Lập trình quỹ đạo và điều khiển chuyển động của robot công nghiệp

Trong luận văn này, trên cơ sở lý thuyết động lực học hệ nhiều vật [1] tác giả trình bày một số vấn đề về lập trình quỹ đạo và điều khiển chuyển động của rôbốt công nghiệp.. Chương 2: Lậ

-

CAO XUÂN HOÀNG

LẬP TRÌNH QUỸ ĐẠO VÀ ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG

CỦA ROBOT CÔNG NGHIỆP

CHUYÊN NGÀNH: CƠ ĐIỆN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGÀNH: CƠ ĐIỆN TỬ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH NGUYỄN VĂN KHANG

Hà nội – Năm 2011

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4

DANH MỤC CÁC BẢNG 6

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 7

MỞ ĐẦU 9

Chương 1 - THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA RÔBỐT CÔNG NGHIỆP BẰNG DẠNG THỨC LAGRANGE II 11

1.1 Thiết lập phương trình vi phân Lagrange loại II cho hệ nhiều vật 11

1.2 Các thí dụ áp dụng 15

Chương 2 - LẬP TRÌNH QUỸ ĐẠO 33

2.1 Mở đầu 33

2.1.1 Một vài thuật ngữ sử dụng khi lập trình quỹ đạo 33

2.1.2 Nhiệm vụ lập trình quỹ đạo của rôbốt 34

2.1.3 Các bước của bài toán lập trình quỹ đạo 35

2.1.4 Một vài tiêu chuẩn và điều kiện phụ 36

2.2 Lập trình quỹ đạo động học 37

2.2.1 Mô tả đường cong không gian 38

2.2.2 Prôphin của vận tốc quỹ đạo 40

2.2.3 Việc xây dựng các quỹ đạo tổng quát bằng các đa thức nội suy 44

2.3 Lập trình quỹ đạo tối ưu và động lực học ngược 47

2.3.1 Tham số hóa các phương trình vi phân chuyển động 48

2.3.2 Các chú ý về lập trình quỹ đạo 50

Chương 3 - ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA RÔBỐT 77

3.1 Thiết lập bài toán 77

3.1.1 Điều khiển chuyển động của rôbốt trong không gian khớp 78

3.1.2 Điều khiển chuyển động của rôbốt trong không gian thao tác 78

3.2 Phương pháp điều khiển mômen 79

3.3 Phương pháp điều khiển trượt 81

3.3.1 Tổng quan 81

3.3.2 Xây dựng luật điều khiển 82

3.3.3 Điều khiển trượt rôbốt Scara 87

KẾT LUẬN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94

PHỤ LỤC 97

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của tôi Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và có nguồn gốc cụ thể, rõ ràng Các kết quả của luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Người cam đoan Cao Xuân Hoàng

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

5 phr , r Tọa độ vật lý của một điểm

11 M q) ( )

Ma trận khối lượng suy rộng của bộ điều khiển

28 M q% ( ) Sai số của ma trận khối lượng suy rộng

13 C q q&( ), Ma trận hệ số quán tính ly tâm và Côriôlis của mô hình thực

14 C q q&ˆ( ), Ma trận hệ số quán tính ly tâm và Côriôlis của mô hình điều khiển

15 C q q%( ),& Sai số giữa C q q&( ), và C q q&ˆ( ),

18 q& i Vận tốc suy rộng thứ i

19 q& Véc tơ vận tốc suy rộng

20 q&& i Gia tốc suy rộng thứ i

21 q&& Véc tơ gia tốc suy rộng

24 e& i Sai số của vận tốc suy rộng thứ i

STT Ký hiệu Diễn giải

25 e& Véc tơ sai số của vận tốc suy rộng

26 e&& i Sai số của gia tốc suy rộng thứ i

27 e&& Véc tơ sai số của gia tốc suy rộng

30 s& Véc tơ sai số suy rộng của vận tốc suy rộng

31 s&& Véc tơ sai số suy rộng của gia tốc suy rộng

37 x& Véc tơ vận tốc khâu thao tác

38 x&& Véc tơ gia tốc khâu thao tác

47 ϕ ψ θ, , Ba góc quay theo các trục của khâu

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Các tham số động học Craig rôbốt Scara 67

Bảng 2.2 Các tham số động lực rôbốt Scara 67

Bảng 3.1 Các tham số Craig rôbốt Scara 88

Bảng 3.2 Các tham số động lực rôbốt Scara 88

Bảng 3.3 Thông số rôbốt Scara 88

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Vị trí vật rắn trong không gian 11

