Phương pháp giải một số lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng

Líi mð đ¦u 1. Giîi thi»u bài toán tèi ưu đa möc tiêu Trong nhúng năm 50 cõa th¸ k 20, Quy ho¤ch đa möc tiêu, hay còn đưñc gåi là Tèi ưu đa möc tiêu ho°c Tèi ưu véc tơ, đã trð thành mët chuyên ngành toán håc, thu hút sü quan tâm cõa nhi·u tác gi£ và đưñc phát triºn m¤nh m³ suèt g¦n 70 năm qua. Các thành tüu cõa Quy ho¤ch đa möc tiêu đưñc ùng döng rëng rãi trong thüc t¸, đ°c bi»t là trong lý thuy¸t ra quy¸t đành, kinh t¸, tài chính, kÿ thuªt, vi¹n thông,... (xem [23], [64], [83], [93], [94],...). Bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu đưñc phát biºu dưîi d¤ng Min f (x) = ( f 1 (x); f 2 (x); : : : ; f (x)) vîi đi·u ki»n x 2 X; (MOP) trong đó X  R n p là tªp các phương án ch§p nhªn đưñc, f : X !R, j = 1; : : : ; p, p  2, là các hàm möc tiêu. Do không gian giá trà R p j không có thù tü đ¦y đõ nên thay vì khái ni»m nghi»m tèi ưu thông thưíng, tèi ưu véc tơ sû döng khái ni»m nghi»m húu hi»u đưñc xác đành theo thù tü tøng ph¦n do G. Cantor (1845-1918) [21] và F. Hausdorff (1868-1942) [37] đ· xu§t. Bài toán (MOP) đưñc gåi là bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu lçi, ký hi»u là (CMOP), n¸u X là tªp lçi và f 1 ; : : : ; f là các hàm lçi. Đây là trưíng hñp đ°c bi»t cõa bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu lçi suy rëng, ký hi»u là (GMOP), trong đó f 1 ; : : : ; f p p là các hàm lçi suy rëng và tªp ch§p nhªn đưñc X cũng là tªp lçi. N¸u t§t c£ các hàm möc tiêu f 1 ; : : : ; f đ·u là hàm tuy¸n tính và X là tªp lçi đa di»n thì ta gåi (MOP) là bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu tuy¸n tính và ký hi»u là (LMOP). Như đã bi¸t, bài toán (LMOP) là trưíng hñp đơn gi£n nh§t cõa bài toán (MOP) nói chung và cõa bài toán (CMOP) nói riêng. p Theo ti¸p cªn trên không gian quy¸t đành (decision space), vi»c gi£i bài toán (MOP) đưñc xem như vi»c xác đành toàn bë hay mët ph¦n cõa tªp nghi»m húu hi»u X E ho°c tªp nghi»m húu hi»u y¸u X . Đây là mët vi»c khó, vì ngay c£ trong trưíng hñp đơn gi£n nh§t cõa (MOP) là bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu tuy¸n tính WE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

—————————-TRẦN NGỌC THĂNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN

TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017

Lời mở đầu

1 Giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu

Trong những năm 50 của thế kỷ 20, Quy hoạch đa mục tiêu, hay còn được gọi là

Tối ưu đa mục tiêu hoặc Tối ưu véc tơ, đã trở thành một chuyên ngành toán học,

thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả và được phát triển mạnh mẽ suốt gần 70năm qua Các thành tựu của Quy hoạch đa mục tiêu được ứng dụng rộng rãi trongthực tế, đặc biệt là trong lý thuyết ra quyết định, kinh tế, tài chính, kỹ thuật, viễnthông, (xem [23], [64], [83], [93], [94], )

Bài toán quy hoạch đa mục tiêuđược phát biểu dưới dạng

Min f (x) = ( f1(x), f2(x), , fp(x)) với điều kiện x∈ X, (MOP)trong đó X ⊂ Rn là tập các phương án chấp nhận được, fj : X → R, j = 1, , p,

p≥ 2, là các hàm mục tiêu Do không gian giá trị Rp không có thứ tự đầy đủ nênthay vì khái niệm nghiệm tối ưu thông thường, tối ưu véc tơ sử dụng khái niệmnghiệm hữu hiệu được xác định theo thứ tự từng phần do G Cantor (1845-1918)[21] và F Hausdorff (1868-1942) [37] đề xuất

Bài toán (MOP) được gọi là bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi, ký hiệu là

(CMOP), nếu X là tập lồi và f1, , fp là các hàm lồi Đây là trường hợp đặc biệtcủa bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng, ký hiệu là (GMOP), trong đó

f1, , fplà các hàm lồi suy rộng và tập chấp nhận được X cũng là tập lồi Nếu tất

cả các hàm mục tiêu f1, , fp đều là hàm tuyến tính và X là tập lồi đa diện thì ta

gọi (MOP) là bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính và ký hiệu là (LMOP).

Như đã biết, bài toán (LMOP) là trường hợp đơn giản nhất của bài toán (MOP)nói chung và của bài toán (CMOP) nói riêng

Theo tiếp cận trên không gian quyết định (decision space), việc giải bài toán

(MOP) được xem như việc xác định toàn bộ hay một phần của tập nghiệm hữuhiệu XE hoặc tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E Đây là một việc khó, vì ngay cả trongtrường hợp đơn giản nhất của (MOP) là bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính

(LMOP), tập nghiệm hữu hiệu XE và tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E đã là các tậpkhông lồi với cấu trúc rất phức tạp Theo H.P Benson [11], khối lượng tính toán

để sinh ra toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu XE hoặc tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E củabài toán (LMOP) tăng rất nhanh khi kích thước của bài toán (tức số biến n, số hàmmục tiêu p và số ràng buộc biểu diễn tập chấp nhận được) tăng

Với hy vọng giảm khối lượng tính toán, các thuật toán theo hướng tiếp cận trên

không gian ảnh hay không gian giá trị (outcome space) được thiết kế để xác định

toàn bộ hay một phần của tập ảnh hữu hiệu YE = f (XE) hoặc tập ảnh hữu hiệu yếu

YW E = f (XW E) Theo định nghĩa, YE và YW E tương ứng là tập điểm hữu hiệu và tậpđiểm hữu hiệu yếu của tập ảnh Y = f (X ) của tập chấp nhận được X qua ánh xạ

f Lý do chính cho hướng tiếp cận này là: i) Các bài toán tối ưu đa mục tiêu nảysinh trong thực tế thường có số hàm mục tiêu p nhỏ hơn rất nhiều so với số biến

n, hay thứ nguyên của không gian ảnh Rpnhỏ hơn rất nhiều so với thứ nguyên củakhông gian quyết định Rn; ii) Nhiều điểm của tập nghiệm hữu hiệu (tương ứng1,tập nghiệm hữu hiệu yếu) có thể có cùng một ảnh qua ánh xạ f nên tập ảnh hữuhiệu YE (t.ư., tập ảnh hữu hiệu yếu YW E) có cấu trúc đơn giản hơn XE (t.ư., XW E);iii) Trong quá trình đưa ra quyết định, người ta thường lựa chọn phương án dựatrên giá trị hữu hiệu hơn là dựa trên nghiệm hữu hiệu (xem [11])

Trong tối ưu đa mục tiêu, việc nghiên cứu để giải bài toán quy hoạch đa mụctiêu tuyến tính (LMOP) có thể xem gần như hoàn chỉnh Đã có nhiều cuốn sáchchuyên khảo về bài toán (LMOP) (xem [57], [59], [92], [93], và danh mục tàiliệu tham khảo kèm theo) Rất nhiều thuật toán đã được đề xuất theo cả hai hướngtiếp cận trên không gian quyết định và không gian ảnh để giải bài toán này bằngnhiều phương pháp khác nhau như phương pháp đơn hình đa mục tiêu, phươngpháp tham số, phương pháp vô hướng hóa, phương pháp nón pháp tuyến, phươngpháp xấp xỉ ngoài hoặc kết hợp của các phương pháp đó, chẳng hạn xem các côngtrình của M Zeleny [94], P Armand and C Malivert [7], R.E Steuer [83], J.P.Dauer và Y.H Liu [27], H.P Benson [11], N.T.B Kim và D.T Lục [44], [45], M.Ehrgott, A L¨ohne và L Shao [29],

1 Từ sau đây đến hết luận án, cụm từ "tương ứng" sẽ được viết tắt là "t.ư.".

Với bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi và không lồi, đã có một số thuật toánđược đề xuất Hầu hết các thuật toán theo tiếp cận trên không gian quyết định đượcthiết kế dựa trên các phương pháp trọng số [25], phương pháp ε−ràng buộc [36],phương pháp hàm lợi ích [93], phương pháp lexicographic [20], phương phápTchebycheff [83], để sinh một phần tập nghiệm hữu hiệu hay hữu hiệu yếu củabài toán Theo tiếp cận trên không gian ảnh, các thuật toán thường sử dụng kỹ thuậtxấp xỉ ngoài để xây dựng một dãy các tập xấp xỉ tập ảnh, trong đó ta có thể dễ dàngxác định được tập hữu hiệu các tập xấp xỉ này Với cách tiếp cận này, một mặt, thuậttoán sinh ra một phần của tập ảnh hữu hiệu của bài toán, mặt khác, nó sinh ra tậpxấp xỉ của tập ảnh hữu hiệu chứa toàn bộ tập ảnh hữu hiệu (xem [30], [34], [62]

và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo) Trong [65], K Miettinen đã phân loạichi tiết và so sánh các phương pháp hiện có để giải các bài toán quy hoạch đa mụctiêu phi tuyến Các phương pháp để sinh ra tập xấp xỉ của tập nghiệm hữu hiệu vàtập ảnh hữu hiệu được thống kê trong [78]

