Nghiên cứu lý thuyết wavelet và ứng dụng loại trừ nhiễu dựa trên phương pháp tối ưu hệ thống

Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi Fourier nhanh STFT Short Time Fourier Transform, đó là tăng cường độ phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ ph

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Điện tử viễn thông

Lời mở đầu

Khử nhiễu tín hiệu luôn được các nhà nghiên cứu quan tâm trên cả phương diện thực tiễn cũng như lý thuyết Vấn đề đặt ra là làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu càng giống với tín hiệu nguyên gốc đến mức có thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tín hiệu Đã có nhiều thuật toán khác nhau được công bố và mỗi thuật toán này đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng Những phương pháp khử nhiễu truyền thống

sử dụng phương pháp lọc tuyến tính như lọc Wiener (Wiener filtering), lọc phù hợp (Matched filtering), lọc thích nghi (Adaptive filtering) Gần đây, người ta còn sử

dụng các phương pháp khử nhiễu phi tuyến đặc biệt là những phương pháp dựa trên biến đổi Wavelet được phát triển mạng mẽ, đa dạng

Một trong những nhà nghiên cứu tiên phong trong lĩnh vực khử nhiễu dùng biến đổi Wavelet là Weaver và các cộng sự của mình, họ đã giới thiệu một phương pháp

mới khử nhiễu từ ảnh cộng hưởng từ MR (Magnetic Resonance) dựa trên cơ sở mô

hình được gọi là lấy ngưỡng cứng Weaver đã chứng tỏ rằng sử dụng lấy ngưỡng Wavelet, có thể được giảm đáng kể nhiễu mà không làm mờ hình ảnh Trong khi Wiever và những nhà khoa học khác chứng minh ưu điểm của mô hình khử nhiễu Wavelet dựa trên các kết quả thực nghiệm, Donoho và Johnstone đã chứng minh các kết quả lý thuyết quan trọng về lấy ngưỡng Wavelet Donoho và Johnstone đã

chứng minh sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage) đem lại kết quả khử nhiễu tốt,

đảm bảo tốc độ hội tụ tốt hơn, và đơn giản Nhiều công trình nghiên cứu đã được

công bố trong lĩnh vực Wavelet Shrinkage, hầu hết tập trung vào mô hình thống kê

của các hệ số Wavelet và sự lựa chọn tối ưu của các ngưỡng

Trong khuôn khổ đồ án này, em xin phép được giới thiệu những vấn đề cơ bản của phép biến đổi Wavelet và ứng dụng của nó trong việc loại trừ nhiễu dựa trên phương pháp tối ưu hệ thống Nghiên cứu chỉ ra tầm quan trọng của việc lựa chọn Wavelet phù hợp cho tín hiệu đầu vào và như vậy chứng tỏ hiệu quả khử nhiễu tín

hiệu phụ thuộc vào ba yếu tố: các kỹ thuật lấy ngưỡng, loại Wavelet được sử dụng trong khử nhiễu, và sự đồng bộ hoá giữa Wavelet được chọn lựa và tín hiệu đầu vào

Trong quá trình thực hiện đồ án không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của thầy cô giáo, các bạn để đồ án được hoàn thiện và mang tính thực tế hơn

Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Hữu Trung

và TS Nguyễn Thuý Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt đồ án này

Em xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

Lời mở đầu 1

Mục lục 3

Danh sách hình vẽ 6

Danh sách bảng 7

Chương 1: 8

Giới thiệu 8

1 Giới thiệu chung 8

1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số 10

1.2 Độ phân giải thời gian và tần số 11

2 Tổ chức luận văn 12

Chương 2: 13

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet 13

Lịch sử hình thành Wavelet 14

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet 16

2.2.1 Biến đổi Fourier 17

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet 20

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier 21

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier 22

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục 23

2.3.1 Định nghĩa 23

2.3.2 Đặc điểm của CWT 25

2.3.2.1 Tính tuyến tính 26

2.3.2.2 Tính dịch (translation) 27

2.3.2.3 Tính tỷ lệ (scaling) 27

2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng 27

2.3.2.5 Tính định vị (localization) 27

2.3.2.6 Ví dụ Wavelet Morlet 28

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) 28

2.4.1 Định nghĩa DWT 29

2.4.2 Tính chất biến đổi DWT 30

2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar 31

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank) 32

2.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) 32

2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 35

2.5.3 Biểu diễn ma trận DWT 40

2.5.4 Phân loại Wavelet 43

2.5.4.1 Đặc điểm của băng lọc Wavelet trực giao (orthogonal wavelet filter banks) 43

