Ứng dụng vòng tròn lượng giác vào giải bài tập dao động điều hòa

Chuyển động tròn đều và dao động điều hòa Tính chất Hình chiếu của chuyển động tròn đều trên trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo biểu diễn một dao động điều hòa xAcos t  Rồi !!!. Nhận

Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn https://www.facebook.com/groups/326344657804816/

Gv: Chế Tân Kỳ

VÀO GIẢI BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Trước khi đi vào bài mới này, Thầy tua lại bài 1 + 2 “ đại cương về dao động điều hòa ”

một chút nhé các em, qua hai bài đã học các em đã biết các khái niệm về dao động cơ học, dao

động tuần hoàn và dao động điều hòa Giữa 3 khái niệm đó, các em có thể nhớ về mối liên hệ

giữa chúng như sau: Dao động điều hòa là con của dao động tuần hoàn và dao động tuần hoàn là

con của dao động điều hòa

Trong dao động điều hòa lại có phương trình ly độ là x Acos t  vận tốc là đạo

hàm của ly độ vx' Asin t  và cuối cùng là gia tốc 2  

a v x  A  t Ngoài ra, chúng ta còn biết về mối liên hệ giữa 3 đại lượng x v a, , khi tham số t bị khử

v

A x



Như đã trình bày ở trên và những gì được học, các em có thể thấy các công thức tính tới

thời điểm hiện tại đều có “ tổ tiên” là từ phương trình ly độ x Acos t , vậy có bao giờ

các em tự hỏi rằng “nó từ đâu đến” ?

Cũng bởi lẻ đó, Thầy gửi đến các em bài học này để giúp các em tự mình có thể trả lời

được câu hỏi trên cũng như giải quyết được các bài toán liên quan mà đề thi hay hỏi

Tài liệu được sưu tầm từ các nguồn khác nhau

1 Chuyển động tròn đều và dao động điều hòa

Tính chất

Hình chiếu của chuyển động tròn đều trên trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo biểu diễn một dao

động điều hòa xAcos t 

Rồi !!! bây giờ Thầy xét điểm P chuyển động ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn như hình

và hình chiếu của điểm P là điểm M nhé

Khi PP1 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu trùng với chính nó

Khi PP2 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M2

Khi PP3 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M3

Khi PP4 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M4 O

Khi PP5 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M5

Khi PP6 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M6

Khi PP7 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M7

Đến đây điểm P tiếp tục di chuyển nhưng ở nửa dưới của đường tròn như sau

Khi PP8 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M8

Khi PP9 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M9

Khi PP10 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M10 O

Khi PP11 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M11

Khi PP12 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M12

Khi PP13 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M M13M1

6

M M5 M3 M2

8

M M9 M11 M12

Đến đây điểm P lại tiếp tục di chuyển nhưng ở nửa trên của vòng tròn và các điểm M lại tiếp tục

trùng với các điểm M M M M M M M1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rồi điểm P tiếp tục di chuyển xuống nửa dưới

và điểm M lại tiếp tục trùng với các điểm M M M8, 9, 10,M11,M12,M13,

Nhận xét

Các em chỉ cần để ý đến sự di chuyển của điểm M thì sẽ thấy, nó chuyển động qua lại vị trí cân

bằng là gốc tọa độ O và giới hạn chuyển động của nó là bán kính của đường tròn R

Như vậy rõ ràng, khi điểm P chuyển động trên vòng tròn lượng giác thì hình chiếu của nó là điểm

M lại chuyển động theo nguyên lý của dao động điều hòa với VỊ TRÍ CÂN BẰNG LÀ GỐC

TỌA ĐỘ O và BIÊN ĐỘ AR đến đây ta đã biết rõ hơn về đại lượng trong phương trình ly độ

cos

x A  t là biên độ A = bán kính của vòng tròn Vậy còn  và  là gì

Ở đây ta quay lại một chút về lớp 10 các em nhé

Khi một vật chuyển động trên một đường tròn thì quãng đường vật đi được trên đường tròn ( cung

tròn ) là bao nhiêu thì tương ứng với nó sẽ quét được một góc bấy nhiêu

Vậy ta xét về “ góc”

Khi vật chuyền động trên vòng tròn từ điểm này đến điểm kia thì vật sẽ quét góc  hay hiểu nôm

na là quãng đường lúc này tính theo góc là S  mà vận tốc thì bằng quãng đường chia thời gian

t



là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên về tốc độ của vật nhưng xét trên phương diện góc quét

Tiếp tục ta xét về “ đường tròn ( cung tròn ) ”

Khi vật chuyển động trên cung tròn thì sẽ xuất hiện một vận tốc tương ứng được gọi là “ TỐC ĐỘ

