Định lý cơ bản thứ hai cartan nochka trong lý thuyết phân bố giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ THỊ MẠNH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG LÝ THUYẾT PHÂN BỐ GIÁ TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016... ĐẠI HỌC THÁI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TẠ THỊ MẠNH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG

LÝ THUYẾT PHÂN BỐ GIÁ TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TẠ THỊ MẠNH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG

LÝ THUYẾT PHÂN BỐ GIÁ TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không

bị trùng lặp với các luận văn trước đây Tài liệu trong luận văn này đã đượcghi rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, 6 tháng 6 năm 2016

Tác giả luận văn

TẠ THỊ MẠNH

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toánhọc và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ,động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốtthời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng

hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình.Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, 6 tháng 6 năm 2016

Tác giả luận văn

TẠ THỊ MẠNH

Mục lục

1.1 Họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát 2

1.2 Trọng Nochka 2

2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka 14 2.1 Các hàm cơ bản và Bổ đề đạo hàm logarit 14

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna - Cartan 14 2.1.2 Hàm phân hình và ánh xạ phân hình 15

2.1.3 Bổ đề đạo hàm Logarit 19

2.1.4 Wronskian tổng quát của ánh xạ phân hình 21

2.2 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình 26

2.3 Quan hệ số khuyết 31

MỞ ĐẦU

Năm 1929, Nevanlinna công bố bài báo nghiên cứu sự phân bố giá trị củacác hàm phân hình trên mặt phẳng phức Vấn đề này sau đó nhanh chóngđược mở rộng sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức vàokhông gian xạ ảnh bởi Cartan Kể từ đó tới nay, việc nghiên cứu sự phân bốgiá trị của ánh xạ chỉnh hình với các trường hợp khác nhau liên tục thu hútđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học và hình thành một lý thuyết đượcgọi là Lý thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna Nộidung cốt lõi của Lý thuyết này gồm hai định lý chính, được gọi là các định

lý cơ bản thứ nhất và thứ hai Trong khi định lý cơ bản thứ nhất đã được giảiquyết tương đối đầy đủ trong các trường hợp, thì định lý cơ bản thứ hai mớiđược thiết lập trong rất ít các trường hợp Để có thể tiếp cận được tới các vấn

đề có tính thời sự của Lý thuyết phân bố giá trị, trong luận văn này, tôi tậptrung tìm hiểu một trong những kết quả gốc của Lý thuyết phân bố giá trị.Theo đó, tôi chọn tìm hiểu định lý cơ bản thứ hai Cartan- Nochka Trên thực

tế, năm 1933, Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna sang trường hợp chiềucao, ở đó ông thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường congchỉnh hình không suy biến tuyến tính trong không gian xạ ảnh Cartan cũngnêu giả thuyết cho trường hợp đường cong khác hằng tùy ý trong không gian

xạ ảnh Giả thuyết của Cartan tồn tại 50 năm và được Nochka giải quyết năm

1983 Trong luận văn này tôi dự định tìm hiểu kết quả này của Nochka.Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài "Định lý cơ bản thứ hai Cartan-Nochkatrong lý thuyết phân bố giá trị" Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Trọng Nochka.

Chương 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka.

Chương 1

Trọng Nochka

1.1 Họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát

Trong không gian xạ ảnh Pn(C), cố định một hệ tọa độ thuần nhất ω =(ω0: : ωn) Cho q siêu phẳng Hj xác định bởi các phương trình thuần nhất:

Nếu họ siêu phẳng ở vị trí n - dưới tổng quát thì ta nói đơn giản rằng nó ở

vị trí tổng quát Dễ thấy rằng {Hj}qj=1 ở vị trí N - dưới tổng quát khi và chỉkhi

rank(hjk)j∈R,0≤k≤n = n + 1 ∀R ⊂ Q với |R| = N + 1

Với các kí hiệu như trên và R ⊂ S ⊂ Q, ta có các định nghĩa sau:

V(R)= không gian véc tơ con của Cn+1sinh bởi các véc tơ (hjk)0≤k≤n, j ∈ R,rk(R) = dimV (R), rk( /0) = 0,

rkR(S) = rk(S) − rk(R),

= dim(V (S1) +V (S2)) + dim(V (S1) ∩V (S2)) − 2 dimV (R)

≤ dimV (S1) + dimV (S2) − 2 dimV (R)

Bổ đề 1.2.2 Cho họ siêu phẳng {Hj}qj=1 ở vị trí N - dưới tổng quát trong

Pn(C), N > n, q > 2N − n + 1 Khi đó tồn tại các tập con Ni, i = 0, , s của

Vì Hiở vị trí N - dưới tổng quát nên rk(Ns) < n + 1 chứng tỏ rằng |Ns| ≤ N.

