MỘT TRĂM CÂU HỎI ĐƠN GIẢN, NHƯNG ĐỒNG THỜI CŨNG LÀ NHỮNG CÂU HỎI KHÓ CỦA SỐ HỌC

Cuốn sách này là của một nhà toán học nổi tiếng, Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Ba Lan, Vaclav Sierpinski bao gồm hai phần. Phần đầu: Một trăm câu hỏi đơn giản, nhưng đồng thời cũng là những câu hỏi khó của số học dành cho học sinh lớp 7 8 của trường trung học. Phần này được trình bày dưới dạng các câu hỏi và câu trả lời theo một cách đơn giản nhưng sẽ là khó khăn khi giải quyết những vấn đề rất thú vị trong số học, phần lớn những vấn đề đó liên quan tới số học cao cấp, tức là liên quan tới lý thuyết số. Nhiều câu hỏi trong các câu hỏi đó cho tới tận ngày nay vẫn chưa có lời giải. Trong cuốn sách, chúng được sắp xếp theo một hệ thống thống nhất. Giữa chúng có sự kết nối với nhau. Phần đầu của cuốn sách có ghi chú của A. Makowski, mà trong đó có trình bày lời giải sơ cấp cho các bài toán và chứng minh sơ cấp cho một số định lý mà do sự phức tạp của chúng nên V. Sierpinski đã bỏ qua. Những ghi chú đó được đánh số trong các ngoặc vuông, ví dụ I. Để hiểu được các ghi chú ấy đôi khi ta phải có chút ít kiến thức về lý thuyết số. Phần thứ hai của cuốn sách, Trên ranh giới của hình học và số học giới thiệu cho người đọc đến với các câu hỏi thú vị xung quanh cái gọi là hình học của các số (số nguyên, số hữu tỷ). Chúng được trình bày rất thú vị và phổ biến, để hiểu được chúng thì yêu cầu người đọc phải có một ít kiến thức về lượng giác và hình học giải tích. Liên quan tới các tài liệu bằng tiếng Ba Lan trong cuốn sách, nếu có thể, chúng sẽ được thay thế bằng các tài liệu tiếng Nga tương ứng

V Sierpinski

MỘT TRĂM CÂU HỎI ĐƠN GIẢN, NHƯNG ĐỒNG THỜI CŨNG LÀ NHỮNG CÂU HỎI KHÓ

CỦA SỐ HỌC

****************

TRÊN RANH GIỚI CỦA HÌNH HỌC VÀ SỐ HỌC

LỜI GIỚI THIỆU CỦA NGƯỜI DỊCH

(Bản tiếng Nga)

Cuốn sách này là của một nhà toán học nổi tiếng, Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm

Khoa học Ba Lan, Vaclav Sierpinski bao gồm hai phần Phần đầu: "Một trăm câu hỏi đơn giản, nhưng đồng thời cũng là những câu hỏi khó của số học" -

dành cho học sinh lớp 7 - 8 của trường trung học Phần này được trình bày dưới dạng các câu hỏi và câu trả lời theo một cách đơn giản nhưng sẽ là khó khăn khi giải quyết những vấn đề rất thú vị trong số học, phần lớn những vấn đề đó liên quan tới số học cao cấp, tức là liên quan tới lý thuyết số Nhiều câu hỏi trong các câu hỏi đó cho tới tận ngày nay vẫn chưa có lời giải Trong cuốn sách, chúng được sắp xếp theo một hệ thống thống nhất Giữa chúng có sự kết nối với nhau

Phần đầu của cuốn sách có ghi chú của A Makowski, mà trong đó có trình bày lời giải sơ cấp cho các bài toán và chứng minh sơ cấp cho một số định lý mà do

sự phức tạp của chúng nên V Sierpinski đã bỏ qua Những ghi chú đó được đánh số trong các ngoặc vuông, ví dụ [I] Để hiểu được các ghi chú ấy đôi khi ta phải có chút ít kiến thức về lý thuyết số

Phần thứ hai của cuốn sách, "Trên ranh giới của hình học và số học" - giới

thiệu cho người đọc đến với các câu hỏi thú vị xung quanh cái gọi là hình học của các số (số nguyên, số hữu tỷ) Chúng được trình bày rất thú vị và phổ biến,

để hiểu được chúng thì yêu cầu người đọc phải có một ít kiến thức về lượng giác và hình học giải tích

Liên quan tới các tài liệu bằng tiếng Ba Lan trong cuốn sách, nếu có thể, chúng

sẽ được thay thế bằng các tài liệu tiếng Nga tương ứng

Có những ghi chú được biên dịch mà trong chúng có những kết quả không được

đề cập trong văn bản gốc Các ghi chú này sẽ được đánh dấu bằng các con số viết trong ngoặc đơn, ví dụ (I)

Cuốn sách của V Sierpinski rất thú vị và hữu ích với các giáo viên toán phổ thông trung học khi làm việc với các kỳ thi toán học và vài nghiên cứu độc lập trong số học cao cấp và hình học của các con số

_

MỘT TRĂM CÂU HỎI ĐƠN GIẢN, NHƯNG ĐỒNG THỜI CŨNG LÀ NHỮNG CÂU HỎI KHÓ CỦA SÔ HỌC

“Trong số học nghệ thuật đã trở thành một vấn đề quan trọng đối với khả năng giải quyết chúng” (Georg Cantor)

Thông thường trong toán học hay nảy sinh câu hỏi tự nhiên đơn giản, mà các câu trả lời là khó hoặc thậm chí cho đến nay vẫn chưa được biết Trong lĩnh vực

số học có nhiều câu hỏi như vậy

Những câu hỏi chưa được giải đáp của số học, chúng ta có thể chia được thành

hai loại Danh sách các câu hỏi thuộc loại thứ nhất là những câu hỏi mà ta biết

phương pháp giải nó Những phương pháp này sau khi ta thực hiện một loạt các tính toán theo chỉ dẫn của nó, tất nhiên sẽ dẫn ta tới lời giải của câu hỏi đã cho, nhưng do thời gian tính toán quá lâu (do những khó khăn của công nghệ tính toán thuần túy) mà chúng ta không thể thực hiện được trong một khoảng thời gian cho phép, ngay cả khi ta có sự trợ giúp của máy tính điện tử ngày nay

Những câu hỏi thuộc loại thứ hai bao gồm tất cả các câu hỏi nổi tiếng khác mà

cho tới ngày nay chúng vẫn chưa có câu trả lời, đối với những câu hỏi đó chúng

ta vẫn chưa biết phương pháp giải quyết chúng, ngay cả những phương pháp mà

nó cần một khối lượng công việc tính toán rất lớn để dẫn tới lời giải của nó

Ví dụ cho các câu hỏi thuộc loại thứ nhất là ta cần phải xác định tất cả các ước

số tự nhiên của số 2101 − 1 Để tìm các ước số đó ta chỉ cần chia số đó lần lượt cho các số 1, 2, 3, … đến 2101 − 1 là đủ và rõ ràng các phép chia đó sẽ cho các ước số cần tìm ở những phép chia không còn dư Tuy nhiên điều này đòi hỏi một khối lượng tính toán vượt quá khả năng của chúng ta Hiển nhiên có hai ước số cần tìm là 1 và 2 101 − 1; một điều lý thú là người ta đã chứng minh được sự tồn tại của các ước số khác với hai ước số trên (tuy nhiên đây không phải là một việc làm dễ dàng), nhưng cho tới ngày nay ta vẫn chưa biết một ước

số nào trong các ước số đó

Ta cũng lưu ý tới một sự thật là đối với số 2101 (là số lớn hơn số ta đang xét 1 đơn vị) thì ta lại biết tất cả các ước số tự nhiên của nó (số các ước số ấy là 102 số), đó là 102 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (với công bội bằng 2):

1, 2, 4, 8, 16, … , 2100, 2101 Vì vậy, việc nghiên cứu các con số đứng liền sát nhau trong dãy số tự nhiên lại có độ khó rất khác nhau

Một ví dụ khác về các câu hỏi thuộc loại thứ nhất là tìm một phân tích số 10 thành một tổng hữu hạn của các phân số có tử số bằng 1 còn mẫu số là một số tự nhiên Ta biết phương pháp xác định phân tích loại như vậy đối với từng số hữu

tỷ dương Tuy nhiên người ta đã chứng minh được rằng trong mỗi phân tích số

10 thành tổng của một số hữu hạn các phân số có dạng 1

𝑛 (trong đó n là một

số tự nhiên) có số số hạng của phân tích ấy nhiều hơn 12366, vì thế việc thực hiện tìm kiếm một phân tích như vậy hầu như là không thể làm được (xem trong [1])

Một ví dụ cho các câu hỏi thuộc loại thứ hai là vấn đề liệu phương trình

𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 = 3 có các nghiệm khác hay không trong các số nguyên x, y, z ngoài 4 nghiệm đã biết:

số tự nhiên thì giữa các số n và 2n ta luôn tìm được ít nhất một số nguyên tố

Câu hỏi về tính đúng đắn của giả thuyết này là câu hỏi thuộc loại thứ hai ở thời điểm đó Nhưng 5 năm sau Chebyshev đã chứng minh được rằng giả thuyết này (nó nổi tiếng với tên gọi là Định đề Bertrand) là đúng Chứng minh của Chebyshev không phải là chứng minh sơ cấp Một chứng minh sơ cấp được tìm thấy về sau này vào năm 1930 (xem: W Sierpinski, Arytmetyka teoretyczna, Warszawa 1955, trang 72 - 78)

Một câu hỏi thuộc loại thứ hai được P Fermat (1601-1665) nêu ra, ông cho rằng

đối với mỗi số tự nhiên n thì số 𝐹𝑛 = 22𝑛 + 1 (được gọi là số Fermat thứ n) là

số nguyên tố, tức là nó không có ước số tự nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó Nhưng năm 1732 L Euler đã chứng minh rằng giả thuyết của Fermat là sai lầm, bởi vì số 𝐹5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 không phải là số nguyên tố

do nó chia hết cho 641 (xem [2])

Một lần nữa ta thấy trong trường hợp này việc chỉ ra ví dụ để bác bỏ giả thuyết của Fermat là rất khó khăn Fermat đã biết rằng các số 𝐹𝑛 là số nguyên tố vói

𝑛 < 5 Số 𝐹5 có 10 chữ số trong hệ thập phân Đáng ngạc nhiên là Fermat trước khi nêu lên giả thuyết của mình đã không thử chia số 𝐹5 cho các số nguyên tố nhỏ hơn 1000, bởi nếu ông thực hiện điều đó (ở thời của Fermat không có nhiều máy móc thì đây quả là một công việc nặng nhọc) thì ông đã phát hiện số 𝐹5 là một hợp số rồi

Hiện nay chúng ta đã biết 35 hợp số Fn, cụ thể với n = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

15, 16, 18, 23, 36, 38, 39, 55, 58, 63, 73, 77, 81, 117, 125, 144, 150, 207, 226,

