Dạy học giải toán chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh trung học phổ thông

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về việc DH giải toán cho HS nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn DH, vì vậy với

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN NGỌC HOA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN NGỌC HOA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Trung

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi Các số liệu, kết

quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Hoa

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới PGS.TS Trần Trung đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này

Em xin trân trọng cảm ơn:

- Phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên

- Các thầy cô giáo ở trường ĐHSP Thái Nguyên đã hướng dẫn em học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

- Bạn bè và gia đình đã động viên em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Hoa

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các chữ viết viết tắt trong luận văn iv

Danh mục các bảng v

Danh mục các hình vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Đóng góp của luận văn, kết quả đạt được 3

8 Cấu trúc của luận văn 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề 4

1.1.1 Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học 4

1.1.2 Lịch sử hình thành Phương pháp tọa độ 5

1.2 Dạy học giải toán 6

1.2.1 Vị trí chức năng của bài tập toán 6

1.2.2 Phân loại bài tập toán 9

1.2.3 Phương pháp tìm lời giải các bài toán 10

1.2.4 Các yêu cầu của việc giải bài toán 13

1.3 Năng lực và năng lực toán học 14

1.3.1 Năng lực 14

1.3.2 Năng lực toán học 15

1.4 Năng lực giải toán của học sinh 16

1.4.1 Quan niệm về năng lực giải toán 16 1.4.2 Một số thành tố năng lực giải toán của học sinh 18 1.4.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực giải toán của học sinh 30 1.5 Thực trạng bồi dưỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán cho học sinh

ở trường Trung học phổ thông hiện nay 34 1.6 Kết luận chương 1 35

Chương 2: CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA

ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 36

2.1 Khái quát chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học phổ thông 36 2.1.1 Vị trí và mục tiêu dạy học nội dung chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học phổ thông 36 2.1.2 Yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông 36 2.1.3 Nội dung chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học phổ thông 39 2.1.4 Đặc điểm dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học phổ thông 41 2.2 Định hướng đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 46 2.3 Các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 48 2.3.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.Polya trong giải toán các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng 48 2.3.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh giải toán các bài toán tọa độ trong mặt phẳng bằng nhiều cách khác nhau 59 2.3.3 Biện pháp 3: Bồi dưỡng cho học sinh khả năng chuyển đổi các bài toán đại

số sang bài toán tọa độ trong mặt phẳng thông qua hoạt động biến đổi đối tượng

để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán 80

2.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa để giải các bài toàn hình học 85

2.4 Kết luận chương 2 94

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 95

3.1 Mục đích, nội dung thực nghiệm sư phạm 95

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 95

3.1.2 Nội dung của thực nghiệm sư phạm 95

3.2 Tổ chức thực nghiệm 95

3.2.1 Đối tượng và địa bàn thực nghiệm 95

3.2.2 Kế hoạch thực nghiệm 95

3.2.3 Đề kiểm tra thực nghiệm 96

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 96

3.4 Kết luận chương 3 98

KẾT LUẬN 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

[!] : Dự kiến câu trả lời của học sinh

[?] : Câu hỏi gợi ý của giáo viên

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1: Bảng khảo sát thực trạng DH giải toán 34 Bảng 3.1: Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra 97 Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất điểm tính theo % 97