Do đó theo Bổ đề 1.2.1 thì |Ns| − rk(Ns) ≤ N − n < 2N − 2n Do đó

n− rk(Ns) < 2N − n − |Ns|

⇔ n + 1 − rk(Ns) < 2N − n + 1 − |Ns|

⇔ n+ 1 − rk(Ns)2N − n + 1 − |Ns| < 1Giả sử rằng (iv) không đúng Đặt

R = {R : Ns ⊂ R ⊂ Q, rk(Ns) < rk(R) < n + 1}

Khi đó R 6= /0 Nếu R ∈ R, |R| ≤ N Theo giả sử (iv) không đúng, với ε0 =min{slNs(R) : R ∈ R}, ta có

ε < n+ 1 − rk(Ns)2N − n + 1 − |Ns| < 1 (1.2.1)

Theo (iii) ta có slNs−1(Ns) ≤ slNs−1(R), ∀R ∈R Do vậy

slNs(R) = rk(R) − rk(Ns)

|R| − |Ns| =

rk(R) − rk(Ns−1) − (rk(Ns) − rk(Ns−1))(|R| − |Ns−1|) − (|Ns| − |Ns−1|)

Do đó rk(Ns) < rk(R1∪ R2) < n + 1 Điều này kéo theo R1∪ R2 ∈R Nhưvậy ta còn phải chứng tỏ rằng

ε0 = sl(R1∪ R2)

Theo định nghĩa ε0 = slNs(R1∪ R2) Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại,trước tiên ta chứng minh rằng

rkNs(R1∩ R2) = rk(R1∩ R2) − rk(Ns) ≥ ε0(|R1∩ R2| − |Ns|) (1.2.2)+) Nếu rk(R1∩ R2) > rk(Ns) thì R1∩ R2 ∈R, do vậy theo định nghĩa của

≤ ε0Điều này chứng tỏ rằng R1∪ R2 ∈R0

Đặt

Ns+1= [

R∈ R 0RNhư vậy Ns+1∈R0 và họ {Ni}s+1i=1 thỏa mãn (i) ∼ (iii) Định lý được chứngminh

Định lý 1.2.3 (Trọng Nochka) Cho họ q siêu phẳng {Hj}j∈Q ở vị trí N dưới tổng quát trong Pn(C), q > 2N − n + 1 Khi đó tồn tại các số hữu tỷ

= N+ 1 − |Ns|2N − n + 1 − |Ns|

Nếu s > 0 thì rk(Ns) ≥ 1, do vậy

e

ω = n+ 1 − rk(Ns)(N + 1) + (N − n − |Ns|)

- Với i = 1, rk(N0) = 0 < rk(R1∪ N0) Mệnh đề hiển nhiên đúng.

- Với i > 1 Giả sử rằng rk(Ri∪ Ni−1) = rk(Ni−1) Khi đó

rkNi−2(Ri∪ Ni−1) = rk(Ni−1) − rk(Ni−2) > 0Suy ra

slNi−2(Ni−1∪ Ri) = rk(Ni−1∪ Ri) − rk(Ni−2)

slNi−2Ni−1 ≤ slNi−2(Ni−1∪ Ri)

Do vậy slNi−2Ni−1 = slNi−2(Ni−1∪ Ri) Điều này suy ra

|Ni−1| = |Ni−1∪ Ri| và |Ri−1| = |Ri| Điều này mâu thuẫn chứng tỏ mệnh đềđúng

Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau

(|Ri| − |Ri−1|)slNi−2Ni−1 ≤ rk(Ri) − rk(Ri−1) 1 ≤ i ≤ s + 1 (1.2.3)

Thật vậy, ta có:

- Nếu |Ri| − |Ri−1| = 0 thì (1.2.3) là hiển nhiên

- Nếu |Ri| > |Ri−1| Theo mệnh đề ta có rk(Ri∪ Ni−1) > rk(Ni−1) Áp dụng

bổ đề 1.2.2(iii) cho 1 ≤ i ≤ s và 1.2.2(iv) cho i = s + 1 ta được

slNi−1(Ni) ≤ slNi−1(Ni−1∪ Ri)

Do đó ta có:

|Ri∪ Ni−1| = |Ni−1| + |Ri| − |Ni−1∩ Ri| = |Ni−1| + |Ri| − |Ri−1|,

rk(Ri∪ Ni−1) ≤ rk(Ni−1) + rk(Ri) − rk(Ri∩ Ni−1)

Bổ đề 1.2.5 Cho họ q siêu phẳng {Hj}j∈Q ở vị trí N - dưới tổng quát trong

Pn(C), q > 2N −n+1 Cho ω( j), j ∈ Q là các trọng Nochka của họ {Hj}j∈Q.

Cho {Ej}j∈Qlà các hằng số ≥ 1 tùy ý Khi đó với mọi R ⊂ Q với |R| ≤ N + 1, tồn tại các chỉ số phân biệt j1, , jrk(R) ∈ R sao cho rk({ jl}rk(R)l=1 ) = rk(R) và

Tiếp tục như vậy, ta có thể chọn được các chỉ số j1 < < jrk(R) và các tậphợp rời nhau S1, , Srk(R) Chú ý rằng jl = min Sl, chúng ta có

Ej ≤ Ejt, j ∈ St

R= S1∪ ∪ Srk(R)Đặt Tl = S1∪ ∪ Sl, 1 ≤ l ≤ rk(R) Theo bổ đề 1.2.2(iv) ta có

Chương 2

Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka

2.1 Các hàm cơ bản và Bổ đề đạo hàm logarit

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna - Cartan

(a) Trong Pn(C) cố định một tọa độ thuần nhất (ω0 : : ωn) Gọi f :

Cm−→ Pn

(C) là ánh xạ phân hình có một biểu diễn rút gọn f = ( f0 : : fn).Cho H là siêu phẳng trong Pn(C) được xác định bởi H = {ω : ∑ni=0aiωi=0}, với a0, , an ∈ C không đồng thời bằng không Như vậy H được xem làdivisor không điểm của nhát cắt σ ∈ Γ(Pn(C), H0) xác định bởi dạng tuyếntính σ∗(x0, , xn) = ∑ni=0aixi

Ta đặt ||H|| = (|a0|2+ + |an|2)12, || f || = (| f0|2+ + | fn|2)12 và ( f , H) =

∑ni=0aifi Như vậy giá trị của các hàm này phụ thuộc vào việc chọn biểu diễnrút gọn của f và các hệ số ai Tuy nhiên nếu f (Cm) 6⊂ H hay ( f , H) 6≡ 0 thìdivisor không điểm của hàm ( f , H) là không phụ thuộc vào biểu diễn rút gọncủa f và các hệ số ai Ta kí hiệu divisor này là ( f , H) Như vậy ( f , H) = f∗H

(c) Lấy H là siêu phẳng như mục (a) sao cho f (Cm) 6⊂ H Ta có f∗D =

ddclog |( f , H)|2 Do vậy, ta kí hiệu N(r, f∗H) là hàm đếm của f tương ứngvới H, và Nn(r, f∗H) là hàm đếm của f tương ứng với H chặn bội đến bậc n

Ta coi f là ánh xạ phân hình từ Cm vào P1(C) có biểu diễn rút gọn f =( f0 : f1), với f0, f1 là các hàm chỉnh hình thỏa mãn tập {z ∈ Cm : f0(z) =

f1(z) = 0} là tập giải tích có đối chiều ≥ 2 khi đó ta có định lý sau

Hệ quả 2.1.2 ( Định lý cơ bản thứ nhất) Cho f là hàm phân hình khác hằng

số trên Cm, a là một điểm trong C, khi đó

T(r, 1

f − a) = T (r, f ) + O(1).

Chứng minh

Ta xem f là ánh xạ phân hình vào Pn(C) với biểu diễn rút gọn f = ( f0: f1)

Áp dụng định lý cơ bản thứ nhất cho f và siêu phẳng {ω : ω0− aω1= 0}, ta

f − a) + O(1)

= T (r, 1

f − a) + O(1).