228, 250, 267, 268, 284, 316, 452, 1945 Số Fn nhỏ nhất mà ta chưa biết nó có phải là số nguyên tố hay không là số 𝐹13 có 2467 chữ số Ngày nay thì câu hỏi

số 𝐹13 có phải là số nguyên tố hay không thuộc loại thứ nhất (bởi vì ta chỉ cần chia số 𝐹13 cho các số nguyên tố nhỏ hơn nó là đủ), nhưng có thể sau vài năm nữa với sự trợ giúp của máy tính nó sẽ được giải quyết Việc chứng minh các số

𝐹𝑛 không phải là số nguyên tố không phải là dễ Bạn đọc có thể tìm đọc trong cuốn sách của tôi ―Lý thuyết số là gì‖ («Czym sis zajmuje teorialiczb» («Wiedza Powszechna», Warszawa, 1957, Rodzial VI)

Liên quan đến việc ta chỉ biết một vài số nguyên tố, cụ thể là các số 𝐹𝑛 nhỏ nhất, nhưng lại biết tới 35 hợp số 𝐹𝑛 vì thế gần đây có giả thuyết cho rằng tất cả các

số 𝐹𝑛 với 𝑛 ≥ 5 đều là hợp số Hiện nay giả thuyết đó là thuộc loại thứ hai [3]

Có câu hỏi thuộc loại thứ hai cho tới thời gian gần đây là câu hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên 𝑛 > 1 mà đối với nó số 𝑛 2𝑛 + 1 (số ấy gọi là số Cullen) là

số nguyên tố Chỉ mới gần đây người ta mới tìm được số nguyên tố Cullen nhỏ nhất với 𝑛 = 141

Sau khi bác bỏ giả thuyết Fermat về các số 𝐹𝑛, đã xuất hiện hai vấn đề sau đây: 1) Trong các số 𝐹𝑛 (𝑛 = 1,2,3, … ) có tồn tại vô số số nguyên tố hay không ? và 2) Trong các số 𝐹𝑛 (𝑛 = 1,2,3, … ) có tồn tại vô số hợp số hay không ?

Mỗi vấn đề đó cho tới nay vẫn là các câu hỏi thuộc loại thứ hai

Một câu hỏi thuộc loại thứ hai tồn tại trong suốt một thời gian dài là câu hỏi liệu tất cả các số của dãy 2 + 1, 22 + 1, 222 + 1, 2222 + 1, … có phải là các số nguyên tố không ?

Chỉ tới năm 1953 với sự trợ giúp của máy tính điện tử người ta mới biết câu trả lời của câu hỏi đó là phủ định, cụ thể là phần tử thứ 5 của dãy số đó 𝐹16 =

2216 + 1 (là số có 19729 chữ số) là một hợp số, lúc đó họ đã tìm được ước số nguyên tố nhỏ nhất của nó là số 218 3150 + 1 [4]

Vì vậy, một vài câu hỏi khó trong số học cũng chỉ mới được giải quyết trong thời gian gần đây

Tình hình cũng như vậy, một số câu hỏi thuộc loại thứ hai sau này lại trở thành câu hỏi thuộc loại thứ nhất Ví dụ, câu hỏi mọi số tự nhiên lẻ đều là tổng của ba

số nguyên tố lẻ Điều đó cho tới ngày nay đã trở thành câu hỏi thuộc loại thứ hai sau khi I M Vinogradov đã chứng minh được rằng mỗi số lẻ 𝑛 > 𝑎 = 3316 đều

là tổng của ba số nguyên tố lẻ [5]

Liên quan tới kết quả đó vấn đề liệu mỗi số lẻ 𝑛 > 7 có phải là tổng của ba số nguyên tố lẻ hay không đã trở thành câu hỏi thuộc loại thứ nhất bởi vì ta chỉ cần kiểm tra xem mỗi số lẻ > 7 và < 𝑎 là tổng của 3 số nguyên tố lẻ là đủ (và đối với mỗi số tự nhiên ta phải tìm tất cả các phân tích nó thành tổng của ba số nguyên tố lẻ hoặc là khẳng định rằng phân tích ấy là không có, từ đó ta dễ thấy rằng câu hỏi đó đã trở thành câu hỏi thuộc loại thứ nhất)

Dưới đây tôi sẽ cung cấp cho các bạn đọc một loạt các ví dụ về các câu hỏi thuộc loại thứ nhất và thứ hai Các câu hỏi thuộc loại thứ nhất sẽ được ta ký hiệu là 𝑷𝒌𝟏 (ở đây 𝑘 = 1, 2, …), và các câu hỏi thuộc loại thứ hai sẽ được ta ký hiệu là 𝑷𝒌𝟐 , còn các câu hỏi mà ta biết câu trả lời sẽ được ta ký hiệu là 𝑷𝒌

𝑷𝟏𝟐 Trong các số 2𝑛 − 1, trong đó n là số tự nhiên, liệu có tồn tại một tập vô

hạn các số nguyên tố hay không ?

Cho đến nay người ta đã biết 18 số nguyên tố có dạng đó, mà trong đó số lớn nhất là số 23217 − 1 có 969 chữ số Năm 1957 H Riesel đã chứng minh rằng số

đó là số nguyên tố Đó là số nguyên tố lớn nhất mà ta biết tới nay [6]

Dễ dàng chứng minh rằng nếu số 2𝑛 − 1 (những số này được ta gọi là số

Mersenne) là số nguyên tố thì n cũng phải là số nguyên tố, nhưng ta không có

điều ngược lại bởi ta có ví dụ 2 11 − 1 = 23.89

𝑷𝟐𝟐 Tồn tại hay không một tập vô số các số nguyên tố p, mà đối với chúng số

2𝑝 − 1 là một hợp số ?

𝑷𝟑 Nếu số 2𝑛 − 1 là số nguyên tố thì số 22𝑛−1 − 1 có phải là số nguyên tố hay

không ?

Sau một thời gian khá dài người ta mới biết câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟑 là đúng Điều đó đã được chứng minh vào năm 1953, khi D J Wheeler tin chắc (với sự trợ giúp của máy tính điện tử) rằng số 𝑚 = 2213−1 − 1 (có 2466 chữ số) là một hợp số, mặc dù số 213 − 1 = 8191 là số nguyên tố Tuy nhiên cho đến nay ta

vẫn chưa biết một ước số nào của m mà nó khác 1 và m Thay vì điều đó năm

1957 người ta phát hiện rằng các số 2 217−1 − 1 và 2219−1 − 1 là các hợp số, mặc dù các số 217 − 1 và 219− 1 là các số nguyên tố; lúc đó họ tìm thấy rằng

số 2217−1 − 1 chia hết cho 1768 217 − 1 + 1, còn số 2219−1 − 1 chia hết cho

𝑷𝟓 Liệu có đúng hay không nếu 2𝑛 − 1 là số nguyên tố thì số 2𝑛 − 1 + 100

cũng là số nguyên tố ?

Qua nhiều năm người ta không biết phải làm thế nào để trả lời cho câu hỏi đó, chỉ tới năm 1957 thì J L Selfridge mới phát hiện rằng giả thuyết đó là không đúng, bởi vì số 2 31 − 1 là số nguyên tố nhưng số 231 + 99 lại là một hợp số chia hết cho 1933

𝑷𝟔𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các số nguyên tố có dạng 2𝑚 3𝑛 + 1, trong

đó m và n là các số tự nhiên ?

Nếu các số nguyên tố Fermat là một tập vô hạn thì câu trả lời của câu hỏi 𝑷𝟔𝟐 sẽ

là có T Kulikovskii đã chỉ ra vài chục số nguyên tố có dạng 2𝑚 3𝑛 + 1; mà số lớn nhất trong chúng là số 2534 31 + 1 có 162 chữ số

𝑷𝟕𝟐 Ngoài các số 2 = 11 + 1, 5 = 22 + 1, 257 = 44 + 1 ra, liệu có hay không

dù chỉ thêm một số nguyên tố có dạng 𝑛𝑛 + 1, trong đó n là số tự nhiên ?

Có thể chứng minh rằng nếu có tồn tại số nguyên tố như vậy thì nó cần phải có nhiều hơn 300000 chữ số [7]

𝑷𝟖𝟐 Ngoài các số 2 và 17 ra, liệu có hay không dù chỉ thêm một số nguyên tố có

dạng 𝑛𝑛𝑛 + 1, trong đó n là số tự nhiên ?

Có thể chứng minh rằng nếu có tồn tại số nguyên tố như vậy thì nó cần phải có nhiều hơn một tỷ tỷ chữ số [8]

𝑷𝟗𝟐 Tồn tại hay không ít nhất một số nguyên tố p sao cho số 2𝑝 − 1 có ước số là

bình phương của một số tự nhiên > 1 ?

F Yakubchik đã nêu giả thuyết cho rằng số nguyên tố p như vậy là không có

𝑷𝟏𝟎𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn số tự nhiên n, mà đối vói nó số 2𝑛 − 1 không

chia hết cho bình phương của số tự nhiên > 1 ?

Câu hỏi này do A Schinzel đặt ra

Nếu câu trả lời cho câu hỏi ấy là không thì câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟗𝟐 sẽ là có [9]

𝑷𝟏𝟏𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn số nguyên tố, mà tất cả các chữ số của các

số nguyên tố ấy đều bằng 1 (được viết trong hệ thập phân) ?

Ta có thể chứng minh (dù rằng khá khó) rằng nếu ta viết tùy ý hai dãy hữu hạn các chữ số, cách nhau một chỗ trống, thêm vào đó chữ số cuối cùng của dãy số sau cùng cần phải là 1, 3, 7 hoặc 9, thì ta có thể viết vào chỗ trống một số các chữ số tưong ứng cần thiết để sao cho số nhận được theo phương pháp ấy là một

số nguyên tố Ví dụ, từ đó suy ra rằng tồn tại số nguyên tố (viết trong hệ thập phân) có chứa ở phần đầu và phần cuối của số đó một tập vô số chữ số 1 (xem Acta Arithm, 5, trang 265)

𝑷𝟏𝟐𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn số nguyên tố có dạng 𝑥2 + 1, ở đây x là số

tự nhiên ? (2)

Thay vì điều đó người ta đã chứng minh được rằng tồn tại tập vô hạn các số tự

nhiên x, mà đối với nó số 𝑥2 + 1 là tích của không quá 4 số nguyên tố Chứng minh đó khá phức tạp

𝑷𝟏𝟑𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn số nguyên tố có dạng 𝑥2 + 𝑦2 + 1, ở đây x

Cũng dễ dàng chứng minh được rằng chỉ tồn tại một số nguyên tố có dạng

𝑥3 + 1, trong đó x là số tự nhiên bởi vì số 𝑥3 + 1 luôn chia hết cho (𝑥 + 1) nên

với 𝑥 > 1 thì nó lớn hơn 𝑥 + 1 bởi vậy nó là hợp số

Ta cũng biết số nguyên tố có dạng 𝑥 4 + 1, trong đó x là số tự nhiên, ví dụ

17 = 24 + 1, 257 = 44 + 1, nhưng ta vẫn chưa biết rằng chúng có nhiều vô hạn hay không (4)

𝑷𝟏𝟓𝟐 Trong các số 𝑛! + 1, trong đó n là số tự nhiên, có hay không tập vô hạn số

nguyên tố ?