Hai bài toán tối ưu toàn cục quan trọng có liên quan chặt chẽ đến bài toán quyhoạch đa mục tiêu là bài toán tối ưu một hàm thực trên tập nghiệm hữu hiệu của

bài toán quy hoạch đa mục tiêu (gọi tắt là Bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu

hiệu) và bài toán quy hoạch tích cũng như các dạng mở rộng của nó

Bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu có mô hình toán học như sau

trong đó h(x) là một hàm số thực xác định trên Rnvà XE là tập nghiệm của bài toánquy hoạch đa mục tiêu (MOP) Việc giải bài toán này có ý nghĩa đặc biệt vì nógiúp ta chọn được nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một tiêu chuẩn nào đó mà khôngnhất thiết phải xác định được toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu Tuy nhiên, đây là mộtbài toán khó, thậm chí khi h là hàm tuyến tính và XE là tập nghiệm hữu hiệu củabài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (LMOP), vì tập chấp nhận được XE, nóichung, là tập không lồi với cấu trúc phức tạp và không có mô tả tường minh.Bài toán (P) do Philip [73] đưa ra lần đầu tiên vào năm 1972 và đã thu hút được

sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều tác giả trong và ngoài nước Nhiều thuật toán

đã được đề xuất để giải bài toán (P) Các thuật toán này cũng có thể được phân

loại theo hai hướng tiếp cận bao gồm tiếp cận trên không gian quyết định Rn(xemH.P Benson [10], J.P Dauer và T.A Fosnaugh [26, 1995], L.T.H An, L.D Mưu

và P.D Tảo [4], L.T Lực và L.D Mưu [60], L.D Mưu [67], N.T.B Kim [42], N.V.Thoại [87], L.D Mưu và H.Q Tuyến [70], N.V Thoại, Y Yamamoto và D Zenke[39], L.T.H An, P.D Tảo, N.C Nam và L.D Mưu [5], L.D Mưu và L.Q Thủy[69], ) và tiếp cận trên không gian ảnh Rp (xem R Horst và N.V Thoại [38], J.Fulop and L.D Mưu [31], Y Yamamoto [91], N.T.B Kim và L.D Mưu [47], N.V.Thoại [88], H.P Benson [16], ) Ta cũng có thể phân loại các thuật toán dựa theophương pháp được dùng để xây dựng thuật toán, như thuật toán xấp xỉ ngoài, thuậttoán nhánh cận, thuật toán theo tiếp cận đối ngẫu, thuật toán tìm đỉnh kề, thuậttoán tìm đỉnh không kề, (xem [92])

Bài toán quy hoạch tích và các dạng mở rộng của nó (gọi chung là bài toán quy

hoạch tích mở rộng) có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhaunhư kinh tế tài chính, tối ưu hóa quy trình sản xuất, tối ưu danh mục đầu tư, thiết

kế chip VLSI, Đây cũng là lớp các bài toán tối ưu toàn cục khó và thú vị nên đãthu hút sự quan tâm đặc biệt của nhiều tác giả Bài toán quy hoạch tích được phátbiểu như sau

là bài toán quy hoạch tích lồi, ký hiệu là (CMP) Bài toán (MP) được gọi là bài

toán quy hoạch tích tuyến tính, ký hiệu là (LMP), khi f1, , fp là các hàm tuyếntính và X là tập lồi đa diện Trong [63], T Matsui đã chỉ ra rằng, ngay cả trườnghợp đơn giản nhất của bài toán (MP), tức là bài toán (LMP) với p = 2 và X là đadiện khác rỗng, cũng thuộc lớp bài toán NP−khó Hiện nay đã có nhiều thuật toánđược đề xuất để giải bài toán quy hoạch tích tuyến tính (LMP) (xem H Konno

và T Kuno [52], S Schaible và C Sodini [80], H.P Benson và G.M Boger [17],

T Kuno [53], N.T.B Kim [43], N.T.B Kim, T.T.H Yên và N.T.L Trang [48], L

Shao và M Ehrgott [82], ) và quy hoạch tích lồi (CMP) (xem N.V Thoại [86],

T Kuno, Y Yajima, và H Konno [54], H.P Benson [12], R.M Oliveira, và P.A.V.Ferreira [71], Y Gao, G Wu và W Ma [32], N.T.B Kim, N.C Nam, L.Q Thủy[46], L Shao và M Ehrgott [81], ) Theo hiểu biết của tác giả, mặc dù có nhiềuứng dụng trong thực tiễn nhưng có rất ít công trình nghiên cứu bài toán quy hoạchtích mở rộng

2 Mục đích nghiên cứu và ý nghĩa của đề tài

Như đã trình bày, mặc dù bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi và các vấn đề liênquan đã được nghiên cứu tương đối hoàn chỉnh nhưng cho đến nay vẫn còn rất ítthuật toán giải bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi suy rộng [92] Hơn nữa, do nhu cầuứng dụng, việc nghiên cứu xây dựng các thuật toán hiệu quả để giải bài toán quyhoạch đa mục tiêu lồi suy rộng, bài toán quy hoạch tích mở rộng, cũng như bàitoán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu là các vấn đề thời sự và luôn cần đầu tư nhiềucông sức

Luận án này nghiên cứu và đề xuất các thuật toán mới để giải các bài toán sau:

1 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng

Min f (x) = ( f1(x), f2(x), , fp(x)) v.đ.k x∈ X, (GMOP)trong đó tập chấp nhận được X ⊂ Rn là tập lồi compact khác rỗng và hàmmục tiêu f là hàm véc tơ giả lồi vô hướng trên X

2 Bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng tương ứng với bài toán (GMOP)

4 Hai bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán quy hoạch haimục tiêu lồi Đó là bài toán

min h(x) = ϕ( f (x)) v.đ.k x ∈ XE, (QP)trong đó ϕ : R2→ R là hàm tựa lõm trên tập ảnh Y và bài toán

max h(x) = ϕ( f (x)) v.đ.k x ∈ XE, (DP)với ϕ : R2 → R là hàm đơn điệu tăng trên tập ảnh Y Dạng hàm mục tiêu

h(x) = ϕ( f (x)) với hàm số thực ϕ : Y → R xuất hiện nhiều trong các bài toánnảy sinh từ thực tế và cũng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳnghạn [47], [87], [88], [91] và danh sách tài liệu tham khảo kèm theo

Tất cả các thuật toán được đề xuất trong luận án đều được chứng minh là hội tụ,đồng thời được tính toán thử nghiệm và so sánh với một số thuật toán đã có Ngoàicác bài toán trên, chúng tôi đã nghiên cứu và đề xuất thuật toán giải bài toán cựcđại tổng một hàm lõm với các cặp tích hai hàm lõm trên tập lồi compact khác rỗng,

quả này đã được nhận đăng ở Pacific Journal of Optimization Tuy nhiên, do khuôn

khổ có hạn nên luận án không bao hàm kết quả này

3 Cấu trúc và kết quả của luận án

Luận án bao gồm phần mở đầu, lời cảm ơn, bốn chương, kết luận chung, danh mụccác công trình đã công bố của tác giả có liên quan đến luận án và danh mục tài liệutham khảo Sau đây là nội dung chính của các chương

Chương 1 “Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng” dành để giới thiệu

mô hình toán học của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) cùngmột số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan Các khái niệm và kết quả được trìnhbày trong chương này là cơ sở lý thuyết cho các thuật toán được đề xuất trong cácchương sau của luận án Mục 1.1 giới thiệu về một số hàm lồi suy rộng như hàmtựa lồi, hàm giả lồi, hàm véc tơ giả lồi vô hướng cùng các tính chất hữu dụng củachúng Định lý KKT về điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch lồi suy rộng mộtmục tiêu được trình bày trong mục này là công cụ lý thuyết nhằm xác định siêuphẳng cắt trong thuật toán xấp xỉ ngoài được đề xuất trong Chương 2 để giải bàitoán (GMOP) Các khái niệm điểm hữu hiệu, điểm hữu hiệu yếu của một tập, điềukiện nhận biết thông qua khái niệm hướng pháp tuyến và các kết quả về cấu trúccủa các tập điểm này được trình bày ở Mục 1.2 Cuối cùng, Mục 1.3 giới thiệu bàitoán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP), cùng các khái niệm cơ bản nhưnghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu θ -xấp xỉ, nghiệm hữuhiệu yếu θ -xấp xỉ cũng như cấu trúc của tập giá trị hữu hiệu và của tập giá trị hữuhiệu yếu của bài toán (GMOP)