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 19

Hình 1.2 21

Hình 1.3 23

Hình 1.4 25

Hình 2.1 43

Hình 2.2 43

Hình 2.3 43

Hình 2.4 51

Hình 2.5 52

Hình 2.6 54

Hình 2.7 55

Hình 2.8 57

Hình 2.9 58

Hình 2.10 60

Hình 2.11 62

Hình 2.12 63

Hình 2.13 64

Hình 2.14 65

Hình 2.15 66

Hình 2.16 67

Hình 2.17 68

Hình 2.18 70

Hình 2.19 71

Hình 2.20 72

Hình 2.21 72

Hình 2.22 73

Hình 2.23 74

Hình 2.24 75

Hình 2.25 76

Hình 2.26 76

Hình 2.27 77

Hình 2.28 78

Hình 2.29 78

Hình 2.30 79

Hình 2.31 82

Hình 2.32 86

Hình 2.33 87

Hình 2.34 88

Hình 2.35 90

Hình 2.36 91

Hình 2.37 93

Hình 3.1: Biểu đồ phân phối tần suất điểm tính theo % 97

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giáo dục Việt Nam đang tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện từ mục tiêu giáo dục, nội dung đến phương pháp, phương tiện DH Nâng cao chất lượng DH nói chung, chất lượng DH môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay GV phải thiết kế các HĐ, tổ chức DH một cách thuận lợi đồng thời giúp HS nắm bắt, vận dụng được kiến thức trong thời gian ngắn nhất vào thực tiễn một cách có hiệu quả và do vậy đặt ra những yêu cầu cấp thiết trong việc nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy Trong đó phương pháp giảng dạy là một trong những yếu tố quyết định để GV và HS hoàn thành nhiệm vụ dạy và học của mình, nhằm đáp ứng những thay đổi nhanh chóng của khoa học, công nghệ, truyền thông

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển DH giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của HS, vì để giải bài toán HS phải suy luận phải tư duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều

sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của HS được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập,

tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của HS cũng được hình thành và phát triển Bởi qua các thao tác tư duy đó HS tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

Bài tập toán học là một công cụ cần thiết giúp HS thực hiện các HĐ toán học trong và ngoài giờ lên lớp Đã có nhiều công trình nghiên cứu các chức năng của bài tập toán Trong các chức năng được nói đến, chức năng DH, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra và chức năng giáo dục được khai thác nhiều trong DH Thực chất HĐ giải toán là HĐ trung tâm trong học tập môn toán của HS Thông qua

số lượng và chất lượng hoàn thành công việc giải toán về căn bản có thể đánh giá được trình độ nhận thức môn toán của người học Chính vì lẽ đó, bài tập toán tham gia vào mọi khâu của quá trình DH môn toán

Chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” có vai trò quan trọng trong

môn Toán ở trường THPT, đây là một nội dung luôn gắn với HS trong suốt quá trình học tập cũng như trong nhiều bài toán thực tế

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về việc DH giải toán cho HS nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn DH, vì vậy với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn này là: “Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

cho học sinh Trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn về DH giải toán, năng lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT Đề xuất các biện pháp sư phạm trong DH giải toán PPTĐ nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lượng DH môn Toán ở trường phổ thông

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình DH giải toán PPTĐ trong mặt phẳng ở trường THPT

- Khách thể nghiên cứu: Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán trong DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trường THPT

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm và sử dụng các biện pháp trong

DH giải toán nói chung cũng như bồi dưỡng năng lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng nói riêng trong quá trình DH sẽ góp phần nâng cao chất lượng DH môn toán và đổi mới phương pháp DH trong giai đoạn hiện nay

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận có liên quan đến vấn đề DH giải toán, năng lực giải

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các

vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng việc DH nội dung PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trường THPT qua các hình thức dự giờ, quan sát, điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm và xử lý

số liệu thống kê để đánh giá kết quả định tính, định lượng

7 Đóng góp của luận văn, kết quả đạt được

- Góp phần làm sáng tỏ một số thành tố năng lực giải toán của HS

- Làm rõ vị trí, chức năng của bài tập toán

- Đề xuất những định hướng và các biện pháp sư phạm trong quá trình DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận cùng Phụ lục, nội dung luận văn gồm ba chương như sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải toán trong DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề

1.1.1 Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học

Nhà Toán học Pháp H Poincaré là một trong những người đầu tiên đề xướng việc nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của HS Ông công nhận có tính đặc thù của các năng lực sáng tạo Toán học và đã chỉ ra những thành phần quan trọng nhất của chúng là trực giác Toán học Trong các bài của Viện sĩ B.V Gơnheđencô (dẫn theo [16, tr.15 viết về giáo dục học ở trường phổ thông, ông đưa ra các yêu cầu đối với tư duy Toán học của HS là: Năng lực nhìn thấy sự không r ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; Sự cô đọng; Sự chính xác của các kí hiệu; Phân chia r tiến trình suy luận; Thói quen lí lẽ đầy đủ về logic

