Đây là một vấn đề trong toán học, học sinh có thể dùng tham số để giải một bài toán, có thể dùng máy tính để giải bài toán trắc nghiệm một cách dễ dàng nhất khi làm bài thi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Dùng máy tính sẽ dự đoán được y đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 và y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2, từ đó ta giải được như lời giải 1 hoặc 2.
Trang 1DÙNG THAM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
Ví dụ 1 Giải phương trình 2 2
2x x 2 x x 9 3x 1
Định hướng:
+) Nhận thấy : x 1, x 0 là nghiệm của phương trình đã cho ( Các bạn cũng có thể sử dụng máy tính
CasiO để tìm nghiệm x 1, x 0) nên chúng ta tìm cách để rút nhân tử chung là x(x-1)
x x 9 9 3 x x 9 3 0 +) Khi x 1 thì : 3x 1 2 và khi x0 thì : 3x 1 1 nên ta phải chọn a,b để
3x 1 (ax+b)=Ax(x 1) (*) (Trong đó A là biểu thức chứa x)
Từ (*), cho x = 0 ta được 1 – b = 0 hay b = 1
Từ (*), cho x = 1 ta được 2 – a – b = 0 Do đó a = b = 1
Từ đó ta có lời giải sau
Lời giải : Điều kiện :
3 1
x
PT 2 x 2 2 x x 2 x 9 3 3 x 1 x 1
1 1
3
1 2 2 1 3 3 9 2
2 2
2
x x
x x
x x
x
x x x
x
0 1 1
3
1 3
9 2
1 2
x x
x x
x
x
x x 0
x 1
1
1 1
3
1 3
9 2
1
x x
x x
)
Vậy Tập nghiệm của PT là S 0;1
4 1 x x 6 3 1x 5 1x
Định hướng: Điều kiện : 1 x 1
Đặt : a 1x b; 1x
Ta tách x6 dưới dạng x 6 m1 x m1 1 x 2m5
Phương trình đã cho trở thành
4ama m1 b 2m 5 3ab5bm a 3b4 a m1 b 5b2m 5 0 m0 Xem a là ẩn số, b là tham số ta cần chọn m để:
a k b
hay a là tam thức bậc hai ẩn b và có
Dùng máy tính hoặc giải phương trình này tìm được nghiệm m = 1, từ đó có lời giải sau
Lời giải: Điều kiện : 1 x 1 Đặt : a 1x b; 1x a b, 0 x 6 1 x 2 x 1 3 Phương trình đã cho trở thành :
4aa b 3ab5ba a 3b4 2b 5b30 *
5
Trang 2Từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm :
1 2
2 3 2
+) Với a b 1 , ta có : 1 1 1 3
2
+) Với a2b3 , ta có : 1 x 2 1 x 3 VN
Vậy phương trình đã cho có nghiệm : 3
2
x
Ví dụ 3 Giải các hệ phương trình sau
2
x y xy
Định hướng:
Nhân hai vế của phương trình (1) với rồi cộng theo vế với phương trình (2) được
Chọn để phương trình này là phương trình bậc hai ẩn x (Xem y là tham số) có
2
1 hoặc 1 Từ đó ta có lời giải như sau(ngoài ra ta cũng có thể trừ vế với vế)
Lời giải:
Cộng hai phương trình của hệ ta có
Suy ra hệ phương trình tương đương với
3 2
x y
x
x y
2
x xy y
y x (4)
Giải hệ (3):
3
x x
y y
x x
x x
1
1 2
1
3 2x
x
x x
y y
1
x y
Giải hệ (4):
4
2 2
x x x
x x
x x x
y y
1 1
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; là 1;1 và 2; 1
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
x xy x y
x y xy x y
Định hướng:
Nhận thấy rằng đối với biến y thấy có sự tương đồng về bậc trong hai phương trình có ở hệ do đó ta nhân với phương trình hai một số thực khác không rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được
Trang 33 2 2 2 2
Ta sẽ chọn sao cho đúng với mọi y, suy ra 2x 2 2x2 x 2 x3 x2 x 4 0
(*)
Dễ thấy x 2, 2 thỏa mãn (*) do đó ta có lời giải sau
Lời giải:
Nhân phương trình thứ hai với 2 rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được
2 2
2
2 2
2
x x
y y y
x
2
Thay x 2 vào phương trình thứ hai ta có
Vậy phương trình có nghiệm là x y; 2;1
Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
5
x
y
Định hướng tìm lời giải 1:
TXĐ của hàm số là D = 5; 5
Vì hàm số đó là hàm số lẻ trên D nên chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5
x
y với x D
Đưa vào tham số thực dương k
Với mọi x D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2 2
2
5 1
9 5
1
3 5
k x
k k
Suy ra
2 2
2
9
x x k
k x
k k
x
9
x x k
k
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
2
5 2
5 5
2 2 2 2
2 2
x x
k (2)
Do đó
2
5
2 2
k k
A
Trang 4Chọn k sao cho tồn tại x D để đẳng thức ở (1) và (2) đồng thời xảy ra hay
2
3 4
3 2
5 3
2 5
5
1
5
3
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
x
k x
k k
k
k x
x x
k
x
k
k
( Vì k > 0 )
Do đó chọn k = 3
Lời giải 1:
TXĐ của hàm số là D = 5; 5
Với mọi x D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2
2 2
5 3 1 3 5
1 3 3 5
3 x x x = 2 8x2
Suy ra 2
5
x
8 2 8
2x x x x (1.1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2
8 8
2 2 2
x x x x (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) suy ra y 88y8
y= 8 chẳng hạn khi x = 2; y=-8 chẳng hạn khi x = -2
Vậy maxy8;min y8
D
Định hướng tìm lời giải 2:
Đưa vào tham số thực dương l
Với mọi x D, ta có
5
2 2
1 3 5
2 2
1 3 5
l x x x l l x x
x
y
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2
2
5 5
2 l x x l x x
Suy ra
5 2
1
l x
A
Hay
l x x l
l
A
2
5 3 2
1 2
2
(Đẳng thức xảy ra khi l2x2 5x2)
Đặt t x (t0), khi đó
l t t l
l
t
f
A
2
5 3 2
1 )
2
2
1
2
l
l
thì f(t) là tam thức bậc hai (ẩn t) và đạt được giá trị lớn nhất khi
1
3
2
l
l
t Do đó ta cần
chọn số thực dương l sao cho 1 0
2
l
hay l (0;1) và tồn tại x thỏa mãn
Trang 5
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
1 9 1 5
1
3
5
l
l x
l x l
l
x
x
x
l
( Vì l (0;1) )
Vì thế chọn l sao cho
2
1 1
9
1
5
) 1
; 0 (
2 2
2
l
l
l
l
Do đó chọn l = 1
2
Lời giải 2:
TXĐ của hàm số đó là D = 5; 5
5 3
5
x
y =3x 2 2
5 4
1
2 x x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2
5 4
1 5
4
1
2 x x x x
Suy ra
Hay y 88 y8
y= 8 chẳng hạn khi x = 2; y=-8 chẳng hạn khi x = -2
Vậy maxy8;min y8
D
Định hướng tìm lời giải 3: Dùng máy tính sẽ dự đoán được y đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 và y đạt giá
trị nhỏ nhất khi x = - 2, từ đó ta giải được như lời giải 1 hoặc 2