Chương 2 “Thuật toán hướng pháp tuyến giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu

lồi suy rộng”đề xuất một thuật toán hướng pháp tuyến giải bài toán quy hoạch đamục tiêu lồi suy rộng (GMOP), trong đó sử dụng kỹ thuật xấp xỉ ngoài trên khônggian ảnh để xác định tập nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của bài toán (GMOP).Cách xác định điểm giá trị hữu hiệu yếu và hướng pháp tuyến tại mỗi bước lặp điểnhình được giới thiệu ở Mục 2.1 Thuật toán chi tiết được mô tả trong Mục 2.2 Tiếptheo, Mục 2.3 sẽ trình bày chi tiết chứng minh tính hội tụ của thuật toán đề xuất.Đây là một đóng góp chính và quan trọng về mặt lý thuyết cho các phương phápxấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu Các kết quả tính toán thử nghiệmđược giới thiệu trong Mục 2.4 chứng tỏ tính hiệu quả và những ưu điểm của thuậttoán so với một số thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồitrước đó

Chương 3 “Thuật toán giải một số bài toán quy hoạch tích mở rộng” đưa ra

các thuật toán theo tiếp cận trên không gian ảnh để giải hai bài toán quy hoạchtích: Bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng (GMP) và Bài toán quy hoạch tích lõm

mở rộng (GIMP) Thuật toán giải bài toán (GMP) được giới thiệu trong Mục 3.1.Thuật toán này được thiết lập dựa trên mối quan hệ của bài toán quy hoạch tíchlồi suy rộng (GMP) và bài toán quy hoạch đa mục tiêu (GMOP) tương ứng Đâycũng được xem như là một ứng dụng của thuật toán giải bài toán (GMOP) đã thiếtlập ở Chương 2 Mục 3.2 dành để trình bày thuật toán giải bài toán (GIMP) Bằngcác biến đổi thích hợp, việc giải bài toán này được đưa về việc giải bài toán cựcđại một hàm đơn điệu tăng trên tập các điểm hữu hiệu của một tập lồi đóng trong

R2 Các tính toán thử nghiệm chứng tỏ tính hiệu quả của thuật toán đề xuất

Chương 4 “Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu” đề xuất

các thuật toán trên không gian ảnh để giải hai bài toán (QP) và (DP) nhằm tối ưumột hàm hợp trên tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch hai mục tiêu lồi,tức bài toán (CMOP) với p = 2 Bằng cách biến đổi các bài toán gốc về bài toántương đương trên không gian ảnh và tận dụng cấu trúc đặc biệt của tập ảnh hữuhiệu và tính chất đặc thù của các hàm mục tiêu, Mục 4.1 đề xuất một thuật toánnhánh cận giải bài toán (QP) và Mục 4.2 đưa ra một thuật toán nhánh cận kết hợpvới lược đồ xấp xỉ ngoài giải bài toán (DP)

Các kết quả của luận án đã được công bố trong 4 bài báo được đăng ở tạp chí

Pacific Journal of Optimization , Advances in Intelligent Systems and Computing,

Optimization , Journal of Industrial and Management Optimization và đã được

báo cáo tại:

 Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng, Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứng

dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 16/03/2013, 11/09/2014,10/10/2014, 10/03/2016;

 Xêmina Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan,

Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 05/05/2015;

 Xêmina Lý thuyết Tối ưu, Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán, ngày 28/05/2012;

 Xêmina Bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan, Viện Toán học, ngày

21/03/2012;

 Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học Lần thứ 11, Ba Vì, ngày 26/04/2013;

 Đại hội Toán học Việt Nam Lần thứ 8, Nha Trang, ngày 10/08/2013;

 Hội nghị NAFOSTED về Khoa học Thông tin và Máy tính Lần thứ nhất, Học

viện Kỹ thuật quân sự, Hà Nội, ngày 14/03/2014;

 Hội nghị quốc tế về Tính toán Khoa học Hiệu năng cao Lần thứ 6

(6th International Conference on High Performance Scientific Computing),Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán, Hà Nội, ngày 20/03/2015

Chương 1

Bài toán

quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng

Tất cả các bài toán được nghiên cứu trong luận án này đều liên quan gần gũi đếnbài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) và trường hợp riêng của nó

là bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi (CMOP) Để tiện theo dõi, chương này giớithiệu mô hình toán học của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP)cùng một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan Các khái niệm và kết quả đượctrình bày ở đây là sự chuẩn bị để thiết lập cơ sở lý thuyết cho các thuật toán được

đề xuất trong các chương sau của luận án

Một số hàm lồi suy rộng như hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm véc tơ giả lồi vôhướng cùng các tính chất hữu dụng của chúng được giới thiệu ở Mục 1.1 Mục nàycũng trình bày về định lý KKT về điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch lồi suyrộng một mục tiêu Định lý này được dùng làm công cụ lý thuyết để xác định siêuphẳng cắt trong thuật toán xấp xỉ ngoài được đề xuất trong Chương 2 để giải bàitoán (GMOP)

Như đã biết, khái niệm nền tảng của tối ưu véc tơ là điểm hữu hiệu và điểm hữuyếu của một tập, nhờ đó, người ta mới có thể hiểu được thế nào là nghiệm của bàitoán quy hoạch đa mục tiêu Các khái niệm điểm hữu hiệu, điểm hữu hiệu yếu củamột tập, điều kiện nhận biết thông qua khái niệm hướng pháp tuyến và các kết quả

về cấu trúc của các tập điểm này sẽ được trình bày ở Mục 1.2

Cuối cùng, Mục 1.3 giới thiệu bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng(GMOP), cùng các khái niệm cơ bản như nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu,nghiệm hữu hiệu θ -xấp xỉ, nghiệm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ cũng như cấu trúc củatập giá trị hữu hiệu và của tập giá trị hữu hiệu yếu của bài toán (GMOP).

1.1 Hàm lồi suy rộng

Cho tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn và hàm số h : Rn→ R Ta nói h là hàm lồi xác định

trên S nếu

h(λ x1+ (1 − λ )x2) ≤ λ h(x1) + (1 − λ )h(x2) với mọi x1, x2∈ S, và 0 ≤ λ ≤ 1

Hàm g được gọi là hàm lõm nếu h := −g là hàm lồi Hàm lồi có nhiều tính chất

đặc sắc, xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học và trong thực tế Trong toánhọc còn có một lớp hàm có tính chất tương tự hàm lồi hoặc liên quan gần gũi vớihàm lồi và có nhiều ứng dụng Đó là lớp các hàm lồi suy rộng Hai dạng hàm lồisuy rộng được sử dụng trong luận án này là hàm tựa lồi và hàm giả lồi

Theo định nghĩa [66, tr 132], hàm h được gọi là hàm tựa lồi xác định trên tập

lồi S nếu

h(x1) − h(x2) ≤ 0 ⇒ h(λ x1+ (1 − λ )x2) ≤ h(x2),tức

h(λ x1+ (1 − λ )x2) ≤ maxh(x1), h(x2) ,với mọi x1, x2∈ S và 0 ≤ λ ≤ 1 Nếu h là hàm tựa lồi thì g := −h là hàm tựa lõm.

Trong trường hợp h khả vi, nếu h tựa lồi trên S thì

h(x1) − h(x2) ≤ 0 ⇒ h∇h(x2), x1− x2i ≤ 0với mọi x1, x2∈ S, trong đó ∇h(x2) là véc tơ gradient của hàm h tại điểm x2 (xemĐịnh lý 9.1.4 [66, tr 134])

Như đã biết, tính lồi của tập mức dưới (t.ư., tập mức trên) chỉ là điều kiện cầncủa hàm lồi (t.ư., hàm lõm), nhưng nó là điều kiện cần và đủ để nhận biết hàm tựalồi (t.ư., hàm tựa lõm) (Định lý 9.1.3 [66, tr 133]) Mọi hàm lồi (t.ư., hàm lõm) đều

là hàm tựa lồi (t.ư., hàm tựa lõm), nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng Chẳnghạn, hàm h(x) = tan x là hàm tựa lồi trên tập lồi S = −π

Mệnh đề 1.1 (Hệ quả 5.2 [8, tr 154]) Cho hàm ϕ xác định và nhận giá trị dương

trên tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn Nếu ϕ là hàm lõm thì 1/ϕ là hàm lồi trên S Ngược lại, nếu ϕ là hàm lồi thì 1/ϕ chưa chắc là hàm lõm trên S.