DÀI ” có biểu thức là v d  A

Nói tóm lại: Khi vật chuyển động trên vòng tròn thì có HAI LOẠI VẬN TỐC xuất hiện MỘT

LOẠI TÍNH THEO GÓC QUÉT là " "

Ví dụ Một điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính R với tốc độ

100(cm s/ ) Gọi P là hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo khi P cách

O một đoạn 6 (cm) có tốc độ là 50(cm s/ ) Giá trị của R là

A. 4 3 (cm) B 2, 5 (cm) C. 6 3 (cm) D 5(cm)

Hướng dẫn giải

Phân tích: Bài này yêu cầu các em tìm bán kính R thật chất chính là tìm biên độ dao động A,

mà đề bài đã cho các đại lượng ly độ x 6 (cm) và vận tốc v 50 (cm s/ ) ta nghĩ ngay đến biểu

thức độc lập với thời gian

Như các em đã biết, vật chuyển động từ VTCB ra hai biên thì nó sẽ chuyển động CHẬM DẦN

lúc này thì vecto vận tốc và vecto gia tốc sẽ ngược chiều nhau ( nhớ: vecto gia tốc luôn

hướng về vị trí cân bằng ), còn khi vật chuyển động từ hai biên về VTCB thì nó sẽ chuyển động

NHANH DẦN lúc này vecto vận tốc và vecto gia tốc chùng chiều

Điều này được thể hiện trên vòng tròn lượng giác như sau nè các em

vận tốc ngược chiều dương   còn vecto gia tốc luôn hướng về VTCB nên cũng chuyển v 0

động ngược chiều dương   a 0

vecto vận tốc cùng chiều dương   còn vecto gia tốc luôn hướng về VTCB nên cũng v 0

chuyển động ngược chiều dương   a 0

 II  I

 III

chuyển động cùng chiều dương   a 0

Ví dụ 1 Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình

os 5

2

xAc  t 

  (cm) Vecto vận tốc và vecto gia tốc sẽ cùng chiều dương của trục Ox

trong khoảng thời gian nào (kể từ lúc t  ) sau đây 0

  (cm) Vecto vận tốc và vecto gia tốc sẽ cùng chiều âm của trục Ox trong

khoảng thời gian nào ( kể từ lúc t  ) sau đây 0

A. 0, 2 ( )s   t 0, 3 ( )s B 0 ( )s   t 0,1 ( )s

Đến đây nếu các em giải bất phương trình bình thường thì thì vế trái sẽ cho kết quả t  mà thời 0

gian luôn dương

Vì thế ta cộng hai vế bất phương trình cho một lượng 2  0 2 5 2

Thay tt0 vào pha dao động của vật t0 ta xác định được vị trí của vật trên vòng tròn

lượng giác và từ đó xác định được chiều chuyển động của vật

Nếu vị trí ở nửa trên vòng tròn lượng giác  vật đi theo chiều âm (ly độ giảm)

Nếu vị trí ở nửa dưới vòng tròn lượng giác  vật đi theo chiều dương (ly độ tăng)

Thay tt0 vào phương trình ly độ x Acos t  ta tìm được ly độ của vật

Ví dụ 1 Một vật dao động điều hòa với phương trình 2 2 os 10 3

A. Ly độ 2 (cm) và đang đi theo chiều âm

B Ly độ 2 (cm) và đang đi theo chiều dương

C Ly độ 2 (cm) và đang đi theo chiều dương

D Ly độ 2 (cm) và đang đi theo chiều âm

Thay t  0 vào pha dao động của vật 10 0 3 3

  thuộc nửa trên của vòng tròn lượng

giác  vật chuyển động theo chiều âm

Thay t  0 vào phương trình ly độ xAcos t  ta tìm được ly độ của vật như cách 1 là

A. nhanh dần theo chiều dương của trục Ox

B. nhanh dần theo chiều âm của trục Ox

C. chậm dần theo chiều dương của trục Ox

D. chậm dần theo chiều âm của trục Ox

Đến đây ta có hai sự lực chọn, vì vật chuyển động theo chiều âm có hai trường hợp sau

TH1 Nếu vật đi từ x   chuyển động chậm dần  chọn D A x 0

TH2 Nếu vật đi từ x    chuyển động nhanh dần  chọn B 0 x A

Vì Vậy để biết chính xác ta phải biết lúc t  5 ( )s vật đang ở đâu nên ta thay t 5( )s vào

Vhư vậy dể thấy lúc t 5( )s vật đang ở nửa trên vòng tròn lượng giác và ở góc phần tư thứ ( )I

 vật đang chuyển động nhanh dần theo chiều âm của trục Ox

 chọn đáp án B

Lưu ý 201 25.2



   thì lượng 25.2 không cần quan tâm tới vì khi quay được k.2 vật

trở lại trạng thái ban đầu ( trạng thái ban đầu là cùng vị trí và cùng vận tốc )

