TỔNG hợp NHỮNG câu PHÂN LOẠI TUYỂN SINH vào lớp 10

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các dạng bất đẳng thức, phương trình vô tỉ, được giải một cách tỉ mỉ rất dễ hiểu giúp cho các bạn học sinh lớp 9 có thể đạt hiệu quả cao trong kì thi tuyển sinh lớp 10 ....................................................................................................................................................................................................

Trang 1

TỔNG HỢP NHỮNG CÂU PHÂN LOẠI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Bài 1: [Chuyên Trần Phú-Hải Phòng_2015-2016] Cho x, y, z là ba số thực dương Chứng minh:

 

Hướng dẫn giải

Với x, y, z dương, ta có:

8 3 14 (9 12 4 ) ( 2 ) (3 2 ) ( ) (3 2 )

Tương tự ta có:

2 2

y z yz y z

z x zx z x

Suy ra

P

x y y z z x

Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có:

Ta có 2 BĐT tương tự

2

7 2

3 2 25

7 2

3 2 25

y z

z x













Cộng từng vế của 3 BĐT trên, ta có

x y y z z x

 

Từ (*) và (**) ⇒

 

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

Trang 2

Bài 2: [Chuyên Trần Phú-Hải Phòng_2015-2016] Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn phương

trình: 16(x3y3) 15 xy371

3 3

16(x y ) 15 xy371 (1)

Vì x, y ∈ ℕ * nên từ (1) ⇒16(x3y3) 15 xy371 0 x3 y3 x y

(1)15xy16(x y ) 371 là số lẻ, suy ra x, y lẻ

Suy ra y ≥ 1, x > y ≥ 1 ⇒ x ≥ 3 Xét hai trường hợp:

 x = 3 ⇒ y < 3 ⇒ y = 1 Thử lại ta có (x; y) = (3;1) thỏa mãn (1)

 x ≥ 5 Ta có: x – 2 ≥ y Suy ra

16( x  y ) 16    x   ( x 2)    16   x  ( x  6 x  12 x  8    16(6 x  12 x  8)

Mặt khác:

2

15xy371 15 ( x x 2) 371 15 x 30x371

Ta chứng minh

16(6x 12x 8) 15x 30x37181x 162x243 0 x 2x   3 0 (x 1)(x 3) 0 (đúng ∀ x ≥ 5)

Suy ra16(x3y3) 15 xy371 với mọi x ≥ 5

Vậy (x;y) = (3;1) là cặp số duy nhất thỏa mãn bài toán

Câu 3: [Sở GD Hải Phòng_2016-2017]

a) Cho a > 0, b > 0, c > 0 Chứng minh rằng: (a b c)(1 1 1) 9

b) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

2(ab )

P

bc ca a b c

Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có:

3

1 1 1 1 1 1

3

a b c abc

a b c a b c

  

Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều dương, ta được:

Trang 3

3 3

( a b c )( ) 3 abc 3 9

b) Với mọi a, b, c > 0 ta có

2 2 2

a b b c c a a b c ab bc ca

ab bc ca a b c

2 2 2

P

ab bc ca ab bc ca a b c

ab bc ca a b c a b c

ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c

Áp dụng ý a, ta có

2 2 2

9

39

2

ab bc ca ab bc ca a b c a b c

P

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1

3

a  b c

Vậy GTNN của P là 39

2

Câu 4: [Sở GD Hưng Yên_2016_1017] Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a

Với a,b,c là các số dương và a  b  c  1

Cách giải 1

Ta có: 2 2 2 2 5 ( )2 3 ( )2 5 ( )2

a  ab  b  a b   a b   a b 

Dấu “=” xảy ra khi a =b Hay 2 2 2 2 5( ) 2 4

2

Tương tự :

2

b bc c  b c Dấu “=” xảy ra khi c =b

2

c  ca  a  c  a Dấu “=” xảy ra khi a = c

Suy ra P  2 a2 ab  2 b2  2 b2 bc  2 c2  2 c2 ca  2 a2  5(a b c  )

Trang 4

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có :

(1  1 1 )[( a) ( b) ( c) ](1 a1 b1 c) 1

3

a b c    => 5

3

P 

Dấu “=” xảy ra khi

0; 0; 0

1 9 1







Vậy MinP = 5

3 khi và chỉ khi 1

9

a    b c

Cách giải 2

Ta chứng minh bất đẳng thức: a2b2  c2d2  (a c )2 (b d)2 (*) dấu bằng xảy ra khi

c  d

Thật vậy:

2 2 2 2

2

( ) 0( dung)

2

a

Áp dụng bất đẳng thức * ta có:

2

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có

3

dấu = khi a = b = c

Do đó

2

5

3

P

a b c

P

 

Dấu = khi a = b = c = 1/9

Cách giải 3

Ta có: 2a2ab2b2 2(a b )23ab

Trang 5

Mà

2 ( )

