Dạy học phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán phương trình và bất phương trình cho HS trung học phổ thông

Giả thuyết khoa học Nếu phát hiện được những dạng sai lầm mà HS thường mắc phải và đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm giúp HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm đó trong dạy học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố Tôi cũng xin cam đoan rằng các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Huyền

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS Đào Thái Lai, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này trong thời gian qua

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Lãnh đạo phòng Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, cùng tất cả quý thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình học tập nghiên cứu

và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khóa 23, chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán tại Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên

Tác giả xin cảm ơn quý thầy, cô trong Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPT Yên Phong 2, huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh, đã giúp đỡ và tạo điều kiện trong quá trình tiến hành TN sư phạm

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè - những người luôn

cổ vũ động viên bản thân trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này Tuy đã có nhiều cố gắng, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và bạn đọc

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Huyền

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục chữ viết tắt iv

Danh mục các bảng và hình v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông 5

1.1.1 Vai trò của việc giải bài tập toán 5

1.1.2 Chức năng của bài tập toán 8

1.2 Một số dạng phương trình, bất phương trình cơ bản 9

1.2.1 Phương trình,bất phương trình căn thức cơ bản 9

1.2.2 Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 11

1.2.3 Một số dạng PT,BPT thường gặp khác 11

1.3 Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa sai lầm cho HS khi giải toán 12

1.4 Một số dạng sai lầm HS thường mắc phải khi giải toán phương trình, bất phương trình 13

1.4.1 Sai lầm do thiếu điều kiện xác định 13

1.4.2 Sai lầm do không nắm vững các biến đổi tương đương 16

1.4.3 Sai lầm do sử dụng sai bất đẳng thức 21

1.5 Thực trạng dạy học phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán PT và

BPT cho HS ở trường THPT 23

1.6 Kết luận chương 1 25

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM 27

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp 27

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm giúp HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải toán PT và BPT ở trường THPT 28

2.2.1 Biện pháp 1: Hạn chế sai lầm thường mắc phải cho HS thông qua phân tích bài toán có chứa sai lầm 28

2.2.2 Biện pháp 2 Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức nền cho HS 39

2.2.3 Biện pháp 3 Việc hướng dẫn học sinh phát hiê ̣n và sửa chữa các sai lầm, cần kịp thời, đảm bảo tính chính xác, đồng thời chú ý đến tính giáo dục 51

2.2.4 Biện pháp 4 Khai thác những sai lầm của HS trong giải toán để giúp HS khắc sâu kiến thức và rèn luyện những kĩ năng cần thiết 58

2.3 Kết luận chương 2 62

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 63

3.1 Mục đích thực nghiệm 63

3.2 Tổ chứ c và nô ̣i dung thực nghiê ̣m 63

3.2.1 Tổ chứ c thực nghiê ̣m 63

3.2.2 Nội dung thực nghiê ̣m 63

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiê ̣m 64

3.3.1 Đánh giá định tính 64

3.3.2 Đánh giá định lượng 65

3.4 Kết luận chương 3 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 PHỤ LỤC

Bất đẳng thứ c Đối chứng

Trung học phổ thông Thực nghiệm

DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH

Bảng:

Bảng 1.1 Nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán PT, BPT 23

Bảng 3.1 Bảng thống kê điểm số 65

Bảng 3.2 Bảng phân phối tần suất 65

Bảng 3.3 Bảng tổng hợp các tham số 66

Bảng 3.4 Bảng thống kê điểm số 67

Bảng 3.5 Bảng phân phối tần suất 67

Bảng 3.6 Bảng tổng hợp các tham số 68

Hình: Hình 3.1 Đồ thị biểu diễn phân phối tần suất điểm số 66

Hình 3.2 Đồ thị biểu diễn phân phối tần suất điểm số 68

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

John Dewey (1859 - 1952), tác giả cuốn sách Dân chủ và giáo dục, một nhà giáo dục vĩ đại đồng thời cũng là một triết gia xuất sắc đã nhận định: “Giáo dục chính là bản thân cuộc sống” (Education is life itself)

Hiến pháp nước CHXHCN Việt Nam năm 1992 đã ghi ở điều 35: “Giáo dục - đào tạo là quốc sách hàng đầu”

Nghị quyết 29 của Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI cũng nêu rõ: “Phát

triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

Tầm quan trọng của giáo dục và đào tạo trong sự nghiệp của dân tộc đặt lên vai đội ngũ những người làm công tác giáo dục nhiều trách nhiệm nặng nề Trong các môn khoa học và kĩ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật Nó còn là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt dộng toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của dạy học toán Tuy nhiên, khi bắt tay vào việc giải toán ,HS thường gặp không ít những khó khăn và mắc phải những sai lầm dẫn đến những yếu kém nhất định trong kết quả học tập của HS Một trong những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó của HS là GV chưa chú ý một cách đúng mức

trong việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho HS ngay trong các giờ dạy học toán Vì điều đó nên ở HS nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm, bản thân HS sau nhiều lần mắc phải những sai lầm trong giải toán thường có tâm lý tự ti, thậm chí chán nản, mất lòng tin và mất hứng thú trong việc học toán

Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng Trên thế giới, nhiều nhà khoa học nổi tiếng đã phát biểu nhiều ý kiến bổ ích về vấn đề này Chẳng hạn I.A.Komensky đã khẳng định: “Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho

HS học kém đi nếu như GV không chú ý ngay đến sai lầm đó, bằng cách hướng dẫn HS tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm” A.A Stoliar còn nhấn mạnh: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của HS” G Polya đã nói: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”

Khảo sát thực tiễn việc giải toán của HS ở trường THPT có thể thấy rằng năng lực giải toán của HS còn hạn chế do HS còn vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phương pháp toán học Đặc biệt trong đó có kiến thức về giải phương trình và bất phương trình Đây là một nội dung khó và có vai trò quan trọng xuyên suốt cả chương trình toán THPT

Xuất phát từ nhu cầu bản thân trong việc học tập, tự nghiên cứu các vấn

đề dạy học, tự rèn luyện và nâng cao kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm

Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên, chúng tôi lựa chọn đề

tài: “Dạy học phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán phương trình và

bất phương trình cho HS trung học phổ thông” làm đề tài nghiên cứu

3 Giả thuyết khoa học

Nếu phát hiện được những dạng sai lầm mà HS thường mắc phải và đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm giúp HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm đó trong dạy học phương trình và bất phương trình thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này cho HS, nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn một số nội dung liên quan đến đề tài

- Xác định một số dạng sai lầm phổ biến của HS Trung học phổ thông khi giải toán phương trình và bất phương trình, từ đó xác định nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS Trung học phổ thông khi giải toán phương trình và bất phương trình

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm đã chỉ ra ở trên

- TN sư phạm

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số văn bản, tài liệu liên quan đến

PPDH, các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận dạy học bộ môn Toán có liên quan đến đề tài

- Điều tra, quan sát: Dự giờ một số tiết học thuộc nội dung phương

trình và bất phương trình, trao đổi với GV dạy toán rồi từ đó tổng kết những dạng sai lầm HS thường mắc phải và đề xuất một số biện pháp khắc phục

- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của một số chuyên gia, GV dạy

toán về những sai lầm HS thường mắc phải khi giải toán nội dung phương trình

và bất phương trình và hướng khắc phục

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng

tính khả thi và hiệu quả của đề tài

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm nhằm giúp HS phát hiện và sửa

chữa sai lầm thường gặp khi giải toán phương trình và bất phương trình ở trường THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông

1.1.1 Vai trò của việc giải bài tập toán

Theo G.Polya: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [7]

Theo Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa: “Khái niệm bài toán hiểu

là một công việc hoàn thành được nhờ những phương thức đã biết trong những điều kiện cho trước” [4]

Cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giải bài tập, chỉ yêu cầu

áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống

Trong sách giáo khoa hiện hành, sau mỗi bài học thường chia thành ba dạng: thực hành, bài tập, bài toán, trình bày tách biệt nhau, trong đó bài toán thực tiễn chiếm tỉ lệ cao

Đối với HS, giải bài tập toán có thể coi là hoạt động toán học chủ yếu Vậy thế nào là học tốt môn Toán? Đó là giải toán không chỉ biết giải những bài toán thông thường mà cả những bài toán đòi hỏi tư duy độc lập nhất định, có óc phê phán, có tính độc lập và sáng tạo hơn nữa Vì vậy, việc tổ chức ứng dụng

có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Mỗi bài toán mà HS đã giải dạy cho họ kỹ năng hướng về những tình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tìGnh huống, biết lựa chọn một hoạt động, một hướng đi để giải quyết vấn đề Khi làm toán, trí tuệ của con người

được huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp được rèn luyện, từ

đó các thao tác tư duy trở nên nhanh nhạy Có thể nói kỹ năng giải toán là tài sản đặc trưng của tư duy toán học

Thực tế cho thấy, quá trình dạy học giải bài tập nói chung thường diễn ra theo các khâu chủ yếu như: hệ thống lại kiến thức cũ cần đạt được để phục vụ cho tiết dạy, dạy học tri thức phương pháp, vận dụng và luyện tập, cuối cùng là củng cố

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức tạp hơn những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, dạy học giải bài tập có vai trò quan trọng trong dạy học Toán [16]

Các bài toán ở phổ thông là phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội dung

và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể:

