Một số thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập pareto

Đó là bài toán tối ưu một hàm thực f x trên tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu.. Trình bày mô hình toán học của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-NGUYỄN THÙY LINH

MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẢM BẢO TOÁN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TOÁN

Hà Nội – Năm 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-NGUYỄN THÙY LINH

MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẢM BẢO TOÁN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TOÁN

Hà Nội – Năm 2011

Mục lục

1 Bài toán tối ưu trên tập Pareto 8

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 9

1.1.1 Một số ví dụ 9

1.1.2 Phát biểu bài toán 10

1.1.3 Điều kiện hữu hiệu 11

1.1.4 Điều kiện tồn tại nghiệm 17

1.1.5 Cấu trúc tập nghiệm 23

1.2 Bài toán tối ưu trên tập Pareto 24

2 Bốn trường hợp đặc biệt của bài toán tối ưu trên tập Pareto 27 2.1 Cơ sở lý thuyết 29

2.2 Thuật toán 41

2.2.1 Trường hợp 1 42

2.2.2 Trường hợp 2 43

2.2.3 Trường hợp 3 45

2.2.4 Trường hợp 4 48

3 Giải bài toán tối ưu trên tập Pareto bằng phương pháp quy hoạch lồi lõm 50 3.1 Dạng tương đương của bài toán (P ) 51

3.2 Dạng rút gọn của bài toán (3.1) 57

3.3 Phương pháp nhánh cận giải bài toán 62

3.3.1 Thuật toán xấp xỉ ngoài xây dựng tập đa diện ban đầu 63

3.3.2 Thuật toán nhánh cận giải bài toán (3.5) 66

hx, yi tích vô hướng của x và y

[v1, v2] đoạn thẳng nối hai điểm v1 và v2

affA bao afin của tập A

cone{c1, · · · , ck} nón sinh bởi các véc tơ c1, · · · , ck

convA bao lồi của tập A

dimA thứ nguyên (hoặc số chiều) của tập A

domg miền xác định hữu hiệu của g

epig epigraph của hàm g

intA phần trong của tập A

kerC hạt nhân của C

rankC hạng của ma trận C

riA phần trong tương đối của tập A

rec(K) nón lùi xa của tập K

span{c1, · · · , ck} không gian tuyến tính sinh bởi các véc tơ c1, · · · , ck

∇f (x) véc tơ gradient của hàm f tại điểm x

Mở đầu

Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu là bài toán tối ưu đồng thời

p ≥ 2 hàm mục tiêu tuyến tính hci, xi, trong đó ci ∈ Rn, i = 1, · · · , p,độc lập với nhau trên một tập lồi đa diện khác rỗng X ⊂ Rn Đây làbài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong thực tế, đặc biệt trong

lý thuyết quyết định, kinh tế, tài chính, quản lý, công nghiệp, · · · Cho đến nay, rất nhiều tác giả đã đề xuất các thuật toán để xác địnhtoàn bộ hoặc một phần tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán quy hoạchtuyến tính đa mục tiêu, chẳng hạn xem [2], [4], [5], [9] và danh mục tàiliệu tham khảo kèm theo

Một bài toán quan trọng có liên quan chặt chẽ với bài toán quy hoạchtuyến tính đa mục tiêu là bài toán tối ưu trên tập Pareto, ký hiệu là (P )

Đó là bài toán tối ưu một hàm thực f (x) trên tập nghiệm hữu hiệu XE

của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Việc giải bài toán nàygiúp ta chọn được nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một tiêu chuẩn nào

đó mà không nhất thiết đòi hỏi phải xác định toàn bộ tập XE Bài toánnày được Philip đưa ra năm 1972 Đây là bài toán khó và thuộc lớp bàitoán tối ưu toàn cục, tức là nghiệm tối ưu địa phương chưa chắc đã lànghiệm tối ưu toàn cục Tuy nhiên, do nhu cầu ứng dụng, bài toán (P )

đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều tác giả Nhiều thuật

toán theo các tiếp cận khác nhau đã được đề xuất để giải bài toán tối ưutrên tập Pareto (P ), chẳng hạn xem [3], [6], [7], [10], [12], [13] và danhmục tài liệu tham khảo kèm theo.

Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số thuật toán để giảibài toán tối ưu trên tập Pareto Ngoài phần Mở đầu, Lời cảm ơn, Kếtluận và danh sách Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn đượctrình bày trong ba chương

• Chương 1 - "Bài toán tối ưu trên tập Pareto" Trình bày

mô hình toán học của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu(VP), một vài ví dụ thực tế, một số khái niệm và kết quả cơ bảnnhư điểm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu và cấutrúc tập nghiệm của bài toán Tiếp đó, giới thiệu mô hình toánhọc của bài toán tối ưu trên tập Pareto

• Chương 2 - "Bốn trường hợp đặc biệt của bài toán tối ưutrên tập Pareto" Chương này dành để trình bày cơ sở lý thuyết

và các thuật toán giải bốn trường hợp đặc biệt của bài toán tối ưutrên tập Pareto với hàm mục tiêu tuyến tính do H P Benson và

S Sayin [6] đề xuất

• Chương 3 - "Giải bài toán tối ưu trên tập Pareto bằngphương pháp quy hoạch lồi lõm" Trình bày dạng tương đương,dạng rút gọn của bài toán tối ưu trên tập Pareto và thuật toánnhánh cận [12] để giải bài toán này với hàm mục tiêu là hàm lõm

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình,nghiêm khắc của PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim Tôi xin bày tỏ lòngkính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới cô

Đồng thời, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trongKhoa Toán Tin ứng dụng, Viện Đào tạo sau đại học - Trường Đại họcBách Khoa Hà Nội và Khoa Công Nghệ Tin Học - Viện Đại học Mở

Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ và gia đình đãtạo điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ để tôi có thể hoàn thànhtốt được luận văn này

Hà Nội, tháng 3 năm 2011

Học viênNguyễn Thùy Linh

Chương 1

Bài toán tối ưu trên tập Pareto

Mục đích chính của chương này là giới thiệu mô hình toán học và một

số tính chất cơ bản của bài toán tối ưu trên tập Pareto (Mục 1.2) Trướchết, Mục 1.1 sẽ trình bày mô hình toán học của bài toán quy hoạchtuyến tính đa mục tiêu (V P ), một vài ví dụ thực tế và một số khái niệm

cơ bản của lớp bài toán này như nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu

và cấu trúc tập nghiệm của bài toán Nội dung chính của chương đượctham khảo chủ yếu ở [1], [2], [9], [11] và [12]

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục

xe sao cho giá cả rẻ nhất và công suất động cơ cao nhất

Bảng 1.1

Đây là bài toán tối ưu đồng thời hai mục tiêu Bài toán này phức tạpnên nhân viên của cửa hàng khó có thể tư vấn được cho khách hàng mộtcách dễ dàng

Ví dụ 1.2 Một nhà máy thủy điện cần thiết kế xây dựng một đập nước.Quyết định xây dựng đập nước phụ thuộc vào chi phí nhân công xâydựng, bán kính trung bình của hồ và tuân theo một số ràng buộc nhưkhả năng chịu lực tối thiểu của đập nước sao cho tối đa hóa khả năng

lưu trữ, đồng thời giảm thiểu sự mất nước do bay hơi và chi phí xâydựng Trong ví dụ này, tập chấp nhận được là tập các đập nước có thểđược thiết lập và các hàm mục tiêu gồm các biến quyết định được cựcđại hoặc cực tiểu hóa Các hàm mục tiêu có sự đối kháng nhau: cực tiểucủa hàm mục tiêu này thì lại không là tối ưu đối với hàm mục tiêu khác.

1.1.2 Phát biểu bài toán

Thông thường, trong Rp với p ≥ 2, người ta sử dụng thứ tự sau:

Rn, j = 1, · · · , p; X ⊂ Rn là tập lồi đa diện khác rỗng

Theo định nghĩa, tập lồi đa diện X ⊂ Rn là giao của một số hữu hạn cácnửa không gian đóng Nói cách khác, tập lồi đa diện X là tập nghiệmcủa một hệ hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính Tập lồi đa diện bịchặn được gọi là đa diện

Một điểm x0 ∈ X được gọi là một nghiệm hữu hiệu của bài toán (V P )nếu

@x ∈ X : Cx ≥ Cx0 và Cx 6= Cx0

Nghiệm hữu hiệu còn được gọi là nghiệm tối ưu Pareto Ký hiệu XE làtập tất cả các nghiệm hữu hiệu của bài toán (V P ).