Hình 1.2 Vị trí vật rắn trong không gian 13

Hình 1.3 Mô hình con lắc kép 16

Hình 1.4 Cơ cấu 3 thanh phẳng 19

Hình 1.5 Mô hình rôbốt Scara 3 bậc tự do 24

Hình 1.6 Hình chiếu mô hình rôbốt Scara 3 bậc tự do 25

Hình 1.7 Mô hình rôbốt Scara 4 bậc tự do 28

Hình 1.8 Hình chiếu rôbốt Scara 4 bậc tự do 29

Hình 2.1 Mô tả đường cong không gian 38

Hình 2.2 Mô tả tham số của đường tròn không gian 40

Hình 2.3 Các prôphin vận tốc quỹ đạo điển hình 41

Hình 2.4 Prôphin vận tốc dạng hình thang đối xứng 43

Hình 2.5 Xấp xỉ bằng đa thức 44

Hình 2.6 Nối các quỹ đạo thẳng bằng đa thức bậc ba 47

Hình 2.7 Miền cho phép (với n=3 và f Ri =0) 50

Hình 2.8 Tay máy cực 52

Hình 2.9 Miền cho phép với s 1 R = 56

Hình 2.10 Miền cho phép với s 1.5 R = 56

Hình 2.11 Vận tốc quỹ đạo và prôphin vận tốc cho phép 57

Hình 2.12 Tính toán thời gian làm việc 58

Hình 2.13 Mô hình cơ cấu tay máy hai khâu phẳng 59

Hình 2.14 Miền giới hạn cho phép với s =1 65

Hình 2.15 Miền giới hạn cho phép với s =1.25 65

Hình 2.16 Rôbốt Scara có khâu thao tác quay 66

Hình 2.17 Miền cho phép với s = 0.5 75

Hình 2.18 Miền cho phép với s =0.5 75

Hình 2.19 Miền cho phép với s = 1.0 76

Hình 2.20 Miền cho phép với s =1.0 76

Hình 3.1 Ví dụ quỹ đạo chuyển động của rôbôt 77

Hình 3.2 Sơ đồ phương pháp điều khiển trong không gian khớp 78

Hình 3.3 Sơ đồ phương pháp điều khiển trong không gian thao tác 78

Hình 3.4 Hàm sgn 83

Hình 3.5 Mô hình toán và mô phỏng điều khiển rôbôt 85

Hình 3.6 Hàm sat 86

Hình 3.7 Hàm artan có chỉnh tỉ lệ 86

Hình 3.8 Rôbôt Scara 87

Hình 3.9 Sơ đồ khối hệ điều khiển trượt rôbôt Scara 90

Hình 3.10 Mômen điều khiển trên các khớp 90

Hình 3.11 Quỹ đạo điểm đầu khâu thao tác 91

MỞ ĐẦU

Trong sự nghiệp công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước ta, lĩnh vực điều khiển và tự động hóa có một vai trò quan trọng Các rôbốt công nghiệp có một vị trí đặc biệt quan trọng trong quá trình tự động hóa Mục tiêu ứng dụng của rôbốt công nghiệp trong sản xuất là nhằm nâng cao năng suất của các dây chuyền công nghiệp, nâng cao chất lượng sản phẩm, cải thiện điều kiện lao động

Ở nước ta từ những năm 90 của thế kỷ 20 đến nay, nhiều cơ sở sản xuất đã sử dụng nhiều loại rôbốt công nghiệp phục vụ cho quá trình sản xuất Ở nhiều trường đại học và cao đẳng kỹ thuật đã đưa môn học “Rôbốt công nghiệp” vào giảng dạy cho sinh viên các ngành Cơ điện tử, Công nghệ chế tạo máy, Ô tô và xe chuyên dụng,v v [2,3,4,5] Việc nghiên cứu các vấn đề về động học, động lực học và điều khiển rôbốt công nghiệp được quan tâm ở trường đại học Bách khoa Hà Nội, Học viện

kỹ thuật quân sự, đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, đại học Bách khoa Đà Nẵng, Viện khoa học Việt Nam [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 24, 25, 26]

Trong luận văn này, trên cơ sở lý thuyết động lực học hệ nhiều vật [1] tác giả trình bày một số vấn đề về lập trình quỹ đạo và điều khiển chuyển động của rôbốt công nghiệp Công cụ tin học dùng để tính toán là phần mềm Maple 9.5 và phần mềm Matlab 6.5

