Một số mô hình toán tài chính dùng chuỗi thời gian liên tục

LỜI NÓI ĐẦU Trong những năm gần đây cùng với sự sôi động của thị trường chứng khoán, toán tài chính ngày càng được phát triển mạnh mẽ đặc biệt là quyền chọn – công cụ tài chính phái sinh

-Vũ Thị Chinh

DÙNG CHUỖI THỜI GIAN LIÊN TỤC

MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN TÀI CHÍNH DÙNG CHUỖI THỜI GIAN LIÊN TỤC

Chuyên ngành: Đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đảm bảo Toán học cho máy tính và hệ thống tính toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Tống Đình Quỳ

Hà Nội – 2010

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 4

LỜI NÓI ĐẦU 5

Chương I: Tính toán ngẫu nhiên và toán tài chính 6

1.1 Cơ sở toán tài chính 6

1.1.1 Thị trường tài chính và toán học 6

1.1.2 Cổ phiếu và phái sinh 6

1.1.3 Quyền chọn 7

1.1.4 Một số khái niệm 10

1.1.5 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ 11

1.1.5 Xác suất rủi ro trung tính 13

1.2 Quá trình ngẫu nhiên 14

1.2.1 Kỳ vọng có điều kiện 14

1.2.2 Martingale 16

1.2.3 Quá trình Gauss 17

1.3 Tính toán ngẫu nhiên 17

1.3.1 Quá trình Wiener 17

1.3.2 Tích phân Ito 18

1.3.3 Vi phân Ito 19

1.3.4 Công thức Ito 20

Chương II: Mô hình Black – Scholes 21

2.1 Mô hình Black – Scholes 21

2.1.1 Giới thiệu mô hình 21

2.1.2 Quá trình chuyển động Brown hình học 23

2.1.3 Các tham số của chuyển động Brown hình học 23

2.2 Công thức Black – Scholes định giá quyền chọn 24

2.2.1 Hợp đồng quyền chọn bán kiểu châu Âu 24

2.2.2 Công thức cặp đôi mua bán 25

2.2.3 Công thức Black – Scholes cho quyền chọn bán châu Âu 26

2.2.4 Quyền chọn mua châu Âu nhị phân 26

2.3 Phương trình đạo hàm riêng Black – Scholes 27

2.3.1 Phương trình 27

2.3.2 Các điều kiện biên đối với phương trình Black – Scholes 29

2.3.3 Giải phương trình Black – Scholes 29

Chương III: Một số phương pháp mô phỏng quyền chọn 31

3.1 Lược đồ chung 31

3.2 Định giá quyền chọn kiểu châu Âu 32

3.2.1 Phương pháp Monte Carlo 32

3.2.2 Phương pháp Antithetic Variate 33

3.3 Định giá quyền chọn kiểu Mỹ 35

3.3.1 Nội dung phương pháp 35

3.3.2 Định giá quyền chọn 35

Chương IV: Chương trình mô phỏng 37

4.1 Sơ đồ thiết kế lớp 37

4.2 Kết quả mô phỏng 38

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

Danh mục các hình vẽ

Hình 1.1: Quyền chọn mua

Hình 1.2: Quyền chọn bán

Hình 4.1: Sơ đồ thiết kế lớp

Hình 4.2: Biểu đồ dự báo giá chứng khoán

Hình 4.3: Biểu đồ thể hiện dãy giá chứng khoán đƣợc ƣớc lƣợng so với dãy giá đầu

vào

Danh mục các bảng

Bảng 4.1: Kết quả tính giá quyền chọn

Bảng 4.2: Kết quả dự báo dãy giá chứng khoán

Bảng 4.3: Ƣớc lƣợng dãy giá chứng khoán theo mô hình Black – Scholes

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, xin chân thành cám ơn tập thể cán bộ, giảng viên Trường Đại Học Bách Khoa – Hà Nội những người đang ngày đêm không quản ngại khó khăn tạo mọi điều kiện tốt nhất để chúng em học tập, khôn lớn và trưởng thành Cám ơn thầy, cô trong khoa Toán - Tin Ứng dụng đã tạo điều kiện vật chất cũng như tinh thần, đã chỉ bảo và dìu dắt tận tình trong suốt thời gian

em học Đại học tới khi học và làm luận văn Cao học Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô trong và ngoài trường đã tham gia trực tiếp giảng dạy, truyền đạt lại cho em những kiến thức thiết thực, bổ ích trong khóa học Cao học này Em xin cảm ơn tập thể cán bộ Viện Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong khóa học vừa qua