4

a b

ab  

Nên

5

2

a ab b a b

Do đó P 5(a b c  )

Mặt khác ta có

1

3

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

2

3 Dấu “=” khi 1

9

a  b c

Câu 5: [Sở GD Nam Định 2016_2017]

Giải phương trình 2(x1) x 3(2x35x24x 1) 5x33x28

2(x1) x 3(2x 5x 4x 1) 5x 3x 8 (1)

Điều kiện: x ≥ 0 Với x ≥ 0, ta có

2

(1) 2( 1) 3( 1) (2 1) ( 1)(5 8 8)

2( 1) ( 1) 3(2 1) ( 1)(5 8 8) 0( x+1 1>0)

1 0(2)

<=>

2 3(2 x 1) (5 8 8) 0(3)

x

 







Ta có (2) ⇔ x = –1 (loại)

Giải phương trình (3): Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

3 2 1

2 (3) 1 2 (5 8 8) 5 10 5 5( 1) 0

x x

x

 

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 1 Vậy (3) ⇔ x = 1 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {1}

Câu 6: [Sở GD Nghệ An 2016_2017] Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 0 ≤ a,b,c ≤ 1 và a + b + c ≥ 2 Chứng minh rằng: ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) ≥ 2

Vì 0a b, , c 1  (1 a)(1 b)     0 1 a b ab0

Trang 6

ab a b 1 (a b c) (c 1) 0

ab(a 1) a ab ab a(a 1) ab a 2

Tương tự ta có

2

(b 1) 2

( 1) 2

bc b bc b

ca c c ca c

Cộng lại ta được:

2 2 2 2

( ) (a b c) (a b c 1)(a b ) 1.2 2

=>đpcm

Câu 7: [Sở GD Quảng Ninh 2016_2017] Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y +

xy = 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2

Vì x, y là những số thực dương nên theo BĐT Côsi ta có

2

x   y xy dấu “=” xảy ra khi x = y hayx x x2 15  x y 3

GT: x y xy15xy15 ( x y)

Do đó:

( ) 2 ( ) 30 2( ) 2 30 2.2

dấu “=” xảy ra khi x = y = 3

2

min 4.3 30 4.3 18

P     tại x = y = 3

Câu 8: [Sở GD Thanh Hóa 2016_2017]: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a22b2 3c2

Chứng minh rằng: 1 2 3

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số, ta có

(a2 )b (1.a 2 2 )b  (1 2)(a 2b )3.3c 9c  a 2b3c

Với mọi x,y,z > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có

x y z x y z

   

 

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có

a    b a b b a b ba b c c

Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c

Trang 7

Câu 9: [Yên Bái 2016_2017]: Cho 2 số dương a,b thỏa mãn (a + b)(a + b – 1) = a2 + b2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 4 21 2 4 21 2

Q

Từ điều kiện đề bài suy ra   2  2 2

a b  a b a b  ab     a b a b ab

2

a b

a b a b a b b a b a

Q

a b ab b a ba ab a b ab a b

a b

ab a b



Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = 1

Vậy GTLN của Q là1

2

Câu 10: [Yên Bái 2016_2017] Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức: P 5 ab5 5 bc5 5 ca5

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương, ta có:

5

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 2

5 b b 5

a a a b b a a a a b

a b a b

Tương tự ta có:

5 5 2 3

1

Ta có 2 bất đẳng thức tương tự, cộng lại ta có:

1

P

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy GTLN của P là 1

Câu 11: [Hà Tĩnh 2016_2017] Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

Trang 8

3 3

2

7 (2 2 3)(a )

( )

a b



Hướng dẫn giải Cách 1 Ta có:

Do a, b là các số dương, nên áp dụng BĐT Cô si ta có: a2b2 2ab

2 2 2

2

7 [2(a b) 3](a b)(2 ab)

( ) 7 [2(a b) 3](a b)(2 1)

( ) 7

[2(a b) 3](a b)

( ) 7 2(a b) 3(a b)

( )

P

a b



Ta có:

[ ( ) ] [ 2 ] 0

( )

a b

 

Nên ta có: 7 0 13 25 15

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 15/4 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

a b ab





Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

2 2

2 2( ab=1)

a+b 2



 Suy ra Min P=15/4a=b=1

Câu 12: [Hà Tĩnh 2016_2017] Với các số thực x, y thỏa mãn x  x   6 y   6 y tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y

Điều kiện: x ≥ –6, y ≥ –6

Từ điều kiện đề bài ta có x + y ≥ 0 và

Trang 9

x   y x   y    x y     x y x  y  (*)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có

2

2 ( 6)( 6) ( 6) ( 6) 12

( ) 12 2 ( 6)( 6) 2( ) 24

( ) 2( ) 24 0

x y x y

x y

    

