Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị

Chương 1 của luận văn dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi, giải tích đa trị như khái niệm ánh xạ đa trị, nón trong khônggian tuyến tính, tính liên tục theo nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI THẾ HÙNG

THÁI NGUYÊN - 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017Người viết luận văn

Nengvue XOUA YI

TS Bùi Thế Hùng

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tôitrong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể cácthầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạođiều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tổ Toán Trường trung học phốthông (Tỉnh Xay Som Buon- Lào) cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiệngiúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luậnvăn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạnhọc viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trongthời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả

Nengvue XOUA YI

Mục lục

1.1 Tập lồi và một số tính chất 3

1.2 Không gian lồi địa phương 5

1.3 Khái niệm ánh xạ đa trị 6

1.4 Một số tính chất của ánh xạ đa trị 9

1.4.1 Nón trong không gian tuyến tính 9

1.4.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị 10

1.4.3 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị 15

1.5 Nguyên lý ánh xạ KKM 17

2 Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị 19 2.1 Định lý điểm cực đại của ánh xạ đa trị 19

2.2 Ánh xạ tựa đơn điệu suy rộng 22

2.3 Bài toán tựa cân bằng véctơ 24

Kết luận 35

F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Ydom F miền định nghĩa của ánh xạ đa trị Fgph F đồ thị của ánh xạ đa trị F

A\B hiệu của hai tập hợp A và B

A + B tổng véctơ của hai tập hợp A và B

A × B tích Descartes của hai tập hợp A và Bconv A bao lồi của tập hợp A

int A phần trong tôpô của tập hợp A

(EP ) bài toán cân bằng vô hướng

Mở đầu

Năm 1994, E Blum và W Oettli [6] nghiên cứu bài toán cân bằng: Tìmđiểm x ∈ K¯ sao cho

f (¯x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K, (EP )

này ta có thể suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bàitoán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán cânbằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động, (xem [5],[6], [10], [13], [16]) Vì vậy bài toán này được nhiều người quan tâm nghiêncứu như E Blum, W Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S Schaible,Hadjisavvas, Sau đó các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của

sao cho

g(¯x, x) + h(¯x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K,

các hàm số thực cho trước Năm 1998, N X Tấn và P N Tĩnh [17] đã mởrộng kết quả trên cho ánh xạ mục tiêu là tổng của hai ánh xạ đa trị vớiràng buộc cố định và ta gọi bài toán này là bài toán cân bằng véctơ đa trị:

G(¯x, x) + H(¯x, x) ⊆ Y \(− int C) với mọi x ∈ K,

trong đó K là tập con nào đó của không gian X, C là nón trong Y vớiint C 6= ∅ và G, H : K × K → 2Y là các ánh xạ đa trị Năm 2016, G.Kassay, M Miholca và N T Vinh [15] đã chứng minh lại kết quả của N.

X Tấn và P N Tĩnh cho bài toán cân bằng véctơ đa trị với ràng buộc diđộng và ta gọi bài toán đó là bài toán tựa cân bằng véctơ đa trị: Tìm điểm

¯

x ∈ A(¯x) sao cho

G(¯x, x) + H(¯x, x) ⊆ Y \(− int C) với mọi x ∈ A(¯x),

int C 6= ∅ và A : K → 2K; G, H : K × K → 2Y là các ánh xạ đa trị

Mục đích của luận văn là trình bày kết quả của G Kassay, M Miholca

và N T Vinh trong bài báo [15]

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tàiliệu tham khảo

Chương 1 của luận văn dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ sở

về giải tích lồi, giải tích đa trị như khái niệm ánh xạ đa trị, nón trong khônggian tuyến tính, tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị, tính lồi theo nóncủa ánh xạ đa trị cùng một số tính chất liên quan Ngoài ra chúng tôi cũngtrình bày nguyên lý ánh xạ KKM trong chương này