Trong lĩnh vực cơ điện tử, người ta thường quan tâm nhiều đến bài toán ngược: cho biết chuyển động khâu thao tác, tìm chuyển động của các tọa độ trạng thái và lực phát động Trong luận văn này đi theo hướng trên, nghĩa là thiết lập phương trình chuyển động của rôbốt công nghiệp bằng dạng thức Lagrange II và lập trình quỹ đạo chuyển động của nó Luận văn này gồm có các chương sau:

Chương 1: Dựa trên lý thuyết về động lực học hệ nhiều vật, chúng ta đi xây dựng và giải bài toán “Thiết lập phương trình Lagrange II cho hệ nhiều vật”, sau đó áp dụng và thiết lập phương trình vi phân cho một số dạng chuyển động cụ thể

Chương 2: Lập trình quỹ đạo chuyển động của rôbốt công nghiệp, cho trước cụ thể điểm tác động cuối của rôbốt, bằng cách giải bài toán động học ngược và động lực học ngược, ta tìm qũy đạo chuyển động của rôbốt và tìm miền giới hạn các đại lượng dẫn động của rôbốt

Chương 3: Trình bày sơ bộ về việc điều khiển rôbốt công nghiệp Các chuyển động theo chương trình chỉ có ý nghĩa khi chúng ổn định Ở đây đã trình bày các khái niệm về thiết lập bài toán điều khiển trong không gian khớp và không gian thao tác Sau đó trình bày các phương pháp điều khiển mômen và phương pháp điều khiển trượt Đây là những vấn đề tương đối khó, do thời gian hạn chế, nên chưa có điều kiện nghiên cứu đầy đủ các bài toán này

Trong quá trình thực hiện luận văn này, do thời gian và trình độ còn hạn chế, nên luận văn còn nhiều thiếu sót và chỉ lựa chọn nghiên cứu một số vấn đề tương đối đơn giản Tác giả kính mong nhận được sự chỉ bảo hướng dẫn của các thầy để hoàn thiện mình hơn

hướng dẫn và chỉ bảo, giúp tác giả hoàn thành luận văn tốt nghiệp này Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy trong bộ môn Cơ học ứng dụng trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn này

Học viên

Cao Xuân Hoàng

Chương 1 - THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA

RÔBỐT CÔNG NGHIỆP BẰNG DẠNG THỨC LAGRANGE II

1.1 Thiết lập phương trình vi phân Lagrange loại II cho hệ nhiều vật

Xét p vật rắn, chịu r liên kết độc lập Khi đó số bậc tự do của hệ được xác định bởi hệ thức:

Hình 1.1 Vị trí vật rắn trong không gian

Động năng của một phân tố được tính như sau

2

12

Hình 1.2 Vị trí vật rắn trong không gian

Như thế đối với vật rắn thứ i, ta có biểu thức động năng

Do q& không phụ thuộc vào dấu của tổng nên:

Với: (I ) nhận được khi ta chiếu i Irr

lên trục của hệ tọa độ cố định (I′i ) nhận được khi ta chiếu Irr

lên trục của hệ tọa độ động

0 0

T

l c l

ϕϕ

1 1 2 2

os ossin sin

0 0 0

0 0cos coscos sin 0

T = ⎡⎣ m +m l ϕ& l l ϕ ϕ ϕ ϕ& & m lϕ& ⎤⎦

Biểu thức thế năng của hệ có dạng

1 1cos 1 2 ( cos1 1 2cos ) 2

2 1 2 1 2 1 2 1

T

l l ϕ ϕ ϕ ϕϕ

Đối với tọa độ suy rộng ϕ2ta có

T

l l ϕ ϕ ϕ ϕϕ

Hình 1.4 Cơ cấu 3 thanh phẳng

Chuyển động của cơ cấu là chuyển động phẳng

Ta chọn các tọa độ suy rộng đủ là:

1 2 3

C C C

l c x

z

ϕϕ

2 0

C C C

1 1 2 2 2 3 3

2 0

C C C

l cos l cos l cos

Khi đó véctơ vận tốc góc của các thanh lần lượt là:

& & &

& & & &

& & &

ω

3 2

m

=

& & & &

- Các phương trình vi phân chuyển động của hệ

Thế các biểu thức (10) và (11) vào các phương trình Lagrange loại II

Ta sẽ thu được ba phương trình vi phân chuyển động của hệ đã cho

Bằng cách lập trình và giải trong phần mềm Maple V9.0 ta thu được các kết quả như sau