Ví dụ 3 Một vật dao động điều hòa với phương trình 2 os 2

A Đang tăng lên B Có độ lớn cực đại

C Đang giảm đi D. Có độ lớn cực tiểu

t

Suy ra lúc này vật đang ở nửa dưới của vòng tròn lượng giác và thuộc góc phần tư thứ (III)

 vận tốc đang chuyển động theo chiều dương và đang tăng, mà động năng 1 2

W2

d  mv tỉ lệ với vận tốc nên động năng cũng đang tăng  chón đáp án A

BÀI TOÁN Tìm Trạng Thái Quá Khứ Tương Lai Đối Với Bài Toán Không Cho Biết Phương Trình

Của x v a F, , , ,

Phương pháp

Dựa vào trạng thái ở thời điểm t0 để xác định vị trí tương ứng trên vòng tròn lượng giác

Để tìm trạng thái ở thời điểm QUÁ KHỨ t0  ta quét theo t chiều âm một góc

Ví dụ 1 Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 1 (m s/ ) trên đường tròn đường

kính 0, 5 ( )m Hình chiếu M của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hòa '

M Hiện tại

O

Biết tại thời điểm tt0 điểm M đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm Hỏi trước thời điểm và '

sau thời điểm t0 là 8, 5 ( )s hình chiếu M ở vị trí nào và đi theo chiều nào? '

14( / )

0, 25

d d

 Để tìm trạng thái ở thời điểm QUÁ KHỨ t t0 8, 5 ta chỉ cần quay theo chiều âm của

vòng tròn lượng giác một góc 0,82 147, 6o từ vị trí ban đầu của M là tại VTCB

Quá khứ quay theo chiều âm

Lúc này ta thấy điểm M trong quá khứ ở nửa dưới đường tròn lượng giác nên để chuyển động

đến vị trí M hiện tại thì điểm M phải đi theo chiều dương còn vị trí x  ta làm như sau ?

O

Tiếp theo ta làm tương tự nhưng quay theo chiều dương để tìm Trạng thái ở thời điểm TƯƠNG

LAI t t0 8, 5 ta chỉ cần quay theo chiều dương của vòng tròn lượng giác một góc

0,82 147, 6o từ vị trí ban đầu của M và VTCB

Lúc này ta thấy điểm M tương lai ở nửa dưới đường tròn lượng giác nên sau thời gian

Ở thời điểm quá khứ vật đang ở ly độ x 0,132 ( )m và đang đi theo chiều dương

Ở thời điểm tương lai vật đang ở ly độ x  0,132( )m và đang đi theo chiều dương

Lúc này ta kết luận vật đang ở ly độ x 0,132( )m và đang đi theo chiều dương

Để tìm trạng thái TƯƠNG LAI của điểm M sau một khoảng thời gian 8, 5 ( )s ta thay

Lúc này ta kết luận vật đang ở ly độ x  0,132( )m và đang đi theo chiều dương

Ví dụ 2 Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 0, 75 (m s/ ) trên đường tròn

đường kính 0, 25 ( )m Hình chiếu M của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động '

điều hòa Biết tại thời điểm ban đầu, điểm M đi qua vị trí '

Vậy lúc này điểm M đang ở li độ x 24, 9(cm) và đang chuyển động theo chiều dương

Ví dụ 3 Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox ( với O là gốc tọa độ trùng với vị

trí cân bằng ) có chu kỳ T 2( )s , biên độ A Sau khi dao động được 4, 25 ( )s vật ở ly độ cực

đại Tại thời điểm ban đầu vật đi theo chiều

t   bài toán này hỏi về trạng thái quá khứ

Ta có: Góc mà chất điểm quét được trong khoảng thời gian t 4, 25( )s là

Ví dụ 4 Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox ( với O là gốc tọa độ trùng với vị

trí cân bằng ) có chu kỳ T 1,5( )s , biên độ A Sau khi dao động được 3, 25 ( )s vật ở ly độ cực

tiểu Tại thời điểm ban đầu vật đi theo chiều

Như vậy tại thời điểm ban đầu vật ở vị trí

2

A

x   và đang đi theo chiều âm

Suy ra chọn đáp án D

Ví dụ 5 Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 0, 75 (m s/ ) trên đường tròn

đường kính 0, 5 ( )m Hình chiếu M của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều '

hòa Biết tại thời điểm ban đầu, điểm M đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm Hỏi tại thời điểm '

8

t  ( )s hình chiếu M qua ly độ '