Việc chứng minh rằng số 11! + 1 = 39916801 là số nguyên tố khá phức tạp Vẫn chưa biết rằng số 27! + 1 có phải là số nguyên tố hay không; rõ ràng câu hỏi đó là thuộc loại thứ nhất Thay vì điều đó ta dễ dàng chứng minh được rằng trong các số 𝑛! + 1 có vô số các hợp số [11]

𝑷𝟏𝟔𝟐 Có tồn tại hay không ít nhất một số chẵn > 2 mà nó không phải là tổng

của hai số nguyên tố ?

Giả thuyết cho rằng câu trả lời cho câu hỏi này là không, đã được Ch Goldbach nêu ra năm 1742; nó đã được kiểm tra với các số chẵn ≤ 100000 Có giả thuyết mạnh hơn cho rằng mỗi số chẵn > 6 là tổng của hai số nguyên tố khác nhau

𝑷𝟏𝟕𝟐 Có tồn tại hay không ít nhất một số chẵn mà nó không phải là hiệu của hai

số nguyên tố ?

Liên quan tới câu hỏi 𝑷𝟏𝟕𝟐 có giả thuyết cho rằng cần phải trả lời là có cho câu hỏi dưới đây

𝑷𝟏𝟖𝟐 Mỗi số chẵn có vô số cách biểu diễn dưới dạng hiệu của hai số nguyên tố

hay không ?

Ta có thêm một nhận xét sau đối với các câu hỏi 𝑷𝟏𝟔𝟐 và 𝑷𝟏𝟕𝟐 : đối với mỗi số tự

nhiên n cho trước ta có thể giải quyết (bất kể thời gian của các tính toán cần

thiết) vấn đề chúng có phải là tổng của hai số nguyên tố hay không, hiện nay ta vẫn chưa biết một phương pháp nào mà nó cho biết mỗi số tự nhiên chẵn cho trước có phải là hiệu của hai số nguyên tố hay không Đối với các só lẻ lớn thì chúng ta có thể giải quyết được câu hỏi đó, mặc dù đối với một số số lẻ thì câu hỏi đó là thuộc loại thứ nhất, ví dụ đối với số 2213 − 1 [12]

Về các cặp số nguyên tố mà hiệu giữa chúng bằng 2 sẽ được gọi là cặp số nguyên tố sinh đôi

Nếu câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟏𝟖𝟐 là đúng thì ta cũng có câu trả lời là có cho câu hỏi sau đây:

𝑷𝟏𝟗𝟐 Có tồn tại tập vô hạn các cặp số nguyên tố sinh đôi hay không ?

Số các cặp số nguyên tố sinh đôi (nhỏ hơn 1 triệu) là hơn 8 nghìn cặp: Cặp số

nguyên tố sinh đôi lớn nhất trong số các cặp đã biết là cặp p và p+2 với

𝑝 = 1000000009649 (5)

Ta cũng biết tới các ―bộ bốn‖ số nguyên tố > 10 mà chúng chỉ có các chữ số cuối cùng khác nhau, ví dụ các bộ tứ 11, 13, 17, 19 và 191, 193, 197, 199 Số lớn nhất trong các bộ bốn 𝑝, 𝑝 + 2, 𝑝 + 6, 𝑝 + 8 đã biết là với 𝑝 = 2863308731 (nó đã được A Fgrre chỉ ra vào năm 1957) (6)

Chúng ta chưa biết rằng liệu có tồn tại tập vô hạn các ―bộ bốn‖ số nguyên tố hay không ? Dễ dàng chứng minh được rằng câu hỏi này là tương đương với câu hỏi: liệu có tồn tại hay không vô số số tự nhiên 𝑛 ≥ 4 mà đối với chúng thì

số 𝑛 − 1 ! và số 𝑛 𝑛 + 2 𝑛 + 6 (𝑛 + 8) không có ước số chung nào, ngoài

số 1 [13]

𝑷𝟐𝟎𝟐 Liệu có hay không đối với mỗi số tự nhiên m thì chỉ có hữu hạn cặp số

nguyên tố p và 𝑞 > 𝑝 sao cho −𝑝 < 𝑚 ?

Nếu câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟏𝟗𝟐 là có thì câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟐𝟎𝟐 sẽ là không

(ngay cả với 𝑚 = 3)

𝑷𝟐𝟏𝟐 Có tồn tại hay không cấp số cộng có độ dài như thế nào đó, mà nó được

tạo nên chỉ với các số nguyên tố ?

Độ dài lớn nhất mà ta biết về các cấp số cộng được tạo nên chỉ với các số nguyên tố là cấp số cộng có 12 phần tử với phần tử đầu tiên là 23143 và công sai là 30030 Nó được V A Golubev tìm thấy

Chúng ta cũng chưa biết rằng có tồn tại hay không cấp số cộng được tạo nên bới

100 số nguyên tố khác nhau Người ta đã chứng minh rằng nếu cấp số ấy tồn tại thì các phần tử của nó (có thể trừ phần tử đầu tiên ra) cần phải có ít nhất là vài chục chữ số [14]

𝑷𝟐𝟐 Liệu có tồn tại hay không vô số cấp số cộng được tạo nên từ ba số nguyên

tố ?

Người ta đã chứng minh câu trả lời cho câu hỏi đó là có, nhưng việc chứng minh là rất khó khăn Ví dụ về các cấp số như thế là 3, 5, 7 hay 11, 17, 23 hay

47, 53, 59 Trong cấp số cuối cùng có 3 số nguyên tố liên tiếp (tức là giữa các

số nguyên tố đó không có một số nguyên tố nào) [15]

Xuất hiện câu hỏi:

𝑷𝟐𝟑𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các cấp số cộng, mà mỗi cấp số đó luôn

chứa ba số nguyên tố liên tiếp ?

Chúng ta biết có các cấp số cộng được tạo nên bởi 4 số nguyên tố liên tiếp, ví dụ: 251, 257, 263, 269 hoặc 1741, 1747, 1753, 1759

Theo giả thuyết của A Schinzel tồn tại cấp số cộng với độ dài tùy ý mà nó được tạo nên từ các số nguyên tố liên tiếp Tuy nhiên, cho tới ngày nay chúng ta vẫn chưa biết một cấp số cộng nào được tạo nên từ 5 số nguyên tố liên tiếp và cũng chưa biết rằng liệu có tồn tại một cấp số như vậy hay không

Dễ dàng chứng minh được rằng tồn tại tập vô hạn các cấp số cộng được tạo nên

từ ba số bình phương của các số tự nhiên khác nhau, bởi chúng được suy ra trực tiếp từ đẳng thức:

(𝑛2 − 2𝑛 − 1)2 + (𝑛2 + 2𝑛 − 1)2 = 2(𝑛2 + 1)2Xuất hiện câu hỏi:

𝑷𝟐𝟒𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các cấp số cộng, được tạo nên bởi ba số bình

phương của các số tự nhiên khác nhau ?

Chúng ta có biết cấp số như vậy, ví dụ: 72, 132, 172 hoặc 72, 172, 232

Hàng trăm năm trước đây người ta đã đặt câu hỏi:

𝑷𝟐𝟓 Tồn tại hay các cấp số cộng, được tạo nên bởi bốn sô bình phương của các

số tự nhiên khác nhau ?

Chính Fermat đã chứng minh rằng cấp số cộng như vậy là không tồn tại, nhưng việc chứng minh giả thuyết đó là rất khó Việc chứng minh câu trả lời là không cho câu hỏi dưới đây cũng khó khăn không kém

𝑷𝟐𝟔 Tồn tại hay các cấp số cộng, được tạo nên bởi ba số lập phương của các

số tự nhiên khác nhau ?

𝑷𝟐𝟕 Tồn tại hay các cấp số cộng, được tạo nên bởi ba số trùng phương (mũ 4)

của các số tự nhiên khác nhau ?

Đối với cấp số cộng được tạo nên từ các số nguyên, ta có nhận xét thêm là từ nửa đầu của thế kỷ XIX người ta đã có vấn đề nổi tiếng là những cấp số nào có chứa vô hạn số nguyên tố

Nếu ta có một cấp số cộng với phần tử đầu tiên là a và công sai là r, tức là cấp

số:

𝑎, 𝑎 + 𝑟, 𝑎 + 2𝑟, 𝑎 + 3𝑟, … hay 𝑎 + 𝑘𝑟 (𝐼)

trong đó 𝑘 = 0,1,2,3, … và nếu các số tự nhiên a và r có ước số chung 𝑑 > 1 thì tất cả các phần tử của cấp số luôn chia hết cho d, cho nên tất cả các phần tử của

cấp số (có thể trừ phần tử đầu tiên) đều là hợp số Nếu cấp số cộng (I) có chứa

vô hạn số nguyên tố thì phần tử đầu tiên a và công sai r của nó không có ước số

chung > 1, tức là chúng phải nguyên tố cùng nhau Bây giờ xuất hiện câu hỏi:

𝑷𝟐𝟖 Mỗi cấp số cộng 𝑎 + 𝑘𝑟 (𝑘 = 0, 1, 2, 3, … ) trong đó a và r là các số tự

nhiên nguyen tố cùng nhau, có chứa tập vô hạn số nguyên tố hay không ?

Năm 1837 Lejeune – Dirichlet đã chứng minh câu trả lời cho câu hỏi này là có; nhưng chứng minh này là không sơ cấp Mặc dù trong thập kỷ qua người ta vẫn

cố tìm một chứng minh sơ cấp cho nó, nhưng có lẽ còn lâu nữa mới có được

điều đó Lưu ý rằng cũng không dễ khi chứng minh giả thuyết cho rằng trong mỗi cấp số cộng có phần tử đầu tiên và công sai là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, luôn có ít nhất là một số nguyên tố Từ giả thuyết này ta dễ dàng suy

ra định lý Lejeune – Dirichlet [17]

𝑷𝟐𝟗𝟐 Liệu giả thuyết A Schinzel cho rằng “nếu a và r là các số tự nhiên nguyên

tố cùng nhau, 𝑎 < 𝑟, thì tồn tại số nguyên k sao cho 0 ≤ 𝑘 < 𝑟 và 𝑎 + 𝑘𝑟 là số

nguyên tố” có đúng hay không ?