1.1.3 Điều kiện hữu hiệu

Ký hiệu Rp+ = {λ = (λ1, · · · , λp) ∈ Rp|λj ≥ 0, j = 1, · · · , p}

Định lý sau đây cho phép ta tìm được một nghiệm hữu hiệu của bàitoán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ) thông qua việc giải mộtquy hoạch tuyến tính thông thường

Định lý 1.1 (Định lý vô hướng hóa) Điểm x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệucủa bài toán (V P ) khi và chỉ khi tồn tại một véc tơ λ ∈ intRp+ (tức là

λ  0) sao cho x0 là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính

vô hướng sau

max{hλ, Cxi, x ∈ X}

Cho A ⊂ Rn Ký hiệu riA là tập các điểm trong tương đối của A, tức

riA = {x0 ∈ A|∃B(a0, ε) ∩ affA ⊂ A},trong đó B(a0, ε) là hình tròn mở tâm a0, bán kính ε > 0 và affA là baoafin của tập A

Cho tập lồi khác rỗng A ⊂ Rn Nhắc lại rằng, một tập con lồi khác rỗng

F ⊆ A được gọi là một diện của A nếu bất cứ đoạn thẳng nào nằmtrong A và có một điểm trong tương đối x ∈ F đều nằm trọn trong F ,nghĩa là

x ∈ F, x = λy + (1 − λ)z, 0 < λ < 1, y, z ∈ A ⇒ y ∈ F, z ∈ F

Hệ quả 1.1 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ) Chotập F là một diện của tập lồi đa diện X Nếu một điểm x0 ∈ riF và x0

là nghiệm hữu hiệu (tức là x0 ∈ XE) thì F ⊂ XE

Một diện F là một diện hữu hiệu (efficient face) nếu tất cả các phần tửcủa F đều là nghiệm hữu hiệu của bài toán (V P )

Như thường lệ, K được gọi là nón sinh bởi {c1, · · · , cp}

Cho tập lồi khác rỗng M ⊂ Rn Nón pháp tuyến của M tại x0 ∈ M , kýhiệu là NM(x0), được định nghĩa bởi

NM(x0) := {v ∈ Rn|hv, x − x0i ≤ 0, ∀x ∈ M }

Sau đây là điều kiện để một điểm x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bàitoán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ) được phát biểu theo ngônngữ nón pháp tuyến

Mệnh đề 1.1 Một điểm x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (V P )khi và chỉ khi

NX(x0) ∩ riK 6= ∅,trong đó NX(x0) là nón pháp tuyến của tập lồi đa diện X tại điểm x0

và K = cone{c1, · · · , cp}

Chứng minh Theo Định lý 1.1, x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toánquy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (VP) khi và chỉ khi tồn tại một véc

Ngược lại, nếu NX(x0) ∩ riK 6= ∅, tức là tồn tại một véc tơ v ∈ NX(x0)

và v = CTλ với λ  0 Suy ra hv, x − x0i ≤ 0 với mọi x ∈ X Nói cáchkhác, x0 ∈ argmax{hλ, Cxi, x ∈ X} Theo Định lý 1.1, x0 là nghiệmhữu hiệu của bài toán (VP) Sau đây là công thức tính nón pháp tuyến NX(x0), với x0 ∈ X, trongtrường hợp tập lồi đa diện X là tập nghiệm của hệ bất đẳng thức tuyếntính

hai, xi ≥ bi, i = 1, · · · , m, (1.1)trong đó ai ∈ Rn, bi ∈ R, i = 1, · · · , m

Mệnh đề 1.2 Giả sử tập lồi đa diện X được xác định bởi hệ (1.1) và

x0 ∈ X Khi đó

NX(x0) = cone{−ai|i ∈ I(x0)},trong đó I(x0) := {i ∈ {1, · · · , m}|hai, x0i = bi}

