Một số thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập pareto1

Khi các hàm fjx, j = 1, 2, · · · , p, p ≥ 2, là tuyến tính và tập chấp nhận được G ⊂ Rn là tập lồi đa diện khác rỗngthì ta nhận được một trường hợp đặc biệt của bài toán quy hoạch tích l

Mục lục

1.1 Hàm lõm, hàm tựa lõm 1

1.2 Bài toán tối ưu phi tuyến 5

1.3 Bài toán quy hoạch tích lồi 8

1.3.1 Phát biểu bài toán 8

1.3.2 Dạng bài toán tương đương 10

2 Thuật toán nhánh cận giải bài toán quy hoạch tích lồi 20 2.1 Phát biểu bài toán 20

2.2 Cơ sở lý thuyết 22

2.2.1 Xây dựng nón xuất phát K0 23

2.2.2 Chia nhánh 30

2.2.3 Cận dưới 31

2.2.4 Cận trên 41

2.3 Chi tiết thuật toán 41

2.4 Sự hội tụ của thuật toán 45

2.4.1 Sự hội tụ của thuật toán 45

2.4.2 Nghiệm tối ưu của bài toán gốc 47

3 Thuật toán Heuristic giải bài toán quy hoạch tích tuyến

3.1 Cơ sở lý thuyết 513.1.1 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính 513.1.2 Mối quan hệ giữa hai bài toán (M LP ) và (M OLP ) 553.2 Chi tiết thuật toán 65

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tớiPGS.TS Nguyễn Thị Bạch Kim, người đã tận tình và nghiêm khắc dạybảo để luận văn này được hoàn thành

Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Toán Tin ứngdụng, Viện Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạomọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.Cảm ơn các thầy cô và đồng nghiệp đã trao đổi cùng tác giả những kiếnthức và kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn được hoàn thiện hơn

Bên cạnh đó, sự quan tâm của gia đình, bạn bè là nguồn động viênkhông thể thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn này Xin chân thànhcảm ơn

Học viên : Nguyễn Thị Mai ThươngLớp : Toán Tin - Toán ứng dụng 2009-2011

Lời mở đầu

Bài toán quy hoạch tích lồi là tìm cực tiểu tích p hàm lồi fj(x), j =

1, · · · , p, p ≥ 2, trên một tập lồi compact khác rỗng G ⊂ Rn Bài toánnày thuộc lớp bài toán tối ưu toàn cục, tức nghiệm tối ưu địa phương chưachắc đã là nghiệm tối ưu toàn cục Hơn nữa, đây là bài toán N P khó, thậmchí trong trường hợp đơn giản nhất là khi p = 2, các hàm fj, j = 1, 2, làtuyến tính và G là tập lồi đa diện Khi các hàm fj(x), j = 1, 2, · · · , p, p ≥ 2,

là tuyến tính và tập chấp nhận được G ⊂ Rn là tập lồi đa diện khác rỗngthì ta nhận được một trường hợp đặc biệt của bài toán quy hoạch tích lồi,

đó là lớp bài toán quy hoạch tích các hàm tuyến tính, hay gọi tắt là bàitoán quy hoạch tích tuyến tính

Như đã biết, bài toán quy hoạch tích lồi là mô hình toán học của nhiềubài toán nảy sinh trong các lĩnh vực thực tế khác nhau như: phân tích kinh

tế, xây dựng, thiết kế chip VLSI, , ngoài ra nó còn được ứng dụng trongtối ưu đa mục tiêu Trong những năm gần đây, do nhu cầu ứng dụng vàđược trợ giúp bởi máy tính tốc độ cao, bài toán này đã thu hút được sựquan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước Nhiều thuật toán theocác phương pháp khác nhau đã được đề xuất để giải bài toán quy hoạchtích lồi, chẳng hạn xem [4], [5], [7], [8], [11], [12] và danh mục tài liệu thamkhảo kèm theo

Mục đích của luận văn này là trình bày hai thuật toán giải bài toán quyhoạch tích lồi và bài toán quy hoạch tích tuyến tính theo hai tiếp cận khácnhau Cụ thể:

Chương 2: "Thuật toán nhánh cận giải bài toán quy hoạch tíchlồi" dành để trình bày thuật toán giải bài toán quy hoạch tích lồi mở rộng(hàm mục tiêu là tổng f0(x) +Qp

j=1fj(x), trong đó f0, fj, j = 1, · · · , p, p ≥

2, là các hàm lồi, tập chấp nhận được G ⊂ Rn là tập lồi compact khácrỗng) do H Tuy, B Jaumard, và C Meyer đề xuất năm 1997 trong bài báo[12]: "Generalized Convex Multiplicative Programming via QuasiconcaveMinimization" đăng trong Journal of Global Optimization Thuật toán này

sử dụng phương pháp nhánh cận theo phân hoạch nón để giải bài toán tươngđương với bài toán quy hoạch tích lồi trên không gian ảnh

Chương 3: "Thuật toán Heuristic giải bài toán quy hoạch tíchtuyến tính" giới thiệu thuật toán Heuristic giải bài toán quy hoạch tíchtuyến tính Thuật toán này do H P Benson và G M Boger đề xuất năm

1997 trong bài báo [4]: "Multiplicative Programming Problems: Analysisand Efficient Point Search Heuristic" đăng trong Journal of OptimizationTheory and Applications Ưu thế lớn nhất của thuật toán này là ta chỉphải giải một chuỗi các bài toán quy hoạch tuyến tính thông thường để tìmđược nghiệm

Chương 1 của luận văn này có tiêu đề "Bài toán quy hoạch tích lồi".Một số khái niệm và tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tích lồi cầndùng đến trong các chương sau được giới thiệu ở đây

Nội dung chính của luận văn là Chương 1, Chương 2 và Chương 3 Cácphần còn lại như: Lời cảm ơn, Lời mở đầu, Danh mục các kí hiệu và chữviết tắt, Kết luận chung và Danh mục tài liệu tham khảo cũng được trìnhbày đầy đủ

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếusót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp

để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 26 tháng 3 năm 2011

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt

hx, yi tích vô hướng của x và y

| x | giá trị tuyệt đối của x

epi(f ) epigraph của hàm f

hypo(f ) hypograph của hàm f

∇f (x) gradient của hàm f tại điểm x

t.ư, viết tắt của cụm từ "tương ứng"

v.đ.k viết tắt của cụm từ "với điều kiện"

(N P ) kí hiệu của Bài toán quy hoạch phi tuyến

(CM P ) kí hiệu của Bài toán quy hoạch tích lồi

(QCM ) kí hiệu của Bài toán tương đương với quy hoạch tích lồi

trên không gian ảnh(M LP ) kí hiệu của Bài toán quy hoạch tích tuyến tính

(M OLP ) kí hiệu của Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính(M PG) kí hiệu của Bài toán quy hoạch tích lồi mở rộng

(M PT) kí hiệu của Bài toán tương đương với quy hoạch tích lồi

mở rộng trên không gian ảnh

Chương 1

Bài toán quy hoạch tích lồi

Mục đích chính của chương này là giới thiệu vài nét cơ bản về bài toán quyhoạch tích lồi: mô hình toán học, tính chất của nghiệm tối ưu và dạng bàitoán tương đương Nội dung chính của Chương 1 được tham khảo trong[1], [2] và [12]

Cho hàm f xác định trên tập lồi D ⊆ Rn Khi đó,

Hàm f được gọi là lõm trên D nếu

∀x1, x2 ∈ D : f [λx1 + (1 − λx2)] ≥ λf (x1) + (1 − λ)f (x2), 0 ≤ λ ≤ 1.Hàm f là lõm chặt nếu thay dấu "≥" bởi dấu ">"

Hàm f được gọi là tựa lõm trên D nếu

∀x1, x2 ∈ D : f [λx1 + (1 − λ)x2] ≥ min{f (x1), f (x2)}, 0 ≤ λ ≤ 1.Hàm f là tựa lõm chặt nếu thay dấu "≥" bởi dấu ">"

Như đã biết, nếu f là hàm lõm (tương ứng1 lõm chặt, tựa lõm, tựa lõmchặt) thì hàm g := −f là hàm lồi (t.ư, lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt)

