ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNHNgô Hoàng Toàn Lớp YD-K38 Đại Học Y Dược Cần Thơ Email:ngohoangtoan@gmail.com Khi giải một bài toán, điều quan trọng không phải là ta chỉ tìm ra kết quả mà là tìm r
Trang 1ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Ngô Hoàng Toàn Lớp YD-K38 Đại Học Y Dược Cần Thơ
Email:ngohoangtoan@gmail.com
Khi giải một bài toán, điều quan trọng không phải là ta chỉ tìm ra kết quả mà là tìm ra cách giải hay,phù hợp với đặc thù của từng bài Như nhà toán học Euler đã từng nói trong lá thư gởi nhà toán học Gôn-Bach về việc tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
2 2
1 4
; z y
-x
cách chứng minh dễ dàng và đẹp mắt như vậy Từ đó, tôi tin rằng phần lớn định lý của Fermat cũng có thể chứng minh bằng cách tương tự như vậy và vì thế tôi cảm ơn ông đã cho tôi biết cách chứng minh đẹp đẽ này.” Chính vì vậy chúng tôi đã viết chuyên đề này với mục đích tìm ra cách giải đẹp cho các loại phương trình đại số nhất là phương trình vô
tỷ
Phương pháp tọa độ, vectơ là một cách thức vận dụng hình học giải tích trong mặt phẳng với hai đối tượng thường dùng là tọa độ điểm và vectơ sau đó dùng những công thức và phương pháp tính toán đã biết để giải Sau đây là một kiến thức vận dụng :
Tích vô hướng: Cho a ( ;x y1 1) , b ( ;x y2 2)
1 2 1 2
Khi giải phương trình f x( ) g x( ) Ta biến đổi f x( ) thành vế trái, g x( )
thành vế phải ứng với:
Hoặc biến đổi một vế, giả sử f x( ) về dạng BĐT rồi xét dấu “=”
dấu “=” xảy ra khi a kb k ( 0)
a b a b
dấu “=” xảy ra khi b 0
hoặc a b ,
ngược hướng
Nếu dùng hình học giải tích thì ta chú ý các kiến thức về đường tròn, đường thẳng… (tham khảo thêm SGK Hình học 10 nâng cao )
Trang 21) Giải phương trình: 3 2 2 3 2
9x 18x 36x 9x 9 x
ĐK: 2 x 4
Phân tích: bài này ta chưa thể xác định được tọa điểm nhưng ta hãy chú ý đến
ab a b
nếu ta xét 1 trong 2 vectơ có tọa độ (1;1) Trở lại bài toán
Gọi VT f x ( ) , VP g x ( )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn các vectơ:
1;1 , 9 3 18 2; 36 2 9 3
Ta có: a 2 , b 3 2x
6
a b x
mà ( )f x ab a b 6x
g x( ) 9 x22 9x2 6x
Suy ra f x ( ) 6 x g x ( )
Dấu “=” xảy ra khi a b ,
9 x
2
9 9( 3) 0
0 ( )
3 ( )
x x
Vậy S 3
Nhận xét: Thật ra phương pháp xét vectơ a (1;1)
là một cách lợi dụng tính ưu việt của BĐT B-C-S như sau:
ĐK: 2 x 4
Ta có:
9x 1(9x 18x ) 1(36x 9x ) (1 1)(9 x 18x 36x 9x )6x
9x 18x 36x 9x
x0 ( )l
Trang 32) Giải phương trình: 1 2 1 2
Phân tích: Lần này bài toán thấy khó giải quyết khi VP không ở dạng tọa độ
;
A x y hay a ( ; )x y
nhưng ta có thể thấy:
Xét VT : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn
VT x x uv u v
(2)
Từ (1), (2) VT 2 VP Dấu “=” xảy ra khi x 0 Vậy S 0
sinx 2 sin x sinx 2 sin x 3
Trong không gian Oxyz chọn
2
2
Dấu “=” xảu ra khi
2 2
2
sin 1
2 sin 0
x x
x
x
2
Trang 44) Giải phương trình:
(Cải biên đề thi Olympic toán khu vực miền Trung và Tây Nguyên)
Phân tích: Bài toán khó nếu đặt ẩn phụ hay đánh giá, nhưng ta phát hiện giá trị
2
1
2x Nếu ta đưa 1
2
Trong mặt phẳng Oxy chọn:
; 2
1 6 8
;
;
Ta có:
4 2 4
a c
b d
Ta có:
4 4 2 1
2
a c a c
b d b d
a b c d a c b d
Dấu “=” xảy ra khi x 2
Vậy S 2
Nhận xét: Nếu bài toán có nhiều hơn một ẩn ta cũng có thể giải theo hướng
như trên Ta xét ví dụ:
Trang 52 2 10 13 2 13 2
Trong mặt phẳng Oxy chọn
2
3
Ta có:
13
VT AN NM MB AB VP
Dấu “=” xảy ra khi AB cp AN cp NM
,
13 5
S
Kết Luận:
Qua chuyên đề chúng ta có được nhiều hiểu biết hơn về công cụ vectơ không chỉ dùng trong hình học mà còn cả trong đại số.Chính vì thế mong nhận được những ý kiến của các bạn về chuyên đề này và các phương pháp khác mà chúng tôi chưa đề cập
Tài liệu tham khảo:
[1] Chuyên đề nâng cao Đại số và Giải Tích THPT-Phạm Quốc Phong-NXB Đại
học Sư Phạm -2005
[2] Dùng hình học giải tích để giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương
trình,bất đẳng thức-Trần Đình Thì-NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội-2008