A.N Kôlmôgôrôv (dẫn theo [20, tr.18]) xem xét năng lực toán học trên cơ sở 3 thành tố có liên quan đến: Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình; Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”; Nghệ thuật suy luận lôgíc được phân nhỏ hợp lí, tuần tự

V A Cruchetxki (dẫn theo [20, tr.24]) lại nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và

xử lí thông tin đã phân chia năng lực Toán học bao gồm các thành tố cơ bản là:

- Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;

- Chế biến thông tin Toán học: Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan

hệ số lượng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các kí hiệu Toán học; Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng các đối tượng, quan hệ Toán học và phép toán; Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học

và hệ thống các phép toán tương ứng Năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn; Tính linh hoạt trong quá trình tư duy trong HĐ Toán học; Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa sai lại phương hướng của tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận Toán học);

- Lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ Toán học (trí nhớ khái quát về hệ thống Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải Toán; nguyên tắc đường lối giải Toán);

- Thành phần tổng hợp khái quát: khuynh hướng Toán học của trí tuệ

Theo hướng bồi dưỡng năng lực Toán học cho HS trung học cơ sở, Trần Đình Châu tập trung vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [3, tr.38] Nghiên cứu rèn luyện năng lực giải Toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hướng tìm hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [12]

Từ những nghiên cứu trên, có thể thấy: Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về HĐ trí tuệ của HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các HĐ của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,…

như sau, hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nói chung còn hình học giải tích lại là một phương pháp của hình học

Việc ứng dụng PPTĐ trong không gian ba chiều được thực hiện vào cuối thế

kỉ XVII và trong thế kỉ XVIII do công rất lớn của Clairot và Euler

Vào thế kỉ thứ XIX, do sự phát triển như vũ bão của các ngành kĩ thuật, đặc biệt là vật lý, toán học đã có nhiều bước tiến mới như các khái niệm về vectơ, tenxơ,… đã xuất hiện trong hình học Wessel (1745 – 1818), J R Argent (1768 – 1822), C.F Gauss (1777 – 1855) có các công trình về lý thuyết số phức đã thiết lập

mối liên hệ giữa các phép toán số học trên các số phức với các phép toán hình học trên các vectơ trong không gian hai chiều

Vào thế kỉ thứ XIX, các ông W.R Hamilton, A.F Mobiles đã sử dụng khái niệm vectơ để nghiên cứu không gian ba chiều và nhiều chiều

Cuối thế kỉ thứ XIX, đầu thế kỉ thứ XX, phép tính vectơ được phát triển và ứng dụng rộng rãi Xuất hiện các ngành mới như đại số vectơ, giải tích vectơ, lý thuyết trường, lý thuyết tổng quát về không gian nhiều chiều Các lý thuyết này có ứng dụng rất lớn trong vật lý hiện đại, chẳng hạn như thuyết tương đối của Albert Einstein

Nói tóm lại, sự ra đời của vectơ và tọa độ đã góp phần không nhỏ trong việc thúc đẩy sự phát triển của toán học và ứng dụng của toán học trong các bài toán thực tế

1.2 Dạy học giải toán

1.2.1 Vị trí chức năng của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy HĐ toán học Đối với HS có thể xem việc giải toán là HĐ chủ yếu của HĐ toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những HĐ nhất định bao gồm

cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những HĐ Toán học phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong Toán học, những HĐ trí tuệ chung và những HĐ ngôn ngữ HĐ giải bài tập Toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích DH Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng DH môn Toán

Trong thực tiễn, bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Mỗi bài tập có thể được dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những

ý đồ nhiều mặt đã nêu HĐ học của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và PPDH Vai trò của bài tập Toán học được thể hiện trên ba bình diện sau:

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu DH, bài tập Toán học ở trường phổ thông là

giá mang những HĐ mà việc thực hiện các HĐ đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu

Mặt khác, những bài tập lại thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu DH môn Toán, cụ thể là:

- Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình DH, kể cả khả năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những HĐ tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Thứ hai, trên bình diện nội dung DH, những bài tập Toán học là giá mang HĐ

liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết

Thứ ba, trên bình diện phương pháp DH, bài tập Toán học là giá mang HĐ để

người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu DH khác Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong HĐ

và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu [8, tr.388]

Theo Vũ Dương Thụy [9], bài tập có các chức năng sau:

 Chức năng dạy học: GV có thể dùng bài tập toán để hình thành, củng cố cho HS

những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH

Ví dụ 1.1 Để hình thành cho HS khái niệm của dãy số, GV có thể cho HS giải bài tập

sau: Cho dãy số ( ) Biểu diễn ( ) trên trục số

a Em có nhận xét gì về khoảng cách từ đến 0 khi n lớn?

b Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số thì khoẳng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?

Bằng việc giải bài tập này HS sẽ nhận ra 2 điều:

- Khi n càng lớn thì khoảng cách từ đến 0 càng nhỏ, tức là càng dần đến 0 khi

n càng lớn

- Ta luôn tìm được số n để khoảng cách | | nhỏ hơn một số dương tùy ý cho trước Trên cơ sở đó, GV dẫn dắt HS vào khái niệm của dãy số

 Chức năng giáo dục: HĐ giải bài tập toán giúp HS hình thành thế giới quan duy

vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin khám phá và phẩm chất đạo đức Trong quá trình giải bài tập HS phải thường xuyên sử dụng các quy tắc, định lí, mệnh đề logic, Các em dần làm quen với luận chứng, luận cứ khao học và lối tư duy khoa học

Việc giải các bài tập liên môn như ứng dụng Toán học vào giải các bài toán vật

lí, hóa học, sinh học, địa lí đã cho thấy được tầm quan trọng và ý nghĩa của môn toán, học tốt môn toán là nền tảng để học tốt các môn khoa học tự nhiên khác Cũng chính vẽ đẹp của các bài tập toán học và những ứng dụng thực tiễn của nó sẽ tạo nên niềm hứng thú, niềm tin và lòng say mê học tập

Ví dụ 1.2 Để nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phân biệt các hình hộp, GV có

thể cho tình huống như sau: Một công ty A đến kí hợp đồng để công ti B sản xuất các hình hộp bằng kim loại quí với ba kích thước là a, b, c cho trước Nhưng do hợp đồng không ghi rõ là hình hộp gì, nên để “dạy” cho bên A một bài học, bên

B đã sản xuất những hình hộp rất dẹt với 3 kích thước như đã kí kết Bên B không dùng được những sản phẩm này nhưng

vẫn phải thanh lí hợp đồng Thiệt hại này của cơ quan là do khái niệm “hình hộp” trong văn bản kí kết

 Chức năng phát triển: Thông qua HĐ giải bài tập HS được phát triển năng lực

tư duy và các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học Các

HĐ thường xuyên diễn ra trong DH giải toán là: phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa

Trong khi DH, GV nên tạo điều kiện cho HS được rèn luyện các HĐ trí tuệ Cho HS thực hiện các thao tác phân tích và tổng hợp, phân tích trong khi đi tìm lời giải và tổng hợp để trình bày lời giải Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán và phân tích, so sánh để tìm ra lời giải hay nhất là một HĐ phát huy được năng lực tư duy của HS, đó là một HĐ rất đáng lưu ý trong DH

Ví dụ 1.3 Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng nếu thì ”, các em

đã tìm ra được nhiều cách giải Sau đây là một số cách giải:

*Cách 1: Đặt thì Ta có :

( )( )

Dấu “=” xảy ra khi

 Chức năng kiểm tra: Bài tập là phương tiện tốt để đánh giá mức độ, chất lượng, kết quả

giảng dạy và học tập, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS

1.2.2 Phân loại bài tập toán

Người ta có thể phân loại bài tập toán theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc vào mục đích khai thác của nó

Theo tài liệu bồi dưỡng GV, phân chia theo cấp độ kiến thức thì bài tập được phân thành ba loại: bài tập nhận biết, bài tập thông hiểu và bài tập vận dụng