1 Từ đây đến hết luận văn, ta sẽ viết tắt chữ "tương ứng" là "t.ư,".

Mệnh đề 1.1 Hàm f : Rn −→ R là hàm lõm trên tập lồi khác rỗng

D ⊆ Rn khi và chỉ khi hypograph của nó

hypo(f ) := {(x, ξ) ∈ D × R : ξ ≤ f (x)} ⊂ Rn+1

là tập lồi

Sau đây là điều kiện cần và đủ để nhận biết hàm tựa lõm

Mệnh đề 1.2 Giả sử f là một hàm xác định trên tập lồi D ⊆ Rn Khi

đó, f là hàm tựa lõm trên D khi và chỉ khi tập mức trên

Lα(f ) = {x ∈ D | f (x) ≥ α}

là tập lồi với mỗi α ∈ R

Chứng minh (=⇒) Xét tập mức trên Lα(f ) với α ∈ R Lấy hai điểm bất

Điều này chứng tỏ Lα(f ) là tập lồi

(⇐=) Xét hai điểm bất kì x1, x2 ∈ D Chọn α = min{f (x1), f (x2)} Dễthấy x1, x2 ∈ Lα(f )

Vì Lα(f ) là tập lồi với mỗi α nên ¯x = λx1+(1−λ)x2 ∈ Lα(f ), với λ ∈ [0, 1],tức là

Nhận xét rằng, một hàm lõm trên tập lồi D thì cũng là hàm tựa lõmtrên D, nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng.

Ví dụ 1.1 Xét hàm một biến y = f (x) = tgx, x ∈ D =

−π

2 ,

π2

 Vìcác tập mức trên của tgx đều là tập lồi nên theo Mệnh đề 1.2, tgx là hàmtựa lõm Tuy nhiên, tgx không phải là hàm lõm vì hypograph của hàm nàykhông phải là tập lồi (theo dấu hiệu nhận biết hàm lõm ở Mệnh đề 1.1).Xem minh họa ở Hình 1.1

Tương tự như hàm lõm, hàm tựa lõm đạt cực tiểu trên đa diện tại ítnhất một đỉnh của đa diện đó Cụ thể,

Mệnh đề 1.3 Cho hàm tựa lõm, liên tục f : Rn −→ R Xét bài toánmin{f (x) | x ∈ D}, trong đó D ⊆ Rn là đa diện khác rỗng Bài toán nàyđạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một đỉnh của D

Chứng minh Gọi {x1, x2, · · · , xk} là tập đỉnh của D Lấy tùy ý x ∈ D.Theo Định lý biểu diễn tập lồi đa diện (xem Định lý 1.7, trang 28 [1]), x

có thể được biểu diễn dưới dạng

f (x) ≥ min{f (x1), f (x2), · · · , f (xk)} = f (xi0)

Vậy

f (x) ≥ f (xi0), ∀x ∈ D,tức đỉnh xi0 là nghiệm của bài toán min{f (x) | x ∈ D}

Tổng quát, ta có Mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.4 Cho hàm tựa lõm, liên tục f : Rn −→ R Xét bài toánmin{f (x) | x ∈ D}, trong đó D ⊆ Rn là tập lồi compact khác rỗng Bàitoán này đạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một điểm cực biên của D

Theo Mệnh đề 1.4, để giải bài toán tối ưu min{f (x), x ∈ D}, trong đó

D là tập lồi compact khác rỗng (t.ư, là đa diện), f là hàm tựa lõm, ta đitìm cực tiểu của f trên tập điểm cực biên (t.ư, tập đỉnh) của D Vì vậy,việc giải bài toán này tương tự như việc giải bài toán quy hoạch lõm

1.2 Bài toán tối ưu phi tuyến

Xét bài toán quy hoạch phi tuyến

Cho x0 ∈ D là một nghiệm chấp nhận được của bài toán (N P ) Tập

là lồi và điều kiện Slater sau đây được thỏa mãn

Định lý KKT sau đây cho ta điều kiện cần của nghiệm cực tiểu địaphương của bài toán (N P ).

Định lý 1.1 Cho các hàm f, gi, i = 1, · · · , m và hj, j = 1, · · · , k, là cáchàm khả vi liên tục trên một tập mở chứa D Giả sử x∗ là nghiệm cực tiểuđịa phương của bài toán (N P ) và điều kiện chính quy được thỏa mãn tại

x∗ Khi đó, điều kiện KKT sau là đúng:

i) gi(x∗) ≤ 0, i = 1, · · · , m và hj(x∗) = 0, j = 1, · · · , k; (1.1)ii) Tồn tại các số λi ≥ 0, i = 1, · · · , m và các số µj, j = 1, · · · , k, saocho

Hệ (1.1) − (1.3) được gọi là hệ KKT Điểm x∗ ∈ Rn thỏa mãn hệ KKTđược gọi là điểm KKT Như vậy, nếu x∗ là nghiệm cực tiểu địa phương củabài toán (N P ) thì x∗ là điểm KKT Lưu ý rằng điều ngược lại chưa chắcđúng