Dễ thấy, hàm ϕ(x) = ex với x ∈ R là hàm lồi trên R nhưng hàm 1/ϕ(x) = e−xkhông phải làm hàm lõm trên R

Khẳng định sau chỉ ra điều kiện đủ để một hàm phân thức là tựa lồi (xem Bảng5.4 [8, tr 165] và Bài tập 9.6.3 [66, tr 149])

Mệnh đề 1.2 Cho hai hàm số ϕ1, ϕ2 xác định trên tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn.

i) Nếu ϕ1 là hàm lồi, ϕ2 là hàm lõm trên S thỏa mãn ϕ1(x) ≥ 0 và ϕ2(x) > 0

với mọi x ∈ S thì hàm phân thức h = ϕ1/ϕ2 là hàm tựa lồi trên S;

ii) Nếu ϕ1, ϕ2 là hai hàm afin và ϕ2(x) 6= 0 với mọi x ∈ S thì hàm phân thức

h = ϕ1/ϕ2là hàm vừa tựa lồi, vừa tựa lõm trên S

Ví dụ 1.1 Cho các hàm lõm φi, i = 1, , m, trong đó m ≥ 2, nhận giá trị dươngtrên tập lồi S ⊆ Rnvà các số thực αi> 0, i = 1, , m Khi đó,

và giải bài toán quy hoạch tích mở rộng (GIMP)

Mệnh đề 1.3 (Mệnh đề 2.7 [89, tr 47]) Nếu φi(x), i = 1, , m, là các hàm lõm

nhận giá trị dương trên tập lồi S ⊆ Rn thì hàm

trong đó S ⊆ Rn và h là hàm số xác định trên một tập mở chứa S Như đã biết, nếu

h là hàm lồi và S là tập lồi thì (PS) là một bài toán quy hoạch lồi Khi đó, bài toán(PS) có tính chất đặc biệt là mọi điểm dừng hay điểm KKT của bài toán này đều

là nghiệm tối ưu địa phương và cũng chính là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán(xem [3]) Bài toán (PS) vẫn giữ được tính chất quan trọng này khi S là tập lồi vàhàm mục tiêu h là giả lồi (Định lý 1.1)

Nhận xét 1.1 Dựa trên tính chất đặc biệt trên, ta có thể giải bài toán (PS) khi S làtập lồi và hàm mục tiêu h là giả lồi bằng việc sử dụng các thuật toán giải bài toánquy hoạch lồi thông thường (xem Nhận xét 2.3 [13])

Theo định nghĩa (xem [66, tr 141]), hàm số h xác định trên tập mở chứa tập lồi

Sđược gọi là hàm giả lồi trên S nếu h khả vi trên S và

h∇h(x2), x1− x2i ≥ 0 ⇒ h(x1) − h(x2) ≥ 0,với mọi x1, x2∈ S Nếu h là giả lồi thì hàm g := −h là giả lõm.

Ví dụ 1.2 Ta đã biết, hàm h(x) = tan x là hàm tựa lồi khả vi, đơn điệu tăng trên

tập mở S = −π

2,π

2
, nhưng h không phải là hàm lồi Lập luận sau đây chứng tỏ

h là hàm giả lồi trên S Thật vậy, lấy tùy ý hai điểm bất kỳ x1, x2 ∈ S thỏa mãn

h0(x2)(x1− x2) ≥ 0 Vì h0(x2) = 1 + tan2x2 > 0 nên x1≥ x2 Do h đơn điệu tăngtrên S nên h(x1) − h(x2) ≥ 0 Theo định nghĩa, h là hàm giả lồi trên S

Mệnh đề 1.4 (xem [8, tr 165]) Cho hai hàm số ϕ1, ϕ2 xác định trên tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn Nếu ϕ1 là hàm lồi khả vi và ϕ2là hàm afin nhận giá trị dương trên S thì hàm phân thức h = ϕ1/ϕ2là hàm giả lồi trên S

Định lý 1.1 (Xem Định lý 9.3.3 [66, tr 142]) Cho h là hàm giả lồi trên tập lồi S

và x∗ là một điểm dừng của bài toán(PS), tức h∇h(x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ S.

Khi đó, x∗là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (PS).

Các định lý sau chỉ ra rằng lớp các hàm lồi được chứa trong lớp các hàm giả lồi,

và lớp các hàm giả lồi được chứa trong lớp các hàm tựa lồi

Định lý 1.2 (Định lý 9.3.6 [66, tr 144]) Cho S là tập lồi trong Rn và hàm h xác định, khả vi trên một tập mở chứa S Nếu h là hàm lồi (t.ư., lõm) trên S thì h là giả lồi (t.ư., giả lõm) trên S Điều ngược lại chưa chắc đúng.

Định lý 1.3 (Định lý 9.3.5 [66, tr 143]) Cho S là tập lồi trong Rn và hàm h xác định trên một tập mở chứa S Nếu h là hàm giả lồi trên S thì h là tựa lồi trên S Điều ngược lại chưa chắc đúng

Ví dụ 1.3 Xét hàm h(x) = 1 − x3 xác định trên R Theo định nghĩa, h là hàm tựalồi trên R Tuy nhiên, điểm x = 0 là điểm dừng nhưng nó không phải nghiệm tối

ưu của bài toán min{h(x) | x ∈ R} Vì vậy, theo Định lý 1.1, h không phải là hàmgiả lồi trên S

Khác với lớp các hàm lồi, tính giả lồi và tựa lồi của hàm số không được bảotoàn qua phép cộng, tức tổng của hai hàm giả lồi chưa chắc đã là hàm giả lồi

Ví dụ 1.4 Cho hai hàm h1(x) = tan x và h2(x) = −x xác định trên S = −π

2,π

2
.Theo Ví dụ 1.2, h1là hàm giả lồi trên S Vì h2là hàm tuyến tính trên S nên h2cũng

là hàm giả lồi trên S Tuy nhiên, hàm h(x) = h1(x) + h2(x) = tan x − x không phải

là hàm giả lồi trên S Thật vậy, điểm x = 0 là điểm dừng của hàm h do h0(0) = 0.Mặt khác, x = 0 không phải là nghiệm tối ưu của bài toán min{h(x) | x ∈ S} vìh(0) > h(−π/4) Theo Định lý 1.1, h không phải là hàm giả lồi trên S

Mệnh đề sau khẳng định lớp các hàm giả lồi và tựa lồi vẫn đóng đối với phéplấy cực đại

Mệnh đề 1.5 (Tính chất 18b trong Bảng II [35]) Cho hai hàm số ϕ1 và ϕ2 xác định trên tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn.

i) Nếu ϕ1và ϕ2 là hai hàm tựa lồi thì max{ϕ1, ϕ2} cũng là hàm tựa lồi trên S; ii) Nếu ϕ1 và ϕ2 là hai hàm giả lồi thìmax{ϕ1, ϕ2} cũng là hàm giả lồi trên S.

Cho tập lồi khác rỗng S ⊆ Rnvà hàm véc tơ

f : Rn→ Rp

x7−→ f (x) = ( f1(x), , fp(x)),trong đó f1, , fplà các hàm xác định trên S Để thuận tiện (xem [9, 56, 58]), hàm

véc tơ f được gọi là hàm véc tơ tuyến tính (t.ư., lồi, tựa lồi, giả lồi) nếu các hàm

f1, , fpđều là các hàm tuyến tính (t.ư., lồi, tựa lồi, giả lồi)

Chương 2 của luận án nghiên cứu bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng

với giả thiết tập chấp nhận được là tập lồi và hàm véc tơ mục tiêu là hàm giả lồi

vô hướng (scalarly pseudoconvex) Khái niệm hàm giả lồi vô hướng dưới đây đượcđịnh nghĩa tương tự khái niệm hàm tựa lồi vô hướng (scalarly quasiconvex) đã được

sử dụng trong [9, 79]

Định nghĩa 1.1 Hàm véc tơ f được gọi là giả lồi vô hướng trên một tập lồi S nếu

∑i=1p λifi là hàm giả lồi trên S với mọi λ = (λ1, , λp) ≥ 0

Nhận xét 1.2 i) Hiển nhiên là nếu hàm véc tơ f giả lồi vô hướng thì tất cả các hàm

thành phần f1, , fp cũng là các hàm giả lồi Như vậy, nếu f là hàm véc tơ giả lồi

vô hướng thì f cũng là hàm véc tơ giả lồi Tuy nhiên, điều ngược lại, nói chung,chưa chắc đúng Chẳng hạn, Ví dụ 1.4 đã chỉ ra rằng, mặc dù hàm f1(x) = tan x và

f2(x) = −2x là các hàm giả lồi trên với S = −π

2,π

2
nhưng λ1f1(x) + λ2f2(x) với

λ1= λ2= 1 không phải là hàm giả lồi trên S Như vậy, hàm f (x) = ( f1(x), f2(x))

là hàm véc tơ giả lồi nhưng không phải là giả lồi vô hướng

ii) Nếu f là hàm véc tơ lồi trên S thì f cũng là hàm véc tơ giả lồi vô hướng trên

S Thật vậy, nếu f là hàm véc tơ lồi trên S thì các hàm thành phần f1, , fp cũng

là các hàm lồi Do đó, với mọi λ = (λ1, , λp) ≥ 0, hàm ∑i=1p λificũng là hàm lồitrên S Theo Định lý 1.2, ta suy ra ∑i=1p λifi là hàm giả lồi trên S với mọi λ ≥ 0,tức f là hàm véc tơ giả lồi vô hướng trên S