Trong thực tế tính toán, người ta sử dụng dạng tương đương sau củaMệnh đề 1.1

Mệnh đề 1.3 Một điểm x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán quyhoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ), trong đó X được xác định bởi hệ(1.1), khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

số điểm của tập chấp nhận được được minh họa ở Hình 1.1

Từ Hình 1.1, ta thấy

NX(v1) ∩ riK 6= ∅ ⇒ v1 ∈ XE,

NX(v2) ∩ riK = ∅ ⇒ v2 ∈ X/ E

nón K = cone{c1, c2}, tập chấp nhận được và nón pháp tuyến tại một

số điểm của tập chấp nhận được được minh họa ở Hình 1.2

Định lý 1.2 Cho x0 ∈ X Khi đó, x0 ∈ XE khi và chỉ khi với x = x0,quy hoạch tuyến tính (LPx) sau

maxhe, si, (LPx)với điều kiện

Cz − s = Cx,

z ∈ X,

s ≥ 0,

có một giá trị tối ưu vx = 0, trong đó e = (1, · · · , 1) ∈ Rp

1.1.4 Điều kiện tồn tại nghiệm

Như là một hệ quả trực tiếp của Định lý 1.1, dễ thấy rằng nếu tập chấpnhận được X ⊂ Rn của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P )

là đa diện, tức là tập lồi đa diện X bị chặn, thì bài toán (V P ) luôn cónghiệm hữu hiệu Cụ thể

Mệnh đề 1.4 Nếu X ⊂ Rn là đa diện thì tập nghiệm hữu hiệu XE củabài toán (V P ) là tập compact khác rỗng

Nếu X ⊂ Rn là tập lồi đa diện không bị chặn thì bài toán (V P ) chưachắc đã có nghiệm hữu hiệu Kết quả sau cho phép xác định được sự tồntại nghiệm hữu hiệu của bài toán (V P ) và tìm được một nghiệm hữuhiệu đầu tiên trong trường hợp X ⊂ Rn là tập lồi đa diện xác định bởi

hệ bất đẳng thức tuyến tính (1.1)

Mệnh đề 1.5 Tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán (V P ) bằng rỗngkhi và chỉ khi hệ

+ µ4



10



 + µ5



01

Dễ thấy (0, 0, 0, 2, 0, 1,1) là một nghiệm của hệ trên Khi đó, theo Mệnh

đề 1.5, ta có bài toán quy hoạch tuyến tính sau

max{hw, xi, x ∈ X},trong đó

w = λ1c1 + λ2c2 =





−13





Hình 1.3

Theo hình học giải quy hoạch tuyến tính (Hình 1.3), ta có

argmax{hw, xi, x ∈ X} = [v1, v5],trong đó [v1, v5] là đoạn thẳng nối điểm v1 và v5

v0 ∈ ri[v1, v5] ⇒ [v1, v5] ⊂ XE.Như vậy, ta thấy mỗi nghiệm tối ưu của (LP ) là một nghiệm hữu hiệucủa bài toán (V P ).

Sau đây là một vài ví dụ số được tính toán bởi chương trình viết bằngngôn ngữ Dev-C++, chạy trên nền máy PC, hệ điều hành window, đểkiểm tra sự tồn tại của nghiệm hữu hiệu và xác định nghiệm hữu hiệuban đầu của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (VP) theo Mệnh

x1, · · · , x5 ≥ 0.

Kết quả thu được: Nghiệm hữu hiệu ban đầu của bài toán quy hoạchtuyến tính đa mục tiêu (VP) là x0 = (5.2, 0, 0, 2.5733, 5.5333)

1.1.5 Cấu trúc tập nghiệm

Định lý 1.3 (Định lý về cấu trúc tập nghiệm) Tập nghiệm hữu hiệu

XE của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ) là liên thôngđường gấp khúc và là hợp của một số hữu hạn các diện đóng của tập lồi

đa diện ràng buộc X

Nhắc lại rằng, một tập A ⊂ Rn được gọi là liên thông đường gấp khúcnếu với mỗi cặp điểm x, y ∈ A có thể tìm được một số hữu hạn điểm

x1, · · · , xs ∈ A sao cho x1 = x, xs = y và đoạn thẳng [xi, xi+1] ⊆ A, i =

1, · · · , s − 1

Nhận xét 1.1 Tập nghiệm hữu hiệu nói chung là tập không lồi và cócấu trúc rất phức tạp Đây là lý do để việc giải bài toán quy hoạch tuyếntính đa mục tiêu có độ phức tạp cao

Ví dụ 1.9 Xét bài toán Max{Cx, x ∈ X}, trong đó

Hình 1.5

1.2 Bài toán tối ưu trên tập Pareto

Bài toán tối ưu trên tập Pareto được phát biểu như sau

max{f (x) : x ∈ XE}, (P )trong đó f là hàm giá trị thực, đóng vai trò như hàm mục tiêu, và XE

là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu(V P ), đóng vai trò như tập ràng buộc

Như đã biết, tập nghiệm hữu hiệu XE là liên thông nhưng nói chung,

XE là một tập con không lồi của X và có cấu trúc rất phức tạp Vì vậy,bài toán (P ) là một bài toán quy hoạch không lồi, tức là một nghiệmđịa phương bất kỳ của bài toán nhưng chưa chắc đã là nghiệm toàn cục

Ta gọi một điểm x0 ∈ XE là nghiệm tối ưu địa phương hay cực đại địaphương của bài toán (P ) nếu tồn tại một ε lân cận B(x0, ε) của điểm

dụ thực tế có mô hình toán học là bài toán tối ưu trên tập Pareto.