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Tống Đình Quỳ, thầy giáo hướng dẫn tốt nghiệp của em Thầy đã chỉ bảo, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này Thầy cũng luôn thông cảm và động viên em hoàn thành luận văn

Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp học Cao Học, Đảm bảo Toán học cho máy tính và hệ thống tính toán khóa 2008 – 2010 những người đã cùng em học tập, phấn đấu, chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức, … và giúp đỡ nhau trong khóa học vừa qua

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây cùng với sự sôi động của thị trường chứng khoán, toán tài chính ngày càng được phát triển mạnh mẽ đặc biệt là quyền chọn – công cụ tài chính phái sinh phòng ngừa rủi Các mô hình toán học trợ giúp việc định giá quyền chọn cho việc thực thi công cụ này một cách hiệu quả trong thực tế Sự tìm hiểu của học viên về vấn đề này thông qua việc nghiên cứu lý thuyết, mô hình toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo Tống Đình Quỳ

Trên thế giới, hợp đồng quyền chọn đã được phát triển và ứng dụng mạnh mẽ

từ khi Sở Giao dịch quyền chọn Chicago CBOE ở Mỹ thành lập tháng 4 – 1973 Ở Việt Nam, việc thực hiện các công cụ phái sinh để phòng ngừa rủi ro trong hoạt động kinh doanh chứng khoán chưa được phổ biến Tuy nhiên gần đây đã xuất hiện một số ngân hàng thực hiện quyền chọn trong hoạt động kinh doanh của mình Do

đó, việc tìm hiểu kiến thức về quyền chọn để áp dụng rộng rãi như một công cụ phòng ngừa rủi ro cho các nhà đầu tư có nhiều ý nghĩa thiết thực

Nội dung chính của luận văn gồm:

Chương 1: Tính toán ngẫu nhiên và toán tài chính

Chương 2: Mô hình Black – Scholes

Chương 3: Một số phương pháp mô phỏng quyền chọn

Chương 4: Chương trình mô phỏng

Chương I: Tính toán ngẫu nhiên và toán tài chính

1.1 Cơ sở toán tài chính

1.1.1 Thị trường tài chính và toán học

Hầu như ai cũng nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán như New York, London và Tokyo Các báo cáo về hoạt động buôn bán tại các thị trường này thường xuất hiện trên trang nhất của các tờ báo hàng ngày và trên bản tin tức thời sự truyền hình buổi tối tại các quốc gia có nền kinh tế thị trường Có rất nhiều thị trường tài chính và mỗi thị trường đều có những nét đặc trưng được xác định thông qua loại hàng hóa tài chính giao dịch trên thị trường

Các thị trường tài chính quan trọng gồm: Thị trường cổ phiếu (stock market), Thị trường trái phiếu (bond market), Thị trường tiền tệ (currency market), Thị trường hợp đồng giao sau và hợp đồng quyền chọn (future and option market) Hàng hóa mua bán có thể là một tài sản cơ sở (basic equity) hay còn được gọi

là tài sản nguyên khởi (primitive equity) hoặc tài sản nền tảng (underlying equity) như: một cổ phiếu, một trái phiếu hay một đơn vị tiền tệ Các loại hàng hóa khác được gọi là phái sinh tài chính (financial derivative) hay tài sản phụ thuộc

(contingent asset, contingent claim) là các hàng hóa mà giá trị của nó tính được từ giá trị của các tài sản cơ sở Phái sinh tài chính là một đối tượng nghiên cứu quan trọng trong Toán học tài chính như quyền chọn, hợp đồng kỳ hạn Vai trò của toán học trong thị trường tài chính là tìm ra mối liên hệ giữa giá phái sinh và giá của tài sản cơ sở

