Phương pháp xấp xỉ ngoài với kỹ thuật rẽ nhánh giải bài toán tối ưu toàn cục

Mục lụcDanh mục các kí hiệu, chữ viết tắt vii Danh mục các hình vẽ ix 1 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tích và Bài toán tối ưu trên tập Pareto 1 1.1 Hàm lõm, hàm tựa lõm và hàm đơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN

HÀ NỘI – 2011

Mục lục

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt vii Danh mục các hình vẽ ix

1 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tích và Bài toán tối ưu trên tập Pareto 1

1.1 Hàm lõm, hàm tựa lõm và hàm đơn điệu 1

1.2 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tích 7

1.2.1 Mô hình toán học 7

1.2.2 Dạng bài toán tương đương 7

1.3 Bài toán tối ưu trên tập Pareto 19

1.3.1 Giới thiệu bài toán 19

1.3.2 Bài toán tương đương với (OPY) 23

2 Thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tích 24 2.1 Cơ sở lý thuyết của thuật toán 26

2.2 Thuật toán 37

2.3 Ví dụ minh họa 44

3 Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập Pareto 513.1 Cơ sở lý thuyết của thuật toán 533.2 Thuật toán giải Bài toán (OPG) 633.3 Ví dụ minh họa 66Kết luận chung 72Tài liệu tham khảo 73

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.Nguyễn Thị Bạch Kim, người đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn để luậnvăn này được hoàn thành

Tác giả chân thành cảm ơn Khoa Toán Tin ứng dụng, Viện Đào tạo Sau Đạihọc, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong quá trình học tập và nghiên cứu Cảm ơn các thầy cô và đồng nghiệp

đã trao đổi cùng tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu để giúp choluận văn được hoàn thiện hơn

Bên cạnh đó, sự quan tâm của gia đình, bạn bè là nguồn động viên khôngthể thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn này Xin chân thành cảm ơn

Học viên: Trần Ngọc ThăngLớp : 10BTT-KH

Lời mở đầu

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộctích và Bài toán tối ưu trên tập Pareto Đây là hai bài toán tối ưu toàn cục cónhiều ứng dụng để giải quyết các bài toán nảy sinh từ thực tế Do nhu cầu ứngdụng, hai bài toán này đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt của nhiều tác giảtrong và ngoài nước Và cũng vì vậy, việc nghiên cứu xây dựng các thuật toánhiệu quả mới để giải các bài toán này luôn là một trong những vấn đề cần quantâm

Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tích được phát biểu như sau

f1, f2 là tuyến tính và X là đa diện (xem [5]) Và (P ) cũng là mô hình toánhọc của nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực khác nhau như: hình học tínhtoán, phân tích kinh tế vi mô, tối ưu danh mục đầu tư, thiết kế chip VLSI v.v Cho đến nay, đã có nhiều thuật toán theo các phương pháp khác nhau được đềxuất để giải bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tích, chẳng hạn xem [12], [13],[18], [22], và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo Chương 2 của luận án sẽgiới thiệu thuật toán [5] theo phương pháp xấp xỉ ngoài kết hợp với kỹ thuật rẽnhánh do H.P Benson đề xuất năm 2010 để giải bài toán này

Một lớp bài toán quan trọng khác của quy hoạch toán học là bài toán tối ưuđồng thời p≥ 2 hàm mục tiêu (có thể đối kháng nhau) trên một tập chấp nhậnđược X khác rỗng trong Rn Bài toán này được gọi là Bài toán quy hoạch đamục tiêu Do không gian giá trị (outcome space) của bài toán này không có thứ

tự đầy đủ, tức hai điểm bất kỳ không phải lúc nào cũng so sánh được với nhau,nên thay vì khái niệm nghiệm tối ưu thông thường, trong quy hoạch đa mục tiêungười ta sử dụng khái niệm nghiệm hữu hiệu Như đã biết, ngay trong trườnghợp tất cả các hàm mục tiêu đều là hàm tuyến tính và tập chấp nhận được là đadiện thì tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu đã

là tập không lồi và có cấu trúc rất phức tạp Vì vậy, việc xác định toàn bộ tậpnghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu đòi hỏi chi phí tính toánlớn và khối lượng tính toán tăng rất nhanh khi kích thước bài toán (tức số biến

n, số hàm mục tiêu p và số ràng buộc biểu diễn tập chấp nhận được) tăng.Năm 1972, lần đầu tiên Philip [16] đưa ra mô hình toán học của Bài toántối ưu trên tập Parero Đó là bài toán tối ưu một hàm thực trên tập nghiệm hữuhiệu của một bài toán quy hoạch đa mục tiêu Việc giải bài toán này cho phép

ta xác định được một nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một mục tiêu nào đó màkhông cần phải xác định toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu Nhiều tác giả đã đề xuấtcác thuật toán để giải bài toán này, chẳng hạn xem J Philip [16], H.P Benson

và D Lee [6], R Horst và N.V Thoai [7], N.V Thoai [19, 20, 21], L.D Muu [15],L.T.H An, P.D Tao và L.D Muu [3], N.T.B.Kim [10], N.T.B Kim và L.D Muu[11], Y Yamamoto [23]