Ví dụ 1.5 Cho hàm véc tơ f (x) = ( f1(x), f2(x)), trong đó

Dễ thấy, hàm tử số ϕ1(x) = 5λ1x21+ 5λ2x22+ 10λ1x2− 5λ2x1là một hàm lồi khả vi,

và theo hình vẽ minh họa tập S, hàm mẫu số ϕ2(x) = x1− x2> 0 với mọi x ∈ S

Theo Mệnh đề 1.4, hàm λ1f1(x) + λ2f2(x) = ϕ1(x)/ϕ2(x) là giả lồi trên S Suy ra

f là hàm giả lồi vô hướng trên S

Cho hàm giả lồi h và các hàm tựa lồi g1, , gm xác định trên Rn Xét bài toán

là tập chỉ số của các ràng buộc thỏa mãn chặt tại ¯x Số phần tử của tập I( ¯x) được

ký hiệu là |I( ¯x)| Định lý KKT sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc thiếtlập cơ sở lý thuyết của thuật toán giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộngđược trình bày trong Chương 2 Kết quả này có thể xem là sự kết hợp của Định lý10.2.7 [66, tr 156] và Định lý 10.1.2 [66, tr 151]

Định lý 1.4 Cho hàm giả lồi h và hàm véc tơ tựa lồi g = (g1, , gm) khả vi liên

tục trên một tập mở chứa S Giả sử điều kiện Slater được thỏa mãn, tức

¯

u≥ 0

1.2 Điểm hữu hiệu và hướng pháp tuyến

Xét không gian Euclide Rp, p ≥ 2, với thứ tự từng phần được xác định bởi nón

R+p = {y = (y1, y2, , yp) | yi ≥ 0, i = 1, 2, , p} Phần trong của R+p được kýhiệu intR+p = {y = (y1, y2 , yp) | yi > 0, i = 1, 2, , p} Như thường lệ, với haiđiểm bất kỳ a, b ∈ Rp, ta viết a ≥ b nếu a − b ∈ R+p và a > b nếu a − b ∈ intR+p.Cho tập khác rỗng Q ⊂ Rp Ta nói q∗∈ Q là điểm hữu hiệu theo nghĩa cực tiểu

MinQ ⊆ WMinQ ⊆ Q và MaxQ ⊆ WMaxQ ⊆ Q

Theo định nghĩa, điểm hữu hiệu hay điểm hữu hiệu yếu của một tập phải thuộcbiên của nó Một tập compact khác rỗng thì luôn có điểm hữu hiệu và điểm hữuhiệu yếu (Hệ quả 3.11 [57, tr 50]) Trong ví dụ ở Hình 1.2, ta có q1 ∈ WMinQnhưng q16∈ MinQ, q2 6∈ WMinQ và q3∈ MinQ

Hình 1.2: q 1 ∈ WMinQ, q 2 6∈ WMinQ và q 3 ∈ MinQ

Trong một số nghiên cứu gần đây (xem [30] và [61]), khái niệm hữu hiệu xấp

xỉ và hữu hiệu yếu xấp xỉ được sử dụng rất hiệu quả trong việc giải quyết các bàitoán lồi hoặc không lồi Cụ thể, theo nghĩa cực tiểu, với một véc tơ θ ∈ R+p chotrước, điểm q∗ ∈ Q được gọi là điểm hữu hiệu θ -xấp xỉ nếu không tồn tại q ∈ Q

sao cho q∗− θ ≥ q và q∗− θ 6= q, tức

(q∗− θ ) − (R+p \ {0})
∩ Q = /0

Nếu không tồn tại q ∈ Q sao cho q∗− θ > q, hay

(q∗− θ ) − intR+p
∩ Q = /0,thì q∗ được gọi là điểm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ của Q Tập tất cả các điểm hữu hiệu

θ -xấp xỉ và tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ của tập Q được ký hiệu tươngứng là Min(Q, θ ) và WMin(Q, θ )

Cho một tập đóng khác rỗng Q ⊂ Rp và một điểm q∗∈ Q Véc tơ v ∈ Rp được

gọi là một hướng pháp tuyến (trong) của Q tại q∗ nếu

hv, q − q∗i ≥ 0 với mọi q ∈ Q

Nói cách khác, véc tơ v là một hướng pháp tuyến của Q tại q∗∈ Q nếu q∗là nghiệmcủa bài toán min {hv, qi | q ∈ Q} Dễ thấy, véc tơ v ∈ Rp\ {0} là hướng pháp tuyến

của tập Q tại q∗khi và chỉ khi v là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa

H = {q ∈ Rp| hv, qi = hv, q∗i}

của tập Q tại điểm q∗ Tập {q ∈ Rp| hv, qi ≥ hv, q∗i} được gọi là nửa không gian

tựacủa Q tại q∗ Nếu Q là tập lồi đóng khác rỗng thì luôn tồn tại ít nhất một siêuphẳng tựa của Q tại mỗi điểm biên q∗ của nó (xem Định lý 2.3 [2, tr 31])

Tập tất cả các hướng pháp tuyến của Q tại q∗ được gọi là nón pháp tuyến của

tập Q tại q∗ và ký hiệu là NQ(q∗) (xem Định nghĩa 6.3 [77, tr 199]) Nếu Q là tậplồi đóng khác rỗng thì NQ(q∗) là một nón lồi đóng Dễ thấy rằng NQ(q∗) = {0} khi

và chỉ khi q∗ là điểm trong của Q Hình 1.3 minh họa các nón pháp tuyến NQ(q1)

và NQ(q2) của tập Q tại các điểm q1, q2∈ Q, tương ứng

Như đã biết, nón pháp tuyến đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập điềukiện tối ưu của bài toán tối ưu Các kết quả về nón pháp tuyến của một tập và ứngdụng của nó có thể được tham khảo chi tiết trong các cuốn sách chuyên khảo [76]của Rockafellar và [77] của Rockafellar và Wets

Hình 1.3: Hai nón pháp tuyến N Q (q1) và N Q (q2)

Định nghĩa 1.2 Cho một hướng pháp tuyến v ∈ Rp của tập Q tại q∗∈ Q Khi đó,

v được gọi là hướng pháp tuyến dương nếu v ∈ intR+p và ta gọi v là hướng pháp

tuyến không âmnếu v ∈ R+p \ {0}

Khái niệm hướng pháp tuyến dương và hướng pháp tuyến không âm sẽ được sửdụng để mô tả điều kiện hữu hiệu hay hữu hiệu yếu của một điểm trên một tập,

cũng như điều kiện hữu hiệu hay hữu hiệu yếu của một nghiệm của bài toán quyhoạch đa mục tiêu.

Hình 1.4: Hướng pháp tuyến dương (t.ư., không âm) của Q tại điểm hữu hiệu q3(t.ư hữu hiệu yếu q1)

Kết quả quen thuộc (xem Định lý 2.10, Định lý 2.11 [57, tr 91]) sau đây cho

ta điều kiện nhận biết điểm hữu hiệu (t.ư hữu hiệu yếu) của một tập Q thông quahướng pháp tuyến của Q tại điểm đó

Định lý 1.5 Cho tập lồi khác rỗng Q ⊂ Rp Khi đó:

i) Nếu tồn tại một hướng pháp tuyến dương của Q tại q∗∈ Q thì q∗là điểm hữu hiệu của Q;

ii) Điểm q∗ ∈ Q là điểm hữu hiệu yếu của Q khi và chỉ khi tồn tại một hướng

pháp tuyến không âm của Q tại q∗.

Hình 1.4 minh họa một hướng pháp tuyến dương v3 của tập Q tại điểm hữu hiệu

q3 và hướng pháp tuyến không âm v1của tập Q tại điểm hữu hiệu yếu q1

Khẳng định (i) của Định lý 1.5 chỉ là điều kiện đủ, tức không phải tại điểmhữu hiệu nào của Q cũng tồn tại một hướng pháp tuyến dương Chẳng hạn, xét

Q = {q ∈ R2 | kqk ≤ 1} Dễ thấy, điểm q∗ = (−1, 0) là điểm hữu hiệu của Qnhưng rõ ràng không có ξ ∈ intR2+ để hξ , q − q∗i ≥ 0 với mọi q ∈ Q

Mệnh đề 1.6 (Xem Mệnh đề 5.24 [58]) Nếu tập Q ⊂ Rp là đóng thì tập điểm hữu hiệu yếu WMinQ là tập đóng Nếu Q là tập compact thì WMinQ là tập compact.

Lưu ý rằng, tập điểm hữu hiệu MinQ chưa chắc là tập đóng, kể cả khi Q là tậpcompact Chẳng hạn, xét tập

Trường hợp đặc biệt, khi Q là tập lồi đóng khác rỗng trong R2thì tập điểm hữuhiệu của Q có tính chất rất đặc sắc như được mô tả trong kết quả sau Tính chất này

là công cụ hữu ích trong việc xây dựng các thuật toán để giải bài toán tối ưu trêntập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch hai mục tiêu lồi, được trình bày trongChương 4 của luận án

Định lý 1.6 (Xem Định lý 1.2 [40] và Định lý 3 [74]) Cho Q ⊂ R2 là một tập lồi đóng khác rỗng và có điểm hữu hiệu Khi đó, tập điểm hữu hiệu MinQ đồng phôi

với một đoạn đóng khác rỗng trong R.

