Nghiên cứu tính toán từ trường và dòng điện xoáy trong vùng dẫn có cấu trúc vỏ mỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Trong đó, phương pháp giải tích th c chất là phương pháp phân ly biến số [5], có nghĩa là bài toán được giả thiết rằng nghiệm của nó làm hàm số phụ thuộc vào một biến số trong khi đó các

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại lớp Cao học Kỹ thuật điện khóa 2013-2015,

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tôi đã được đào tạo và tích lũy nhiều kiến thức

cho bản thân cũng như phục vụ công việc Đặc biệt là khoảng thời gian thực hiện

đề tài: “Nghiên cứu tính toán từ trường và dòng điện xoáy trong vùng dẫn có

cấu trúc vỏ mỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn”

Tôi xin bày tỏ lòng tri ân tới các Thầy, Cô Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện Tử –

Viện Điện - Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ

tôi trong học tập, nghiên cứu và làm luận văn

Đặc biệt xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Đặng Quốc

Vương đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành

luận văn này

Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng, song với kiến thức còn hạn chế và thời

gian có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong

nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được

hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Học viên

Trần Thanh Tuyền

MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH ẢNH

DANH MỤC BẢNG

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Chương I: MÔ HÌNH LÝ THUYẾT CHO BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ……… 4

1.1 Tổng quan ……… … 4

1.2 Phương trình Maxwell ……….… 4

1.2.1 Đặc tính vật liệu ……… … ……….… 5

1.2.2 Điều kiện chuyển tiếp bề mặt và điều kiện biên …… ….….…….… 7

1.2.3 Phương trình Maxwell trong miền tần số 9

1.3 Mô hình toán liên tục và không gian hàm 10

1.4 Sơ đồ Tonti 11

1.5 Định nghĩa mô hình bài toán tổng quát 13

1.6 Mô hình bài toán từ tĩnh và bài toán từ động ……….……… 13

1.6.1 Mô hình bài toán từ tĩnh ……… ……… 13

1.6.2 Mô hình bài toán từ động ……….……….…… 15

1.7 Kết luận ……….…….…….………… 17

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ…… ……… 18

2.1 Tổng quan ……… ……….……… … 18

2.2 Rời rạc hóa các phần tử ……… ………….……… … 18

2.2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn ……… … ….………… 18

2.2.2 Định luật Green ……… … ….………… 19

2.2.3 Các biểu thức yếu nhận ……… ……… … …… 20

2.2.4 Phần tử hữu hạn ……….……… ……….…… 21

2.3 Mô hình phần tử hữu hạn ……… …….… …… ……….…… 25

2.3.1 Các hàm nội suy ……….……… ……….…… 26

2.3.2 Các phần tử tham chiếu ………… …….……… ….…….…… 29

2.4 Phương trình yếu nhận với vectơ từ thế A ……… ….………… 31

2.4.1 Tổng quan ……… …….………… ……… ….……… 31

2.4.2 Phương trình yếu nhận ……….… …….…… …… 31

2.5 Phương trình yếu nhận với vectơ cường độ từ trường H ….………… 33

2.5.1 Tổng quan ……… ……… ……… 33

2.5.2 Phương trình yếu nhận ……….… ….……… 34

2.6 Kết luận ……….……… 36

CHƯƠNG III: TÍNH TOÁN TỪ TRƯỜNG VÀ DÒNG ĐIỆN XOÁY BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN……… ……… 37

3.1 Tổng quan ……… 37

3.2 Bài toán 1: Mô hình 2D của cuộn dây - màn chắn có cấu trúc mỏng 38

3.2.1 Mô hình 2D với một màn/tấm chắn ……… ……… …… 38

3.2.2 Mô hình 2D với hai màn/tấm chắn ……….… …….…… 42

3.3 Bài toán 2: Mô hình 2D với lõi thép và cuộn dây ……… ……… 47

3.4 Bài toán 3: Mô hình 3D với bài toán TEAM Problem 21B …… …… 50

3.5 Kết luận ……….………… …… 55

KẾT LUẬN ……….………… 56

HƯỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO ……… 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 58

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2 8

Hình 1.2: Miền bị chặn Ω và các miền con Ωg, Ωs và Ωt ……….……… 12

Hình 1.3: Mặt cắt của miền đa liên………… ……….……… 13

Hình 2.1: Miền không gian áp dụng phần tử hữu hạn (K, P K , K) … …….… 22

Hình 2.2: Một phần lưới 2D của miền ……….…….…… 24

Hình 2.3: Tập hợp các phần tử hình học khác nhau ……… …… 25

Hình 2.4: Các dạng hình học: nút, cạnh và mặt (i, j, k, l  N) ………… …… 26

Hình 2.5: Định nghĩa miền phẳng xác định biểu thị ký hiệu _ , , F j i N ………… … 26

Hình 2.6: Mô tả hình học của hàm cạnh s eij ……… …… 28

Hình 2.7: Vector a×b trong hàm s f ……… ……… ……… … 29

Hình 2.8: Mô tả hình học của hàm mặt phẳng s f ……… 29

Hình 2.9: Khối tứ diện tham chiếu T ……… 29

Hình 2.10: Khối sáu mặt tham chiếu H … 30

Hình 2.11: Khối lăng trụ tham chiếu P … … 30

Hình 2.12: Miền nghiên cứu  và đường biên bao quanh ……… 32

Hình 3.1: Sơ đồ thuật toán áp dụng phần mềm Gmsh và GetDP …… ……… 38

Hình 3.2: Mô hình cuộn cảm và màn chắn vỏ mỏng ……….…… 38

Hình 3.3: Mô hình chia lưới 2D với 1 tấm chắn ……… 39

Hình 3.4: Phân bố của từ thế A (µ = 1, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) 39

Hình 3.5: Phân bố của từ thế A (µ = 1, σ =10 MS/m, f = 300Hz) …… 40

Hình 3.6: Phân bố của từ thế A (µ = 100, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) 40

Hình 3.7: Phân bố của mật độ từ cảm (µ = 1, ζ = 10 MS/m, f = 300Hz) 40

Hình 3.8: Phân bố của mật độ từ cảm (µ = 100, ζ = 10 MS/m, f = 50Hz) 41

Hình 3.9: Phân bố mật độ dòng điện xoáy dọc theo màn chắn (trên) và phân bố của mật độ dòng điện nguồn trong cuộn dây (dưới) (µ = 100, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) 41

Hình 3.10: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn, từ tâm đến cuối 42

Hình 3.11: Mô hình cuộn cảm và màn chắn vỏ mỏng với hai màn chắn 42

Hình 3.12: Mô hình chia lưới 2D với 2 màn chắn 43

Hình 3.13: Phân bố của từ thế A (µ = 1, ζ =10 MS/m, f = 300Hz) 43

Hình 3.14: Phân bố của từ thế A theo z (µ = 1, ζ =10 MS/m, f = 300Hz) 44

Hình 3.15: Phân bố của từ thế A (µ = 100, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) 44

Hình 3.16: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy dọc theo 2 màn chắn (µ = 1, ζ =10 MS/m, f = 300Hz) 45

Hình 3.17: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy dọc theo 2 màn chắn (µ = 100, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) 45

Hình 3.18: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 3mm, khoảng cách D = H2/2), từ tâm đến cuối 45