Chương 2 trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựacân bằng véctơ đa trị với ánh xạ mục tiêu là tổng của hai ánh xạ đa trịdưới giả thiết về tính tựa đơn điệu suy rộng, tính liên tục và lồi theo nóncủa các ánh xạ mục tiêu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Giải tích đa trị được hình thành từ những năm 30 của thế kỷ 20 do chínhnhu cầu của các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn và cuộc sống Từ khoảng 10năm trở lại đây với công cụ giải tích đa trị, các ngành toán học như lýthuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thứcbiến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển,tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý và toán kinh tế, phát triển mộtcách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc Trong chương này, chúng tôitrình bày một số khái niệm và kết quả quen biết về giải tích đa trị đượcchúng tôi trích ra từ các cuốn sách chuyên khảo về giải tích đa trị như N

X Tấn và N B Minh [1], N Đ Yên [2], J P Aubin [3]

là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A ta luôn có

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1]

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Aα ⊆ X là các tập lồi với mọi α ∈ I, I là tập chỉ

α∈IAα cũng lồi

Chứng minh Lấy x, y ∈ A Khi đó x, y ∈ Aα, với mọi α ∈ I Do Aα là lồi

λx + (1 − λ)y ∈ A Vậy A là tập lồi

Mệnh đề 1.1.3 Giả sử Ai ⊆ X là tập lồi và λi ∈ R (i = 1, 2, , m).Khi đó λ1A1 + λ2A2 + · · · + λmAm là tập lồi

Chứng minh Đặt A = λ1A1+ λ2A2+ · · · + λmAm Lấyx, y ∈ A, khi đó tồntại xi ∈ Ai, yi ∈ Ai, i = 1, 2, , m sao cho x = λ1x1 + λ2x2+ · · · + λmxm,

của X Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi củatập A và kí hiệu là conv A

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là

cả các tổ hợp lồi của A Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi và

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A

1.2 Không gian lồi địa phương

(i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ τ;

(ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tậpthuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ;

(iii) τ kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay

vô hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ

Cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô Các phần tử thuộc X ta gọi là

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử τ, τ0 là các tôpô trên X Nếu τ ⊆ τ0, ta nóitôpô τ yếu hơn (thô hơn) tôpô τ0 hay tôpô τ0 mạnh hơn (mịn hơn) tôpô τ.Trường hợp không có quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được

(i) Tập con U của không gian X được gọi là lân cận của A nếu U là bao

(ii) Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con {x} Họ tất cảcác lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó

(i) Một tôpôτ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của Xnếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục

(ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trêntrường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường K

và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X

Định nghĩa 1.2.6 Một không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không

có một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập lồi Hơn vậy, nếu không gian lồi

gian lồi địa phương Hausdorff

Ví dụ 1.2.7 Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các không gianlồi địa phương Hausdorff

Giả sử X và Y là hai tập hợp Ký hiệu 2X là tập tất cả các tập con của

X

tử x ∈ X cho một tập con của Y, được ký hiệu F : X → 2Y

gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) .Tập hợp gph F được gọi là đồ thị của F

Miền định nghĩa của F, ký hiệu dom F, xác định bởi

dom F := x ∈ X : F (x) 6= ∅

Ví dụ 1.3.2 Xét phương trình đa thức với hệ số thực

xn+ a1xn−1+ + an−1x + an = 0,Quy tắc cho ứng mỗi véctơ a = (a1, a2, , an) ∈ Rn với tập nghiệm củaphương trình trên, kí hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị

F : Rn → 2C

Định nghĩa 1.3.3 Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đatrị F : X → 2Y Ta nói rằng:

(i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y, với mọi x ∈ X

(ii) F là ánh xạ lồi nếu gph F là tập lồi trong X × Y

ánh xạ đa trị Ta nói rằng:

(i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y, với mọi x ∈ X

(iii) F là ánh xạ compact nếu F (X) là tập compact tương đối trong Y

và ánh xạ đa trị F : X → 2Y Khi đó:

(i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng

(ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở

(iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi

(iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi

(1 − t)F (x) + tF (x0) ⊆ F ((1 − t)x + tx0) với mọi x, x0 ∈ X và t ∈ [0, 1].Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị có giá trị lồi chưa chắc làánh xạ lồi và ánh xạ đa trị có giá trị đóng chưa chắc là ánh xạ đóng

F (n) =

conv1, 2, , n − 1 , nếu n ≥ 2,{0}, nếu n=1

Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi Tuy nhiên F không là ánh xạlồi

F (x) =

[0, 1], nếu x = 0,

R, trong trường hợp còn lại

Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng Mặt khác ta có

gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} ×R)

