GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT (Tài liệu dành cho sinh viên ngành địa chất, tài nguyên môi trường )

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN §1. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC 1. Hệ quy chiếu quán tính Các định luật cơ học của Niutơn được kiểm nghiệm đúng đắn trong hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu trong đó các định luật Niutơn được nghiệm đúng gọi là hệ quy chiếu quán tính. Ngược lại, gọi là hệ quy chiếu không quán tính. Các chuyển động cơ học xảy ra trong hệ quy chiếu quán tính là tuyệt đối. Còn xẩy ra trong hệ quy chiếu không quán tính là tương đối. Trong cơ học thiên thể thường người ta lấy hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu gốc tâm mặt trời, ba trục đi qua ba ngôi sao cố định. Trong thực tế tính toán với mức độ chính xác nhất định, các chuyển động xảy ra gần mặt đất, ta cũng có thể chọn gần đúng hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu gắn chặt với quả đất. 2. Định luật 1 Newton (Định luật quán tính) Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Tức là nếu thì . Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm gọi là chuyển động theo quán tính của nó. 3 Định luật 2 Newton (Định luật cơ bản của Động lực học) Dưới tác dụng của lực chất điểm chuyển động với gia tốc cùng hướng với hướng của lực và có độ lớn tỷ lệ với độ lớn của lực Tức là: (11) và F = ma (12) Trong đó m là khối lượng của chất điểm (m > 0) Hệ thức (11) còn gọi là phương trình cơ bản của động lực học. Trong cơ học cổ điển (cơ học của Niutơn), người ta coi khối lượng là một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào vận tốc chuyển động. Khối lượng là độ đo mức quán tính của chất điểm. Mọi vật ở trong tường trọng lực (với độ cao không lớn lắm) đều rơi với gia tốc và chịu tác dụng của trọng lực . Theo các hệ thức (11), (12) ta suy ra: và .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC ĐẠI CƯƠNG

ĐẶNG TRẦN CHIẾN NGUYỄN SỸ HẢI

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Tài liệu dành cho sinh viên ngành địa chất, tài nguyên môi trường

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

§1 HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC

1 Hệ quy chiếu quán tính

Các định luật cơ học của Niutơn được kiểm nghiệm đúng đắn trong hệquy chiếu quán tính

Hệ quy chiếu trong đó các định luật Niutơn được nghiệm đúng gọi là

hệ quy chiếu quán tính

Ngược lại, gọi là hệ quy chiếu không quán tính Các chuyển động cơhọc xảy ra trong hệ quy chiếu quán tính là tuyệt đối Còn xẩy ra trong hệ quychiếu không quán tính là tương đối Trong cơ học thiên thể thường người talấy hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu gốc tâm mặt trời, ba trục đi qua bangôi sao cố định Trong thực tế tính toán với mức độ chính xác nhất định, cácchuyển động xảy ra gần mặt đất, ta cũng có thể chọn gần đúng hệ quy chiếuquán tính là hệ quy chiếu gắn chặt với quả đất

2. Định luật 1 Newton (Định luật quán tính)

Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyểnđộng thẳng đều Tức là nếu F 0 thì v cosnt 

.Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm gọi làchuyển động theo quán tính của nó

3 Định luật 2 Newton (Định luật cơ bản của Động lực học)

Dưới tác dụng của lực chất điểm chuyển động với gia tốc cùng hướngvới hướng của lực và có độ lớn tỷ lệ với độ lớn của lực

Tức là:

Trong đó m là khối lượng của chất điểm (m > 0)

Hệ thức (1-1) còn gọi là phương trình cơ bản của động lực học

Trong cơ học cổ điển (cơ học của Niutơn), người ta coi khối lượng làmột đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào vận tốc chuyển động

Khối lượng là độ đo mức quán tính của chất điểm

Mọi vật ở trong tường trọng lực (với độ cao không lớn lắm) đều rơi vớigia tốc gvà chịu tác dụng của trọng lực P

Theo các hệ thức (1-1), (1-2) tasuy ra: P mg

và P mg

4 Định luật độc lập tác dụng của các lực

Dưới tác dụng của đồng thời một số lực, chất điểm có gia tốc bằng tổnghình học các gia tốc mà chất điểm có được khi mỗi lực tác dụng riêng biệt.

Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của các lực

1 2 n

F ,F , ,F   Gọi alà gia tốc của chất điểm khi chịu tác dụng của đồng thờicác lực đó, và a ,a , ,a 1 2 nlà gia tốc của nó khi từng lực F ,F , ,F 1 2 ntác dụngriêng rẽ Theo tiên đề thứ ba ta có:

n K

5 Định luật 3 Newton (Định luật tác dụng và phản tác dụng)

Những lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm là những lực cùngđường tác dụng, trái chiều và có cùng cường độ

Nếu chất điểm A tác dụng lên chất điểm B lực FB, thì chất điểm Bcũng tác dụng lên chất điểm A lực FA và ta có:

§2 HỆ ĐƠN VỊ CƠ HỌC

Theo bảng đơn vị SI, các đại lượng cơ bản trong cơ học là: độ dài, khốilượng và thời gian

Lực là đại lượng dẫn xuất

Các đơn vị cơ bản tương ứng là: mét ký hiệu m; kilôgam ký hiệu kg, giây ký hiệu s Từ đó suy ra cho đơn vị lực từ phương trình dẫn xuất.

Thứ nguyên của các đại lượng cơ bản được ký hiệu:

[Độ dài] = L, [Khối lượng] = M, [Thời gian] = T

Thứ nguyên của các đại lượng cơ học khác là dẫn xuất từ ba thứnguyên của đại lượng cơ bản

Ví dụ:

[Lực] = [Khối lượng][Gia tốc] = M L2

T

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM

Xét chuyển động của chất điểm tự do, khối lượng m, trong hệ quy

chiếu quán tính Oxyz, dưới tác dụng của các lực F , F , , F 1 2 n, nhận gia tốc a

Lực tác dụng lên chất điểm nói chung là phụ thuộc vào vị trí (r), vậntốc (v) của nó và thời gian chuyển động (t) Tức là:

Trong đó x, y, z là tọa độ của chất điểm trong hệ Oxyz Còn: XK, YK,

ZK là các thành phần của lực FK trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz

Hệ (2-2) là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ Đề các

3 Dạng tọa độ tự nhiên

Chiếu phương trình (2-1) lên hệ trục tọa độ tự nhiên ta được:

Vì vậy phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ở dạng tọa độ

tự nhiên sẽ là:

K K

msF

2

Kn K

2

Kr K 2

K K

§2 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

1 Bài toán thứ nhất (Bài toán thuận)

Phát biểu

Cho biết chuyển động của chất điểm và khối lượng của nó Hãy xácđịnh lực tác dụng lên chất điểm đó

Cách giải:

Bài toán này giải quyết rất dễ dàng bằng cách đạo hàm phương trìnhchuyển động với số lần cần thiết, sau đó nhân với khối lượng của chất điểm,

ta sẽ tìm được lực tác dụng lên chất điểm trên cơ sở các phương trình (2-1);(2-2); (2-3) và (2-4) đã giới thiệu ở trên

Đó là một E-líp, có bán trục tương ứng là a, b Áp dụng phương trình vi

phân chuyển động của chất điểm ở dạng tọa độ Đề các ta có:

mx X ,my YTrong đó:

Trong đó r là bán kính véc tơ mô tả chuyển động của chất điểm Côsin chỉ phương của lực Fsẽ là:

 

 

xcos F, x

Fycos F, y

Bài giải:

Áp dụng phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ở dạng tọa

độ tự nhiên:

K K

n Kn K

 , ta đi xác định an Vì chuyển động từ trạng thái đứng

yên và a = a = const, nên suy ra:

V = at, S =

2

at2

Do đó ta có:

2 2 2 Kn

a



Từ đó:

x = x(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6)

y = y(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6)

z = z(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6)Các hằng số tích phân này sẽ được xác định nhờ những điều kiện đầucủa chuyển động Chẳng hạn cho biết:

Tại t = 0 thì vị trí của chất điểm là:

Hệ thống phương trình trên cho ta giải ra sáu hằng số tích phân c1, c2,

c3, c4, c5, c6 phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu: x0, y0, z0, x , y ,z0 0 0 Thay giátrị của các hằng số tích phân vào nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

ta tìm được phương trình chuyển động của chất điểm ở dạng:

x = x(t, x0, y0, z0, x , y ,z0 0 0)

y = y(t, x0, y0, z0, x , y ,z0 0 0)

z = z(t, x0, y0, z0, x , y ,z0 0 0)Chú ý rằng: Những điều kiện ban đầu của bài toán phải cho như thế nào

đó sao cho đảm bảo tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân.Trong một số bài toán điều kiện ban đầu cho chưa cụ thể thì ta cần chọn hệtọa độ, gốc tọa độ cụ thể sao cho việc tính toán đơn giản nhất

0

0

V

Chiếu phương trình trên lên hai trục Ox, Oy ta có:

mx k mx,my  k myHoặc: x k x 0  2  , y k y 0 2 

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân trên là:

x = c1coskt + c2sinkt

y = c3coskt + c4sinktTrong đó c1, c2, c3, c4 là các hằng số tích phân Ta xác định chúng từ cácđiều kiện ban đầu Theo bài ra tại t = 0 thì x0 = l, y0 = 0, x = 0, 0 y = V0 0 nên tacó:

l = x0 = c1 , 0 = y0 = c3

Và 0 = x = kc0 2 , V0 = y = kc0 4

Từ đó xác định được: c1 = l, c2 = 0, c3 = 0, c4 = V0

kVậy phương trình chuyển động của chất điểm sẽ là:

k sinkt Quỹ đạo của nó là Elíp có phương trình sau:



Hằng số k có thể biểu diễn qua các đại lượng khác nhau Trong trườngriêng như đã biết thì k = mM Với  là hằng số hấp dẫn vũ trụ M là khốilượng của quả đất

x





Với điều kiện ban đầu: Tại k = 0 thì x0 = R, x = V0 0

Để giải phương trình vi phân trên ta chú ý đến phép biến đổi sau:

2 2

Rõ ràng khi V = 0 thì chất điểm sẽ đạt được một khoảng cách xa nhất

xmax phụ thuộc vào vận tốc ban đầu V0, ta có:

2 max 2

0

2gRx

2 2

ymaxy

Để xác định hằng véc tơ C1, ta dựa vào điều kiện ban đầu: t = 0 thì:

Dựa vào điều kiện ban đầu xác định được C 2

= 0, nên luật chuyển độngcủa chất điểm biểu thị ở dạng véctơ là:

2 0

2

2 2 0

Bây giờ ta xét tầm xa nhất và độ cao nhất Ứng với các giá trị V0 và cho trước tầm xa nhất của chất điểm đạt được (khi y = 0) sẽ là:

2 0 max

V sin 2x

g



Nếu cho trước giá trị V0 thì với  = 450 chất điểm sẽ có tầm xa cực đại:

Lmax=xmax =

2 0

Vg

Độ cao nhất của chất điểm ứng với V0 và  cho trước đạt được tại

x = xmax

2 sẽ bằng:

ymax =

2 2 0

V sin2g

Nếu cho trước giá trị V0 thì với  = 900 chất điểm sẽ đạt tới độ cao cực đại

Hmax= ymax =

2 0

V2g

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ

Khảo sát chuyển động của một cơ hệ gồm m chất điểm Để thiết lậpphương trình vi phân chuyển động của cơ hệ, ta dựa vào phương trình cơ bảncủa động lực học chất điểm và lập cho từng chất điểm thuộc hệ

Vì lực tác dụng lên từng chất điểm thuộc hệ có các cách phân chia khácnhau, nên dạng phương trình vi phân chuyển động của hệ cũng khác nhau

1) Nếu phân tích lực tác dụng lên cơ hệ thành nội lực và ngoại lực Tagọi hợp lực của các ngoại lực và của các nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k(Mk) thuộc hệ là FeK và FiK, thì phương trình vi phân chuyển động của MK là:

e i

K K K

K

m a F FCho k đi từ 1 đến n, ta được phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ:

e i

K K K

K

m a F F k = 1, 2, …, nHay có thể viết:

e i

1 1 1

1

e i

2 2 2

2

e i

n n n

K

F và N K

, thì phươngtrình vi phân chuyển động của nó là:

a K

K

m a F NLấy k = 1, 2,…, n ta được phương trình vi phân của hệ:

a 1

1

a 2

2

a n

Chương 3 HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG

§1 KHỐI TÂM CỦA HỆ

Cho hệ chất điểm M1, M2,…, Mn có khối lượng tương ứng là m1, m2,…,

mn và có vị trí được xác định bởi các véctơ định vị  r ,r , ,r1 2 n (Hình 3.1)