Hình 3.19: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 3mm, khoảng cách D = 2H2), từ tâm đến cuối 46

Hình 3.20: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 7mm, khoảng cách D = H2/2), từ tâm đến cuối 47

Hình 3.21: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 7mm, khoảng cách D = 2H2), từ tâm đến cuối 47

Hình 3.22: Mô hình chia lưới 2D của của lõi thép và cuộn dây 48

Hình 3.23: Phân bố của nguồn dòng trong cuộn dây 48

Hình 3.24: Phân bố của nguồn dòng trong cuộn dây và từ cảm trong lõi thép (μ r = 500, ζ = 10 MS/m, f = 50Hz) 48

Hình 3.25: Phân bố của từ cảm trong lõi thép (μ r = 500, ζ = 10 MS/m, f = 1kHz) 49 Hình 3.26: Phân bố từ trường với mật độ từ cảm b trong các lá thép kỹ thuật điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x ….……… ……… 49

Hình 3.27: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong lõi thép (μ r = 500, ζ = 10MS/m, f = 1kHz) 50

Hình 3.28: Phân bố mật độ dòng điện xoáy trong các lá thép kỹ thuật điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x ……….……… ………… 50

Hình 3.29: Mô hình hai cuộn cảm và một tấm chắn từ mỏng 51

Hình 3.30: Mô hình kiểm nghiệm với hai cuộn cảm và một tấm chắn từ 51

Hình 3.31: Mô hình chia lưới 3D của cuộn dây và tấm chắn 52

Hình 3.32: Phân bố của nguồn dòng chạy trong nửa cuộn cảm thứ nhất 52

Hình 3.33: Phân bố của mật độ từ trường trong vùng nghiên cứu và giới hạn biên ……… 53

Hình 3.34: Phân bố của mật độ từ trường sinh ra bởi cuộn dây 53

Hình 3.36: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trên mặt cắt ngang của nửa tấm

chắn từ tính từ tâm ra ngoài của tấm chắn ……… 54

Hình 3.37: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trên mặt cắt dọc của nửa tấm

chắn từ tính từ tâm ra ngoài của tấm chắn 54

Hình 3.38: Phân bố của mật độ tổn thất công suất trên mặt cắt ngang của nửa

tấm chắn từ tính từ tâm ra ngoài của tấm chắn 54

Hình 3.39: Phân bố mật độ tổn thất công suất trên mặt cắt dọc của nửa tấm

chắn từ tính từ tâm ra ngoài của tấm chắn 55

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1: Hằng số từ thẩm tương đối μ r của một số vật liệu ……… 6

Bảng 1.2: Hằng số điện môi tương đối ε r của một số vật liệu …… ….… …… 6

Bảng 1.3: Mật độ điện tích mặt của một số vật liệu ……… ……….… …… 7

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

H (Curl; Ω) Không gian hàm curl

H (div; Ω) Không gian hàm div

t Biến thời gian

X = (x,y) Tọa độ điểm trong không gian E2

X = (x,y,z) Tọa độ điểm trong không gian E3

BC Điều kiện biên

IBC Điều kiện trở kháng biên

MỞ ĐẦU

1 Cơ sở th c tiễn của đề tài

Máy điện là một trong những thiết bị điện đóng vai trò rất quan trong s phát

triển của nền kinh tế quốc dân (ví dụ: trong công nghiệp, trong sản xuất ) Vì vậy,

việc nghiên cứu và tính toán máy điện là một phần quan trọng và không thể thiếu

đối với các nhà thiết kế và các nhà nghiên cứu Mục đích của việc nghiên cứu là áp

dụng các lý thuyết vật lý vào mô hình toán học để mô tả quá trình biến đổi điện từ

xảy ra trong máy điện thông qua công cụ máy tính Trên cơ sở đó, đã giúp các nhà

thiết kế và nghiên cứu phân tích được các hiện tượng vật lý và quá trình biến đổi

điện từ trong hệ thống điện nói chung và máy điện nói riêng

Như chúng ta biết, mọi quá trình biến đổi điện từ xảy ra trong thiết bị điện

nói chung và máy điện nói riêng đều được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell cùng

với luật trạng thái của chúng [10, 15, 16] Đây là các phương trình đạo hàm riêng

đối với vector cường độ điện trường E và cường độ từ trường H, phân bố trong

không gian và biến đổi theo thời gian Để giải được các bài toán này và mô phỏng

các hiện tượng vật lý, các nhà thiết kế và các nhà nghiên cứu thường sử dụng các

phương pháp nghiên cứu khác nhau [5]:

+ Phương pháp giải tích;

+ Phương pháp mạch từ không gian thay thế;

+ Phương pháp phần tử hữu hạn

Trong đó, phương pháp giải tích th c chất là phương pháp phân ly biến số

[5], có nghĩa là bài toán được giả thiết rằng nghiệm của nó làm hàm số phụ thuộc

vào một biến số trong khi đó các tham số khác không thay đổi Phương pháp này có

ưu điểm là tìm được nghiệm cụ thể, dễ ràng phân tích các yếu tố ảnh hưởng và giải

thích được các hiện tượng xảy ra trong thiết bị điện hay tính toán các đại lượng liên

quan Ngoài ra, nghiệm của bài toán cũng phản ánh các điều kiện biên của bài toán,

đặc tính của nguồn trường cung cấp Tuy nhiên, đối với bài toán có mô hình và điều

kiện biên giữa các môi trường tiếp giáp phức tạp thì việc áp dụng phương pháp giải

tích sẽ gặp khó khăn (gây ra sai số lớn) và đôi khi không thể th c hiện được

Phương pháp mạch từ không gian thay thế [5] là phương pháp chuyển từ mô

hình Maxwell sang mô hình Kirchhoff một cách tường minh và giữ nguyên tính

chất vật lý của bài toán Với phương pháp này, một bài toán có cấu trúc phức tạp

được chia thành các miền con có hình dạng hợp lý và tạo thành một lưới các phần

tử trong không gian 2D hoặc 3D Ưu điểm của phương pháp là đảm bảo được độ

chính xác cao, tuy nhiên với mô hình có số bậc t do lớn hơn 100, thì việc áp dụng

phương phường này khó khăn và không đáp ứng được [5] Để khắc phục được

nhược điểm trên, trong những năm gần đây các nhà nghiên cứu thường áp dụng

phương pháp số để phân tích và tính toán bài toán trường Phương pháp này ứng

dụng đối với các bài toán đa biến mà phương pháp giải tích và mạch từ không gian

thay thế không thể th c hiện được

Một trong những phương pháp số hay được áp dụng, đó là phương pháp

phần tử hữu hạn (PTHH); phương pháp sai phân hữu hạn; phương pháp phần tử

biên Trong đó, phương pháp PTHH là phương pháp phổ biến nhất được áp dụng để

giải bài toán trường trong máy điện, đặc biệt bài toán với mô hình từ động

Phương pháp PTHH ban đầu có nguồn gốc trong cấu trúc của phương pháp

giải tích Mặc dù thuật toán của phương pháp được đưa ra bởi Courant năm 1943,

nhưng phương pháp này vẫn không được áp dụng để giải các bài toán điện từ cho

đến năm 1968 Kể từ đó, phương pháp này đã được ứng dụng một cách rộng rãi và

đa dạng trong các lĩnh v c như bài toán ống dẫn sóng, máy điện, các thiết bị bán

dẫn, microstrip hay trường hấp thụ bức xạ điện từ của cơ thể sinh học, Phương

pháp PTHH có thể được coi là phương pháp số mạnh mẽ và linh hoạt nhất trong

giải quyết các bài toán có hình dạng phức tạp cũng như có nhiều các môi trường

không đồng nhất [7]

