Giảm bậc hệ thống xử lý tín hiệu số và ứng dụng trong viễn thông

Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là ứng dụng giảm bậc mô hình cho bộ lọc số cụ thể như sau: Đề xuất thuật toán giảm bậc mô hình đảm bảo tính ổn định, có tốc độ tính toán nhanh hơ

LỜI CẢM ƠN

Bản luận án được hoàn thành trên cơ sở các kết quả nghiên cứu của tôi thực

hiện tại Trường Đại học Bách khoa Hà nội, dưới tập thể hướng dẫn là thầy PGS.TS Nguyễn Quốc Trung và PGS.TS Nguyễn Hữu Công Trước tiên, tôi xin bày tỏ

lòng biết ơn các thầy hướng dẫn đã dành cho tôi thời gian, sự quan tâm chỉ bảo trong suốt quá trình học tập, giảng dạy và nghiên cứu Tôi cũng gửi tới bố mẹ và người thân lòng biết ơn sâu sắc đã cho tôi nghị lực trước những thách thức trong quá trình thực hiện luận án

Nhân dịp này, tôi xin được cám ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu Trường Đại học Bách khoa, Viện đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Tôi xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong Ban giám đốc, các thầy cô trong Viện điện tử - viễn thông, các thầy cô giáo trong bộ môn Kỹ thuật thông tin, Viện điện tử - viễn thông, Trường Đại học Bách khoa Tôi xin cám ơn và ghi nhận những góp ý, trao đổi về những vấn

đề học thuật, những đánh giá khách quan và những động viên khích lệ của các thầy

cô, các nhà khoa học trong và ngoài Trường Đại học Bách khoa trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của tôi Tôi cũng xin chân thành cảm ơn cơ quan nơi công tác Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp đã tạo mọi điều kiện cho tôi để tôi có thể hoàn thành được nhiệm vụ của mình

Cuối cùng tôi xin dành những lời yêu thương nhất gửi đến vợ và con gái yêu quý đã cùng với tôi vượt qua tất cả khó khăn trong cuộc sống để tôi hoàn thành bản luận án này

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Tác giả luận án

Đào Huy Du

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 7

MỞ ĐẦU 8

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 11

1.1 GIỚI THIỆU 11

1.2 PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 13

1.2.1 Phát biểu bài toán bậc mô hình 13

1.2.2 Phương pháp tiếp cận để giảm bậc mô hình 13

1.3 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 14

1.3.1 Phương pháp ghép hợp 16

1.3.2 Phương pháp trên cơ sở trùng khớp tại các thời điểm 18

1.3.3 Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị 21

1.3.4 Phương pháp cân bằng nội 22

1.3.5 Các phương pháp sử dụng phép gần đúng tối ưu 23

1.3.6 Phương pháp tối ưu theo trạng thái 24

1.3.7 Phương pháp cân bằng xấp xỉ 25

1.4 MỤC TIÊU CỦA LUẬN ÁN 26

1.5 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN 27

Chương 2: CÁC THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 28

2.1 CÁC CÔNG CỤ TOÁN HỌC SỬ DỤNG TRONG CÁC THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 28

2.1.1 Các phép phân tích ma trận 28

2.1.1.1 Phép phân tích giá trị suy biến (SVD – Singular Value Decomposition) 28

2.1.1.2 Phép phân tích Schur 29

2.1.1.3 Phép phân tích Cholesky 30

2.1.2 Chuẩn H∞ của hệ tuyến tính 30

2.1.3 Gramian điều khiển và Gramian quan sát 31

2.2 THUẬT TOÁN BALANCED TRUNCATION TRONG GIẢM BẬC MÔ HÌNH 34

2.2.1 Đưa về hệ tương đương cân bằng 34

2.2.2 Các tính chất của hệ tương đương cân bằng 34

2.2.3 Rút gọn hệ tương đương cân bằng bằng phương pháp chặt 35

2.2.4 Các tính chất của hệ rút gọn 35

2.2.5 Đánh giá sai số của hệ rút gọn 36

2.2.6 Ưu nhược điểm của Thuật toán 2.2.4 36

2.3 THUẬT TOÁN MODAL TRUNCATION 37

2.3.1 Đưa về hệ tương đương với ma trận trạng thái A có dạng đường chéo 37 2.3.2 Rút gọn hệ tương đương với ma trận trạng thái A có dạng đường chéo bằng phương pháp chặt 37

2.3.3 Các tính chất của hệ rút gọn 38

2.3.4 Ưu nhược điểm của Thuật toán 2.3.2 38

2.4 THUẬT TOÁN MỚI TRONG GIẢM BẬC MÔ HÌNH 40

2.4.1 Đưa về hệ tương đương với ma trận trạng thái A có dạng tam giác trên40 2.4.2 Các tính chất của hệ tương đương với ma trận trạng thái A có tam giác trên 40

2.4.3 Mối liên hệ giữa hệ tương đương tam giác trên và hệ tương đương cân bằng 41

2.4.4 Rút gọn hệ tương đương tam giác trên bằng phương pháp chặt 42

2.4.5 Các tính chất của hệ rút gọn 42

2.4.6 Đánh giá sai số của hệ rút gọn 43

2.4.7 Ưu nhược điểm của Thuật toán 2.4.4 45

2.5 Kết luận 47

Chương 3: ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH CHO 48

BỘ LỌC SỐ VÀ BANK LỌC SỐ 48

3.1 GIỚI THIỆU 48

3.2 THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ TỪ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ CHEBYSHEV 49

3.2.1 Đa thức Chebyshev 49

3.2.2 Bộ lọc tương tự Chebyshev loại 1 51

3.3 BANK LỌC SỐ NHIỀU NHỊP HAI KÊNH 58

3.3.1 Bank lọc số nhiều nhịp hai kênh và bank lọc gương cầu phương QMF 58 3.3.2 Phân tích các sai số trong bank lọc số nhiều nhịp 60

3.3.2.1 Sai số do thành phần răng cưa 60

3.3.2.2 Biểu thức của tín hiệu ra được khôi phục x nˆ( ) 61

3.3.2.3 Khử thành phần răng cưa 62

3.3.2.4 Méo biên độ và méo pha 63

3.3.3 Bank lọc QMF 2 kênh không có răng cưa 64

3.3.4 Biểu diễn theo phân hoạch nhiều pha bank lọc số QMF 65

3.4 ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MÔ HÌNH THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ IIR và QMF BẬC THẤP 67

3.4.1 Bộ lọc số IIR 67

3.4.1.1 Các yêu cầu kỹ thuật của bộ lọc số IIR 67

3.4.1.2 Phát biểu bài toán 69

3.4.1.3 Thiết kế bộ lọc IIR cấu trúc dàn bậc thang có sử dụng giảm bậc mô hình 70

A Giảm bậc hệ theo phương pháp cân bằng 72

B Giảm bậc hệ theo phương pháp Modal Truncation 73

C Giảm bậc hệ theo phương pháp rút gọn tương đương dạng tam giác trên 75

3.4.2 Thiết kế bank lọc QMF IIR 78

3.4.2.1 Đặt vấn đề bài toán 78

3.4.2.2 Thiết kế bank lọc QMF IIR 79

3.4.2.3 Thực hiện cân bằng và giảm bậc mô hình 80

3.4.2.4 Kết quả mô phỏng đối với bank QMF IIR trong phần 3.4.1 86

3.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 89

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 96

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

σ : là ký hiệu giá trị suy biến lớn nhất của ma trận F

(A bal,B bal,C bal,D bal): hệ tương đương cân bằng

mod mod mod mod

(A ,B ,C ,D ): hệ tương đương Modal Truncation

||M||F: là chuẩn Eculid của ma trận M (hay chuẩn Frobenius)

||M||2: là phổ tiêu chuẩn – chuẩn bậc 2 của ma trận M

||v||: chuẩn của một véctơ trong không gian Eculid Rn

Các chữ viết tắt:

FDM Frenquence Division Multiplex Ghép kênh theo tần số

FIR Finite impulse response Đáp ứng xung chiều dài hữu hạn IIR Infinite impulse response Đáp ứng xung chiều dài vô hạn LTI Linear time invariant Hệ tuyến tính

MIMO Multi-input multi-output Nhiều đầu vào nhiều đầu ra

MOR Model Order Reduction Giảm bậc mô hình

PR QMF Perfect Reconstruction QMF Bank lọc QMF khôi phục hoàn hảo

QMF Quadrature Mirror Filter bank Bank lọc số gương cầu phương SISO Single-Input Single-Output Một đầu vào một đầu ra

SVD Singular Value Decomposition Phân tích giá trị suy biến

TDM Time Division Multiplex Ghép kênh theo thời gian

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 3.1 Đồ thị hình ellipse………

Hình 3.2 Bank lọc số nhiều nhịp hai kênh………

Hình 3.3 Minh họa một vài trường hợp của đáp ứng biên độ H e0( jω) và 1( j ) H e ω ………

Hình 3.4 Cấu trúc nhiều pha của bank lọc phân tích và bank lọc tổng hợp… Hình 3.5 Bank lọc số QMF hai kênh dưới dạng cấu trúc nhiều pha…………

Hình 3.6 Cấu trúc bộ lọc IIR dàn bậc thang bậc thứ N………

Hình 3.7 Đặc tính biên tần, pha của hệ gốc và hệ giảm bậc………

Hình 3.8 Đặc tính biên tần, pha của hệ gốc và hệ giảm bậc ………

Hình 3.9 Đặc tính biên tần, pha của hệ gốc và hệ giảm bậc ………

Hình 3.10 Cấu trúc bộ lọc IIR bậc 2 dạng bậc thang ………

Hình 3.11 Khối QMF hai kênh………

Hình 3.12 Hệ cân bằng tương đương ………

Hình 3.13 Đặc tính biên tần của bank lọc QMF IIR ………

Hình 3.14 Đặc tính biên tần của bank lọc QMF IIR ………

Hình 3.15 Đặc tính biên tần, pha của bank lọc QMF IIR ………

Hình 3.16 Đặc tính biên tần, pha của bank lọc QMF IIR bậc 2 của 3 phương pháp giảm bậc………

Hình 3.17 Đặc tính biên tần, pha của bank lọc QMF IIR bậc 2 ………

Hình 3.18 Đặc tính biên tần, pha của bank lọc QMF IIR bậc 2 ………

Hình 3.19 Đặc tính biên tần, pha của bank lọc QMF IIR bậc 2 ………

Hình 3.20 Đặc tính biên tần, pha của bank lọc QMF IIR bậc 2 ………

55

58

59

66

67

71

73

74

76

77

79

79

82

83

85

85

86

87

88

88

MỞ ĐẦU

Đặt vấn đề

Hiện nay, mạng viễn thông đang phát triển rất nhanh chóng và rộng rãi Đi cùng với sự thay đổi đó hình thành nên một hệ thống với nhiều nút mạng, nhiều môi trường truyền dẫn phức tạp, nhiều đầu vào, nhiều đầu ra với nhiều dịch vụ băng rộng Tuy nhiên, để xử lý các vấn đề phức tạp trên đòi hỏi phải đảm bảo cao về chất lượng và độ chính xác Thông thường để mô tả các hệ thống trên ta thường dựa trên

mô hình toán học của đối tượng, và việc xây dựng mô hình toán học của đối tượng trong mạng viễn thông là rất phức tạp Thực vậy, do yêu cầu về độ chính xác khi thiết kế hoặc mô phỏng nên mô hình toán học để mô tả những hệ thống vật lý trong viễn thông thường có kích thước lớn, phức tạp Do đó,mô hình toán học có bậc cao

và phức tạp nên đòi hỏi thời gian tính toán rất lâu, thậm chí đến vài ngày (trên một máy tính cá nhân), vì vậy không bảo đảm tính thời gian thực làm ảnh hưởng tới chất lượng hệ thống và một điều rất quan trọng để thực thi hệ thống viễn thông nữa đó là việc thiết kế, tính khả thi Nếu mô hình toán học lớn quá thì các mạch điện để đáp ứng rất phức tạp thậm chí không thiết kế được, còn nếu thiết kế được thì vấn đề cần hiệu chỉnh rất khó khăn vì lúc đó ta phải hiệu chỉnh rất nhiều phần tử, như vậy là không khả thi Đều này làm cho việc giảm sự phức tạp trong tính toán, thiết kế và đáp ứng thời gian thực là vấn đề rất cấp thiết

Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là ứng dụng giảm bậc mô hình cho bộ lọc số cụ thể như sau:

Đề xuất thuật toán giảm bậc mô hình đảm bảo tính ổn định, có tốc độ tính toán nhanh hơn, có thể đáp ứng tính thời gian thực;

Thực hiện thuật toán thiết kế trên bộ lọc số;

Mô phỏng các thuật toán giảm bậc mô hình đối với bộ lọc số Chebyshev IIR và bank lọc QMF IIR sử dụng công cụ Matlab;

Đánh giá chất lượng của phương pháp giảm bậc mới so với hai phương pháp hay được sử dụng hiện nay

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

A, Đối tượng nghiên cứu: Bộ lọc số IIR, bank lọc QMF, bank lọc QMF IIR

B, Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán xử lý tín hiệu số ứng dụng trong viễn

thông

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án nghiên cứu

A, Ý nghĩa khoa học: Luận án đề xuất thuật toán chuyển một hệ phương

trình vi phân tuyến tính bậc cao về hệ bậc thấp hơn tương đương Sự tương đương được hiểu là các đáp ứng đầu ra của hai hệ trong miền thời gian và miền tần số là như nhau hoặc sai khác nhau trong phạm vi cho phép

Với hệ bậc thấp hơn, hiển nhiên khi lập trình tính toán sẽ nhanh hơn; hoặc là nếu sử dụng các thiết bị vật lý để chế tạo theo mô hình toán sẽ đơn giản hơn Điều này có ý nghĩa khoa học cao

B, Ý nghĩa thực tiễn: Kết quả nghiên cứu có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh

vực khác nhau như: điện tử viễn thông, kỹ thuật điều khiển, công nghệ thông tin … Tuy nhiên luận án đi sâu việc ứng dụng thực tiễn trong viễn thông, đó là giảm bậc

mô hình trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số

Các kết quả mới đạt được

1 Luận án chứng minh: với một hệ tuyến tính, bất biến theo thời gian có bậc n, tồn tại một ma trận T là ma trận duy nhất, không suy biến để hệ ban đầu có thể chuyển sang một hệ khác tương đương

2 Luận án đưa ra hai thuật toán giảm bậc mô hình mới Thuật toán 2.4.1 và Thuật toán 2.4.4, 1 bổ đề, 1 định nghĩa, 2 định lý có chứng minh cụ thể kèm theo

3 Sử dụng thuật toán giảm bậc mô hình mới ứng dụng giảm bậc bộ lọc số đưa ra những kết quả có ý nghĩa sau:

+ Khi sử dụng bank lọc QMF cho thấy việc bù méo giữa hai thành phần bộ lọc thông thấp và lọc thông cao là rất tốt, nếu ta chọn được hệ số bộ lọc thì có

+ Cấu trúc của bộ lọc đơn giản hơn;

