Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp F (W) và E (W)

Các tác giả đã chỉ ra rằng toán tử này hoàn toàn xác định trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm, đồng thời thiết lập nguyên lí so sá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

 -LƯU THỊ THANH HUYỀN

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

LƯU THỊ THANH HUYỀN

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2017

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Lưu Thị Thanh Huyền

ii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2017

Tác giả

1.1 Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị 4

1.4 Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới 10

Chương 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ AMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP Fp T( ) W VÀ E Wp T( ) 17

vị Các tác giả đã chỉ ra rằng toán tử này hoàn toàn xác định trên lớp các hàm

đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm, đồng thời thiết lập nguyên lí so sánh để nghiên cứu bài toán Dirichle trên

PSH W ÇL¥ W Năm 1984, Kiselman đã chỉ ra rằng không thể mở rộng toán

tử (dd c.)ntới lớp các hàm đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các

độ đo không âm Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere

đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Năm 1998, Cegrell [3] đã định nghĩa các lớp năng lượng E0( ),W Fp( ),W Ep( )W trên đó toán tử Monge-Ampere phức hoàn toàn xác định Năm 2004, Cegrell [4] đã định nghĩa các lớp

( ),W ( )W

E F và chỉ ra rằng lớp E( )W là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử

Monge-Ampere phức Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère

xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới Nghiên cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet, sự hội

tụ theo dung lượng…

Năm 2006, Dabbek và Elkhadhra [5] đã mở rộng miền xác định của toán

tử (dd c.)q ÙT trong trường hợp hàm đa điều hòa dưới bị chặn, ở đó T là dòng dương đóng song chiều ( , )q q trên W với 1£ q£ n Năm 2014, Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] đã mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere tới một vài lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn Theo hướng nghiên cứu này

(dd c.)q ÙT Đồng thời chứng minh rằng tất cả các hàm số thuộc các lớp này đều là C - T tựa liên tục và nguyên lí so sánh có hiệu lực trong các lớp đó

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử

Monge-Ampère, tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh

Bedford-Taylor, các lớp năng lượng Cegrell Nghiên cứu một số tính chất của các lớp Fp T( )W và Ep T( )W Tính C - T tựa liên tục trong các lớp Fp T( )W và ( )

T

E Nghiên cứu nguyên lí so sánh trong các lớp Fp T( )W và Ep T( ).W

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 47 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

3

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả cơ sở của lý thuyết đa thế vị, về dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính

chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục của

hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, các lớp năng lượng Cegrell Các nội dung chính của chương này được tham khảo trong tài liệu tham khảo [1]

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu gần đây của Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] về mở rộng miền xác định của

(dd c.)q ÙT đối với các lớp hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết bị chặn với

T là một dòng dương đóng song chiều ( , )q q trên một tập mở WÌ £n Một số tính chất của các lớp Fp T( )W và Ep T( )W [8] Chứng minh tính C - T tựa liên tục của các hàm số thuộc các lớp Fp T( )W và Ep T( )W và nguyên lí so sánh trong các lớp đó

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

4

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị

Giả sử ¡ là không gian vector n chiều với cơ sở chính tắc n

p - tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định

Một ánh xạ p - tuyến tính sao cho f v( , ,1 v p) = 0 khi v j = v j+1,1£ j < n

gọi là ánh xạ p - tuyến tính thay dấu Tập các ánh xạ p - tuyến tính thay dấu

Nếu đặt dx x k( ) = u k, 1£ k £ n x, Î W thì ta có thể viết mỗi p - dạng vi

Định nghĩa 1.1.2 Một dòng bậc p hay có chiều (n - p) trên tập mở WÌ ¡ n

là dạng tuyến tính liên tục ( )

T D - W ® £ Nếu a là dạng trong D(n- p)( )W,

giá trị của T tại a , kí hiệu bởi T a( ) hay T a ,

Bây giờ giả sử ,p q = 0,1, ,n Ta kí hiệu £( , )p q là tập các dạng phức song bậc ( , )p q hệ số hằng trên £ Khi đó nếu n w Î £( , )p q thì có thể biểu diễn:

1

1£ k < < k q £ n Dạng Ka&&hler chính tắc trên £ cho bởi: n

(D n p n q- - ( ))W ¢ gọi là dòng cấp 0, song bậc ( , )p q (hay ( , )p q - dòng cấp 0)

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử T là ( , )p p - dòng trên tập mở WÌ £n T được gọi

là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp

-ta có T Ù là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên W a

1.2 Hàm đa điều hoà dưới

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một không gian tôpô, hàm u X: ® - ¥ + ¥é , )

êëđược gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi a Î ¡ tập hợp {x Î X : ( )u x < a} là mở trong X

u Î PSH W (ở đây kí hiệu PSH W( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W)

Mệnh đề 1.2.3 Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và

( )