Phương trình thứ nhất:

Hình 1.5 Mô hình rôbốt Scara 3 bậc tự do

Hình 1.6 Hình chiếu mô hình rôbốt Scara 3 bậc tự do

Ta chọn hệ tọa độ suy rộng đủ như sau:

C

l c

l

θθ

sin l sin 0 cos l os 0

⎝ & & &⎠ ⎝ & & &⎠ &

Thế năng của cơ hệ

(m1 m d g m d2) 1 3( 1 d g3)

Từ các tính toán trên ta thiết lập phương trình vi phân chuyển động của rôbốt

Từ phương trình Lagrange loại II

Hình 1.7 Mô hình rôbốt Scara 4 bậc tự do

Hình 1.8 Hình chiếu rôbốt Scara 4 bậc tự do

Ta chọn hệ tọa độ suy rộng đủ như sau:

C

l c

l

θθ

L

L

L

(4)

Thay (2a), (2b), (2c) và (2d) vào (4) ta được

& & & &

Thế năng của cơ hệ

(m1 m2 m d g m d3) 1 4( 1 d g4)

Từ các tính toán trên ta thiết lập phương trình vi phân chuyển động của rôbốt

Từ phương trình Lagrange loại II

Chương 2 - LẬP TRÌNH QUỸ ĐẠO 2.1 Mở đầu

Việc xác định quỹ đạo chuyển động khâu thao tác của rôbốt theo các tiêu chuẩn công nghệ được hiểu là lập trình quỹ đạo (Path and Trajectory Planning) Các tiêu chuẩn công nghệ được xác định thông qua chức năng của hệ và có thể được thể hiện qua các tọa độ Descartes trong không gian thao tác hoặc qua các tọa độ suy rộng trong không gian khớp Trong việc xác định quỹ đạo chuyển động của khâu thao tác còn phải chú ý đến các điều kiện phụ, chúng được thể hiện dưới dạng các phương trình hoặc các bất phương trình và mô tả các tính chất động học hoặc động lực học của hệ khảo sát Các quỹ đạo như thế được gọi là các quỹ đạo mong muốn (hoặc quỹ đạo theo chương trình) Mục tiêu của lập trình quỹ đạo là tạo ra bộ tham số đầu vào cho hệ thống điều khiển chuyển động để đảm bảo rôbốt thực hiện theo quỹ đạo đã được lập trình

Nhiệm vụ của bài toán lập trình quỹ đạo là xác định quỹ đạo chuyển động của khâu thao tác (bàn kẹp) của rôbốt theo các yêu cầu công nghệ và các tiêu chuẩn xác định Trong luận văn này ta xem khâu thao tác là một vật rắn, nên chuyển động của khâu thao tác bao gồm chuyển động của một điểm định vị của khâu và chuyển động quỹ của khâu quanh điểm định vị Đôi khi bài toán lập trình quỹ đạo được gọi là thiết kế quỹ đạo

Các phương pháp lập trình quỹ đạo được phân thành hai nhóm: Lập trình trực tuyến (on-line) và lập trình ngoại tuyến (off-line)

- Lập trình trực tuyến: Người vận hành rôbốt trực tiếp tiến hành lập trình trên bản thân rôbốt hoặc trên các thiết bị phụ trợ kèm theo Trong đó phân thành ba loại: Lập trình thủ công (manual input), lập trình theo kiểu dạy học bằng cách dẫn dắt (teach by lead through), lập trình theo kiểu dạy học bằng thiết bị dạy học (teach pentdant)

- Lập trình ngoại tuyến: lập trình trên máy vi tính ghép nối với rôbốt

Người ta có thể sử dụng cả hai phương pháp lập trình cho một loại rôbốt

2.1.1 Một vài thuật ngữ sử dụng khi lập trình quỹ đạo

a Các điểm tựa hoặc điểm đi qua (Knot points or via points)

Các điểm tựa hoặc các điểm đi qua là tập điểm đầu, điểm cuối và các vị trí trung gian giữa điểm đầu và điểm cuối của quỹ đạo mà khâu thao tác của rôbốt phải đi qua các điểm này để đến đích Chú ý rằng các điểm tựa trong trường hợp tổng quát là các điểm trong không gian thao tác sáu chiều

b Đường dịch chuyển hay quỹ đạo hình học (Path)