+ Bank lọc QMF IIR bậc 2 khi sử dụng giảm bậc mô hình bằng phương pháp mới có hiệu quả hơn so với 2 phương pháp cân bằng nội và Modal Truncation;

+ Đã giảm được số phép tính toán trong bộ lọc số, tăng bề rộng phổ;

+ Thiết kế các bộ lọc số và bank lọc QMF IIR bậc thấp dễ dàng hơn so với các bank lọc bậc cao;

+ Giảm được các hệ số của bộ lọc số cũng như các bộ trễ

Nội dung của luận án

Chương 1 có tiêu đề “Tổng quan về bài toán giảm bậc mô hình” trình bày bài toán giảm bậc mô hình và cách tiếp cận nghiên cứu; phân tích tình hình trong và ngoài nước liên quan đến luận án; chỉ ra mục tiêu nghiên cứu và đóng góp chính của luận án

Chương 2 có tiêu đề “Xây dựng thuật toán giảm bậc mô hình” Tác giả tiếp cận 2 phương pháp giảm bậc mô hình ứng dụng có hiệu quả nhất, từ đó rút ra cách thức xây dựng thuật toán mới, chứng minh tính đúng đắn bằng các bổ đề, định nghĩa và định lý có chứng minh cụ thể

Chương 3 có tiêu đề “Ứng dụng thuật toán giảm bậc mô hình cho bộ lọc số” gồm 2 nội dụng chính: nội dung thứ nhất phân tích bộ lọc số Chebyshev và bank lọc QMF IIR; nội dung thứ 2 mô tả ứng dụng thuật toán giảm bậc cho bộ lọc số So sánh với các thuật toán để thấy được hướng tiếp cận nghiên cứu theo phương pháp này cho ta việc đóng góp hay hiệu quả sử dụng của thuật toán giảm bậc mô hình

Phần kết luận, tổng kết các vấn đề nghiên cứu; phương pháp và công cụ sử dụng; những kết quả và đóng góp của luận án trong quá trình nghiên cứu và các định hướng nghiên cứu tiếp theo

Tất cả các đóng góp của tác giả được thể hiện qua các công trình nghiên cứu khoa học đã công bố, được tóm tắt ở phần cuối luận án

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH

1.1 GIỚI THIỆU

Hiện nay, với công nghệ kỹ thuật phát triển như vũ bão dẫn tới việc đáp ứng yêu cầu kỹ thuật đặt ra là rất cần thiết Để đáp ứng được độ chính xác cao, thì các

mô hình toán thu được từ các tiêu chuẩn mang tính lý thuyết liên quan đến hệ thống

đã cho thường là một mô hình có bậc lớn Các hệ thống bậc cao sẽ khó phân tích và

do đó việc thiết kế bộ điều khiển trở nên quá khó khăn Như vậy, rõ ràng là cần phải

có các mô hình nhỏ hơn Các mô hình nhỏ hơn là các mô hình mô tả hành vi của hệ thống một cách tương đối chính xác, giảm thiểu được các yếu tố bất lợi của các chi tiết không cần thiết

Điều này cho phép mô hình hóa một số hiện tượng phức tạp trong một thời gian chấp nhận được Trước hết, các mô hình này nên nhỏ hơn so với mô hình ban đầu, có nghĩa là chúng đòi hỏi ít tính toán hơn và bản chất của chúng phải gần đúng nhất với mô hình gốc Các mô hình nhỏ hơn phải đảm bảo được cả về ý nghĩa vật lý cũng như toán học, điều này làm cho mô hình giảm bậc trở nên hiệu quả và có thể giải thích được Các quá trình toán học chính để tìm ra các mô hình nhỏ hơn hình

thành nên lĩnh vực mà ta gọi là “giảm bậc mô hình (MOR: Model Order Reduction)” Lý do của tên gọi này là vì mô hình được giảm kích thước bằng một

kỹ thuật nào đó Mô hình được giả thiết là đã có thực tìm được từ các định luật vật

lý và các giả thiết Đôi khi các phương pháp gọi một cách đơn giản là giảm bậc mô hình hóa, điều này có thể giải thích cho nhiệm vụ của mô hình hóa theo cách mô hình tìm được phải nhỏ hơn

Trong nhiều trường hợp, chúng ta hoàn toàn có thể giảm kích thước của mô hình Ta đã thấy rằng, các định luật toán học của sự rời rạc hóa có thể dẫn tới các

mô hình quá lớn và có nhiều chi tiết đối với độ chính xác yêu cầu Trong các ứng dụng, có thể cần đến một sai số nhỏ Sự linh hoạt này tạo ra một khoảng trống cho các xấp xỉ hóa nhỏ hơn và các phương pháp xử lý nhanh hơn Hơn thế nữa, ta

đầu ra đầu vào đã biết trong khi đó mô hình chứa thông tin đầu vào không bị áp đặt) Giảm bậc của mô hình là làm sao cố gắng để thu được một cách nhanh chóng các đặc trưng quan trọng về cấu trúc Điều này có nghĩa là trong bước đầu của quá trình các thuộc tính cơ bản nhất của mô hình gốc phải được thể hiện bằng xấp xỉ hóa nhỏ hơn Tuy nhiên, ở một thời điểm xác định quá trình giảm được dừng lại Tại điểm đó với mọi thuộc tính quan trọng cần thiết của mô hình gốc phải được giữ lại với độ chính xác nhất định

Giảm mô hình trở nên quan trọng bởi vì các thuật toán giảm mô hình nhằm mục đích để tạo ra các hệ thống thấp chiều mà nắm bắt đặc điểm đáp ứng giống như các hệ thống ban đầu trong khi cho phép cải thiện đáng kể trong thời gian mô phỏng

và kết quả là yêu cầu lưu trữ giảm đáng kể Nói cách khác, các kết quả giảm các mô hình thấp chiều biểu diễn các hệ thống ban đầu cho một dung sai lỗi nhất định theo quy định và bảo tồn các tính năng cần thiết

Giảm bậc của hệ tuyến tính bất biến được đáp ứng trong hầu hết các lĩnh vực của kỹ thuật điện - điện tử, điện tử viễn thông Việc sử dụng các mô hình giảm bậc cho các mô phỏng kiểm tra của các hệ phức tạp dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng các mô hình đủ bậc Điều này là do thực tế các hàm truyền bậc thấp có thể được phân tích một cách dễ dàng hơn Do đó, các thuật toán giảm bậc là các kỹ thuật tiêu chuẩn trong tập hợp các mạch tích hợp để phân tích, xấp xỉ và mô phỏng

mô hình xuất phát từ việc kết nối lẫn nhau và phân tích cấu trúc điện từ

Các phương pháp giảm thông thường có giá trị về mặt lý thuyết đối với việc giảm bậc của các hệ MIMO tuyến tính tỷ lệ lớn trong miền tần số [1-4] Một số phương pháp tồn tại dựa trên các thuộc tính toàn cục của G(s) đã được đề xuất dưới dạng lý thuyết phương pháp miền tần số sử dụng khai triển hệ số liên tục của G(s)

và các xấp xỉ hóa Pade kinh điển đã trở nên nổi tiếng vì tính đơn giản tính toán và đáp ứng được một số khoảng thời gian đầu Tuy nhiên tính ổn định của các mô hình

đã giảm không đảm bảo, thậm trí khi cả hệ ban đầu là ổn định Hơn nữa, một số phương pháp tổng hợp đã được đề xuất bởi việc kết hợp thuật toán của hai phương pháp khác nhau [5-7] Thay vì có một số phương pháp giảm, không có phương pháp nào luôn luôn đưa ra được các kết quả thỏa mãn cho mọi hệ thống