Gorzhelevsky A đã kiểm tra giả thuyết đó là đúng với tất cả các số tự nhiên a

và r, trong đó 𝑎 < 𝑟 ≤ 100

Định lý Lejeune – Dirichlet cũng cho ta câu trả lời cho câu hỏi đa thức bậc 1 có các hệ số nguyên, có một biến nào sẽ cho ta vô số số nguyên tố khi biến đó nhận các giá trị là các số tự nhiên Hiện nay chúng ta vẫn chưa biết một đa đa thức bậc cao hơn 1 có một biến nào mà nó sẽ cho ta tập vô hạn các số nguyên tố khi biến chạy trên dãy số tự nhiên (so sánh với câu hỏi 𝑷𝟏𝟐𝟐 )

𝑷𝟑𝟎𝟏 Hãy tìm số nguyên tố có 500 chữ số

Từ định đề Bertrand (đã được P L Chebyshevsch chứng minh), mà ta đã nói đến ở trên, ta suy ra rằng có nhiều hơn một số nguyên tố như vậy, nhưng cho tới nay ta vẫn chưa biết một số nguyên tố nào trong chúng Ta có biết số nguyên tố

có nhiều hơn 500 chữ số, ví dụ các số 𝑀𝑛 = 2𝑛 − 1 (𝑛 = 2281 và 𝑛 = 3217)

có tương ứng 687 và 969 chữ số; chúng ta cũng biết có các số nguyên tố khác

có nhiều hơn 500 chữ số, nhưng lại chưa biết một số nguyên tố nào có ≥ 1000 chữ số [18]

𝑷𝟑𝟏𝟐 Với mỗi số tự nhiên n thì giữa 𝑛2 và (𝑛 + 1)2 luôn có ít nhất một số nguyên tố hay không ?

𝑷𝟑𝟐𝟐 Với mỗi số tự nhiên n thì giữa 𝑛2 và 𝑛2 + 𝑛 luôn có ít nhất một số nguyên

thì trên mỗi dòng có chứa ít nhất là một số nguyên tố ?

Với 𝑛 = 5 ta có bảng dưới đây (số nguyên tố bị gạch chân):

Schinzel A đã chứng minh rằng câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟑𝟑𝟐 là đúng đối với

𝑷𝟑𝟓𝟐 Mỗi số hữu tỷ dương có thể biểu diễn thành dạng 𝑝−1

𝑞−1 (trong đó p và q là các số nguyên tố) hay không ?

Có giả thuyết cho rằng mỗi số hữu tỷ dương có vô số phơng pháp để biểu diễn

𝑞+1 trong đó p và q là các số nguyên tố, ta dễ dàng

chứng minh được rằng điều đó là tương đương với giả thuyết cho rằng

phương trình 𝑝 − 2𝑞 = 1 có tập vô hạn nghiệm p và q trong các số

nguyên tố Vì vậy đối với một phương trình bậc 1 với 2 ẩn số rất đơn giản nào đó ta không thể tìm tất cả các nghiệm là các số nguyên tố và cũng không thể khẳng định rằng số nghiệm của nó là vô hạn được

Có thể dễ chứng minh được rằng câu hỏi phương trình 𝑝 + 𝑞 = 𝑟 có

vô số nghiệm trong các số nguyên tố p, q, r là tương đương với câu

hỏi 𝑷𝟏𝟗𝟐 Câu hỏi phương trình 𝑝 + 𝑞 = 2𝑟 có vô số nghiệm trong các

số nguyên tố khác nhau p, q, r là tương đương với câu hỏi 𝑷𝟐𝟐

Trong một số trường hợp ta dễ dàng tìm được tất cả các nghiệm là số nguyên tố của phương trình bậc hai có 2 ẩn số; ví dụ dễ chứng minh rằng phương trình 𝑝2 − 2𝑞2 = 1 chỉ có 1 nghiệm trong các số nguyên

tố p, q: 𝑝 = 3, 𝑞 = 2 (bởi q không thể là số 3 được, còn với số tự nhiên q không chia hết cho 3 thì số 2𝑞2 + 1 luôn chia hết cho 3)

Thêm một lần nữa ta chưa biết rằng phương trình 𝑝2 − 2𝑞2 = −1 có

vô số nghiệm trong các số nguyên tố p và q hay không Ví dụ về các

nghiệm như vậy: 𝑝 = 7, 𝑞 = 5 hoặc là 𝑝 = 41, 𝑞 = 29

Dễ dàng chứng minh rằng phương trình 𝑝2 + 𝑞2 = 𝑟2 không có

nghiệm nào trong các số nguyên tố p, q, r Nhưng phương trình

𝑝2 + 𝑞2 = 𝑟2 + 𝑠2 lại có vô số nghiệm trong các số nguyên tố khác

nhau p, q, r, s Chứng minh cho khẳng định này đã được P, Erdos tìm

thấy nhưng nó phức tạp

Từ định lý của I M Vinogradov suy ra phương trình 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = 𝑠

có tập vô số nghiệm trong các số nguyên tố p, q, r, s bởi vì một số lẻ

là tổng của 3 số nguyên tố

Tồn tại chứng minh phương trình 𝑝 + 𝑞 = 𝑟 + 𝑠 có vô số nghiệm

trong các số nguyên tố khác nhau p, q, r, s [22]

𝑷𝟑𝟔𝟐 Có tồn tại hay không tập vô hạn các số tự nhiên n, mà đối với chúng mỗi

một trong các số 𝑛 và 𝑛 + 1 chỉ có một ước số nguyên tố ?

Cho tới bây giờ ta mới chỉ biết có 24 số như vậy Các số nhỏ nhất trong chúng

là 𝑛 = 2, 3, 4, 7, 8, 16, 31, 127, 256; số lớn nhất mà ta biết là 𝑛 = 23217 − 1

Có thể chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp > 7 có ít nhất là một số có nhiều hơn một ước số

𝑷𝟑𝟕𝟐 Tồn tại hay không vô số số tự nhiên n sao cho mỗi một trong các số

𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2 sẽ là tích của hai số nguyên tố khác nhau ?

Dễ dàng thấy rằng các số như vậy sẽ là (ví dụ): số 𝑛 = 33, 93, 141

𝑷𝟑𝟖𝟐 Có tồn tại hay không tập vô hạn các số tự nhiên n, mà các số 𝑛 và 𝑛 + 1

có cùng số ước số tự nhiên

Nếu đối với câu hỏi 𝑷𝟑𝟕𝟐 có câu trả lời là có thì câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟑𝟖𝟐 cũng

là có [23]

Có giả thuyết cho rằng tồn tại một dãy các số tự nhiên liên tiếp có độ dài tùy ý

mà các phần tử của nó có cùng số ước số tự nhiên Nếu giả thuyết này là đúng thì câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟑𝟖𝟐 cũng sẽ là có

Dãy bốn số tự nhiên liên tiếp có số ước số tự nhiên bằng nhau (số 6) sẽ là dãy

có phần tử đầu tiên là 241; Dãy năm số tự nhiên liên tiếp có số ước số tự nhiên bằng nhau (cụ thể là 8) sẽ là dãy có phần tử đầu tiên là 40311

𝑷𝟑𝟗𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các số nguyên tố có dạng 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3

trong đó x, y,z là các số nguyên ?

Năm 1923 Hardy và Littlewood đã nêu lên giả thuyết cho rằng tòn tại tập vô hạn các số nguyên tố là tổng của ba số lập phương của các số tự nhiên Thay vì chứng minh điều đó ta chứng minh rằng tồn tại tập vô hạn các số nguyên tố có

dạng 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 + 𝑡3, trong đó x, y, z, t là các số nguyên Chứng minh được

suy ra trực tiếp từ định lý Lejeune – Dirichlet và từ đồng nhất thức:

18𝑘 + 1 = (2𝑘 + 18)3 + (3𝑘 + 30)3 − (2𝑘 + 23)3 − (3𝑘 + 26)3

𝑷𝟒𝟎𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các số nguyên tố p sao cho đối với tất cả các

số tự nhiên 𝑛 < 𝑝 − 1 thì số 2𝑛 khi chia cho số p sẽ cho ta phần dư khác 1

Ví dụ các số như vậy, số nguyên tố 𝑝 = 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59,

Lưu ý rằng 25 thế kỷ trước người Trung Quốc cho rằng không có các hợp số n

là ước số của số 2 𝑛 − 2 Số nhỏ nhất như vậy là số 𝑛 = 341 = 11.31 đã được tìm thấy chỉ vào thế kỷ XIX Sau đó đặt ra câu hỏi tập các hợp số như vậy có phải là vô hạn hay không, sau khi chứng minh được giả thuyết này ta sẽ đề xuất câu hỏi có hay không họp số chẵn n mà nó là ước số của số 2𝑛 − 2 Số nhỏ nhất

có tính chất ấy là số 𝑛 = 161038 do D Н Lehmer tìm thấy trong năm 1950 và sau đó ông đã chứng minh rằng tập hợp các số chẵn như vậy là vô hạn

𝑷𝟒𝟑𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn số tự nhiên n mà đối với chúng số 2𝑛 − 2

chia hết cho 𝑛2 ?

Tồn tại số n (nguyên tố) như vậy, ví dụ số 1093 và số 3511, nhưng ta vẫn chưa biết một hợp số n nào như vậy

𝑷𝟒𝟒𝟐 Mỗi số tự nhiên có phải là tổng của tám (hoặc ít hơn 8) số bình phương

các số nguyên tố (ta coi 1 là số nguyên tố) hay không ?

Chowla J đã nêu giả thuyết cho rằng câu trả lời cho câu hỏi này là có Giả thuyết này dã được kiểm tra với tất cả các số tự nhiên 𝑛 < 240000

𝑷𝟒𝟓𝟐 Tồn tại hay không dù chỉ một số lẻ n sao cho tổng tất cả các ước số tự

nhiên của nó bằng 2n ?

Số tự nhiên n mà tổng tất cả các ước số tự nhiên của nó bằng 2n được gị là số hoàn hảo

Cho tới nay ta đã biết 18 số hoàn hảo và tất cả chúng đều là số chẵn; cụ thể đó

là các số 2𝑛−1𝑀𝑛, trong đó 𝑀𝑛 = 2𝑛 − 1 là số nguyên tố Chúng ta vẫn chưa biết rằng số hoàn chỉnh lẻ có tồn tại hay không

Có giả thuyết mạnh hơn cho rằng không tồn tại số hoàn chỉnh lẻ

𝑷𝟒𝟔𝟐 Tồn tại hay không số tự nhiên n mà tổng tất cả các ước số tự nhiên của nó

bằng 2𝑛 + 1 ?

Thay vì điều đó ta dễ dàng chứng minh được rằng tồn tại tập vô hạn các số tự

nhiên n mà tổng tất cả các ước số tự nhiên của nó bằng 2𝑛 − 1; các số như vậy

là tất cả các số tự nhiên là lũy thừa của 2 Chúng ta cũng chưa biết liệu có các số khác với số ấy hay không

𝑷𝟒𝟕𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các số tự nhiên n sao cho các số n và 𝑛 + 1

có tổng các ước số tự nhiên giống nhau ?

Số bé nhất trong các số đó là 𝑛 = 14; các số khác là 𝑛 = 206 và 𝑛 = 957; chúng ta còn biết vài số khác nữa [26]

Các số tự nhiên m và 𝑛 ≠ 𝑚 được gọi là cặp số bạn bè nếu tổng các ước số tự nhiên của mỗi số là m+n

𝑷𝟒𝟖𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các cặp số bạn bè ?