Đường dịch chuyển (hay quỹ đạo hình học) là quỹ tích các điểm trong không gian thao tác (hoặc trong không gian khớp) mà khâu thao tác của rôbốt đi qua để thực hiện nhiệm vụ công nghệ của nó Đường dịch chuyển là sự mô tả chuyển động của khâu thao tác thuần túy về hình học

c Quỹ đạo động học hay gọi tắt là quỹ đạo (Trajectory)

Quỹ đạo động học bao gồm đường dịch chuyển (quỹ đạo hình học) và các đặc tính chuyển động của các điểm trên đường dịch chuyển Như thế, khi nói cho biết quỹ đạo động học là cho biết đường dịch chuyển và các quy luật thay đổi theo thời gian của vận tốc và gia tốc các điểm chuyển động trên quỹ đạo hình học Nói cách khác, một quỹ đạo động học là một biểu diễn theo thời gian vị trí, vận tốc, gia tốc điểm định vị

và các góc định hướng của khâu thao tác hoặc một sự biểu diễn theo thời gian vị trí, vận tốc, gia tốc của các tọa độ khớp

c Đường dẫn

Đường dẫn là đường cong (hoặc đường thẳng) nhẵn bao gồm tập các điểm mà khâu thao tác đi qua

2.1.2 Nhiệm vụ lập trình quỹ đạo của rôbốt

Nhiệm vụ cơ bản của bài toán lập trình quỹ đạo là từ các yêu cầu công nghệ của bài toán ta phải xác định vị trí của điểm định vị và hướng của khâu thao tác tại một số thời điểm khác nhau trong không gian thao tác (operational space) Từ đó xác định quy luật (gần đúng) chuyển động của khâu thao tác

Các vị trí cho trước của khâu thao tác trong bài toán công nghệ qui ước gọi là các vị trí tựa Như thế các vị trí tựa là các vị trí trong không gian thao tác mà khâu thao tác của rôbốt bắt buộc phải đi qua để thực hiện nhiệm vụ công nghệ của rôbốt và để tránh các chướng ngại vật trên đường đi Vị trí đầu và vị trí cuối là hai vị trí đặc biệt của tập các vị trí tựa

Trong nhiều trường hợp người ta phân loại bài toán lập trình quỹ đạo thành:

- Xác định quỹ đạo hình học phụ thuộc vào một tham số quỹ đạo s (thí dụ như độ dài cung) một cách liên tiếp, tức là x x s t= ( ( )) hoặc q q s t= ( ( ))

- Xác định qui luật chuyển động theo thời gian trên quỹ đạo, tức là chọn qui luật vận tốc s s t& & = ( )

Các dạng quỹ đạo quan trọng trong kỹ thuật là các đoạn thẳng, các đoạn của tiết diện hình nón (hình tròn, elip, hyperbol) hoặc các quỹ đọa xoắn ốc

2.1.3 Các bước của bài toán lập trình quỹ đạo

Việc giải quyết bài toán lập trình quỹ đạo chuyển động của rôbốt có thể tiến hành theo bốn bước như sau:

a Bước 1: Mô tả các đối tác của rôbốt và nhiệm vụ đặt ra cho rôbốt

Thí dụ đường thẳng trên một mặt phẳng cần phải hàn, vật thể mà rôbốt cần phải dịch chuyển…v.v

b Bước 2: Mô tả chuyển động của khâu thao tác để thực hiện nhiệm vụ đặt ra

Bước đầu tiên trong bài toán lập trình quỹ đạo là nhận dạng loại chuyển động mà khâu thao tác cần phải thực hiện Đặc điểm của quỹ đạo chuyển động theo yêu cầu của khâu thao tác x d là đầu vào của thuật toán lập trình quỹ đạo Người ta thường phân chia sự hoạt động của khâu thao tác thành ba nhóm bài toán sau:

- Chuyển động từ điểm tới điểm (point to point): Trong bài toán này người ta chỉ quan tâm đến vị trí đầu và vị trí cuối của khâu thao tác Các vị trí trung gian của khâu thao tác có thể lựa chọn một cách tùy ý trên đường dịch chuyển (the path)