1.1.2 Cổ phiếu và phái sinh

Cổ phiếu: Khi một công ty gọi vốn, số vốn cần gọi đó được chia thành nhiều phần nhỏ bằng nhau gọi là cổ phần Người mua cổ phần gọi là cổ đông Cổ đông được cấp một giấy chứng nhận sở hữu cổ phần gọi là cổ phiếu Chỉ có công ty cổ phần mới phát hành cổ phiếu Như vậy, cổ phiếu chính là một chứng thư chứng minh quyền sở hữu một phần của một cổ đông đối với một công ty cổ phần

Phái sinh chứng khoán (derivatives) là những công cụ được phát hành trên cơ

sở những tài sản đã có như cổ phiếu, trái phiếu cho nhiều mục tiêu khác nhau như phân tán rủi ro, bảo vệ lợi nhuận hoặc tạo lợi nhuận Thị trường các phái sinh chứng khoán là thị trường phát hành và mua, bán các chứng từ tài chính như quyền mua cổ phiếu, hợp đồng quyền chọn Các công cụ phái sinh rất phong phú và đa dạng, nhìn chung có bốn công cụ chính gồm: hợp đồng kỳ hạn (forwards), hợp đồng tương lai (futures), quyền chọn (options) và hợp đồng hoán đổi (swaps)

 Quyền chọn bán trao cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được bán một tài sản cơ sở vào một thời điểm hay trước một thời điểm trong tương lai với một mức giá xác định

Đối với quyền chọn mua, ta có người mua quyền chọn mua (holder) và người bán quyền chọn mua (writer) Đối với quyền chọn bán, ta cũng có người mua quyền chọn bán và người bán quyền chọn bán Một cách phân loại khác là chia quyền chọn thành quyền chọn kiểu châu Âu (European options) và kiểu Mỹ (American options)

 Quyền chọn kiểu châu Âu (European options) là loại quyền chọn chỉ có thể được thực hiện vào ngày đáo hạn chứ không được thực hiện trước ngày đó

 Quyền chọn kiểu Mỹ (American options) là loại quyền chọn có thể được thực hiện vào bất cứ thời điểm nào trước thời điểm đáo hạn

Quyền chọn mua

Tại thời điểm đáo hạn, nếu thực hiện quyền, người mua sẽ mua tài sản cơ sở

Biểu đồ

Hình 1.1: Quyền chọn mua

trong trường hợp này, người mua quyền chọn mua sẽ không thực hiện quyền và

Tóm lại, giá trị nhận được đối với người mua quyền chọn mua vào thời điểm đáo hạn là

giá trị này được biểu diễn bằng đường gấp khúc tô đậm trong hình 1

Tại thời điểm đáo hạn hay trong bất cứ thời điểm nào khi quyền chọn còn hiệu lực, nếu giá tài sản cơ sở lớn hơn giá thực hiện , ta gọi quyền chọn mua là

có lời (in-the-money); nếu giá tài sản cơ sở nhỏ hơn giá thực hiện , ta gọi quyền chọn mua là không có lời (out-of-the-money); còn nếu giá tài sản cơ sở bằng giá thực hiện , ta gọi quyền chọn mua là hòa tiền (at-the-money)

Quyền chọn bán

Tại thời điểm đáo hạn, nếu thực hiện quyền, người mua quyền chọn bán sẽ bán

Biểu đồ

Hình 1.2: Quyền chọn bán

Như vậy trong trường hợp này, người mua quyền chọn bán sẽ không thực hiện

trong trường hợp này, người mua quyền chọn bán sẽ thực hiện quyền và nhận được

Tóm lại, giá trị nhận được đối với người mua quyền chọn bán vào thời điểm đáo hạn là

giá trị này được biểu diễn bằng đường gấp khúc tô đậm trong hình 2

Đối với quyền chọn bán, vào thời điểm đáo hạn hay trong bất cứ thời điểm nào khi quyền chọn còn giá trị, nếu giá tài sản cơ sở lớn hơn giá thực hiện , ta gọi quyền chọn bán là không có lời (out-of-the-money); nếu giá tài sản cơ sở nhỏ hơn giá thực hiện , ta gọi quyền chọn bán là có lời (in-the-money); còn nếu giá tài sản cơ sở bằng giá thực hiện , ta gọi quyền chọn bán là hòa tiền (at-the-money)

