hiện nay biến đổi Wavelet đang được ứng dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ y sinh tới công nghệ xử lý ảnh

Trong khuôn khổ luận văn này, em xin phép được giới thiệu về nghiên cứu các vấn đề

cơ bản của phép biến đổi Wavelet và ứng dụng của biến đổi này trong việc xử lý ảnh kỹ thuật số

Trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các anh chị và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Trung

và TS Nguyễn Thuý Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

Lời mở đầu 1

Mục lục 2

Danh sách hình vẽ 5

Danh sách bảng 7

Chương 1:Giới thiệu 8

1 Giới thiệu chung 8

1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số 10

1.2 Độ phân giải thời gian và tần số 10

2 Tổ chức luận văn 12

Chương 2:Lý thuyết Wavelet 14

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet 14

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet 18

2.2.1 Biến đổi Fourier 18

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet 21

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier 22

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier 23

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục 25

2.3.1 Định nghĩa 25

2.3.2 Đặc điểm của CWT 26

2.3.2.1 Tính tuyến tính 28

2.3.2.2 Tính dịch (translation) 28

2.3.2.3 Tính tỷ lệ (scaling) 29

2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng 29

2.3.2.5 Tính định vị (localization) 29

2.3.2.6 Ví dụ Wavelet Morlet 29

2.4.1 Định nghĩa DWT 31

2.4.2 Tính chất biến đổi DWT 32

2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar 33

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank) 34

2.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) 34

2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 37

2.5.3 Biểu diễn ma trận DWT 42

2.5.4 Phân loại Wavelet 45

2.5.4.1 Đặc điểm của băng lọc Wavelet trực giao (orthogonal wavelet filter banks) 46

2.5.4.2 Đặc điểm của băng lọc Wavelet song trực giao (biorthogonal wavelet filter banks) 46

2.6 Phân tích gói Wavelet 47

2.6.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms) 48

2.6.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet 49

2.7 Các họ Wavelet 50

2.7 Ứng dụng của Wavelet 53

2.7.1 Giới thiệu các ứng dụng của Wavelet 53

2.7.2 Wavelet trong các ứng dụng y sinh 54

Chương 3: Ứng dụng Wavelet trong công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số 58

3.1 Giới thiệu về xử lý ảnh 58

3.2 Biến đổi Wavelet trong xử lý nén ảnh 60

3.3 Việc nén ảnh 65

3.4 Việc truyền hình ảnh tăng cấp chi tiết dần dần 68

Chương 4:Mô phỏng và kết luận 70

4.1 Giới thiệu về chương trình mô phỏng 70

4.1.1 Giới thiệu chung 70

4.1.2 Mô phỏng theo thuật toán đề xuất 70

4.2 Nhận xét kết quả mô phỏng đã thu được 77

4.3.1 Những kết luận chính của luận văn 77

4.3.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 78

Các thuật ngữ viết tắt 80

Tài liệu tham khảo 82 

Danh sách hình vẽ

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian 19 

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số 20 

Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6) 22 

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số 24 

Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số 24 

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet 30 

Hình 2.7: Wavelet Haar 34 

Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L2 biểu diễn toàn bộ không gian V biểu diễn một không gian con, W j j biểu diễn chi tiết 35 

Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con: (a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp 38 

Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 41 

Hình 2.11: Băng lọc hai kênh 42 

Hình 2.12: Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử 47 

Hình 2.13: So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và gói Wavelet 48 