đương với hj(x) ≤ 0 và −hj(x) ≤ 0 nên thông thường người ta xét bài toánquy hoạch lồi sau:

v.đ.k gi(x) ≤ 0, ∀i = 1, · · · , m,trong đó, f, gi, i = 1, · · · , m, là các hàm lồi khả vi xác định trên Rn

Điều kiện KKT cũng là điều kiện đủ cho nghiệm cực tiểu của bài toán(N Pconv) Điều đó được khẳng định trong Định lý sau đây

Định lý 1.2 Cho các hàm f, gi, i = 1, · · · , m, là các hàm lồi khả vi trênmột tập mở chứa D và điều kiện Slater được thỏa mãn Khi đó, x∗ ∈ Rn

là nghiệm cực tiểu của bài toán (N Pconv) khi và chỉ khi x∗ thỏa mãn điềukiện KKT sau:

iii) λigi(x∗) = 0, ∀i = 1, · · · , m (Điều kiện bù)

Điều kiện KKT được sử dụng thường xuyên trong các bài toán tối ưuphi tuyến

1.3 Bài toán quy hoạch tích lồi

Thông thường, bài toán quy hoạch tích lồi được phát biểu như sau:

Bài toán quy hoạch tích lồi là mô hình toán của nhiều bài toán nảy sinhtrong các lĩnh vực thực tế khác nhau như: phân tích kinh tế, xây dựng,thiết kế chip VLSI, Bài toán (CM P ) thuộc lớp bài toán N P −khó, thậmchí trong trường hợp đơn giản nhất khi p = 2, f1, f2 là các hàm tuyến tính

và G là tập lồi đa diện (xem [5]) Tuy nhiên, do nhu cầu ứng dụng, bàitoán này thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn H D.Benson [4][5], Konno and Kuno [8], N T B Kim [7], N V Thoai [11], H.Tuy [12], Như đã biết, bài toán (CM P ) thuộc lớp bài toán tối ưu toàncục, tức nghiệm tối ưu địa phương chưa chắc đã là nghiệm tối ưu toàn cục.Nhắc lại rằng:

Điểm x∗ ∈ G được gọi là nghiệm tối ưu địa phương hoặc nghiệm cực tiểuđịa phương của bài toán (CM P ) nếu tồn tại một ε− lân cận B(x∗, ε) củađiểm x∗ ∈ G sao cho

g(x∗) ≤ g(x), ∀x ∈ B(x∗, ε) ∩ G

Điểm x∗ ∈ G được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặc nghiệmcực tiểu địa phương chặt của bài toán (CM P ) nếu tồn tại một ε− lân cậnB(x∗, ε) của điểm x∗ ∈ G sao cho

g(x∗) < g(x), ∀x ∈ B(x∗, ε) ∩ G và x 6= x∗.Điểm x∗ ∈ G được gọi là nghiệm tối ưu hoặc nghiệm tối ưu toàn cụchoặc nghiệm cực tiểu toàn cục hay gọi đơn giản là nghiệm của bài toán(CM P ) nếu thỏa mãn

Chú ý 1.1 Trong trường hợp tổng quát, khi G ⊂ Rn là tập lồi và fi, i =

1, · · · , p, là các hàm lồi thì tập Y ⊂ Rp chưa chắc đã là tập lồi Tuy nhiên,

Y + Rp+ là tập lồi Tính chất này được nhiều tác giả khai thác để xây dựngcác thuật toán giải bài toán quy hoạch tích lồi (CM P ) trên không gianảnh

Bài toán quy hoạch tích trên không gian ảnh tương ứng với bài toán (CM P )là

là một hàm tựa lõm, liên tục trên Rp+

Sau đây là mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán (PY) với tập điểm hữuhiệu của Y

Mệnh đề 1.7 Nếu y0 ∈ Y là nghiệm tối ưu của bài toán (PY) thì y0 làmột điểm hữu hiệu của Y

Nhắc lại rằng, một điểm y0 ∈ A, trong đó A ⊂ Rp là tập khác rỗng,được gọi là điểm hữu hiệu của A nếu