Do đó, việc áp dụng phương pháp PTHH đã được nghiên cứu phát triển trên

thế giới từ những năm 90 của thế kỷ trước Hiện là bài toán th c tế đang được quan

tâm ở Việt Nam

Việc áp dụng phương pháp PTHH để tính toán s phân bố từ trường, dòng

điện xoáy trong máy biến áp cũng đã được tác giả S.V Kulkarni để cập trong bài

báo [13] Trong các bài báo [10, 15, 16], tác giả Vuong Dang Quoc và P Dular

cũng đã đưa ra một phương pháp mô hình các bài toán nhỏ PTHH để phân tích s

phân bố của từ trường, dòng điện xoáy Tuy nhiên, hiện nay ở Việt Nam việc áp

dụng các phương pháp này vào bài toán th c tế để tính toán và mô phỏng s phân

bố của trường, phân bố nhiệt“hot pot” và dòng điện xoáy trong máy điện vẫn là

một vấn đề hết sức nhức nhối đối với một số nhà máy chế tạo thiết bị điện ở Việt

Nam, cụ thể: nhà máy chế tạo máy biến áp Đông nh, nhà máy chế tạo biến thế

BB…

Trong nội dung và phạm vi của đề tài, tác giả sử dụng phương pháp PTHH

để tính toán s phân bố từ trường, dòng điện xoáy và tổn hao vùng dẫn có cấu trúc

vỏ mỏng (lõi thép) và vỏ máy biến áp

Đề tài tập trung vào nghiên cứu và xây d ng mô hình toán đối với từ thế

vector A, cường độ điện trường H và mô tả các trạng thái, s phân bố của từ trường,

phân bố dòng xoáy tổn hao trong vùng dẫn Kết quả của phương pháp nghiên cứu

có thể áp dụng tr c tiếp cho các máy biến áp phân phối tại các nhà máy chế tạo (ví

dụ như nhà máy chế tạo máy biến áp Đông nh, nhà máy chế tạo biến thế BB…)

Từ những phân tích ở trên, dưới s hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS

Đặng Quốc Vương và các Thầy cô trong Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện Tử, tác giả

đã chọn đề tài: “Nghiên cứu tính toán từ trường và dòng điện xoáy trong vùng

dẫn có cấu trúc vỏ mỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn” làm đề tài luận

văn Thạc sỹ ngành kỹ thuật điện

2 Mục tiêu của đề tài

Tính toán s phân bố của từ trường, dòng điện xoáy và tổn thất công suất

trong vùng dẫn có cấu trúc vỏ mỏng bằng phương pháp PTHH

3 Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết:

 Tổng quan chung về bài toán điện từ;

 Mô hình lý thuyết cho bài toán điện từ;

 Phương pháp PTHH;

 Các bài toán áp dụng

CHƯƠNG I: MÔ HÌNH LÝ THUYẾT CHO BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ

1.1 Tổng quan

Các vấn đề về trường điện từ thường gặp khá nhiều trong nhiều lĩnh v c của

cuộc sống, chúng xuất hiện và tồn tại xung quanh các thiết bị điện và hệ thống điện

Việc nghiên cứu hay tính toán các bài toán điện từ thường được giải quyết bằng

việc sử dụng các dạng mô hình hóa trường điện từ Hiện nay với s tiến bộ khoa

học công nghệ - máy tính, đã giúp các nhà nghiên cứu và các nhà khoa học có thể

th c hiện giải các bài toán điện từ có cấu trúc phức tạp với độ chính xác cao Đặc

biệt, với s trợ giúp của máy tính, việc nghiên cứu, tính toán, thiết kế và giải quyết

các bài toán điện từ trở nên thuận tiện và đơn giản hơn Các kết quả đạt từ phương

pháp PTHH và được thông qua s mô phỏng trên máy tính giúp giải quyết các vấn

đề mà phương pháp giải tích không làm được Ngày nay, phương pháp PTHH đang

trở thành công cụ hữu hiệu cho các nhà nghiên cứu và ngày càng được phổ biến

rộng rãi

1.2 Phương trình Maxwell

Trong phần này, tác giả giới thiệu tổng quan về một số khái niệm cơ bản của

bài toán điện từ và hệ phương trình Maxwell [1], [4], [5], [7], [11], [12], [17] Hệ

phương trình Maxwell là một hệ phương trình cơ bản mô tả toàn bộ các hiện tượng

điện tử xảy ra trong thiết bị điện và hệ thống điện Hệ phương trình này bao gồm

các phương trình đạo hàm riêng được liên kết với nhau thông qua các hiện tượng từ

trường và điện trường cùng với luật trạng thái và các điều kiện biên Hệ phương

trình Maxwell được viết trong không gian ba chiều Eculidean 3

Phương trình (1.1) là phương trình Ampere, phương trình (1.2) là phương

trình Faraday Phương trình (1.3) và (1.4) là phương trình Gauss Các vector trường

h, e, b, d lần lượt là vector từ cường độ trường ( /m), vector cường độ điện trường

(V/m), vector cảm ứng từ (T) và vector cảm ứng điện (C/m2) Mật độ điện tích 

(C/m3) và mật độ dòng điện j (A/m2) là các nguồn trong các phương trình trên Khi

phương trình Maxwell trở nên bằng không và các hiện tượng điện và từ không liên

kết với nhau

Bằng cách lấy div hai vế của phương trình (1.1), sau đó thay vào (1.4),

phương trình bảo toàn điện tích được viết như sau:

div j + ∂t = 0 (1.5)

Nếu j được cho với thời gian mọi thời gian, điện tích có thể đạt được bằng

cách lấy tích phân hai vế của (1.5) trong một miền khối V Sau đó áp dụng lý thuyết

Trong đó, toàn bộ điện tích nằm trong miền khối V thay đổi theo dòng chảy

điện ngang qua bề mặt của ∂V Một cách tương t , định luật Gauss (1.3) có thể

được rút ra từ phương trình (1.2) nếu giả thiết ban đầu divb = 0

1.2.1 Đặc tính vật liệu

Hệ phương trình Maxwell (1.1) đến (1.4) vẫn chưa được xác định, vì các

biến số (unknowns) cần tìm nhiều hơn so với số lượng của phương trình Vì vậy, hệ

phương trình Maxwell chỉ được xác định duy nhất khi được kết hợp với các luật

trạng thái của chúng Trong môi trường chân không, giá trị vector từ cảm b và

vector cảm ứng điện d được xác định:

b = 0 h, d = 0 e, (1.7-1.8) trong đó 0 là độ từ thẩm của môi trường chân không và là hằng số không đổi trong

quan hệ giữa b và h 0 là hằng số điện môi của môi trường chân không và là hằng

số không đổi giữa vector d và e Các giá trị của 0 và 0 được chọn theo hệ thống

đơn vị và phụ thuộc vào nhau Trong hệ thống SI, độ từ thẩm 0 chân không được

xác định 0 = 4.10-7(Hm-1) và hằng số điện môi chân không được xác định ε 0 =

1/(μ o c 2 ) (Fm-1), ở đây c là vận tốc của ánh sáng Độ từ thẩm và hằng số điện môi có

thể được biểu diễn theo tham số từ hóa m và s phân c c điện p Như vậy, b và d

trong phương trình (1.7) và (1.8) được viết lại như trong tài liệu [14]

b = μoh + μom (1.9)

d = ε 0 .e + p (1.10)