Xét một tập đóng khác rỗng Q ⊂ Rp Dễ thấy Q + R+p và Q − R+p là hai tậpđóng có thứ nguyên đầy đủ Mối quan hệ thú vị của hai tập Q và Q + R+p (t ư., củahai tập Q và Q − R+p) được phát biểu trong Mệnh đề 1.7 đóng vai trò quan trọngtrong việc xây dựng các thuật toán trong các chương sau Để đơn giản, ta ký hiệu

ii) WMinQ = WMinQ+∩ Q và WMaxQ = WMaxQ−∩ Q;

iii) Nếu y∗∈ WMinQ+ và q∗ ∈ Q thỏa mãn y∗≥ q∗, thì q∗∈ WMinQ;

iv) Nếu y∗∈ WMaxQ− và q∗∈ Q thỏa mãn y∗≤ q∗, thì q∗∈ WMaxQ

Hình 1.5: Minh họa tập Q và Q+

Theo Mệnh đề 1.7(i), để thuận tiện, ta gọi Q+ và Q− là các tập tương đương

hữu hiệu của Q theo nghĩa cực tiểu và theo nghĩa cực đại, tương ứng Khái niệmnày đã được sử dụng trong [47]

Tập các điểm hữu hiệu yếu WMinQ+ (t.ư., WMaxQ−) có mối liên hệ với biên

∂ Q+ của tập Q+ (t.ư., biên ∂ Q− của tập Q−) như mô tả ở mệnh đề sau

Mệnh đề 1.8. ∂ Q+= WMinQ+ và ∂ Q−= WMaxQ−

Chứng minh. Do tính tương tự, ta chỉ cần chứng minh ∂ Q+= WMinQ+ Thật vậy,lấy tùy ý một điểm ¯y trên biên của Q+ Ta sẽ chứng minh ¯y là một điểm hữu hiệuyếu của Q+ Thật vậy, giả sử phản chứng ¯y không phải là một điểm hữu hiệu yếucủa Q+ Theo định nghĩa, tồn tại một điểm y ∈ Q+ thỏa mãn ¯y> y Khi đó

¯

y∈ y + intR+p ⊆ Q++ intR+p ⊆ intQ+

Điều này trái với giả thiết ¯y∈ ∂ Q+ Vậy ¯y∈ WMinQ+, tức ∂ Q+⊆ WMinQ+ Hơnnữa, như đã biết, mọi điểm hữu hiệu yếu của một tập đều thuộc biên của nó, tức làWMinQ+ ⊆ ∂ Q+ Suy ra điều phải chứng minh.

Ký hiệu ym= (ym1, , ymp) và yM= (yM1 , , yMp), trong đó với mỗi i ∈ {1, , p},tọa độ ymi và yMi tương ứng là giá trị tối ưu của bài toán

Mệnh đề 1.9 Cho tập đóng khác rỗng Q ⊂ Rp và một điểm v ∈ (b + R+p) \ Q+ Khi đó, bài toán

v.đ.k yO+ t(v − yO) ∈ Q+

có một nghiệm tối ưu duy nhất, ký hiệu là ¯t Hơn nữa, điểmy¯= yO+ ¯t(v − yO) là

một điểm hữu hiệu yếu của Q+

Chứng minh. Gọi Γ là tia xuất phát từ yO theo hướng v − yO, tức

Γ = {yO+ t(v − yO) | t ≥ 0}

Theo cách chọn các điểm b và yO như (1.2), ta có v − yO> 0 hay v − yO ∈ intR+p

Do đó, Γ ∩ ∂ Q+ 6= /0 (xem [56]) và tồn tại duy nhất một giá trị ¯t nhỏ nhất thỏamãn yO+ ¯t(v − yO) ∈ ∂ Q+ Vì ∂ Q+ = WMinQ+ (xem Mệnh đề 1.8) nên ta có

¯

y= yO+ ¯t(v − yO) ∈ WMinQ+

Kết quả sau đây mô tả mối quan hệ giữa hướng pháp tuyến của Q+tại một điểmhữu hiệu yếu của Q+ và hướng pháp tuyến của Q tại điểm hữu hiệu yếu của Q

Mệnh đề 1.10 Cho ¯ y là một điểm hữu hiệu yếu của Q+ và q¯∈ Q với ¯y ≥ ¯ q Khi

đó, q là điểm hữu hiệu yếu của Q và¯

hλ , ¯q − ¯yi = 0 hay hλ , ¯qi = hλ , ¯yi (1.4)

Do Q ⊂ Q+ nên theo (1.3), ta có hλ , q − ¯yi ≥ 0 với mọi q ∈ Q Điều này kết hợpvới (1.4) suy ra hλ , q − ¯qi≥ 0 với mọi q ∈ Q, hay λ ∈ NQ( ¯q) Từ đó suy ra

λ ∈ NQ( ¯q) ∩λ ∈ R+p : hλ , ¯y− ¯qi= 0 Ngược lại, giả sử λ ∈ NQ( ¯q) ∩λ ∈ R+p : hλ , ¯y− ¯qi= 0 Khi đó λ ≥ 0, và

hλ , ¯y − ¯qi = 0 và hλ , q − ¯qi ≥ 0 ∀q ∈ Q (1.5)Lấy tùy ý điểm y ∈ Q+ Do Q+ = Q + R+p nên tồn tại q ∈ Q sao cho y ≥ q Hơnnữa, vì λ ≥ 0 nên

hλ , yi ≥ hλ , qi Kết hợp điều này với (1.5), ta suy ra

hλ , yi ≥ hλ , ¯qi = hλ , ¯yi

Vì vậy, hλ , y − ¯yi ≥ 0 với mọi y ∈ Q+, hay λ ∈ NQ+( ¯y)

Trong trường hợp Q ⊂ Rp là tập compact và Q+ là tập lồi thì tính liên thôngcủa MinQ và WMinQ được đảm bảo Điều này được thể hiện qua định lý dưới đây

Định lý 1.7 (Xem Định lý 5.14, Định lý 5.15 [58]) Cho tập compact khác rỗng

Q⊂ Rp thỏa mãn Q+ là tập lồi Khi đó, tập điểm hữu hiệu MinQ là liên thông và

tập điểm hữu hiệu yếu WMinQ là tập liên thông đường.

1.3 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng

Chương 2 của luận án xét bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng

Min f (x) = ( f1(x), f2(x), , fp(x)) v.đ.k x∈ X, (GMOP)trong đó X = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0} là tập lồi compact khác rỗng, g : Rn → Rm làhàm véc tơ tựa lồi khả vi liên tục trên Rn, f (x) = ( f1(x), , fp(x)) là hàm véc tơgiả lồi vô hướng xác định trên X

Dễ thấy, bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi (CMOP) khi f và g là các hàm véc

tơ lồi và bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (LMOP) khi f và g là hàm véc

tơ tuyến tính là hai trường hợp đặc biệt của bài toán (GMOP)

Như thường lệ, ta gọi

Y = f (X ) = { f (x) | x ∈ X },

là tập giá trị hay tập ảnh (outcome set) của bài toán (GMOP) Điểm x0∈ X được

gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (GMOP) nếu f (x0) là một điểm hữu hiệu của

Y, tức f (x0) ∈ MinY Tương tự, nếu f (x0) là một điểm hữu hiệu yếu của Y, tức

f(x0) ∈ WMinY, thì ta gọi x0 là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (GMOP) Ký

hiệu XE, XW E lần lượt là tập các nghiệm hữu hiệu và tập các nghiệm hữu hiệu yếu

của bài toán (GMOP) Theo định nghĩa, điểm x0∈ XE nếu x0 ∈ X và

6 ∃x ∈ X sao cho f (x0) ≥ f (x) và f (x0) 6= f (x),điểm x0∈ XW E nếu x0∈ X và

6 ∃x ∈ X sao cho f (x0) > f (x)

Đặt YE = f (XE) và YW E = f (XW E) Dễ thấy

Tập YE và YW E lần lượt được gọi là tập ảnh hữu hiệu và tập ảnh hữu hiệu yếu của

bài toán (GMOP) Điểm y0 ∈ YE (t.ư., y0 ∈ YW E) được gọi là điểm ảnh hữu hiệu (t.ư., điểm ảnh hữu hiệu yếu) của tập ảnh Y và cũng chính là điểm giá trị hữu hiệu (t.ư., điểm giá trị hữu hiệu yếu) của bài toán (GMOP).

Theo giả thiết của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP), hàmvéc-tơ f là giả lồi nên f là ánh xạ liên tục Vì X là tập compact khác rỗng nêntập ảnh Y = f (X ) là tập compact Ngay trong trường hợp f là hàm véc tơ lồi thì Ycũng chưa chắc là tập lồi, nhưng luôn có Y+ = Y + Rp là tập lồi (xem Mệnh đề 2[49, tr 392])

Kết quả về cấu trúc tập ảnh hữu hiệu và tập ảnh hữu hiệu yếu sau đây là hệ quảtrực tiếp của Định lý 1.7

Mệnh đề 1.11 Với giả thiết Y+ = Y + Rp là tập lồi, tập ảnh hữu hiệu YE và tập ảnh hữu hiệu yếu YW E của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) tương ứng là liên thông và liên thông đường.