Hình 2.14: Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 49 

Hình 2.15: Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat 51 

Hình 2.16: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet 54 

Hình 3.1 Mức độ tăng dần chi tiết ảnh 59 

Hình 3.2: Rosa Parks (1955) và Nelson Mandela (1990) 61 

Hình 3.3 Rosa Parks – Trích dẫn một vùng ảnh nhỏ để nghiên cứu 62 

Hình 3.4 Việc nén ảnh với các mức ngưỡng khác nhau 67 

Hình 3.5 Bức ảnh sau khi nén 68 

Hình 3.6 Quá trình truyền ảnh Nelson Mandela 69 

Hình 4.1 Ảnh gốc ban đầu 71 

Hình 4.2 Kích thước ảnh tương ứng và số bước lặp cần thực hiện 71 

Hình 4.3 Kết quả sau khi biến đổi Wavelet 74 

Hình 4.4 Ảnh sau khi lấy ngưỡng 75 

Hình 4.5 Kết quả ảnh sau khi khôi phục lại 76 

Hình 4.6 Tỉ số nén ảnh đối với ngưỡng tương ứng 76 

Danh sách bảng

Bảng 2.1: Tổng kết tính chất của một số Wavelet 53 Bảng 3.1: Kết quả 3 bước biến đổi Wavelet tương ứng 63 Bảng 4.1 Tỉ số nén tương ứng với các mức ngưỡng 77 

Chương 1:

Giới thiệu

1 Giới thiệu chung

Cuộc sống càng phát triển thì nhu cầu thông tin của con người càng phong phú, dẫn đến sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các loại hình thông tin vô tuyến, các hình thức xử lý tín hiệu, đặc biệt là công nghệ xử lý ảnh Vấn đề này đặt ra yêu cầu ngày càng cao trong việc xử lý tín hiệu để đảm bảo vừa có thể nén dữ liệu, tiết kiệm dung lượng trên đường truyền tín hiệu, vừa đảm bảo loại trừ nhiễu tín hiệu và có khả năng khôi phục lại được tín hiệu với chất lượng tốt

Có rất nhiều phương pháp xử lý tín hiệu với rất nhiều thuật toán, biến đổi toán học đã được nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Wavelet hiện nay đang được xem là một phép biến đổi mới, có rất nhiều tiềm năng, đang phát triển khá mạnh mẽ với các ưu điểm vượt trội so với các phép biến đổi truyền thống Wavelet cho phép phân tích tín hiệu cả trong miền thời gian và tần số Do đó, hiện nay biến đổi Wavelet đang được ứng dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ y sinh tới công nghệ xử lý ảnh

Biến đổi Wavelet bắt đầu phát triển mạnh mẽ từ giai đoạn khoảng những năm 1990 trở lại đây Tuy nhiên, nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại đã bắt nguồn từ cuối những năm 1970 và 1980

Ban đầu J Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ phân giải thời gian cho các thành phần tần số

cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải tần số cho các thành phần tần số thấp hơn [3] Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ

phân giải thời gian và ngược lại muốn có độ phân giải thời gian tốt thì độ phân giải tần số

sẽ kém đi Để giải quyết vấn đề này, J.Morlet đã đưa ra ý tưởng về các hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay trải hàm này ra để thu được hàm tần số thấp hơn Để theo dõi toàn bộ thay đổi của tín hiệu theo thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian

Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng tuyệt vời: tín hiệu được khai triển trên một tập hợp của các hàm được giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ _mother Wavelet) [4]

ψ (1.1)

Trong đó a là tỷ lệ (scale), đây là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ phân giải

thời gian và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu

Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích (analyzing Wavelet) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet)

Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet

mẹ, trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ

Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng

từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng

thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

Lý thuyết Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật y sinh kể từ khi nghiên cứu

về Wavelet đầu tiên được công bố chính thức vào cuối những năm 1980 Tạp chí đầu tiên

về Wavelet trong kỹ thuật y sinh được phát hành vào tháng ba năm 1995, công bố những nghiên cứu về tín hiệu EMG, EEG, và ECG,…cho thấy ưu thế ứng dụng của Wavelet

trong những lĩnh vực mà các công cụ phân tích truyền thống không thể áp dụng tốt Nhờ

kỹ thuật này mà độ chính xác, độ tin cậy của các hệ chẩn đoán ứng dụng trí tuệ nhân tạo ngày càng được nâng cao

1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số

Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT và biến đổi Wavelet

Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier Tín hiệu ƒ(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổw(t−τ), sau đó thực hiện biến đổi Fourier truyền thống Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại Một ví dụ điển hình của hàm cửa sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946 [7]

Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (giãn ra hay co vào)

của hàm nguyên mẫu đầu tiên ψ( )t Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Biến đổi Wavelet được xây dựng để đưa ra

độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp

1.2 Độ phân giải thời gian và tần số

Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là một vấn đề quan trọng cần quan tâm Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức định vị cao

theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định vị cao theo tần

số Điều đó dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đó Diện tích cơ bản trong mặt phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile) Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa sổ hình chữ nhật

nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số [4]

Để tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến đổi sử dụng cho biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy tỷ lệ

Rõ ràng dịch theo thời gian bởi τ dẫn đến sự dịch ô ngói theo τ qua trục thời gian Tương tự như vậy, nhân với e jw S t dẫn đến dịch ô ngói bởi wS

Ngoài ra, cần chú ỷ rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay không có kích thước hẹp vô hạn

Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm cơ sở được sử dụng cho khai triển Giả thiết:

- Tín hiệu f( )t tập trung quanh t0 với phổ tần số F(w) tập trung quanh w0,

- Kí hiệu ∆t biểu diễn độ phân giải thời gian của f( )t ,

- Kí hiệu ∆w là độ phân giải tần số của F(w)

0

22

11

π (1.3)

với E là năng lượng của tín hiệu

Độ phân giải thời gian và tần số liên hệ theo nguyên lý bất định Heisenberg

Nguyên lý này thiết lập một giới hạn cho độ phân giải thời gian và tần số được biểu diễn bởi tích ∆t∆w

Nếu f( )t phân rã nhanh hơn 1/ t khi t→∞thì nguyên lý bất định khẳng định:

2

12

Cụ thể, bài toán đặt ra cần được giải quyết trong luận văn này là:

Sử dụng biến đổi Wavelet đối với ảnh tùy ý đầu vào, đồng thời chọn mức ngưỡng thích hợp để thu được hệ số nén mong muốn

Dựa trên những yêu cầu đặt ra với đề tài Nghiên cứu lý thuyết Wavelet và ứng dụng

trong công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số, luận văn của em được cấu trúc như sau:

Chương 1: Giới thiệu

Giới thiệu chung một số khái niệm trong luận văn, trình bày mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong luận văn

Chương 2: Lý thuyết Wavelet

Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau Giới thiệu những ưu điểm và ứng dụng của Wavelet

Chương 3: Ứng dụng Wavelet trong công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số

Chương ba trình bày các kỹ thuật nén ảnh, tách ra các giá trị trung bình của ảnh và các họa tiết của ảnh để có thể khôi phục ảnh với chất lượng tốt

Chương 4: Mô phỏng và kết luận

Chương bốn giới thiệu chương trình mô phỏng ứng dụng Wavelet trong xử lý ảnh được viết bằng Matlab, đưa ra các kết quả mô phỏng và phân tích các kết quả thu được

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thoả mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu diễn một hàm khác Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng

ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn

Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là

Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời

gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân

tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ [3]

Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính toán

dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào đó, chúng

ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc Mã hoá rời rạc (sparse coding) làm cho

Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm

nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals, turbulence,

dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

Lịch sử hình thành Wavelet

Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi Wavelet

đã được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên ở thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đã không đưa ra được một lý thuyết chặt chẽ, thống nhất [3]

Trước 1930

Trước 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu với Joseph

Fourier (1807) và lý thuyết của ông về giải tích tần số (frequency analysis), hiện nay

thường được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT)

2 0

)(

1

dx kx x

f

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier, và các

hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới khái niệm giải

tích tỷ lệ (scale analysis) Ý tưởng cơ bản là xây dựng một hàm gốc, dịch và thay đổi tỷ lệ

hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu để thu được một xấp xỉ mới của tín hiệu đó Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác nhau

Khái niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục của lý thuyết của A Haar (1909) Wavelet Haar triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn Và Wavelet Haar không khả vi liên tục, điều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar

Và, một nghiên cứu khác trong những năm 1930 do Littlewood, Paley, và Stein thực

hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm f (x):

Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toàn học Guido Weiss và Ronald R.Coifman đã

nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom (nguyên tử), với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp “assembly rules” cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các atoms Năm 1980,

Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã định nghĩa chung Wavelets trong lĩnh vực vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

2.2.1 Biến đổi Fourier

Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier đã chứng minh rằng một hàm tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ phức

Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của các hàm, đầu tiên ý tưởng của ông đã được tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau đó cho các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian

Sau đó tổng kết này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy

tính Năm 1965, một thuật toán mới được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast

Fourier Transform) được phát triển và biến đổi FT (Fourier Transform) trở thành một

f

dt e t f w

F

iwt

jwt

)()

(

)()

(

(2.4)

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ

-∝ tới +-∝ Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay đổi theo thời

gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary)

Điều đó có nghĩa là biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần số nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ đó

Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là biến đổi Fourier nhanh

STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra

Trong biến đổi STFT, tín hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên

từng đoạn được phân chia có thể coi là dừng (stationary) Với mục đích này, hàm cửa sổ

được lựa chọn Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng của tín hiệu là phù hợp

Định nghĩa STFT [4]:

= ∫ − −

t

jwtdt e l t w t f w

l STFT ( , ) [ ( ) *( )]

(2.5) với w là hàm cửa sổ

Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử dụng Cửa

sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian

Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg Các phương trình cơ bản không thể đưa ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết được các thành phần phổ

tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc chắn khoảng thời nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại

Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng Nếu như các thành phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh độ phân giải tần số và

do vậy có độ phân giải thời gian tốt Tuy nhiên, trong trường hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp là khó khăn

Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào, tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử dụng phép tính

gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet Transform) Biến đổi

Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT [4]

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số

Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số

Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần

số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần

số thấp

Phép tính gần đúng này có ý nghĩa đặc biệt khi tín hiệu gốc có các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần tần số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài, đó là trường hợp của hầu hết các tín hiệu y sinh: tín hiệu điện não đồ EEG

(electroencephalogram), điện cơ đồ EMG (electromyogram), và điện tâm đồ ECG (electrocardiogram)

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies92) [4]:

1 , ( ) (2.7)

là hàm cửa sổ còn được gọi là Wavelet mẹ (mother wavelet), a là tỷ lệ và b là khoảng

dịch, ψ*(t) là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ(t)

Thuật ngữ Wavelet nghĩa là sóng nhỏ Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu đầu tiên để tạo nên các hàm cửa sổ

Thuật ngữ dịch (translation) liên quan với vị trí của cửa sổ, như là cửa sổ được dịch

chuyển trên tín hiệu Thuật ngữ này rõ ràng tương ứng với thông tin thời gian trong miền

khai triển (transform domain)

Tuy nhiên, chúng ta không có tham số tần số như trong biến đổi STFT Thay thế cho tham số tần số, chúng ta có khái niệm tỷ lệ, là phép toán mở rộng hoặc nén tín hiệu Các

tỷ lệ nhỏ tương ứng với mở rộng hay giãn các tín hiệu và các tỷ lệ lớn tương ứng để nén

tín hiệu Việc lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần thô) của tín hiệu

Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau:

1 Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản

2 Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín hiệu

Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet đã chọn

3 Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn bộ tín hiệu

4 Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3

Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6)

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, điền đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n

Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc

Và, kết quả là cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là các

Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet)

Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Điểm khác biệt đáng chú ý nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là các hàm Wavelet riêng được khu biệt trong không gian, trong khi các hàm sin và cosin của biến đổi Fourier thì không

Đặc điểm khu biệt, cùng với sự khu biệt các wavelet theo tần số, làm cho các hàm và

các phép toán sử dụng Wavelet được rải rác ra “sparse” khi biến đổi sang miền Wavelet

Sự rải rác này, dẫn đến một số ứng dụng hữu ích như là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của ảnh, và khử nhiễu

Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian-tần số giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt phẳng thời gian-tần

số

Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian-tần số

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số

và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số

Một ưu điểm của biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi Để tách các điểm gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm đó để có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài

Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số,

và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số

Một điểm cần ghi nhớ rằng các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin Thay vào đó, các biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng

Do vậy, phân tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục

2.3.1 Định nghĩa

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa [4]:

W(a,b)=∫−+∞∞ f(t)ψ* ,b(t)dt (2.8)

với a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t) là liên hợp phức

của hàm wavelet ψa,b(t) Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet ψa,b(t)có thể thu được từ Wavelet cơ bản:

1 , ( ) (2.9)

với a, b là các số thực (a ≠ 0), ψa,b(t)là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng

không: ∫∞

∞

−

= 0 )

a

dadb t b a W C

t

ψ

(2.10) trong đó Cψ phải thoả mãn điều kiện:

=+∫∞ <+∞

∞

−

ωω

ωψ

C

2

)(

(2.11)

với ψ(ω)là biến đổi Fourier của hàm Wavelet ψa,b(t) C là hằng số phụ thuộc vào hàm ψ

Wavelet ψa,b(t) C là hữu hạn chỉ khi hàm ψ ψ(0)=0hay điều kiện tương đương:

+∞∫

∞

−

= 0)

Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT Sự gián đoạn hoá CWT được thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ

Tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu

Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm

2.3.2 Đặc điểm của CWT

Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện thừa nhận (admisibility

condition) và các điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và các đặc điểm này dẫn đến

tên gọi Wavelet (sóng nhỏ) Người ta chứng minh rằng tích phân bình phương các hàm )

có thể được sử dụng để phân tích ban đầu và sau đó khôi phục lại tín hiệu mà không tổn hao thông tin Trong biểu thức (2.14) hàm Ψ(ω) là biến đổi Fourier của ψ(t) Điều kiện

admissibility chỉ ra rằng biến đổi Fourier của hàm ψ(t)triệt tiêu ở f = 0

( ) 0

0

2

=Ψ

và do vậy phải có dạng dao động Nói cách khác, ψ(t)phải là dạng sóng

Người ta sử dụng các điều kiện thêm (additional condition) của các hàm Wavelet để

làm cho biến đổi Wavelet giảm nhanh chóng cùng với sự giảm tỷ lệ a Đó là điều kiện

điều chỉnh (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số Regularity là một khái niệm phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm momen triệt tiêu (vanishing

p

a

t p

t f

) 0 , (

Ở đây ƒp có nghĩa là đạo hàm bậc p của ƒ và O(n + 1) nghĩa là phần dư của biểu thức Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng Mp:

0

! 2

0

! 1

0 0

1 ) 0

f a

M f a M f a M f a

Từ điều kiện admissibility có momen M0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế phải là bằng 0 Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen Mn cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho tín hiệu trơn ƒ(t)

Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ Nếu Wavelet có momen triệt tiêu

N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N

Trên thực tế, nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn vào ứng dụng

2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng

Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Nếu hàm f(t)∈L2(R)và có biến đổi Wavelet liên tục là Wf(a,b) thì:

1

a

dadb b

a C

dt t f

2.3.2.6 Ví dụ Wavelet Morlet

02

e e

πψ

( ) ( )2/ 2

2

πω

ψ rất nhỏ nên vẫn được xem là một hàm của Wavelet

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)

Vì những hàm Wavelet ψa, b( )ω được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet ψa, b( )ω rất dư thừa Do vậy, để

giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán

và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh vực mã hóa

tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band coding) Năm 1983, các kỹ

thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển được gọi là mã hoá hình chóp

(pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA) [3]

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ

sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

k

j n n

f k

j C b a

1)

a f f

A

,

2 2

2

,,ψ (2.27)

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds)

Biến đổi ngược được xác định như sau:

j C n

f , ψ , (2.28)

