Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập có độ đo Hausdorff (2n-1) -chiều bằng 0

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải Tích “ Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập có độ đo Hausdorff 2n-1 -chiều bằng 0 ” được hoàn thành

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––

KHONE SONEMANY

SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

QUANH CÁC TẬP

CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n-1) -CHIỀU BẰNG 0

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHONE SONEMANY

SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

QUANH CÁC TẬP

CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n-1) -CHIỀU BẰNG 0

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

Thái Nguyên, năm 2017

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải Tích

“ Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập có độ đo Hausdorff (2n-1) -chiều bằng 0 ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai và bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự đồng ý của đồng tác giả khi đưa vào luận văn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả

Khone SONEMANY

ii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỤC LỤC ii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian phức 3

1.2 Ánh xạ chỉnh hình 4

1.3 Không gian phức hyperbolic Caratheodory 6

1.4 Không gian phức hyperbolic (Kobayashi) 7

1.5 Tập cực và tập đa cực 9

1.6 Độ đo 10

1.7 Đa tạp Riemann 15

1.8 Giải kỳ dị của các hàm bị chặn 15

Chương 2 SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n - 1)-CHIỀU BẰNG 0 17

2.1 Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập mỏng 17

2.2 Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có độ đo Hausdorff (2n - 1)-chiều bằng 0 19

2.3 Metric được xác định bởi hàm đa điều hòa dưới và sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình 24

2.4 So sánh kĩ thuật chứng minh của Kwack với kĩ thuật chứng minh của Omar Alehyane và Hichame Amal 26

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

1

MỞ ĐẦU

Cho D là một miền trong C và E n Ì D là một tập con đóng của C n

Kwack [7] đã chứng minh rằng nếu E là một tập giải tích có codimE ³ 1 thì

mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới một không gian phức hyperbolic

compact X có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D tới X Đỗ Đức Thái trong [13] đã chứng minh kết quả tương tự với X là không gian đầy Caratheodory Chú ý rằng, nếu E là một tập giải tích thì độ đo Hausdorff

2 1

( n - )-chiều H2n-1( )E = 0

Omar Alehyane và Hichame Amal [3] đã tổng quát hóa kết quả trên của

Đỗ Đức Thái và đưa ra một định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi với ánh xạ chỉnh hình Cụ thể là Omar Alehyane và Hichame Amal đã chứng minh định

lý sau:

Cho D là một miền trong C và E n Ì D là một tập con đóng sao cho

2n-1( )E = 0

đầy Caratheodory X có thể thác triển chỉnh hình từ D đến X , và nếu

f Î Hol D X là sự thác triển của f Î Hol D E X( \ , )

Omar Alehyane và Hichame Amal [3] đã chứng minh định lý trên không phải với kỹ thuật chứng minh của Kwack [7] Đồng thời, hai nhà toán học này cũng chứng tỏ kỹ thuật của Kwack không thể sử dụng vào nghiên cứu bài toán sau:

Bài toán: Cho D là đĩa đơn vị trong C , E Ì D là một tập con đóng sao cho

1( )E = 0

H và X là không gian hyperbolic compact Mọi ánh xạ chỉnh hình

f từ D \ E tới X có thể thác triển chỉnh hình được trên D hay không ?

2

Mục đích của luận văn là nghiên cứu kết quả của Omar Alehyane và

Hichame Amal về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có

độ đo Hausdorff (2n - 1)-chiều bằng 0 vào một không gian phức

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn

được trình bày trong 2 chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số

khái niệm và kết quả liên quan đến nội dung chính của luận văn bao gồm:

Ánh xạ chỉnh hình, không gian phức, không gian phức hyperbolic, không gian

phức hyperbolic Caratheodory, tập cực, tập đa cực và một số độ đo: Độ đo

hyperbolic, độ đo Caratheodory, độ đo Hausdorff , …

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi

trình bày lại một cách chi tiết kết quả nghiên cứu của Omar Alehyane và

Hichame Amal

Để hoàn thành khóa học, tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy

cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Tuyết Mai, cô

đã tận tình chỉ bảo, định hướng chọn đề tài, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm

nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị

em, bạn bè, đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới những người thân

trong gia đình đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và luôn tin tưởng vào sự

trưởng thành của tôi

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017

Tác giả

Khone SONEMANY

3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian phức

Định nghĩa 1.1.1 ([1])

Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff

+) Cặp ( , )U j được gọi là một bản đồ địa phương của X , trong đó U là tập

mở trong X và j :U ® Cn là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

A các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập

bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

trình giải tích Tức là, với x0 X tồn tại lân cận mở V của x trong Z và hữu

hạn các hàm chỉnh hình j 1, ,j m trên V sao cho

| | | |

n i i

+) Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x0 Î X nếu f khả vi phức trong

một lân cận nào đó của x0 và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình

tại mọi điểm thuộc X

+) Một ánh xạ f :X ® C m có thể viết dưới dạng f = ( , ,f1 f m), trong

đó f i = p i f :X ® C,i = 1, ,m là các hàm tọa độ Khi đó f được gọi là

chỉnh hình trên X nếu f i chỉnh hình trên X với mọi i = 1, ,m

+) Ánh xạ f :X ® f X( ) Ì Cn được gọi là song chỉnh hình nếu f là

6

hình (trong đó Hol X Y( , ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được

trang bị tô pô compact mở)

C ) của tập

M = D´ ¶D È Z ´ D , (1.1) trong đó Z Î D , thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D = D´ D n

1.3 Không gian phức hyperbolic Caratheodory

1.3.1 Giả khoảng cách Caratheodory

Trong đó supremum lấy trên tất cả các f Î Hol X D( , )

Khi đó C X được gọi là giả khoảng cách Caratheodory trên X

Chú ý: Vì D là thuần nhất, ta chỉ cần lấy supremum trên họ con

7

2) Với X = D , giả khoảng cách Caratheodory C D trùng với khoảng cách Poincaré r , tức là C D = r

1.3.2 Định nghĩa không gian phức hyperbolic Caratheodory

Một không gian phức X được gọi là hyperbolic Caratheodory hoặc C

-hyperbolic, nếu C X là khoảng cách và cảm sinh tô pô của X

- Một không gian C -hyperbolic X được gọi là đầy nếu X là đầy

Cauchy đối với C X

- Một không gian C -hyperbolic X được gọi là đầy mạnh nếu mọi hình

cầu đóng đối với C X trong X đều compact

1.4 Không gian phức hyperbolic (Kobayashi)

1.4.1 Giả khoảng cách Kobayashi

Định nghĩa 1.4.1 ([1])

Giả sử X là một không gian phức liên thông, x và y là hai điểm tùy ý của X Hol D X( , ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , được trang

bị tô pô compact mở Xét dãy các điểm P0 = x, P1, ,P k = y của X , dãy các

điểm a a1, 2, ,a k của D và dãy các ánh xạ f1, ,f k trong Hol D X( , ) thỏa mãn:

1

(0)

f = p- , f a i( )i = p i, " =i 1, ,k Tập hợp a = {p0, ,p a k, , ,1 a f k, , ,1 f k} thỏa mãn các điều kiện trên

được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X Với mỗi dây

chuyền a như vậy ta lập tổng ( )

10;

k

D i i

a r

=

10;

k

D i i

a r

8

trong đó W là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x y, x và y trong X

Dễ thấy d X :X ´ X ® R thỏa mãn các tính chất sau:

Do đó d X :X ´ X ® R là một giả khoảng cách trên X và được gọi là

giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X

Nếu X không liên thông, ta định nghĩa d X( , )x y = ¥ với x , y thuộc

hai thành phần liên thông khác nhau

1.4.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi

i) Nếu f :X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f

là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

với mọi ,x x X , với mọi ,y y Y

iii) Giả sử X là không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa

Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d X trên X là khoảng cách, tức là

i) Nếu X , Y là các không gian phức, thì X Y là không gian

hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic

ii) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y

Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác,

không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic

+) Tập E Ì C n được gọi là tập đa cực (hoặc C -cực) nếu tồn tại một hàm n

đa điều hòa dưới trong một lân cận của E mà đồng nhất bằng - ¥ trên E

Hiển nhiên, một tập đa cực trong C là tập cực (khi xem nó là một tập n

Gọi A là một tập con đo được Borel của X , xét các dãy f i :D( )n X

các ánh xạ chỉnh hình và các tập mở U i trong D( )n sao cho

trong đó infimum được lấy trên tất cả các dãy  f và i  U i

Chú ý: Nếu A là tập đo được trong X và : f X Y là chỉnh hình, thì ( )

là đo được Borel trên Y Hơn nữa, một độ đo chính quy thỏa mãn tính chất: độ

đo của một tập là infimum của các độ đo của các tập mở chứa nó Vì vậy trong định nghĩa của độ đo Kobayashi, thay cho các tập mở U i ta có thể lấy các tập con đo được trên D( )n

Định nghĩa 1.6.2 ([9])

Cho f :X Y là ánh xạ chỉnh hình Cho m, n là độ đo chính quy trên

X và Y tương ứng Ta nói rằng f là giảm độ đo nếu

( ( ))f A ( )A

n £ m , với mọi tập đo được A Trong định nghĩa trên ta có thể thay thế tập đo được A , bởi các tập mở U

thì f là giảm độ đo đối với các độ đo trên X , Y tươn ứng

Thực vậy, tập các điểm x Î X sao cho df x( ) là điểm kì dị là một tập

con giải tích S , và độ đo của f S( ) bằng 0 Trên phần bù mở của S , f là giảm

độ đo, vì vậy f là giảm độ đo trên X

1.6.2 Tính chất của độ đo Kobayashi

Cho X , Y là các không gian phức n chiều Khi đó các tính chất sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

i) Nếu X = D n thì m X = mY, trong đó Y = Y( )1n

ii) Cho :f X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức n chiều

Khi đó f là giảm độ đo Kobayashi

iii) Nếu m là một độ đo trên X sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình

Một không gian phức X được gọi là hyperbolic đo được nếu m X( )V > 0

với mọi tập con mở không rỗng V trên X

Định lý 1.6.1 ([9]).

Cho X là đa tạp phức và cho Y là một dạng giả thế tích trên X Giả sử rằng R ic Y( ) là dương, và tồn tại bằng hằng số B > 0 sao cho

Cho X là không gian phức n chiều Nếu X là hyperbolic, thì X là

hyperbolic đo được

1.6.4 Độ đo Caratheodory

Định nghĩa 1.6.4 ([4])

Một hàm hàm tập hợp (set function) m xác định trên lớp tất cả các tập

con của tập hợp X và lấy giá trị trong [0,+ ¥ ] được gọi là độ đo ngoài trên X

(hoặc độ đo ngoài Caratheodory) nếu:

i) m f =( ) 0

ii) m A( ) £ m B( ) khi A Ì B, tức là m là đơn điệu

1( n ) ( n)

Cho m là một hàm tập hợp lấy giá trị trong [0,+ ¥ ] và xác định trên lớp

tất cả các tập con của một không gian X sao cho m f( )= 0 Tập A Ì X được

gọi là đo được Caratheodory đối với m (hoặc m - đo được Caratheodory ) nếu,

với mỗi tập E Ì X , ta có một đẳng thức

m E ÇA + m E A = m E (1.2) Lớp tất cả các tập m - đo được Caratheodory được ký hiẹu là Mmm

Như vậy, tập đo được tách mỗi tập theo yêu cầu cộng tính của m Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, tính đo được không thỏa mãn đẳng thức

m A + m X A = m X (1.3) Thậm chí cả trong trường hợp độ đo ngoài với m X < ¥ ( )

