Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)

Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM

TẠ THỊ MẠNH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG

LÝ THUYET PHAN BO GIA TRI

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

THAI NGUYEN - 2016

S hóa bi Trung tam Hc liu - ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM

TA THI MANH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG

LY THUYET PHAN BO GIA TRI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN

THÁI NGUYÊN - 2016

S hóa bi Trung tâm Hc liu - ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không

bị trùng lặp với các luận văn trước đây Tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, 6 tháng 6 năm 2016

Tác giả luận văn

TẠ THỊ MẠNH

S hóa bi Trung tâm Hc liu - ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học Thái

Nguyên Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm

ơn chân thành, sâu sắc tới PGS TSKH Trần Văn Tắn, thầy là người đã hướng

dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tỉnh thần làm việc

nghiêm túc và đã dành nhiễu thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt

thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng

hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, 6 tháng 6 năm 2016

Tác giả luận văn

TA THI MANH

S hóa bi Trung tam Hc liu - ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Mục lục

1 Trọng Nochka

1.1 Họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát

l2 Tlf@ñgNG€GHKäÄ ; ¿ sĩ : c6 và Lo Ỉ ca BH 6c ca BS 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka 14 2.1 Các hàm cơ bản và Bổ đề đạo hàm logari 14

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna - Cartan 14 2.1.2 Hàm phân hình và ánh xạ phânhình 15

2.1.3 Bổ để đạohàmLogart 19

2.1.4 Wronskian tổng quát của ánh xạ phân hình 21

2.2 Dinh ly co bản thứ hai cho ánh xạ phân hình 26

2.3 Quanhệ số khuyết - 31

iii

S hóa bi Trung tam He liu- ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

MỞ ĐẦU

Năm 1929, Nevanlinna công bố bài báo nghiên cứu sự phân bồ giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức Vấn đề này sau đó nhanh chóng được mở rộng sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức vào không gian xạ ảnh bởi Cartan Kể từ đó tới nay, việc nghiên cứu sự phân bồ giá trị của ánh xạ chỉnh hình với các trường hợp khác nhau liên tục thu hút

được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và hình thành một lý thuyết được

gọi là Lý thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna Nội dung cốt lõi của Lý thuyết này gồm hai định lý chính, được gọi là các định

lý cơ bản thứ nhất và thứ hai Trong khi định lý cơ bản thứ nhất đã được giải quyết tương đối đầy đủ trong các trường hợp, thì định lý cơ bản thứ hai mới

được thiết lập trong rất ít các trường hợp Để có thể tiếp cận được tới các vấn

để có tính thời sự của Lý thuyết phân bố giá trị, trong luận văn này, tôi tập trung tìm hiểu một trong những kết quả gốc của Lý thuyết phân bố giá trị

Theo đó, tôi chọn tìm hiểu định lý cơ bản thứ hai Cartan- NÑochka Trên thực

tế, năm 1933, Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna sang trường hợp chiều cao, ở đó ông thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính trong không gian xạ ảnh Cartan cũng nêu giả thuyết cho trường hợp đường cong khác hằng tùy ý trong không gian

xạ ảnh Giả thuyết của Cartan tồn tại 50 năm và được Nochka giải quyết năm

1983 Trong luận văn này tôi dự định tìm hiểu kết quả này của Nochka

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài "Định lý cơ bản thứ hai Cartan-Nochka

trong lý thuyết phân bố giá trị" Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Trọng Nochka

Chương 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka

S hóa bi Trung tâm Hc liu - ĐHTN http:/www.lrc.tnu.edu.vn

Chương 1

Trọng Nochka

1.1 Họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát

Trong không gian xạ ảnh IP”(C), cố định một hệ tọa độ thuần nhất œ = (@ : : @„) Cho đ siêu phẳng H; xác định bởi các phương trình thuần nhất:

Hi; ‘ Yi hijo; =0, J= 1, ,đ

¡=0

Với O = {1, ,q} vaR C Q, ta dat |R|= số phần tử của R

Dinh nghia 1.1.1 Gid sti N > vag > N~+ 1 Ta nói họ {H}4, 6 vitri N -

dưới tổng quát nếu với bat ki R C Q véi |R| =N +1 thì

{}H; =0

JER Nếu họ siêu phẳng ở vị trí ø - dưới tổng quát thì ta nói đơn giản rằng nó ở

vị trí tổng quát Dễ thay rang {H; ?—¡ Ở vị trí N - dưới tổng quát khi và chỉ

khi

rank(h jx) jer,o<k<n =N+1VRCQ_ voéi|R| =N-+1

1.2 Trong Nochka

Với các kí hiệu như trên và R C S C Q, ta cé cac dinh nghĩa sau:

V(R)= không gian véc tơ con cia C”t! sinh bdi cdc véc tơ (hjw)o<k<n j €R,

sIa(S) = “ÑETR, với |S] > |R|

Bổ đề 1.2.1 Cho họ siêu phẳng {Hj}4_1 6 vi tri N - dưới tổng quát trong

= dim(V(S¡) +V(%)) + đim(V(S¡)nV(%2)) — 2dimV(R)

< dimV(8¡) + dimV(%2) —2dimV(R)

Bổ đề 1.2.2 Cho họ siêu phẳng {(H/—¡ 6 vi tri N - dưới tổng quát trong

P"(C),N >n,q>2N—n+1 Khi do ton tai cdc tap con Nj, i =0, ,8 cua

3

S hóa bi Trung tam He liu- ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Q thỏa mãn

()No=0CNIC C M,rk(N) < n+ I

(ii)0 < shuM < SINN < <9 JM < Em <

(ii) Với 1 <i< svàN;_¡ CRÑC Q, nếu rk(N¡ 1) < rk(R) < n+ 1 thì

Ta đặt Nọ = 0, chúng ta sẽ xác định N; bằng phương thức quy nạp như sau

Giả sử ta đã chọn được {N;}j_¿ thỏa mãn (¡) ~ (¿) Nếu chúng thỏa mãn

(iv) thì đó là họ cần dựng Ngược lại ta cần phải tìm một tập con Ny41 C sao cho Ny C Mạ¿¡ và {N;}?~; thỏa mãn () ~ (iii)

Vì H ở vị trí N - dưới tổng quát nên rk(N;) < n-+ l chứng tỏ rằng |N,| < N

Theo (iii) ta có sÍy_¡(M) < sỈuy,,(R), VR € Z Do vậy

Do đó rk(N;) < rk(Rị UR¿) < n+ 1 Điều này kéo theo Rị URạ € Z Như

sly,(R1) + sly,(R2) —sly,(Ri OR)

~ (|Ri| —|Ns|) + [Rol — |M|) — (|Rị ñRa| — |M|)

Định lý 1.2.3 (Trọng Nochka) Cho họ q siêu phẳng {H ;}jeo Ở vị trí N - dưới tổng quát trong P"(C),q > 2N —n-+ 1 Khi đó tôn tại các số hữu tỷ

(iv) Nếu R C Q và 0 < |R| <N+1 thi Y jer @(j) < rk(R)

Các hằng số @(j) được gọi là trọng Nochka, ® được gọi là hằng số

Nochka

Chứng minh

Néu N =n, dat w(j) = 1, Vj € Q, ta được kết luận của định lý

Giả sử rằng > n Ta lấy họ {N;}j_¡ thỏa mãn bổ dé 1.2.2

Khi đó |N;| < N Lấy N;¿¡ C Ó thỏa mãn M;.¡ M; và

Như vậy rk(N,.ị) =n+t 1, sly,(Nou1) = syomete tg: Chúng ta xác định các

@(j) =sly,(Ns41) (7) sly, ( sti) < IN—n+1—|Ny <

S hóa bi Trung tam He liu- ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Nếu s > 0 thi rk(N,) > 1, do vậy

Oo = —

(N+l)+(N—n—|N,|) n+1—rk(N;s)

(iv) Lay R C Ó@ với 0 < |R| <n +1

Truong hop 1 Gia stt rk(RUN,) =n +1, ta cd

Ta chứng minh mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.4 Giá sử rằng 1 < ¡ < s và |R;| > |R;+t| Khi đó

rk(Rj UNj-1) > rk(Nj-1)

Chitng minh

- V6i i= 1, rk(No) =0 < rk(R, UNo) Ménh dé hién nhién dung

- Với ¡ > 1 Giả sử rằng rk(R¿UMN;_1) = rk(N;_¡) Khi đó

rky,_,(RiU Ni-1) = rk(Nj-1) — rk(N;_a) >0

sly,_,Ni-1 < sly,_,(Ni-1 URi)