Giảm mô hình cho thấy các ứng dụng của nó trong một loạt các lĩnh vực như phản ứng hóa học, mô hình mờ, dự báo tăng sóng, xây dựng dân dụng, mô phỏng mạch, các bài toán mạng viễn thông và rất nhiều các lĩnh vực khác nữa Đối với luận án này liên quan với các hệ thống LTI, là kết quả của một loạt các lĩnh vực trong xử lý tín hiệu số, đặc biệt là trong tính toán, thiết kế và mô phỏng hệ thống

1.2.1 Phát biểu bài toán bậc mô hình

Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình sau:

Cx y

Bu Ax x

đã cho trong (1.1) là tìm mô hình mô tả bởi hệ các phương trình:

r r r

r r r r

x C y

u B x A x

sao cho mô hình mô tả bởi phương trình (1.2) có thể thay thế mô hình mô tả bởi phương trình trong (1.1) mà vẫn đảm bảo các đặc tính của mô hình gốc và sai số có thể chấp nhận được, được ứng dụng trong phân tích, thiết kế điều khiển hệ thống

1.2.2 Phương pháp tiếp cận để giảm bậc mô hình

Việc thiết kế các bộ điều khiển bậc thấp cho thiết bị bậc cao là một vấn đề đầy thách thức, xét trên cả phương diện lý thuyết lẫn tính toán Trong thiết kế điều khiển các đối tượng có cấu trúc lớn dựa trên mô hình toán học (áp dụng kỹ thuật phần tử hữu hạn cùng với các dữ liệu thực nghiệm), vì thế chúng thường tạo ra không gian trạng thái kích thước lớn (bậc có thể lên rất cao) trong khoảng rời rạc

Áp dụng phương pháp thiết kế cổ điển thường dựa vào kinh nghiệm và khả năng của người thiết kế đôi khi kết quả đưa ra rất tốt, nhưng thông thường kết quả thu được không được như mong muốn Tính phức tạp của hệ thống thường bị xem nhẹ, kết quả là vấn đề thiết kế điều khiển khó khăn hơn (cả trên phương diện toán học và tính toán), để đánh giá một cấu trúc và phương pháp thiết kế điều khiển hiện đại nhằm giải quyết các vấn đề liên quan như lưu trữ; tính chính xác; tốc độ tính toán v.v [8] Tuy vậy, xu hướng bậc của các bộ điều khiển hiện đại thường cao hơn rất nhiều so với các ứng dụng trong thực tế Vì một số lý do, bộ điều khiển đơn giản được lựa chọn nhiều hơn các bộ điều khiển phức tạp [9] Như vậy, các phương pháp giảm bậc mô hình có thể làm giảm các vấn đề cho bộ điều khiển Đó là vấn đề quan trọng hàng đầu để cho phép các ứng dụng thực tế áp dụng phương pháp thiết

kế bộ điều khiển hiện đại vào hệ thống bậc cao

Nhìn chung các mô hình giảm bậc phải đáp ứng một hoặc một số các yêu cầu sau đây:

1 Các lỗi xấp xỉ phải là nhỏ và có giới hạn sai số;

2 Bậc của hệ thống được giảm là nhỏ hơn nhiều so với bậc của hệ thống gốc: k ≤ n;

3 Duy trì các tính chất ổn định và tính hiệu quả;

4 Các mô hình giảm bậc nên được bảo toàn so với cấu trúc mô hình gốc;

5 Các phương pháp phải phù hợp với phần mềm mô phỏng, và tùy từng đối tượng cụ thể

QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

Một bước quan trọng trong sự phát triển của một bộ lọc số là sự xác định hàm truyền đáng tin cậy G(z) để xấp xỉ hóa các đặc điểm kỹ thuật đáp ứng tần số đã cho Nếu một bộ lọc IIR là cần thiết thì nó cũng cần phải đảm bảo rằng G(z) là ổn định Quá trình tìm ra hàm truyền G(z) được gọi là thiết kế bộ lọc số Sau khi tìm được G(z), bước tiếp theo là đi xác định G(z) dưới dạng cấu trúc bộ lọc phù hợp Có

2 vấn đề chính cần được trả lời trước khi phát triển hàm truyền số G(z): vấn đề thứ

nhất và trên hết là việc phát triển một yêu cầu kỹ thuật đáp ứng tần số bộ lọc chấp nhận được từ các yêu cầu của hệ thống tổng thể trong đó có sử dụng bộ lọc số; vấn

đề thứ hai là đi xác định nên thiết kế bộ lọc FIR hay bộ lọc IIR Kỹ thuật giảm bậc sau đó được đưa ra để thu được một bộ lọc pha tuyến tính IIR giảm tương đương

Trong cuối các thập kỷ trước, các bài báo đã xuất bản nói về giảm bậc mô hình dựa trên các nguyên lý về sự duy trì cực ưu thế hay giá trị riêng ưu thế, xấp xỉ hóa Routs, phương pháp phân tích ổn định Một phương pháp tương ứng được đề xuất bởi một số lượng lớn các nhà nghiên cứu là sử dụng phương pháp thứ hai đã được đề cập ở trên để thu được các mô hình giảm tốt hơn và mở rộng kỹ năng ứng dụng của các phương pháp Để thực hiện điều này chúng ta sử dụng đến các tài liệu liên quan như: Shamash [10], Chen et al [11], [12]; Pal, Sinha et al [13] là rất hữu ích Gupta, SK Bhagat [14] đề xuất một số phương pháp hỗn hợp mới cho việc đơn giản hóa các hệ SISO của phương pháp bảo toàn tính ổn định cũng như việc khai triển chính tắc Tuy nhiên, đối với một mô hình bậc cao cho trước, các phương pháp

đã đề xuất trên thực tế có thể phân loại theo 3 nhóm chính

Nhóm phương pháp thứ nhất được đề xuất dựa trên cơ sở bảo toàn những giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao để xác định bậc của mô hình bậc thấp

Và các tham số của mô hình bậc thấp được xác định sao cho trước tác động của tín hiệu tại đầu vào, đáp ứng của mô hình bậc thấp gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc [15], [16], [17], [18], [19]

Nhóm phương pháp giảm bậc thứ hai được đề xuất trên cơ sở áp dụng tiêu chí tối ưu mà không quan tâm tới giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26]

Nhóm phương pháp giảm bậc thứ ba được đề xuất trên cơ sở chọn trùng khớp một số đặc tính khác ngoài những thuộc tính về đáp ứng [27], [28], [29], [30], [31], [32]

Tuy nhiên, vẫn còn một số phương pháp đề xuất khác không thuộc bất kỳ một trong các nhóm kể trên Đáng quan tâm nhất là phương pháp nhiễu loạn được Sannuti và Kokotovic đề xuất năm 1969 [33] và phương pháp cân bằng ma trận

(cân bằng nội) do Moore đề xuất năm 1981 và một số tác giả đã nghiên cứu và phát triển [34], [52], [53], [54], [55]

Sau đây tác giả xin nhắc lại một số phương pháp đã được sử dụng trong thời gian qua

1.3.1 Phương pháp ghép hợp

Trong số các phương pháp đề xuất trên cơ sở bảo lưu các giá trị riêng quan trọng của hệ gốc trong mô hình giảm bậc, phương pháp tổng quát nhất là phương pháp ghép hợp do Aoki nghiên cứu, xây dựng năm 1968 dựa trên mối quan hệ trực quan [18]:

Kx

=

trong đó, K là một ma trận chiếu không đổi có kích thước (r x n) và được gọi

là ma trận ghép hợp Phương trình trong (1.3) gọi là luật ghép hợp

Lấy vi phân cả hai vế của phương trình trong (1.3) và thay x từ phương trình trong (1.1) vào, ta có:

KBu KAx +

B KB

AK KA

Trong đó, D là ma trận không suy biến có kích thước (r r × ) và V là ma trận hình thức của A (các cột của V là các vector riêng suy rộng của A) Thường chọn D sao cho K là một ma trận thực Trong trường hợp riêng, khi D là một ma trận đơn vị

thì Artìm được dưới dạng đường chéo hoặc dạng Jordan Các trị riêng của Ar là các trị riêng của A tương ứng với r cột đầu tiên của V Năm 1985, Lastman và Shinha minh chứng có cách chọn một cách tự nhiên đối với K để được

K = D Ir V − [35]

Có một số nhận xét về phương pháp ghép hợp như sau:

Để xác định mô hình giảm bậc cần phải tính các giá trị riêng và các vector riêng của ma trận A, trong khi đó ma trận A có thể có kích thước rất lớn Mặc dù có các phương pháp tính các giá trị riêng đó, nhưng chúng ta cần phải mất thời gian đáng kể

Đối với khuyếch đại một chiều ở chế độ xác lập, có thể không được bảo toàn

và kết quả là trước tác động của tín hiệu có dạng nhảy bậc, các đáp ứng của mô hình gốc và của mô hình giảm bậc có thể khác nhau Đáp ứng của mô hình không phù hợp này có thể được khắc phục nếu sử dụng phối hợp giữa phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp các thời điểm theo thời gian [19]

Một câu hỏi quan trọng đối với phương pháp ghép hợp là chọn các giá trị riêng như thế nào? Câu hỏi này có đáp án khi kết hợp một tiêu chuẩn áp dụng trong

kỹ thuật phân tích, tổng hợp hệ thống Tiêu chuẩn tỷ số năng lượng dựa trên cơ sở xét tổng năng lượng đáp ứng xung ở đầu ra của mô hình gốc, bảo toàn các giá trị riêng có đóng góp nhiều nhất vào tổng đó đã được dùng để xác định bậc thích hợp nhất cho mô hình giảm bậc do Lucas đề xuất năm 1985 [36] Năm 1981 Commault

sử dụng những xung đơn vị để tìm một đại lượng đo tầm ảnh hưởng bởi từng trị riêng của ma trận A làm cơ sở xác định các giá trị quyết định [37] Một tiêu chuẩn khác có thể lấy tham khảo do Skelton đề xuất năm 1980, Skelton và Yousuff đề xuất năm 1983 chọn các giá trị riêng của hệ để bảo lưu là sự đóng góp của từng mode biến đổi theo thời gian vào đặc tính giữa các đầu vào và ra của hệ [38], [39]

Một hạn chế khác của phương pháp ghép hợp cũng như của phần lớn các phương pháp giảm bậc là các trạng thái của mô hình giảm bậc không mang ý nghĩa vật lý nào của mô hình gốc Điều này dẫn đến khó khăn trong những trường hợp mô hình giảm bậc được xét cùng với các khâu khác của một quá trình khi chúng được

liên kết với nhau thông qua biến trạng thái Phương pháp nhiễu xạ không suy biến

do Fernando và Nicholson đề xuất năm 1982 [40] khắc phục được một bước khó khăn đã nêu Năm 1981 Moore cũng đề xuất khái niệm tính trội động học trong công trình nổi tiếng liên quan đến cân bằng nội [34] Trong hệ cơ sở cân bằng nội Moore đã phát hiện rằng thứ tự giá trị riêng trên đường chéo của các Gramian biểu thị sự đóng góp của hệ động học vào việc xác lập quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống

1.3.2 Phương pháp trên cơ sở trùng khớp tại các thời điểm

Một phương pháp tiếp cận khác để thu được mô hình giảm bậc đã đề xuất trên cơ sở chọn trùng khớp đáp ứng xung của mô hình giảm bậc với đáp ứng xung của mô hình gốc tại các điểm thời gian Phương pháp phân tích liên tục phân số hàm truyền do Chen và Shieh đề xuất năm 1968 [27] là phương pháp sớm nhất thuộc loại này dù rằng sự liên hệ giữa phương pháp trùng khớp tại các thời điểm với phương pháp gần đúng Pade được phát hiện vào năm 1969 bởi Samash [29] Sau

đó, dạng tổng quát của phương pháp này áp dụng đối với hệ có nhiều đầu vào và nhiều đầu ra đã được Hichkin và Sinha phát triển năm 1980 [19]

Đối với các hệ thống động học được biểu diễn bởi phương trình trong (1.1)

ma trận hàm truyền được cho bởi:

G

0

) 1 (

)(

có các cực ở điểm gốc tọa độ của mặt phẳng phức s, có thể khai triển theo chuỗi Taylor đối với G(s) như sau:

)(

i

i

i s J s

i

J i dt

t g t

(1.12) Trong đó, i là một số nguyên dương; J gắn với giá trị thời điểm của ma trận xung qua một hệ số nhân

Kết hợp phương trình trong (1.9) và phương trình trong (1.10), thấy rằng:

1

sao cho việc sử dụng “thông số Markov suy rộng” có thể bảo gồm cả Ji

Để xác định được mô hình bậc thấp, các ma trận Ar, Br, Cr được tìm sao cho một số tham số Markov suy rộng của mô hình giảm bậc trùng với các tham số Markov của mô hình gốc Nhờ vào sự trùng khớp tại các thời điểm đáp ứng của mô hình giảm bậc với đáp ứng của mô hình gốc, mà trước tác động của tín hiệu có thể phân tích theo chuỗi lũy thừa tại đầu vào như tín hiệu dạng bước nhảy nấc, dạng các đường dốc hay các hàm, các đáp ứng trong chế độ xác lập giống nhau Mặt khác, sự phù hợp các tham số Markov sẽ nâng cao tính gần đúng cả trong vùng quá độ hoặc dạng rời rạc của đáp ứng

Quá trình tìm các ma trận Ar, Br, Crđược biết đến là quy trình khả hiện vật lý thành phần, trong đó ma trận khối Hankel được tạo thành, gồm có các tham số Markov suy rộng:

− +

− +

−

+

− +

− +

−

− +

− +

−

−

−

2 1

1

2 1

1 1

)(

j i k k

ki

j k k

k

j k k

k

ij

j j

j

j j

j

j j

j

k H

Nếu i>α và j>β là tương ứng với các chỉ số quan sát và điều khiển của mô hình gốc của hệ, thì hạng của Hij(k) là n, và khả hiện vật lý tối thiểu bậc n dễ dàng tìm được bằng cách theo quy trình đưa về dạng Hermite chuẩn do Rozsa và Sinha

đề xuất năm 1982 [41] Nếu quá trình đó được dừng lại sau r bước với r<nj, thì khả hiện vật lý thành phần có m tham số Markov suy rộng được trùng khớp bắt đầu từ

Ở đây, p và q có ý nghĩa là số đầu vào và đầu ra của hệ như phương trình (1.1)

Theo như cách ở trên, quy trình khả hiện vật lý thành phần có thể được coi là phương pháp gần đúng Pade suy rộng áp dụng đối với trường hợp hệ đa biến có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra

Hạn chế chính của tất cả những phương pháp kiểu trùng khớp các thời điểm

là sự ổn định của mô hình giảm bậc không được bảo toàn dù rằng mô hình gốc hoạt động ổn định Để khắc phục hạn chế này đã có nhiều phương pháp được nghiên cứu, đề xuất Trong đó, đáng chú ý nhất trong các đề xuất này là phương pháp gần đúng Routh được Hutton và Friendland nghiên cứu, phát triển năm 1975 đối với hệ

có một đầu vào và một đầu ra [30] Dạng đa biến, nhiều đầu vào và nhiều đầu ra do Sinha và các đồng tác giả khác phát triển năm 1982 [31] qua việc tìm các phần chẵn, lẻ của đa thức đặc trưng gốc Điều này cho phép xác định các ma trận Ar, Br

dưới dạng chính tắc Ma trận Cr lúc đó phải tìm sao cho thu được càng nhiều điểm trùng khớp giữa các đáp ứng càng tốt