Trong môi trường từ tuyến tính, hệ số m được xác định m = χmb [14], ở đây

χ m là hệ số từ hóa (độ từ cảm), trong khi với các vật liệu phân c c tuyến tính, p có

thể coi p = ε 0 χ e e [5], ở đây χ e là hệ số phân c c Với các mối quan hệ đã kể trên,

mỗi quan hệ (1.7) và (1.8) được viết lại như sau:

b = μo(1+ χm)h = μoμrh = μh (1.11)

d = ε0(1+ χe)e = ε0 εre = εe (1.12)

Ở đây, μ hệ số từ thẩm (H/m) và ε là hằng số điện môi (F/m) μ r là hệ số từ

thẩm tương đối và ε r là hằng số điện môi tương đối của vật và được cho ở bảng 1.1

Bảng 1.1: Hằng số từ thẩm tương đối μr của một số vật liệu

Vật liệu từ μ r (H/m) Vật liệu từ μ r (H/m) Vật liệu từ μ r (H/m)

Niken 250 Bismuth 0,99983 Nhôm 1,000021

Coban 600 Vàng 0,99996 Magie 1,000012

Sắt 4000 Bạc 0,99998 Paladi 1,00082

Hợp kim Mu 100000 Đồng 0,99999 Titan 1,00018

Bảng 1.2: Hằng số điện môi tương đối εr của một số vật liệu

Vật liệu ε r (F/m) Vật liệu ε r (F/m) Vật liệu ε r (F/m) Vật liệu ε r (F/m)

Không khí 1,0 Dầu 2,3 Nh a PE 2,3 Đất 3-4

Nh a bakelit 5,0 Giấy 2 - 4 Gỗ dán 2,6 Teflon 2,1

Thủy tinh 4-10 Paraffin 2,2 Sứ 5,7 Nước 8,0

Mica 6,0 Metanol 32,6 Cao su 2,3 – 4,0 Nước biển 7,2

Trong các vật liệu phi tuyến, μ, ε và ζ sẽ không còn là các hằng số và chúng

có thể là “tensors” khi kể đến các trạng thái không đẳng hướng j s là mật độ dòng

điện nguồn cho trước (ví dụ: cuộn dây) Nguồn dòng này không phụ thuộc vào các

điện trường và từ trường trong miền nghiên cứu Một số giá trị của mật độ điện dẫn

σ được cho trong bảng 1.3 [14]

Bảng 1.3: Mật độ điện tích mặt của một số vật liệu

Vật liệu σ (S/m) Vật liệu σ (S/m) Vật liệu σ (S/m) Vật liệu σ (S/m)

Bạc 6,17.107 Đồng thau 1,57.107 Nước sạch 10-3 Sứ 2.10-13

Đồng 5,08.107 Đồng thiếc 107 Nước cất 2.10-4

Không khí 3.10-15Vàng 4,0.107 Sắt 106 Đất khô 10-5 Cao su 10-15

Nhôm 3,54.107 Nước biển 4 Thủy tinh 10-12

Teflon 10-25 - 10-23

Các mối quan hệ (1.11), (1.12) và (1.14) là các luật trạng thái Trong phạm vi

nghiên cứu này, tác giả chỉ xét đến những vật liệu tuyến tính và đẳng hướng và giả

thiết rằng các thông số của vật liệu không thay đổi theo thời gian

1.2.2 Điều kiện chuyển tiếp bề mặt và điều kiện biên

Mặc dù, số lượng phương trình tương thích với số lượng biến số cần tìm,

nhưng hệ phương trình Maxwell (1.1) – (1.4) vẫn chưa được hoàn thành Khi tiến

hành giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng trong một miền nghiên cứu xác

định trước, ta phải đặt các điều kiện biên (BC) cũng như các điều kiện chuyển tiếp

bề mặt (IC), trong đó các tham số vật liệu là không liên tục

1.2.2.1 Điều kiện chuyển tiếp bề mặt

Để khảo sát các điều kiện IC của s phân bố trường điện từ qua hai vật liệu

khác nhau (hình 1.1), bây giờ chúng ta lấy tích phân hai lớp của hai vế của phương

trình Maxwell (1.1) – (1.4) trên một bề mặt S có đường bao quanh ∂S Áp dụng lý

thuyết Stoke để phân tích định luật Ampere (1.1) và định luật Faraday (1.2), các

quan hệ tích phân được xác định [14]:

 .  (  t ).

S h r d S j d ds (1.15)

S e r d S b ds (1.16)

Một cách tương t , áp dụng lý thuyết Gauss cho các phương trình (1.3) và

(1.4) trên một miền khối V với biên ∂V, lấy tích phân hai vế:

V b.ds 0 (1.17)

V .ds V .dV

 d   (1.18)

Phương trình (1.17) cho thấy thông lượng b qua một bề mặt kín ∂V là bằng 0

Phương trình (1.18) ngụ ý rằng thông lượng d qua bề mặt ∂V bằng tổng điện tích

trong bề mặt đó

Chúng ta hãy xét bề mặt biên Г giữa hai miền liên tục Ω1 và Ω2 trong hình

1.1 Vector pháp tuyến n của bề mặt Г có hướng từ Ω1 đến Ω2 Tại mặt biên Г có

thể tồn tại các mật độ điện tích mặt ρ s và mật độ dòng điện mặt j s Các điều kiện

chuyển tiếp bề mặt cho các trường điện từ trên mặt tiếp giáp giữa hai miền khác

nhau (hình 1.1) [14] có thể viết như sau:

trong miền tương ứng Ω1 và Ω2 Các biểu thức trên được đơn giản bằng cách lấy

tích phân hai vế của các phương trình Maxwell cho các khối và các mặt thông qua

thể thông qua mặt chuyển tiếp Г

Các phương trình (1.19), (1.20), (1.21) và (1.22) có quan hệ với thành phần

pháp tuyến hoặc tiếp tuyến của trường Điều này có nghĩa là thành phần pháp tuyến

của b và thành phần tiếp tuyến của e được liên tục thông qua mặt chuyên tiếp Г

Thành phần pháp tuyến của d và thành phần tiếp tuyến của h là không liên tục qua

Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2

mặt chuyển tiếp Г, nếu mật độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện j s khác 0

Chúng chỉ liên tục khi mật độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện j s bằng 0

Các điều kiện chuyển tiếp IC (1.19) – (1.22) được sử dụng cho việc giải các

phương trình Maxwell với các miền khác nhau, sau đó kết nối các nghiệm để đạt

được các trường trong toàn bộ không gian của miền nghiên cứu

1.2.2.2 Điều kiện biên

Các phương trình Maxwell được trình bày ở mục 1.2 xác định trường điện từ

trong miền hữu hạn nếu những điều kiện biên BC thích hợp được đặt lên biên của

miền nghiên cứu Một số điều kiện BC thường được sử dụng cho các thành phần

pháp tuyến và tiếp tuyến của trường điện từ được xác định như sau:

 Một vật liệu dẫn từ lý tưởng (PM) được ký hiệu là Ωpm (tức là μ ~ ∞) Do đó,

phương trình (1.11) ngụ ý h ~ 0 trên miền Ωpm Điều đó có nghĩa rằng điều kiện

chuyển tiếp IC (1.19) trở thành điều kiện biên BC, tức là:

  0,

pm

n h (1.23) trong đó: Гpm = ∂Ωpm là đường bao của Ωpm

 Một vật liệu dẫn điện lý tưởng (PE) được ký hiệu Ωpe (tức là ζ ~ ∞) Điều này

có nghĩa rằng điều kiện (1.20) cũng trở thành điều kiện BC, tức là:

  0

pe

n e (1.24)trong đó: Гpe = ∂Ωpe là đường bao của Ωpe

1.2.3 Phương trình Maxwell trong miền tần số

Các phương trình Maxwell có thể được giải trong miền tần số nếu hệ thống

được cung cấp bởi nguồn hình sin và các luật trạng thái là tuyến tính Trong trường

hợp này, các nghiệm được viết dưới dạng ký hiệu số phức như sau:

h(x, y, z, t) = re (h m (x, y, z)ejωt), (1.25)

e(x, y, z, t) = re (e m (x, y, z)ejωt), (1.26)

b(x, y, z, t) = re (b m (x, y, z)ejωt) , (1.27)

d(x, y, z, t) = re (d m (x, y, z)ejωt) , (1.28)

trong đó: j là phần ảo và re(.) là phần th c Các vector phức h m (x, y, z), e m (x, y, z),

b m (x, y, z) và d m (x, y, z) phụ thuộc vào vị trí đặt nhưng không phụ thuộc vào thời

gian Chúng cho biết các thông tin về hướng, độ lớn và các pha tương ứng của

trường điện từ Tương t như trên, mật độ dòng điện và mật độ điện tích được viết

như sau:

j(x, y, z, t) = re (j m (x, y, z)ejωt) (1.29)

ρ(x, y, z, t) = re (ρ m (x, y, z)ejωt) (1.30)

Thông qua các phương trình (1.25) – (1.30), các toán tử đạo hàm theo thời

gian được chuyển thành jω có nghĩa là d/dt = jω Nếu tất cả các trường vật lý được

giả thiết là các số phức như các phương trình trên, các phương trình Maxwell (1.1)

– (1.4) trong miền tần số được thể hiện như sau:

curl h m – jωd m = j m (1.31)

curl e m – jωb m = 0 (1.32)

div b m = 0 (1.33)

div d m = ρ (1.34)

1.3 Mô hình toán liên tục và không gian hàm

Gọi Гh và Гe là hai phần bổ sung của biên Г của miền Ω, vì vậy ta có:

    h e và     h e , (1.35)

Trong đó: các trường vô hướng ω h và ω e , hoặc các trường vector ω h và ω e

được đặt vào một cách tương ứng Do vậy, các miền của ba toán tử grad h , curl hvà

thể ký hiệu H 1

h (grad, Ω) bằng H 1 h (Ω), H 1

e (grad, Ω) bằng H 1 e (Ω) Với các điều kiện đồng nhất BCs, chúng ta sẽ có các không gian tương ứng với các miền của các

toán tử đạo hàm đã được xác định ở trên Điều này sẽ được xem xét như các không

gian hàm cho các hàm thử được sử dụng trong các phương trình yếu nhận “weak

formulations” Các không gian này được ký hiệu là: H 10

Sơ đồ (1.48) được gọi là sơ đồ cơ bản hoặc sơ đồ kép liên quan đến các

phương trình chúng ta cần tính toán (tức là phần trên của sơ đồ là các biểu thức cơ

bản liên quan đến phương trình từ trường, phần phía dưới của sơ đồ liên quan đến

các phương trình mật độ điện trường)

Các phương trình Maxwell được trình bày ở phần (1.1 – 1.4) với các luật

trạng thái (1.7 – 1.8) và (1.14) cũng được mô tả trong sơ đồ (1.48) Thật vậy, các

trường vector như h và e được tính toán giá trị theo đường biên thông qua không

gian hàm H(curl,) Các vector giống như b hoặc j được tính toán giá trị thông qua

thông lượng qua bề mặt theo H(div,) Tương t , trường vô hướng

  được xác định và tích phân trên miền khối tương ứng

Không gian hàm của các giá trị h, d, j, e và b như sau:

Sơ đồ này áp dụng dễ dàng đưa ra các phương trình phần tử hữu hạn Đối với

bài toán điện từ, các phương trình thường dẫn theo hướng ngang trên cả hai chiều

của sơ đồ, trong đó các luận trạng thái đưa ra theo chiều dọc của sơ đồ

D a trên cơ sở sơ đồ Tonti (1.48), chúng ta có thể có 2 hướng nghiên cứu bài

toán từ động

Thứ nhất, nếu bài toán thỏa mãn định luật Ampere với b = μh, khi đó

 h cur 

h H l và jH h(div; )  Điều đó có nghĩa là b phải thuộc H h(curl; )  và vì

vậy định luật Faraday được coi là phương trình yếu nhận của bài toán Từ đây ta có

thể xác định được biểu thức mật độ từ thông (b – formulation)

Thứ hai, nếu bài toán thỏa mãn định luật Faraday với b = μh, khi đó

 e cur 

e H l và bH e(div;  ). Điều đó có nghĩa h cũng thuộc H e(curl; )  và vì

vậy định luật Ampere được coi là phương trình yếu nhận của bài toán Hướng đi này

giúp ta xác định được biểu thức từ trường (h – formulation)

Một trong hai hướng giải trên được sử dụng với các điều kiện bài toán phù

hợp Biểu thức b – formulation thỏa mãn chính xác định luật Ampere, trong đó biểu

thức h – formulation thỏa mãn định luật Faraday Từ đó, giúp chúng ta có thể giải

quyết bài toán thông qua một trong hai hướng trên Các phương trình yếu nhận dẫn

xuất để giải bài toán được tác giả trình bày ở nội dung tiếp theo của chương 2

1.5 Định nghĩa mô hình bài toán tổng quát

Mục đích của chúng ta là giải hệ phương trình Maxwell (1.1) – (1.4) cùng

với các luật trạng thái (1.11), (1.12) và (1.14) trong miền không bị chặn Ω trong

không gian Eculidean E3 Biên ∂Ω của miền Ω được ký hiệu là Г với các đặc tính: μ

> 0, ζ ≥ 0 và ε ≥ ε 0 Miền nghiên cứu Ω có thể chia thành hai phần: một miền dẫn

gọi là Ωc (ζ > 0) và một miền không dẫn ΩcC = Ω\Ωc (ζ = 0) Vector đơn vị pháp

tuyến hướng ra phía ngoài trường của đường bao Г ký hiệu là n Mô hình như vậy

được chỉ trong hình 1.2:

Г = Гh U Гe (1.50) Trong phạm vi của đề tài này, các nguồn của bài toán điện từ có thể là các

cuộn dây dẫn điện được xác định bởi các đại lượng cục bộ hoặc các đại lượng chính