Hình 3-6

Khối tâm của hệ là một điểm hình học C được xác định bưởi công thức:

K K K c

m rr

M

Trong đó mK, rKlà khối lượng và véc tơ định vị của chất điểm thứ K thuộc hệ

K K K

C

K K K

C

K K K

C

m xx

M

m yy

M

m zz

Trong đó xK, yK, zK là tọa độ của chất điểm thứ K thuộc hệ

Nếu hệ khảo sát là vật rắn ở trên mặt đất thì vị trí khối tâm của vật trùng với vị trí trọng tâm của nó Thật vậy, trong công thức trên, nếu ta nhân

cả tử và mẫu số với gia tốc trọng trường g thì ta được công thức xác địnhtrọng trường đã biết trong tĩnh học Chú ý rằng khái niệm khối tâm tổng quáthơn khái niệm trọng tâm rất nhiều Khối tâm luôn luôn tồn tại, còn trọng tâmcủa vật chỉ tồn tại trong trường trọng lực mà thôi

Nếu hệ gồm nhiều vật rắn thì trong công thức xác định vị trí của khốitâm (3-1), (3-2) ta coi rK; xK, yK, zK; mK tương ứng là bán kính véc tơ định vị,tọa độ của khối tâm và khối lượng của vật thể thứ K thuộc hệ vật

Thí dụ 1:

Cho cơ cấu thước vẽ elip gồm hai con chạy A, B và trọng lượng Q, tayquay OC có trọng lượng P và thước AB có trọng lượng 2P (Hình 3.2) Chobiết OC = AC = BC = l Coi cơ cấu là đồng nhất Hãy xác định tọa độ khốitâm của cơ cấu theo góc 

C

2Pm

g



;

1 1 1



;

2 2 2

l

2C

1 1 2 2 3 3 4 4 C

Đơn vị đo mô men quán tính: kgm2

Thứ nguyên của mô men quán tính:

[J] = ML2

Lấy hệ tọa độ Oxyz, khi đó chất điểm thứ K có khối lượng mK, có tọa

độ xK, yK, zK thì mô men quán tính của cơ hệ đối với các trục tọa độ là:

2 2

x K K K K

2 2

y K K K K

2 2

z K K K K

Và mô men quán tính đối với tâm O (gốc tọa độ) sẽ là:

2 2 2

o K K K K K

2 Mô men quán tính của một số vật đồng chất đơn giản

a) Thanh đồng chất:

Tính mô men quán tính của thanh mỏng AB đồng chất, dài l, khốilượng M, đối với trục Ay vuông góc với thanh và đi qua đầu A của thanh(Hình 3.3)

Hình 3-8

Muốn vậy ta chia thanh ra nhiều phần tử

Xét một phần tử cách trục Ay một đoạn xK và độ dài xK Khối lượngcủa nó là mK mà:

mK = xK, trong đó  = M

lTheo định nghĩa ta có:

y

A

x B

xK

xK

Ay K K K K 0K

MaJ

3

Tương tự:

2 Ax

MbJ

3

c) Vòng tròn đồng chất:

Cho vòng tròn đồng chất khối lượng M, bán kính R Tìm mô men quántính của vòng tròn đối với trục z đi qua tâm C của vòng tròn và vuông góc vớimặt phẳng của nó (Hình 3.5) Áp dụng công thức (3.3) ta có:

rK

Mô men quán tính của vật đối với trục z1 vào đó bằng tổng mô menquán tính của nó đối với trục z đi qua khối tâm của vật và song song với z1 vàtính khối lượng của vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục ấy:

4 Tính mô men quán tính của vật đối với trục đi qua một điểm và

có hướng cho trước Mô men tính quán tính

r'K

rK

┑

K

Cho điểm O và trục L đi qua O Lấy O làm gốc tọa độ của hệ trục tọa độ

đề các vuông góc Hướng của trục L được xác định bằng ba góc chỉ phương là

, ,  (Hình 3.8) Hãy xác định mô men quán tính của vật đối với trục L

Chiếu đẳng thức này lên trục L ta có:

OHK = xKcos + yKcos + zKcos (4)Thay (3) vào (4) vào (2) ta có:

M K

H K

z K

L

2 2

y K K K K

2 2

z K K K K

yz K K K zy K

zx K K K xz K

5 Trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm

Trục Oz mà đối với nó các mô men tích quán tính Jyz và Jxz bằng không(Jyz = 0 và Jxz = 0) được gọi là trục quán tính chính của vật tại điểm O

Người ta đã chứng minh rằng: Tại mỗi điểm của vật có ba trục quántính chính vuông góc với nhau

Các trục quán tính chính của vật tại khối tâm của nó được gọi là cáctrục quán tính chính trung tâm.

Mô men quán tính của vật đối với trục quán tính chính được gọi là mômen quán tính chính

Mô men quán tính của vật đối với trục quán tính chính trung tâm đượcgọi là mô men quán tính chính trung tâm

Bây giờ ta khảo sát tính chất của trục quán tính chính và trục quán tínhchính trung tâm:

Giả sử trục Cz là trục quán tính chính trung tâm (Hình 3.9) và trục Oz

là trục quán tính chính tại điểm, tùy ý O (Hình 3.10)

Vì các trục đó là các trục quán tính chính nên ta có:

Jyz = 0

Jxz = 0Lấy trên trục tọa độ đó điểm O1 tùy ý (CO1 = d và OO1 = d) và kẻ qua

O1 các trục x1//x, y1//y Trục z1 lấy trùng với trục z Giữa tọa độ của điểmtrong hệ xyz và x1y1z1 có hệ thức:

y1

y

d

x1x

O1

O

Trục quán tính chính trung tâm của vật là trục quán tính chính đối vớimọi điểm thuộc trục ấy.

b) Trường hợp trục quán tính chính không đi qua khối tâm (Hình 3.10)thì xc  0 và yc  0 và J  0, x z1 1 J  0y z 1 1

Tức là trục z1 không phải là trục quán tính chính của vật tại điểm O1

Vậy: Trục quán tính chính không đi qua khối tâm của vật là trục quán tính

chính chỉ tại một điểm của nó mà thôi.

Chương 4 CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ

Xét một cơ hệ gồm n chất điểm Chất điểm Mk có khối lượng mk vàchịu tác dụng của ngoại lực e

k

F và nội lực F , phải chuyển động với gia tốc aik 

(k = 1, 2,…, n) Áp dụng phương trình cơ bản của động lực học (1.2) cho tất

cả chất điểm của cơ hệ, ta được:

e i

1 1 1

1

e i

2 2 2

2

e i

n n n

Nhưng trong thực tế, người ta không thể sử dụng hệ phương trình viphân trên, vì việc giải nó quá phức tạp về mặt toán học, hơn nữa ta không cầnthiết phải tìm chuyển động của từng chất điểm của hệ, mà thường chỉ cần xácđịnh một vài đại lượng động học của hệ.

§2 ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ

1 Định lý chuyển động khối tâm

Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượngbằng khối lượng của cả hệ và chịu tác dụng của tất cả các ngoại lực đã tácdụng lên hệ

e k C

2 Phương trình vi phân chuyển động của khối tâm

Chiếu đẳng thức (4.2) xuống các trục của hệ tọa độ cố định Oxyz, tađược phương trình vi phân chuyển động của khối tâm:

C k 2

e C

kn e kb

ngang, nó phải chuyển động trong không gian dưới tác dụng của ngoại lực P

duy nhất Lập phương trình vi phân chuyển động của khối tâm, dễ dàng tìmđược chuyển động của khối tâm

dù cho trong quá trình bị ném trong không gian, nó dùng nội lực của cơ bắp

để uốn và xoay mình, khi rơi bốn chân của nó luôn tiếp đất nhẹ nhàng(Hình 4.1)

Nhận xét:

Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, như ta đã biết trong phần động học,mọi điểm thuộc vật đều chuyển động giống nhau hoàn toàn, do đó chuyểnđộng của vật rắn tịnh tiến được xác định bởi chuyển động của khối tâm của

nó Vậy để khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn, ta có thể xem nó như là

một chất điểm, có khối lượng bằng khối lượng của vật, và chịu tác dụng của

cả các lực đã tác dụng lên vật

Thí dụ:

Người công nhân kéo vật nặng A có trọng lượng P trượt trên mặt phẳngngang không nhẵn bằng lực G const tạo góc  với phương nằm ngang Hệ

số ma sát trượt giữa vật và mặt ngang là f Ban đầu vật có vận tốc v0

(Hình 4.2) Tìm chuyển động của vật A và trị số G của lực để vật chuyểnđộng đều

Bài giải:

Hình 4-17

Xét cơ hệ là vật rắn A chuyển động tịnh tiến dưới tác dụng của cácngoại lực gồm trọng lực P, lực kéo G; phản lực N và lực ma sát F Để lậpmaxphương trình vi phân chuyển động, ta có thể coi nó như là chất điểm, nóichính xác hơn là lập phương trình vi phân chuyển động của khối tâm của nó,dưới tác dụng của các ngoại lực, ta được



3 Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm

Do đó nếu ban đầu V C

= 0 thì khối tâm của hệ đứng yên mãi, còn nếuban đầu VC 0 thì khối tâm của hệ chuyển động thẳng đều

Vậy ta có định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm phát biểu như sau:Nếu véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn luôn bằngkhông thì khối tâm của cơ hệ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều

Tương tự như trên, nếu ek

k

X

 = 0 thì x = 0 tức là C

C

x = const hay Vcx = const (4.7')

Do đó nếu ban đầu Vcx = 0 hay x = 0 thì xC C = const, tức là toàn bộ khốitâm trên trục xây dựng không đổi, hay hình chiếu của khối tâm lên trục xđứng yên; còn nếu ban đầu Vcx  0 thì hình chiếu của khối tâm lên trục x sẽchuyển động đều Ta có định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm dướidạng chiếu như sau:

Nếu tổng chiếu của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ lên một trục nào

đó luôn luôn bằng không thì hình chiếu của khối tâm của cơ hệ lên trục đó sẽđứng yên hay chuyển động đều

Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm cho phép ta giải thíchmột số hiện tượng thực tế như sau:

1) Chuyển động của xe ô tô hay đầu máy xe lửa khi khởi động haytăng tốc trên đường thẳng nằm ngang

Xe ô tô hay đầu máy xe lửa có thể di chuyển được là nhờ có lực ma sáttrượt đặt vào bánh chủ động tạo điểm tiếp xúc giữa nó với mặt đường Lực

ma sát này chính là ngoại lực đối với ô tô hay đầu máy, nó truyền gia tốc chokhối tâm làm cho ô tô hay đầu máy khởi động hoặc tăng tốc Khi lực nàykhông có hay không đủ để thắng lực cản mà bánh bị động phải chịu thì xekhông thể khởi động hay tăng tốc được, bánh chủ động sẽ bị trượt trên mặtđường nếu mô men quay từ máy phát động lực truyền tới quá mạnh Mô menquay đó là nội lực đối với ô tô hay đầu máy, nó chỉ làm xuất hiện ngoại lực

mà ta nói đến ở trên

2) Hãm xe:

Để hãm xe, người ta tắt máy và cho má phanh áp chặt vào bánh xe Lực

ma sát giữa má phanh với bánh xe là nội lực Lực đó tự nó không làm biến đổiđược chuyển động của khối tâm, tức là không hãm được xe, nhưng nó làm cho

bánh quay chậm lại và làm cho lực ma sát giữa bánh xe và mặt đường tăng lên.Lực ma sát có chiều ngược với chiều chuyển động của xe, nó là ngoại lực đốivới xe và do đó làm cho chuyển động của khối tâm của xe chậm lại.