2.5.4.2 Đặc điểm của băng lọc Wavelet song trực giao (biorthogonal wavelet filter banks) 44

2.6 Phân tích gói Wavelet 44

2.6.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms) 46

2.6.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet 47

2.6.3 Lựa chọn phân tích tối ưu 48

2.7 Các họ Wavelet 49

2.8 Ứng dụng của Wavelet 51

2.8.1 Giới thiệu các ứng dụng của Wavelet 51

2.8.2 Wavelet trong các ứng dụng y sinh 52

Chương 3: 56

3.1 Giới thiệu về khử nhiễu tín hiệu 57

3.2 Sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage) 58

3.3 Khái niệm khử nhiễu 59

3.4 Quy trình khử nhiễu 60

3.4.1 Phân tích 61

3.4.2 Lấy ngưỡng 61

3.4.2.1 Lấy ngưỡng Wavelet 61

3.4.2.2 Xác định ngưỡng 65

3.4.3 Khôi phục 67

3.5 Khử nhiễu tín hiệu dựa trên phương pháp tối ưu hệ thống 67

Chương 4: 69

Mô phỏng và kết luận 69

4.1 Giới thiệu về chương trình mô phỏng khử nhiễu tín hiệu bằng phương pháp tối ưu hệ thống 69

4.1.1 Giới thiệu chung 69

4.1.2 Giới thiệu chung 72

4.2 Nhận xét kết quả khử nhiễu thu được 74

4.3 Kết luận và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo 74

4.3.1 Những kết luận chính của đồ án 74

4.3.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 75

Các thuật ngữ viết tắt 76

Tài liệu tham khảo 78

Danh sách hình vẽ

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian18

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn 19

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số 22

Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số 23

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet 28

Hình 2.7: Wavelet Haar 32

Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải 33

Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con 36

Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 39

Hình 2.11: Băng lọc hai kênh 40

Hình 2.12: Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử 45

Hình 2.13: So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và 46

Hình 2.14: Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 47

Hình 2.15: Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 50

Hình 2.16: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet 52

Hình 3.1: Phương pháp khử nhiễu Wavelet Shrinkage 59

Hình 3.2a: Tín hiệu bị nhiễu trong 62

Hình 3.2b: Tín hiệu trong miền Wavelet 62

Hình 4.1: Kết quả khử nhiễu tín hiệu bằng Wavelet truyền thống 70

Hình 4.2: Kết quả SNR thu được sau khi khử nhiễu 71

Hình 4.3: Kết quả SNR thu được sau khi khử nhiễu; 73

Danh sách bảng

Bảng 2.1: Tổng kết tính chất của một số Wavelet 51 Bảng 4.1: Bảng tổng hợp kết quả thu được theo mô phỏng 4.3 72

Chương 1:

Giới thiệu

1 Giới thiệu chung

Khử nhiễu tín hiệu luôn được các nhà nghiên cứu quan tâm trên cả phương diện thực tiễn cũng như lý thuyết Vấn đề đặt ra là làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu càng giống với tín hiệu nguyên gốc đến mức có thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tín hiệu Đã có nhiều thuật toán khác nhau được công bố và mỗi thuật toán này đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng

Xử lý tín hiệu đã trở thành một công cụ quan trong trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ Phạm vi ứng dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu bao trùm tất cả các lĩnh vực ứng dụng từ phân tích dữ liệu đến nén tín hiệu Một trong những công cụ mới và rất mạnh trong lĩnh vực xử lý tín hiệu đó là phép biến đổi Wavelet

Mặc dù lý thuyết về biến đổi Wavelet hiện đại chính thức được phát triển khoảng hai mươi năm gần đây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến đổi Wavelet đã xuất hiện từ trước đó rất lâu Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại bắt nguồn

từ cuối những năm 1970 và 1980 Ban đầu J Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi

Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ phân giải

thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải tần số cho các thành phần tần số thấp hơn Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ phân giải thời gian và ngược lại muốn có độ phân giải thời gian tốt thì độ phân giải tần số sẽ kém đi Để giải quyết vấn đề này, J.Morlet đã đưa ra ý tưởng về các hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay trải hàm này ra để thu được hàm tần số thấp hơn Để theo dõi toàn bộ thay đổi của tín hiệu theo thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian

Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng tuyệt vời: tín hiệu được khai triển trên

một tập hợp của các hàm được giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ _mother Wavelet)

ψ (1.1)

Trong đó a là tỷ lệ (scale), đây là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ phân

giải thời gian và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích

(analyzing Wavelet) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích

tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ

Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo

động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân

từng phần (partial differential equation)

Lý thuyết Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật y sinh kể từ khi nghiên cứu về Wavelet đầu tiên được công bố chính thức vào cuối những năm 1980 Tạp chí đầu tiên về Wavelet trong kỹ thuật y sinh được phát hành vào tháng ba năm

1995, công bố những nghiên cứu về tín hiệu EMG, EEG, và ECG,…cho thấy ưu thế ứng dụng của Wavelet trong những lĩnh vực mà các công cụ phân tích truyền thống không thể áp dụng tốt Nhờ kỹ thuật này mà độ chính xác, độ tin cậy của các hệ chẩn đoán ứng dụng trí tuệ nhân tạo ngày càng được nâng cao

1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số

Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT và biến đổi Wavelet

Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier Tín hiệu ƒ(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổw(t−τ), sau đó thực hiện biến đổi Fourier truyền thống Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại Một ví dụ điển hình của hàm cửa sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946

Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (giãn ra hay co

vào) của hàm nguyên mẫu đầu tiên ψ( )t Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp

1.2 Độ phân giải thời gian và tần số

Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là một vấn đề quan trọng cần quan tâm Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức định vị cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định

vị cao theo tần số Điều đó dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời gian và

độ phân giải tần số

Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đó Diện tích cơ bản trong

mặt phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile) Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa

sổ hình chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số

Để tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến đổi sử dụng cho biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy

tỷ lệ Rõ ràng dịch theo thời gian bởi τ dẫn đến sự dịch ô ngói theo τ qua trục thời gian Tương tự như vậy, nhân với e jw S t dẫn đến dịch ô ngói bởi wS Ngoài ra, cần chú ỷ rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay không có kích thước hẹp vô hạn Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm

cơ sở được sử dụng cho khai triển

Giả thiết tín hiệu f( )t tập trung quanh t0 với phổ tần số F(w) tập trung quanh

w0, ∆t biểu diễn độ phân giải thời gian của f( )t , ∆w là độ phân giải tần số của F(w)

0

2

2

11

π (1.3)

với E là năng lượng của tín hiệu Độ phân giải thời gian và tần số liên hệ theo nguyên lý bất định Heisenberg Nguyên lý này thiết lập một giới hạn cho độ phân

giải thời gian và tần số được biểu diễn bởi tích ∆t∆w Nếu f( )t phân rã nhanh hơn

Dựa trên những yêu cầu đặt ra với đề tài Ứng dụng Wavelet khử nhiễu tín hiệu ECG, đồ án của em được cấu trúc như sau:

Chương 1: Giới thiệu Giới thiệu chung một số khái niệm trong đồ án, trình bày mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong đồ án

Chương 2: Lý thuyết Wavelet Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau Giới thiệu những ưu điểm và ứng dụng của Wavelet

Chương 3: Ứng dụng Wavelet trong khử nhiễu tín hiệu bằng phương pháp tối ưu hệ thống Chương ba trình bày các kỹ thuật khử nhiễu tín hiệu, tập trung vào phương pháp khử nhiễu lấy ngưỡng, ứng dụng phương pháp lấy ngưỡng trong khử nhiễu tín hiệu, khôi phục các đột biến của tín hiệu

Chương 4: Mô phỏng và kết luận Chương bốn giới thiệu chương trình mô phỏng khử nhiễu tín hiệu được viết bằng Matlab, đưa ra các kết quả mô phỏng và phân tích các kết quả khử nhiễu thu được

Chương 2:

Lý thuyết Wavelet

Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần tần

số khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương ứng với thang tỷ lệ của thành phần phổ đó

Chương hai trình bày về sự hình thành của biến đổi Wavelet, so sánh biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của biến đổi Wavelet, và giới thiệu một số ứng dụng của biến đổi Wavelet

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thoả mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý

tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu diễn một hàm khác Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ

lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là

Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong

khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet

mẹ Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng

nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc Mã hoá rời rạc (sparse coding) làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ

liệu

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học,

kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals, turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

Lịch sử hình thành Wavelet

Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi Wavelet đã được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên

ở thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đã không đưa ra được một lý thuyết chặt chẽ, thống nhất