 Bài tập nhận biết: là loại bài tập chỉ yêu cầu HS nhớ khái niệm, định nghĩa, định

lí, hệ quả là giải được

Ví dụ 1.4 Tìm tâm và bán kính của đường tròn

 Bài tập thông hiểu: là loại bài tập yêu cầu HS phải hiểu được ý nghĩa, kí hiệu

toán học trong định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức mới giải được

Ví dụ 1.5 Viết phương trình chính tắc của elip (E có tiêu điểm trùng với tiêu điểm

của Hypebol (H): và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H

- Bài tập vận dụng: là loại bài tập đòi hỏi HS phải vận dụng các định lí, định

nghĩa, quy tắc, suy luận, khái quát hóa, trừu tượng hóa kiến thức mới giải được

Ví dụ 1.6 Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn trên mặt phẳng biểu diễn số phức

- Bài toán tìm tòi: là bài toán yêu cầu HS phải tìm ra một đối tượng nào đó, hay nói

cách khác là tìm ra ẩn số của bài toán

Ví dụ 1.7 Các bài toán dựng hình, quỹ tích, bài toán xác định, giải phương trình,

bất phương trình, hệ phương trình, bài toán tìm max, min, là các bài toán tìm tòi

- Bài toán chứng minh: là bài toán xác định xem một kết luận nào đó đúng hay sai,

là xác nhận hay bác bỏ kết quả đó

Ví dụ 1.8 Các bài toán chứng minh về hình học, đại số, lượng giác đều thuộc loại

bài toán chứng minh

1.2.3 Phương pháp tìm lời giải các bài toán

Không thể có một phương pháp chung để giải mọi bài toán Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là điều có thể và cần thiết

Bài tập toán rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với HS Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại:

a) Loại có sẵn thuật toán

Để giải loại này HS phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn Yêu cầu cho

HS là:

- Nắm vững quy tắc giải đã học

- Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b) Loại chưa có sẵn thuật toán

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho HS không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình Đây

là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học tập của HS Do vậy khi dạy

HS giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho

HS biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán

Trong DH giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần không thể thiếu trong DH giải toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn DH, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho và cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan,

sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, giải toán dựng hình, quỹ tích

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

 Bước 3: Trình bày lời giải

- Từ các cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện mạch lạc các bước đó

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng, khái quát hóa hay lật ngược vấn đề

Ví dụ 1.9 Giải phương trình: √

 Bước 1: Tìm hiểu bài toán: Bài toán yêu cầu giải phương trình có chứa một căn

thức bậc 2

 Bước 2: Tìm cách giải:

- Với bài toán trên ta có thể giải như thế nào?

- Cách giải thông thường của các phương trình chứa căn thức?

- Hãy nêu các hướng để giải bài toán trên?

Cách 1: Đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế

Cách 2: Đặt √ và chuyển phương trình đã cho về biến

Cách 3: Phân tích (1) thành ( )( ) √ có nhân tử chung là √

0

0

{

0 [ ( )( )

{

0

[

√ √

[

√

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:

Với phương trình trên thì các cách giải ở bước 2 đều thực hiện vì phương trình đã cho có nghiệm nguyên là x=-1 Một câu hỏi rất tự nhiên là nếu phương trình không có nghiệm nguyên thì sao? Chẳng hạn với phương trình √ thì cách giải ở trên rất khó giải vì phương trình bậc 4 sau khi bình phương không có nghiệm nguyên

GV khuyến khích HS tìm ra cách giải khác:

Đặt √ Từ đó ta có hệ phương trình:

{

Đây là hệ đối xứng loại 2 mà HS đã biết cách giải bằng cách trừ vế với về của hai phương trình

- GV nên cho HS khái quát bài toán và giải phương trình tổng quát hơn:

1.2.4 Các yêu cầu của việc giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách tóm tắt, lời giải phải đúng và phải tốt Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình DH và đánh giá HS, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết :

 Kết quả phải đúng

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ, thỏa mãn các yêu cầu đề ra Kết quả các bước trung gian cũng phải

đúng Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,

 Lập luận phải chặt chẽ: Lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

- Luận đề phải nhất quán;