Chúng ta biết nhiều cặp số bạn bè; cặp số bạn bè bé nhất là 220 và 284; cả hai

số đều là số chẵn; chúng ta cũng biết cặp số bạn bè lẻ, đó là cặp số:

33 5.7.13 và 3.5.7.139

𝑷𝟒𝟗𝟐 Tồn tại hay không dù chỉ một cặp số bạn bè mà trong đó có một số là lẻ,

còn số kia là chẵn ?

Thêm nữa, ta vẫn chưa biết rằng liệu có tồn tại cặp số bạn bè mà chúng không

có ước số chung lớn hơn 1 hay không Người ta đã chứng minh được rằng nếu

m và n là một cặp số như vậy thì mỗi số trong chúng cần phải lớn hơn 1023 còn

số mn cần phải có nhiều hơn 20 ước số nguyên tố

𝑷𝟓𝟎𝟐 Có thể mỗi số tự nhiên đủ lớn, không phải là bình phương của một số tự

nhiên, sẽ là tổng củ một số nguyên tố và bình phương của một số nguyên hay không ?

Có giả thuyết cho rằng câu trả lời cho câu hỏi này sẽ là có Hardy và Littlewood

đã nêu lên giả thuyết này

𝑷𝟓𝟏𝟐 Có phải mỗi số tự nhiên đủ lớn là tổng của một số nguyên tố và hai số bình

phương của các số nguyên hay không ?

Rõ ràng nếu câu trả lời cho 𝑷𝟓𝟎𝟐 là có thì câu trả lời cho 𝑷𝟓𝟏𝟐 cũng sẽ là đúng Thay vì điều đó ta có thể chứng minh được rằng mỗi số tự nhiên đủ lớn là tổng của hai số nguyên tố và bình phương của một số nguyên Nhưng việc chứng minh sẽ là khá khó

𝑷𝟓𝟐𝟐 Liệu có tồn tại một hợp số n mà nó là ước số của số 1𝑛−1 + 2𝑛−1 +

3𝑛−1 + ⋯ + (𝑛 − 1)𝑛−1 hay không ?

Năm 1950 G Giuga đã nêu lên giả thuyết cho rằng câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟓𝟐𝟐

là không Và ông đã kiểm tra giả thuyết của mình với các hợp số 𝑛 < 10 1000

Tuy nhiên dễ dàng chứng minh được rằng nếu p là số nguyên tố thì số 1𝑝−1+

2𝑝−1+ 3𝑝−1+ ⋯ + (𝑝 − 1)𝑝−1+ 1 sẽ chia hết cho p [27]

𝑷𝟓𝟑𝟐 Liệu có tồn tại hay không số tự nhiên 𝑛 > 7 mà với nó thì số 𝑛! + 1 sẽ là

bình phương của một số tự nhiên ?

Cụ thể những số 𝑛 ≤ 7 có tính chất như vậy là: 𝑛 = 4, 5 và 7 [28]

𝑷𝟓𝟒𝟐 Nếu ta ký hiệu 𝜋(𝑥) là số các số nguyên tố ≤ 𝑥 thì đối với tất cả 𝑥 > 1 và

𝑦 > 1 liệu bất đẳng thức sau có đúng hay không:

𝜋 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝜋 𝑥 + 𝜋(𝑦) ? Schinzel A nêu giả thuyết cho rằng câu trả lời cho câu hỏi này là đúng

𝑷𝟓𝟓 Ta ký hiệu 𝜋1 𝑥 là số tất cả các số nguyên tố ≤ 𝑥 mà khi chia nó cho 4 sẽ

cho phần dư là 1, và ký hiệu 𝜋3 𝑥 là số tất cả các số nguyên tố ≤ 𝑥 mà khi

chia nó cho 4 sẽ cho phần dư là 3 Hãy tìm số tự nhiên x sao cho 𝜋3 𝑥 <

𝜋1 𝑥

Năm 1957 G Leech đã tìm được số x bé nhất như vậy là số 𝑥 = 26861 Với số

x đó ta có 𝜋1 𝑥 = 1473 và 𝜋3 𝑥 = 1472 Nhưng từ năm 1914 Littlewood đã chứng minh được rằng các số tự nhiên như vậy có nhiều vô hạn, cụ thể là có tập

vô hạn các số tự nhiên mà đối với chúng thì luôn có bất đẳng thức 𝜋3 𝑥 <

𝜋1 𝑥 Do đó trong mấy chục năm, mặc dù người ta đã biết là tồn tại những số

tự nhiên có một số tính chất nào đó, nhưng họ lại không tìm được bất kỳ một số nào như vậy [29]

Khi giải phương trình trong các số nguyên ta gặp nhiều bài toán đơn giản nhưng

sẽ gặp nhiều khó khăn khi giải quyết nó

Ta có thể sẽ gặp khó khăn khi giải những phương trình bậc hai có hai ẩn trong các số nguyên (tức là tuyến tính đối với từng ẩn) Ví dụ câu hỏi hãy xác định tất

cả các nghiệm trong các số nguyên x, y của phương trình 𝑥𝑦 + 1 = 2101 là một câu hỏi thuộc loại thứ nhất [30]

Sẽ là khó khăn khi tìm các số tự nhiên x và y mà tổng 𝑥 + 𝑦 của nó sẽ là bình

phương của một số tự nhiên, còn tổng các bình phương 𝑥 2 + 𝑦2 là lũy thừa bậc bốn của một số tự nhiên P Fermat đã tìm được các số ấy là:

𝑥 = 1061652393520, 𝑦 = 4565486027761 và ông đã khẳng định rằng không có số nhỏ hơn như vậy, mãi sau này điều đó mới được chứng minh [31]

𝑷𝟓𝟔𝟐 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 𝑥3 − 𝑦2 = 7 trong các số nguyên

𝑥12 + 𝑥22 = 𝑥42; 𝑥12 + 𝑥32 = 𝑥52; 𝑥22 + 𝑥32 = 𝑥62; 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 𝑥72

có dù chỉ một nghiệm trong các số tự nhiên 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7 hay không ?

Ý nghĩa hình học của câu hỏi này bạn đọc có thể xem ở các trang sau trong cuốn sách này

Thay vì điều đó ta có thể chứng minh được rằng hệ gồm ba phương trình đầu tiên trong 𝑷𝟓𝟖𝟐 có vô số nghiệm trong các số tự nhiên Nghiệm 𝑥1 = 117, 𝑥2 =

44, 𝑥3 = 240, 𝑥4 = 125, 𝑥5 = 267, 𝑥6 = 244 đã được biết tới từ đầu thế kỷ XVIII

𝑷𝟓𝟗𝟐 Có tồn tại hay không các số nguyên x, y, z không bằng 0, thỏa mãn phương

Dễ dàng chứng minh được rằng với mỗi số tự nhiên 𝑠 > 1 thì phương trình

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑠 = 𝑥1 𝑥2… 𝑥𝑠 có ít nhất là một nghiệm trong các số tự nhiên

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑠 (để chứng minh ta chỉ cần lấy 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑠−2 = 1, 𝑥𝑠−1 =

2, 𝑥𝑠 = 𝑠 là đủ)

P Erdos đã nêu giả thuyết cho rằng câu trả lời là có đối với câu hỏi sau đây:

𝑷𝟔𝟐𝟐 Đối với mỗi số tự nhiên 𝑛 > 1 có tồn tại hay không các số tự nhiên x, y, z

1 < 𝑛 < 141648

Tác giả của cuốn sách này đã nêu giả thuyết cho rằng câu trả lời sẽ là có cho câu hỏi sau đây

𝑷𝟔𝟑𝟐 Đối với mỗi số tự nhiên 𝑛 > 1 có tồn tại hay không các số tự nhiên x, y, z

𝑷𝟔𝟒 Phương trình 𝑥3 + 𝑦3 = 2𝑧3 có nghiệm trong các số nguyên x, y, z trong

đó 𝑥 ≠ 𝑦, 𝑧 ≠ 0 hay không ? (hãy so sánh với 𝑷𝟐𝟔)

𝑷𝟔𝟓 Tồn tại hay không số tự nhiên n không bắng 1 và không bằng 24, mà đối

với nó số 12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 đúng bằng bình phương của một số tự nhiên ?

Người ta đã chứng minh được rằng câu trả lời cho 𝑷𝟔𝟒 và 𝑷𝟔𝟓 là không, nhưng

các chứng minh đó rất phức tạp

Cũng vậy việc tìm câu trả lời cho câu hỏi dưới đây là rất khó:

𝑷𝟔𝟔 Giải phương trình 2𝑥4 − 𝑦2 = 1 trong các số nguyên x, y như thế nào ?

Lundgren năm 1942 đã chứng minh rằng phương trình này chỉ có 2 nghiệm trong các số tự nhiên là: 𝑥 = 𝑦 = 1 và 𝑥 = 13, 𝑦 = 239

𝑷𝟔𝟕𝟐 Giả thuyết Euler cho rằng không có các số tự nhiên x, y, z, t để sao cho

𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 = 𝑡4 có đúng hay không ? [34]

𝑷𝟔𝟖𝟐 Có phải mỗi số tự nhiên là tổng của không quá bốn số lập phương của các

số nguyên hay không ?

Chính tác giả đã cho công bố giả thuyết của mình cho rằng mỗi số nguyên có vô

số cách biểu diễn nó thành dạng 𝑥3 + 𝑦3 − 𝑧3 − 𝑡3, trong đó x, y, z, t là các số

tự nhiên

Giả thuyết đó đã được kiểm tra đối với tất cả các số tự nhiên ≤ 350, trừ các số

148 và 284, và với một tập vô hạn các số khác

Thay cho điều đó, ta có thể chứng minh được rằng tồn tại một tập vô hạn các số

tự nhiên mà mỗi số trong chúng không phải là tổng của ba số lập phương của các số nguyên (ví dụ, tất cả các số mà khi chia nó cho 9 ta có phần dư là 4 hoặc 5), và mỗi số nguyên đều có vô số cách phân tích thành dạng tổng của năm số lập phương của các số nguyên Việc chứng minh giả thuyết sau cùng là đơn giản; ta nhận được nó một cách trực tiếp từ kết quả ―mỗi số nguyên chia hết cho

6 là tổng của 4 số lập phương của các số nguyên‖, bởi vì đối với số nguyên k ta

có đồng nhất thức sau:

6𝑘 = (𝑘 + 1)3 + (𝑘 − 1)3 + (−𝑘)3 + (−𝑘)3

và thực tế là (với các số nguyên t và n) mỗi số trong các số:

6𝑡 − (6𝑛)3, 6𝑡 + 1 − (6𝑛 + 1)3, 6𝑡 + 2 − (6𝑛 + 2)36𝑡 + 3 − (6𝑛 + 3)3, 6𝑡 + 4 − (6𝑛 + 4)3, 6𝑡 + 5 − (6𝑛 + 5)3

đều chia hết cho 6 [35]

𝑷𝟔𝟗𝟐 Phương trình 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 − 𝑡3 = 1 có vô số nghiệm trong các số tự

nhiên x, y, z, t hay không ?