(ví dụ, như điện áp và dòng điện) và vị trí đặt bên trong hoặc bên ngoài miền Ω như

hình 1.2 Miền Ωe được xem như là tập hợp miền cuộn dây Ωe,i với i = 1, , e nằm

bên ngoài miền Ω Trường được tạo ra bởi các nguồn này được xác định ưu tiên

Các nguồn bên trong của miền nghiên cứu Ω bao gồm Ωs và Ωg, chúng là

tập con của miền Ω Miền mỏng Ωt được trình bày trong [14]

1.6 Mô hình bài toán từ tĩnh và bài toán từ động

Từ hệ phương trình Maxwell tổng quát ở phần 1.2, hai mô hình bài toán bài

toán từ động và từ tĩnh được xác định như sau:

1.6.1 Mô hình bài toán từ tĩnh

Hình 1.2: Miền bị chặn Ω và các miền con Ωg, Ωs và Ωt

Mô hình bài toán từ động là mô hình được xem xét với các hiện tượng điện

từ độc lập về thời gian (đó là ∂td = 0, ∂tb = 0) Khi đó, các phương trình Maxwell

(1.1) – (1.4) và các luật trạng thái (1.11) được viết lại như sau:

curl h = j, divb = 0 , b = μh, (1.51a-b-c)

trong đó: j = js là mật độ dòng điện áp được đặt vào miền Ωs Mật độ từ cảm b trong

phương trình (1.51b) có thể xác định từ một vector từ thế a trong toàn bộ miền Ω,

thật vậy:

b = curl a (1.52)

Tuy nhiên, a không phải là duy nhất (a được xác định là một Gradient của

một hàm bất kỳ) Thật vậy, nếu a là một nghiệm thì một hàm bất kỳ có thể viết a’ =

a + grad f cũng là một nghiệm và không phụ thuộc vào f Để có được nghiệm duy

nhất của a, một điều kiện Gauss phải được áp dụng [8], [14] Các điều kiện biên cần

thiết có thể xác định như sau:

điều đó có nghĩa rằng n·b = 0 trên miền Гe Điều đáng chú ý rằng b luôn luôn được

xác định là duy nhất ngay cả khi a không xác định duy nhất

Từ trường h trong công thức (1.51a) được phân tích thành hai thành phần h s

và h r, đó là:

trong đó h s là một trường nguồn được xác định thông qua mật độ dòng điện được

đặt vào cuộn dây:

curl h s = j s (1.55)

Từ trường h s trong công thức (1.55) chỉ được xác duy nhất nếu điều kiện

Gauss được đặt vào Ngoài ra, trường này cũng có thể xác định thông qua định luật

Biot – Savart [14]

Từ trường h r trong phương trình (1.54) được tạo ra do từ hóa của vật liệu từ

và được gọi là trường phản ứng Trong các vùng không có dòng điện (khe hở không

khí), trường này có thể được xác định thông qua một từ thế vô hướng ϕ, đó là:

h r grad  (1.56)

Phương trình (1.56) được xem như là phương trình đơn giản nhưng chúng ta

cần phải kiểm tra thông qua miền nghiên cứu th c tế Nếu miền nghiên cứu không

phải là một s kết nối đơn giản (ví dụ: một trường hợp dòng điện vòng kín), chúng

ta phải sử dụng một mặt cắt  với s không liên tục của từ thế ∆ϕ, được đưa vào để

xác định dòng điện [14][15] Nếu một vòng kín mang theo một dòng điện (hình

1.3), thông lượng từ trường dọc theo đường cong khép kín bằng tổng dòng điện I

chạy qua mặt kín đó (định luật Ampere), tức là:

C h l r d C  d l  I (1.57)

Căn cứ vào sơ đồ Tonti, đối với bài toán từ tĩnh, các đại lượng cần xác định

h ϵ H h (curl; Ω) và j ϵ H h (div; Ω), b ϵ H e(div; Ω) (nghiệm của phương trình

(1.51) với luật trạng thái (1.11)), điện thế ϕ ϵ H e 1 (Ω) và a ϵ H e (curl; Ω) có thể

được xác định trong sơ đồ Tonti và được kiểm tra bởi (1.52) và (1.56) một cách

tương ứng Các không gian còn lại như H e 1 (Ω), H h (curl; Ω), H e (curl; Ω), H e(div;

Ω) cũng được xác định trong sơ đồ Tonti và chứa các điều kiện BC áp dụng cho các

trường trên các biên Гh và Гe của miền nghiên cứu Ω

1.6.2 Mô hình bài toán từ động

Trong mô hình này, giả thiết chính là kích thước của miền Ω nhỏ hơn rất

nhiều so với chiều dài bước sóng λ = c/f trong mỗi môi trường Do đó, mật độ dòng

Hình 1.3: Mặt cắt của miền đa liên

điện dịch chuyển ∂td trong phương trình (1.1) có thể bỏ qua được Vì vậy, phương

trình Maxwell tổng quát (1.1) – (1.4) được viết lại như sau:

curl e = -∂ t b , curl h = j, div b = 0 (1.58.a-b-c)

với hai luật trạng thái (1.11) và (1.14) của vật liệu là:

b = μh, j = σe (1.59 a-b)

Các phương trình (1.58a-b) được giải cùng với các điều kiện biên, với các

thành phần tiếp tuyến của trường n×e và trường n×h lần lượt được đặt lên biên Гh

và Гe

Một cách tương t như đối với bài toán từ tĩnh, đối với phương trình (1.58c)

từ cảm b được xác định thông qua một từ thế vector a, tức là:

b = curl a (1.60)

Kết hợp phương trình (1.60) với (1.58a), ta được curl (e + ∂ t a) = 0, điều này

dẫn đến s xác định của điện thế vô hướng v như sau:

e = - ∂ta – gradυ (1.61)

Một cách tương t như trường hợp của bài toán từ tĩnh, một điều kiện Gauss

được đặt vào để đảm bảo tính duy nhất của nghiệm a Một điều kiện Gauss được ẩn

trong miền dẫn ΩC cho điện thế vô hướng υ bằng không trong toàn miền dẫn ΩC

Điều này dẫn đến một s tổng quát hóa của của s thay đổi công thức từ thế vector

[14] Từ phương trình (1.58b), từ trường h được phân tích thành:

h = h s + h r – grad ϕ, với curl h s = j s, (1.62)

trong đó trường h r được xác định trong vùng dẫn Ωc và từ thế vô hướng ϕ được xác

định trong vùng không dẫn ΩcC Từ thế ϕ trong vùng ΩcC là đa trị khi miền ΩcC là

một đa kết nối và khi đó giá trị đơn trị được xác định thông qua các lớp cắt ∑i của

mỗi một lỗ trong miền dẫn Ωc [14][15]

Bài toán từ động cũng được xác định theo sơ đồ Tonti Các đại lượng h ϵ

H h (curl; Ω) và j ϵ H h (div; Ω), b ϵ He (div; Ω), e ϵ He (curl; Ω) (nghiệm của

phương trình (1.51) với luật trạng thái (1.11)), ϕ ϵ Hh1(Ω), a ϵ H e (curl;Ω) và υ ϵ

và (1.61) một cách tương ứng Các miền không gian còn lại H h 1 , H h(curl;Ω),

H e 1 (Ω), H e (curl;Ω) và H e(div; Ω) chứa các điều kiện biên BC được áp dụng cho các

trường trên các biên Гh và Гe của miền nghiên cứu Ω

1.7 Kết luận

Trong nội dung chương 1, tác giả đã trình bày hệ phương trình Maxwell tổng

quát, các đặc tính vật liệu, điều kiện chuyển tiếp bề mặt, điều kiện biên và phương

trình Maxwell trong miền tần số Các mô hình toán liên tục - rời rạc, không gian

hàm liên tục - rời rạc và các mô hình bài toán từ tĩnh và bài toán từ động cũng đã