Trước 1930

Trước 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu với

Joseph Fourier (1807) và lý thuyết của ông về giải tích tần số (frequency analysis),

hiện nay thường được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT)

∑∞

=

++

)(

1

dx kx x

f

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier,

và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới

khái niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis) Ý tưởng cơ bản là xây dựng một hàm gốc,

dịch và thay đổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu để thu được một xấp xỉ mới của tín hiệu đó Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác nhau Khái niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục của lý thuyết của A Haar (1909) Wavelet Haar triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn Và Wavelet Haar không khả vi liên tục, điều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar

động Brownian Và một nghiên cứu khác trong những năm 1930 do Littlewood,

Paley, và Stein thực hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm f (x):

Năng lượng= ∫ f ( x )2dx (2.3)

Các nhà nghiên cứu đã tìm ra một hàm có thể thay đổi theo tỷ lệ và có thể bảo toàn năng lượng khi tính toán năng lượng hàm David Marr đã đưa ra với thuật toán hiệu quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet

1960-1980

Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toàn học Guido Weiss và Ronald R.Coifman đã

nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom (nguyên tử),

với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp

“assembly rules” cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các atoms Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã định nghĩa

chung Wavelets trong lĩnh vực vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

2.2.1 Biến đổi Fourier

Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier đã chứng minh rằng một hàm tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ phức Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của các hàm, đầu tiên ý tưởng của ông đã được tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau đó cho các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian Sau đó tổng kết này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy tính Năm 1965, một thuật

toán mới được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier Transform) được

phát triển và biến đổi FT (Fourier Transform) trở thành một công cụ phổ biến

f

dt e t f w F

iwt

jwt

)()

(

)()

(

(2.4)

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ -∝ tới +∝ Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay đổi

theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary) Điều đó có nghĩa là biến

đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần số nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ đó

Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là biến đổi Fourier

nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra Trong biến đổi STFT,

tín hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng đoạn được phân

chia có thể coi là dừng (stationary) Với mục đích này, hàm cửa sổ được lựa chọn

Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng của tín hiệu

là phù hợp Định nghĩa STFT:

= ∫ − −

t

jwtdt e l t w t f w

l STFT ( , ) [ ( ) *( )]

(2.5)

với w là hàm cửa sổ

Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử dụng Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian

Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg Các phương trình cơ bản không thể đưa

ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết được các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc chắn khoảng thời nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại

Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng Nếu như các thành phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt Tuy nhiên, trong trường

hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp

là khó khăn

Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào, tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử

dụng phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet

Transform) Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với

những độ phân giải khác nhau Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn

thời gian, trục tung biểu diễn tần số

Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp Phép tính gần đúng này có ý nghĩa đặc biệt khi tín hiệu gốc có

các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần tần

số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài, đó là trường hợp của hầu hết các tín hiệu y

sinh: tín hiệu điện não đồ EEG (electroencephalogram), điện cơ đồ EMG (electromyogram), và điện tâm đồ ECG (electrocardiogram)

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies92):

1 , ( ) (2.7)

là hàm cửa sổ còn được gọi là Wavelet mẹ (mother wavelet), a là tỷ lệ và b là

khoảng dịch, ψ*(t) là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ(t) Thuật ngữ Wavelet nghĩa là sóng nhỏ Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu đầu tiên để tạo nên các hàm cửa sổ

Thuật ngữ dịch (translation) liên quan với vị trí của cửa sổ, như là cửa sổ được

dịch chuyển trên tín hiệu Thuật ngữ này rõ ràng tương ứng với thông tin thời gian

trong miền khai triển (transform domain) Tuy nhiên, chúng ta không có tham số

tần số như trong biến đổi STFT Thay thế cho tham số tần số, chúng ta có khái niệm

tỷ lệ, là phép toán mở rộng hoặc nén tín hiệu Các tỷ lệ nhỏ tương ứng với mở rộng hay giãn các tín hiệu và các tỷ lệ lớn tương ứng để nén tín hiệu Việc lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần thô) của tín hiệu

Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau – xem hình 3.3:

1 Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản

2 Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín

hiệu Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet đã chọn

3 Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn

bộ tín hiệu

4 Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3

Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6)

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, điền đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n

Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm

cơ sở đó là sin và cosin Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ

sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet)

Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân

bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng

để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Điểm khác biệt đáng chú ý nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là các hàm Wavelet riêng được khu biệt trong không gian, trong khi các hàm sin và cosin của biến đổi Fourier thì không Đặc điểm khu biệt, cùng với sự khu biệt các wavelet theo tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng Wavelet được rải

rác ra “sparse” khi biến đổi sang miền Wavelet Sự rải rác này, dẫn đến một số ứng

dụng hữu ích như là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của ảnh, và khử nhiễu Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian-tần số giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt phẳng thời gian-tần số Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian-tần

số

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt

phẳng thời gian - tần số

Một ưu điểm của biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi Để tách các điểm gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm đó để

có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài

Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ

trên mặt phẳng thời gian - tần số

Một điểm cần ghi nhớ rằng các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin Thay vào đó, các biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng Do vậy, phân tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục

2.3.1 Định nghĩa

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:

W(a,b)=∫−+∞∞ f(t)ψ* ,b(t)dt (2.8)

với a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t) là liên hợp

phức của hàm wavelet ψa,b(t) Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet ψ ,b(t)có thể thu được từ Wavelet cơ bản:

1 , ( ) (2.9) với a, b là các số thực (a ≠ 0), ψ ,b(t)là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng

không: ∫∞

∞

−

= 0 )

(

a

dadb t b a W C t

ψ

(2.10)

trong đó Cψ phải thoả mãn điều kiện:

=+∫∞ <+∞

∞

−

ωω

ωψ

C

2

)(

(2.11)

với ψ(ω)là biến đổi Fourier của hàm Wavelet ψ ,b(t) C là hằng số phụ thuộc vào ψ

hàm Wavelet ψ ,b(t) C là hữu hạn chỉ khi hàm ψ ψ(0)=0hay điều kiện tương đương:

+∞∫

∞

−

= 0)

Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT Sự gián đoạn hoá CWT được

thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ Tốc độ lấy mẫu có thể thay

đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist Tiêu

chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên

bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần số thấp

đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm

2.3.2 Đặc điểm của CWT

Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện thừa nhận

(admisibility condition) và các điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và các

đặc điểm này dẫn đến tên gọi Wavelet (sóng nhỏ) Người ta chứng minh rằng tích

phân bình phương các hàm ψ(t) thoả mãn điều kiện admissibility:

(2.14)

có thể được sử dụng để phân tích ban đầu và sau đó khôi phục lại tín hiệu mà không

tổn hao thông tin Trong biểu thức (2.14) hàm Ψ(ω) là biến đổi Fourier của ψ(t)

Điều kiện admissibility chỉ ra rằng biến đổi Fourier của hàm ψ(t)triệt tiêu ở f = 0

( ) 0

0

2

=Ψ

=

ω

ω (2.15)

Điểm không ở tần số bằng 0 cũng có nghĩa rằng giá trị trung bình của Wavelet

trong miền thời gian phải bằng 0:

∫Ψ( )t dt=0 (2.16)

và do vậy phải có dạng dao động Nói cách khác, ψ(t)phải là dạng sóng

Người ta sử dụng các điều kiện thêm (additional condition) của các hàm

Wavelet để làm cho biến đổi Wavelet giảm nhanh chóng cùng với sự giảm tỷ lệ a

Đó là điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm

Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số Regularity là

một khái niệm phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm

momen triệt tiêu (vanishing moment)

Nếu khai triển biến đổi Wavelet (2.8) thành chuỗi Taylor ở t = 0 cho tới bậc n

p

a

t p

t f

1)0,(

Ở đây ƒp có nghĩa là đạo hàm bậc p của ƒ và O(n + 1) nghĩa là phần dư của biểu

thức Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng Mp:

1 0

!

0

!2

0

!1

00

f a

M

f a M

f a M f a

a

(2.19)

Từ điều kiện admissibility có momen M0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế

phải là bằng 0 Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen Mn

cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho

tín hiệu trơn ƒ(t) Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ Nếu Wavelet

có momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N Trên thực tế,

nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn

vào ứng dụng

2.3.2.1 Tính tuyến tính

Tính chất tuyến tính của biến đổi Wavelet có tính chất tuyến tính của tích vô

hướng

2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng

Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Nếu hàm f(t)∈L2(R)và có biến đổi Wavelet liên tục là Wf(a,b) thì:

,W

1

a

dadb b

a C

dt t f

( ) ( ) 2 / 2

2

πω

ψ rất nhỏ nên vẫn được xem là một hàm của Wavelet

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)