- Luận cứ phải đúng;

- Luận chứng phải hợp lôgic

 Lời giải phải đầy đủ: Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một

trường hơp, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,

1.3 Năng lực và năng lực toán học

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại HĐ nhất định của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong HĐ giải quyết những yêu cầu đặt ra

Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào HĐ Qua quá trình HĐ mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ mới cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để giải quyết những HĐ ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì lúc đó HS sẽ có được một năng lực nhất định Dưới đây là một số cách hiểu về năng lực:

+ Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả năng hoàn thành một loại HĐ nào đó với chất lượng cao [24]

+ Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp ứng được yêu cầu của một HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số HĐ nào đó [2]

+ Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại HĐ nào đó (Dẫn theo [3])

Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong HĐ giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng, tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau

và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực HĐ sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ HĐ toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo Có nhiều em HS có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc lập và sáng tạo,

đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực

Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học:

Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm HĐ trí tuệ đáp ứng yêu cầu HĐ toán học và giúp cho việc nắm

giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học [4, tr 14]

Định nghĩa 2: Những năng lực học toán được hiểu là những đặc điểm tâm lý

cá nhân (trước hết là những đặc điểm HĐ trí tuệ đáp ứng yêu cầu của HĐ toán học,

và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học [5,tr 126]

Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có trí thông minh trong việc học Toán Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được HĐ tương ứng; vì vậy, cần nghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình thành, phát triển, hoàn thiện năng lực

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học Do vậy, trong DH toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv cho rằng:

“Năng lực bình thường của HS trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.4 Năng lực giải toán của học sinh

1.4.1 Quan niệm về năng lực giải toán

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lực giải toán là gì và thể hiện như thế nào?

Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểm tâm lí

cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của HĐ giải toán, và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt HĐ giải toán đó

Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu, năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích

cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện

Thông thường, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của HĐ giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn

so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành HĐ giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương

Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận lôgic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tư duy thuận nghịch, trí nhớ toán học,

Năng lực giải toán của HS chỉ phát triển dưới tác động liên hoàn của các biện pháp cụ thể, thực sự đưa HS vào vị trí người học

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của HĐ giải toán và đạt được kết quả cao so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành HĐ giải toán đó trong các điều kiện tương đương

Từ đặc điểm HĐ trí tuệ của những HS có năng lực toán học và khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán như sau:

Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải r ràng, đẹp đẽ

Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu, ngôn ngữ toán học Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ: kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và ngược lại

Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề

Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao trong lao động giải toán

Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu

Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành một số kiến thức mới thông qua HĐ giải toán, tránh được những nhầm lẫn trong quá trình giải toán

Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán để giải bài toán đó

Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ bài toán

có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát, nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ thống hóa, đặc biệt hóa

Bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng đế ban cho Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có Quá trình học tập HS sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp, từ đó năng lực giải toán được nâng lên Một phần do HS tự nâng thêm năng lực của mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồi dưỡng

1.4.2 Một số thành tố năng lực giải toán của học sinh

1.4.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề

Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra thì ta đã làm công việc dự đoán Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đoán của mình

Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật

đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [22]

Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống, vậy

được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có được năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đưa

ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán đúng Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán

mò, càng không phải là nghĩ liều” [14]

Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm Họ cần phải được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự, quan

+ Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng và các vtpt khác vec-tơ không

có giá vuông góc với như hình vẽ Khi đó được gọi là vtpt của đường thẳng

+ Hãy đưa ra dự đoán về định nghĩa vtpt của đường thẳng?