(vi) Ánh xạ bao lồi của F là ánh xạ đa trị conv F : X → 2Y xác định bởi

conv F (x) = conv(F (x)) với mọi x ∈ X

F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của đồ thịcủa ánh xạ F, tức là

gph(cl F ) = cl(gph F )

Định nghĩa 1.3.10 Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y Tagọi ánh xạ ngược của F, ký hiệu là F−1 : Y → 2X, được xác định bởi

F−1(y) =x ∈ X : y ∈ F (x) , với y ∈ Y

Ta nói F−1(y) là ảnh ngược của y

Mọi ánh xạ đa trị đều có ánh xạ ngược, điều này không đúng đối vớiánh xạ đơn trị Ta cũng dễ dàng kiểm tra được mọi ánh xạ đa trị có ảnhngược tại mỗi điểm là mở đều là ánh xạ nửa liên tục dưới và điều ngược lạikhông đúng

Trong phần này chúng tôi trình bày tính chất liên tục theo nón của ánh

xạ đa trị và tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị Các khái niệm trong phầnnày là sự mở rộng của các khái niệm về tính liên tục, tính lồi của ánh xạ

đa trị Trước tiên, ta trình bày khái niệm nón trong không gian tuyến tính

tc ∈ C, với mọi c ∈ C và t ≥ 0

Nếu C là nón có đỉnh tại gốc thì C + x0 là nón có đỉnh tại x0 Vì vậytrong luận án này chúng tôi chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại gốc và đểtránh nhầm lẫn ta gọi nón thay cho nón có đỉnh tại gốc

rằng

(i) C là nón lồi nếu C là tập lồi

(ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C)

Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong

Y, ta ký hiệu cl C, int C, conv C là bao đóng tôpô, phần trong tôpô và bao

nói C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn

Dưới đây là một số ví dụ về nón trong không gian tuyến tính

Ví dụ 1.4.3 1 Cho Y là không gian tuyến tính Khi đó 0 , Y là các nóntrong Y và ta gọi chúng là các nón tầm thường trong Y

2 Cho không gian tuyến tính Rn Khi đó tập

Rn+ = x = (x1, x2, , xn) ∈Rn : xi ≥ 0, i = 1, 2, , n

là nón lồi đóng nhọn trong Rn và ta gọi là nón orthant dương trong Rn

3 Gọi C[0, 1] là không gian tuyến tính các hàm số xác định và liên tụctrên đoạn [0, 1] với các phép toán cộng và nhân vô hướng:

(x + y)(t) = x(t) + y(t),(λx)(t) = λx(t)

Khi đó tập

C+[0, 1] = x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, 1]

là nón lồi đóng nhọn trong C[0, 1]

1.4.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị

Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị giữa cáckhông gian tôpô

mở V trong Y chứa f (x0), tồn tại lân cận mở U trong X chứa x0 sao cho

f (U ) ⊆ V

Trong trường hợp F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô Xvào không gian tôpô Y, Berge [4] đã đưa ra khái niệm về tính nửa liên tụctrên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị.

(tương ứng, F (x0) ∩ V 6= ∅), tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho

F (x) ⊆ V (tương ứng, F (x) ∩ V 6= ∅) với mọi x ∈ U

nhắc lại khái niệm liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Khái niệm này là

mở rộng khái niệm của Berge về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dướicủa ánh xạ đa trị

(i) F được gọi là C- liên tục trên (dưới) tại x ∈ dom F¯ nếu với mỗi lâncận V của gốc trong Y, tồn tại lân cận U của x¯ trong X sao cho

F (x) ⊆ F (¯x) + V + C(F (¯x) ⊆ F (x) + V − C, tương ứng)

(ii) Nếu F là C- liên tục trên và C- liên tục dưới tại x¯ đồng thời, thì tanói F là C- liên tục tại x¯

(iii) Nếu F là C- liên tục trên, C- liên tục dưới và C- liên tục tại mọiđiểm trong dom F, ta nói F là C- liên tục trên, C- liên tục dưới và C- liêntục trong X

Các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge

là hoàn toàn khác nhau Do đó khái niệm liên tục trên theo nón và liên tụcdưới theo nón cũng hoàn toàn khác nhau Các ví dụ dưới đây minh họa chođiều khẳng định đó