Trong luận văn này, dựa trên cấu trúc đặc biệt của tập ảnh hữu hiệu come efficient set) của bài toán quy hoạch lồi hai mục tiêu và phương pháp xấp

(out-xỉ ngoài với kỹ thuật rẽ nhánh, chúng tôi đề xuất một thuật toán mới để giảibài toán cực đại một hàm đơn điệu trên tập nghiệm hữu hiệu của bài toán này

Sự hội tụ của thuật toán cùng ví dụ minh họa và kết quả tính toán cũng đượctrình bày đầy đủ Kết quả này đã được công bố tại ”http://www.optimization-online.org/DB_HTML/2011/10/3195.html” và gửi đăng tại tạp chí Pacific Jour-nal of Optimization với tiêu đề "Optimization over the Efficient Set of a Bicri-teria Convex Programming Problem"

Ngoài Lời cảm ơn, Lời mở đầu, Kết luận và Danh sách Tài liệu tham khảo,nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương Cụ thể:

Chương 1: "Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tích và Bài toántối ưu trên tập Pareto", dành để nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơbản cần dùng và giới thiệu hai bài toán được quan tâm nghiên cứu trong luận

án Việc đưa hai bài toán này về dạng tương đương và lược đồ giải chúng cũngđược giới thiệu ở đây với các chứng minh đầy đủ

Chương 2: "Thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi với ràng buộctích" giới thiệu thuật toán của H.P Benson giải bài toán này từ cơ sở lý thuyết,thuật toán chi tiết, các định lý hội tụ và ví dụ minh họa Đây là nội dung chínhcủa bài báo:

H.P Benson (2010), Simplicial Branch-and-Reduce Algorithm for Con- vexPrograms with a Multiplicative Constraint, Journal of Optimization Theory andApplication, 145, pp 213 - 233

Chương 3: "Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập Pareto" trìnhbày thuật toán do chúng tôi đề xuất để giải bài toán cực đại một hàm mục tiêu

có dạng ϕ(f (x)), trong đó ϕ là hàm đơn điệu tăng, trên tập nghiệm hữu hiệucủa bài toán quy hoạch lồi hai mục tiêu Vmin{f(x) = (f1(x), f2(x)) | x ∈ X}với X ⊂ Rn là tập compact khác rỗng và f1, f2 là hai hàm lồi nhận giá trị dươngtrên X

Chúng tôi đang tiếp tục nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán tối ưumột hàm điệu trên tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêutrong trường hợp có số hàm mục tiêu bất kỳ

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Toán Tin ứng dụng, Trường Đại họcBách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim.Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót Tácgiả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp để luận vănđược hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 02 tháng 11 năm 2011

Danh mục các kí hiệu, chữ viết

hx, yi tích vô hướng của x và y

[x, y] đoạn thẳng nối hai điểm x và y

convX bao lồi của tập X

intX phần trong tương đối của tập X

epi(f ) epigraph của hàm f

hypo(f ) hypograph của hàm f

AT ma trận chuyển vị của ma trận A

t.ư, viết tắt của cụm từ "tương ứng"

v.đ.k viết tắt của cụm từ "với điều kiện"

(CM OP ) kí hiệu của Bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêu

(LM OP ) kí hiệu của Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

(PX) kí hiệu của Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu

(OPY) kí hiệu của Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu trong không gian ảnh(OPG) kí hiệu của Bài toán tương đương với bài toán tối ưu trên tập hữu