Khái niệm nghiệm hữu hiệu θ −xấp xỉ và nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ củabài toán quy hoạch đa mục tiêu (GMOP) được định nghĩa thông qua khái niệmđiểm hữu hiệu θ −xấp xỉ và điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của một tập Cụ thể,điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu θ −xấp xỉ của bài toán (GMOP) nếu

f(x0) là điểm hữu hiệu θ −xấp xỉ của tập ảnh Y , tức f (x0) ∈ Min(Y, θ ) Tương tự,

ta gọi x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của bài toán (GMOP) nếu f (x0)

là điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của tập ảnh Y , tức f (x0) ∈ WMin(Y, θ ) Tập tất cảcác nghiệm hữu hiệu θ −xấp xỉ và tập tất cả các nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉcủa bài toán (GMOP) được ký hiệu lần lượt là XE,θ và XW E ,θ

Dựa trên khái niệm nghiệm hữu hiệu θ −xấp xỉ và nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp

xỉ, các thuật toán theo hướng tiếp cận xấp xỉ được thiết lập để giải bài toán quyhoạch đa mục tiêu được đề xuất Khi đó, thay vì xác định chính xác tập nghiệmhữu hiệu (t.ư., hữu hiệu yếu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu, ta sẽ tìm tập nghiệmhữu hiệu (t.ư., hữu hiệu yếu) xấp xỉ của bài toán này với một sai số θ cho trước.Một thuật toán theo tiếp cận xấp xỉ để giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suyrộng (GMOP) sẽ được trình bày ở Chương 2

Kết luận

Bên cạnh việc nhắc lại một số khái niệm cũng như những kết quả quan trọng vàhữu ích về hàm lồi suy rộng, tập điểm hữu hiệu (t.ư., hữu hiệu yếu) và tập điểmhữu hiệu (t.ư., hữu hiệu yếu) θ - xấp xỉ, cũng như nghiên cứu bài toán quy hoạch đamục tiêu lồi suy rộng và các trường hợp riêng của nó, chương này thực hiện nhữngcông việc chính là:

- Đưa ra khái niệm hàm giả lồi vô hướng (Định nghĩa 1.1 và Ví dụ 1.5) và một

số tính chất đặc biệt của nó (Nhận xét 1.2)

- Giới thiệu mối liên hệ giữa tập các điểm hữu hiệu (t.ư., hữu hiệu yếu) của mộttập Q với tập các điểm hữu hiệu (t.ư., hữu hiệu yếu) của các tập tương đương hữuhiệu Q+ và Q− của nó (Mệnh đề 1.7 và Mệnh đề 1.8)

- Chỉ ra cách xác định một điểm hữu hiệu yếu của tập Q+ (Mệnh đề 1.9) Mô tảmối liên hệ giữa hướng pháp tuyến không âm của tập Q tại một điểm ¯q và hướngpháp tuyến không âm của tập tương đương hữu hiệu Q+tại một điểm ¯y thỏa mãn

mở rộng và các bài toán tối ưu trên tập Pareto sẽ được trình bày ở các chương sau

là hàm véc tơ tuyến tính và X là tập lồi đa diện khác rỗng, đã được nhiều tác giảquan tâm nghiên cứu Cho đến nay, đã có nhiều thuật toán giải bài toán quy hoạch

đa mục tiêu tuyến tính (chẳng hạn, xem [7], [11], [44], [45], [57], [59], [83], [92],[93], [94], và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo) và một số thuật toán giảibài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi (CMOP) đã được đề xuất ([20], [25], [30], [34],[36], [49], [62], [65], [78], [83], [93], ) Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện có rất

ít thuật toán giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP)

Do ánh xạ f liên tục và tập chấp được X là compact khác rỗng nên tập nghiệmhữu hiệu XE và tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E của bài toán (GMOP) là các tập khác

rỗng ([57]), tập ảnh Y = f (X ) là tập compact Như đã biết (Mệnh đề 1.11), với giảthiết Y+ = Y + Rp là tập lồi, bài toán (GMOP) có tập giá trị hữu hiệu YE = f (XE)

là liên thông và tập giá trị hữu hiệu yếu YW E = f (XW E) là tập liên thông đường.Dựa trên tính chất hữu dụng này và sử dụng kỹ thuật xấp xỉ ngoài theo tiếp cậntrên không gian ảnh, trong chương này, chúng tôi đề xuất thuật toán hướng pháp

tuyến Solve(GMOP) giải bài toán (GMOP) Khi thuật toán kết thúc, ta nhận được

tập các điểm giá trị hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ chứa toàn bộ tập WMinY và tập cácnghiệm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ của bài toán (GMOP) chứa toàn bộ tập XW E, trong

đó θ = εe với e = (1, , 1) ∈ Rp và ε ≥ 0 là sai số cho trước Đặc biệt, nếu bàitoán (GMOP) là một bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính thì sau hữu hạnbước lặp, với ε = 0, ta nhận được tập giá trị hữu hiệu yếu YW E và tập nghiệm hữuhiệu yếu XW E

Ý tưởng sử dụng kỹ thuật xấp xỉ ngoài của tập ảnh Y = f (X ) để xác định cácnghiệm hữu hiệu yếu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu đã được biết từ nhữngnăm 70 của Thế kỷ 20 (xem [72], [75]) và được mở rộng cho bài toán lồi và khônglồi (xem [25], [30], [33], [34], [50], [55], [61], [62]) Thuật toán hướng pháp tuyến

Solve(GMOP)giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) sử dụng

kỹ thuật tính toán tương tự hai thuật toán [30] và [55] giải xấp xỉ bài toán quyhoạch đa mục tiêu lồi (CMOP), mới công bố gần đây Tuy nhiên, trong [30] và[55], tính hội tụ của thuật toán chưa được chứng minh Mục 2.3 của chương này sẽ

trình bày chi tiết chứng minh tính hội tụ của thuật toán Solve(GMOP) Đây có thể

coi là một đóng góp về lý thuyết của luận án

Tương tự lược đồ chung của các thuật toán xấp xỉ ngoài trên không gian ảnh,

thuật toán hướng pháp tuyến Solve(GMOP) sinh ra một dãy các đa diện {Bk} lồngnhau thỏa mãn

B0⊃ B1⊃ · · · ⊃ Bk⊃ · · · ⊃ Y⊃ Y,trong đó, Y là một tập lồi compact khác rỗng và có tập điểm hữu hiệu yếuWMinY∩ Y trùng với tập giá trị hữu hiệu yếu YW E của bài toán (GMOP) Đadiện Bk+1được xác định bởi

Bk+1=ny∈ Bk | hλk, yi ≥ hλk, ykio,

trong đó, yk là một điểm giá trị hữu hiệu yếu được xác định tại bước lặp k và λk

là hướng pháp tuyến của tập Y tại yk Đó cũng là lý do cho tên gọi phương pháp

hướng pháp tuyến hay thuật toán hướng pháp tuyến trên không gian ảnh.

Cách xác định điểm giá trị hữu hiệu yếu yk và hướng pháp tuyến λk tại mỗibước lặp k của thuật toán được giới thiệu ở Mục 2.1 Thuật toán chi tiết được mô tảtrong Mục 2.2 Hai Định lý 2.2 và Định lý 2.3 trong Mục 2.3 khẳng định tính hội

tụ của thuật toán mới đề xuất Các kết quả tính toán thử nghiệm được giới thiệutrong Mục 2.4 chứng tỏ tính hiệu quả của thuật toán và những ưu điểm của nó sovới hai thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi (CMOP)được công bố trong [25] và [61]

2.1 Xác định điểm ảnh hữu hiệu yếu và hướng pháp tuyến

Nhắc lại rằng, do f (x) là hàm véc tơ giả lồi vô hướng nên tất cả các hàm mục tiêu

f1, , fpđều là các hàm giả lồi, ánh xạ f liên tục và tập ảnh Y = f (X ) là compactkhác rỗng Vì vậy điểm ym = (ym1, , ymp) và yM = (yM1 , , yMp), trong đó

Y= Y+∩ (d − R+p)

Rõ ràng Y là tập compact, có thứ nguyên đầy đủ và

Y ⊂ Y⊂ B0.Hơn nữa, tương tự như Y+, tập Y có tính chất hữu ích sau:

Mệnh đề 2.1 MinY = MinY vàWMinY = WMinY∩Y

Nhận xét sau đây chỉ ra cách xác định một điểm hữu hiệu yếu của Y+

Nhận xét 2.1 Theo định nghĩa, nếu v ∈ B0\ Y thì v ∈ B0\ Y+ Chọn một điểm

yO thỏa mãn

b> yO hay yO ∈ (b − intR+p)