3) Chuyển động của người trên đường nằm ngang

Nếu trên đường không có ma sát thì ngoại lực tác dụng lên người gồm

có trọng lực và phản lực của mặt đường, chúng đều có phương thẳng đứng

k

X

C

Mx = 0 hay x = 0; suy ra C x = 0 nên C x = 0 C

Vậy nếu đường không có ma sát thì người không thể đi được, khi bướcchân trái lên thì chân phải trượt về phía sau sao cho khối tâm của người khôngchuyển động theo phương ngang

Từ đó ta thấy rằng ma sát có tác dụng làm cho người đi được Khi bướcchân trái lên phía trước thì chân phải có xu hướng trượt về phía sau và tức khắcxuất hiện ở đó lực ma sát có hướng lên phía trước, chính lực đó giúp cho ta điđược về phía trước

Thí dụ 4:

Một người trọng lượng P ngồi ở mũi một chiếc thuyền trọng lượng Qdài l Thuyền đứng yên trên mặt nước Bỏ qua sức cản của nước Xác định độdịch chuyển x của thuyền khi người đi tới mũi kia của thuyền (Hình 4.3)

Bài giải:

Xét cơ hệ gồm có người và thuyền, chịu tác dụng của các ngoại lực.Trọng lực P,Q  và phản lực R của nước, chúng đều có phương thẳng đứng.Chọn trục x có phương nằm ngang

Áp dụng định lý chuyển động của khối tâm trên trục x ta có:

e

C k

Mx X 0Hay xC 0; Do đó: x = constC

x

Giả sử lúc đầu người và thuyền có hoành độ là 0

1

2

x thì vị trí của khốitâm theo trục x được xác định là:

o o

o 1 2 c

hệ bằng tổng hình học động lượng của tất cả các vật

Đơn vị đo động lượng là kilôgam mét/giây ký hiệu là kgm/s

Thứ nguyên của động lượng:

[động lượng] = [khối lượng].[vận tốc] = ML

T

 thì xung lượng của lực trong khoảng thời gian hữu hạn

từ t0 đến t1 sẽ bằng

1 0

Thứ nguyên của xung lượng của lực:

[xung lượng của lực] = [khối lượng].[gia tốc].[thời gian]= m L2.T ML

3 Định lý động lượng

3.1 Định lý đạo hàm động lượng của chất điểm

Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm bằng hợp lực của cáclực tác dụng lên chất điểm ấy:

n k

Xét chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của các lực F ,F , ,F 1 2 n

chuyển động với gia tốc a Khi đó từ phương trình cơ bản của động lực họcchất điểm ta có:

n k

3.2 Định lý đạo hàm động lượng của cơ hệ

Đạo hàm theo thời gian động lượng của cơ hệ bằng vectơ chính của cácngoại lực tác dụng lên cơ hệ:

n ek

n n e n i

k k k

 = 0, tức là tổng các vectơ nội lực trong một

cơ hệ luôn luôn bằng không

Xét hai chất điểm A và B bất kỳ thuộc cơ hệ Gọi FA là lực do chấtđiểm B tác dụng lên chất điểm A và FBlà lực do chất điểm A tác dụng lênchất điểm B Theo định luật về lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai chấtđiểm ta có:

A B

F F do đó FA FB 0Vậy suy ra rằng tổng nội lực trong một cơ hệ luôn luôn bằng không,nghĩa là:

n ik

k 1

F



3.3 Định lý biến thiên động lượng của chất điểm

Biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian nào

đó bằng tổng hình học xung lượng của các lực tác dụng lên chất điểm trongkhoảng thời gian ấy:

1 0

t k

3.4 Định lý biến thiên động lượng của cơ hệ

Biến thiên động lượng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đóbằng tổng hình học xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên hệ trongkhoảng thời gian đó:

1 0

e e t

Các định lý đạo hàm động lượng của chất điểm và cơ hệ là định lýđộng lượng của chất điểm và cơ hệ dưới dạng vi phân, còn các định lý biếnthiên động lượng của chất điểm và cơ hệ là định lý động lượng của chất điểm

và cơ hệ dưới dạng giới nội

Các công thức (5.7), (5.8), (5.9) và (5.10) có thể viết dưới dạng tọa độ

đề các như sau:

Của chất điểm

k k

k k

k k

d

dtd

dtd

y k k e

z k k

k e 1y oy ky

k e 1z oz kz

Chú ý rằng nội lực không có mặt trong các định lý động lượng của cơ

hệ Từ đó suy ra rằng nội lực không làm biến đổi động lượng của cơ hệ

Xuất phát từ định lý biến thiên động lượng, trong những điều kiện nhấtđịnh của lực tác dụng ta có thể suy ra các tích phân đầu của phương trình viphân chuyển động của chất điểm và cơ hệ