- Về mặt mục đích dạy học: Bài toán thể hiện những chức năng khác

nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán khác nhau, chẳng hạn như:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, kĩ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ

+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội

dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lí thuyết

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt

động để HS kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của HS, cũng như hiệu quả giảng dạy của GV Bài tập toán với tư cách là một phương pháp dạy học, giữ một vị trí đặc biệt quan trọng trong việc hoàn thành nhiệm vụ dạy học Toán ở trường phổ thông Việc giải bài tập toán có những tác dụng sau:

- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh động Khi giải quyết bài toán, HS phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải quyết được bài tập Tất cả những thao tác tư duy đó góp phần củng

cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho HS;

- Phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho

HS, bồi dưỡng cho HS một phương pháp nghiên cứu khoa học bởi giải bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực của HS Trong khi giải bài tập toán, HS phải phân tích, lập luận từ đó tư duy logic, tư duy sáng tạo của HS được phát triển và năng lực của HS được nâng cao

- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tế, đời sống từ đó có tác dụng giáo dục cho HS về phẩm chất đạo đức,

rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói riêng và học tập nói chung;

- Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán

và trình độ phát triển của HS

Có thể nói, bài tập toán có những tác dụng to lớn về cả giáo dục lẫn giáo dưỡng Vì thế trong giải bài tập toán, mục đích cuối cùng không chỉ là giúp HS tìm ra đáp số của bài toán (tuy rằng điều này rất quan trọng và cần thiết) mà HS nắm vững cách giải bài toán, nắm vững được các kiến thức đã học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận dụng một cách nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc

1.1.2 Chức năng của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy học là dạy hoạt động toán học cho HS trong đó giải toán là hoạt động chủ yếu Do vậy, dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng như [9]:

- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, những vấn đề về lý thuyết hay phương pháp dạy học ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học toán, khả năng tiếp thu và trình độ phát triển của HS vận dụng kiến thức đã học

1.2 Một số dạng phương trình, bất phương trình cơ bản

1.2.1 Phương trình,bất phương trình căn thức cơ bản

- Bước 1: Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa

- Bước 2: Chuyển vế sao cho 2 vế không âm

- Bước 3: Bình phương cả 2 vế để khử căn thức

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [9; 11]

1.2.2 Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Với:

Biến đổi về dạng:

Sau đó bình phương và giải phương trình hệ quả

1.3 Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa sai lầm cho HS khi giải toán

Trong dạy học toán ở phổ thông, đã có rất nhiều quan điểm và ý kiến nêu

ra về những sai lầm của HS Thực tiễn cho thấy dạy học toán ở trường phổ thông đã quan tâm đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS Tuy nhiên, khả năng giải toán của HS vẫn còn hạn chế do mắc những sai lầm dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm Trình độ học toán của HS đến mức độ nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải toán Vai trò của bài tập trong dạy học toán là

vô cùng qua trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp dạy học môn toán lại gắn với việc xây dựng hệ thống bài tập Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P.M Ecđơnnhiev trong [11]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học toán" Tuy nhiên, nói như vậy không có nghĩa là GV tách rời việc dạy học giải toán cho HS với dạy học các khái niệm

và định lý toán học Bởi lẽ, một khi HS mắc phải khó khăn, sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó đồng nghĩa với việc HS đó chưa nắm vững hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã học vào thực hành giải toán Do đó, khi phát hiện thấy HS còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải toán thì người GV nên nhấn mạnh lại những điểm cần chú ý trong quá trình dạy học khái niệm và định lý toán học cho HS

Thực tiễn dạy học cho thấy, HS khi giải toán thường mắc phải nhiều kiểu sai lầm khác nhau Từ những sai lầm bình thường về tính toán đến những sai lầm do biến đổi, do suy luận và thậm chí có những kiểu sai lầm rất khó phát hiện Nhìn nhận một cách khách quan, các sai lầm ấy là do chính bản thân

Bởi vì, GV chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa kịp thời các sai lầm cho HS trong các giờ học toán; cũng có trường hợp

GV phát hiện sai lầm của HS nhưng chưa làm rõ nguyên nhân, nguồn gốc chính dẫn đến sai lầm đó, hoặc chỉnh sửa một cách qua loa Vì điều này mà HS không những không khắc phục được sai lầm mà còn tiếp tục mắc sai lầm

Mặt khác, với đa số HS phổ thông, môn toán nói chung và nội dung bất đẳng thức và bất phương trình được xem là một trong những nội dung học tập khó Nếu người GV không nghiên cứu, lường trước được những khó khăn và sai lầm mà HS thường gặp khi giải toán thì sau vài lần vấp phải, HS sẽ “sợ” hơn, sẽ mất lòng tin hơn và không còn hứng thú để học toán