Điều này mâu thuẫn với giả thiết y0 là nghiệm tối ưu của bài toán (PY),chứng tỏ y0 là điểm hữu hiệu của Y

và giá trị tối ưu là

min g(t) =

1p

Vì với mọi t ∈ H thìQp

i=1ti = 1 nên I(t) = {i ∈ {1, · · · , p} : gi(t) = 0} = ∅

Mà ∇h(t) 6= 0 nên điều kiện chính quy được thỏa mãn (theo dấu hiệu (iii)trong Định nghĩa 1.1) Theo Định lý 1.1 (định lý KKT), nghiệm cực tiểu địaphương t∗ của bài toán (N P1) thỏa mãn: Tồn tại các số µj ≥ 0, j = 1, · · · , p,

⇒ t∗jαj

1p

t∗jαj

1p

minn1p

x ∈ G

o

Mệnh đề 1.8 Bài toán (P1(t)) là một quy hoạch lồi.

Chứng minh Vì G là tập lồi nên ta chỉ cần chứng minh hàm mục tiêu củabài toán (P1(t)) là hàm lồi Vì các hàm fi là hàm lồi và ti > 0, với mọi

là một hàm lồi, không giảm trên [0, +∞)

Với giả thiết fi(x) > 0 với mọi x ∈ G, t ∈ Rp+, ta có

Nhận xét: Theo Mệnh đề 1.8, việc xác địnhϕ(t) tương ứng cho mỗi t ∈ Re p+

được đưa về việc giải một bài toán quy hoạch lồi

Mệnh đề 1.9 Hàm ϕ là tựa lõm, liên tục, tăng trên bất kì tập lồi compacte

là tập lồi Theo Mệnh đề 1.2, hàm ϕ(t) tựa lõm.e

Bây giờ ta sẽ chứng minh ϕ(t) là hàm liên tục tăng Đặte

ψ(x, t) =

1p

e

ϕ(t0) −ϕ(t”) = mine

x∈G ψ(t0, x) − min

x∈G ψ(t”, x) ≤ ψ(t0, x”) − ψ(t”, x”) ≤ ε

Có ψ(t0, x”)−ψ(t”, x”) ≤ ε vì k(t0, x”)−(t”, x”)k = kt0−t”k ≤ δ (1.15)Mặt khác, hoàn toàn tương tự, ta có

e

ϕ(t0) −ϕ(t”) = mine

x∈G ψ(t0, x) − min

x∈G ψ(t”, x) ≥ ψ(t0, x0) − ψ(t”, x0) ≥ −ε.Như vậy, với kt0 − t”k ≤ δ thì kϕ(te 0) − ϕ(t”)k ≤ ε Do đó,e ϕ(t) liên tụcetrên Rp+

Gọi x∗t là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi (P1(t)) Với t ≥ t0 ≥

0, t 6= t0, ta có

eϕ(t) =

1p

Do đó, ϕ(t) là hàm tăng Ta có điều phải chứng minh.e

Xét bài toán trên không gian ảnh

min

với T được xác định như (1.6) Theo Mệnh đề 1.6 và Mệnh đề 1.2, T làtập lồi Như vậy, bài toán (QCM ) là cực tiểu một hàm tựa lõm trên mộttập lồi

Hai bài toán (CM P ) và (QCM ) là tương đương theo nghĩa sau

Mệnh đề 1.10 Bài toán (CM P ) là tương đương với bài toán (QCM ) theonghĩa: nếu t∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (QCM ) và x∗ là nghiệm tối ưucủa bài toán

minn1p

x ∈ G

o

thì x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (CM P ) Hơn nữa, ta có

t∗i =



Qp j=1fj(x∗)

Chứng minh Gọi x∗ và g∗ tương ứng là nghiệm và giá trị tối ưu của bàitoán (CM P ) Gọi t∗ và ϕe∗ tương ứng là nghiệm và giá trị tối ưu của bàitoán (QCM ) Giả sử xt∗ ∈ G thỏa mãn

eϕ(t∗) =

1p

e

ϕ∗ ≤ϕ(te x∗) = min

x∈G

( 1p

p

X

i=1

Qp j=1fj(x∗)

điều này chứng tỏ xt ∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán (CM P ) Tương

tự, ϕ(te x∗) = ϕe∗, chứng tỏ tx∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán (QCM ).Như vậy, cực tiểu hàm g trên G tương đương với cực tiểu hàm ϕ trên H.eMặt khác, theo Mệnh đề 1.9, ϕ là hàm tăng, cho nên cực tiểu hàme ϕetrên T đạt tại biên H của nó Bởi T là tập lồi nên bài toán (CM P ) tươngđương với cực tiểu hàm tựa lõm ϕ trên T e

