Bài toán thác triển hàm chính quy nhận giá trị trong đại số ma trận và ứng dụng trong công nghệ

LỜI MỞ ĐẦUTrong nhiều năm qua, bài toán thác triển có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyếtcũng như kỹ thuật, đặc điểm quan trọng của bài toán là: khi biết tính chất của hàmtrên một địa phư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới GS TSKH Lê Hùng Sơn, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trìnhhọc tập để em hoàn thành khóa luận này

Nhân dịp này, Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong Viện Toán - Tin ứng dụng và các Thầy Cô giáo trong viện Sau Đại học,trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã dạy bảo em tận tình và tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho em trong suốt quá trình học tập vừa qua

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đãluôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiệnkhóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 20 tháng 03 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Thu

Mục lục

Lời mở đầu 5

Chương 1 Định lý thác triển đối với hàm chỉnh hình nhiều biến phức 6

1.1 Không gian Cn 6

1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức 7

1.3 Công thức tích phân Cauchy 11

1.3.1 Công thức tích phân Borel - Pompeiu 11

1.3.2 Công thức tích phân Cauchy 13

1.4 Định lý thác triển hàm Hartogs cho hàm nhiều biến phức 14

Chương 2 Tính chất ma trận đối với định lý thác triển nghiệm hệ phương trình đạo hàm riêng cấp 1 17

2.1 Bài toán 17

2.1.1 Các tính chất ma trận đối với tính giải được của hệ phương trình riêng tuyến tính cấp 1 19

2.1.2 Ví dụ áp dụng 29

2.2 Hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 có hệ số hàm 32

2.2.1 Bài toán 32

2.2.2 Một số tiêu chuẩn ma trận đối với tính giải được của bài toán (2.1’) 33

2.2.3 Một số ví dụ áp dụng 45

Chương 3 Áp dụng tiêu chuẩn của ma trận đối với hệ Cauchy - Riemann

trong R2 58

3.1 Hệ Cauchy - Riemann trong C 58

3.1.1 Định nghĩa 58

3.1.2 Nhận xét 59

3.2 Bổ sung điều kiện vào hệ Cauchy - Riemann để có định lý thác triển

61 3.3 Sự tồn tại của T và T 63

Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

LỜI MỞ ĐẦU

Trong nhiều năm qua, bài toán thác triển có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyếtcũng như kỹ thuật, đặc điểm quan trọng của bài toán là: khi biết tính chất của hàmtrên một địa phương nào đó, thì có thể biết được tính chất của hàm trên toàn cục Vìvậy nếu giải quyết được bài toán thác triển này sẽ giúp ta dự đoán được các tính chấtquan trọng của các hiện tượng khi biết thể hiện của nó trong một địa phương nhấtđịnh Bài toán này thực sự thu hút được sự chú ý khi lý thuyết về hàm phức nhiềubiến ra đời Một kết quả nổi bật của nó là bài toán thác triển hàm chính quy nhậngiá trị trong đại số ma trận và ứng dụng của nó Dựa trên ý tưởng này, người ta tìmkiếm tiêu chuẩn để nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng trên địa phương cóthể thác triển được ra toàn miền xác định Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo-GS.TSKH Lê Hùng Sơn, tôi đã nghiên cứu bài toán thác triển sau đây:

tích thực trên K

Vấn đề này được nghiên cứu theo hướng tiếp cận sử dụng một số tiêu chuẩn matrận trong hai trường hợp: Api jlqpxq là các hằng số và Apl q

i j pxq là các hàm số giải tích

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1: Trình bày tóm tắt một số kiến thức,tính chất,định lý và kết quả

cơ bản liên quan đến hàm chỉnh hình nhiều biến phức, và định lý thác triểnHartogs

• Chương 2: Trình bày ý tưởng, hướng tiếp cận sử dụng một số tiêu chuẩn matrận và một số ví dụ minh họa cho các tiêu chuẩn đó.Đặc biệt quan trọng là các

Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Thu

Có thể xem, với n tùy ý, không gianCn là tích của n mặt phẳng phức:

Cn C    Clooooomooooon

n lần

xv  zv zv

2 , xn v zv
zv

2iKhi đó

Định nghĩa 1.1 Hàm w  f pzq gọi là chỉnh hình (hay giải tích) trong miền mở

D€ C nếu hàm có f1pxq tại mọi điểm trong D

Hàm w  f pzq gọi là chỉnh hình tại z nếu nó chỉnh hình trong một lân cận nào đó

của z.

Những điểm mà tại đó w  f pzq không chỉnh hình gọi là các điểm bất thường.

Định nghĩa 1.2 Hàm f , xác định trong lân cận nào đó của điểm z P C, nếu được

gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức ( C
khả vi), nếu nó R2n
khả vi

tại đó và tại điểm này

B f

Bzv  0 pv  1, ,nq pq

Định nghĩa 1.3 Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0P Cn nếu f khả vi tại mọi điểm của lân cận nào đó của z0.

Hàm f chỉnh hình tại mỗi điểm của tập mở nào đó Ω€ Cn

(đặc biệt là các miền)được gọi là hàm chỉnh hình trên tập Ω

Nhận thấy: Hàm chỉnh hình trong miền D€ Cn là hàm chỉnh hình (Cn- khả vi) theomỗi biến zv riêng biệt Khẳng định ngược lại cũng đúng: nếu hàm f chỉnh hình theomỗi biến zv riêng biệt trong miền D€ Cn

nào đó, thì nó khả vi trong D (theo nghĩa

trong đa tròn đóng U  tz P Cn :|zv
av| ¤ rvu thì tại mỗi điểm z P Unó được biểu

diễn bởi tích phân bội Cauchy:

trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích các vòng tròn biên γv  t|ζv
av|  rvu.

Tính chất 1.2 Xét hàm f liên tục trong miền D€ Cn theo tập hợp các biến và tại mỗi điểm z0 P D, chỉnh hình theo mỗi tọa độ Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện

B f

Bzv  0 pv  1, ,nq

trong đa tròn đóng U  tz P Cn

:|zv
av| ¤ rv thì tại mỗi điểm z P Unó được biểu

diễn bởi chuỗi lũy thừa kép:

Nếu chuỗi lũy thừa (trong tính chất 1.2) hội tụ tại điểm zP Cn nào đó thì trên tập tùy

ý K„ tz : |zv
av|   |ζv
av|u chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều.

Tính chất 1.4 Xét hàm f liên tục trong miền D€ Cn theo tập hợp các biến và tại mỗi điểm z0 P D, chỉnh hình theo mỗi tọa độ nếu hàm f thỏa mãn điều kiện

B f

Bzv  0 pv  1, ,nq

trong đa tròn đóng U tz P Cn

:|zv
av| ¤ rvu thì tại mỗi điểm z P Unó có các đạo

hàm riêng mọi cấp liên tục theo tập hợp biến.

Tính chất 1.5 Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a, được khai triển thành chuỗi lũy

thừa (dạng trong tính chất 1.2), thì các hệ số của chuỗi này được xác định theo các công thức của Taylo:



z  a

trong đó k! k1!kn!

Tính chất 1.6 (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu hàm f chỉnh hình trong đa tròn đóng

U  t: |zv
av| ¤ rvu và | f | ¤ M trên khung Γ của nó, thì các hệ số trong khai triển

Taylo của f tại điểm a thỏa mãn bất đẳng thức

|ck| ¤ M

rk

trong đó rk  rk1

1 rknn

Định lý 1.1 (Định lý Hartogs) Nếu hàm f chỉnh hình tại mọi điểm của miền D€ Cn

theo mỗi biến zv, thì nó chỉnh hình trong D.

Định lý 1.2 (Định lý duy nhất) Nếu f P HpDq cùng với mọi đạo hàm riêng triệt

tiêu tại điểm z0nào đó của miền D€ Cn, thì f  0 trong D.

Nếu hàm f P HpDq bằng không trong lân cận thực của điểm z0 P D, tức là trên tập

tz  x iy P Cn :|x
x0|   r , y  y0u, thì f  trong D.

Định lý 1.3 (Nguyên lý môđun cực đại) Nếu hàm f P HpDq và | f | đạt cực đại tại

điểm nào đó a P D, thì f  hằng số trong D.

Định lý 1.4 (Liuvin) Nếu hàm f chỉnh hình trong Cn và giới nội, thì nó là hằng số.

Định lý 1.5 (Weierstrass) Giả sử hàm fµ P HpDq hội tụ đều đến hàm f trên mỗi

tập con compact của D, khi đó f P HpDq và với k  pk1 , knq tùy ý

B| k |f

µ

Bzk ÝÑ BBz|k|kf

trên k „ D tùy ý.

Định lý 1.6 Giả sử f chỉnh hình trong lân cận U nào đó của điểm aP Cnvà f paq  0,

nhưng fp1a, znq  0, khi đó trong lân cận V nào đó của điểm này

fpzq  tpzn
anqk

c1p1zqpzn
anqk
1  ckp1zquϕpzq

trong đó k ¥ 1 là cấp của không điểm của f p1a, znq tại điểm zn  an, các hàm cv

chỉnh hình trong1V, cvp1aq  0, còn ϕ chỉnh hình trong V và không triệt tiêu trong

đó.

Tiếp theo, ta xét một bổ đề tổng quát thể hiện sự phụ thuộc chỉnh hình của tíchphân vào tham số.

Bổ đề 1.1 Giả sử Lµ : ζµ  ζµplq là đường cong đo được trong mặt phẳng ζµpµ 

1, , mq,L  L1   Lm và D là miền trong Cm; giả sử ζ  pζ1, , ζmq và z 

pz1 znq Nếu hàm gpζ,zq liên tục trên L  D, chỉnh hình theo z trong D với ζ P L

tùy ý và có đạo hàm riêng liên tục Bg

1.3 Công thức tích phân Cauchy

1.3.1 Công thức tích phân Borel - Pompeiu

Định nghĩa 1.4 Hàm Enpxq định nghĩa như sau gọi là nhân Cauchy xác định trong

trong đó hàm Enpxq là nghiệm cơ bản của toán tử Cauchy Riemann trong giải tích

Clifford, ωn là diện tích mặt cầu đơn vị Sn trongRn 1:

z , pz P Cq

Mệnh đề 1.1 Nhân Cauchy chỉnh hình trái và phải.

B|x|xn 1  0Chứng minh tương tự cho trường hợp chỉnh hình phải

Định lý 1.7 (Công thức tích phân Borel - Pompeiu)

Xét miền Ω€ Rn 1 có biên trơn Với f P C1pΩq thì:

gọi là toán tử Teodorescu.

Chú ý 1.1 Công thức Borel - Pompeiu có thể được viết dưới dạng:

Epξ
xq f pξqdξ 
Dx

³Ω

DxNpξ
xq f pξqdξ


∆³Ω

Chú ý 1.2 Như vậy toán tử Teodorescu là toán tử ngược của toán tử Dirac trên miền

chính quy.

Như vậy u là hàm chính quy trong toàn Ω

1.4 Định lý thác triển hàm Hartogs cho hàm nhiều

biến phức

Định lý 1.10 (Hartogs) Giả sử cho các miền1D€ Cn
1p1zq và Dn € Cpznq, hàm f

tùy ý chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩaCn) của tập

M p1D BDnq Y pt1z0u  Dnq (1.1)

trong đó1z

0P1D, thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D1 D Dn.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta coi Dn giới nội bởi một số hữu hạn đườngcong trơn Hàm

Thật vậy, khi ξn P BDn và1zP 1D, điểmp1z, ξnq P M do đó f p1z, znq chỉnh hình Suy

ra hàm ˜f chỉnh hình đối với1ztrong1Dpzn R BDnq (tính chất hàm chỉnh hình)

Mặt khác: với1zP 1D, hàm ˜f chỉnh hình đối với z

n P Dn.Với z thuộc lân cậnt1z0u  Dn, hàm f chỉnh hình theo giả thiết và

(Công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến zn)

Vậy với z thuộc lân cận này, ˜f f pzq

ñ ˜f  f khắp nơi mà f chỉnh hình (Định lý duy nhất đối với hàm nhiều biến phức)

Mà ˜fP HpDq ñ ˜f là thác triển giải tích cần tìm của f

Nhận xét 1.1 Từ chứng minh trên ta nhận thấy, điều kiện của định lý Hartogs có thể

giảm đi, nếu chỉ đòi hỏi f là hàm:

1 Chỉnh hình trong lân cận tậpt1z0u  Dn.

2 Liên tục theo zn và chỉnh hình theo1z trên tập1D BDn.

Hơn nữa, nếu trong (1.2) ta xét tích phân bội Cauchy theoB1D thì vai trò của 1D và

Dn có thể thay đổi cho nhau (tương ứng, các biến1z và z

Định lý 1.11 Giả sử M là tập mỏng trong miền D€ Cn và hàm f chỉnh hình trong

DzM Nếu f giới nội địa phương thì nó thác triển được một cách duy nhất thành hàm

Xét hàm ϕ xác định M trong lân cận U0 thỏa mãn điều kiện:ϕp1z, 0q  0, trong

đó1z pz1, , zn
1q

Với ρn¡ 0, đủ nhỏ, hàm φp10, znq  0 trên đường tròn t|zn|  ρnu

ñ các số ρrpr  1,n
1q có thể đủ nhỏ, sao cho φp1z, znq  0 với @1zP1V  t|zr|   ρu

V 1V  Dn

Trong định lý tiếp theo ta tăng hạn chế buộc cho f bằng cách thác triển liên tục

nó vào D, nhưng đồng thời giảm đòi hỏi cho tập M (Giả sử: f không phải trên tậpmỏng mà trên mặt trơn 2n
1 chiều)

Định lý 1.12 Nếu hàm f liên tục trong miền D€ Cn và chỉnh hình khắp nơi trong

D, trừ ra tập M nằm trên mặt trơn2n
1 chiều S thì nó chỉnh hình trong toàn tập D.

Chứng minh. Tương tự như định lý trên, giả sử trong lân cận U của điểm 0P M, mặt

Sbiểu diễn bởi phương trình yn  ϕp1z, xnq, trong đó ϕ là hàm thực trơn

Vì ϕ p10, 0q  0 nên theo tính liên tục: Với @β ¡ 0 nhỏ tùy ý, D lân cận1V của điểm

10 và α ¡ 0 sao cho |ϕp1z, xn|   β với @1zP V và |xn|   α

ñ f chỉnh hình trong1V t|xn|   α, |yn|   γu, với γ ¡ β đủ nhỏ

Mặt khác, với1z0 P1V cố định, hàm fp1z0, znq chỉnh hình theo zn trong hình chữ nhật

Dn  t|xn|   α,|yn|   γu khắp nơi, trừ tại đường cong nhẵn yn  ϕp1z0, xnq và liêntục trong Dn

ñ f p1z0, znq chỉnh hình trong Dn

ñ f chỉnh hình trong1V D1

n (theo định lý Hartogs)

Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa thác triển nghiệm) Cho u tu1pxq,u2pxq, ,umpxqu

là một nghiệm của hệ (2.1) trong miền K và ru  tru1,pxqru2pxq, , rumpxqu là một

nghiệm của hệ đó trong miền r K với K„ rK„ R Khi đó ru được gọi là thác triển liên

tục của u nếu ru u trong K.

Định lý 2.1 (Định lý duy nhất).

Cho tập mở σ € K, δ  ∅ Giả sử u  tu1pxq,u2pxq, ,umpxqu là một nghiệm (giải

tích thực) của hệ (2.1) trong miền K P Rn Khi đó, nếu:

u 0 với xP σ

thì

u 0 với xP K

Nếu hệ (2.1) là hệ elliptic thì nghiệm của hệ (2.1) cũng là hàm giải tích (thực) theo

x1, x2, , xn Do đó ta có thể áp dụng định lý duy nhất cho nghiệm của hệ phương trình elliptic.

Tức là, định lý duy nhất 2.1 thỏa mãn đối với các nghiệm đủ trơn của hệ (2.1)

Từ định lý duy nhất ta thấy thác triển ru của u xác định duy nhất

Bài toán 2.1 Giả sử định lý duy nhất nghiệm 2.1 đúng cho hệ (2.1) Câu hỏi đặt ra

là: Khi nào mọi nghiệm của hệ (2.1) trong Σ có thể thác triển liên tục thành nghiệm

của chính hệ đó trong toàn miền K Nghĩa là:

2.1.1 Các tính chất ma trận đối với tính giải được của hệ phương

Ap l q là ma trận cỡ m n và ÝÑλi là véc tơ L - chiều Nếu véc tơÝÑ

λi được chọn trướcthì ta định nghĩa ma trận cỡ m n như sau:

Định lý 2.2 Giả sử rằng m ¤ n và tồn tại m véc tơ ÝÑλ 1, ,ÝÑ

λ m sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) RankDi  1 với@i  1,m

ii) RankB  m,

iii) RankC  m

Khi đó, mỗi nghiệm giải tích (thực) u của hệ (2.1) trong°

có thể thác triển liên tục được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn K.

Chứng minh. Giả sử tồn tại các ánh xạ tuyến tính

mpξq được cho°1 là giải tích (thực) theo ξ1, , ξm

Nếu hệ (2.1) bao hàm các phương trình

Lp l qp ˜uq  Lp l qpuq  0 trong ¸, l 1,L (2.13)Lại cóLp l qp ˜uq giải tích thực theo x1, , xn.

Kết hợp định lý duy nhất 2.1 và (2.13), ta lấy

Lp l qp ˜uq  0 trong toàn K, với l  1,L (2.14)Điều kiện (2.13) có nghĩa ˜u p ˜u1, , ˜umq là một nghiệm của (2.1) trong toàn K Do

đó ˜ulà thác triển của u trong toàn K

Bài toán được suy ra từ việc chứng minh sự tồn tại của các ánh xạ A và A1

pai1, , aimq , pα1i, , αniq (2.25)thỏa mãn điều kiện

Dp 1 q

Từ (2.26), (2.24) và giả thiết (ii) của Định lý 2.2 ta có

khi đó ta lấy hệ m véc tơ với n thành phần

. . .

α1m α2m  αnm

α1m 1 α2m 1  αnm 1

Do (2.28), (2.32) các phép biến đổi (2.34), (2.35) là các phép biến đổi tuyến tính đơnánh.

Ta lấy các ánh xạ đơn ánh dạng (2.5) và (2.6) thỏa mãn điều kiện (2.9)

Vậy Định lý 2.2 được chứng minh

Nếu m, n bất kỳ ta có:

Định lý 2.3 Giả sử tại m véc tơÝÑ

λ 1, ,ÝÑ

λm sao cho ma trận phụ thuộcDi,B và C

thỏa mãn các giả thiết sau:

có thể thác triển thành các hàm giải tích thực trong toàn bộ K1.

Ta ký hiệu các hàm thác triển của u11pxq, ,u1

Từ giả thiết a) của định lý 2.3 ta có sự tồn tại củapa11, a12, , a1nq và pα11, a21, , αn1qthỏa mãn

Dp i q

k j  a1ikα1

Giả thiết c) có nghĩa là

Từ giả thiết (b) ta được

Vế phải của (2.47) trường hợp tuyến tính củapuqp 1 q, ,puqL Do đó, ta được (2.38).Định lý được chứng minh

2.1.2 Ví dụ áp dụng

''''''

&

''''''

Ta thấy hệ đã cho có dạng (2.1) với m 2, n  4, L  4, và ui px1, x2, x3, x4q,

i 1,4

Vì m  n nên áp dụng định lý 2.2 ta có:

Ap l q pApl q

i j q2  4Trong đó:

λ1 λ2

λ2 λ1

 0 ñ λ2

1
λ2

2  0 ñ λ1  λ2

... λ2

1
λ2

2  ñ λ1  λ2

λ3 λ4

λ4... Rnpx1, x2, , xnqq, (2.48 )và

u1 T1puq pT1 : Rmpu1, u2, , umq... , ξnq,x  px1, x2, , xnq,u  pu1, u2, , umq,u1  pu11,