Như vậy, có thể khẳng định rằng, việc nghiên cứu những sai lầm của HS

để từ đó chọn lựa cách giảng dạy thích hợp là một việc làm cấp thiết Bởi vì, nếu ta hình dung tốt, lường trước được những sai lầm thì ta sẽ có cách để phòng tránh, ngăn ngừa, còn nếu không thì đôi khi rơi vào tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm” và do đó hạn chế đến chất lượng giáo dục

1.4 Một số dạng sai lầm HS thường mắc phải khi giải toán phương trình, bất phương trình

1.4.1 Sai lầm do thiếu điều kiện xác định

Ví dụ 1.3 Giải phương trình:

- Một HS làm như sau:

(1.3) 

- Phân tích sai lầm: Trong khi giải PT trên HS thiếu điều kiện xác định

cho phương trình này Đây là phương trình chứa phân thức, muốn giải PT

trước tiên phải tìm điều kiện để mẫu thức của phân thức khác 0

+ Phân tích sai lầm: Khi giải phương trình phân thức HS đã bỏ mẫu số đi, chỉ

cho tử số bằng 0 mà không tìm điều kiện cho mẫu số

+ Phân tích sai lầm: Ở PT này, có xuất hiện căn thức mà biểu thức dưới

dấu căn có chứa ẩn Vì vậy, điều đầu tiên ta cần lưu ý là phải tìm ĐKXĐ cho căn thức đó HS đã giải PT mà quên mất điều này nên dẫn đến không loại đi nghiệm ngoại lai

+ Lời giải đúng:

 Nguyên nhân sai lầm:

Với x = 0 thì biểu thức vô nghĩa nên x = 0 là nghiệm ngoại lai Với x = - thì biểu thức vô nghĩa nên là nghiệm ngoại lai

 Lời giải đúng:

(1.6) 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =

Kết luận: Sau khi cho HS giải các bài tập dạng này và quan sát thấy sai

lầm các em thường mắc phải đó là thiếu điều kiện xác định cho phương trình

Vì vậy, GV cần khắc sâu chú ý cho HS rằng : "Khi giải một dạng PT nào đó, điều đầu tiên các em cần lưu ý là xác định xem, PT đó thuộc loại PT gì, ứng với loại đó thì ĐKXĐ của chúng là gì?" Ví dụ, phương trình có chứa căn thức mà biểu thức dưới dấu căn có chứa ẩn, thì điều kiện là biểu thức đó phải không âm Hay PT chứa phân thức mà mẫu thức của phân thức đó chứa ẩn thì điều kiện là mẫu thức đó phải khác không, hoặc phương trình lôga thì điều kiện phải thế nào, Nếu như các em không tìm ĐKXĐ, chỉ chăm chăm vào giải phương trình ngay sẽ

dẫn đến không loại đi nghiệm ngoại lai như các ví dụ các bạn đã làm, như vậy là kết luận sai hoàn toàn Vì thế, bước tìm ĐKXĐ là vô cùng quan trọng"

1.4.2 Sai lầm do không nắm vững các biến đổi tương đương

Sau đây ta sẽ xét đến một dạng sai lầm thứ hai

Ví dụ 1.7 Gia ̉i phương trình: 2x 3 x 2 (1.7)

 Sau khi đặt điều kiê ̣n

2 3

x x

So vớ i điều kiê ̣n của bài toán

2

3



x , cả hai giá tri ̣ x ở trên đều là nghiê ̣m

củ a phương trình (1.7) Vâ ̣y phương trình (1.7) có 2 nghiê ̣m x 3  2 và

2 3

x x

Phương trình x2  6x 7  0 có 2 nghiê ̣m x 3  2 và x 3  2 Cả hai giá tri ̣ này đều thỏa điều kiê ̣n

giá tri ̣ x 3  2 bi ̣ loa ̣i (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá tri ̣ x 3  2là nghiệm của phương trình (1.7) (hai vế cùng bằng 2  1)

Vậy phương trình (1.7) có nghiê ̣m x 3  2

Trong dạy học biến đổi phương trình, HS hay sai lầm khi lũy thừa hai vế của những biểu thức có chứa căn bậc chẵn, dường như căn bậc lẻ không có điều

gì phải bàn thêm Nhưng thực tế không như vậy, xét ví dụ sau:

2 (x x   x

2

x x

Vậy nghiệm của PT là: 







 1

2

x

x

 Nguyên nhân sai lầm:

Phương trình (1.8*) là phương trình hệ quả của phương trình (1.10), do

đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại

6 1

3 1

x x

x

x x

x x

(1.9)

 Sai lầm thường gặp:

2

6 2

6 1

3 3

3 1

x x

x x

x x

x x

x

2

6 2

6 3

3 1

3 1

x x

x x

x x

x x

x

2

6 2

6 2

1

3 1

x x

x x

x



2

6 2

6 1

3 1

x x

x x

4 1 1

2 1 1

2 1

x x

x x



2

4 2

4 1

2 1

x

     2   2 

2 4 2 4 1

1

1 2 1 2

x x

x x

x x



4

16 1

 Nguyên nhân sai lầm:

Với x 0 thì mẫu xx 1 0 và xx 1 0 nên x 0 là nghiệm ngoại lai

 Lời giải đúng:

2

6 2

6 1

3 3

3 1

x x

x x

x x

x x

x

2

6 2

6 3

3 1

3 1

x x

x x

x x

x x

2 2

6 2

6 2

1

3 1

3

x

x

x x

x x

x x

2

6 2

6 1

3 1

3

x

x

x x

x x

x x

4 1 1

2 1 1

2 1

x

x x

x x

4 1

2 1 2

x

x x

2 4 2 4 1

1

1 2 1 2

x

x x

x x

x x

x x

4

16 1

4

2 2

1 4

2

x

x x

0

.

x

ai lo x

Vậy PT (1.9) vô nghiê ̣m

1 4 3 2 6

 x x x x x

 Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS có thể là do thói quen, HS thấy hai vế của một phương trình có biểu thức giống nhau là rút gọn Trong bài toán trên, HS rút gọn thừa số (x2  1 ) vì thừa số (x2 1 )chưa biết có khác 0 hay không, dẫn đến mất nghiệm

Ví dụ 1.11 Giải bất phương trình :

5

1 3 2

1

1   b < a,

mà đúng ra

b a

1

ab

b a

b a ab

0 0

âm, ta có quyền bình phương hai vế để được bất phương trình tương đương

 Với lập luận như thế, họ đã tìm được x ≤ - 4 ngoài x ≥ 5 Thực ra,

x ≤ - 4 không thể thỏa mãn bất phương trình ban đầu bởi khi đó 2x – 7 < 0

Nguyên nhân sai lầm “vế trái ≥ 0, vế trái ≤ vế phải  vế phải ≥ 0” điều này chỉ đúng đối với những x là nghiệm của bất phương trình, do đó

f(x) g(x) là tương đương với hệ

f(x) 0f(x) g(x)









 trên tập nghiệm của bất

phương trình chứ không phải là tương đương trên tập xác định Sau khi được

“cảnh báo” với dạng bất phương trình trên cần phải có điều kiện g(x) ≥ 0, với

sự “cẩn thận” quá mức nên khi giải bất phương trình f(x) g(x) , họ cho rằng

bất phương trình tương đương với

f(x) g(x)

Hệ (1) đã thừa điều kiện khi cho rằng f(x) ≥ 0, bởi lẽ chỉ cần g(x) ≥ 0

là đủ

Kết luận:Ngoài sai lầm do thiếu ĐKXĐ mà HS hay mắc phải khi

giải PT, BPT thì sai lầm do biến đổi tương đương cũng là thường gặp Sai lầm này xuất hiện khi HS chưa nắm rõ bản chất của PT tương đương và PT

hệ quả Vì thế, GV cần khắc sâu cho HS: "Khi giải PT, đối với các phép biến đổi Các em cần lưu ý xem phép biến đổi của mình dẫn đến PT tương đương hay PT hệ quả? Thế nào gọi là 2 PT tương đương? 2 PT tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng một tập nghiệm Do có nhiều bạn chưa nắm vững được khái niệm này nên thường nhầm lẫn trong khi biến đổi, dẫn

lưu ý xem mình biến đổi như vậy có đúng không, chứ không thể làm tùy tiện Ví dụ khi ta bình phương hai vế của một đẳng thức thì hai vế phải không âm mới thực hiện được, hoặc muốn bỏ đi 1 thừa số chứa ẩn thì thừa

số đó phải khác 0,… Nếu không chú ý những biến đổi này, khi giải, các em

sẽ bị thừa nghiệm, hoặc bỏ sót nghiệm của PT, BPT dẫn tới kết luận sai"

+ Lời giải của một HS như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số x và

x 1) 1(



+ Phân tích sai lầm: HS mắc phải sai lầm giống như sai lầm của HS

trong ví dụ 1.13 đó là không để ý điều kiện của các số a, b khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy

+ Lời giải đúng như sau:

Ví dụ 1.15 Chứng minh rằng nếu x > -1 thì x ex >

e

1

 (1.15)