Kết luận: Chương này đã trình bày một số nét cơ bản về bài toán quyhoạch tích lồi Để giải bài toán quy hoạch tích lồi (CM P ), thông thườngthay vì giải trực tiếp nó, người ta tìm cách giải một bài toán tương đương.Chương này cũng đã trình bày một dạng bài toán tương đương của bàitoán (CM P ), là bài toán (QCM ), cực tiểu một hàm tựa lõm trên một tậplồi Tính tương đương này sẽ được áp dụng trong Chương 2

Xét bài toán quy hoạch tích lồi mở rộng

trong đó G ⊂ Rn là tập lồi compact khác rỗng, số nguyên p ≥ 2, với mỗi

j ∈ {0, 1, 2, · · · , p}, hàm số fj : Rn → R là hàm lồi Giả thiết rằng với mọi

j ∈ {1, 2, · · · , p}, hàm số fj thỏa mãn

Đây là dạng mở rộng của bài toán (CM P ), ta thấy hàm mục tiêu củahai bài toán chỉ sai khác nhau một hàm lồi f0(x) Trường hợp đặc biệt nếu

f0 là hằng số trên tập lồi G, ta hoàn toàn có thể giả thiết rằng

n1p

min

Hai bài toán (M PG) và (M PT) là tương đương theo nghĩa sau

Mệnh đề 2.1 Bài toán (M PG) là tương đương với bài toán (M PT) theonghĩa: nếu t∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (M PT) và x∗ là nghiệm tối ưucủa bài toán

min

n

f0(x) +

1p

x ∈ G

o

(P2(t∗))thì x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (M PG) Hơn nữa, ta có

t∗i =



Qp j=1fj(x∗)

Chứng minh Tương tự Mệnh đề 1.10

Theo Mệnh đề 2.1, nếu ta tìm được nghiệm tối ưu của bài toán (M PG)(t.ư, bài toán (M PT)) thì cũng sẽ tìm được nghiệm tối ưu của bài toán(M PT) (t.ư, bài toán (M PG)) Thay vì giải trực tiếp bài toán (M PG),trong [12], các tác giả đề xuất thuật toán nhánh cận giải bài toán (M PT)

Cơ sở lý thuyết cho thuật toán này được trình bày trong Mục 2.2

2.2 Cơ sở lý thuyết

Xét bài toán

min

trong đó hàm mục tiêu tựa lõm ϕ(t) được xác định bởi (2.2) và tập chấpnhận được T =

n

t ∈ Rp+ : Qp

i=1ti ≥ 1o là tập lồi compact khác rỗng.Trước khi bắt đầu thuật toán nhánh cận giải bài toán (M PT), ta phảixây dựng tập K0 chứa tập nghiệm tối ưu của bài toán này Kỹ thuật xâydựng K0 được trình bày ở Mục 2.2.1 Cách chia nhánh, tính cận dưới, cậntrên sẽ được giới thiệu lần lượt trong các Mục 2.2.2, 2.2.3 và 2.2.4

và xây dựng đơn hình Σ như sau:

Với mỗi i ∈ {1, 2, · · · , p}, kí hiệu fi là giá trị tối ưu của bài toán quyhoạch lồi

min{fi(x), x ∈ G},

và fi là cận trên của bài toán

max{fi(x), x ∈ G}

Việc tính toán fi được thực hiện như sau:

Trường hợp 1: Nếu fi, i = 1, 2, · · · , p, là các hàm tuyến tính thì bàitoán max{fi(x), x ∈ G} là bài toán quy hoạch lồi với mọi i = 1, · · · , p Khi

đó có thể lấy fi là giá trị tối ưu của bài toán này

Trường hợp 2: Nếu fi, i = 1, 2, · · · , p, là các hàm lồi Khi đó, lấy fi làgiá trị tối ưu của bài toán

ti =

Q

i

ti =

Q

j6=ifj

1p

f1−

1 p

i

Chứng minh Từ biểu thức (2.3) ta có

t∗i =



Qp j=1fj(x∗)

1p

fi(x∗) .Mặt khác, vì fi ≥ fi(x∗) nên

ti =

Q

i

≤



Qp i=1fi(x∗)

p1

fi(x∗)1p.f1−

1 p

i

≤



Qp i=1fi(x∗)