Khi đó, với mỗi điểm vk∈ B0\Y, ta có thể xác định được một điểm giá trị hữu hiệu yếu yk ∈ YW E = WMinY Thật vậy, theo Mệnh đề 1.9, xuất phát từ điểm yO theohướng (vk− yO), ta xác định được một điểm hữu hiệu yếu wk = yO+ tk(vk− yO)của Y+, trong đó tk là nghiệm tối ưu duy nhất của bài toán

min tv.đ.k yO+ t(vk− yO) ∈ Y+.Theo định nghĩa, nó có dạng tường minh là

v.đ.k f (x) − t(vk− yO) − yO ≤ 0

g(x) ≤ 0,

và có nghiệm tối ưu duy nhất (xk,tk) Vì f (xk) ≤ wk ∈ WMinY+ nên theo Mệnh

đề 1.7(iii), yk = f (xk) là một điểm giá trị hữu hiệu yếu của bài toán (GMOP), tức

yk∈ WMinY và xk là một nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán này

Nhận xét 2.2 Bài toán (P(vk)) có hàm mục tiêu tuyến tính nhưng tập chấp nhậnđược của nó chưa chắc là tập lồi Vì vậy, bài toán trên nói chung không phải là mộtquy hoạch lồi Dễ dàng chứng minh được rằng bài toán (P(vk)) có thể được đưa về

bài toán tương đương

Hai bài toán này tương đương theo nghĩa, nếu (x∗,t∗) là nghiệm tối ưu của bàitoán (P(vk)) thì x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (P2(vk)); ngược lại, nếu x∗ lànghiệm tối ưu và t∗ là giá trị tối ưu của bài toán (P2(vk)) thì (x∗,t∗) là nghiệmtối ưu của bài toán (P(vk)) Hơn nữa, vì các hàm fj, j = 1, , p là giả lồi trên

Định lý sau đây cho phép ta xác định được hướng pháp tuyến λk của tập ảnh

Y tại điểm hữu hiệu yếu yk ∈ WMinY Theo định nghĩa, λk cũng là hướng pháptuyến của siêu phẳng tựa với Ytại yk

Như thường lệ, với mỗi điểm xk ∈ X, ta ký hiệu tập chỉ số của các ràng buộcthỏa mãn chặt tại xk là

Chứng minh. Giả sử tồn tại véc tơ λk∈ NY+(wk) ∩ R+p và λk6= 0 Theo định nghĩa,

λk, y − wk ≥ 0 với mọi y ∈ Y+ Vì Y ⊆ Y+ nên ta có

Ngược lại, giả sử (λk, µk) là nghiệm của hệ (2.2) Ta có λk≥ 0 Theo điều kiện

đủ trong Định lý 1.4 cho bài toán ((Pλk)), ta thấy xk là một nghiệm tối ưu của bàitoán này Vì vậy,

Nhận xét 2.3. i) Theo Định lý 2.1, ta có thể xác định được véc tơ pháp tuyến λkcủa tập Y+ tại điểm wk thông qua việc giải hệ (2.2) Hơn nữa, phương trìnhthứ hai của hệ (2.2) chứng tỏ rằng véc tơ λk ∈ R+p và vuông góc với véc tơ

wk− yk, trong đó yk= f (xk) Cũng theo chứng minh của Định lý 2.1, từ (2.6)

ta thấy λk thuộc nón pháp tuyến của tập ảnh Y tại điểm giá trị hữu hiệu yếu

yk Như vậy, véc tơ λk chính là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa H củatập Y tại điểm yk, trong đó

ii) Theo Mệnh đề 1.9, với mỗi điểm tùy ý vk∈ B0\Y+, ta đều xác định được mộtđiểm hữu hiệu yếu của Y+ Trong thuật toán ta sẽ chọn vk ∈ B0\ Y để đảmbảo tính hội tụ của thuật toán như sẽ được chứng minh chi tiết ở Mục 2.3

2.2 Thuật toán hướng pháp tuyến trên không gian ảnh

Mục này sẽ mô tả chi tiết thuật toán hướng pháp tuyến trên không gian ảnh để giải

bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP), viết tắt là Solve(GMOP).

Thuật toán được thiết lập dựa trên kỹ thuật xấp xỉ ngoài tập ảnh Y = f (X ) Cụ thể,xuất phát từ đa diện B0= B[b, d] ⊃ Y⊃ Y , thuật toán sẽ xây dựng một dãy các đadiện {Bk} thỏa mãn

B0⊃ B1⊃ · · · ⊃ Bk⊃ Bk+1⊃ · · · ⊃ Y⊃ Y

Khi đó, dãy {Bk} sẽ hội tụ tới tập Y, đồng thời dãy tập điểm hữu hiệu yếu{WMinBk} sẽ hội tụ tới tập điểm hữu hiệu yếu của Y, tức là tập WMinY

Cho trước một số thực ε ≥ 0 và véc tơ θ = εe với e = (1, , 1) ∈ Rp Nhắclại rằng, điểm q∗∈ Rp được gọi là điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ ngoài (theo nghĩa

cực tiểu) của tập Q ⊆ Rp nếu q∗+ θ là điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của Q, tức

q∗+ θ ∈ WMin(Q, θ ) Ký hiệu

Vk là tập tất cả các đỉnh của Bk ngoại trừ điểm d

EO là tập các điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ ngoài của tập Y

EY là tập các điểm hữu hiệu yếu của tập ảnh Y hay là tập các điểm ảnh hữuhiệu yếu của bài toán (GMOP)

Theo định nghĩa, ta có thể dễ dàng xác định được tập V0

Khởi đầu với k = 0, ta đã có tập V0 và đặt EO = /0, EY = /0

Tại bước lặp k điển hình,

i) Nếu Vk⊆ EO thì thuật toán kết thúc

ii) Ngược lại, tồn tại một đỉnh vk ∈ Vk\ EO, tức vk ∈ B0\ Y Khi đó, giải bàitoán (P(vk)) để xác định một điểm hữu hiệu yếu wk∈ WMinY+ và một điểmgiá trị hữu hiệu yk= f (xk) ∈ WMinY tương ứng với wk Tiếp theo,

 Nếu kwk− vkk ≤ ε thì vk là điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ ngoài của tập

Y và được bổ sung nó vào tập EO (xem Định lý 2.3)

 Ngược lại, giải hệ (2.2) để tìm một hướng pháp tuyến λk của tập Y tạiđiểm yk và đặt

Bk+1 =ny∈ Bk| hλk, yi ≥ hλk, ykio

Chi tiết thuật toán Solve(GMOP) giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng

(GMOP) như sau

Thuật toán Solve(GMOP)

Bước 0 (Bước khởi tạo)

Bước 1 (Kiểm tra điều kiện dừng)

If Vk ⊆ EO Then Thuật toán dừng

Else Chọn một điểm bất kỳ vk∈ Vk\ EO và chuyển sang Bước 2

Bước 2 (Xác định điểm ảnh hữu hiệu yếu)

(2.1) Tìm nghiệm tối ưu (xk,tk) của bài toán (P(vk));

(2.2) Đặt yk = f (xk) và

wk = yO+ tk(vk− yO)

EY = EY ∪ {yk}

Bước 3 (Xác định hướng pháp tuyến)

If kwk− vkk ≤ ε Then EO := EO ∪ {vk} và quay lại Bước 1

Else Giải hệ (2.2) để xác định λk

Bước 4 (Thực hiện cắt)

(4.1) Đặt

Bk+1=ny∈ Bk | hλk, yi ≥ hλk, ykio

và xác định tập đỉnh Vk+1;

(4.2) Đặt k := k + 1 và quay lại Bước 1

Giả sử thuật toán dừng tại Bước lặp k Khi đó, thuật toán sinh ra tập EO là tậpcác điểm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ ngoài của Y và EY là tập các điểm hữu hiệu yếucủa tập Y Định nghĩa các tập

Yin:= (convEY + R+p) ∩ (d − R+p),và

Yout := (convEO + R+p) ∩ (d − R+p) ≡ Bk,trong đó ký hiệu "conv" để chỉ bao lồi của tập điểm

Định lý 2.3 ở Mục 2.3 chỉ ra rằng các tập Yin và Yout tương ứng là các xấp xỉtrong và xấp xỉ ngoài của tập Y Hơn nữa, tất cả các điểm hữu hiệu yếu của Yinđều là điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của Y, tức WMinYin ⊆ WMin(Y, θ ), đồngthời tất cả các điểm hữu hiệu yếu của Yout đều là điểm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉngoài của Y tức WMinYout + θ ⊆ WMin(Y, θ )

Dựa trên tập xấp xỉ ngoài Yout của Y, ta cũng thiết lập được tập xấp xỉ ngoài

EX của tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E của bài toán (GMOP) Cụ thể là

¯ y∈WMin(Y out ,θ )

{x ∈ X | f (x) ≤ ¯y}

Theo Hệ quả 2.1 ở mục sau, ta sẽ thấy rằng tập EX bao gồm các nghiệm hữuhiệu yếu θ - xấp xỉ của bài toán (GMOP) và cũng chứa toàn bộ tập nghiệm hữuhiệu yếu XW E

Sau đây là sơ đồ khối của thuật toán Solve(GMOP).