Nếu giới hạn khung (framebounds) trong (2.27) là A=B=1, thì phép biến đổi là trực

giao

Đây là tổng vô hạn theo cả chỉ số thời gian k và chỉ số tỷ lệ j Tuy nhiên tổng này có

thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Wavelet với toàn bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nào đó, như vậy phép tổng hữu hạn (2.28) theo k

là đúng với một số xấp xỉ

Để tìm hiểu tại sao phép tổng (2.28) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ, phần tiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA được phát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Wavelet sau này

h

ψ 2 1 1 (2.31)

Ngoài ra, hàm tỷ lệ là trực giao với phép tịnh tiến của nó:

k h

1

2 ∑ ( ) ( + )= ( )

k

m m m

k h k

h 2 δ0 (2.34)

có nghĩa rằng tổng trên là không với mọi m khác không Một biểu thức quan trọng khác,

là hệ quả của điều kiện trên là:

( ) ( )

n

k n h n

h 2 0 (2.35)

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi dãy h(k)

và để biểu diễn sự phân tích và khôi phục Wavelet chúng ta chỉ cần các hệ số của bộ lọc

10

,1

t

t t

12

/1,1

2/10

,1

t

t

t t

ψ (2.37)

Hình 2.7: Wavelet Haar

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank)

2.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis)

Định nghĩa: Không gian L2 = L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự Phân tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j ⊂L2( )R [4]:

• {φ(t−k) }k∈Z xác định một cơ sở trực chuẩn cho V (2.38e) 0

Như vậy họ {φ(t− ,k) k∈Z} tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian tham chiếu 0

V Các không gian V lồng vào nhau Không gian L j 2(R) đóng kín tập hợp mọi V j

Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L 2 biểu diễn toàn bộ không gian V biểu diễn một không gian con, W j j biểu diễn chi tiết

Hàm tỷ lệ φ( )t :

Hàm φ( )t trong định nghĩa đa phân giải MRA được gọi là hàm tỷ lệ (scaling

function) hay hàm cha (father function) đôi khi còn được gọi là hàm xấp xỉ

Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

( )= ∑ ( − )

k

k t k h

φ (2.41)

Đặt không gian W là phần bù của j V với j V , j+1 V j+1 =V j ⊕Wj Các hàm ψ j, k là một

cơ sở trực chuẩn của W j

Với các tín hiệu thực tế có dải thông giới hạn, có một tỷ số j = J cho các hệ số wavelet

k

j

w , là đủ nhỏ Do đó có thể viết hàm f J ∈ thành V J f J( )t =∑k s J,kφJ,k( )t Tương tự như

vậy hàm W có thể được viết thành dạng j d J( )t =∑k w J,kψJ,k( )t

Tổng hợp lại, ta có:

1 2

2 1

0 j0

0

, 0 , 0 ,

J j

J J k j k j k

j k

w ψ φ (2.43)

với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích

Vì ψ ∈W0 ⊂V1, và ψ(2t −k) là một cơ sở trực chuẩn của V , 1 ψ có thể được viết thành:

( )= ∑ ( − )

k k

k t g

ψ (2.44)

được gọi là phương trình Wavelet

Các hệ số ( )h và k ( )g từ các phương trình tỷ lệ và phương trình Wavelet tương ứng k

với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này được sử dụng trong thuật toán Mallat

2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc được sử dụng phổ biến Wavelet có thể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi Độ phân giải của tín hiệu là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu Độ phân giải của tín hiệu

được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sự phân chia (upsampling)

và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con (subsampling)

Biến đổi Wavelet rời rạc được tính toán bởi quá trình lọc thông thấp và thông cao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toán Mallat hay sự phân tích cây

Mallat (Mallat-tree decomposition) Ý nghĩa quan trọng của thuật toán Mallat là thuật

toán này đã kết nối sự đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc [4]

Thuật toán DWT:

Khởi đầu: Chiếu tín hiệu lên V , với J được xác định bởi tần số lấy mẫu Trong J

thực tế, thực hiện thay thế các hệ số tỷ lệ với các giá trị mẫu

1 Chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết nhờ sử dụng ( )h và k

( )g k

2 Thay đổi tỷ lệ các hệ số xấp xỉ

3 Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)