+ Dự đoán mỗi đường thẳng có bao nhiêu vtpt và chúng có liên hệ với nhau như thế nào?

n n

n3

O

Δ

1.4.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

Đứng trước một vấn đề, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc

là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong những phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để huy động kiến thức đối với việc giải toán Nó được thể hiện qua các HĐ như:

- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lượng giác hoá,

- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véc-tơ và PPTĐ), hoặc phương pháp biến hình

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộc vào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang được ngôn ngữ nào, nếu

là bài toán hình học thì làm sao để chuyển sang được ngôn ngữ véc tơ hoặc toạ độ Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng chuyển đổi được ngôn ngữ Một trong các dấu hiệu để xác định xem một bài toán hình học có giải được bằng phương pháp véc-tơ một cách thuận lợi hay không là khả năng diễn đạt các khái niệm, các mối liên

hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tìm ra ngôn ngữ véc-tơ Nếu sự “phiên dịch” không gặp khó khăn lớn thì việc sử dụng véc-tơ để giải bài toán đó là có cơ sở

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp HS có thêm những định hướng, những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau

Ví dụ 1.11

Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi không đổi, A, C là 2 điểm thay đổi thuộc Ox, Oy Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi qua 1 điểm cố định

- Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a;0), B(a;c), C(0;c)

Đặt a+c=b=const (vì chu vi OABC không đổi)

Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:

- Phương trình đường thẳng d qua B(a;c và vuông góc với AC có dạng:

( ) /

- Giả sử d đi qua điểm cố định ( ) Khi đó /

1.4.2.3 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi

là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong DH bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện

kỹ năng, kỹ xảo

Biến đổi về dạng tương tự là một HĐ biến đổi đối tượng, HĐ này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của HĐ (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng) Những HĐ đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của HĐ nhận thức Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể

Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài toán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán HS có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ

về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tương tự đã giải

Gọi A,B theo thứ tự là tập nghiệm của (2), (3) Ta có:

+ A là nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng (d):x+y-2=0

+B là tập các điểm thuộc đường tròn (C có phương trình:

( ) ( ) và ta có: { ( )

√

Vậy hệ có nghiệm khác rỗng

( ( )) | |

√ √

Kết luận: với , hệ đã cho có nghiệm

Việc biến đổi, chuyển đổi bài toán từ giải hệ phương trình về dạng toán PPTĐ trong mặt phẳng đã giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn

1.4.2.4 Năng lực nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lượng giác hoá, hình học hoá

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra

Ví dụ 1.13 (Trích đề thi thử tỉnh Bắc Ninh năm 2014)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD=2AB, gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BC Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho

N là trung điểm của đoạn thẳng MK Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết K(-5;1), phương trình đường thẳng chứa cạnh AC: 2x+y-3=0 và điểm A có tung độ dương

* Phân tích:

Hình 1.3 (5;-1)

H N

Bài toán trên có thể chia thành hai bước:

+Bước 1: chứng minh (dùng giả thiết quan trọng này để làm tiếp bước 2

+Bước 2: vận dụng vào việc giải tìm tọa độ của 4 đỉnh A, B, C, D

 Bước 1: Nhận xét đầu tiên sau khi dựng hình xong đó là phát hiện Để chứng minh có rất nhiều cách trong đó kể đến:

Cách 1: Gọi

Chứng minh ̂ ̂ (chứng minh tổng 2 góc trong một tam giác bằng suy ra ̂= ̂ ̂ nên ta cần chứng minh ̂ ̂ (2 góc này bằng nhau do 2 tam giác )

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Suy ra tại H

Cách 5: Ta có thể vận dụng “định lý đảo Pytago” để chứng minh

để thực hiện điều này cần tính số đo của 3 cạnh HC, HD, CD theo 1 cạnh còn lại hoặc 1 cạnh cho trước đồng thời vận dụng “định lý thuận Thales” do xét thấy

Hướng 1: Tạo thêm phương trình đường thẳng mới

*Gọi Do : 2x+y-3=0 : x-2y+m=0

KD qua K(5;-1) Vậy KD: x-2y-7=0

*Tọa độ H là nghiệm của hệ: { {

*Gọi ⃗ ( ) )

*TH1: Với AD: 3x+4y+9=0

Ta có / Loại vì A có tung độ dương

*TH2: Với AD: x-1=0

Ta có ( ) Nhận vì A có tung độ dương

Do M là trung điểm của AD ( )

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Mặt khác I là trung điểm của AC và BD ( ) ( )

Vậy tọa độ thỏa yêu cầu bài toán là A(1;1 , B(3;1 , C(3;-3), D(1;-3)

Hướng 2: Tìm tọa độ điểm A thông qua độ dài AK

- Viết phương trình KD tọa độ H

- Tham số hóa điểm A theo đường AC một ẩn nên cần một phương trình độ dài AK=?

