Giải bài toán tối ưu trong điều khiển dự báo có điều kiện ràng buộc bằng phương pháp quy hoạch nhiều tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ====o0o==== NGÔ THỊ THU TÌNH GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH NHI

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

====o0o====

NGÔ THỊ THU TÌNH

GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO

CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC BẰNG PHƯƠNG PHÁP

QUY HOẠCH NHIỀU THAM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KĨ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Hà Nội - 2016

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

====o0o====

NGÔ THỊ THU TÌNH

GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO

CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC BẰNG PHƯƠNG PHÁP

QUY HOẠCH NHIỀU THAM SỐ

Chuyên ngành: Điều khiển và Tự động hóa

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HOÀNG MINH SƠN

Hà Nội - 2016

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn tốt nghiệp: Giải bài toán tối ưu trong điều khiển

dự báo có điều kiện ràng buộc bằng phương pháp quy hoạch nhiều tham số do tôi tự

thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hoàng Minh Sơn Các số liệu và kết quả là

hoàn toàn đúng với thực tế

Để hoàn thành luận văn này tôi chỉ sử dụng những tài liệu được ghi trong danh mục tài liệu tham khảo và không sao chép hay sử dụng bất kỳ tài liệu nào khác Nếu phát hiện có sự sao chép tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 25 tháng 03 năm 2016

Học viên

Ngô Thị Thu Tình

Trang 4

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC HÌNH VẼ iv

DANH MỤC BẢNG SỐ LIỆU v

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO 3 1.1 Giới thiệu chung về điều khiển dự báo 3

1.1.1 Nguyên tắc chung của điều khiển dự báo dựa mô hình 3

1.1.2 Cấu trúc cơ bản của MPC 5

1.1.3 Điều kiện ràng buộc 6

1.2 Bài toán tối ưu 7

1.3 Mối quan hệ giữa bài toán tối ưu và bài toán điểm yên ngựa 8

1.4 Phương pháp Kuhn-Tucker 9

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH NHIỀU THAM SỐ 10

2.1 Bài toán MPC online 11

2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương đa tham số (Mp-QP) 16

2.2.1 Cơ sở của thuật toán 16

2.2.2 Tính lồi và tính liên tục 19

2.2.3 Thuật toán Off-line cho mp-QP và bộ điều khiển MPC tường minh 22

2.2.4 Định nghĩa CRrest 23

2.3 Nghiệm phản hồi trạng thái cho bộ điều khiển toàn phương tuyến tính có ràng buộc 25

Chương 3: MULTI-PARAMETRIC TOOLBOX 27

3.1 Mô hình hệ thống 27

3.1.1 Hệ thống tuyến tính – dừng (LTI) 27

3.1.2 Hệ thống affine từng phần (PWA) 28

3.1.3 Nhập mô hình từ các nguồn bên ngoài 29

Trang 5

3.3 Thiết kế điều khiển 31

3.3.1 Tính toán bộ điều khiển 31

3.3.2 Trường của đối tượng mptctrl 32

3.3.3 Một số hàm được sử dụng cho đối tượng mptctrl 33

3.4 Thực thi luật điều khiển 35

3.4.1 Tính toán luật điều khiển tường minh 35

3.4.2 Thực thi 36

3.5 Xuất bộ điều khiển dưới dạng code C 37

3.6 Biểu diễn tín hiệu và các miền trạng thái dưới dạng hình ảnh 38

3.6.1 Đồ thị của các polyhedral partition 38

3.6.2 Biểu diễn quỹ đạo hệ hở và hệ kín 38

3.6.3 Quan sát hàm PWA, PWQ 38

CHƯƠNG 4 CÁC VÍ DỤ VỀ QUY HOẠCH NHIỀU THAM SỐ SỬ DỤNG TOOLBOX MPT 40

4.1 Bài toán 40

4.1.1 Mô tả bài toán 40

4.1.2 Nhiệm vụ 40

4.1.3 Yêu cầu 40

4.1.4 Trình bày 41

4.2 Thực hiện 42

4.2.1 Công cụ 42

4.2.2 Ví dụ minh họa cụ thể 42

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

PHỤ LỤC 56

Trang 6

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Điều khiển dự báo trong trường hợp không có trễ 4