1.1.4 Một số khái niệm

Cho là một không gian xác suất

Định nghĩa 1.1: Phương án đầu tư (Portfolio)

Một phương án đầu tư là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với trọng số xác định Giả sử có chứng khoán với giá trị tại thời điểm là

Như vậy, một phương án đầu tư là một cách chọn ra chứng khoán , ,

đầu tư tại thời điểm , ký hiệu là được xác định như sau

định của Một phương án đầu tư có thể ký hiệu là , và còn được gọi là danh mục đầu tư hay chiến lược đầu tư

Định nghĩa 1.2: Quá trình đo được

Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là đo được nếu nó đo

được đối với trường tích Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của , tập hợp

thuộc về trường tích Đó là trường nhỏ nhất chứa các tập có

dạng

Chú ý:

- Mọi quá trình liên tục là đo được

Định nghĩa 1.3: Quá trình thích nghi với một bộ lọc

(a) Một họ các trường con của , được gọi là một bộ

lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:

 Tăng theo , nghĩa là nếu

(b) Cho một quá trình ngẫu nhiên Ta xét trường sinh bởi biến ngẫu nhiên nghĩa là: Khi đó họ

(c) Cho một bộ lọc bất kỳ trên Một quá trình được gọi là

thích nghi với bộ lọc này, nếu với mọi là đo được đối với là trường

Mọi quá trình là thích nghi với lịch sử của nó

(d) Một quá trình với lịch sử của nó là Một quá trình bất kỳ là

thích nghi với lịch sử của quá trình , nếu và chỉ nếu có thể

biểu diễn được dưới dạng

trong đó là một dãy các phần tử của (phụ thuộc vào ) và là một hàm Borel thực trên (cũng phụ thuộc vào ), với là tập các số nguyên dương

(Đây là tiêu chuẩn cổ điển của Doob về tính đo đƣợc)

1.1.5 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ

Định nghĩa 1.4: Cân đối lại và tự tài trợ

(a) Tại một thời điểm , phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điều

chỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán Điều đó có

nghĩa là thay đổi các trọng số sang

(b) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức

là

thì ta gọi sự cân đối đó là sự cân đối tự tài trợ (self – financing)

Định nghĩa 1.5: Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy)

Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn tại thời điểm đáo hạn là một phương án đầu tư tự tài trợ sao cho

nghĩa là giá trị tại thời điểm đáo hạn của phương án đầu tư bằng với giá trị đáo hạn đã định trước và được ghi trong hợp đồng

là lớp tất cả các phương án đầu tư đáp ứng cho phái sinh

Định nghĩa 1.6: Phái sinh đạt được trong thị trường

Một tài sản phái sinh được gọi là đạt được trong thị trường nếu có ít

nhất một phương án đáp ứng cho nó, nghĩa là

Định nghĩa 1.7: Thị trường đầy đủ

Một thị trường được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh đều đạt

được trong , hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫu nhiên đo được với thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư sao cho

Nhận xét: Nói chung, tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường Với đòi hỏi

này, mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, và quá trình giá có thể xây dựng tương tự như xây dựng phương án tự tài trợ

1.1.5 Xác suất rủi ro trung tính

sản cơ sở

với là thời gian đáo hạn

Để đơn giản, giả thiết là 1 chiều (tức là một tài sản cơ sở, chẳng hạn một loại

cổ phiếu)

Giả thiết rằng các giá của đều là một quá trình ngẫu nhiên trên một không

trường

Giả thiết hệ số chiết khấu là

quá trình ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất được lọc nói trên Thông

lãi suất không có rủi ro thì là tất định và hệ số chiết khấu là tất định

Định nghĩa 1.8: Xác suất rủi ro trung tính

Một độ đo xác suất trên được gọi là một xác suất rủi ro trung tính

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

Cho là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm:

 là một tập cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử đại diện cho một yếu

tố ngẫu nhiên Mỗi tập con của gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó

 là một họ nào đó các tập con của , chứa và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù; hay nói cách khác là một trường các tập con của Mỗi tập hợp sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên

 là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo

1.2.1 Kỳ vọng có điều kiện

Cho là một không gian xác suất, là một trường con của , , và là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ vào

trường , nếu:

 Với mọi tập thì ta có

 Nếu ta chọn trường là trường sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên nào đó, khi đó kỳ vọng có điều kiện của lấy đối với cũng được ký hiệu là

Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện:

Trường hợp là một hằng số, ta có

Nếu là một hàm lồi trên tập , tức là

với và Nếu là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên thì

Nếu , khi đó

x Sự hội tụ

sao cho Khi đó

Chú ý : Trong trường hợp không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng là bộ lọc tự

1.2.3 Quá trình Gauss

Định nghĩa 1.9: Quá trình Gauss

Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là quá trình Gauss nếu

mọi tổ hợp tuyến tính có dạng

là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss)

Định lý 1.1: Một quá trình ngẫu nhiên là một quá trình Gauss

Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là một quá trình Wiener

tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown nếu là một quá trình Gauss sao cho:

b) Hàm hiệp phương sai

điểm

tiêu chuẩn (một chiều), tất cả các quỹ đạo của và của là xác định trên đoạn

Tích phân Ito của quá trình ngẫu nhiên là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại

Chú ý

a) Nếu trong tích phân trên, ta đặt và thì ta có tích phân Ito

b) Điều kiện tồn tại tích phân Ito đó là các quá trình thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1.3.4 Công thức Ito

Công thức Ito thực chất là một công thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên:

vi phân sẽ tính như thế nào Công thức này rất cần thiết để tính tích phân ngẫu nhiên, để thực hiện các phép biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên

Định lý 1.2: Cho là một quá trình Ito với Giả sử,

là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất , hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai Khi đó quá trình ngẫu nhiên là một quá trình Ito có vi phân Ito cho bởi

Đó là công thức Ito, có dạng tương đương sau

Chú ý

Chương II: Mô hình Black – Scholes

2.1 Mô hình Black – Scholes

Trong phần này ta luôn giả thiết những điều sau là đúng:

 Các thị trường hoạt động liên tục

 Lãi suất không đổi trong suốt thời kỳ tồn tại của quyền chọn

 Không chia cổ tức cho cổ đông trong suốt thời kỳ hữu hiệu của một quyền chọn mua

 Không có chi phí giao dịch

 Không có trao đổi chứng khoán trên thị trường

2.1.1 Giới thiệu mô hình

Mô hình Black – Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính như sau

trong đó và là những hằng số, còn là chuyển động Brown (còn gọi là quá trình Wiener)

Xét quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá thực thi là , thời điểm đáo hạn là

đó, giá của quyền chọn mua tại thời điểm hiện tại được xác định bởi công thức nổi tiếng sau đây mà ta gọi là công thức Black – Scholes

trong đó là ký hiệu cho hàm phân phối

và là hai giá trị cho bởi:

Nếu chọn thời điểm , khi đó công thức Black – Scholes trở thành:

trong đó

số tỷ lệ Khi đó

Ngoài ra còn có tác động của yếu tố ngẫu nhiên, mà phổ biến nhất chính là nhiễu có phân phối xác suất chuẩn còn đƣợc gọi là nhiễu trắng Gauss hay ồn trắng Gauss thể

lệ nào đó Do đó ta đặt

Qua hệ thức này, ta nhận thấy càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn, cho nên

hằng số Khi xét mô hình mở rộng thì cả và đều phụ thuộc vào và phụ thuộc ngẫu nhiên

2.1.2 Quá trình chuyển động Brown hình học

Xét phương trình

Trong giải tích ngẫu nhiên người ta chứng minh được rằng nghiệm của

giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm

2.1.3 Các tham số của chuyển động Brown hình học

Ta có thể ước lượng được các tham số và của chuyển động Brown hình

Xét trong khoảng thời gian Nếu chia đều khoảng thành khoảng

Bước 1: Tạo ra một dãy số liệu

Bước 2: Tìm trung bình và phương sai của dãy số liệu

Trung bình mẫu: