Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (khóa luận tốt nghiệp)

Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

KHOA TOAN

Doan "Thị Thúy

PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ ỨNG TRONG TRONG GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC PHĂNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP DẠI HỌC

Ha Noi — Nam 2016

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Ha Noi — Nam 2016

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Trường Dại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo em trong suốt thời gian theo học tại khoa và trong thời gian

làm khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm - Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tan tam chi bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản than còn

nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được

sự đóng góp ý kiến của các thay cõ giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngàu 02 tháng 05 nắm 2016

Sinh viên

Đoàn Thị Thúy

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một

số tài liệu da ghi trong phan tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng vào giải toán hình học phẳng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập

và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu

sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngàu 02 tháng 0ð năm 2016

Sinh viên

Đoàn Thị Thúy

Muc luc

Lời mở đầu

1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng

1.1.1 Định nghĩa phép biến hình (xem [l])

1.1.2 Sự xác định phép biến hình (xem [l])

1.1.3 Tích của hai phép biến hình (xem [l])

1.2 Phép đời hình trong mặt phẳng

1.2.1 Dịnh nghĩa phép dời hình (xem [1])

1.2.2 Tính chất của phép dời hình (xem [l])

1.3 Phép tịnh tiến trong mặt phẳng

1.3.1 định nghĩa phép tịnh tiến (xem [1])

1.3.2 Các tính chất của phép tịnh tiến (xem [1])

1.3.3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiễn (xem [1]) 14 Phép vỊfW vo 1.41 Định nghĩa phép vị tự (xem [H]) -

1.4.2 Các trường hợp đặc biệt (xem [l]) -

1.4.3 Tính chất của phép vị tự (xem [1]

1.4.4 tích của hai phép vị tự (xem [l])

ii

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY

2_ Ứng dụng phép tịnh tiến và phép vị tự vào giải toán

2.1 Bài toán chứng mình 8 2.11 Bài toán chứng mình 8 2.1.2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến

2.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng

phép biến hình 9 2.2 Bài toán tính toán co 20 2.221 Bài toán tính toán 20 2.2.2 Ứng dụng phép biến hình vào giải toán tính toán 20 2.2.3 Khai thác bài toán tính toán nhờ phép biến hình 21 2.3 Bài toán quỹ tích Q Q 30 2.3.1 Bài toán quỹ tích 30 2.3.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình 30 2.3.3 Khai thác bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình 31

24 Bài toán dựng hình 40 24.1 Bài toán dựng hình 40 2.4.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 40 2.4.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 41

ii

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY

Lời mở đầu

Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc trung học cơ sở và THPT' không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán mà còn tập trung cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và

biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự

ra đời của những phát minh và sáng tao trong tương lai Thí dụ như trước đây khi cần chứng minh hai tam giác nào đó bằng nhau, học sinh thường phải chứng minh cạnh và góc của hai tam giác đó thỏa

mãn các điều kiện được nêu ra trong các định lý nói về hai tam giác bằng nhau

Sau khi học các phép biến hình trong mặt phẳng người ta có thể định nghĩa sự bằng nhau của hai tam giác và tổng quát hơn đối với

hai hình phẳng bất kì như sau: " Hình H được gọi là bằng hình H' nếu

có một phép đời hình trong mặt phẳng biến hình H thành hinh H’ Như vậy, khái niệm "bằng nhau" của hai hình phẳng được xây dựng

dựa trên khái niệm về phép dời hình là một phép biến hình

Dựa trên các mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình học khác nhau đó, người ta có thể tìm ra các phương pháp và công cụ

khác nhau để giải một bài toán Ngoài ra có thể dựa vào một bài toán

cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta còn có khả năng tạo ra các

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY

bài toán mới khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng

thú trong việc tìm tòi nghiên cứu hình học học Hơn nữa việc lựa chọn các công cụ thích hợp trong mỗi loại toán hình học khác nhau là một

việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức

giải toán

Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướng

dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm , em mạnh

dạn chọn đề tài: “Phép tịnh tiến, phép vị tự và ứng dụng vào

giải toán hình học phẳng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của

mình

JKhóa luận được trình bày trong hai chương:

e Chương 1: liến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số kiến thức về phép tịnh tiến

và phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất và một số chú ý

quan trọng

e Chương 2: ứng dụng của phép vị tự, phép tịnh tiến vào giải toán hình học phẳng

Trong chương này trình bày một số kiến thức về ứng dụng của

phép vi tự và phép tịnh tiến vào giải bài toàn chứng minh, bài toán tính toán, bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích

Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực

bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến

của các thầy cô và bạn doc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn

Em xin chan thanh cam gn!

Hà Nội, ngàu 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Đoàn “Thị Thúy

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến và phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất, một số chú ý quan trọng nhằm thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau

1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng

1.11 Định nghĩa phép biến hình (xem [1])

Một song ánh ƒ: P -› P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là phép biến hình của mặt phẳng

1.1.2 Sự xác định phép biến hình (xem [1])

Muốn xác định một phép biến hinh f: P > P ta cần nêu rõ quy tắc

ƒ đó bằng cách xác định sau đây:

- Quy tắc ƒ được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong

mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước

- Quy tắc ƒ còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ

(x;y) cha diém M với tạo độ (+; ') của điểm M' = ƒ(M) đối với hệ

tọa độ Oxy cho truéc nao do

1.1.3 Tích của hai phép biến hình (xem [1])

Nếu ta dùng một phép biến hình ƒ: P > P để biến một điểm M bất kì của P thành một điểm M' rồi lại dùng phép biến hình thứ hai

g: P— P biến M' thành MT Ta có: M’=f(M) va M"= g(M))

Khi đó phép biến hình h biến điểm M thành điểm M" gọi là tích

của hai phép biến hình ƒ và ø và kí hiệu: h = go f

Ta có h(M) = (go ƒ)(M) =M' = gø(M)) =ø[ƒ(M)

1.2 Phép dời hình trong mặt phẳng

1.21 Định nghĩa phép dời hình (xem [1])

Một phép biến hình ƒ: P -› P được gọi là một phép dời hình nếu trong mặt phẳng P với hai điểm M,N bất kì và hai ảnh của chúng lần

lượt là M’ = f(M); N’ = f(N) ta luôn có MN' = MN

1.2.2 Tính chất của phép đời hình (xem [1])

Tính chất 1

Phép dời hình biến ba điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A và

€ thành ba điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm gitta A’ va C’

Hệ quả 1.1 Phép dời hành biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến một đoạn thắng thành một đoạn thẳng

2

bang no

Hệ quả 1.2 Phép dời hành biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến tmột góc thành một góc bằng nó, biến một đường tron thành một đường tròn bằng nó uới tâm đường tròn nàu thành tâm đường tròn kia

Tinh chat 5

Nếu ABC và A'B'C' là hai tam giác bằng nhau thì phép đời hình biến

tam gidc ABC thanh tam gidc A‘B’C’

1.3 Phép tịnh tiến trong mặt phẳng

1.3.1 định nghĩa phép tịnh tiễn (xem [1])

Trong mặt phẳng P cho vectd v, phép biến hình biến mỗi điểm M

thành diém M’ sao cho vects MM! = 7 goi la phép tinh tién theo

vectd UW VA được kí hiéu T+

Vectơ gọi la vecto tinh tiến Ta có Tz(M) =M!

theo vecto UV = AB = AB

1.3.2 Các tính chất của phép tinh tiến (xem [1])

Định lý 1.3.2 Phép tịnh tiến là một phép dời hành nên nó có đầu đủ

# > , Dinh ly 1.3.4 Qua phép tinh tiên vecto ? z# 0 thì các đường thăng nhận uectd làm 0ectơ chỉ phương đều biến thành chính nó

Định lý 1.3.5 Tích của hai phép tịnh tiến Tạ va Ts là một phép

tinh tién vdi vecto tịnh tiên bằng + 0,

Định lý 1.3.6 Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biết

được vecto tịnh tiến Tử của nó

1.3.3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến (xem [1])

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vecEơ

Tử Biết tọa độ của vectơ là (a;b)

Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’;y’)

x=x+a Khi do ta có:

kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k Phép biên hình này được

kí hiệu là Vẻ Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự.

Như vậy phép vị tự sẽ được xác định khi biết tâm vị tự và tỉ số vị

- Nếu tỉ số vị tự k = -l, khi đó ÓA⁄' = - OM tức là đoạn thắng

MM' nhận O làm trung điểm, lúc đó phép vị tự là phép đối xứng tâm

thi A'B’= k AB

Hệ quả 1.4 Nếu phép vi tu bién A thanh A’, bién B thanh B' thà

đường thang AB va A’B’ song song uới nhau hoặc trùng nhau va

A'B! = |k|AB

Hé qua 1.5 Phép vi tu bién một tam gidc thanh mét tam giác đồng dạng uới nó 0à biến một góc thành một góc bằng nó có các cạnh tương ứng cùng phương

Tính chất 2

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

Tinh chat 3

Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn

1.4.4 tích của hai phép vị tự (xem [1])

- Tích của hai phép vị tự cùng nhận O làm tâm và có tỉ số vị tự lần

lượt là kị , k; là một phép vị tự tâm O có tỉ số vị tự k = ky o ky + chứng minh:

theo giả thiết ta có:

Chuong 2

Ung dung phép tinh tién va phép

vị tự vào giải toán hình học phẳng

Chương này chúng ta trình bày ứng dụng của phép vị tự và phép tịnh tiến vào giải bài toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán tìm quỹ tích và bài toán dựng hình trong hình học phẳng

2.1 Bài toán chứng minh

2.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh được chứa đựng trong hầu hết bài toán hình học như: bài toán tính toán, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình

Đó là các bài toán cần chỉ ra mệnh đề "A = B" là đúng, trong đó

A là giả thiết, B là kết luận

Ta xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng đã biết bằng

những lí luận chặt chẽ và suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, các

tính chất, các định lý của đối tượng toán học để đi đến kết luận B

2.1.2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình Giải một bài toán hình học phẳng nhờ sử dụng phép biến hình nói

chung gồm ba thao tác chính:

- Lựa chọn phép biến hình

- Thực hiện phép biến hình

- Rút ra kết luận của bài toán

Nhờ phép biến hình, thông qua việc dựng các hình phụ ta có thể mang những điều kiện đã cho của bài toán và những hình liên quan

đến việc chứng minh vốn rời rạc nhau thành một hình mới làm cho

chúng có quan hệ với nhau giúp việc chứng minh được tiễn hành thuận

lợi Cũng có thể từ các tính chất của phép biến hình ta có thể chứng minh được các kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, sự bằng nhau

của các góc, của các tam giác, các đường tròn

2.1.3 Khai thác bài toán chứng mỉnh nhờ sử dụng phép biến

hình

Ta có thể nêu ra một số phương hướng đề xuất một bài toán từ bài

toán đã cho như sau: - Từ bài toán ban đầu có thể biểu diễn dưới dạng

ménh dé "A > B", Qua một phép biến hình ƒ mệnh đề trên tương

ứng thành "A' > B’"

Lợi dung tính 1— 1 của phép biến hình và cách suy luận khi chứng mỉnh, ta có thể xem mệnh đề dao "B > A" có đúng không, nếu đúng

ta có thể ra cả bài toán điều kiện cần và đủ

- Thay đổi một vài điều kiện giả thiết, đặc biệt hóa, tương tự hóa,

khái quát hóa của bài toán để ra bài toán mới

Xin minh hoa sau day bang mét vai bai toán sử dụng phép tịnh tién va phép tị tự để giải bài toán chứng tinh

Bài tập 2.1 Chứng minh rằng một tứ giác có đường nối trung điểm

hai cạnh đối diện bằng nửa tổng hai cạnh còn lại là hình thang Từ kết quả vừa có suy ra điều kiện tương đương để một tứ giác là một hình bình hành

Giải:

Hình 2.1:

Goi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

Theo giả thiết, đường nối trung điểm của hai cạnh đối diện bằng nửa tổng hai cạnh còn lại

2

Gia stt E 1a anh cia C qua phép tinh tiến theo vectd AB Tức là

10

CE = AB

Suy ra ABEC là hình bình hành có hai đường chéo là BC và AB

Mà N là trung điểm của BC = N cũng là trung điểm của AE Trong tam giác ABD có MN là đường trung bình

=> điều kiện tương đương để một tứ giác là hình bình hành là:

Tứ giác có hai đường nối trung điểm của hai cặp cạnh đối diện bằng nửa tổng hai cạnh còn lại

Tức là P,N, Q,M lần lượt là trung điểm của AB, AD, DC, BC

Bài tập 2.2 Chứng minh tam giác có hai phân giác trong bằng nhau

là một tam giác cân

Hay PKC = FCK

ek +Ki=G+G

Ầ© Ay + K, " Co + an (Ay = Kì do ABKF là hình bình hành)

Mà theo giả sử ta có: GC; > Ay suy ra K, > Cy

Suy ra trong tam gidc KEC thi CE > KE = AF, diéu nay mâu

thuẫn với giả sử Vậy không thể có €¿ > Ai

e Trường hợp 2: GŒ < Ay

Tương tự như trên ta cũng có mâu thuẫn với giả thiết nên không

thể có on < Ay

Vay €; = Ay eC=aA

= Tam giác ABC cân đỉnh B

Nhận xét: Trên đây là một cách giả nhờ vào phép biến hình cụ thể là phép tịnh tiến giúp bài toán đơn giản hơn rất nhiều

13

Bài tập 2.3 Cho tam giác ABC và A',B`,C' lần lượt là trung điểm

của các cạnh BC, CA, AB Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh ba điểm GŒ, O, H thẳng hang

Mặt khác H là trực tâm tam giác ABC và ©' trực tâm của tam giác

Ÿ BH seœ ` š Boe tac ˆ _ GỎ | ott

A’B’C’ nén O 18 anh cua H trong phép vi tu tam G va GO = =" Nhu vay, ba diém G, O, H thang hang

14

Nhận xét:

Nếu gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ ta cting

cũng có Go’ = -26Ổ

Vậy bốn điểm: , O, H, O' cùng thuộc một đường thẳng Đó là

đường thang Ole

15

Bài tập 2.4 Chứng minh rằng trong một tam giác ba điểm: trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng

Giải:

Hình 2.4:

Xét tam giác ABC có H là trực tam, G 1a trong tam va O lam tam

đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cần chứng minh ba điểm H, G, O thang hàng

Suy ra d là trung trực của BC

V2: BB

BH -d

Với đường thắng d' đi qua B' và vuông góc với AC

AHn.BH ={H} 4 Mặt khác: = W2*(H) =O > GỖ = —<Gil

dnd’ = {0O}

17

Bài tập 2.5 Cho ba vòng tròn bằng nhau cùng di qua một điểm A

Ba giao điểm còn lại của các vòng tròn là P, Q, R Chứng minh rằng đường tròn (PQR) bằng các vòng tròn đã cho

= AP và Ó¡Ó; cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

AQ và ÓsÓ; cắt nhau tại trung điểm J của mỗi đường

AR và Ó¡Ó; cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

18

Xét phép vi tu

V=HaVi:IKP

JQ

kh

Ta c6: AO; = AOg = AOz =r

= Dudng tron (O;0203) có bán kính là r

2.2_ Bài toán tính toán

2.2.1 Bài toán tính toán

Bài toán tính toán thường gặp: Trong hình học phẳng là bài toán tính

số đo góc, độ dài đoạn thẳng, diện tích hình phẳng, thiết lập các hệ

thức liên hệ

Gồm ba bước:

Bước 1: Xác định các yêu tố cần tính toán

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bài toán với các yếu tố cần tính toán

Bước 3: Tiến hình tính toán theo các dữ kiện đã xác lập

2.2.2 Ứng dụng phép biến hình vào giải toán tính toán

Việc tính toán các đại lượng hình học thường được tiến hình nhờ các hệ thức lượng trong các hình, đặc biệt là hệ thức lượng trong tam

giác và trong đường tròn Do đó ta cần quy các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tính toán thành các mối liên hệ giữa các yếu tố của cùng

một hình học nào day, chang hạn của cùng tam giác hay đường tròn C6 lẽ việc xác lập các mối liên hệ này là khâu then chốt để tìm ra đáp

số của bài toán và thường cũng là khâu khó khăn nhất

Đối với nhiều bài toán, việc khắc phục những khó khăn này được

thực hiện nhờ dựng thêm các hình phụ thực chất là dựng ảnh của các

yêu tố đã cho của bài toán qua một phép biến hình nào đó thích hợp

của bài toán trong số các phép biến hình của mặt phẳng đã học

20