Ví dụ ta biết các nghiệm như vậy: 43 + 43 + 63 − 73 = 1, 43 + 383 + 583 −

63 3 = 1 Thay vì điều đó, ta dễ dàng chứng minh được rằng phương trình

𝑥3 − 𝑦3 − 𝑧3 − 𝑡3 = 1 có vô số nghiệm trong các số tự nhiên x, y, z, t bởi điều

đó được suy ra từ đồng nhất thức (6𝑛 3 + 1)3 − (6𝑛3 − 1)3 − (6𝑛2)3 − 13 = 1

với n=1, 2, …

𝑷𝟕𝟎𝟐 Mỗi số tự nhiên có thể biểu diễn thành dạng 𝑥3 + 𝑦3 + 2𝑧3 (trong đó x, y,

z là các số nguyên) hay không ?

Các số tự nhiên nhỏ nhất, mà số đó ta chưa biết, là 76 và tiếp theo là 99 [36]

𝑷𝟕𝟏𝟐 Có phải mỗi số tự nhiên khi chia cho 9 có số dư khác 4 hoặc 5 đều là tổng

của ba số lập phương của các số nguyên hay không ?

Ví dụ ta vẫn chưa biết rằng số 30 có phải là tổng của ba số lập phương của các

số nguyên hay không [37]

Các số 0, 1, 2 có vô số cách phân tích thành dạng tổng của ba số lập phương của các số nguyên, bởi ta có các đồng nhất thức sau:

tích nó thành tổng ba số lập phương của các số nguyên

𝑷𝟕𝟐𝟐 Có tồn tại hay không các số tự nhiên x, y, z sao cho 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 ?

Fermat đã đưa ra mà không chứng minh giả thuyết cho rằng câu trả lời cho 𝑷𝟕𝟐𝟐

là không Giả thuyết đó hiện nay đã được chứng minh với tất cả các số mũ n mà

2 < 𝑛 ≤ 4002 và với vô số các số khác Ngay cả với n=3 việc chứng minh giả

thuyết cũng rất khó

Việc chứng minh với 𝑛 = 4 là khá đơn giản [38]

[ND: Cuối cùng nó được Andrew Wiles chứng minh vào năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển từ chứng minh các giả thiết có liên quan Tuy nhiên chứng minh này còn thiếu sót và đến năm 1995 Wiles mới hoàn tất, công

𝑷𝟕𝟒𝟐 Tồn tại hay không số tự nhiên mà có ít nhất là ba cách khác nhau để phân

tích nó thành dạng tổng của hai số trùng phương (nếu ta bỏ qua thứ tự của các phần tử)

𝑷𝟕𝟓𝟏 Có phải mỗi số tự nhiên là tổng của 19 số mũ 4 của các số nguyên hay

không ?

E Waring đã đưa ra giả thuyết cho rằng câu trả lời cho câu hỏi này là đúng Người ta đã chứng minh rằng mỗi số tự nhiên đủ lớn là tổng của 16 số mũ 4 của các số nguyên Gần đây A Kaczmarczyk đã chứng minh rằng có thể tính được

số a để đối với 𝑛 > 𝑎 thì số tự nhiên n là tổng của 16 số mũ 4 của các số

nguyên

𝑷𝟕𝟔 Tồn tại hay không đối với mỗi lũy thừa tự nhiên s của số tự nhiên k để mỗi

số tự nhiên n sẽ là tổng của k thành phần, mà mỗi thành phần là một số mũ s của các số nguyên không âm ?

Giả thuyết cho rằng câu trả lời cho câu hỏi này sẽ là có, do E Waring đưa ra nhưng không chứng minh vào năm 1782 Trong hơn 100 năm việc tìm kiếm chứng minh cho giả thuyết là rất khó khăn, chỉ tới năm 1909 Hilbert mới tìm được chứng minh đó Tuy nhiên chứng minh của ông là rất khó [39], (9)

𝑷𝟕𝟕𝟐 Có hay không, trừ các số 8 = 23 𝑣à 9 = 32, hai số tự nhiên liên tiếp mà trong đó mỗi số là lũy thừa của một số tự nhiên có lũy thừa tự nhiên 𝑛 > 1 ?

E Catalan đã nêu giả thuyết cho rằng các số như vậy là không có

𝑷𝟕𝟖𝟐 Đối với mỗi số tự nhiên m thì số lượng tất cả các hệ thống các số tự nhiên

x, y, z, t lớn hơn 1 và thỏa mãn bất đẳng thức 0 < 𝑥𝑦 − 𝑧𝑡 < 𝑚 có phải là hữu

hạn hay không ?

Năm 1945 S Pillai đã nêu ra giả thuyết tương đương với câu trả lời cho câu hỏi

𝑷𝟕𝟖𝟐 là có

𝑷𝟕𝟗𝟐 .Tồn tại hay không ba số tự nhiên liên tiếp mà mỗi số trong chúng là một lũy

thừa của số tự nhiên có số mũ tự nhiên > 1 ?

Nếu câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟕𝟗𝟐 là có thì câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟕𝟕𝟐 cũng sẽ là

có

Thay vì điều đó, ta dễ dàng chứng minh được rằng không có bốn số tự nhiên liên tiếp mà mỗi số trong chúng là lũy thừa của một số tự nhiên có số mũ tự nhiên > 1 Bởi vì trong bốn số tự nhiên liên tiếp luôn luôn có một số mà khi

chia nó cho 4 ta nhận được số dư là 2, cho nên số ấy không thể là một lũy thừa của số tự nhiên (rõ ràng là số chẵn) có số mũ tự nhiên > 1 được

𝑷𝟖𝟎𝟐 Tồn tại hay không số tự nhiên 𝑚 > 1 và 𝑛 > 1 sao cho:

1𝑛 + 2𝑛 + ⋯ + (𝑚 − 1)𝑛 = 𝑚𝑛 ?

P Erdos đã nêu giả thuyết cho rằng câu trả lời của câu hỏi này là không Moser

đã chứng minh rằng không có các số 𝑚 > 1 và 𝑛 > 1 ấy đến 𝑚 ≤ 10 106 [40]

𝑷𝟖𝟏 Đối với mỗi cặp số tự nhiên k và l có tồn tại hay không số tự nhiên n phụ

thuộc vào chúng sao cho nếu tập hợp các số 1, 2, 3, … được ta phân chia thành

k hoặc ít hơn k tập hợp con không có phần tử chung thì có ít nhất là một tập hợp con trong số các tập hợp con đó mà bên trong nó có chứa một cấp số cộng được tạo nên từ l số khác nhau ?

Câu hỏi này được coi là rất khó Năm 1928 Van der Waerden đã chứng minh được rằng câu trả lời cho câu hỏi đó là có; chứng minh của ông tuy là sơ cấp nhưng rất phức tạp, một chứng minh đơn giản hơn dã được M Lukomskaya tìm thấy vào năm 1945 [41]

𝑷𝟖𝟐𝟐 Trong mỗi số tự nhiên ≥ 10 liệu ta có thể nhận được một số nguyên tố

bằng cách thay thế hai chữ số của nó hay không ?

Ta cần lưu ý rằng không phải là mọi số tự nhiên mà bằng cách thay thế một chữ

số của nó ta có thể nhận được một số nguyên tố; có thể chứng minh được rằng

200 là số tự nhiên nhỏ nhất mà bằng phương pháp thay thế một chữ số của nó thì ta không thể nhận được một số nguyên tố [42]

𝑷𝟖𝟑𝟐 Tồn tại hay không số tự nhiên 𝑎 > 41 sao cho số 𝑥2 + 𝑥 + 𝑎 với 𝑥 =

𝑷𝟖𝟒 Tồn tại hay không các số tam giác (trừ các số 1 và 6) mà bình phương của

nó cũng là một số tam giác ?

Chỉ tới năm 1946 Lundgren mới chứng minh được rằng câu trả lời ch câu hỏi

𝑷𝟖𝟒 là không Chứng minh của ông rất khó

Thay vì điều đó, ta dễ dàng chứng minh được rằng tồn tại một tập vô hạn các số tam giác mà mỗi số trong chúng cũng đồng thời là bình phương của một số tự nhiên Để chứng minh điều đó ta chỉ ra sự tồn tại của số đó (ví dụ số 1 = 1.2

2 =

12) và chứng minh rằng đối với mỗi số có tính chất đó (tức là đồng thời là số tam giác và số chính phương) thì ta có thể tìm được một số lớn hơn và cũng có tính chất đó là đủ Để đạt được mục đích đó ta chỉ cần kiểm tra đồng nhất thức sau là đủ 3𝑥 + 4𝑦 + 1 3𝑥 + 4𝑦 + 2 − 2(2𝑥 + 3𝑦 + 1) 2 = 𝑥2 + 𝑥 − 2𝑦2 và

từ đó trực tiếp suy ra rằng nếu số 𝑡𝑥 = 𝑥(𝑥+1)

Việc tìm các nghiệm chẵn của phương trình này cũng không dễ Ví dụ nghiệm:

𝑥 = 212 36, 𝑦 = 28 38, 𝑧 = 211 37 Người ta đã chứng minh được rằng tập các nghiệm này là vô hạn

Zhao Ke đã chứng minh rằng nếu các số tự nhiên x, y, z lớn hơn 1 thỏa mãn phương trình của ta thì các số x và y phải có ước số chung 𝑑 > 1, còn Schinzel

trong công trình của mình đăng trên Tạp chí Toán học Trung Quốc năm 1958 trong các trang 81-83 đã chứng minh rằng trong mỗi nghiệm ấy hoặc là mỗi ước

số nguyên tố của số x sẽ là ước số của số y, hoặc là mỗi ước số nguyên tố của số

y sẽ là ước số của số x và ông đã nêu ra các câu hỏi:

𝑷𝟖𝟔𝟐 Nếu x, y, z là các số tự nhiên > 1 sao cho 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 thì các số x, y có cần phải có các ước số nguyên tố giống nhau hay không ?

𝑷𝟖𝟕𝟐 Giả thuyết Carmichael cho rằng “đối với mỗi số tự nhiên m luôn tồn tại số

tự nhiên 𝑛 ≠ 𝑚 sao cho số các số tự nhiên không lớn hơn m và nguyên tố cùng

nhau với n đúng bằng số các số tự nhiên không lớn hơn n và nguyên tố cùng nhau với n” có đúng hay không ?