.iii) Nếu m là hàm độ đo ngoài trên tập X , thì lớp Mmm là một s -đại số

và hàm m với giá trị trong [0,+ ¥ ] là cộng tính đếm được trên Mmm

Hơn nữa, độ đo m là đầy trên Mmm

1.6.5 Độ đo Hausdorff

Định nghĩa 1.6.6 ([5])

Cho E là tập con tùy ý của không gian metric Xét một phủ của E bởi

đếm được các hình cầu B bán kính j r tương ứng và tổng j å r j a là một số cố định, trong đó a ³ 0 Gọi m E a( ) là infimum của các tổng như thế Khi đó E được gọi là một tập “chiều a ”

Từ định nghĩa trên, ta có hình cầu đơn vị trong R có chiều 1 với mọi m

14

+) Với a không là số nguyên ta lấy hằng số c a là biểu thức tương ứng với hàm gamma (các hằng số này không đóng vài trò tổng quát, nhưng chuẩn tắc hóa này được thông qua); chỉ số a luôn luôn không âm Khi ò giảm thì ( )E

Số Ha( )E được gọi là độ đo Hausdorff bậc (chiều) a của E (hoặc Ha -

độ đo, hoặc đơn giản là a - độ đo) của E

Chú ý: +) Rõ ràng Ha ³ c m E a a( ) Vì sự xác định các m ađơn giản hơn, nên ta

có Ha( )E = 0 khi và chỉ khi m a( )E = 0

+) Với a = 0, "r j0 = 1 và tổng å r j0 là số phần tử của phủ { }B j Do

đó H0( )E = # E

1.6.6 Một số tính chất đơn giản của độ đo Hausdorff

Từ định nghĩa độ đo Hausdorff ta có các tính chất sau:

i) Dưới cộng tính: Ha( ¥1 E k)£ å 1¥ Ha(E k), và nếu E = ¥1 E k là một hợp hữu hạn địa phương của các tập compact đôi một rời nhau, thì

Số inf :{a : Ha( )E = 0} được gọi là chiều metric hoặc Hausdorff của E

iv) Nếu :f X ® Y là một ánh xạ liên tục giữa các không gian metric X,

Y đều thỏa mãn điều kiện Lipschitz (tức là r Y( ( ), ( ))f x f x¢ £ C r X( ,x x¢) với

15

một số hằng số C vỏ với mọi x x, đẽ X , thớ Ha( ( ))f E ê C aHa( )E với mọi

E è X Đặc biệt cõc độ đo Hausdorff khừng tăng qua phờp chiếu

N Ẽ m è N

R R R

v) Tợnh chất Ha( )E = 0 hoặc Ha( )E = ơ với cõc tập con E của đa tạp trơn M khừng phụ thuộc vỏo cõch chọn metric trởn M tương thợch với cấu trỷc trơn trởn M

Một đa tạp trơn M nhỷng trong R , hoặc trong N Pn với metric cảm sinh

được gọi lỏ một đa tạp Riemann m -chiều

Mệnh đề 1.7.1 ([5])

Trởn một đa tạp Riemann m -chiều, độ đo Hausdorff Hm trỳng với độ

đo Lebesgue ngoỏi

1.8 Giải kỳ dị của cõc hỏm bị chặn

Định lý 1.8.1 ([5, A1.4])

Cho D lỏ một miền trong C , vỏ E lỏ một tập đụng của D cụ độ đo n

Hausdorff H2n-1( )E = 0 Khi đụ mỗi hỏm f chỉnh hớnh vỏ bị chặn đều trởn

16

\

D E có một liên tục chỉnh hình trên D

Bổ đề 1.8.2 ([5, A1.4])

Cho D là một miền trên R và E là một tập cực đóng trên D Khi đó mọi N

hàm u điều hòa và bị chặn trên D \ E liên tục tới một hàm điều hòa trên D

Hệ quả 1.8.3 ([5, A1.4])

Cho D là một miền C , và E là một tập cực (như là một tập trong n R2n)

là đóng trong D Khi đó mỗi hàm f chỉnh hình và bị chặn trên D \ E có một liên tục chỉnh hình trên D