A 10,17(cm) theo chiều dương B 22, 64(cm) theo chiều âm

C 22, 64 (cm) theo chiều dương D 22, 64 (cm) theo chiều âm

Lưu ý: Đối với bài toán này nếu như viết được phương trình ly độ thì bài toán sẽ dễ dàng hơn

nhiều so với cách làm bằng vòng tròn lượng giác

Ví dụ 6 Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A tại thời điểm t 1 1, 2 ( )s vật

đang ở vị trí

2

A

x  và chuyển động theo chiều âm, tại thời điểm t 2 9, 2 ( )s vật đang ở biên âm

và đã đi qua vị trí cân bằng 3 lần tính từ thời điểm t1 Hỏi tại thời điểm ban đầu vật đang ở đâu

A. 0,98A đang đi theo chiều âm B. 0,98A đang đi theo chiều âm

C 0,98A đang đi theo chiều dương D. 0,98A đang đi theo chiều dương

Hướng dẫn giải

Tại thời điểm ban đầu vật đang ở ly độ 1

2

A

x  ta quay một vòng ( tương đương một T) thì thấy

vật đi qua vị trí biên âm 2 lần, chúng ta quay tiếp một góc 2

Câu 1 Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 10(cm) Với tốc

độ 100(cm s/ ) Hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động

điều hòa với tần số góc là

A 10(rad s/ ) B 20(rad s/ )

C 5(rad s/ ) D 100(rad s/ )

Câu 2 Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 5(cm) với tốc độ

v Gọi P là hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động

điều hòa với tần số góc 20 (rad s/ ) Giá trị của v là

A 10(cm s/ ) B 20(cm s/ )

C 50(cm s/ ) D 100(cm s/ )

Câu 3 Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O với tốc độ 50(cm s/ ) Hình

chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc

20(rad s/ ) và biên độ là

A 10(cm) B 2, 5 (cm)

Câu 4 Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 10 (cm) với tốc độ

100(cm s/ ) Gọi P là hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo khi

P cách O một đoạn 5 3 (cm)nó có tốc độ là

Câu 5 Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 10 (cm) với tốc

độ 100(cm s/ ) Gọi P là hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo

khi P cách O một đoạn b (cm) có tốc độ là 50 3 (cm s/ ) Giá trị của b là

A 10(cm) B 2, 5 (cm)

Câu 6 Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình xAcos 5 t (cm)

Vecto vận tốc hướng theo chiều âm và vecto gia tốc hướng theo chiều dương của trục

Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ lúc t  ) sau đây 0

(cm) Vecto vận tốc hướng theo chiều âm và vecto gia tốc hướng theo chiều dương của

trục Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ lúc t  ) sau đây 0

A 0, 2 ( )s  0, 3 ( )s B 0, 05( )s  0,15 ( )s

C 0, 3 ( )s  0, 4 ( )s D 0,1 ( )s  0, 2 ( )s

Câu 8 Chọn câu sai Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox Góc O trùng với vị trí cân bằng

của vật vào thời điểm t vật đi qua điểm M có vận tốc v  20 (cm s/ ) và gia tốc a  2

2(m s/ ) Vào thời điểm đó vật đang

A chuyển động nhanh dần B có li độ dương

C chuyển động chậm dần D đang đi về O

Câu 9 Chọn phát biểu sai

A Dao động điều hòa là dao động mà li độ được mô tả bằng một định luật dạng sin (

hoặc cosin ) theo thời gian: xAcos t  trong đó A, ,  là những hằng số

B Dao động điều hòa có thể coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống

một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo

C Dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng một vecto không đổi

D Khi một vật dao động điều hòa thì động năng của vật đó cũng dao động tuần hoàn

Câu 10 Một vật dao động điều hòa theo phương trình 4 cos 17

3

x  t

  (cm), t đo bằng giây

Người ta chọn mốc thời gian là lúc vật có

A li độ  ( )2 cm và đang đi theo chiều âm

B li độ  ( )2 cm và đang đi theo chiều dương

C li độ 2 (cm) và đang đi theo chiều dương

D li độ 2 (cm) và đang đi theo chiều âm

Câu 11 Một vật dao động điều hòa theo phương trình 3cos 2

3

x  t 

 (cm), t đo bằng giây

Người ta chọn mốc thời gian là lúc vật có

A li độ 1,5(cm) và đang đi theo chiều dương

B li độ 1,5 (cm) và đang đi theo chiều dương

C li độ 1,5 (cm) và đang đi theo chiều âm

D li độ 1,5(cm) và đang đi theo chiều âm

Câu 12 Chọn phương án sai khi nói về dao động điều hòa

A thời gian dao động đi từ vị trí cân bằng ra đến biến bằng thời gian đi ngược lại

B thời gian đi qua vị trí cân bằng 2 lần liên tiếp là 1 chu kỳ

C tại mỗi li độ có 2 giá trị của vận tốc