Hình 1.2: Điều khiển dự báo dựa mô hình trong trường hợp có trễ (d>0) 5

Hình 1.3: Cấu trúc cơ bản của MPC 6

Hình 2.1 Tối ưu online 11

Hình 2.2: Tối ưu online thông qua quy hoạch nhiều tham số 11

Hình 2.3: Các vùng giới hạn X và CR0 23

Hình 2.4: Lấy ngược dấu của bất phương trình C1 thu được 24

Hình 2.5: Các miền được chia trong X 25

Hình 4.1: Vùng không gian trạng thái sau khi được chia 43

Hình 4.2: Vùng không gian trạng thái sau khi được tối giản 43

Hình 4.3: Đồ thị của tín hiệu điều khiển 44

Hình 4.4: Quỹ đạo hệ kín với giá trị trạng thái ban đầu khác nhau 45

Hình 4.5: Quỹ đạo của biến trạng thái 45

Hình 4.6: Quỹ đạo tín hiệu điều khiển 46

Hình 4.7: Quỹ đạo đầu ra 46

Hình 4.8: Mô hình xe ô tô đi lên dốc 46

Hình 4.9: Các miền được chia trong không gian trạng thái 51

Hình 4.10: Tín hiệu điều khiển u 51

Hình 4.11: Quỹ đạo của biến trạng thái 52

Hình 4.12: Quỹ đạo của đầu ra 52

Hình 4.13: Quỹ đạo của biến điều khiển 53

Trang 7

DANH MỤC BẢNG SỐ LIỆU

Bảng 2.1: Giới hạn của các vùng 24

Bảng 3.1: Chiều của các ma trận trong mô hình hệ PWA 28

Bảng 3.2: Các hàm tính toán bộ điều khiển cho các bài toán tối ưu khác nhau 32

Bảng 3.3: Các trường của đối tượng bộ điều khiển MPC 32

Bảng 4.1: Thời gian tính toán bộ điều khiển 44

Trang 8

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

MPC Model Predictive Control Điều khiển dự báo theo mô hình MPP Multi-Parametric Programming Quy hoạch nhiều tham số

MPT Multi-Parametric Toolbox Toolbox đa tham số

MP-QP Multi-Parametric Quadratic

Programming

Quy hoạch toàn phương nhiều tham

số KKT Karush – Kuhn –Tucker Điều kiện Karush – Kuhn –Tucker LTI Linear Time-Invariant Hệ tuyến tính dừng

CFTOC Constrained Finite-Time Optimal

Control

Điều khiển tối ưu thời gian hữu hạn

có ràng buộc CITOC Constrained Infinite Time Optimal

Control

Điều khiển tối ưu thời gian vô hạn

có ràng buộc CMTOC Constrained Minimum Time

Optimal Control

Điều khiển tối ưu thời gian tối thiểu

có ràng buộc

Trang 9

MPC là giải pháp tối ưu có ràng buộc online dựa vào lý thuyết tính lùi, sử dụng một mô hình quá trình rõ để dự báo đáp ứng tương lai của đối tượng Bộ tối

ưu hóa giải quyết một bài toán tối ưu, trong mỗi chu kì lấy mẫu của hệ thống điều khiển thông qua việc tính toán điều chỉnh chuỗi biến điều khiển tương lai, nhằm tối

ưu hóa hoạt động của đối tượng ở mỗi một chu kì Giá trị đầu tiên của chuỗi tối ưu được đưa tới điều khiển đối tượng, quá trình tính toán này sẽ được lặp lại trong mỗi chu kỳ tiếp

Lợi ích của MPC là rất to lớn, có nhiều tiềm năng, thỏa mãn điều kiện ràng buộc và tối ưu hóa nhưng ứng dụng của nó còn bị hạn chế trong thực tế do yêu cầu

về khả năng tính toán online Việc lặp lại giải bài toán tối ưu hóa trong những khoảng thời gian xác định (mỗi chu kỳ trích mẫu của đối tượng) yêu cầu khối lượng tính toán lớn và hiệu quả thực thi của bộ tối ưu online lại dựa vào việc tính toán nhanh tác động điều khiển tối ưu của bộ tính toán online Vấn đề trên yêu cầu năng lực thiết bị phần cứng điều khiển và giải thuật tối ưu phải thích hợp

Để giải quyết bài toán trên tác giả đã chọn đề tài: “GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH NHIỀU THAM SỐ” Với hướng tiếp cận này, biến điều khiển là một hàm tường minh của biến trạng thái, bộ tối ưu online chia ra ước lượng các hàm đơn giản trong khoảng thời gian xác định, tính toán tác động điều khiển tương ứng cho mỗi vùng trạng thái của đối tượng Phương pháp này được biết tới là “Tối

ưu hóa online thông qua tối ưu tham số offline” Mục tiêu chính của đề tài: Thực

Trang 10

Mở đầu

thi, kiểm chứng, đánh giá được khả năng áp dụng của phương pháp đưa bài toán tối

ưu online trong điều khiển dự báo về bài toán tối ưu offline để xây dựng luật điều khiển phản hồi trạng thái

Luận văn được bố cục thành bốn chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về điều khiển tối ưu và điều khiển

dự báo liên quan đến đề tài như : nguyên tắc, cấu trúc chung của MPC, các điều kiện ràng buộc, bài toán điều khiển tối ưu, phương pháp Kuhn-Tucker

Chương 2: Nghiên cứu cở sở phương pháp quy hoạch nhiều tham số

(Multi-Parametric Programming)

Chương 3: Trình bày về Toolbox mô phỏng MPT

Chương 4: Xây dựng ví dụ mô phỏng kiểm chứng phương pháp quy hoạch nhiều tham số trên MATLAB

Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Hoàng Minh Sơn đã tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả trong toàn bộ quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn Đồng thời tác giả cũng xin bảy tỏ lòng trân trọng biết ơn tới các thầy

cô giảng viên bộ môn Điều khiển tự động, Viện Điện đã hỗ trợ, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian qua