Do vay sly,_,Ni-1 = sly,_,(Ni—-1 UR;) Điều này suy ra

\Ni-1| = |Nj-1 UR;| va |Ri-1| = |R,| Điều này mâu thuẫn chứng tỏ mệnh đề

đúng

Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau

(IR,| — |Ri-1 |)sly,_>Ni-1 < rk(R;) = rk(Ri-1) 1 < i < s+ (1.2.3)

10

S hóa bi Trung tam Hc liu - ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Thật vậy, ta có:

- Néu |R;| — |R;_¡| = 0 thì (1.2.3) là hiển nhiên

- Nếu |R;| > |R;_ ¡| Theo mệnh đề ta có rk(R;UN;_1) > rk(N,_¡) Áp dụng

bổ dé 1.2.2(iii) cho 1 < i < s và 1.2.2(v) cho ¡ = s- 1 ta được

sly,_, (N;) < sIn,_, (Ni-1 URi)

Do đó ta có:

[Ri UN-1| = |Ni-1| + [Ri] — |Ni-1 ORi| = |Ni-1| + |Ri] — |Ri-1],

rk(R; UNi-1) < rk(Nj-1) + rk{(R,) = rk(R; ANi-1)

= rk(Ni-1) + rk(Ri) — rk(Ri-1),

rk(R; UNj_-1) — rk(Nj-1) " rk(Ri) — rk(Ri-1)

Iy,_, (Ni) < sly,_, (Ni-1 URi) = =

sly,_,( i) SSÍN, ¡( i-] i) |R; UNj-1| — |Nj-1| |R;| — |R;_¡|

Như vậy, từ bất đẳng thức cuối cùng ta thu được bất đẳng thức (1.2.3)

Từ định nghĩa họ bằng số @(ÿ) và (1.2.3) ta có

3_@(7) — ` ` o(j) = » y sly;_, (Ni)

icR i=1 jERA\Ri-| i=] jER\Ri-1

Cho {E;} ¡co là các hằng sô > 1 tùy ý Khi đó với mọi RC Q với |R|<<N +1, tôn tại các chỉ số phân biệt j\, j„(g) € R sao cho rk({ jy) = rk(R) va

rk(R)

IIE7” < H Eị,

Chitng minh

Bằng cách đổi chỉ số, ta có thể giả stt rang E, < Ey > > Ey Dat jy =

minR, Ri = {ji} va S| = {j € RH; € V(R1)} Gia sit rang ta đã xây dựng dude cac tap R; = {j1, , j)},1 < rk(R), ta sé x4y dựng tập Ñ¿„¡ như sau:

Chương 2

Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka

2.1 Các hàm cơ bản và Bổ đề đạo hàm logarit

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna - Cartan

(a) Trong IP“(C) cố định một tọa độ thuần nhất (œ : : @„) Gọi ƒ :

ŒC” —› P"(C) là ánh xạ phân hình có một biểu diễn rút gọn ƒ = (ƒo: : ƒa)

Cho # là siêu phẳng trong IPˆ(C) được xác định bởi = {@ : }ƒ—oa¡@; —

0}, với aọ, ,a„ € C không đồng thời bằng không Như vậy H được xem là

divisor không điểm của nhát cắt ø € [(P"(C), Họ) xác định bởi dạng tuyến

tính Ø”(%o, , Xu) = Lg aixi

Ta đặt |lf|= (løo|?+- +|anf)}Ÿ, lIfl|= (l@?+ +|4|)3 và (FD) =

X7_oa¡ƒ; Như vậy giá trị của các hàm này phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn rút gọn của ƒ và các hệ số z;¡ Tuy nhiên nếu ƒ(C”) ¢ H hay (ƒ,H) # 0 thì divisor không điểm của hàm (ƒ,) là không phụ thuộc vào biểu diễn rút gọn

của ƒ và các hệ s6 a; Ta ki hiéu divisor nay 1a (f,H) Nhu vay (f,H) = f*H

(b) Ta có

2 f'Q\ yy = dd“log(1+3” Li Ae” = dd‘ lo ø||/I| 7

Do vậy, ký hiệu 7;(ƒ) là hàm đặc trưng của ƒ ta có:

14

S hóa bi Trung tâm He liu- ĐHTN hftp://www.lrc.tnu.edu.vn

dd°log |(ƒ,H) |” Do vậy, ta kí higu N(r, f*H) 1a ham đếm của ƒ tương ứng

với H, và N„(r, ƒ*H) là hàm đếm của ƒ tương ứng với H chặn bội đến bậc ø

Cho ƒ : C” —> C là hàm phân hình Tương tự như trong trường hợp một biến, ta định nghĩa hàm xấp xỉ của ƒ ( tương ứng với điểm œ) bởi

m(r.f) = | log" [flr

S(r) Hàm đặc trưng Nevanlinna của ƒ được định nghĩa bởi

Tự, ƒ) =Nựữ ()«) + mí, f):

S hóa bi Trung tâm He liu- ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Ta coi ƒ là ánh xạ phân hình từ C” vào P!(C) có biểu diễn rút gọn ƒ = (fo: fi), V6i fo, fi 1a cdc ham chỉnh hình thỏa mãn tập {z € C”: ƒo(z) = fi(z) =0} là tập giải tích có đối chiều > 2 khi đó ta có định lý sau

Hệ quả 2.1.2 ( Định lý cơ bản thứ nhất) Cho ƒ là hàm phân hình khác hằng

số trên C", a là một điểm trong C, khi đó

Ì_) =7(/)+0(1)

TU

Chứng minh

Ta xem ƒ là ánh xạ phân hình vào IP"(C) với biểu diễn rút gon f = (fo: fi)

Áp dụng định lý cơ bản thứ nhất cho ƒ và siêu phẳng {@ : @ạ — a@¡ = 0}, ta

16

S hóa bi Trung tâm Hc liu - ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Hệ quả được chứng minh

Cho f : C” —> P"(C) 1a 4nh xa phan hinh véi biéu dién f = (fo: : fu)

H, Gla hai siéu phang trong P”(C) cho béi

“Nop (f,O1+ FDI

1 <ï <ñn sao cho zọ không là không điểm của ƒ;, do vậy zọ là cực điểm của

i với bội v Suy ra ta co

Mặt khác ta có

(„l##lh Ji + llezlỨ Y= 2 | Ilazll ag (I + log’ |g) 7 2

Chi y: Nộu T(r, g) = O(logr) thi g 1a ham phan thttc, khi đú m(r, ay =

O(1) Do vay ta lu6n c6 m( r, Welly — = 0(T(7,g))

2.1.4 Wronskian tổng quỏt của ỏnh xạ phõn hỡnh

(a) Với œ = (O, , Om) € (Z*)™ Dat

O41 < Beri (nếuk< m)

Ta viết œ< nếu œ < 8 và œ # Ta đặt œ + = (ơi + i, , đằ -E mm)

21

S húa bi Trung tõm He liu- ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn

Định lý 2.1.5 (Bổ đề đạo hàm logarit tổng quát) Cho F # 0 là hàm phân

hình trên C" Khi đó với mọi œ = (0, , Œ„) € (Z*)'" ta có

và (1i) đúng với mọi œ với |œ| < k, (k > 1) Ta chứng minh (¡) cũng đúng với

mọi # với |œ| = k va (ii) đúng với mọi ø với |œ| = k+ 1

- Thât vậy với |œ| = k, theo giả thiết quy nạp đối với (i) ta có

Theo nguyên lý quy nạp, định lý đúng với mọi œ

(b) Kí hiệu Z⁄„ là trường các hàm phân hình trên C” Cho ƒ là ánh

xạ phân hình từ C” vào P"(C) với biểu diễn ƒ = (ƒo : : ƒ;) Ta định

nghĩa Z*(ƒ) là không gian véc tơ con của Z⁄'*! sinh bởi các phần tử

{(D®% fo; ;D% fn) baj<k trén trường „„

Ff): ({(D* fo," fn) }al<k).,

Ta chứng tỏ rằng định nghĩa Z*(ƒ) không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn

của ƒ Thực vậy, giả sử ƒ có biểu diễn khác ƒ = (ƒb: : ƒ„) Khi đó tổn tại

2

S hóa bi Trung tâm Hc liu - ĐHTN http://www.Irc.tnu.edu.vn