hiệu trong không gian ảnh

Danh sách hình vẽ

1.1 Hypograph của hàm f (x) = logx 5

1.2 Tập mức trên và hypograph của hàm f (x) = tgx 6

1.3 Biểu diễn hình học của tập G 12

1.4 Biểu diễn hình học của tập G m với p = 2 16

1.5 Miền G mb 18

1.6 y 0 , y 2 ∈ Q E , y 1 6∈ Q E 20

2.1 Đơn hình T 0,1 27

2.2 Tập F k 29

2.3 Tập T k,γ 31

2.4 Lược đồ rẽ nhánh rút gọn 33

2.5 Xác định điểm vk,γMB 34

3.1 Hai điểm hữu hiệu đầu tiên ˆ y 1 , ˆ y 2 của G E 53

3.2 Tập S 55

3.3 Hai trường hợp của đường cong Γ 57

3.4 Lược đồ rẽ nhánh 59

3.5 Minh họa cho Mệnh đề 3.2 62

Chương 1

Bài toán quy hoạch lồi

với ràng buộc tích và Bài toán tối ưu trên tập

Pareto

Mục đích chính của chương này là giới thiệu vài nét cơ bản về bài toán quyhoạch lồi với ràng buộc tích (Mục 1.2) và bài toán tối ưu trên tập Pareto (Mục1.3) như mô hình toán học, tính chất của nghiệm tối ưu và dạng bài toán tươngđương Để tiện theo dõi, một số khái niệm và tính chất cơ bản của hàm lõm,hàm tựa lõm được nhắc lại ở Mục 1.1

điệu

Cho hàm f xác định trên tập lồi X ⊆ Rn Khi đó:

i) Hàm f được gọi là lõm trên X nếu

∀x1, x2 ∈ X : f[λx1+ (1− λx2)]≥ λf(x1) + (1− λ)f(x2), 0≤ λ ≤ 1;ii) Hàm f được gọi là lõm chặt trên X nếu

∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 : f [λx1+ (1− λx2)]> λf (x1) + (1− λ)f(x2), 0 < λ < 1;iii) Hàm f được gọi là tựa lõm trên X nếu

Nếu f là hàm lõm (tương ứng,1 lõm chặt, tựa lõm, tựa lõm chặt) thì hàm

g :=−f được gọi là hàm lồi (t.ư, lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt)

Hàm f được gọi là đơn điệu không giảm trên X nếu

Sau đây là điều kiện cần và đủ để nhận biết hàm lõm.

Điều này chứng tỏ Lα(f ) là tập lồi

(⇐=) Xét hai điểm bất kì x1, x2 ∈ X Chọn α = min{f(x1), f (x2)} Dễ thấy

x1, x2

∈ Lα(f )

Vì Lα(f ) là tập lồi với mỗi α nên ¯x = λx1+ (1− λ)x2 ∈ Lα(f ), với λ ∈ [0, 1],tức là

Chứng minh Lấy tùy ý x1, x2

∈ X Không mất tính tổng quát, giả sử x1

≤ x2

Vìf là hàm đơn điệu không giảm nên f (x1) ≤ f(x2) Do đó

min{f(x1), f (x2)} = f(x1) (1.1.1)

Vì x1 ≤ x2 và 0≤ λ ≤ 1 nên λx1 + (1− λ)x2 ≥ λx1+ (1− λ)x1 = x1 Vì X làtập lồi nênλx1+ (1− λ)x2

∈ X Hơn nữa, vì f là hàm đơn điệu không giảm nên

f (λx1+ (1− λ)x2) ≥ f(x1) (1.1.2)Kết hợp (1.1.1) và (1.1.2), ta có

f (λx1+ (1− λ)x2) ≥ min{f(x1), f (x2)}

Do đó f là hàm tựa lõm

Sau đây là một số ví dụ về hàm lõm, hàm tựa lõm và hàm đơn điệu tăng

Ví dụ 1.1 Xét hàm afin f (x) = hc, xi + α, x ∈ X = Rn, α ∈ R Như đã biết,hàm afin là hàm vừa lồi vừa lõm Đây là dạng hàm lõm đơn giản nhất

Ví dụ 1.2 Xét hàm một biến f (x) = log x, x ∈ X = 0, +∞⊂ R Vì graph của hàm này là tập lồi nên theo Mệnh đề 1.1, logx là hàm lõm Xem minh

Ví dụ 1.4 Xét hàm một biến f (x) = tgx, x∈ X = −π2 ,π

2



⊂ R Vì các tậpmức trên củatgx đều là tập lồi nên theo Mệnh đề 1.2, tgx là hàm tựa lõm Tuynhiên,tgx không phải là hàm lõm vì hypograph của hàm này không phải là tậplồi (theo dấu hiệu nhận biết hàm lõm ở Mệnh đề 1.1) Xem Hình 1.2

i=1xi là hàm tựa lõm Tuy nhiên,

f (x) không phải là hàm lõm vì hypograph của hàm này không phải là tập lồi(theo dấu hiệu nhận biết hàm lõm ở Mệnh đề 1.1) Hình ?? minh họa dáng điệucủa hàm này trong trường hợp n = 2

1.2 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc

Bài toán (P ) là bài toán quy hoạch toàn cục Hơn nữa, Bài toán (P ) là bàitoán NP-khó thậm chí khi p = 2, fi, i = 1, 2 là các hàm tuyến tính và X là đadiện (xem [5])

Bài toán (P ) có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực công nghệ, tài chính,thiết kế chip VLSI Trong những năm gần đây, bài toán này đã được quan tâmnghiên cứu nhiều kể cả mặt lý thuyết lẫn ứng dụng Nhiều thuật toán đã được

đề xuất để giải bài toán này, chẳng hạn [12], [13], [18], [22] và danh mục tài liệutham khảo kèm theo

Kí hiệu D là tập chấp nhận được của Bài toán (P ), tức là

Như vậy, với mỗi x∈ D đều thỏa

Kết hợp Giả thiết 1.1 và biểu thức (1.2.5) ta có

0< mi ≤ fi(x), ∀x ∈ X

Dễ thấy bất đẳng thức (1.2.2) có dạng đẳng thức khimi = fi(x) với i = 1, 2, , p

Trong trường hợp này, việc giải Bài toán (P ) quy được về việc giải một bàitoán quy hoạch lồi

min f0(x),v.đ.kfi(x)≤ mi i = 1, 2, , p,

(i) Điểm x∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (P ) khi và chỉ khi tồntại một điểm y∗ thỏa mãn (x∗, y∗) là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán(S).

(ii) Bài toán (P ) không chấp nhận được khi và chỉ khi Bài toán (S) cũng khôngchấp nhận được

Chứng minh (i) Vì Bài toán (P ) và Bài toán (S) có cùng hàm mục tiêu f0(x)không phụ thuộc vào y nên ta chỉ cần chứng minh rằng một điểm x là nghiệmchấp nhận được của Bài toán (P ) khi và chỉ khi tồn tại một điểm y sao cho (x, y)

là nghiệm chấp nhận được của Bài toán (S)

Thật vậy, giả sử điểm x là một phương án chấp nhận được của Bài toán (P ),tức là x∈ X và Qp

i=1fi(x) ≤ 1 Hơn nữa do (1.2.3), điểm (x, y) với y = f(x) =(f1(x), f2(x), , fp(x)) chính là phương án chấp nhận được của Bài toán (S).Ngược lại, giả sử rằng (x, y) là một phương án chấp nhận được của Bài toán(S) Khi đó ta có Qp

Ngược lại, Bài toán (S) không chấp nhận được thì Bài toán (P ) cũng khôngchấp nhận được Thật vậy, giả sử phản chứng, Bài toán (P ) chấp nhận được tức

là tồn tại điểm x là nghiệm chấp nhận được của Bài toán (P ) Khi đó theo ýchứng minh trên thì tồn tại điểm y sao cho (x, y) là nghiệm chấp nhận được củaBài toán (S) Điều này mâu thuẫn với giả thiết Bài toán (S) không chấp nhậnđược và suy ra điều phải chứng minh

Nhận thấy rằng, trong phát biểu Bài toán (S), ngoại trừ ràng buộcQp

i=1yi ≤

1 (ràng buộc (1.2.6)), ta có hàm mục tiêu là hàm lồi và các ràng buộc còn lạicũng là các ràng buộc lồi Do đó, thay vì giải bài toán tối ưu không lồi (S) trênkhông gian Rn+p, người ta tách Bài toán (S) thành hai Bài toán (P (y)) và (M P ),trong đó Bài toán (P (y)) là một quy hoạch lồi trong không gian Rn và Bài toán(M P ) là một quy hoạch không lồi trên không gian Rp.

Với mỗi y ∈ Rp, bài toán quy hoạch lồi (P (y)) được phát biểu như sau

min f0(x), (P (y))v.đ.k x∈ M(y),

trong đó

M (y) = {x ∈ X | fi(x) ≤ yi, i = 1, 2, , p}

Giá trị tối ưu của bài toán này được ký hiệu là g(y)

Dễ thấy rằng với mỗi y ∈ Rp tập chấp nhận được M (y) là tập lồi compact.Thật vậy, với mỗi i = 1, 2, , p, do fi(x) là hàm lồi nên tập mức dưới Li = {x |

fi(x)≤ yi} là tập lồi Kết hợp sự kiện này với tính lồi compact của tập X suy ra

M (y) là tập lồi compact Do đó, nếu M (y) khác rỗng thì Bài toán (P (y)) luôn

có nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu g(y) là hữu hạn Trường hợp M (y) = ∅, tức

là Bài toán (P (y)) không chấp nhận được, như thường lệ, người ta định nghĩag(y) = +∞

Cho y thay đổi, ta có hàm số

Hình 1.3: Biểu diễn hình học của tập G

Nói cách khác tập G là tập xác định mà trên đó hàm g nhận giá trị hữu hạn.Đặt

Y = {y ∈ Rp | y = f(x), x ∈ X},trong đó f (x) = (f1(x), f2(x), , fp(x))T , và gọi Y được gọi là tập ảnh của Xqua ánh xạ f

Theo định nghĩa, tập G có thể được biểu diễn tường minh dưới dạng

G = {y ∈ Rp

| ∃x ∈ X : f(x) ≤ y} hay G = Y + Rp+.Minh họa hình học của tập G trong trường hợp p = 2 được mô tả ở Hình 1.3.Sau đây là một số tính chất hữu ích của hàm giá trị tối ưu g(y) và tập G.Mệnh đề 1.5

(i) Tập G là tập lồi đóng và có thứ nguyên đầy đủ

(ii) Hàm g là lồi, không tăng và xác định hữu hạn trên G

Chứng minh i) Từ định nghĩa, dễ thấy G có thứ nguyên đầy đủ Xét một dãy{yj

} ⊂ G có limj→∞yj = y0 Với mỗi j, ta chọn một điểm xj

Lấy tùy ý y1, y2

∈ G và 0 ≤ λ ≤ 1 Theo định nghĩa tồn tại x1, x2

∈ X thỏamãn f (x1) ≤ y1, f (x2) ≤ y2 Do đó

λf (x1) + (1− λ)f(x2) ≤ λy1 + (1− λ)y2 (1.2.9)

Vì hàm f lồi nên

f (λx1+ (1− λ)x2) ≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2) (1.2.10)

Kết hợp (1.2.9) và (1.2.10), ta cóf (λx1+ (1− λ)x2) ≤ λy1+ (1− λ)y2 Hơn nữa,

λx1 + (1− λ)x2 ∈ X vì X là tập lồi Do đó, λy1 + (1− λ)y2 ∈ G Từ đó suy ra

Khi đó, xét hai điểm tùy ý x1 ∈ M(y1), x2 ∈ M(y2), tức là x1, x2 ∈ X và

f (x1)≤ y1,

f (x2)≤ y2.Hơn nữa, vì hàmf lồi trên X nên

f (λx1+µx2) ≤ λf(x1) +µf (x2) ≤ λy1+µy2

Do đó λx1+µx2 ∈ M(λy1+µy2)

Theo định nghĩa của hàm g, ta có

g(λy1+µy2) = min

g(λy1+µy2)≤ λf0(x1) +µf0(x2)

Vìx1

∈ M(y1), x2

∈ M(y2) tùy ý nên

g(λy1+µy2) ≤ λ min

x 1 ∈M (y 1 )f0(x1) +µ min

x 2 ∈M (y 2 )f0(x2) =λg(y1) +µg(y2)

Vì vậy,g là hàm lồi trên G

Bây giờ xét hai điểm y1, y2 ∈ G, y1 ≤ y2 Vì f (x) ≤ y1 ≤ y2 nên M (y1) ⊂

M (y2) Do đó, minx∈M (y1 )f0(x) ≥ minx∈M (y 2 )f0(x) hay g(y1) ≥ g(y2) Vậy g làhàm không tăng.

Theo Mệnh đề 1.5, hàmg là một hàm liên tục trên phần trong tương đối của

G Không may là tính chất này không thể mở rộng trên biên của G Tuy nhiên,theo [5], ta vẫn có tính chất nửa liên tục của hàmg như trong mệnh đề dưới đây.Mệnh đề 1.6 Hàm g là hàm nửa liên tục dưới trên Rp

Bây giờ, ta sẽ phát biểu Bài toán (M P )

min g(y), (MP)v.đ.k y ∈ Gm,

Ký hiệu vm là giá trị tối ưu của Bài toán (M P ) Trường hợp Gm =∅, ta đặt

vm = +∞ Dễ thấy, Gm là tập compact và không lồi Theo Mệnh đề 1.6, hàm g

là nửa liên tục dưới trên Rp Vì vậy, Bài toán (M P ) luôn có nghiệm tối ưu (xemĐịnh lý 2.1 trong [1])

Mối quan hệ giữa các bài toán (P ), (P (y)) và (M P ) được mô tả bởi mệnh

đề sau

Mệnh đề 1.7

(i) Điểm x∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (P ) khi và chỉ khi tồn tạimột điểm y∗ là nghiệm tối ưu của Bài toán (M P ) và x∗ là nghiệm tối ưucủa Bài toán (P (y∗))

Hình 1.4: Biểu diễn hình học của tập G m với p = 2

(ii) Bài toán (P ) là không chấp nhận được khi và chỉ khi Bài toán (M P ) khôngchấp nhận được

Chứng minh (i) Giả sử điểm x∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (P ).Khi đó, theo Mệnh đề 1.4, tồn tại một điểm y∗ sao cho (x∗, y∗) là nghiệm tối ưutoàn cục của Bài toán (S) Do đó, f0(x∗) ≤ f0(x) với mọi x thỏa mãn các bấtphương trình sau

Từ (1.2.13) và (1.2.14), suy rax∈ M(y∗) Biểu thức (1.2.15) và (1.2.16) chứng tỏ

y ∈ Gm Từ đó ta có f0(x∗) ≤ f0(x) với mọi x∈ M(y∗) tức x∗ ∈ Argmin(P (y∗)).Theo định nghĩa, giá trị tối ưu của Bài toán (P (y∗)) là g(y∗) =f0(x∗)

Mặt khác, vì (x∗, y∗) là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (S) nên f0(x∗)≤

minx∈M (y)f0(x) = g(y) với mọi y ∈ Gm Do đó g(y∗) ≤ g(y) với mọi y ∈ Gm

hayy∗ là nghiệm tối ưu của Bài toán (M P )

(ii) Theo Mệnh đề 1.4, Bài toán (P ) không chấp nhận được khi và chỉ khiBài toán (S) không chấp nhận được Do đó, ta chỉ cần chứng minh Bài toán (S)không chấp nhận được khi và chỉ khi Bài toán (M P ) không chấp nhận được.Thật vậy, giả sử Bài toán (S) không chấp nhận được, khi đó không tồn tại(x, y) thỏa mãn x∈ M(y) và y ∈ Gm Vì không tồn tại y sao cho y ∈ Gm nên Bàitoán (M P ) không chấp nhận được Ngược lại, giả sử (M P ) không chấp nhậnđược tức là không tồn tại y ∈ Gm Khi đó, không tồn tại cặp (x, y) sao cho

x∈ M(y) và y ∈ Gm, tức Bài toán (S) không chấp nhận được

Theo Mệnh đề 1.7, việc giải Bài toán (P ) được tiến hành theo hai pha:Pha 1: Giải bài toán tối ưu không lồi (M P ) trên không gian Rp được nghiệm tối

Xem minh họa tập Gmb trong trường hợp p = 2 ở Hình 1.5

Kết quả sau đây cho ta tính chất đặc sắc về nghiệm tối ưu của Bài toán(M P )

Mệnh đề 1.8 Nếu Bài toán (M P ) có nghiệm tối ưu toàn cục thì nó có mộtnghiệm tối ưu toàn cục nằm trên Gmb

i=1yˆi ≤ 1 Vì vậy, giao điểm y∗của tia xuất phát từ gốc O đi qua ˆy

và Gmb có dạng y∗ =λ∗y, trong đó λˆ ∗ là nghiệm tối ưu của bài toán

max λ, (T )v.đ.kλˆy ∈ Gm,

Vì ˆy là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (M P ) và y∗ ∈ Gm nên g(y∗)≥g(ˆy) Vì vậy g(y∗) =g(ˆy) hay y∗ ∈ Gmb là nghiệm tối ưu của Bài toán (M P ).Theo Mệnh đề 1.8, trong Pha 1 của lược đồ giải Bài toán (P ) thay vì Bàitoán (M P ), người ta giải bài toán

min{g(y) | y ∈ Gmb

} (MPB)

Chương 2 của luận văn sẽ giới thiệu chi tiết thuật toán nhánh cắt giải Bài toán(M P B) này

1.3 Bài toán tối ưu trên tập Pareto

Cho a, b∈ Rp Ta viết a≥ b nếu a − b ∈ Rp+, tức

ai ≥ bi ∀i = 1, 2, , p,trong đó Rp+ ={y = (y1, y2, , yp) | yi ≥ 0, i = 1, 2, , p}

Định nghĩa 1.1 Cho tập Q ⊂ Rp và điểm y0 ∈ Q Điểm y0 được gọi là điểmhữu hiệu của tập Q nếu

6 ∃y ∈ Q sao cho y0

Ký hiệu QE là tập tất cả các điểm hữu hiệu của tập Q

Khái niệm điểm hữu hiệu là khái niệm nền tảng của quy hoạch đa mục tiêuhay còn gọi là tối ưu vectơ Nhờ đó, người ta định nghĩa được thế nào là một

"phương án tối ưu" của bài toán quy hoạch đa mục tiêu

f (x) = (f1(x), f2(x), , fp(x))T ,

p≥ 2, X ⊂ Rn là tập lồi đóng khác rỗng, với mỗi j ∈ {1, 2, , p}, fj : Rn → R

là hàm lồi trên Rn Trường hợp đặc biệt, khi fj, j = 1, 2, , p, là các hàm tuyếntính và X là tập lồi đa diện khác rỗng thì Bài toán (CM OP ) được gọi là Bàitoán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LM OP )

Tương ứng với Bài toán (CM OP ), tập ảnh

Y = f (X) ={f(x) | x ∈ X},được gọi là tập giá trị (outcome set) của bài toán này

Định nghĩa 1.2 Điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu của Bài toán(CM OP ) nếu f (x0) là một điểm hữu hiệu của tập giá trị Y , tức f (x0) ∈ YE,

Tập YE được gọi là tập giá trị hữu hiệu của Bài toán (CM OP ).