𝑷𝟖𝟖𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các số tự nhiên n sao cho số các số tự nhiên

≤ 𝑛 và nguyên tố cùng nhau với n đúng bằng cho số các số tự nhiên ≤ 𝑛 + 1 và

nguyên tố cùng nhau với n+1 ? [45]

Chúng ta cũng đã biết một vài số n như vậy, ví dụ: 1, 3, 15, 104, 164, 194,

255, 495, 584, 975

𝑷𝟖𝟗𝟐 Tồn tại hay không dù chỉ một hợp số n sao cho số tất cả các số tự nhiên

≤ 𝑛 và nguyên tố cùng nhau với n sẽ là ước số của số −1 ? [46]

Giả thuyết cho rằng không có hợp số n như vậy là do D H Lehmer đưa ra vào

năm 1932

𝑷𝟗𝟎𝟐 Tồn tại hay không vô số các cặp số tự nhiên m và n sao cho số tất cả các

số tự nhiên < 𝑚 và nguyên tố cùng nhau với m đúng bằng tổng tất cả các ước

số tự nhiên của số n ? [47]

Dễ dàng chứng minh được rằng câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟗𝟎𝟐 là có nếu câu trả lời cho câu hỏi 𝑷𝟏𝟐 là có

𝑷𝟗𝟏𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các số tự nhiên mà không có một số tự nhiên

n nào lại là tổng của tất cả các ước số tự nhiên ( < 𝑛) của n ?

Giả thuyết này do P Erdos nêu ra Chúng ta đã biết một vài con số như vậy, ví dụ: 2 và 5 [48]

𝑷𝟗𝟐𝟐 Nếu đối với số tự nhiên 𝑛 > 1 ta ký hiệu f(n) là tổng tất cả các ước số tự

nhiên (nhỏ hơn n) của n thì dãy 𝑛, 𝑓 𝑛 , 𝑓𝑓 𝑛 , 𝑓𝑓𝑓 𝑥 , … đối với mọi số tự

nhiên 𝑛 > 1 sẽ hoặc là tuần hoàn hoặc là kết thúc ở số 1 hay không ?

Catalan nêu giả thuyết cho rằng câu trả lời cho câu hỏi trên là có Chúng ta không những không thể chứng minh được giả thuyết này mà ngay cả việc kiểm tra nó với các số tự nhiên riêng biệt cũng rất phức tạp rồi Ví dụ, theo như tính toán của Poole đối với 𝑛 = 936 chúng ta nhận được dãy 936, 1794, 2238,

2250, … , 74, 40, 50, 43, 1 bao gồm 189 số hạng, mà trong đó số hạng lớn nhất là một số có 15 chữ số [49]

𝑷𝟗𝟑 Liệu đối với mỗi số tự nhiên 𝑛 > 90 thì số tất cả các số tự nhiên ≤ 𝑛 và

nguyên tố cùng nhau với n sẽ lớn hơn số tất cả các số nguyên tố ≤ 𝑛 có đúng

hay không ? [50]

Năm 1951 Moser đã chứng minh rằng câu trả lời cho câu hỏi này là đúng Một chứng minh khác do Erdos tìm thấy Nhưng cách chứng minh là không dễ

𝑷𝟗𝟒𝟐 Đối với mỗi số tự nhiên n liệu có tồn tại hay không n số tự nhiên khác

nhau sao cho tổng của mỗi cặp 2 số trong n số đó là bình phương của một số tự nhiên ?

Câu hỏi này do Moser đưa ra [51]

𝑷𝟗𝟓𝟐 Tồn tại hay không số tự nhiên 𝑛 > 3 mà đối với nó số 2𝑛 − 7 là số nguyên

tố ?

Chúng ta vẫn chưa biết số 239 − 7 có phải là số nguyên tố hay không Câu hỏi này là thuộc loại thứ nhất [52]

𝑷𝟗𝟔𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các số tự nhiên mà các số ấy không thể biểu

diễn thành một trong bốn dạng 6𝑥𝑦 ± 𝑥 ± 𝑦, trong đó x và y là các số tự nhiên

?

Có thể chứng minh được rằng câu hỏi 𝑷𝟗𝟔𝟐 là tương đương với câu hỏi thuộc loại thứ hai 𝑷𝟏𝟗𝟐

Dãy số vô hạn mà trong chúng hai số hạng đầu tiên bằng 1, và mỗi số hạng tiếp

theo là tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó được ta gọi là dãy Fibonacci,

trong đó n là số tự nhiên Tên của số đến từ số lượng đạn được đặt trong Kim tự

tháp 10 số Kim tự tháp đầu tiên là: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220 Trong thế kỷ XIX người ta đã tính được tất cả các số Kim tự tháp mà chúng đồng thời cũng là các số chính phương Năm 1875 Luca đã nêu giả thuyết cho

rằng chỉ tồn tại có 3 số như vậy, cụ thể là: 𝑃1 = 12, 𝑃2 = 22, 𝑃48 = 1402 Và giả thuyết này đã được Watson chứng minh trong năm 1918, nhưng chứng minh của ông không phải là sơ cấp

𝑷𝟗𝟖𝟐 Tồn tại hay không tập vô hạn các số Kim tự tháp mà đồng thời chúng cũng

là các số Tam giác ?

Chúng ta cũng có biết tới các số như vậy Theo Escott trong các số tự nhiên

< 5 106 chỉ có các số như vậy sau đây: 1, 10, 120, 1540 và 7140, mà đối với chúng 𝑃1 = 𝑡1, 𝑃3 = 𝑡4, 𝑃8 = 𝑡15, 𝑃20 = 𝑡35, 𝑃34 = 𝑡119

Xuất hiện giả thuyết cho rằng ngoài 5 số ở trên thì không còn số Kim tự tháp nào khác mà nó đồng thời là số Tam giác

Có nhiều câu hỏi chưa được giải đáp xuất hiện khi nghiên cứu việc biểu diễn căn bậc hai của một số không phải là số chính phương thành phân số thập phân

Ta đã biết phương pháp tính toán các chữ số liên tiếp của một số tùy ý thành phân số thập phân

Vậy nếu ta biểu diễn số 2 (mà vào năm 1950 người ta đã tính nó với nhiều hơn

1000 chữ số sau dấu phẩy) thành dạng phân số thập phân, thì ta vẫn chưa biết quy luật của các chữ số tiếp theo trong biểu diễn đó Vì vậy xuất hiện câu hỏi:

𝑷𝟗𝟗𝟐 Chữ số 1 ở trong biểu diễn số 2 thành phân số thập phân vô hạn liệu có

xuất hiện vô hạn lần hay không ?

Ở trong câu hỏi này chữ số 1 có thể được thay bằng một chữ số khác bất kỳ Điều tương tự cũng xảy ra khi ta biểu diễn dạng số thập phân với các số vô tỷ

nổi tiếng khác, ví dụ số e hoặc số 𝜋

Nhưng khi ta biểu diễn các số này thành dạng liên phân số thì tình huống xảy ra

sẽ khác đi đôi chút: chúng ta biết quy luật của mẫu số tiếp theo của biểu diễn đó

đối với số vô tỷ là căn bậc hai của các số tự nhiên, và đối với số e (cơ sở của

lôgarit tự nhiên), nhưng ta vẫn chưa biết quy luật đó với số 𝜋, mà ta vẫn chưa biết rằng các số 1 ở mẫu số có dược lặp đi lặp lại vô số lần hay không [54]

𝑷𝟏𝟎𝟎𝟐 Dãy 9 chữ số liên tiếp 123456789 liệu có xuất hiện ít nhất một lần trong

biểu diễn số 𝜋 thành dạng số thập phân hay không ?

Có thêm nhiều câu hỏi số học vẫn chưa được giải đáp Theo thời gian số lượng của chúng không ngừng tăng theo, vì vậy cần phải có những phương pháp mới

để giải quyết các câu hỏi còn tồn đọng từ trước, mà một số câu hỏi đã tồn tại hàng trăm năm rồi [Gần đây, khi tôi bày tỏ quan điểm này trong báo cáo của mình tại Đại học Rennes, một nhà toán học địa phương nổi tiếng, giáo sư Antoine nói: "Trong trường hợp này, một số vấn đề sẽ không bao giờ được giải quyết" Tôi trả lời rằng, rõ ràng, nó có thể xảy ra, nhưng nếu con người sẽ tồn tại vô thời hạn, nó có thể là tình trạng nghịch lý là mặc dù thực tế rằng số lượng các vấn đề chưa được giải quyết sẽ luôn tồn tại và tăng vô hạn định, nhưng mỗi vấn đề ấy sẽ được giải quyết sau một thời gian nào đó Giả sử rằng mỗi năm có

10 vấn đề mới được đặt ra và chỉ có duy nhất 1 vấn đề trong số các vấn đề chưa được giải quyết còn tồn đọng tới thời điểm đó là được giải quyết Rõ ràng số các vấn đề chưa được giải quyết sẽ tăng lên vô hạn, sau n năm sẽ có thêm 9n vấn đề chưa được giải quyết Tuy nhiên nếu chúng ta đánh số thứ tự cho các vấn

đề tồn đọng đó và mỗi năm sẽ giải quyết được vấn đề có chỉ số bé nhất (trong các chỉ số đã được thiết lập tới thời điểm đó) thì vấn đề thứ n sau n năm sẽ được giải quyết, vì vậy mỗi vấn đề tồn đọng sẽ được giải quyết sau một khoảng thời gian của nó (10) Nghịch lý này cũng tương tự như những điều mà tôi đã viết trong số 4 (11) của tạp chí "Toán học" vào năm 1950] Nhưng khoa học của chúng ta về các số không chỉ là những kiển thức về những gì ta biết về các số,

mà còn tìm ra cả những điều mà ta vẫn chưa biết về nó nữa

TRÊN RANH GIỚI CỦA HÌNH HỌC VÀ SỐ HỌC

(Báo cáo được nhiều bạn đọc quan tâm, 18/11/1958)

Mặt phẳng được chia thành các ô vuông giống nhau

Hình 1

Đơn vị chiều dài ta có thể lấy chiều dài cạnh của một ô vuông bất kỳ Các đỉnh

của ô vuông được ta gọi là các điểm lưới (xem hình 1)

Có vẻ các điểm lưới được phân bố đều nhau trên mặt phẳng, Ta không thể nói được nhiều hơn nhưng cũng khó tưởng tượng được rằng ở đây lại xuất hiện nhiều vấn đề lý thú và cả những vấn đề rất phức tạp nữa

Tuy nhiên, trong các thế kỷ qua các điểm lưới là đối tượng nghên cửu của hàng loạt các nhà toán học nổi tiếng, mà đứng dầu là Gauss Về chủ đề này, nhiều câu hỏi khác nhau đã được đặt ra Ta biết có nhiều câu hỏi đã được trả lời, nhưng cũng có những câu hỏi mà cho tới tận ngày nay vẫn chưa có câu trả lời Ở đây

có những câu hỏi chỉ mới được đặt ra trong thời gian gần đây Chúng ta sẽ bắt đầu bằng câu hỏi được Н Sleinhaus phát biểu mới đây:

Đối với mỗi số tự nhiên (tức là các số nguyên dương) n liệu có tồn tại hay không một vòng tròn trên mặt phẳng mà bên trong vòng tròn ấy chứa đúng n điểm lưới ?