Ưu điểm chủ yếu của phương pháp trùng khớp tại các điểm theo thời gian là giảm đáng kể số lượng tính toán Hạn chế chủ yếu của các phương pháp nằm ở

phương diện thực tiễn vì không tồn tại bất kỳ mối liên hệ trực tiếp nào giữa các trạng thái của mô hình gốc bậc cao với các trạng thái của mô hình giảm bậc

1.3.3 Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị

Đây là một phương pháp có nhiều ý nghĩa đối với bài toán giảm bậc mô hình của mô hình vì bản chất vật lý của mô hình gốc được bảo toàn Trên cơ sở chia vector trạng thành hai phần: vector trạng thái thuộc mode “chậm” và vector trang thái thuộc mode “nhanh” Do đó, phương trình trong (1.1) được viết lại như sau (ở đây x2 biểu diễn cho các trạng thái thuộc mode nhanh):

u B x A x A x

u B x A x A x

2 2 22 1 21 2

1 2 12 1 11 1

+ +

=

+ +

( )

[A A A A ]x [B A A B ]u

x1 = 11− 12 22 −1 21 1+ 1 − 12( 22)−1 2 (1.17)

Mô hình giảm bậc biểu diễn bởi phương trình trong (1.18) bây giờ có thể giải

để tìm trực tiếp các trạng thái Rõ ràng trong phương pháp này, ảnh hưởng của các trạng thái thuộc mode “nhanh” đã được bỏ qua Nhưng khi cần thiết thì có thể xác định lại được bằng cách biến đổi phương trình trong (1.17) về phương trình trong (1.16)

Phương pháp này có ưu điểm: là thuật toán đơn giản nhất trong lớp các thuật toán rút gọn mô hình; giữ lại được một phần các điểm cực của hệ ban đầu Tuy nhiên, cũng có hạn chế của phương pháp như: do thuật toán liên quan đến việc tính toán giá trị riêng và nghịch đảo ma trận nên thường chạy không ổn định; tính toán mất nhiều thời gian hơn do phải đưa ma trận trạng thái về dạng đường chéo; không kiểm soát được sai số của hệ rút gọn so với hệ ban đầu

1.3.4 Phương pháp cân bằng nội

Phương pháp cân bằng ma trận (cân bằng nội) do Moore đề xuất năm 1981 [34] Đối với một hệ được mô tả bởi phương trình trong (1.1), gramian đặc trưng cho khả năng điều khiển và cho khả năng quan sát của hệ được định nghĩa như sau:

dt e BB e

W c =∫∞ At T A T t

dt e C C e

ma trận đường chéo như thế cho phép xác định được một ma trận không suy biến T,

từ đó xác đinh được một biến đổi tổ hợp *

Tx

x= có thể chuyển mô hình gốc biểu diễn trong hệ cơ sở bất kỳ (1.1) thành một hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không gian cân bằng nội như sau:

*

*

1

* 1

*

CTx y

Bu T ATx T

Phương pháp cân bằng nội cũng đã được phát triển đối với bài toán cần phải xem xét theo tư duy hệ kín Cụ thể, Jonekheere và Silverman năm 1993 đã chứng minh tính bất biến theo hệ tọa độ của tập giá trị riêng đặc trưng cho hệ trong cấu trúc vòng kín và đề xuất mô hình giảm bậc đối với bộ bù trừ động học [42]; Mustafa

và Glover đề xuất trong công trìng năm 1991 một sự kết hợp giữa phương pháp cân bằng nội với phương pháp H∞ để xác định tham số bộ điều khiển giảm bậc và đề

xuất phương án bù trừ trong miền tần số [43], Phương pháp này bảo toàn các giá trị

suy biến Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu; sai số có thể được tiên liệu trước

do chỉ phụ thuộc vào các giá trị suy biến Hankel Tuy nhiên, chúng có các hạn chế như: Thời gian tính toán lâu do có sử dụng phân tích SVD Hơn nữa, do thuật toán phải tính ma trận nghịch đảo nên có thể chạy không ổn định hơn; thuật toán không cho ta thông tin về các điểm cực của hệ rút gọn (A B C D11, 1, 1, )

1.3.5 Các phương pháp sử dụng phép gần đúng tối ưu

Thay vì tìm mô hình giảm bậc mô hình bảo toàn các giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao, người ta có thể bỏ qua điều kiện bảo toàn đó và chọn các tham số của một mô hình có bậc cụ thể chọn trước (giảm bậc) sao cho trước tác động của tín hiệu đầu vào, đáp ứng của mô hình giảm bậc gần đúng tối ưu (theo nghĩa nào đó), với đáp ứng của mô hình gốc Cũng có thể thực hiện quá trình gần đúng tối ưu trong miền tần số nếu như đó là một sự lựa chọn thích hợp với nhu cầu

cụ thể

Nhiều tác giả đề xuất áp dụng tiêu chí gần đúng khác nhau theo miền thời gian Năm 1967, Anderson đề xuất phương pháp hình học trên cơ sở phép chiếu trực giao, mô hình giảm bậc tìm được là mô hình tối thiểu hóa tích phân bình phương các sai số [20], Shinha và Pille đề xuất phương pháp sử dụng ma trận tựa nghịch đảo để tìm mô hình giảm bậc trên cơ sở tối thiểu hóa tổng bình phương sai

số tại những điểm lấy mẫu khác nhau giữa các đáp ứng; Bandler và đồng tác giả năm 1973 [22]; Bistritz và Lanholtz năm 1978 [25] Năm 1980 Elliott và Wolovich

đề xuất một quy trình tối ưu theo miền tần số, có giá trị đối với hệ đa biến [26]

Nói chung, các mô hình giảm bậc thu được bằng phương pháp tối ưu phù hợp với mô hình gốc hơn so với các mô hình thu được bằng phương pháp ghép hợp

Và về mặt tính toán, do sử dụng hiệu quả các phương pháp tính số tối ưu nên sẽ giảm được đáng kể số lượng tính toán Tuy nhiên, không có gì để đảm bảo rằng các

mô hình giảm bậc này khi được sử dụng làm đối tượng được điều khiển thì phần tử điều khiển có thể đạt được tối ưu Thêm vào đó, không có mối liên hệ trực tiếp giữa các trạng thái của mô hình giảm bậc với các trạng thái của mô hình gốc bậc cao