Ví dụ 1.4.7 Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức

F (x) =



R, nếu x = 0,{0}, nếu x 6= 0

x0 = 0, nhưng F không nửa liên tục dưới tại x0 = 0

F (x) =

{0}, nếu x = 0,

R, trong trường hợp còn lại

x0 = 0, nhưng F không nửa liên tục trên tại x0 = 0

Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục theonón (có thể xem trong [1])

tính với thứ tự sinh bởi nón lồi C và ánh xạ đa trị F : X → 2Y với F (x0)

là tập compact trong Y Khi đó:

F (x0) ⊆ V + C đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊆ V + C, vớimọi x ∈ U ∩ dom F

(ii) F là C- liên tục dưới tại x0 nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ F (x0) vàlân cận V của y, tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ vớimọi x ∈ U ∩ dom F

thỏa mãn F (x0) ∩ (G + C) 6= ∅, luôn tồn tại lân cận U của x0 sao cho

F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F

Chứng minh (i) Giả sử F làC- liên tục trên tại x0 Lấy V là tập mở trong

Y sao cho F (x0) ⊆ V + C Vì F (x0) compact nên tồn tại lân cận V0 của

0 sao cho F (x0) + V0 ⊆ V + C Vì F là C- liên tục trên tại x0 nên tồn tạilân cận U của x0 sao cho

F (x) ⊆ F (x0) + V0 + C với mọi x ∈ U ∩ dom F

Từ đó suy ra

F (x) ⊆ V + C + C = V + C với mọi x ∈ U ∩ dom F

Ngược lại, lấy W là lân cận mở bất kỳ của 0trong Y Đặt V = F (x0) + W.Khi đó V là tập mở thỏa mãn F (x0) ⊆ V + C Theo giả thiết, tồn tại lân

đó suy ra

F (x) ⊆ F (x0) + W + C với mọi x ∈ U ∩ dom F

Điều này chứng tỏ F là C- liên tục trên tại x0

(ii) Giả sử F là C- liên tục dưới tại x0 Lấy y ∈ F (x0) tùy ý và V là lân

F là C- liên tục dưới tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho

F (x0) ⊆ F (x) + W − C với mọi x ∈ U ∩ dom F

Vì y ∈ F (x0) nên y ∈ F (x) + W − C Ta có thể viết y = y∗ + w − c, ởđây y∗ ∈ F (x), w ∈ W và c ∈ C Từ đó kéo theo y∗ = y − w + c ∈ V + C.Điều này chứng tỏ y∗ ∈ F (x) ∩ (V + C) Vậy F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ với mọi

Với i ∈ {1, 2, , n}, vì yi+ V là lân cận của yi ∈ F (x0) nên tồn tại lân cận

Ui của x0 sao cho

F (x) ∩ (yi+ V + C) 6= ∅ với mọi x ∈ Ui∩ dom F

Đặt U = ∩ni=1Ui Khi đó U là lân cận của x0 và

F (x) ∩ (yi + V + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F và i = 1, 2, , n

Ta chứng minh

F (x0) ⊆ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ dom F

Thật vậy, lấy y0 ∈ F (x0) tùy ý Từ đó suy ra

và v0 ∈ V, c ∈ C sao cho y = yi0+ v0+ c Từ đó suy ra y0 = y + v − v0− c ∈

F (x) + V − C Vậy F (x0) ⊆ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ dom F Chứng

tỏ F là C- liên tục dưới tại x0

(iii) Giả sửF làC- liên tục dưới tạix0 LấyGlà tập mở bất kỳ thỏa mãn

F (x0) ∩ (G + C) 6= ∅ Từ đó suy ra tồn tại y0 ∈ F (x0) sao cho y0 = g + c,

g + V ⊆ G Từ đó suy ra g + c + V ⊆ G + C hay y0 + V ⊆ G + C Mặtkhác y0 + V là lân cận của y0 nên theo (ii), tồn tại lân cận U của x0 saocho F (x) ∩ (y0 + V + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F Điều này kéo theo

F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F

Ngược lại, lấy y0 ∈ F (x0) và V là lân cận mở của y0 Từ đó suy ra y0 ∈

F (x0) ∩ (V + C) Theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ∩(V + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F Theo (ii), F là C- liên tục dưới tại

x0