được trình bày Trên cơ sở đó, tác giả xây d ng các phương trình yếu nhận với

vector từ thế A và phương trình yếu nhận với vector cường độ từ trường H để tính

toán từ trường và dòng điện xoáy trong vùng dẫn có cấu trúc vỏ mỏng và được trình

bày ở chương 2

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN

ĐIỆN TỪ 2.1 Tổng quan

Như đã trình bày trong phần mở đầu, phương pháp PTHH đã trở nên rất phổ

biến trong việc giải quyết các bài toán điện từ Có thể xem đây là phương pháp số

mạnh mẽ và linh hoạt nhất trong giải quyết các bài toán trường có hình dạng phức

tạp cũng như trong môi trường không đồng nhất Các bước th c hiện khi áp dụng

phương pháp PTHH [7]:

1) Xây d ng mô hình của bài toán (đối tượng) nghiên cứu;

2) Rời rạc hóa (chia lưới) miền nghiệm nghiên cứu thành các miền con hoặc

PTHH;

3) Chọn hàm chuyển vị và mô tả chuyển vị cho từng PTHH;

4) Viết phương trình yếu nhận với các bậc t do theo các biến số trong miền

nghiên cứu và điều kiện biên;

5) Giải hệ phương trình và mô phỏng kết quả

2.2 Rời rạc hóa các phần tử

2.2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn

Một bài toán được xác định trong một miền liên tục và không gian hàm liên

tục thì khó có thể giải bằng phương pháp giải tích và phương pháp PTHH được áp

dụng để tìm nghiệm của bài toán Các hàm biến số của một bài toán trong miền liên

tục thì thuộc về các không gian hàm liên tục và chúng thường có kích thước vô hạn

Cơ sở của một phương pháp PTHH là rời rạc một bài toán với miền liên tục thành

một bài toán với miền rời rạc (bài toán rời rạc) tương t được đặc trưng bởi các ẩn

số hữu hạn và được gọi là các bậc t do “degrees of freedom” Tiến trình rời rạc

hóa là tiến trình thay thế các không gian hàm liên tục thành các không gian hàm rời

rạc với các kích thước và không gian hàm hữu hạn Các không gian này được gọi là

không gian xấp xỉ “approximation spaces” và các phần tử của chúng được gọi là

các hàm xấp xỉ

Các không gian hàm được xác định trong một miền nghiên cứu cụ thể Nếu

miền này được rời rạc hóa, tức là nếu chúng được xác định gồm nhiều các liên kết

hình học bởi các khối đơn giản và nếu các không gian hàm số được xây d ng theo

hạn (PTHH) Phương pháp này là phương pháp mà tác giả sẽ nghiên cứu và trình

bày trong nội dung chính của đề tài Chúng ta thấy rằng phương pháp PTHH cần 2

bước rời rạc: rời rạc hóa các không gian hàm và rời rạc hóa các miền hình học

nghiên cứu để tạo ra lưới

Các biểu thức yếu nhận “Weak formulations” được nhúng vào trong phương

pháp PTHH và được trình bày trong phần tiếp theo Đầu tiên, định luật Green được

giới thiệu và áp dụng để dẫn ra các biểu thức yếu nhận của bài toán [14]

2.2.2 Định luật Green

Các ký hiệu dưới đây được sử dụng trong tích phân của nhân vô hướng hoặc

có hướng các trường trong miền khối  hoặc trên mặt , trong đó L2 và L2 là các

không gian khả tích bình phương của các hàm vô hướng và có hướng:

u grad v + v div u = div(v u) (2.4)

Bằng cách tích phân cả hai vế của phương trình (2.4) trong miền , sau đó

áp dụng lý thuyết toán tử Div được cho trong công thức Green cho toán tử grad-div

trong miền , ta có:

(u , grad v) + (div u, v) = <v, n.u> ,

 u  H1(),  v  H1() , (2.5) trong đó H1() và H1() là các không gian hàm được xây d ng cho các trường vô

hướng và có hướng tương ứng

Một quan hệ ràng buộc khác của hàm có hướng là:

u curl v – curl u v = div(v  u) (2.6)

Tích phân hai vế trong miền , sau đó áp dụng lý thuyết toán tử Div đưa ra

công thức Green cho toán tử curl-curl trong miền , tức là:

(u, curl v) – (curl u, v) = <u  n, v> ,

 u, v  H1() (2.7) Lưu ý rằng số hạng tích phân mặt xuất hiện ở vế phải được xác định thông

qua biểu thức tương ứng:

<u  n, v> = <v  u, n> = – <v  n, u> (2.8) Phương trình (2.7) có thể được xác định thông qua công thức Green:

( L u , v ) – ( u , L* v ) = Q u v ds ( , )



 u  dom(L) và  v  dom(L*) , (2.9)

trong đó L và L* là các toán tử sai phân bậc n tương ứng của hàm số u và v được

định nghĩa trong miền , với  = ; Q là hàm số phụ thuộc tuyến tính vào

hai hàm u và v Toán tử L*gọi là toán tử kép của L Điều này có thể dễ dàng thấy

các công thức (2.5) và (2.7) là trường hợp cụ thể ứng dụng của biểu thức (2.9)

2.2.3 Các biểu thức yếu nhận

Ta xét bài toán đạo hàm riêng của biểu thức sau:

L u = f trong  (2.10a)

B u = g trên  =  (2.10b)

trong đó L là toán tử sai phân bậc n, B là toán tử được định nghĩa bởi điều kiện

biên, f và g là các hàm tương ứng xác định trong miền  và trên đường biên  và u

là ẩn hàm từ không gian hàm U và xác định trong miền , tức là u  U() Chú ý

rằng f có thể phụ thuộc vào biến hàm u

Bài toán (2.10) được gọi là biểu thức kinh điển hoặc biểu thức mạnh Một hàm

u  U() dùng để xác định bài toán này được gọi là nghiệm kinh điển, hàm

nghiệm mạnh Cụ thể, toán tử L có bậc n, hàm u có bậc n – 1 sai phân liên tục, tức

trong đó L* là song toán tử, xác định bởi biểu thức tổng quát (2.9), Qg là biểu thức

tuyến tính với v và phụ thuộc vào g, không gian V() là không gian hàm thử được

định nghĩa theo toán tử L* và cụ thể theo điều kiện biên (2.10b) Một hàm u được

coi là thỏa mãn phương trình này với bất kỳ hàm thử v  V() thì được gọi là

nghiệm yếu nhận “weak solution”

Định luật tổng quát Green (2.9) có thể ứng dụng cho biểu thức (2.11) để có

được toán tử L thay vì toán tử L* Nó có thể tìm ngược lại, bằng cách chọn các hàm

thử thích hợp, các phương trình và ràng buộc của biểu thức kinh điển của bài toán,

tức là phương trình (2.10a) và điều kiện biên (2.10b)