4 Lặp lại bước (2) và (3) cho đến khi đạt được kết quả thoả mãn

Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con:

(a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp

Trong hình vẽ 2.9, tín hiệu được được biểu thị bởi dãy x[n], với n là số nguyên Bộ lọc thông cao được biểu thị bởi G, trong khi bộ lọc thông thấp được biểu thị bởi H Ở mỗi

mức, bộ lọc thông cao G đưa ra thông tin chi tiết d[n], trong khi bộ lọc thông thấp H kết hợp với hàm tỷ lệ đưa ra các xấp xỉ thô a[n]

Ở mỗi mức phân tích, các bộ lọc nửa dải (half band filter) đưa ra các tín hiệu kéo dài

duy nhất nửa băng tần Các bộ lọc này làm tăng độ phân giải tần số lên gấp đôi vì tính bất định của tần số được giảm đi một nửa

Theo luật Nyquist nếu như tín hiệu nguyên bản có tần số góc cao nhất ω rad/s yêu cầu tần số góc lấy mẫu là 2ω rad/s, vậy khi tần số góc cao nhất là ω/2 rad/s thì tần số góc lấy mẫu sẽ là ω rad/s, do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà không gây ra sự mất mát thông tin Việc lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phân giải thời gian vì toàn bộ tín hiệu bây giờ được biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu

Như vậy, độ phân giải thời gian đạt được tốt ở các tần số cao, trong khi độ phân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp Quá trình lọc và phân chia là liên tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yêu cầu Số lượng tối đa các mức phụ thuộc vào độ dài của tín hiệu

Biến đổi Wavelet rời rạc của tín hiệu thu được nhờ sự xâu chuỗi (concatenating) các

hệ số a[n] và d[n], bắt đầu từ mức cuối cùng của quá trình phân tích

Hình 2.9b biểu diễn quá trình khôi phục tín hiệu nguyên bản từ các hệ số Wavelet

Về cơ bản, quá trình khôi phục là sự đảo ngược của của quá trình phân tích Các hệ số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy bởi hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao và sau đó được gộp vào với nhau

Quá trình tiếp tục cho đến đạt được cùng số mức thu được trong quá trình phân tích tín hiệu nguyên bản

Phương pháp tốt nhất để mô tả quy trình trên cũng như đưa ra một quy trình hiệu quả

để xác định các hệ số wavelet là biểu diễn phép toán của các bộ lọc

Trở lại hai biểu thức (2.41) và (2.44) trong phần trước, dãy l2 {h( )k ,k∈Z}và ( )

{g k ,k∈Z} là các bộ lọc gương vuông góc (quadrature mirror filters) trong xử lý tín

hiệu Mỗi liên hệ giữa g và h:

( ) ( ) (k h n)

g = −1n 1− (2.45) Dãy h(k) được biết đến như là bộ lọc thông thấp trong khi dãy g(k) là bộ lọc thông cao Các bộ lọc thuộc họ các bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn (FIR)

Các tính chất sau có thể được chứng minh sử dụng biến đổi Fourier và tính trực giao:

( )= 2 ,∑ ( )= 0

∑

k k

k g k

h (2.46)

Với dãy f ={ }f n đại diện cho tín hiệu rời rạc cần được phân tích và các toán tử H và

G được xác định bởi các biểu thức:

Các biểu thức (2.47), (2.48) biễu diễn phép lọc tín hiệu qua các bộ lọc số h(k), g(k)

tương ứng với các phép toán tích chập với đáp ứng xung của các bộ lọc

Hệ số 2k đại diện cho phép phân chia (downsampling) Các toán tử H và G tương ứng

với bước trong phân tích wavelet

Như vậy biến đổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 2.10):

Các hệ số chi tiết và hệ số xấp xỉ:

( )j Hc( )j d( )j Gd( )j

c − 1 = , − 1 = (2.50)