1p

fi(x∗) = t

∗

i.Tương tự, ta có t∗i ≤ ti Do đó, ti ≤ t∗i ≤ ti Bổ đề được chứng minh

i

1−1pi

Q

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi f

j = fj với mọi j = 1, · · · , p Do đó, nếu

ti = ti với một vài i và p ≥ 2 thì các hàm fj là các hàm hằng trên G Khi

đó, bài toán (M PG) trở thành bài toán

min

x∈G f0(x),

là bài toán cực tiểu một hàm lồi trên tập lồi G

Vì vậy, từ bây giờ trở đi, ta sẽ giả thiết rằng

!12

2

, t = (t1, t2) =√

2,√2



Mệnh đề sau đây khẳng định rằng nón K0 chứa tập nghiệm của bài toán(M PT)

Mệnh đề 2.2 Nón K0 chứa tập nghiệm tối ưu của bài toán (M PT).Chứng minh Trước hết, ta chỉ ra rằng t ∈ K0 Thật vậy, theo định nghĩa,điểm btj nằm trên cạnh thứ j của siêu hộp K0 nên

trong đó ej là véc tơ đơn vị thứ j và λj ≥ 0 Mặt khác, btj thuộc hypecbol

Vì τ < 1 nên 0 < 1

p + 1τ − 1 < 1, biểu thức (2.10) chứng tỏ t ∈ K

0

Gọi S là đơn hình p chiều có p + 1 đỉnh bt1,bt2, · · · ,btp và t Vì K0 là tậplồi chứa bt1,bt2, · · · ,btp và t nên S ⊂ K0.

Vì ϕ là hàm tựa lõm, liên tục tăng và theo Bổ đề 2.1, nghiệm tối ưu

t∗ của bài toán (M PT) thỏa mãn ti ≤ t∗i ≤ ti với mọi i = 1, 2, · · · , p, nêntập nghiệm của bài toán (M PT) là tập con của (K0∩ H) Do đó, để chứngminh Mệnh đề này, ta cần chứng minh

Đặt I = {i : λi > 0} Với mỗi i ∈ I, định nghĩa đơn hình Ui là

Ui = conv{u1, u2, · · · , ui−1, w, ui+1, · · · , up}

Dễ thấy {Ui, i ∈ I} là một phân hoạch của đơn hình U Người ta gọi cáchphân hoạch này là phép chia đơn hình.

Kí hiệu δ(U ) là độ dài của cạnh dài nhất của đơn hình U Giả sử wthuộc cạnh dài nhất [up, uq] ⊆ U và

Việc tính toán cận dưới đầu tiên được dựa trên kết quả sau đây

Mệnh đề 2.3 Giả sử K ⊆ Rp+ là một nón có gốc tại O Gọi H là mộtsiêu phẳng tách O và K ∩ T Kí hiệu sj, j = 1, · · · , p, lần lượt là các giao

điểm cạnh thứ j của K với siêu phẳng H Khi đó,

min{ϕ(s1), ϕ(s2), · · · , ϕ(sp)}

là cận dưới của ϕ(t) trên K ∩ T

Chứng minh Gọi Q là đa diện xác định bởi phần giao của K với nửa khônggian đóng giới hạn bởi H mà không chứa O Rõ ràng Q ⊇ (K ∩ T ) Hình2.4 minh họa cho trường hợp p = 2

Vì ϕ là hàm liên tục, tăng nên cực tiểu của ϕ trên Q đạt tại

conv{s1, s2, · · · , sp}

Do ϕ tựa lõm nên cực tiểu của ϕ đạt tại điểm cực biên của Q hay là

min{ϕ(t)|t ∈ Q} = min{ϕ(s1), ϕ(s2), · · · , ϕ(sp)}

Vì (K ∩ T ) ⊂ Q nên ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.4 Giả sử ˆt là một điểm bất kì trên H Gọi Hˆt là siêu phẳngtiếp xúc với hypecbol H tại ˆt Khi đó, siêu phẳng Hˆt có biểu diễn là

ti

= po

Chứng minh Theo định nghĩa,

ti

= p

o

Rõ ràng Hˆt tách O và K ∩ T nên nó thỏa mãn yêu cầu của Mệnh đề2.3 Để cho gọn, ta đặt

a =

1ˆ

t1,

1ˆ

t2, · · · ,

1ˆ

minn1p

x ∈ G

o

thì x∗ nghiệm tối ưu toán (CM P ) Hơn nữa, ta có