Hệ quả được chứng minh

Cho f : Cm−→ Pn(C) là ánh xạ phân hình với biểu diễn f = ( f0: : fn)

H, G là hai siêu phẳng trong Pn(C) cho bởi

n i=0aifi

1 ≤ i ≤ n sao cho z0 không là không điểm của fi, do vậy z0 là cực điểm của

Áp dụng định lý cơ bản thứ nhất cho f và siêu phẳng {ω : ω0 = 0}, ta có

|g| ) =

12

Z

B(r)

g∗Φ ∧ αm−1
+ log+T(r, g) + O(1)

Định lý 2.1.5 (Bổ đề đạo hàm logarit tổng quát) Cho F 6≡ 0 là hàm phân

hình trên Cm Khi đó với mọi α = (α1, , αm) ∈ (Z+)m ta có

Theo nguyên lý quy nạp , định lý đúng với mọi α

(b) Kí hiệu Mm là trường các hàm phân hình trên Cm Cho f là ánh

xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với biểu diễn f = ( f0 : : fn) Ta địnhnghĩa Fk( f ) là không gian véc tơ con của Mn+1

m sinh bởi các phần tử{(Dαf0, , Dαfn)}|α|≤k trên trườngMm

Fk

( f ) : α f0, , Dα fn)}|α|≤kM m

Ta chứng tỏ rằng định nghĩaFk( f ) không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễncủa f Thực vậy, giả sử f có biểu diễn khác f = ( ˜f0 : : ˜fn) Khi đó tồn tại

hàm phân hình h ∈Mm\ {0} sao cho fj= h ˜fj Với |α| < k ta có

Vậy định nghĩaFk( f ) không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn của f Đặt Lk( f ) = dimFk( f ) Ta có các tính chất sau

1/ F0( f ) ⊂F1( f ) ⊂ Nếu tồn tại k sao choFk( f ) =Fk+1( f ) thì

Hiển nhiên vì Ll( f )( f ) ≤ n + 1, nên l( f ) ≤ n

Bổ đề 2.1.6 Ánh xạ f không suy biến tuyến tính khi và chỉ khi Ll( f )( f ) =

n+ 1.

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh rằng f suy biến tuyến tính khi và chỉ khi Lk( f )( f ) <

n+ 1

(i) Giả sử f suy biến tuyến tính, khi đó tồn tại a0, , an ∈ Cn không đồngthời bằng 0, sao cho

a0f0+ a1f1+ + anfn= 0

Do vậy

a0Dα f0+ a1Dα f1+ + anDα fn = 0 ∀α ∈ (Z+)mSuy ra Lk( f ) < n + 1 ∀k Đặc biệtLk( f )( f ) < n + 1

(ii) Giả sử Ll( f )( f ) < n + 1 Như vậy Lk( f ) < n + 1 ∀k Khi đó tồn tạicác hàm phân hình ϕ0, , ϕn trên Cm không đồng thời bằng không sao cho

(c) Cho f không suy biến tuyến tính, khi đó Lo( f ) < L1( f ) < <

Lk( f )( f ) = n + 1 Như vậy tồn tại α = (α0, , αn, αi∈ (Z+)m thỏa mãn

Trên T (m, n) ta xét quan hệ thứ tự, ta cũng sử dụng kí hiệu 00 ≤00, như sau:

Lấy α = (α0, , αn) là các phần tử nhỏ nhất trong T (m, n) theo quan hệ

”≤” thỏa mãn Wα( f0, , fn) 6≡ 0 Điều này tương đương với việc {(Dα if0, , Dα ifn)},(0 ≤ i ≤ n) là cơ sở củaFl( f )( f ) Khi đó dễ dàng nhận thấy α thỏa mãn tính

Chú ý:

(i) Giả sử α = (α0, , αn) Vì α thỏa mãn (2.1.1) nên α0 = (0, , 0) và

= m



r,

Wα ( f ,H0 ) ( f ,H0), ,( f ,Hn )

2.2 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình

Định lý cơ bản thứ hai của Cartan:

Cho f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ C vào Pn(C) (có nghĩa ảnh của f không nằm trong bất kỳ siêu phẳng nào) Giả sử Hj(1 ≤ j ≤

q) là các siêu phẳng trong Pn(C) ở vị trí tổng quát Khi đó:

- dưới tổng quát trong Pn(C), N ≥ n, q ≥ 2N − n + 1 Khi đó

Gọi W ( f ) = Wα( f0, , fn) là Wronskian tổng quát của f Với R0= { j1, , jrk(R)},đặt WR0( f ) = Wα( bHj1( f ), , bHjrk(R)( f )) Khi đó với z 6∈ I( f )∪j∈Qf−1(Hj)
,

trong đó CR là một hằng số dương phụ thuộc vào R Suy ra

Với C0 là một hằng số dương Lấy tích phân hai vế trên S(r) và áp dụng(2.1.2) ta được

Để tiếp tục, ta chứng minh mệnh đề sau

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

( bH1( f ))0(a) ≥ ≥ ( bHN( f ))0(a) ≥ 0 = ( bHN+1( f ))0(a) = = ( bHq( f ))0(a).Đặt R = {1, , N + 1}, ta có

d, 1 ≤ d ≤ N Cho {Hj}qj=1 là q siêu phẳng ở vị trí N - dưới tổng quát trong

Pn(C) sao cho ( f , Hj) 6≡ 0 ∀1 ≤ j ≤ q Khi đó ta có

Chú ý rằng, vì ( f , Hj) 6≡ 0 nên aj0, , ajd không đồng thời bằng không, do

đó họ siêu phẳng { eHj}qj=1 như trên là tồn tại Ta dễ thấy rằng

1/ ef không suy biến tuyến tính,

2/ Tf(r) = T

e

f(r) + O(1),3/ ( f , Hj) = ( ef, eHj), 1 ≤ j ≤ q,

4/ { eHj}qj=1 ở vị trí N - dưới tổng quát trong Pd(C)

Áp dụng định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ ef và họ siêu phẳng { eHj}qj=1 tađược

Định lý 2.3.2 Cho f : Cm−→ Pn(C) là ánh xạ phân hình có hạng bằng d,

1 ≤ d ≤ N Cho {Hj}qj=1 là q siêu phẳng ở vị trí N - dưới tổng quát trong

Pn(C) sao cho ( f , Hj)0(z) ≥ µj với mọi z ∈ Supp( f , Hj)0, 1 ≤ j ≤ q Khi đó

µj.Nếu νj = +∞ thì hiển nhiên d

µ j = 0 Giả sử S = { j : ( f , Hj) ≡ 0} có #S =

k≤ q Vậy họ siêu phẳng {Hj}j6∈S ở vị trí (N + 1 − k) - dưới tổng quát trong

Pd(C) Theo định lý về quan hệ số khuyết ta có

Chứng minh

Ta phân hoạch tập chỉ số {0, , n} = ∪Iα sao cho Fi

Fj = const ∈ C \ {0}khi và chỉ khi i, j cùng thuộc một tập con Iα Ta chỉ cần chứng minh họ {Iα}thỏa mãn hai tính chất (i) và (iii) là được

(a) Để chứng minh (i), ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi 0 ≤ i ≤ n tồntại j 6= i sao cho Fi

Áp dụng định lý 2.3.2 cho F và các siêu phẳng tọa độ Hi = {ωi = 0}, i =

KẾT LUẬN

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết Nevanlinna chokhông gian xạ ảnh phức Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu trọngNochka và định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka cho ánh xạ phân hình.Các vấn đề được trình bày trong luận văn gồm:

- Sự tồn tại của trọng Nochka cho một hệ tùy ý các siêu phẳng ở vị trí dướitổng quát

- Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnhkhông suy biến tuyến tính và các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát

- Quan hệ số khuyết được sinh ra từ Định lý cơ bản thứ hai Cartan-Nochka

Tài liệu tham khảo

[1] Fujimoto H (1993), Value distribution theory of the Gauss map of mal surfaces in Rm, Vieweg-Verlag, Braunschweig

mini-[2] Nochka E I (1983), On the theory of meromorphic functions, Soviet.

Math Dokl 27, 377-391

[3] Noguchi J and Winkelman J (2014), Nevanlinna Theory in Several plex Variables and Diophantine Approximation, Grundlehren der math-ematischen Wissenenschaften 350, springer Japan