Dưới đây ta xét trường hợp đặc biệt trong đó động lượng được bảotoàn Ta chỉ trình bày trường hợp của cơ hệ, và coi chất điểm là một cơ hệ đặcbiệt gồm có một chất điểm

4 Định luật bảo toàn động lượng

Nếu vectơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn luôn bằngkhông thì vectơ động lượng của hệ sẽ không đổi

Chuyển động của máy bay cánh quạt từ trạng thái tĩnh cũng được giảithích tương tự như vậy

4.2 Chuyển động bằng phản lực của máy bay và tên lửa trong chân không và theo phương ngang

Nhiên liệu trong máy bay phản lực hay tên lửa bị đốt cháy biến thànhhơi và phụt ra phía sau với một vận tốc lớn Xét máy bay hay tên lửa và nhiênliệu là một hệ Động lượng của hệ ấy luôn luôn không đổi và bằng không Khiluồng hơi nhiên liệu đã cháy có động lượng hướng về phía sau, vì vậy máybay hay tên lửa phải chuyển động về phía trước

Cuối cùng chú ý rằng định lý động lượng giúp ta giải quyết dễ dàngnhững bài toán mà trong đó các lực tác dụng không đổi hoặc các lực tác dụngchỉ phụ thuộc thời gian Đối với bài toán cơ hệ, vì không cần chú ý đến nộilực cho nên chọn cơ hệ sao cho tất cả hoặc một phần các lực chưa biết trởthành nội lực; làm như vậy thì việc giải bài toán sẽ đơn giản đi rất nhiều.

Áp dụng định lý biến thiên động lượng của chất điểm ở dạng chiếu lêntrục Ox ta có:

t

0 0

mx mx   ( F)dt (1)Trong đó: x0 V0

Khi tải trọng dừng lại thì x= 0 và F không đổi nên từ (1) ta suy ra:

0

tF

Bài giải:

Xét cơ hệ gồm súng và đạn, chọn trục x nằm ngang, khi đó ngoại lựctác dụng lên cơ hệ gồm có trọng lực đặt vào súng và đạn, phản lực của mặtnằm ngang, chúng đều có phương vuông góc với trục x

Áp dụng định lý đạo hàm động lượng của cơ hệ dạng chiếu lên trục x ta có:

e x

M



Đ s

x

v

 u



§2 ĐỊNH LÝ MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG

1 Mô men động lượng

1.1 Định nghĩa

Mô men động lượng của chất điểm đối với tâm O nào đó là mô mencủa vectơ động lượng của chất điểm lấy đối với tâm ấy Nó là một đại lượngvectơ, ký hiệu là l :0

0 0

Mô men động lượng của chất điểm đối với trục z là một lượng đại số,

ký hiệu lz, là mô men của vectơ động lượng của chất điểm đối với trục ấy:

lz = mz(m V ) = mV'.h (5.16)Trong đó V ' là hình chiếu của V lên mặt phẳng  vuông góc với trục

z, h là khoảng cách từ giao điểm của mặt phẳng  và trục z tới giá của vectơ

V '

lz lấy dấu cộng (+) nếu nhìn từ ngọn trục z xuống mặt phẳng  thấy V'

có chiều quay vòng quanh trục z ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu trừ (-)trong trường hợp ngược lại

Tương tự như mô men của lực trong tĩnh học, ta suy ra:

Chiếu vectơ mô men động lượng của chất điểm đối với một tâm lêntrục đi qua tâm ấy bằng mô men động lượng của chất điểm đối với trục ấy:

o

oz z

1.2 Tính mô men động lượng của chất điểm đối với các trục tọa độ

Giả sử tại thời điểm khảo sát, chất điểm có tọa độ (x, y, z) và có vận tốcV(x, y,z)

1.3 Mô men động lượng của cơ hệ

Mô men động lượng của cơ hệ đối với một tâm và một trục là tổng mômen động lượng của tất cả các chất điểm thuộc cơ hệ cùng lấy đối với tâm và