1.3.6 Phương pháp tối ưu theo trạng thái

Từ các điều kiện cần đối với quá trình tối ưu theo tiêu chí L2 áp dụng với sai

số đầu ra (hệ phương trình thu được từ việc cho đạo hàm bậc nhất của hàm tiêu chí theo các biến số bằng không), Hyland và Bernstein đã phát hiện thấy sự tồn tại một phép chiếu tối ưu [23] Qua các thành phần cấu thành phép chiếu tối ưu đó, quan hệ giữa tham số của mô hình giảm bậc được xác lập theo các tham số của mô hình gốc Hơn nữa, điều kiện để mô hình giảm bậc có tính điều khiển và kiểm tra đối với một

mô hình gốc điều khiển và quan sát được cũng được xác lập qua điều kiện về hạng của các ma trận thích hợp và hai phương trình Lyapunov biến dạng ghép nhau trong

hệ phương trình chiếu tối ưu (OPEQ) Ý nghĩa của việc xác định các điều kiện cần theo tiêu chí tối ưu L2 đối với bài toán giảm bậc mô hình dưới dạng OPEQ nằm ở tính đa nghiệm của bài toán tối ưu vì hiệu quả của việc ghép hai phương trình Lyapunov biến dạng trong OPEQ có thể thấy giống như kết quả của một điều kiện ràng buộc thêm với tiêu chí L2 Từ đó, điều kiện đủ đối với bài toán giảm bậc mô hình có thể thu được, khi áp dụng cả tiêu chí L2 và điều kiện giới hạn H∞định trước [44] Tuy nhiên, khi áp dụng OPEQ do Hyland và Bernstein phát triển sẽ gặp rất nhiều khó khăn, trở ngại: thứ nhất, nhu cầu biết trước tham số của mô hình gốc bậc cao đòi hỏi thực hiện quá trình nhận hệ động học trước khi tiến hành giảm bậc; thứ hai, mô hình gốc yêu cầu phải ổn định và phải đồng thời điều khiển và quan sát được, nhưng thực tế hệ động học sau khi nhận dạng có thể gồm cả phần bất ổn định hoặc không điều khiển, kiểm tra đồng thời; thứ ba, tín hiệu đầu vào đảm bảo kích thích liên tục, trong khi tín hiệu đầu vào thực tế ở dạng bất kỳ; thứ tư, ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc không được bảo lưu ở các trạng thái của mô hình giảm bậc Thêm vào đó là khó khăn gắn với mục tiêu tính toán do phải tách hai phương trình Lyapunov biến dạng mà việc tách riêng biệt hai phương trình biến dạng ghép không dễ dàng vì phép chiếu tối ưu ghép hai phương trình biến dạng

có bản chất xiên

Nhằm vượt qua ba trở ngại nêu đầu tiên ở trên, năm 1994 San và Nath [45]

đã đề xuất phương pháp mới xây dựng OPEQ để xác định tham số của mô hình giảm bậc Ý tưởng của phương pháp nằm ở chỗ xem bài toán L2 giảm bậc như bài toán nhận dạng hệ động học trong trường hợp bậc thấp hơn bậc thực tế nhưng xác

lập đối với sai số đầu vào Từ các điều kiện cần để thu được sự khác biệt nhỏ nhất giữa tham số của mô hình giảm bậc và tham số của một mô hình giả định, một phép chiếu tối ưu được phát hiện Thông qua các thành phần của phép chiếu, các tham số của mô hình giảm bậc được xác lập theo các tham số của mô hình giả định Các điều kiện về hạng của những ma trận tương ứng và hai phương trình Lyapunov biến dạng cũng được xác lập Mặc dù phương pháp này tránh được khâu nhận dạng hệ động học, nhưng OPEQ do San và Nath xác lập vẫn phải đối mặt với phép chiếu xiên, trở ngại chính làm phức tạp và khó khăn trong thực tiễn tính toán

Khó khăn đó có thể vượt qua khi chọn phương pháp tối ưu theo trạng thái do San đề xuất [46] San đã phát hiện thấy sự tồn tại ánh xạ không đồng dạng giữa véctơ trạng thái của mô hình gốc với các vector trạng thái của mô hình giảm bậc

Từ đó, qua việc thừa số hóa ánh xạ không đồng dạng, thay vì phép chiếu tối ưu xiên, phép chiếu tối ưu trực giao được xác lập và OPEQ đối với bài toán giảm bậc của mô hình có dạng mới, đơn giản hơn Hiệu ứng của phép thừa số hóa ánh xạ không đồng dạng đã được tác giả chứng minh có tác dụng như: đã dùng thêm một điều kiện ràng buộc nữa thêm vào quá trình giải hệ có các phương trình điều kiện Lyapunov ghép với nhau Tuy nhiên, tầm quan trọng của phương pháp do San đề xuất trong quá trình xây dựng OPEQ nằm ở chỗ bảo toàn được ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái mong muốn của hệ gốc trong các trạng thái của mô hình giảm bậc

1.3.7 Phương pháp cân bằng xấp xỉ

Phương pháp cân bằng xấp xỉ giải phương trình Sylvester để thu được một

hệ thống cân bằng giảm bậc tối đa mà không cần tính toán với bậc đầy đủ của hàm

Trong trường hợp này 2

X = PQ Trong trường hợp hệ MIMO (nhiều vào - nhiều ra), biểu thức (1.22) giải được trừ khi m = p Do đó, tác giả tiến hành bằng cách đưa hệ ∑ vào hệ ∑ˆ có cùng bậc, là ma trận vuông và đối xứng:

T

T

A JC B ˆ

A B

ˆ C

Trên đây, tác giả đã phân tích một số phương pháp giảm bậc cơ bản nhất và đưa ra được các ưu điểm, nhược điểm của chúng Tiếp theo tác giả sẽ căn cứ vào đó

để tìm ra phương pháp mới có tính hiệu quả hơn, vấn đề này được đưa ra trong

Chương 2 của luận án

Dựa trên các phân tích ở trên, mục tiêu của luận án này là:

Đề xuất thuật toán giảm bậc mô hình đảm bảo tính ổn định, có tốc độ tính toán nhanh hơn, có thể đáp ứng tính thời gian thực;

Thực hiện thuật toán thiết kế trên bộ lọc số;

Mô phỏng các thuật toán giảm bậc mô hình đối với bộ lọc số Chebyshev IIR và bank lọc QMF IIR sử dụng công cụ Matlab;

Đánh giá chất lượng của phương pháp giảm bậc mới so với hai phương pháp hay được sử dụng hiện nay

Để kết thúc chương này, tác giả đưa ra sự đóng góp chính (được thể hiện ở cuối

Chương 2 và Chương 3) của luận án như sau:

1 Đề xuất thuật toán giảm bậc mô hình mới mang lại hiệu quả tính toán;

2 Thực hiện giảm bậc mô hình cho vấn đề thiết kế bộ lọc số IIR và QMF bậc

thấp (giảm được các khối trễ tại bước thiết kế) đáp ứng được so với bộ lọc

số bậc cao mà vẫn đáp ứng được các đặc tính của mô hình bậc cao và đảm bảo sai số thấp cũng như tính ổn định của hệ thống;

3 Mô phỏng và so sánh các phương pháp giảm bậc mô hình áp dụng trên bộ lọc số mở ra khả năng ứng dụng phương pháp mới vào các bài toán về xử lý tín hiệu số trong lĩnh vực viễn thông và các lĩnh vực kỹ thuật điện – điện tử

Chương 2 CÁC THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH

TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH

được gọi là các giá trị suy biến của ma trận A(xem chi tiết trong [8])

Để tính toán phân tích SVD của một ma trận A bất kỳ, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính các giá trị suy biến σ σ1, 2, ,σncủa ma trận A nhờ việc giải phương trình đặc trưng * 2

0.2320 0.8829 0.40820.5253 0.2395 0.81650.8187 0.4039 0.4082

2.1.2 Chuẩn H∞ của hệ tuyến tính

Cho một hệ tuyến tính (A B C D, , , ) có thời gian bất biến, ổn định tiệm cận và được biểu diễn dưới dạng tối thiểu như sau: [8]

trong đó σmax( )F là ký hiệu giá trị suy biến lớn nhất của ma trận F, tức là

=+ Do G j( ω) là số phức nên

2.1.3 Gramian điều khiển và Gramian quan sát

Cho hệ tuyến tính (A B C D, , , ) có thời gian bất biến, ổn định tiệm cận và biểu diễn dưới dạng tối thiểu như sau:

)()(

)()()(

t Cx t y

t Bu t Ax t x

P e BB e dt

∞

* * 0: A t At

Gramian là đại lượng dùng để đo năng lượng điều khiển và năng lượng quan sát của

hệ Ý nghĩa vật lý này của các Gramian được cho trong bổ đề sau [8]:

Bổ đề 2.1.6 Giả sử P Q, là hai Gramian điều khiển và Gramian quan sát của hệ

(A B C D, , , ) Khi đó

(i) Năng lượng nhỏ nhất để điều khiển hệ từ trạng thái 0 tại thời điểm t = 0

tới trạng thái x r tại thời điểm t= ∞ là * 1

Bổ đề trên cho chúng ta ý tưởng về khái niệm cân bằng, tức là dùng một phép đổi biến để sắp xếp lại các biến trạng thái từ theo thứ tự dễ điều khiển/dễ quan sát đến khó điều khiển/khó quan sát Nếu ta sử dụng phép biến đổi T để đưa hệ ( , , ,A B C D)

về hệ tương đương 1 1

(T AT T B CT D− , − , , ) thì các Gramian P và Q sẽ được biến đổi như sau:

* 1

Khi đó tích của hai Gramian mới P Q, sẽ là: 1

( )

PQ  =T PQ T− Điều đó có nghĩa là mặc dù phép đổi biến T làm thay đổi các Gramian của hệ nhưng lại không làm thay đổi các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q Do vậy, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.7 Các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q là dương và bất biến đối với các phép biến đổi không suy biến

Ta ký hiệu 2 2 2

1 2{σ σ, , ,σ n} là tập các giá trị riêng của tích PQ, với giả thiết

2.2 THUẬT TOÁN BALANCED TRUNCATION TRONG GIẢM BẬC

MÔ HÌNH

2.2.1 Đưa về hệ tương đương cân bằng

Giả sử hệ tuyến tính có thời gian bất biến ( , , ,A B C D) là ổn định tiệm cận và biểu diễn dưới dạng tối thiểu

Thuật toán 2.2.1 Đưa về hệ tương đương cân bằng

Đầu vào: Hệ gốc ( , , ,A B C D)

Bước 1: Tính toán Gramian điều khiển được P và Gramian quan sát được Q

bằng việc giải hai phương trình Lyapunov sau đây

P=R R, với R là ma trận tam giác trên

Bước 3: Phân tích SVD của * 2 *

RQR = ΣU U , trong đó U là ma trận unita và

1 2( , , , n)

(A bal,B bal,C bal,D bal) = (T− AT T B CT D, − , , ) (2.16)

Đầu ra: Ta thu được hệ tương đương (A bal,B bal,C bal,D bal) (2.17) Các tính chất của hệ tương đương (A bal,B bal,C bal,D bal) sẽ được trình bày chi tiết trong mục 2.2.2 tiếp theo

2.2.2 Các tính chất của hệ tương đương cân bằng

Bổ đề 2.2.2 Hệ tương đương cân bằng (A bal,B bal,C bal,D bal) thu được từ Thuật toán 2.2.1 có các tính chất sau đây:

1 A bal là ma trận ổn định

2 Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q bằng nhau và có dạng

đường chéo, cụ thể:

Định nghĩa 2.2.3 Hệ (A bal,B bal,C bal,D bal) thỏa mãn các tính chất (i), (ii) của Bổ

đề 2.2.2 được gọi là hệ tương đương cân bằng

2.2.3 Rút gọn hệ tương đương cân bằng bằng phương pháp chặt Thuật toán 2.2.4 Rút gọn hệ tương đương cân bằng

Đầu vào: Hệ tương đương cân bằng (A bal,B bal,C bal,D bal)thu được từ Thuật

toán 2.2.1

Bước 1: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r<n và σr >σr+1

Bước 2: Biểu diễn của ma trận (A bal,B bal,C bal,D bal) dưới dạng khối như sau:

Đầu ra: Ta thu được hệ rút gọn (A B C D11, 1, 1, ) (2.20)

Các tính chất của hệ rút gọn (A B C D11, 1, 1, ) sẽ được trình bày trong mục 2.2.4

Nhận xét 2.2.6 Tính chất (ii) trong Định lý 2.2.5 có nghĩa là hệ rút gọn

11 1 1

(A B C D, , , ) có các giá trị suy biến Hankel là σ σ1, 2, ,σr Như vậy, hệ rút gọn

11 1 1

(A B C D, , , ) giữ lại r giá trị suy biến Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu

2.2.5 Đánh giá sai số của hệ rút gọn

Định lý 2.2.7 Hệ rút gọn (A B C D11, 1, 1, ) thu được từ Thuật toán 2.2.4 có đánh

giá sai số như sau:

2.2.6 Ưu nhược điểm của Thuật toán 2.2.4

Ưu điểm:

1 Bảo toàn các giá trị suy biến Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu

2 Sai số có thể được tiên liệu trước do chỉ phụ thuộc vào các giá trị suy biến Hankel

Nhược điểm:

1 Thời gian tính toán lâu do có sử dụng phân tích SVD Hơn nữa, do Thuật toán phải tính ma trận nghịch đảo nên có thể chạy không ổn định hơn;

2 Thuật toán không cho ta thông tin về các điểm cực của hệ rút gọn

11 1 1

(A B C D, , , )

2.3 THUẬT TOÁN MODAL TRUNCATION

2.3.1 Đưa về hệ tương đương với ma trận trạng thái A có dạng

Đầu ra: Ta thu được hệ tương đương (Amod,Bmod,Cmod,Dmod) (2.25)

Để rút gọn hệ tương đương (Amod,Bmod,Cmod,Dmod) ta thực hiện theo phương

pháp chặt được trình bày trong mục 2.3.2 tiếp theo

2.3.2 Rút gọn hệ tương đương với ma trận trạng thái A có dạng

đường chéo bằng phương pháp chặt

Thuật toán 2.3.2 Rút gọn hệ tương đương với ma trận trạng thái A có dạng đường chéo

Đầu vào: Hệ tương đương (Amod,Bmod,Cmod,Dmod) thu được từ Thuật toán

2.3.1

Bước 1: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r<n

Bước 2: Biểu diễn của ma trận (Amod,Bmod,Cmod,Dmod) dưới dạng khối như sau:

1 11

A là tập con của các giá trị riêng của A

(ii) Sai số của hệ rút gọn so với hệ ban đầu được tính theo công thức sau:

1 Là thuật toán đơn giản nhất trong lớp các thuật toán rút gọn mô hình

2 Thuật toán 2.3.2 giữ lại được một phần các điểm cực của hệ ban đầu

Nhược điểm:

1 Do thuật toán liên quan đến việc tính toán giá trị riêng và nghịch đảo

ma trận nên thường chạy không ổn định

2 Tính toán mất nhiều thời gian hơn do phải đưa ma trận trạng thái về dạng đường chéo

3 Không kiểm soát được sai số của hệ rút gọn so với hệ ban đầu

2.4 THUẬT TOÁN MỚI TRONG GIẢM BẬC MÔ HÌNH

2.4.1 Đưa về hệ tương đương với ma trận trạng thái A có dạng tam

Bước 3: Phân tích Schur của ma trận 1

Đầu ra: Ta thu được hệ tương đương ( , , ,A B C D) (2.32)

Các tính chất của Thuật toán 2.4.1 sẽ được trình bày trong mục 2.4.2

2.4.2 Các tính chất của hệ tương đương với ma trận trạng thái A có

tam giác trên

Bổ đề 2.4.2 Hệ tương đương với ma trận trạng thái A có tam giác trên

( , , ,A B C D) thu được từ thuật toán trên có các tính chất sau đây:

(i) Ma trận A là ma trận có dạng tam giác trên

(ii) Gramian quan sát Q là ma trận đơn vị, tức là Q=I

(iii) Gramian điều khiển được P có thể phân tích như sau:

* 2