0

d c

b a

 ac > bd Không thể nhân từng vế của (1) và (2) để suy ra điều phải chứng minh

Kết luận: Đối với dạng bài tập này, GV cần khắc sâu cho HS: Bất đẳng

thức là một dạng bài tập khó, vì vậy, khi giải dạng này, các em còn rất nhiều lúng túng Để phát hiện ra BĐT phù hợp sử dụng cho bài toán đã cần sự tinh ý rồi nhưng áp dụng có đúng không lại là một khó khăn nữa Có một vài BĐT quan trọng mà chúng ta thường sử dụng đó là BĐT Cauchy và BĐT Bunhia Copxki Hai BĐT này muốn sử dụng được cần phải có điều kiện đi kèm Vì thế các em cần hết sức lưu ý để sử dụng cho đúng, chính xác

1.5 Thực trạng dạy học phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán PT

và BPT cho HS ở trường THPT

Để bước đầu tìm hiểu thực trạng dạy học phát hiện và sửa chữa sai lầm ở trường phổ thông, chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung này ở trường Trung học phổ thông Yên Phong số 2, huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh Qua trao đổi với một số GV giảng dạy môn toán và nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề dạy học nội dung này, chúng tôi nhận thấy:

a) Đối với GV

Chúng tôi đã tiến hành trao đổi, phỏng vấn trực tiếp với 5 GV dạy toán tại trường Trung học phổ thông Yên Phong số 2 tỉnh Bắc Ninh Qua điều tra, các GV đều cho rằng HS còn mắc phải nhiều sai lầm khi giải toán PT và BPT Hỏi về những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS khi giải toán PT và BPT, kết quả thu được ở bảng dưới đây (Bảng 1.1):

Bảng 1.1 Nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán PT, BPT

Nguyên nhân sai lầm của HS Ý kiến đồng ý

Chúng tôi xin trích dẫn một đoạn phỏng vấn cô giáo Nguyễn Hồng Vân,

GV dạy toán của trường Trung học phổ thông Yên Phong số 2, huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh:

- Hỏi: Theo cô, nội dung PT và BPT có phải là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông hay không?

- Trả lời: Theo tôi thì đây là một nội dung rất quan trọng

- Hỏi: Cô vui lòng cho biết, khi học nội dung PT và BPT, HS có hay mắc phải những sai lầm trong giải toán hay không và đó là những sai lầm gì?

- Trả lời: Thực tế dạy học, tôi thấy khi học nội dung này HS thường mắc sai lầm Một số sai lầm thường mắc phải như: Sai lầm do thiếu điều kiện xác định, do biến đổi sai vì không phân biệt được phương trình tương đương và phương trình hệ quả, do sử dụng sai bất đẳng thức,…

- Hỏi: Theo cô, nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó là gì?

- Trả lời: Theo tôi, đó là do HS không hiểu bản chất, không nắm chắc phần kiến thức đó

- Hỏi: Theo cô, việc tạo ra các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để thử thách HS có tác dụng giúp HS phòng tránh và hạn chế được sai lầm hay không,

cô có hay sử dụng biện pháp này trong quá trình dạy học không?

- Trả lời: Tôi thỉnh thoảng sử dụng biện pháp này trong bài giảng và đúng là có tác dụng tích cực Nhưng chủ yếu chỉ thực hiện được với những đối tượng HS khá giỏi vì mất khá nhiều thời gian, còn những HS trung bình và kém hơn tôi thường chú trọng cho các em nắm vững các kiến thức cơ bản, biết cách vận dụng các kiến thức đó để giải dạng dạng toán cơ bản Hơn nữa, tôi chỉ áp dụng trong các tiết chữa bài tập, các tiết học lý thuyết thì không sử dụng do không có đủ thời gian

Qua trao đổi với các GV, chúng tôi rút ra một số nhận xét như sau: Các

GV đều có nhận thức đúng về tầm quan trọng của nội dung PT và BPT trong chương trình môn toán Các GV đều cho rằng, các kiến thức của nội dung PT và BPT được trình bày trong sách giáo khoa đảm bảo tính lôgic, có liên quan chặt chẽ với nhau do đó thuận lợi cho GV trong quá trình dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học tập của HS Tuy nhiên, đây là một nội dung khá khó, đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức, tư duy logic tốt, nhất là phần bất đẳng thức, hầu như các em còn khá lúng túng khi sử dụng Nội dung kiến thức còn tương đối nhiều trong một tiết dạy do vậy GV gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy

b) Đối với HS

Song song với việc trao đổi, phỏng vấn với các GV, chúng tôi đã tiến hành phát phiếu phỏng vấn đối với 80 HS hai lớp 10A1, 12A2 tại trường Trung học phổ thông Yên Phong số 2, huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh Chúng tôi rút

- HS học những giờ học PT và BPT còn mang tính thụ động, chưa có cơ hội tham gia các hoạt động nhằm phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo, không khí học tập những giờ học đó chưa sôi nổi