Khi x = y = 3 thì x + y = 6

Ta có 2 ( x  6)( y  6) 0 nên từ (*) suy ra

2

Khi x = 10, y = –6 hoặc x = –6, y = 10 thì x + y = 4

Vậy GTLN của P là 6 khi x = y = 3 và GTNN của P là 4 khi x = 10, y = –6 hoặc x = –6, y = 10

Câu 13: [Chuyên DHSP Hà Nội 2016_2017] Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b +

c = 1 Chứng minh rằng 5a 4 5b 4 5c 4 7

Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên

2 2 2

(1 ) 0

0 , , 1 (1 ) 0

(1 ) 0

a a

 





Suy ra 5a 4 a24a 4 (a2)2  a 2

Tương tự 5b  4 b 2; 5c  4 c 2

Do đó 5a 4 5b 4 5c 4 (a b c   ) 6 7

Câu 14: [Sở GD Sơn La 2016_2017] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a b   2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1

 

Hướng dẫn giải Cách 1: Với mọi a, b ta luôn có: (a - b)20

Vì a, b đều dương nên ab và a+ b cũng dương bất đẳng thức (*) trở thành:

a b

P



2

2 2 P

a b



Trang 10

Dấu “ = ” xảy ra

2

2 2

a b



 



Vậy min P= 2

Cách 2: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 0 (a + b)2 4ab => (*) giải tiếp ta được

2 2

co si co si

P

a b ab a b a b

Dấu “ = ” xảy ra a   b 2

Vậy min P= 2

Cách 4: Ta chứng minh bài toán sau: Cho a, b là các số dương

Chứng minh rằng:1 1 4 (*)

 Thật vậy áp dụng vất đẳng thức cô sinh cho hai số dương a và b, 1 1 ;

a b ta được:

2 (1)

2 (2)

a b ab

 

Do các vế của (1) và (2) trên đều dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương cùng chiều, tađược:

1 1

(a b)( ) 4

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b

Áp dụng (*) => P 4

a b



 vì a+b

2

P

  dấu "=" xẩy ra khi (1), (2) và (3) đồng thời xẩy ra dấu "=" và kết hợp với điều kiện bài ra

ta có:

2 2

a b

 







  



Vậy minP = 2 khi a=b= 2

Cách 5: Bằng phương pháp tương đương ta chứng minh bài toán sau: Cho a, b là các số dương

Chứng minh rằng: 1 1 4

 => các bạn giải tiếp

Cách 6: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kì ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

x  y

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bun nhiacopxki cho

Trang 11

 

2 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) hay

     

     



Áp dụng (1) ta có:

1 1 (1 1) (1 1) 4

2 2

Dấu "=" xẩy ra khi và khỉ khi 1 1

a  b hay a=b kết hợp với điều kiện bài ra ta có:Vậy minP =

2 khi a=b= 2

Câu 15: [Sở GD Vũng Tàu hệ chuyên 2016_2017] Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca =

2

Từ điều kiện đề bài ta có ab bc ca 3 1 1 1 3

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

2

2 2

a

a bc a bc a bc

a bc a bc bc

2

.

a

b c a bc b c

b c



b ca c a c ab a b

Câu 16: [Sở GD Vĩnh Phúc 2015_2016] Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c

= 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P ab bc ca

c ab a bc b ca

Có a + b + c = 1 => c = (a + b + c).c = ac + bc + c2

=> c + ab = ac + bc + c2 + ab = a(c + b) + c(b + c) = (c + a)(c + b)

Áp dụng BĐT Cô-si với hai số dương x, y ta có:

2

Dấu “=” xảy ra khi x = y

Trang 12

1 1

( )( )



Tương tự: a + bc = (a + b)(a + c)

b + ca = (b + c)(b + a)

=>

( ) (2) 2

( )( )

( ) (3) 2

( )(a b)

a b a c

c bc a b a c

b c b a

b ca b c

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có:

P

c ab a bc b ca

1

bc ca bc ab ca ab a b c

a b a c b c

Từ đó giá trị lớn nhất của P là 1

2 đạt được khi và chỉ khi a = b = c = 1

3

Câu 17: [Sở GD Vĩnh Long 2015_2016] Biết phương trình bậc hai (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x –

c)(x – a) = 0 (x là ẩn số) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

Hướng dẫn giải Theo đề: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

⇔ x2 – ax – bx + ab + x2 – bx – cx + bc + x2 – cx – ax + ca = 0

⇔ 3x2 – 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0

2

1

2

1

[(a b) ( ) ( ) ] 0 , ,

2

a b c ab bc ca ab abc ca a b c ab bc ca

ab b b bc c c ca a

b c c a a b c

Vì phương trình trên có nghiệm kép nên:

0

a b

c a

 





        

  



Nghiệm kép: 1 2

' 3

a

 

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	877,57 KB