Hà Nội, ngày 22 tháng 3 năm 2016

Học viên

Ngô Thị Thu Tình

Trang 11

Chương 1: Tổng quan về điều khiển tối ưu và điều khiển dự báo

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU VÀ

ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO

1.1 Giới thiệu chung về điều khiển dự báo

Điều khiển dự báo tựa mô hình MPC là phương pháp sử dụng mô hình của đối tượng và tối ưu hóa hàm mục tiêu để đưa ra một tín hiệu điều khiển tối ưu Thập niên 70 của thế kỷ trước, MPC mới chỉ được sử dụng đối với các đối tượng biến đổi chậm, vì thủ tục tối ưu hóa sẽ được lặp đi lặp lại ở mọi bước ảnh hưởng tới tốc độ tính toán và phần cứng điều khiển Cho tới thập niên 90, khi tốc độ tính toán của máy tính nhanh hơn thì MPC được áp dụng với nhiều loại đối tượng mà đặc tính động học nhanh như máy bay, robot, vệ tinh nhân tạo, máy móc tự động … Nó có các ưu điểm nổi trội như: trực quan, dễ thực hiện, có thể áp dụng trên nhiều loại đối tượng điều khiển như SISO, MISO, MIMO, điều khiển đối tượng có trễ khi đã biết trước tín hiệu đầu ra mong muốn, đồng thời nó cũng là một hướng nghiên cứu mới,

có tính mở cao Hiện nay đây là phương pháp điều khiển phi tuyến thông dụng nhất cho các hệ tuyến tính có ràng buộc và đã trở thành chuẩn cho các bài toán điều khiển đa biến có ràng buộc trong các quá trình công nghiệp

1.1.1 Nguyên tắc chung của điều khiển dự báo dựa mô hình

Theo tài liệu [10] (trang 3-6), ta có điều khiển dự báo dựa mô hình có nguyên

tắc chung như sau

1 Dựa trên mô hình quá trình, biểu diễn dãy giá trị đầu ra (biến được điều khiển) trong tương lai phụ thuộc dãy giá trị đầu vào (biến điều khiển) và đầu ra đo được

2 Xác định hàm mục tiêu dựa trên tác động điều khiển trong tương lai và sai lệch điều khiển dự báo (tín hiệu chủ đạo trong tương lai có thể biết trước)

3 Tìm dãy giá trị điều khiển tối ưu trong tương lai để tối thiểu hóa hàm mục tiêu, với một số điều kiện ràng buộc

4 Đưa ra tác động điều khiển sử dụng giá trị đầu tiên trong dãy tìm được

5 Trong chu kỳ điều khiển tiếp theo: Đo giá trị đầu ra và lặp lại quy trình từ bước 3

Trang 12

Hình 1.1: Điều khiển dự báo trong trường hợp không có trễ

Trong nguyên tắc điều khiển dự báo hình 1.1 có phiếm hàm mục tiêu dạng

Trang 13

Hình 1.2: Điều khiển dự báo dựa mô hình trong trường hợp có trễ (d>0)

Trong trường hợp có trễ, hàm mục tiêu có dạng

J(t,u) = ∑ ( ), ( ) ̂( )- + ∑ ( ), ( )-

1.1.2 Cấu trúc cơ bản của MPC

Cấu trúc cơ bản của MPC được mô tả như hình 1.3 trong đó đầu vào của mô hình dự báo là các dữ liệu trong quá khứ và tương lai sau đó thu được đầu ra dự báo MPC dựa vào các bộ dữ liệu vào – ra trong quá khứ và dự báo trong tương lai, căn cứ vào giá trị hàm mục tiêu thỏa mãn bộ điều kiện ràng buộc của bài toán điều khiển, tiến hành bài toán tối ưu, từ đó tính toán tín hiệu điều khiển đầu ra sao cho sai lệch điều khiển đạt cực tiểu, tức là khi đó tín hiệu ra dự báo có thể bám theo được tín hiệu đầu ra mong muốn

Trang 14

Hình 1.3: Cấu trúc cơ bản của MPC

1.1.3 Điều kiện ràng buộc

Vấn đề ràng buộc là yếu tố quan trọng, đặc biệt trong những bộ điều khiển công nghiệp Khi điều khiển hệ thống phải luôn đảm bảo tín hiệu điều khiển, trạng thái hệ thống không vi phạm các giới hạn cho phép, tức là luôn phải nằm trong vùng

an toàn Ví dụ khi điều khiển các thông số nhiệt độ, áp suất, mực chất lỏng phải luôn có giới hạn cực tiểu, giới hạn về lưu lượng nước chảy trong ống dẫn, độ mở của van…

Một hệ thống điều khiển sau khi được thiết kế, nếu hiệu chỉnh tốt thì các tín hiệu sẽ luôn giữ được khoảng cách an toàn đối với các điều kiện ràng buộc Trong cùng loại hệ thống điều khiển, hệ thống nào giữ được khoảng cách này tốt thì giá sẽ càng cao Tuy nhiên, vì lý do kinh tế nên các hệ thống công nghiệp có khuynh hướng các tín hiệu sẽ bám theo điều kiện ràng buộc để giảm bớt công sức điều chỉnh và giá thành

Trong điều khiển dự báo, kỹ thuật tối ưu hóa được sử dụng để đảm bảo các ràng buộc không bị vi phạm Đối với hệ tuyến tính, các phương pháp tối ưu hóa LP

Mô hình

(Model)

Bộ tối ưu

(Optimizer)

Đầu vào và đầu ra quá khứ

(Past Input and Outputs)

Đầu vào tương lai

Trang 15

(Linear Programming), QP (Quadratic Programming) thường được sử dụng Trong các hệ thống phi tuyến các phương pháp phân nhánh giới hạn (Branch and Bound), phương pháp Newton, phương pháp Lenvenberg-Marquardt…thường được sử dụng

Trong hầu hết các trường hợp, ràng buộc thường được thể hiện bởi các giới hạn trên tín hiệu điều khiển, trạng thái và tín hiệu ra của hệ thống

u min ( ) u max hoặc u min ( ) u max

y min ( ) y max hoặc y min ( ) y max

Ràng buộc như trên gọi là ràng buộc bất đẳng thức Bên cạnh đó còn có ràng buộc phương trình giúp cho bộ điều khiển tự cải thiện chất lượng điều khiển

+ Ràng buộc bất đẳng thức

̃(k) ̃ (k)

̃ (k) không phụ thuộc vào tương lai của hệ thống, ̃(k) là một vectơ

Trường hợp điều kiện ràng buộc giới hạn bởi hai giá trị cận trên và cận dưới như sau:

̃* min ̃* (k) ̃*

+ Ràng buộc phương trình

̃ (k) = 0, ̃ (k) là một vectơ

Phương pháp điều khiển dự báo giải quyết tốt bài toán điều khiển có ràng

buộc, và đây cũng chính là lý do mà phương pháp điều khiển này được sử dụng

ngày càng phổ biến

1.2 Bài toán tối ưu

Điều khiển dự báo có nguồn gốc từ điều khiển tối ưu và giải bài toán tối ưu là phần quan trọng của điều khiển dự báo Các bài toán tối ưu hay gặp trong thực tế đó là:

- Bài toán điều khiển tối ưu tĩnh: là bài toán chọn các tham số điều khiển trong

Trang 16

số các tham số thích hợp sao cho hệ thống đạt được chất lượng một cách tốt nhất

- Bài toán tối ưu động: nhiệm vụ trọng tâm là tìm tín hiệu điều khiển tối ưu (t) để chất lượng quá trình chuyển đổi trạng thái từ điểm đầu đến điểm cuối

là tốt nhất

1.3 Mối quan hệ giữa bài toán tối ưu và bài toán điểm yên ngựa

Từ tài liệu [9] trang 31- 34, ta có

Xét bài toán tối ưu

P = { | gi ( ) + (1.1b) Trong đó m n Từ bài toán tối ưu trên ta lập một hàm chung

Định lý 1: Xét bài toán tối ưu (1.1) và hàm (1.2)

a (Điều kiện đủ): Nếu ( *, *) là điểm yên ngựa của hàm f ( , ) tính theo (1.2)

thì *

là nghiệm tối ưu của bài toán (1.1)

b (Điều kiện cần và đủ): Giả sử Q( ), gi ( ) là các hàm lồi, tức

là bài toán (1.1) là bài toán tối ưu lồi, và tập P có ít nhất một điểm trong, tức

là tồn tại ít nhất một điểm để có gi ( ) Khi đó điểm ( *, *) là điểm yên ngựa của hàm f ( , ) khi và chỉ khi * là nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu lồi (1.1)

Trang 17

1.4 Phương pháp Kuhn-Tucker

Định lý 1 cho thấy việc xác định nghiệm * của bài toán tối ưu (1.1) có thể được thay bằng việc xác định điểm yên ngựa ( *, *) của hàm (1.2) Ưu điểm chính của cách giải này là ta đã chuyển hoàn toàn bài toán tối ưu thành bài toán giải hệ các bất

phương trình và phương trình

Công cụ hỗ trợ việc xác định điểm yên ngựa ( *

, *) của hàm (1.2) là định lý Kuhn-Tucker:

Định lý 2: Cho bài toán tối ưu (1.1) có Q( ), gi ( ) là các hàm

khả vi Lập hàm f ( , ) theo (1.2) Khi đó:

a) (Điều kiện cần): Nếu ( *, *) là điểm yên ngựa của f ( , ) thì nó sẽ thỏa mãn

hệ n hệ các bất phương trình và phương trình:

{

/ / ( ) / Trong đó

/ (

) / (

) b) (Điều kiện cần và đủ): Nếu (1.1) còn là bài toán tối ưu lồi và tập P có ít nhất một điểm trong thì phát biểu a) sẽ là điều kiện cần và đủ

Trang 18

Chương 2: Phương pháp quy hoạch nhiều tham số

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH NHIỀU THAM SỐ

Hệ thống tuyến tính với đầu vào, đầu ra hoặc ràng buộc trạng thái là lớp hệ thống quan trọng trong thực tiễn và nghiên cứu Có rất nhiều phương pháp điều khiển khác nhau được thiết kế cho hệ tuyến tính đã thu được chất lượng tốt và độ ổn định cao, đặc biệt trong điều kiện có ràng buộc được đảm bảo với luật điều khiển phi tuyến Phương pháp điều khiển phi tuyến thông dụng nhất cho các hệ tuyến tính

có ràng buộc là điều khiển dự báo dựa mô hình (MPC) và hiện nay đã trở thành chuẩn cho các bài toán điều khiển đa biến có ràng buộc trong các quá trình công nghiệp Nhưng hạn chế của phương pháp này là khối lượng tính toán online lớn làm ảnh hưởng tới thời gian đưa ra tác động điều khiển nhất là khi tầm dự báo tăng lên Một kỹ thuật được đưa ra để giải quyết vấn đề trên là quy hoạch nhiều tham số (Multi-Parametric Program)

MPP là kỹ thuật để giải quyết bài toán tối ưu hóa với hàm mục tiêu được tối

đa hoặc tối thiểu một chỉ tiêu chất lượng nào đó với giới hạn cho trước và một số tham số khác nhau thay đổi giữa cận trên và cận dưới Tư tưởng của phương pháp này sẽ là chia miền trạng thái thành các miền lồi, mỗi miền này tương ứng sẽ cho

cùng một dạng biến điều khiển u = f(x) Việc tính toán tối ưu được thực hiện offline

tạo thành một bảng các giá trị có sẵn Do đó công việc tính toán online rất dễ dàng Bản chất bài toán đã được chuyển từ tối ưu online về offline Đặc trưng của phương pháp quy hoạch nhiều tham số là khả năng thu được:

(i) Hàm mục tiêu và tín hiệu điều khiển tối ưu là hàm tường minh của

biến trạng thái

(ii) Các vùng trong không gian của tham số nơi mà các hàm này có giá trị Hình 2.1 và 2.2 dưới đây mô tả cấu trúc chung của hệ thống sử dụng phương pháp tối ưu online và phương pháp quy hoạch nhiều tham số

Trang 19

Hình 2.1 Tối ưu online

2.1 Bài toán MPC online

Theo tài liệu [8] từ trang 45 - 51

Xét bài toán điều khiển về gốc tọa độ hệ tuyến tính dừng sau:

(2.1) với ( ) ( ) ; tương ứng là biến trạng thái và biến đầu vào, biến đầu

ra; các ma trận Cả x(k) và u(k) được giới hạn bởi:

Đầu ra quá trình

Tác động điều khiển

Biến trạng thái

Quy hoạch nhiều tham

Đầu ra quá trình

Trang 20

{ ( ) * +

( ) * + (2.2) Giả thiết ma trận , và vectơ là hằng số với

Bài toán có hàm mục tiêu sau: ( ( ))

, - *∑ ∑

+ (2.3) {

( )

Với và tương ứng là trạng thái và đầu vào dự báo,



 R R m×m and R > 0  N ≥ 1 là tầm dự báo Điều kiện của Q và R đảm bảo hàm mục tiêu là lồi Tất cả các trị riêng của Q đều không âm và tất cả các trị riêng của R phải dương để đảm bảo nghiệm tối ưu là duy nhất Rõ ràng thành phần thể hiện độ sai lệch trạng thái x so với gốc trong khi thành phần biểu thị năng lượng sử dụng cho tín hiệu điều khiển ở đầu vào Việc lựa chọn Q lớn có nghĩa trạng thái phải gần gốc nhất có thể Mặt khác việc lựa chọn R lớn có nghĩa tín hiệu điều khiển phải nhỏ để đảm bảo hàm mục tiêu có giá trị nhỏ Một phương án khác ta có thể xem xét chất lượng dựa vào chuẩn bậc 1: l1-norm , - *∑ ∑

+ (2.4) Hoặc chuẩn vô cùng

, - *∑ ∑

+

(2.5) Từ mô hình (2.1) ta có thể biểu diễn giá trị của biến trạng thái được dự báo như sau: {

(2.6)

Trang 21

Ta có thể viết gọn lại (2.6) như sau:

Với , - , ,

[ ] , [

]

Hàm mục tiêu của bài toán tối ưu (2.3) có thể viết lại dưới dạng ( ( )) * + (2.8) Với [

] , [

] Thay (2.7) vào (2.8) thu được ( ( )) * ( ) ( ) ( )+ (2.9) Với + , , (2.10) Xét ràng buộc (2.2) ta thấy ràng buộc trạng thái và đầu vào dự báo như sau: { (2.11) Với [

], [

] , [ ] , [ ]

Từ (2.7) ràng buộc trạng thái có thể được viết dạng * ( ) +

Hay tương đương

( ) (2.12)

Kết hợp giữa (2.11) và (2.12) ta được

Với

Trang 22

[ ] , [ ] , [ ]

Từ (2.7) và (2.13) bài toán MPC có thể viết lại dạng

( ( )) * ( ) + (2.14) Điều kiện

( ) Thành phần ( ) ( ) được bỏ qua do không ảnh hưởng tới điều kiện tối

ưu Hàm mục tiêu ban đầu được biểu diễn

( ( )) ( ( )) ( ) ( ) Luật điều khiển thu được sau khi giải bải toán tối ưu online (2.14) được gọi

là luật điều khiển dự báo nội suy

Tính khả vi đệ quy của bài toán tối ưu và sự ổn định của hệ kín là hai vấn đề quan trọng khi thiết kế bộ điều khiển MPC Tính khả thi đệ quy của bài toán quy hoạch toàn phương (2.14) có nghĩa là nếu (2.14) khả vi tại thời điểm k, nó cũng sẽ khả vi tại thời điểm k+1 Nói cách khác tồn tại tín hiệu điều khiển giữ cho hệ thống nằm trong phạm vi ràng buộc cho phép Bài toán về tính khả vi có thể bị ảnh hưởng bởi sai lệch mô hình, các nhiễu hoặc sự lựa chọn hàm mục tiêu Còn việc phân tích tính ổn định cần sử dụng lý thuyết Lyapunov do sự có mặt của các ràng buộc làm hệ thống kín là phi tuyến Thêm vào đó hệ thống ràng buộc đầu vào không ổn định thì không thể ổn định toàn cục Luật điều khiển thu được từ bài toán quy hoạch toàn phương (2.14) là luật phản hồi trạng thái affine từng phần

Tính khả vi đệ quy của bài toán tối ưu và sự ổn định có thể được đảm bảo bằng việc thêm vào hàm giá trị điểm cuối trong hàm mục tiêu (2.3) và bao gồm trạng thái cuối trong tập các giá trị trạng thái cuối bất biến Xét ma trận P Rnxn là nghiệm duy nhất của phương trình đại số Riccati sau:

Trang 23

dạng:

V(x(0)) * ∑ * + = ∑ ( ) = x 0 P x 0

Xét hàm mục tiêu của bài toán MPC có dạng

( ) = P + ∑ Q + R (2.17) Với các ràng buộc:

vi đầu vào, phạm vi đầu ra và phạm vi điều kiện ràng buộc sao cho Ny ≥ Nu và Nc ≤

Ny −1; K là ma trận phản hồi trạng thái Đa số các ứng dụng MPC trong công nghiệp sử dụng các mô hình thực nghiệm tuyến tính, vì vậy hầu hết các sản phẩm MPC và các thuật toán tối ưu đều dựa trên loại mô hình này

Giải bài toán (2.1), tiến hành lặp ở mỗi thời điểm t đối với giá trị đo được hiện thời và biến trạng thái dự báo ở các bước thời gian t + 1,

…, t + k và thu được các tín hiệu điều khiển tối ưu tương ứng U * ={ , …,

} Đầu vào dự báo đầu tiên được đưa vào hệ thống cụ thể là u t = Tương

tự, lặp lại với các bước ở thời điểm t + 1 dựa trên trạng thái mới Việc điều khiển ma trận hàm mục tiêu P và hệ số phản hồi trạng thái K thường được sử dụng

để đảm bảo ổn định vòng kín của hệ thống (2.1) Giải pháp đại số của hệ thống phụ thuộc vào việc tìm kiếm các giá trị của ma trận P và Q Một phương án được đề xuất là chọn K = 0 và P thu được từ phương trình Lyapunov:

P = A’ PA + Q (2.18) Tuy nhiên giải pháp này chỉ áp dụng được cho các hệ ổn định vòng hở, tác

Trang 24

động điều khiển dừng sau Nu bước Một giải pháp khác là chọn K và P theo giải pháp bộ điều khiển LQR

Giả sử bài toán không ràng buộc, tầm vô hạn, nghĩa là Nu = Ny = Nc = ∞, hệ

số phản hồi trạng thái K bằng việc giải phương trình Ricatti như trong (2.15) và (2.16) Giải phương trình Lyapunov và các phương trình Ricatti là phương pháp phổ biến nhất để xác định K và P

Hàm mục tiêu (2.17) có thể viết dưới dạng

( ) = 2 ( )3 (2.19) Điều kiện GU  W + E (2.20)

U { , …, }’  Rs, s mNu là véc tơ biến tối ưu; H = H’ > 0 Vậy bài toán QP-MPC (2.19) lặp lại tại mỗi khoảng thời gian t cho giá trị hiện tại của biến Tác động điều khiển được tính

= [ I 0 … 0 ] u*( ) (2.21) Bài toán QP là giải được nhưng việc tính toán đầu vào trực tuyến phụ thuộc rất nhiều vào tốc độ tính toán

2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương đa tham số (Mp-QP)

Chúng ta cần một thuật toán để thu được U*(x) và hàm mục tiêu V(x) = J(U*(x)) là một hàm tường minh của tham số x Đặc biệt U*(x) là một hàm affine

từng phần, liên tục theo x Từ tài liệu [2] trang 7-11 ta có

Định nghĩa 1: Một hàm ( ) , với là một tập đa diện, affine từng phần nếu có thể chia X ra thành các vùng đa diện lồi CRi và ( )

Hàm toàn phương từng phần được định nghĩa tương tự với ( )

2.2.1 Cơ sở của thuật toán

Chuyển từ bài toán quy hoạch toàn phương sang bài toán quy hoạch nhiều tham số toàn phương bằng phương pháp biến đổi tuyến tính

Z

(2.22)

Trang 25

 U

(2.23) thay vào (2.19) thu được hàm mục tiêu dưới dạng

( ) = (2.24)

Điều kiện Gz W + S (2.25)

Với là vectơ biến tối ưu, là vectơ biến tham số và

S = E + G (2.26)

Ta thấy trong (2.19) và (2.20) vectơ trạng thái xuất hiện trong cả hàm

mục tiêu và vế phải của ràng buộc nhưng trong (2.24), (2.15) chỉ còn xuất hiện trong vế phải của ràng buộc Ưu điểm chính của cách viết (2.19) trong (2.24) là biến

z (và vì thế U) thu được là một hàm affine của x trong toàn bộ không gian khả vi của x

Để bắt đầu giải bài toán mp-QP, chọn vectơ x 0 bên trong tập đa diện

* + là tập các tham số sao cho bài toán khả vi tại x = x 0 Một cách chọn x 0

là tâm hình cầu lớn nhất trong X sao cho tồn tại z khả vi, xác định từ

(2.27)

Gz - Sx W

Nếu 0 thì bài toán (2.24) sẽ không khả vi với tất cả nằm trong tập X

Mặt khác khi cố định x = x 0 và giải bài toán (2.24) sẽ thu được giá trị z 0 tương ứng Nghiệm này là duy nhất vì H > 0 và do đó loại một ràng buộc phương trình ̃ ̃ ̃ ra khỏi các ràng buộc trong (2.25)

Định lý 2.1 Cho H > 0 Xét tổ hợp các ràng buộc phương trình ̃ ̃ ̃ và giả thiết rằng các hàng của ̃ là độc lập tuyến tính CR0 là tập tất các vectơ x với chúng

là tổ hợp phương trình ở điều kiện tối ưu (CR0 là vùng tới hạn) Khi đó biến tối ưu z

và vectơ nhân tử Lagrange là hàm affine của x trên CR0

Chứng minh

Từ điều kiện tối ưu KKT trong phương pháp Kuhn-Tucker cho mp-QP ta thu

được

Trang 26

(2.28a) ( ) (2.28b)

Gz - Sx W (2.28d)

Với i là chỉ số cho hàng thứ i Từ (2.28a) thu được

Thay vào (2.28b) có điều kiện ( ) Gọi ̌ và ̃

là các vectơ nhân tử Lagrange tương ứng với các ràng buộc bất phương trình và phương trình Với các ràng buộc bất phương trình ̌ = 0 Với ràng buộc phương trình thì

̃ ̃ ̃ ̃ ̃  ̃ ( ̃ ̃ ) ( ̃ ̃ ) (2.30) ̃ ̃ ̃ tương ứng với tập các ràng buộc phương trình và ( ̃ ̃ ) tồn tại vì số hàng của ̃ là độc lập tuyến tính Do đó ̃ là một hàm affine của x Thay ̃

từ (2.30) vào (2.29) thu được

̃ ( ̃ ̃ ) ( ̃ ̃ ) (2.31)

Vậy z cũng là một hàm affine của x

Biến z từ (2.29) phải thỏa mãn ràng buộc (2.25):

của x, đại diện cho tập lớn nhất các giá trị x X sao cho thỏa mãn các ràng buộc

phương trình Cứ một vùng CR0 được định nghĩa thì tương ứng sẽ có một vùng

CRrest= X – CR0 và một vùng tới hạn mới được tạo ra Định lý sau đây đưa ra một

số đặc trưng của vùng CRrest

Trang 27

Định lý 2 (tài liệu [2], trang 9)

Cho Y nlà một đa diện và CR0 * +là một đa diện con của

Y, CR0 Cho

Ri ={ }, i = 1, ,m,với m = dim(b) và CRrest khi đó (i) CRrest CR0 = , (ii) CR0 ∩ = ,

Ri ∩ = , j

Chứng minh

(i) Chúng ta muốn chứng minh rằng với x cho trước thuộc tập Y thì nếu x

không thuộc CR0 thì cũng thuộc Ri Xét trường hợp nếu x CR 0, chứng minh hoàn thành Ngược lại, tồn tại chỉ số i sao cho Cho =

* + khi đó do và , (ii) Cho x CR 0, khi đó sao cho  , Cho x R i

và i > j Do x R i, do định nghĩa của Ri (i > j) làm cho .Định lý 2 cho ta một cách chia tập không lồi CRrest X\CR0 thành các đa

diện con R i Với mỗi R i , một vectơ mới x i được tìm ra sau khi giải bài toán LP

(2.27), tương ứng biến tối ưu z i và các bộ ma trận của ràng buộc phương trình ̃ , ̃ , ̃ vùng giới hạn CRi Sau đó định lý 2 tiếp tục được dùng cho vùng

Ri\CRi thành các vùng con và thuật toán tiếp tục được lặp lại

2.2.2 Tính lồi và tính liên tục

Tính liên tục của hàm mục tiêu Vz(x) và nghiệm z(x) có thể thấy dễ dàng là

hệ quả của định lý 2 Điều này kết hợp với tính lồi của tập tham số khả vi (

ví dụ tập các tham số x X sao cho nghiệm khả vi z(x) tồn tại) và của giá trị hàm

V z (x) được chứng minh trong định lý sau đây:

Định lý 3 (tài liệu [2], trang 10)

Xét bài toán quy hoạch toàn phương đa tham số (2.24) và cho H > 0, X lồi Khi

đó tập tham số khả vi là lồi, nghiệm tối ưu z(x): là liên tục và affine

từng phần và hàm mục tiêu V z (x): là liên tục, lồi và toàn phương từng phần

Trang 28

Chứng minh

- Chứng minh tính lồi của và V z (x)

Lấy x 1 , x 2 tương ứng với giá trị hàm mục tiêu V z (x 1 ) và V z (x 2 ), tín hiệu tối

ưu z 1 , z 2 Cho , - và định nghĩa ( ) , ( ) Do tính khả vi nên z 1 , z 2 thỏa mãn ràng buộc , Kết hợp tuyến tính các bất phương trình này về dạng Vì thế

cũng khả vi với bài toán (2.24) tại x(t) = Điều này chứng tỏ z(xa) tồn tại tính lồi của Hơn nữa do tính tối ưu của ( ), ( ) và

( ) , ( )

, ( ) , ( ) ( ) ( ) -

đó Do H > 0 nên nghiệm tối ưu là duy nhất và do đó nghiệm phải liên tục giữa các

đường biên Dễ dàng thấy V z (x) là liên tục và toàn phương từng phần

- Chứng minh tính lồi của hàm V(x)

1 Khi đó ( ) ( ) thỏa điều kiện là một hàm lồi của x

Chứng minh

Từ định lý 3 Giá trị hàm ( ) của bài toán tối ưu ( ) thỏa điều kiện là một hàm lồi của x Cho ( ) ( ) tương ứng là các

Trang 29

nghiệm tối ưu của Vz(x) và V(x) với ( ) ( ) . Khi đó

Hệ quả 1 Hàm mục tiêu V(x) được định nghĩa tại bài toán tối ưu (2.17), (2.19) là

liên tục và toàn phương từng phần

Chứng minh

Tại (2.17), ( ) , là tổng của các thành phần không âm Vì thế ( ) 0 1 0

1 0 1 cho mọi 0 1 và chứng minh dễ dàng theo bổ đề 1

Hệ quả 2 Luật điều khiển ( ) ( ( )) lấy ra từ bài toán (2.17) là liên tục và affine từng phần

( ) (2.34) Với tập đa diện * + là các miền partition được cho trong tập biến trạng thái X

Chứng minh

Do ( ) ( ) là một hàm tuyến tính của x trong mỗi vùng

{ } Từ (2.21), u = f(x) là tổ hợp các hàm tuyến tính và vì thế tuyến tính trong CRI, u cũng là tổ hợp của các hàm liên tục nên vì thế

nó cũng liên tục

Chú ý rằng tác động điều khiển được lấy từ luật điều khiển phản hồi (tường minh) (2.34) và luật điều khiển phản hồi (không tường minh) (2.19)-(2.21) là chính xác như nhau Vì thế người thiết kế có thể chỉnh định bộ điều khiển bằng các công

Trang 30

cụ MPC tiêu chuẩn (như dựa vào bộ QP online) và các gói phần mềm mô phỏng, và cuối cùng chạy thuật toán 1 để thu được kết quả (2.34) để thực thi bộ điều khiển một cách hiệu quả

2.2.3 Thuật toán Off-line cho mp-QP và bộ điều khiển MPC tường minh

Dựa vào các phân tích ở phần trên, các bước chính của thuật toán Off-line

cho mp-QP và bộ điều khiển MPC tường minh như sau:

Thuật toán 1

1 Cho X n là miền ràng buộc của biến trạng thái

2 Thực hiện thủ tục phân hoạch miền X (Partition(X))

a Cho x0 Y tìm (bằng quy hoạch tuyến tính LP), là nghiệm của (2.27)

b Nếu 0 thì thoát (exit); (Không có miền CR nào trong Y)

c Với x = x 0 , tính toán nghiệm tối ưu (z 0 , λ 0 ) của bài toán QP

h Chia miền CRrest (Phần còn lại) theo định lý 2

i Với mỗi vùng con mới Ri thực hiện lại thủ tục phân hoạch

Partition(Ri);

3 Với tất cả các vùng có chung một giá trị z(x) và hợp của chúng là tập lồi, tính

toán miền hợp lại này bằng thuật toán phát triển bởi Bemporad, Fukuda and Torrisi (2001)

4 End

Thuật toán khảo sát tập các tham số X đệ quy: Phân chia vùng còn lại thành các tập

đa diện Ri theo định lý 2, tiếp tục sử dụng cùng phương pháp với mỗi vùng Ri này

Trang 31

2.2.4 Định nghĩa CR rest

Từ nội dung được trình bày trong tài liệu [5] từ trang 11 -13, trong mục này

sẽ mô tả phương pháp xác định vùng CRrest

là một tập con của X khi đã cho vùng tối

ưu CR0 ,ví dụ CRrest

= X – CR0 Để đơn giản ta xem xét trường hợp hệ có hai

biến trạng thái x 1 và x 2 như hình và X được xác định từ tập các bất phương trình

* +

Và CR0được xác định bởi các bất phương trình

CR0 * + Với C1, C2, C3 là các hàm tuyến tính của x

Phương pháp này xem xét lần lượt từng bất phương trình xác định CR0 Ví

dụ xem xét bất phương trình C1 0 miền còn lại được định nghĩa bởi

Trang 32

còn lại miền hoàn chỉnh thu được là: U

Với được cho bởi bảng 2.2 và được miêu tả trong hình 2.5

Trang 33

2.3 Nghiệm phản hồi trạng thái cho bộ điều khiển toàn phương tuyến tính có ràng buộc

Tại thời điểm t = 0, nghiệm của bài toán (2.17) cho ta một tập tín hiệu tối ưu

u(0),…,u(N y -1) là các hàm của trạng thái x(0) Dạng phản hồi trạng thái tương ứng

u(j) = f j (x(j)), j = 0,…,N y -1 có thể thu được bằng cách giải Nu bước bài toán

mp-QPs Rõ ràng trong thực tế f j (x) = Kx với tất cả với

Hình 2.5: Các miền được chia trong X

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	1,24 MB