Qua kết quả điều tra đối với GV và HS cho thấy đa số HS còn mắc nhiều sai lầm Vì vậy, việc nghiên cứu những sai lầm của HS khi giải Toán và đề xuất các biện pháp khắc phục các sai lầm đó cho HS là rất cần thiết

1.6 Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề mang tính lý luận

có liên quan bài tập toán; đã nêu lên ý nghĩa, sự cần thiết phải phát hiện và sửa chữa những sai lầm của HS khi giải toán; Đã làm sáng tỏ những kiểu sai lầm rất phổ biến của HS phổ thông khi giải toán PT và BPT, bao gồm: sai lầm do thiếu điều kiện xác định, sai lầm do không nắm vững các biến đổi tương đương, sai lầm do sử dụng sai bất đẳng thức; đồng thời phân tích các nguyên nhân chính dẫn đến các sai lầm đó và nêu sơ bộ thực trạng giải bài tập PT và BPT ở trường Trung học phổ thông Qua kết quả điều tra đối với GV và HS cho thấy đa số HS

còn mắc nhiều sai lầm Vì vậy, việc nghiên cứu những sai lầm của HS khi giải Toán và đề xuất các biện pháp khắc phục các sai lầm đó cho HS là rất cần thiết

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN

VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM 2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp

- Định hướng 1 Các biện pháp sư phạm không chỉ giúp sửa chữa sai

lầm cho HS mà còn giúp HS nắm vững tri thức, rèn luyện kỹ năng giải toán

PT và BPT ở trường phổ thông

Để giúp HS khắc phục được một số sai lầm thường gặp khi giải toán PT

và BPT, GV cần chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán PT và BPT cho HS Đồng thời trong quá trình dạy học, GV không những cung cấp cho HS những tri thức về phương pháp để HS có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề,tìm được hướng giải quyết, hướng chứng minh bài toán mà còn giúp HS hiểu được sâu sắc các kiến thức thuộc nội dung PT và BPT

- Định hướng 2 Trong quá trình triển khai thực hiện các biện pháp sư

phạm, GV cần quan tâm đúng mức tới việc tăng cường hoạt động cho HS, phát huy tối đa tính tích cực, độc lập cho HS

Các hoạt động cần được tăng cường cho HS như: Hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, hoạt động trí tuệ Tính độc lập của

HS được thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện ra vấn đề, tự mình phát hiện ra phương hướng, tìm cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được

- Định hướng 3 Các biện pháp sư phạm phải đảm bảo tính khả thi, có

thể thực hiện được trong quá trình dạy học

Tính khả thi của các biện pháp sư phạm được hiểu là khả năng thực hiện

có hiệu quả, áp dụng được vào thực tế dạy học hiện nay, trên cơ sở tôn trọng nội dung sách giáo khoa hiện hành, phân phối chương trình môn toán ở bậc Trung học phổ thông của Bộ Giáo dục và Đào tạo hiện nay Tính khả thi này còn phụ thuộc nhiều vào trình độ nhận thức chung và thái độ học tập

Tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm trước hết là sự nắm vững các kiến thức cơ bản của bài học Tiếp đó là sự thành thạo của HS trong việc liên

hệ để xử lí các vấn đề được đặt ra trong thực tiễn Muốn vậy, những tình huống thực tiễn phải đơn giản, gần gũi với HS Khi liên hệ với thực tiễn, GV cần chọn lọc những vấn đề là những tình huống bám sát nội dung trong sách giáo khoa

và với vốn kinh nghiệm sẵn có của HS trong đời sống, lao động sản xuất Những tình huống đó phải là những tình huống xuất hiện trong thực tế, chúng

sẽ giúp tạo ra một bức tranh sinh động về bài học để giúp HS có thể cảm thụ được tốt nội dung của bài học trên cơ sở niềm vui, hứng thú học tập của HS

- Định hướng 4 Các biện pháp sư phạm phải được vận dụng trên cơ

sở bám sát nội dung PT và BPT trong sách giáo khoa hiện hành ở trường phổ thông

Sách giáo khoa là tài liệu học tập chính thống của HS, đảm bảo cung cấp cho HS những kiến thức chuẩn mực nhất, phù hợp với bậc học, cấp học Trong những năm gần đây, thực hiện phương thức tuyển sinh mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo với nguyên tắc của việc ra đề là không đánh đố, không quá khó, quá phức tạp và bám sát kiến thức trong sách giáo khoa hiện hành Vì vậy, trong dạy học cần phải bám sát nội dung chương trình và chuẩn kiến thức đã được quy định

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm giúp HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải toán PT và BPT ở trường THPT