Vì những hàm Wavelet ψa, b( )ω được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet ψa, b( )ω rất dư thừa Do vậy, để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh vực

mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band coding) Năm

1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển được gọi là

mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA)

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm

cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

k

j n n f k

j C b a

C , , ψ , (2.25) với ψj, klà Wavelet rời rạc được định nghĩa:

n n k j ( j n k)

j

j j

1)

a f f

A

,

2 2

2

,,ψ (2.27)

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds)

Biến đổi ngược được xác định như sau:

j C n

f , ψ , (2.28)

Nếu giới hạn khung (framebounds) trong (2.27) là A=B=1, thì phép biến đổi là

trực giao

Đây là tổng vô hạn theo cả chỉ số thời gian k và chỉ số tỷ lệ j Tuy nhiên tổng

này có thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Wavelet với toàn bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nào đó, như vậy phép tổng hữu hạn (2.28) theo k là đúng với một số xấp xỉ

Để tìm hiểu tại sao phép tổng (2.28) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ, phần tiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA được phát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Wavelet sau này

2.4.2 Tính chất biến đổi DWT

Wavelet được xác định bởi một số xác định các hệ số khác không M Số hệ số

này đại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moments) được xác định như sau:

Nếu ψ( )x là khả vi M lần và phân rã đủ nhanh, thì M-1 mômen Wavelet đầu tiên triệt tiêu, nghĩa là:

h

ψ 2 1 1 (2.31) Ngoài ra, hàm tỷ lệ là trực giao với phép tịnh tiến của nó:

k h

1

2 ∑ ( ) ( + )= ( )

k

m m m

k h k

h 2 0 (2.35)

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi

dãy h(k) và để biểu diễn sự phân tích và khôi phục Wavelet chúng ta chỉ cần các hệ

10

,1

t

t t

12/1,1

2/10,1

t

t

t t

ψ (2.37)

Hình 2.7: Wavelet Haar

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank)

2.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis)

Định nghĩa: Không gian L2 = L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự

Phân tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j ⊂L2( )R :

• f( )t ∈V0 ⇔ f(t−k)∈V0,k∈Z

• {φ(t−k) }k∈Z xác định một cơ sở trực chuẩn cho V 0

(2.38e)

Như vậy họ {φ(t− ,k)k∈Z} tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian tham

chiếu V Các không gian 0 V lồng vào nhau Không gian L j 2(R) đóng kín tập hợp

mọi V j

Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L 2 biểu

diễn toàn bộ không gian V j biểu diễn một không gian con, W j biểu diễn chi tiết

Hàm tỷ lệ φ( )t :

Hàm φ( )t trong định nghĩa đa phân giải MRA được gọi là hàm tỷ lệ (scaling

function) hay hàm cha (father function) đôi khi còn được gọi là hàm xấp xỉ

Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

( )= ∑ ( − )

k

k t k h

φ (2.41) Đặt không gian W là phần bù của j V với j V , j+1 V j+1 =V j ⊕Wj Các hàm ψj, k

là một cơ sở trực chuẩn của W j

Với các tín hiệu thực tế có dải thông giới hạn, có một tỷ số j = J cho các hệ số wavelet w j,klà đủ nhỏ Do đó có thể viết hàm f J ∈ thành V J f J( )t =∑k s J,kφJ,k( )t Tương tự như vậy hàm W có thể được viết thành dạng j d J( )t =∑k w ,kψ ,k( )t

Tổng hợp lại, ta có:

1 2

2 1 -

0 j0

= 1

0

, 0 , 0 ,

J j

J J k j k j k

j k

w ψ φ (2.43) với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích

Vì ψ∈W0 ⊂V1, và ψ(2t−k) là một cơ sở trực chuẩn của V , 1 ψ có thể được viết thành:

( )= ∑ ( − )

k

k t k g

ψ (2.44) được gọi là phương trình Wavelet

Các hệ số ( )h và k ( )g từ các phương trình tỷ lệ và phương trình Wavelet tương k

ứng với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này được sử dụng trong thuật toán Mallat

2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc được sử dụng phổ biến Wavelet có thể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi Độ phân giải của tín hiệu là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu Độ phân giải của tín hiệu được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sự phân

chia (upsampling) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con (subsampling)

Biến đổi Wavelet rời rạc được tính toán bởi quá trình lọc thông thấp và thông cao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toán Mallat hay sự

phân tích cây Mallat (Mallat-tree decomposition) Ý nghĩa quan trọng của thuật

toán Mallat là thuật toán này đã kết nối sự đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc

Thuật toán DWT:

Khởi đầu: Chiếu tín hiệu lên V , với J được xác định bởi tần số lấy mẫu Trong J

thực tế, thực hiện thay thế các hệ số tỷ lệ với các giá trị mẫu

1 Chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết nhờ sử dụng ( )h và k

( )g k

2 Thay đổi tỷ lệ các hệ số xấp xỉ

3 Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)

4 Lặp lại bước (2) và (3) cho đến khi đạt được kết quả thoả mãn.

H

H G

Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con

(a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp

Trong hình vẽ 2.9, tín hiệu được được biểu thị bởi dãy x[n], với n là số nguyên

Bộ lọc thông cao được biểu thị bởi G, trong khi bộ lọc thông thấp được biểu thị bởi

H Ở mỗi mức, bộ lọc thông cao G đưa ra thông tin chi tiết d[n], trong khi bộ lọc thông thấp H kết hợp với hàm tỷ lệ đưa ra các xấp xỉ thô a[n]

Ở mỗi mức phân tích, các bộ lọc nửa dải (half band filter) đưa ra các tín hiệu

kéo dài duy nhất nửa băng tần Các bộ lọc này làm tăng độ phân giải tần số lên gấp đôi vì tính bất định của tần số được giảm đi một nửa Theo luật Nyquist nếu như tín hiệu nguyên bản có tần số góc cao nhất ω rad/s yêu cầu tần số góc lấy mẫu là 2ω rad/s, vậy khi tần số góc cao nhất là ω/2 rad/s thì tần số góc lấy mẫu sẽ là ω rad/s,

do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà không gây ra sự mất mát thông tin Việc lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phân giải thời gian vì toàn bộ tín hiệu bây giờ được biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu

Như vậy, độ phân giải thời gian đạt được tốt ở các tần số cao, trong khi độ phân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp Quá trình lọc và phân chia là liên tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yêu cầu Số lượng tối đa các mức phụ thuộc vào độ dài của tín hiệu Biến đổi Wavelet rời rạc của tín hiệu thu được nhờ sự xâu

chuỗi (concatenating) các hệ số a[n] và d[n], bắt đầu từ mức cuối cùng của quá

trình phân tích

Hình 2.9b biểu diễn quá trình khôi phục tín hiệu nguyên bản từ các hệ số Wavelet Về cơ bản, quá trình khôi phục là sự đảo ngược của của quá trình phân tích Các hệ số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy bởi hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao và sau đó được gộp vào với nhau Quá trình tiếp tục cho đến đạt được cùng số mức thu được trong quá trình phân tích tín hiệu nguyên bản

Phương pháp tốt nhất để mô tả quy trình trên cũng như đưa ra một quy trình hiệu quả để xác định các hệ số wavelet là biểu diễn phép toán của các bộ lọc

Trở lại hai biểu thức (2.41) và (2.44) trong phần trước, dãy l2 {h( )k ,k∈Z}và

( )

{g k ,k∈Z} là các bộ lọc gương vuông góc (quadrature mirror filters) trong xử lý

tín hiệu Mỗi liên hệ giữa g và h:

( ) ( ) (k h n)

g = −1n 1− (2.45) Dãy h(k) được biết đến như là bộ lọc thông thấp trong khi dãy g(k) là bộ lọc thông cao Các bộ lọc thuộc họ các bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn (FIR)

Các tính chất sau có thể được chứng minh sử dụng biến đổi Fourier và tính trực giao:

( )= 2,∑ ( )=0

∑

k k

k g k

h (2.46)

Với dãy f ={ }f n đại diện cho tín hiệu rời rạc cần được phân tích và các toán tử

H và G được xác định bởi các biểu thức:

bước trong phân tích wavelet

Như vậy biến đổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 2.10):

Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử

Quy trình khôi phục tín hiệu cũng tương tự như phân tích Tín hiệu ở mọi mức

được nội suy (upsampled) với hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp ký hiệu G , H (thông cao và thông thấp tương ứng), sau đó được cộng với nhau Các toán tử G,H được xác định như sau:

( ) =∑ ( − ) ( )

k

n h n k f n f

H 2 (2.51)

( ) =∑ ( − ) ( )

k

n g n k f n f

G 2 (2.52)

Áp dụng đệ quy ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 1