Dễ dàng chứng minh được rằng đối với mỗi số tự nhiên n không tồn tại vòng tròn có tâm ở một điểm lưới mà bên trong vòng tròn đó chứa đúng n điểm lưới

Rõ ràng nếu ta có một vòng tròn có tâm tại điểm lưới và bán kính 𝑟 ≤ 1 thì bên trong vòng tròn ấy ta chỉ tìm được đúng 1 điểm lưới (và nó chính là tâm của vòng tròn); nếu bán kính của vòng tròn ấy > 1 nhưng ≤ 2 thì có đúng 5 điểm lưới nằm bên trong nó Do đó, không có một vòng tròn nào có tâm tại điểm lưới

mà có đúng 2, 3 hoặc 4 điểm lưới nằm bên trong nó

Nếu ta đặt tâm của vòng tròn ở giữa một ô vuông nào đó thì với bán kính ≤ 1

2

thì bên trong vòng tròn không có một điểm lưới nào, nhưng với bán kính r sao

cho 1

2𝑟 ≤ 5

2 thì bên trong vòng tròn ấy có đúng 2 điểm lưới

Nếu ta chọn tâm của vòng tròn là tâm của một ô vuông nào đó trong các ô vuông cho trước thì với bán kính ≤ 2

2 thì bên trong vòng tròn không có

một điểm lưới nào, nhưng với bán kính r sao cho 2

2 ≤ 𝑟 ≤ 10

2 thì bên trong vòng tròn ấy có đúng 4 điểm lưới

Nếu bây giờ ta đẩy tâm vòng tròn của ta từ tâm của ô vuông theo đường chéo của ô vuông đó thì do ta lấy khoảng cách từ tâm mới của vòng tròn đến một đỉnh khác của ô vuông làm bán kính của vòng tròn mới thì ta nhận được vòng tròn mà có đúng 3 điểm lưới nằm bên trong nó

Ta sẽ chứng tỏ thêm rằng có thể chọn tâm vòng tròn trên mặt phẳng

để với bán kính tương ứng thì bên trong vòng tròn đó ta tìm được một

số hữu hạn tùy ý các điểm lưới

Lấy một điểm lưới làm gốc tọa độ vuông góc, còn các trục tọa độ xuất phát từ điểm này sẽ vuông góc với nhau về cùng một phía của hình vuông

Ta chứng minh rằng nếu ta lấy tâm vòng tròn là điểm p trên mặt

phẳng với các tọa độ ( 2;13), thì với mỗi số tự nhiên n sẽ tồn tại bán

bán kính 𝑟𝑛 sao cho bên trong vòng tròn với tâm tại điểm p và bán

kính 𝑟𝑛 sẽ có đúng n điểm lưới nằm bên trong nó

Để làm điều đó, đầu tiên ta chứng minh rằng mỗi cặp điểm lưới khác

nhau do có những khoảng cách khác nhau kể từ điểm p

Giả thiết rằng hai điểm lưới khác nhau 𝑃1 và 𝑃2 có cùng một khoảng

cách tới điểm p Trong hệ tọa độ của ta các điểm lưới là các điểm trên

mặt phẳng mà ở đó các biểu thức tọa độ là các số nguyên Giả sử (𝑎; 𝑏) là các tọa độ của điểm 𝑃1 và (𝑐; 𝑑) là các tọa độ của điểm 𝑃2 Bởi vì các khoảng cách từ các điểm 𝑃1 và 𝑃2 tới điểm p do giả thiết là

giống nhau nên bình phương của các khoảng cách đó cũng giống nhau Từ đó theo định lý Pythagoras ta nhận được đẳng thức:

là các số nguyên, nên 𝑑 − 𝑏 = 0 hay 𝑏 = 𝑑 Vậy 𝑐 = 𝑎, 𝑑 = 𝑏 và

điều đó mâu thuẫn với điều kiện các điểm (𝑎; 𝑏) và (𝑐; 𝑑) là khác nhau

Vì vậy ta đã chứng minh rằng mỗi cặp điểm lưới khác nhau sẽ có các khoảng cách đến điểm 𝑝( 2;13) là khác nhau

Bây giờ ta giả sử n là số tự nhiên cho trước Rõ ràng mỗi vòng tròn với tâm p và bán kính đủ lớn sẽ chứa trong nó nhiều hơn n điểm lưới

Giả sử K là một trong các vòng tròn đó Rõ ràng có một số hữu hạn các điểm lưới nằm bên trong K Bởi vì chúng có các khoảng cách tới

điểm p là khác nhau nên nên ta có thể phân bố chúng vào một dãy hữu

hạn tuân theo khoảng cách tới điểm p tăng dần; giả sử:

𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛, 𝑃𝑛 +1, …

sẽ là dãy ấy Giả sử 𝐾𝑛+1 là vòng tròn với tâm p, đi qua điểm 𝑃𝑛+1

Rõ ràng là các điểm lưới duy nhất nằm bên trong vòng tròn 𝐾𝑛+1 sẽ là các điểm 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛; cho nên chúng có đúng n điểm lưới

Do đó ta đã chứng minh được rằng đối với mỗi số tự nhiên n tồn tại

một vòng tròn với tâm p chứa đúng n điểm lưới

Ở đây xuất hiện câu hỏi có hay không điểm P của mặt phẳng có hai tọa độ hữu tỷ sao cho đối với mỗi số tự nhiên n luôn tồn tại một vòng tròn với tâm P mà bên trong nó có đúng n điểm lưới Schinzel đã

chứng minh rằng điều đó là không thể có Nếu ta lấy một điểm bất kỳ trên mặt phẳng mà cả hai tọa độ của nó đều là hữu tỷ, thì sau khi tiến hành quy đồng mẫu số chung của chúng thì chúng có thể biểu diễn thành dạng 𝑘

𝑚 và 𝑙

𝑚 trong đó k và l là các số nguyên, còn m là số tự nhiên; trong trường hợp có ít nhất một trong hai số k và l là khác 0,

các điểm lưới (𝑙; −𝑘) và (−𝑙; 𝑘) sẽ khác nhau và có các khoảng cách đến điểm 𝑘

𝑚 ; 𝑙

𝑚 giống nhau, bởi vì dễ kiểm tra:

Nếu 𝑘 = 𝑙 = 0 thì các điểm lưới (1; 0) và (−1; 0) sẽ khác nhau và

có các khoảng cách đến điểm 0; 0 giống nhau

Nếu trong vòng tròn với tâm 𝑘

𝑚 ; 𝑙

𝑚 và đi qua điểm (𝑙; −𝑘) có s

điểm lưới nằm trong thì ta thấy rằng sẽ không có một vòng tròn với tâm như vậy nào lại chứa bên trong nó (𝑠 + 1) điểm lưới

Thay vì điều đó, ta có thể chứng minh được rằng đối với mỗi số tự

nhiên n luôn tồn tại một vòng tròn với tâm là điểm hữu tỷ mà bên trong nó chứa đúng n điểm lưới Như ta đã biết tồn tại vòng tròn K

với tâm ở điểm 𝑝( 2;13) mà bên trong nó chứa đúng n điểm lưới Bởi

vì không có một điểm lưới nào trong n điểm lưới đó là nằm trên chu

vi của đường tròn K, nên tồn tại số dương d nhỏ hơn khoảng cách từ

mỗi điểm lưới ấy đến chu vi đường tròn K Do đó đường tròn 𝐾1 với tâm P và bán kính 𝑟 − 𝑑 sẽ chứa bên trong nó đúng n điểm lưới Các

vòng tròn K và 𝐾1 là đồng tâm Nhưng ta dễ thấy rằng nếu trên mặt phẳng chúng ta có 2 vòng tròn đồng tâm thì luôn tồn tại một vòng tròn với tâm ở điểm hữu tỷ mà nó chứa vòng tròn nhỏ và nằm bên trong vòng tròn to Do đó vòng tròn ấy (hoàn toàn xác định đối với K và

𝐾1) sẽ chứa bên trong nó đúng n điểm lưới

Ta nhận xét thêm rằng H Steinhaus đã chứng minh được rằng: đối

với mỗi số tự nhiên n luôn tồn tại một vòng tròn có diện tích n và bên trong nó có chứa đúng n điểm lưới Việc chứng minh mệnh đề này là

đã chứng minh rằng trong trường hợp n lẻ 𝑛 = 2𝑘 + 1, trong đó

𝑘 ≥ 0 là số nguyên, vòng tròn mà trên chu vi của của nó có đúng n

điểm lưới nằm trên là vòng tròn với tâm (1

3

Ngoài ra cũng có câu hỏi sau: Đối với mỗi số tự nhiên n liệu có tồn tại

hay không một hình vuông trên mặt phẳng, mà bên trong nó có chứa đúng n điểm lưới ? I Browkin đã chứng minh rằng câu trả lời cho

câu hỏi trên là có Tuy nhiên chứng minh này khó hơn nhiều đối với trường hợp tồn tại vòng tròn

Ta dễ dàng chứng minh được rằng đối với mỗi số tự nhiên n trong

không gian ba chiều luôn tồn tại một hình cầu mà bên trong nó chứa

đúng n điểm có ba tọa độ nguyên (điều đó có nghĩa là các điểm ấy là

các đỉnh của hình lập phương có thể tích bằng 1, mà các hình lập phương đơn vị ấy tạo nên một phân hoạch toàn bộ không gian 3 chiều) Có thể chứng minh rằng hình cầu đó có tâm là điểm 2; 3; 13

Kulikovskii đã chứng minh được rằng đối với mỗi số tự nhiên n tồn

tại một mặt cầu trong không gian ba chiều mà trên bề mặt của nó có

đúng n điểm có các tọa độ nguyên nằm ở trên đó

Có thêm một nhận xét nữa là Brovkin đã chứng minh rằng đối với

mỗi số tự nhiên n trong không gian ba chiều luôn tồn tại một hình lập phương mà bên trong nó chứa đúng n điểm có ba tọa độ nguyên

Ta quay trở lại với các điểm lưới nằm bên trong vòng tròn, cần lưu ý rằng sẽ rất khó khăn để dưa ra một công thức mà với mỗi số tự nhiên

n công thức đó cho phép ta tính được bán kính của vòng tròn mà bên

trong nó chứa đúng n điểm lưới Không khó lắm ta có thể đưa ra một

công thức gần đúng của bán kính ấy có sai số tương đối nhỏ với các n

lớn

Với mục đích đó ta lấy một điểm bất kỳ Q trên mặt phẳng và vòng

tròn K với tâm Q và bán kính r cho trước Mỗi điểm lưới P được đặt

tương ứng với một hình vuông có các cạnh bằng 1 và song song với

các trục tọa độ, tâm của hình vuông là điểm P Giả sử s là phần của

mặt phẳng chứa tất cả các hình vuông tương ứng với các điểm lưới

nằm bên trong vòng tròn K Nếu số lượng các điểm lưới ấy bằng n thì

rõ ràng diện tích của s sẽ bằng n

Giả sử 𝐾1 sẽ là vòng tròn với tâm Q và bán kính 𝑟 + 1 2 Bởi vì 1

2

là khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ một điểm của

hình vuông có diện tích 1 tới tâm của hình vuông đó, nên ta kết luận rằng diện tích vòng tròn 𝐾1 cùng với chu vi của nó sẽ phủ kín diện