Như đã biết, các tập XE, YE nói chung là các tập không lồi và có cấu trúcphức tạp, thậm chí ngay cả trong trường hợp của bài toán tối ưu tuyến tính đamục tiêu (LM OP ) và với p = 2 Vì vậy, Bài toán (CM OP ) thuộc lớp bài toánkhó Đây là lý do làm cho các thuật toán xác định toàn bộ hoặc một phần củatập nghiệm hữu hiệu XE hoặc tập giá trị hữu hiệu YE đòi hỏi chi phí tính toáncao

Năm 1972, lần đầu tiên Philip [16] đưa ra mô hình toán học cho bài toán tối

ưu trên tập Pareto Đó là bài toán tối ưu một hàm thực trên tập nghiệm hữuhiệu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu Việc giải bài toán này giúp người raquyết định chọn được một phương án hữu hiệu của bài toán quy hoạch đa mụctiêu sao cho phương án này là tốt nhất theo một mục tiêu nào đó mà không cầnphải xác định toàn bộ tập hữu hiệu XE Do đó, đây là một bài toán có nhiềuứng dụng trong lý thuyết ra quyết định Khó khăn chính của bài toán này nằm

ở cấu trúc phức tạp của tập chấp nhận được, nói chung là không lồi và không

ở dạng hiển Tuy nhiên, do nhu cầu ứng dụng, bài toán tối ưu trên tập Pareto

đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều tác giả, chẳng hạn xem J.Philip [16], H.P Benson và D Lee [6], R Horst và N.V Thoai [7], N.V Thoai[19, 20, 21], L.D Muu [15], L.T.H An, P.D Tao và L.D Muu [3], N.T.B.Kim[10], N.T.B Kim và L.D Muu [11], Y Yamamoto [23]

Luận văn này nghiên cứu bài toán tối ưu trên tập Pareto

max h(x) v.đ.k x∈ XE, (PX)

trong đó XE là tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi hai mục tiêu, tức là Bàitoán (CM OP ) có p = 2, với giả thiết các hàm fj, j = 1, 2, có giá trị hữu hạn vànhận giá trị dương trên tập lồi compact X và h(x) = ϕ(f (x)) với ϕ : R2

+ → R làhàm đơn điệu tăng

Do YE =f (XE) nên Bài toán (PX) có thể đưa được về dạng

max ϕ(y) (OPY)v.đ.k.y ∈ YE

Mối liên hệ giữa hai Bài toán (PX) và (OPY) được chỉ ra trong mệnh đề dướiđây

Mệnh đề 1.9 Điểm x∗ là nghiệm tối ưu của Bài toán (PX) khi và chỉ khi tồntại điểm y∗ với y∗ ≥ f(x∗) là nghiệm tối ưu của (OPY)

Theo Mệnh đề 1.9, việc giải bài toán tối ưu trên tập Pareto (PX) cũng sẽđược tiến hành theo hai pha:

Pha 1: Giải Bài toán (OPY) tìm nghiệm tối ưu y∗;

Pha 2: Xác định điểm x∗ ∈ X thỏa mãn f(x∗) ≤ y∗ Khi đó, x∗ là nghiệm tối ưu

của Bài toán (PX)

Như đã biết, nếuf1, f2 là các hàm tuyến tính thì tập ảnhY là tập lồi Trườnghợp tổng quát, nếuf1, f2 là hàm lồi thì tính lồi của tập Y không được đảm bảo

Ở đây, thay vì giải bài toán (OPY) chúng tôi giải một bài toán tương đương với

nó mà bài toán mới này có tập chấp nhận được là tập điểm hữu hiệu của mộttập lồi trong Rp Mục tiếp theo sẽ mô tả bài toán tương đương này

1.3.2 Bài toán tương đương với ( OPY)

Xét tập

G = Y + Rp+.Theo Mệnh đề 1.5(i) ta đã biếtG là tập lồi đóng và có thứ nguyên đầy đủ Tậpđiểm hữu hiệu của G có tính chất hữu ích sau

Mệnh đề 1.10 Tập điểm hữu hiệu của G trùng với tập điểm hữu hiệu của tậpgiá trị Y của Bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêu (CM OP ), tức

GE =YE

Theo Mệnh đề 1.10, Bài toán (OPY) tương đương với bài toán

max ϕ(y) (OPG)v.đ.k.y ∈ GE

Dựa trên cấu trúc của tập hữu hiệu GE của tập lồi G trong không gian R2

+,chúng tôi đề xuất thuật toán xấp xỉ ngoài trên không gian ảnh R2 để giải Bàitoán (OPG) Thuật toán này sẽ được trình bày trong Chương 3

Kết luận: Chương này đã trình bày một số nét cơ bản về hai bài toán tối

ưu toàn cục là bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tích và bài toán tối ưu trêntập Pareto Chương 2 và Chương 3 sẽ lần lượt trình bày thuật toán giải các bàitoán này

trong đó X ⊂ Rn là tập lồi compact khác rỗng, với mỗi i ∈ {0, 1, , p}, hàm

fi : Rn → R, là các hàm lồi, với điều kiện Giả thiết 1.1 và Giả thiết 1.2 đượcthỏa mãn, tức là với mỗi i ∈ {1, 2, , p} hàm fi nhận giá trị dương trên X và

p

Y

i=1

mi < 1,

trong đó mi = min{fi(x), x∈ X} > 0 với mọi i = 1, 2, , p

Như đã phân tích ở Mục 1.2, Chương 1, việc giải Bài toán (P ) được tiếnhành theo hai pha:

Pha 1: Tìm nghiệm tối ưu y∗ của bài toán quy hoạch không lồi

min{g(y) | y ∈ Gmb}, (M P B)trong đó

Pha 2: Tìm nghiệm tối ưu x∗ của bài toán quy hoạch lồi (P (y∗))

min f0(x), (P (y∗))v.đ.k fi(x) ≤ y∗i i = 1, 2, , p,

lý hội tụ được trình bày ở Mục 2.2 Điều thú vị ở thuật toán này là khi thuậttoán kết thúc, ta nhận được đồng thời cả nghiệmy∗ của Bài toán (M P B) và x∗

của Bài toán (P ), tức là không phải tiến hành Pha 2 Cuối cùng, Mục 2.3 là mộtvài ví dụ số được giải bằng việc áp dụng thuật toán này

2.1 Cơ sở lý thuyết của thuật toán

T0,1 =conv{vi0,1 | i = 0, 1, , p},trong đómi, i = 1, , p, được xác định bởi (1.2.1) và conv{vi0,1 | i = 0, 1, , p}

là ký hiệu bao lồi của p + 1 điểm v00,1, v10,1, , v0,1

(ii) Đơn hình T0,1 chứa tập Gmb

Chứng minh (i) Với mỗi i = 1, 2, , p,

vi0,1− v00,1 =0, 0, , 0, mi

K0,1 − mi, 0, , 0, (2.1.2)

(ii) Giả sử y ∈ Gmb Theo định nghĩa của Gmb (xem (1.2.17)),

(ii) Đơn hình T0,1 là tập nghiệm của hệ bất phương trình

Xuất phát từS0 và F0 thuật toán là một quá trình lặp sinh ra một dãy các {Sk}

và {Fk

}, trong đó tập Sk có các phần tử là các p-đơn hình và Fk := ∪T ∈S kTthỏa mãn

Tại mỗi bước lặp k điển hình, thuật toán tiến hành các bước sau:

♦ Xây dựng tập Sk chứa các p-đơn hình T và Fk := ∪T ∈S kT chứa tập Gmb;

♦ Xác định nghiệm tối ưu y∗ của bài toán

min g(y) v.đ.k y ∈ Fk; (M P (Fk))

♦ Nếu y∗ ∈ Gmb thì thuật toán dừng;

♦ Ngược lại, từ Sk, xây dựng tập Sk+1 và tập Fk+1 thỏa mãn (2.1.3).Như vậy, trong thuật toán này ta phải thực hiện ba việc chính

(i) Tìm nghiệm tối ưu của Bài toán (M P (Fk));

(ii) Kiểm tra điều kiện y∗ ∈ Gmb;

(iii) Xây dựng tập Sk+1 và tập Fk+1 thỏa mãn (2.1.3)

Trước hết ta mô tả tập Sk và tập Fk tại Bước lặp k > 0 Giả sử, tập

Kk,γ, Mi+1k,γ, , Mpk,γ), i = 1, 2, , p, (2.1.5)trong đó Mik,γ, i = 1, 2, , p là các tọa độ thành phần của v0k,γ được xác địnhtrong quá trình xây dựng tập Sk và tập Fk,