2.2.1 Biện pháp 1: Hạn chế sai lầm thường mắc phải cho HS thông qua phân tích bài toán có chứa sai lầm

2.2.1.1 Dụng ý sư phạm

Qua một số sai lầm được phân tích ở chương 1, theo chúng tôi, mỗi sai lầm

của HS cần theo dõi qua hai giai đoạn: sai lầm chưa xuất hiện và sai lầm xuất

Nhiệm vụ của GV là dự đoán được những sai lầm mà HS thường mắc phải khi giải toán, phân tích để giúp cho HS thấy được nguyên nhân các sai lầm đó,

HS biết cách hạn chế và khắc phục được những sai lầm mà bản thân thường mắc phải Biện pháp này nhằm mục đích hạn chế và khắc phục những sai lầm

mà HS thường xuyên mắc phải trong giải toán PT và BPT Từ đó, GV giúp HS cảm thấy tự tin khi giải các bài toán liên quan đến chủ đề này Hoạt động này cần cho HS thực hiện thường xuyên và khi tìm ra sai lầm đó cần phải nhấn mạnh giúp HS tránh được những sai lầm để lần sau không lặp lại Có như vậy mới giúp HS hiểu một cách sâu sắc bản chất của từng tri thức đã lĩnh hội, cũng như việc kiểm tra lại từng bước suy luận trong quá trình tìm lời giải của mình

+ Trường hợp riêng của kết quả có thỏa mãn bài toán hay không?

+ Kết quả lời giải có chứa kết quả trong trường hợp riêng hay không? + Kết quả của lời giải này có khác kết quả của lời giải khác hay không?

Sai lầm

Phân tích sửa chữa Phân tích ra sai lầm Củng cố kiến thức

Phòng tránh Kết thúc

Kết thúc

Khi biết mình mắc phải những sai lầm đó, HS mới thực sự cảm thấy

“thấm thía” việc cần thiết phải hiểu sâu sắc bản chất của từng tri thức đã lĩnh hội, cũng như việc kiểm tra lại từng bước suy luận trong quá trình tìm lời giải của mình

Ví dụ 2.1 Tìm m để biểu thức f(x)  (m 2 )x2 2 (m 2 )xm 3 luôn dương (bài 50, tr 140 - Đại số 10 nâng cao)

GV có thể tổ chức hoạt động dạy học cho HS như sau:

- GV: Biểu thức trên đã phải là tam thức bậc hai hay chưa?

- HS: Biểu thức đó chưa là tam thức bậc hai vì hệ số của x2 chưa khác 0

- GV: Giá trị m  2 có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không?

- HS: m  2 ta có f x( ) 1 0,  x Do đó m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

- GV: Một bạn HS đã giải bài toán trên như sau:

0 ) 3 )(

2 ( ) 2 (

0 2 ,

0 )

m

m a R x x

f

Hãy cho biết lời giải trên đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng?

- HS: Lời giải trên chưa chính xác do HS cho rằng f (x) đã là tam thức bậc hai nên áp dụng ngay tính chất dẫn đến xét thiếu trường hợp: am 2  0

- GV: Lời giải đúng của bài toán trên như thế nào?

- HS: Chia hai trường hợp: m 2  0 và m 2  0, kết quả là: m

Ví dụ 2.2 Giải phương trình: 2x x 3 16 (2.2)

- GV: Phương trình đã cho có dạng gì đặc biệt?

- HS: Phương trình có chứa ẩn số trong dấu căn bậc hai

- GV: Em hãy nhớ lại cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn

và xét xem lời giải sau của bài toán trên đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng?

Điều kiện: x Ta có

(2.2)  x 3 16 2x  2

4 64 256

4 lg 1 10 lg

2 2

(2.3)

- GV: PT trên là dạng phương trình có chứa ẩn số dưới dấu logarit Vậy

trước khi giải PT ta phải làm công việc gì?

- HS: Tìm điều kiện xác định của phương trình

- GV: Em hãy tìm điều kiện xác định của phương trình trên?

10 lg



20

2 3 log 2 lg 40

10

2 x  x

x



20

2 3 lg 40

10 lg

1

x x

Lời giải trên đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng

- HS: Lời giải trên chưa chính xác ở chỗ: Với x 6 thì mẫu

3 2 2 log 5 0

log2 x   2  nên x 6 là nghiệm ngoại lai

- GV: Em hãy sửa lại cho đúng

20

2 3 log 40

10 lg

2 3 log

20

2 3 log 2 lg 40

10 lg

2

2 2

x

x x

20

2 3 lg 40

10 lg

2

x

x x

20

2 3 40

10

2

x x

x x

2

2 3 2 10

2

x

x x

2

0 6 7

2

x

x x

2

6 1

x

x x

 x 1

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1

Ví dụ 2.4.Giải phương trình: cot 2 2 cot 4 3

4 sin

2 2

2 cot tan

2 2 sin