Ta có thể dễ dàng kiểm tra nghiệm kinh điển cũng như nghiệm yếu nhận

Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng thấy ngay được rằng nghiệm yếu nhận là

nghiệm kinh điển của bài toán, bởi vì nghiệm này đã được điều chỉnh đủ để xác

định bài toán kinh điển

Một ưu điểm tính toán của biểu thức yếu nhận là chúng thường cho phép

chức minh dễ dàng tìm ra nghiệm hơn là biểu thức kinh điển Các nghiệm này sau

khi được tìm ra có thể điều chỉnh đủ để là nghiệm kinh điển Một ưu điểm khác của

biểu thức yếu nhận là phù hợp với rời rạc hóa các phần tử hữu hạn và sau đó đưa ra

nghiệm rời rạc, phương pháp này khác với trường hợp biểu thức kinh điển

Trong nhiều trường hợp, ta có thể xác định bài toán thông qua các biểu thức

yếu nhận (2.11) Dưới đây tác giả trình bày các phương trình yếu nhận trong bài

toán xác định các thông số của bài toán trường điện từ

2.2.4 Phần tử hữu hạn

2.2.4.1 Định nghĩa về phần tử hữu hạn

Phần tử hữu hạn được định nghĩa bởi bộ ba phần tử (K, P K , K ), trong đó:

• K là không gian miền được gọi là phần tử hình học “geometric element”

(thường là các hình khối đơn giản, ví dụ như tứ diện, lục diện hoặc lăng trụ);

• P K là không gian hàm với n K chiều, được định nghĩa trong không gian K

với các hàm cơ bản;

• K là tập hợp n K chiều t do tương ứng n K phiếm hàm tính toán i,

1  i  n K, được định nghĩa trong không gian hàm P K;

Hơn nữa, bất kỳ hàm u  P K phải được định nghĩa với bậc t do xác định

trong K,được ánh xạ trong PTHH (K, P K , K)

Vai trò của phần tử hữu hạn là quá trình nội suy một trường trong một không

gian hàm với chiều hữu hạn Một số phần tử hữu hạn có thể được định nghĩa bằng

các phần tử hình học tương t nhau sau đó với các điều kiện nhất định có thể tạo

thành PTHH Hình 2.1 cho thấy các không gian khác nhau được định nghĩa trong

PTHH; các điểm  K được xác định trong không gian miền con được áp dụng

quy đổi sang các phiếm hàm tính toán

Hình 2.1: Miền không gian áp dụng phần tử hữu hạn (K, PK, K)

Đối với phần tử hữu hạn sử dụng phổ biến, thì bậc t do kết hợp với số nút K

và hàm chuyển vị i làm giảm các hàm trong K, các phần tử này gọi là phần tử nút

Tuy nhiên, khái niệm trên là khái niệm tổng quát trong quá trình chọn hàm chuyển

vị Chúng cần bổ sung giá trị nút, tích phân theo từng phần, trên mặt hay trong các

khối, các miền con của các điểm  K (hình 2.1) tương ứng với mỗi điểm, mỗi

phần xéc măng, mặt hoặc khối

2.2.4.2 Ánh xạ phần tử hữu hạn

Phần tử (K, P K , K ) được gọi là ánh xạ “unisolvant” nếu:

  p  P K , j(p) = 0 ; j K  p  0 (2.12)

Trong trường hợp này, với bất kỳ hàm điều chỉnh u, chỉ có một hàm nội suy

được xác định u K, gọi là P K - nội suy, vì vậy:

 j(u – u K) = 0 , j K ; u K P K (2.13)

Tập hợp các K gọi là P K - ánh xạ.

Chứng minh:

Mỗi hàm số p  P K có thể được viết thành các hàm cơ sở thành phần tuyến

tính thuộc P K, ký hiệu {pi, 1  i  nK}, tức là:

p a p

nK

trong đó pi, 1  i  nK, được gọi là các hàm cơ sở Vì hàm chuyển vị j (1  j  n K)

trong đó có n K hệ số ai kết hợp với hàm cơ bản pi  P K có thể được tính thông qua

ràng buộc (2.13), tức là đưa ra nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có dạng:

Điều đó cho thấy rằng, hàm số u xác định với mỗi hàm j(u), 1  j  n K,tồn

tại Nghiệm này có thể đơn giản hóa đến mức tối đa, nếu ta định nghĩa hàm chuyển

vị như sau:

j(p i) ij , 1  i, j  nK (2.19) trong đó, ij là ký hiệu Kronecker, tức là:

Trong trường hợp này, hàm nội suy u K PK xác định:

1( )

trong đó, hệ số của hàm j(u) = j(u K ), 1  j  n K, gọi là bậc t do

2.2.4.4 Không gian hữu hạn

Một không gian hữu hạn Xh được xây d ng từ tập hợp các phần tử hình học

và kết hợp với phần tử hữu hạn Xây d ng không gian này phụ thuộc vào lưới Mh

của miền  cũng như khả năng của phần tử hữu hạn (K, P K , K ) kết hợp với mỗi

nút K  M h

Để đưa ra hàm u nằm trong miền , và hàm nội suy uh  Xh là duy nhất thì:

• Giới hạn uhK, tức là biểu thức của uh ứng với số phần tử hình học K, nằm

trong không gian P K;

• Giới hạn uhK hoàn toàn được xác định bởi khả năng của tập giá bậc t do

K (u) của hàm u;

• Một số điều kiện liên tục đảm bảo cho tính liên kết mặt giữa các phần tử hình

học, Điều này phù hợp với đặc tính của miền

Lưới Mh của miền nghiên cứu  được định nghĩa là tập hợp các phần tử

hình học mà trong đó có cả mặt, hoặc cạnh, hoặc nút (hình 2.2) Các phần tử này

không được trùng lên nhau

Hình 2.2: Một phần lưới 2D của miền 

Không gian hữu hạn X h có số chiều hữu hạn, được ký hiệu là D h Số chiều

được mô tả bằng tập hợp các bậc t do h kết hợp với tập hợp bậc của K,

 K  M h, tức là:

 h = {h,j , 1  j  Dh} (2.22)

Với bất kỳ hàm điều chỉnh u có bậc t do với hàm h,j(u), 1  j  Dh, đều có

thể đưa ra hàm uh, gọi là Xh - nội suy, xác định như sau:

1( )

Chia lưới của miền nghiên cứu được xây d ng trên tập hợp các phần tử hình

học, chúng có thể là tứ diện (4 nút), khối 6 mặt (8 nút) và hình lăng trụ (6 nút)

(hình 2.3)

Hình 2.3: Tập hợp các phần tử hình học khác nhau

Các phần tử trên được gọi là các khối và các đỉnh của các khối này được coi

là nút Trong các bài toán PTHH, các cạnh, nút, mặt và khối được ký hiệu tương

ứng là N, E, F và V và trong tính toán kích thước thì trị số kích thước tương ứng sẽ

là #N, #E, #F và #V Nút thứ i trong chia lưới được gọi là ni hoặc {i} và các cạnh,

mặt và khối có thể được coi là tập hợp gồm nhiều nút Mỗi một cạnh được ký hiệu

là eij hoặc {i, j}, mỗi mặt hình tam giác ký hiệu fijk hoặc {i, j, k} và mặt tứ giác ký

hiệu fijkl hoặc {i, j, k, l} Kích thước hình học của các hình trên được mô tả trên

hình 2.4