Ví dụ 1.10 Một công ty gồm 10 nhà máy, sản xuất 4 loại sản phẩmkhác nhau Gọi xj là số đơn vị sản phẩm loại j, j = 1, · · · , 4 mà công

ty cần sản xuất Véc tơ x = (x1, x2, x3, x4) được gọi là một phương ánsản xuất Ký hiệu X ⊂ R4 là tập tất cả các phương án sản xuất thỏamãn điều kiện cho phép của công ty Như thường lệ, X còn được gọi làtập chấp nhận được Với mỗi phương án chấp nhận được x ∈ X, giả sửrằng hd, xi là lợi nhuận mà công ty thu được, hcj, xi là mức sử dụng laođộng ở nhà máy j, j = 1, · · · , 10, trong đó d, c1, · · · , c10 ∈ R4 Mục đíchcủa công ty là xác định được phương án sản xuất cho lợi nhuận lớn nhấttrong khi vẫn duy trì được mức sử dụng lao động cao ở mỗi nhà máy.Khi đó, mô hình toán học của bài toán này như sau

max{hd, xi, x ∈ XE},trong đó XE là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán 10 mục tiêu

MaxCx, x ∈ X,

trong đó C là ma trận cấp (10 × 4) với các hàng c1, · · · , c10 và tập chấpnhận được X ⊂ R4.

Ký hiệu Xex là tập tất cả các đỉnh của tập lồi đa diện X ⊂ Rn Sau đây

là tính chất nghiệm tối ưu của bài toán (P ) trong trường hợp hàm mụctiêu f (x) là hàm lõm

Định lý 1.4 Nếu f (x) là hàm lõm xác định trên Rn thì bài toán (P )đạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một đỉnh hữu hiệu x0 của bài toán (V P ),tức x0 ∈ XE ∩ Xex

Chứng minh Do tập chấp nhận được của bài toán (P ) là tập nghiệmhữu hiệu XE của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ), nêntheo Định lý 1.3, tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán (V P ) là liênthông đường gấp khúc và là hợp của một số hữu hạn các diện đóng củatập lồi đa diện ràng buộc X Mặt khác, theo tính chất của hàm lõm, bàitoán cực đại một hàm lõm trên một tập lồi đa diện sẽ đạt nghiệm tối

ưu tại ít nhất một đỉnh của tập lồi đa diện chấp nhận được Hơn nữa,mỗi đỉnh của một diện của tập lồi đa diện cũng là một đỉnh của tập lồi

đa diện Vậy bài toán (P ) sẽ đạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một đỉnh củamột diện nào đó thuộc XE Kết luận: Chương này đã giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bảnliên quan đến bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ) và bàitoán tối ưu trên tập Pareto (P ) Chương 2 của luận văn này sẽ trìnhbày thuật toán của H P Benson và S Sayin [6] để giải bài toán (P )trong trường hợp f (x) là hàm tuyến tính Thuật toán giải bài toán (P )trong trường hợp hàm mục tiêu f (x) là hàm lõm do GS Lê Dũng Mưu

đề xuất [12] được giới thiệu ở Chương 3

Chương 2

Bốn trường hợp đặc biệt của bài toán tối ưu trên tập Pareto

Xét bài toán tối ưu trên tập Pareto

max{f (x) : x ∈ XE}, (PT)

trong đó hàm mục tiêu f (x) = hd, xi, d ∈ Rn\ {0} và tập ràng buộc XE

là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Max Cx, x ∈ X, (V P )trong đó C là ma trận mục tiêu cấp p × n, p ≥ 2 với p hàng là cj ∈

Rn, j = 1, · · · , p; X ⊂ Rn là đa diện khác rỗng

Theo Mệnh đề 1.4, XE là tập compact khác rỗng Vậy bài toán (PT)luôn có nghiệm tối ưu Kí hiệu v là giá trị tối ưu của bài toán này