- Chuyển động liên tục của khâu thao tác trên đường dịch chuyển

- Chuyển động của khâu thao tác đi qua một số điểm trung gian nhất định trên đường dịch chuyển

c Bước 3: Lựa chọn và sử dụng kỹ thuật lập trình quỹ đạo

- Lập trình quỹ đạo trong không gian khớp

- Lập trình quỹ đạo trong không gian thao tác

Trong trường hợp chuyển động từ điểm tới điểm, người ta có thể quan tâm hoặc không quan tâm đến việc khâu thao tác đi qua một số điểm trung gian Khi đó kỹ thuật lập trình quỹ dạo trong không gian khớp hay được sử dụng Việc lập trình quỹ đạo trong không gian khớp đòi hỏi phải xây dựng được các hàm phụ thuộc thời gian (time history) của các biến khớp và các đạo hàm bậc nhất, bậc hai của nó Qua đó mô tả được chuyển động cần thiết của tay máy

Trong trường hợp chuyển động liên tục trên dường dịch chuyển, người ta thường sử dụng kỹ thuật lập trình quỹ đạo trong không gian thao tác Khi đó, cần biết vị trí, vận tốc, gia tốc của khâu thao tác đối với hệ quy chiếu quán tính

d Bước 4: Tính toán hình dạng quỹ đạo (sẽ được trình bày kỹ trong mục sau)

2.1.4 Một vài tiêu chuẩn và điều kiện phụ

Trong kỹ thuật thao tác, chuyển động điểm tới điểm (point to point) và chuyển động theo quỹ đạo liên tục (continuos path) là các chuyển động quan trọng Trong bài toán chuyển động điểm tới điểm người ta chỉ cho biết trước các điểm biên của khoảng chuyển động khảo sát Nếu không có các điều kiện phụ ta có thể chọn chuyển động một cách tự do Ngược lại, trong bài toán chuyển động theo quỹ đạo liên tục, phải cho biết trước dạng quỹ đạo trong khoảng chuyển động Sự gây ảnh hưởng chỉ có thể thực hiện thông qua vận tốc quỹ đạo

Nếu như bài toán có nhiều nghiệm chấp nhận được, ta có thể sử dụng các phương pháp tối ưu để lựa chọn quỹ đạo tối ưu Các tiêu chuẩn tối ưu hay được sử dụng là : Các quỹ đạo tối ưu về độ dài, các quỹ đạo tối ưu về không gian, các quỹ đạo tối ưu về chi phí, năng lượng,v v

Các điều kiện phụ được xét trong bài toán lập trình quỹ đạo có dạng là các phương trình

- Các phương trình động lực học mô tả quan hệ giữa chuyển động và lực Ngoài ra, một số bất phương trình cũng có ý nghĩa quan trọng, thí dụ như:

Các giới hạn ràng buộc của các đại lượng chuyển động

& & &

&& && &&

Các giới hạn ràng buộc của đại lượng lực phát động

Đạo hàm theo thời gian t các biểu thức trên, ta suy ra các hệ thức về gia tốc x&& và q&&

Các kết quả đối với các tọa độ trong không gian khớp và các tọa độ không gian thao tác được trình bày trên bảng 2.1, trong đó ta sử dụng khái niệm ma trận Jacobi

q q s&&= ′′& +q s′&& q J&&= p− 1(x′′−J q s′ ′p )&2+q s′&&

Bảng 2.1: Biểu diễn tọa độ, vận tốc, gia tốc qua tham số s

2.2.1 Mô tả đường cong không gian

Dưới đây trình bày một vài khái niệm của hình học vi phân và một số tính chất quan trọng của các đường cong trong không gian ba chiều

Hình 2.1 Mô tả đường cong không gian

Trong hệ quy chiếu quán tính, đường cong không gian được xác định bởi véc tơ định

Tại P ta dựng một hệ tọa độ tự nhiên với ba véc tơ đơn vị trên ba trục là , ,τr r (hình n br

2.1) Mặt phẳng chứa hai véc tơ τr r gọi là mặt phẳng mật tiếp tại điểm P, mặt phẳng ,n

chứa hai véc tơ n b r gọi là mặt phẳng pháp tuyến, còn mặt phẳng chứa hai véc tơ ,b,r τr rgọi là mặt phẳng hiệu chỉnh Từ hình học vi phân ta có các quan hệ sau

o Véc tơ đơn vị tiếp tuyến τr r=r s′( )p

o Véc tơ đơn vị pháp tuyến chính n 1r s( )p

o Véc tơ đơn vị trùng pháp tuyến br r r= ×τ n

Trong đó ρ= rr s( )p là độ cong của đường cong tại điểm P Khi cho biết τ τr r= ( )s , từ

hệ thức τr r=r s′( )p ta suy ra công thức xác định đường cong không gian

Trong đó s& là vận tốc quỹ đạo