( ) sup lim sup ( )

y y

E Ì £ được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

a Î E đều có một lân cận V của a và một hàm u Î PSH V( ) sao cho

E ÇV Ì {z Î V : ( )u z = - ¥ }

Định lý 1.2.5 Cho W là một tập con mở trong £n Khi đó

( )i Họ PSH W( ) là nón lồi, tức là nếu a b, là các số không âm và

các tập con compact của W, thì u Î PSH( )W

hoà dưới trong W

Định lý 1.2.6 Cho W là một tập con mở của £n

( )i Cho u v, là các hàm đa điều hoà dưới trong W và v > 0 Nếu

:

f ¡ ® ¡ là lồi, thì v f ( / )u v là đa điều hoà dưới trong W

( )ii Cho u Î PSH( )W, v Î PSH( )W, và v > 0 trong W Nếu f : ¡ ® ¡

là lồi và tăng dần, thì v f ( / )u v là đa điều hoà dưới trong W

(iii) Cho u,- v Î PSH( )W, u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W Nếu

với dV là yếu tố thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampe Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact

0( )

C W trên W

9

0

n c

dd u = m và gọi là toán tử Monge-Ampe của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử { }m j là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡ n hội

tụ yếu tới độ đo Radon m Khi đó

Mệnh đề 1.3.2 Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và u v, Î PSH( )W ÇL loc¥ ( )W

sao cho u v £, 0 trên W và lim ( ) 0

z u z

® ¶ W = Giả sử T là (n - 1,n - 1)- dòng dương, đóng trên W Khi đó

1.4 Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới

Phần này trình bày một kết quả quan trọng của lí thuyết đa thế vị Đó là chứng minh tính tựa liên tục cho lớp các hàm đa điều hòa dưới Để đi đến kết quả này, ta cần khái niệm dung lượng tương đối của một tập Borel theo nghĩa của Bedford-Taylor

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử WÌ £n là tập mở và E Ì W là tập Borel Dung lượng tương đối của E đối với W, kí hiệu là C E W n( , ) hay có thể viết là C E n( )

nếu không gặp phải sự hiểu lầm nào khác, là đại lượng cho bởi

Mệnh đề 1.4.4 Giả sử { } v j Ì PSH( )W ÇL loc¥ ( )W là dãy giảm hội tụ điểm trên

W tới v Î PSH( )W ÇL loc¥ ( )W Khi đó với mọi K Ð và W d > 0 ta có

® ¥ Ç > + W =

Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới

Định lí 1.4.5 Giả sử v là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở WÌ £n Khi đó với mọi e > 0 tồn tại tập mở G Ì W với C G n( , )W < e và v liên tục trên

\ G

với C G n( , )W < e và v liên tục trên w \ G Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy

12

và với mọi tập mở U Ð ta có \W U G Ì w j \ G j với j nào đó Vậy v liên tục

trên U \ G Do đó v liên tục trên W\ G Đặt G1 = wÇ{v < - j}, ở đây j

được chọn sao cho ( 1, )

2

n

C G W < e (do Mệnh đề 1.4.3) Đặt v =% max{ ,v - j} và giả sử { }v k là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục xác định trên lân cận của w giảm tới v% Do Mệnh đề 1.4.4 với j = 2, 3, tồn tại k j( ) sao cho với

1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor

Định lý 1.5.1 Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và u v, Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

13

bất đẳng thức (1.1) đúng trên u + d< v thì cho d ] 0 suy ra (1.1) đúng trên

{u < v} Vì vậy có thể giả sử lim infz® ¶ W( ( )u z - v z( ))³ d> 0 Vậy

{u < v}Ð W

)

a Giả sử u v, là các hàm liên tục Khi đó W =¢ {u < v} là tập mở, u v, liên

tục trên W¢ và u = v trên ¶ W¢ Với e > 0, đặt u e = max{u + e,v}

Từ giả thiết lim inf( ( ) ( ))

v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u

và v sao cho u j ³ v k trên ¶w với mọi i k, Có thể coi - 1£ u v j, k £ 0 Lấy

0

e > và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C n (G,W <) e, u v, là các hàm liên tục trên W\ G Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho

v = j trên F = W\ G Ta có

Hệ quả 1.5.2 Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và u v, Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

Hệ quả 1.5.3 Cho WÌ £n là miền bị chặn và u v, Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

® ¶ W - ³ Giả sử (dd u c )n £ (dd v c )n trên W Khi đó u £ v trên W

j j ] j trên W sao cho sup ( c )n

j j

17

CHƯƠNG 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP Fp T( ) W VÀ E Wp T( )

2.1 Các lớp Fp T( ) W và E Wp T( )

Cho W là một miền siêu lồi trong £ , tức là nó là tập mở, liên thông, bị nchặn, và tồn tại h Î PSH- ( )W sao cho với mọi c < 0, {z Î W : ( )h z < c} là tập compact tương đối trong W, trong đó PSH-( )W là tập hợp các hàm đa điều

hòa dưới âm, T là dòng dương đóng song chiều ( , )q q trên W

Định nghĩa 2.1.1 Lớp Cegrell đa phức E0T( )W liên kết với T là tập hợp:

Định nghĩa 2.1.2 Với mỗi số thực p ³ 1 ta định nghĩa Ep T( )W là tập hợp:

p s q s p

s p

+ -

Định lý 2.1.6 Cho u Î Ep T( )W và ( )u j j là một dãy các hàm đa điều hòa dưới, giảm dần tới u như trong Định lý 2.1.3 Khi đó ( dd u c j)q Ù hội tụ yếu tới độ T

đo dương m và giới hạn này không phụ thuộc vào sự lựa chọn dãy ( ) u j j Đặt

(dd u c )q ÙT = m

Chứng minh Lấy 0£ c Î D( ),W d= sup { ( );u z1 z Î Supp c}và e > 0 Giả sử( )r j j là dãy sao cho 0< r j < r j-1 và r j < dist({u j < d/ 2},Wc)

Đặt

Theo Dabbek – Elkhadhra [5], dãy các độ đo (dd c max( ,u%j - k))q ÙT hội tụ

yếu với mỗi k Do đó ta chỉ cần kiểm tra đại lượng sau là đủ:

c

³ W

0 1

q q

Từ các bất đẳng thức (2.4) và (2.5) suy ra điều phải chứng minh 

Chú ý 2.1.8 Nếu u Î E1T( )W và ( )u j j là dãy giảm tới u như trong Định nghĩa 2.1.2 thì

Chúng ta nhắc lại hai lớp ET( )W và FT( )W đã được giới thiệu trong [8]

Định nghĩa 2.2.1 Ta nói rằng u Î FT( )W nếu tồn tại một dãy ( )u j j Ì E0T( )Wgiảm dần tới u sao cho

Một hàm số u sẽ thuộc ET( )W nếu với mọi z Î W tồn tại một lân cận w của z

và một hàm v Î FT( )W sao cho u = v trên w

Như là hệ quả, ta có Fp T( )W Ì FT( )W Ì ET( )W với mỗi p ³ 1 Tuy nhiên ta không biết bất kì mối quan hệ nào giữa Ep T( )Wvà ET( )W

Bổ đề 2.2.2 Cho u v, Î PSH( )W ÇL¥ ( )W và U là một tập con mở của W sao cho u = v gần U¶ Khi đó

Chứng minh Cho u e và v e là chính quy hóa của uvà v theo thứ tự Chọn

U¢Ð sao cho U u = v gần ¶U ¢ Nếu e > 0 đủ nhỏ, ta có u e = v e gần ¶U ¢

và nếu lấy c Î D(U¢) với c = 1 gần {u e ¹ v e}, thì dd c = c 0 trên {u e ¹ v e}

Từ đó suy ra điều phải chứng minh 

Hệ quả 2.2.3 Cho u v Î, FT( )W Giả sử tồn tại tập con mở U của W sao cho

Cho h giảm dần tới 1- , ta được điều phải chứng minh 

Bổ đề 2.2.5 Cho u Î FT( )W Khi đó tồn tại một dãy ( )u j j Ì E0T( )W ÇC( )W

E Chúng ta cần nhắc lại một vài khái niệm đã cho trong [5] về

dung lượng liên kết với T được xác định bởi

C E W = C K K là tập con compact của E}

Định nghĩa 2.3.1 Tập conA của W được gọi là T - đa cực nếu C T( , )A W = 0

Định nghĩa 2.3.2 Một hàm đa điều hòa dưới u được gọi là tựa liên tục đối với

Theo Mệnh đề 2.3.3, tồn tại s e ³ 1 sao cho C T(B u(- s e), )W < e/ 2

Hàm u e = max( ,u - s e) bị chặn trên W nên theo Dabbek – Elkhadhra [5], tồn tại một tập con mở O trong W sao cho C T( , )O W < e/ 2 và u e liên tục trên

\

30

Bằng cách lấy Oe = O ÈB u(- s e), ta suy ra điều phải chứng minh W

Để nghiên cứu tính C - T tựa liên tục trên Ep T( )W, ta sẽ tiến hành như trong trường hợp trước

Mệnh đề 2.3.5 Cho u Î Ep T( )W và ( )u j j Ì E0T( )W giảm dần tới u trên W như trong Định nghĩa 1 Khi đó với mỗi s > 0 ta có

Nói riêng, tập {u = - ¥ } là T - đa cực

Chứng minh Cho s > 0,v Î PSH( ,[W - 1, 0]) Theo nguyên lý so sánh (cho hàm đa điều hòa dưới bị chặn), ta có

31

Hệ quả 2.3.6 Mỗi hàm trong Ep T( )W là C - T tựa liên tục

Bây giờ ta cần phiên bản đầu tiên của nguyên lý so sánh, trong đó một trong những hàm số là không bị chặn Kết quả này đã được chứng minh trong [5] cho hàm bị chặn

Định lý 2.3.7 Cho u Î FT( )W và v Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao cho

Chứng minh Trước tiên ta giả sử u và v liên tục trên lân cận W của SuppT

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử u < v trên W và u = v trên W¶ Đặt v e = max( ,u v - e), ta có v e = u trên W¶ và

Bây giờ xét trường hợp tổng quát Thay u bởi u + d nếu cần thiết, ta có thể giả

sử lim inf(u - v)³ 2d; Do đó có một tập con mở O ÐW sao cho