Mục đích của chương này là trình bày thuật toán do H P Benson và S.Sayin [6] đề xuất để giải bài toán tối ưu trên tập Pareto (PT) trong bốntrường hợp đặc biệt Cụ thể:

• Trường hợp 1: Tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch tuyếntính đa mục tiêu (V P ) bằng tập chấp nhận được của bài toán(V P ), tức là XE = X Trong trường hợp này, bài toán (V P ) đượcgọi là hữu hiệu hoàn toàn

• Trường hợp 2: Hàm mục tiêu của bài toán (PT) có dạng

f (x) = hd, xi,trong đó

yI của bài toán (V P Y ) xem trang 33 của luận văn này.)

• Trường hợp 3: Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P )

có p = 2, tức nó là bài toán quy hoạch tuyến tính hai mục tiêu, và

f (x) = hd, xi,trong đó d = wTC = w1c1 + w2c2, w1, w2 ∈ R

• Trường hợp 4: Bài toán quy hoạch tuyến tính nới lỏng

max{hd, xi, x ∈ X} (LPU B)

có nghiệm tối ưu x∗ là một nghiệm hữu hiệu của bài toán quyhoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P ), tức là

x∗ ∈ Argmax(LPU B) và x∗ ∈ XE

Cơ sở lý thuyết để giải bốn trường hợp đặc biệt này của bài toán (PT)

sẽ được trình bày ở Mục 2.1 Mục 2.2 dành để trình bày chi tiết thuậttoán

2.1 Cơ sở lý thuyết

Kết quả sau đây là một hệ quả trực tiếp của Định lý 1.4 và đóng vai tròquan trọng trong việc xây dựng các thuật toán giải bài toán (PT).Mệnh đề 2.1 Bài toán (PT) có nghiệm tối ưu đạt tại một đỉnh hữu hiệucủa bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (V P )

Chứng minh Do hàm tuyến tính là hàm lõm nên Mệnh đề này được suytrực tiếp từ Định lý 1.4 

Ký hiệu

Y := {y ∈ Rp : y = Cx với x ∈ X},

và gọi Y là tập ảnh của X qua ánh xạ tuyến tính C

Mệnh đề 2.2 [14] Cho X ⊂ Rn là đa diện compact khác rỗng và C là

ma trận cỡ p × n với p ≥ 2 Khi đó, Y cũng là đa diện compact khácrỗng

Ký hiệu Xex và Yex lần lượt là tập đỉnh của X và Y

Bổ đề 2.1 Với mỗi y0 ∈ Yex, luôn tồn tại một x0 ∈ Xex thỏa mãn

Cx0 = y0

Bổ đề 2.1 được chứng minh dựa vào định lý biểu diễn đa diện sau đây

Định lý 2.1 [14] Giả sử P ⊂ Rn là tập đa diện khác rỗng có tập đỉnh

là {v1, · · · , vk} Khi đó, mỗi x ∈ P được biểu diễn là tổ hợp lồi của tậpđỉnh, tức là

Vì y0 là một đỉnh của Y , nên Y \ {y0} là tập lồi Với mỗi i = 1, 2, · · · , q,

ta có yi ∈ Y và yi 6= y0 nên yi ∈ Y \ {y0} Do đó, tổ hợp lồi của các

điểm yi, với i = 1, 2, · · · , q, phải nằm trong Y \ {y0} Mặt khác, do Y làtập lồi và theo (2.1), ta có y0 ∈ Y \ {y0} Điều mâu thuẫn này chứng tỏgiải thiết phản chứng là sai Vậy với bất kỳ y0 ∈ Yex, luôn tồn tại một

x0 ∈ Xex thỏa mãn Cx0 = y0 Nhận xét 2.1 Nếu x0 ∈ Xex thì chưa chắc y0 = Cx0 đã thuộc vào tậpđỉnh Yex

ii) Với mỗi x0 ∈ XE, nếu y0 = Cx0 thì y0 ∈ YE.

Chứng minh Kết quả này nhận được từ định nghĩa của XE và YE 

Một điểm yI = (y1I, y2I, · · · , yIp) ∈ Rp được gọi là nghiệm lý tưởng (idealsolution) của bài toán (V P Y ) nếu với mỗi i = 1, 2, · · · , p, ta có

yiI = max{yi, y ∈ Y }

Nhận xét 2.2 Nghiệm lý tưởng yI của bài toán (V P Y ) có thể khôngthuộc Y

Ví dụ 2.2 Hình 2.3 minh họa nghiệm lý tưởng yI của bài toán (V P Y )

có thể thuộc Y hoặc không thuộc Y

Chứng minh Do d phụ thuộc tuyến tính vào các hàng của ma trận Cnên ta có thể chọn một véc tơ w ∈ Rp thỏa mãn

dT = wTC (2.2)Xét bài toán (P Y ) được phát biểu như sau

max{hw, yi, y ∈ YE} (P Y )Theo Mệnh đề 2.1, bài toán (P Y ) có một nghiệm tối ưu nằm trong

Yex∩ YE Mặt khác, do yI ∈ Y nên theo Mệnh đề 2.3, suy ra YE = {yI}.Vậy yI ∈ Yex và yI là nghiệm tối ưu của bài toán (P Y )

Lấy tùy ý x0 ∈ XE và đặt y0 = Cx0 Khi đó, theo Bổ đề 2.2(ii.), y0 ∈ YE.Suy ra y0 = yI Vậy Cx0 = yI Từ (2.2), ta có

Kiểm tra theo điều kiện nón pháp tuyến thấy rằng bài toán (V P ) có haiđỉnh hữu hiệu x0 = (1, 1, 0) và x1 = (1, 1, 1) Tập nghiệm hữu hiệucủa bài toán (V P ) là cạnh [x0, x1], tức là

XE = {x ∈ R3|x1 = 1, x2 = 1, 0 ≤ x3 ≤ 1} (Hình 2.4)

Tuy nhiên, trong Ví dụ 2.3 này, nếu kết luận rằng x0 là nghiệm tối ưucủa bài toán (PT) theo Định lý 2.2 thì sẽ là một kết luận sai, do d không

phụ thuộc tuyến tính vào các hàng của ma trận C Nghiệm tối ưu duynhất của bài toán (PT) là (x1)T = (1, 1, 1).

Dưới đây trình bày kết quả liên quan đến các điều kiện đặc biệt trongTrường hợp 3

Định lý 2.3 Giả thiết rằng p = 2 và d phụ thuộc tuyến tính vào cáchàng của ma trận C Khi đó, tồn tại nghiệm tối ưu x∗ của bài toán (PT)thuộc Xex và x∗ cũng là nghiệm tối ưu của ít nhất một trong các quyhoạch tuyến tính (LPU B), (LP1), (LP2), trong đó với mỗi i = 1, 2, bàitoán (LPi) được phát biểu như sau

max{hci, xi, x ∈ X} (LPi)

Chứng minh Lấy w ∈ R2 thỏa mãn dT = wTC Do p = 2 nên Y ⊂ R2cũng là đa diện khác rỗng Do Y là compact và miền chấp nhận đượccủa bài toán (P Y )

max{hw, yi, y ∈ YE} (P Y )

là YE nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết Y được biểudiễn dưới dạng

Y = {y ∈ R2|M y ≤ u, y ≥ 0},trong đó M là ma trận cỡ k × 2 với k ≥ 1 và u ∈ Rk Theo Mệnh đề 2.1,

ta có thể lấy một nghiệm tối ưu y∗ của bài toán (P Y ) nằm trong Yex

Để chứng minh định lý, trước tiên, ta chứng minh rằng y∗ là nghiệm tối

ưu của ít nhất một trong ba bài toán sau

max{y1|y ∈ Y }, (L1)max{y2|y ∈ Y }, (L2)

max{hw, yi|y ∈ Y } (L3)Xét bốn trường hợp sau

• Trường hợp 1: y1∗ = y2∗ = 0 Do Y ⊆ {y ∈ R2|y ≥ 0} và y∗ ∈ YEnên Y = {0} Vậy trong trường hợp này, y∗ là nghiệm cực đại của

cả hai bài toán (L1) và (L2)

• Trường hợp 3: y1∗ = 0 và y2∗ > 0 Tương tự như Trường hợp 2, y∗

là nghiệm cực đại của bài toán (L2) (Hình 2.5 (b))

• Trường hợp 4: y1∗ > 0 và y2∗ > 0 Ký hiệu Ik là ma trận đơn vị cỡ

k × k Theo lý thuyết quy hoạch tuyến tính, do y∗ là điểm cực biên