Dựa vào định lý Thales ở cách 5 ta tính được độ dài AK

- Có tọa độ điểm A tọa độ C (do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) tọa độ trung điểm I tọa độ D (do ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) tọa độ B

Vậy có thể thấy bài toán đã vận dụng rất nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải quyết các đối tượng cần tìm Về phần chứng minh vuông góc, với nhiều phương án tiếp cận khác nhau chúng ta có nhiều cách chứng minh khác nhau

1.4.2.5 Năng lực khái quát hóa

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [7, tr 55]

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến phương pháp tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói:

“Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con người mới có thể hiểu được nó” Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt [23, tr.170]

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hoá tài liệu Toán học là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học; điều này đã được các nhà Sư phạm, nhà Toán học như: V A Krutecxki, A I Marcusêvich, Pellery, Tổ chức quốc tế

UNESCO, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình

Để giúp HS phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họ HĐ khái quát hoá và điều cốt yếu nhất là nắm vững phương pháp khái quát hoá Trên tinh thần

đó, để phát triển năng lực khái quát hoá cho HS có thể thực hiện theo các cách sau:

a) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp

Khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên một mức độ cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biến của các đối tượng đang xét Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoá phải thấy được những nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt

HĐ phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi HĐ so sánh chưa tìm ra được đặc điểm bản chất – chung để khái quát hoá Kết quả HĐ khái quát hoá chỉ là

dự đoán, vì vậy để có độ chính xác về mặt Toán học cần có bước chứng minh Đường lối chứng minh kết quả khái quát có thể tìm thấy sau quá trình phân tích, quá trình giải các bài toán cụ thể nhưng cũng có những trường hợp đường lối giải quyết bài toán cụ thể chưa thể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này GV cần gợi động cơ để HS có thể tìm kiếm con đường giải quyết khác mà nó có thể giúp ích cho việc giải quyết bài toán tổng quát

Khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ là một con đường khái quát hoá, nhưng không phải là con đường duy nhất Bên cạnh con đường này (con đường của số đông HS) còn tồn tại một con đường khác (con đường của một số

HS có nhiều khả năng không dựa vào sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau Việc nhận biết một số bài tập cụ thể như là đại diện của một lớp bài tập cùng kiểu thuộc về dạng khái quát hoá này Vì vậy, ta coi trọng đúng mức nhưng không quá cường điệu vai trò của so sánh trong khái quát hoá

b) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu tượng hoá cùng với hoạt động phân tích và tổng hợp

Đặc điểm của phương pháp này là từ phân tích một sự vật cụ thể, riêng lẻ suy

ra tính chất chung của loại sự vật đó Khái quát từ trừu tượng cũng là phương pháp vô cùng quan trọng Nó bắt đầu từ phân tích, từ ngoài vào trong, từ thô đến tinh, chọn lấy cái cốt lõi

Trừu tượng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Khái quát hóa có mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa, trừu tượng hóa chính là để khái quát hóa, sẽ không khái quát hóa được theo những phương hướng đúng đắn nếu không nắm được phương phương pháp trừu tượng hóa, trừu tượng hóa là điều kiện ắt có nhưng chưa phải là đủ để khái quát hóa Khai thác mối liên hệ này có thể tạo điều kiện cho HS tập luyện trừu tượng hóa với khái quát hóa Trong khi đòi hỏi HS khái quát hóa trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ có thể nâng cao yêu cầu trừu tượng hóa bằng cách bố trí những trường hợp riêng lẻ mang một số đặc điểm chung nổi bật nhưng không cần thiết cho việc dự đoán quy luật tổng quát

Phân tích và tổng hợp là bản chất của HĐ tư duy nói chung, của khái quát hóa

và những HĐ trí tuệ có liên quan nói riêng Khái quát hóa và các HĐ trí tuệ có liên quan chỉ là những dạng của phân tích và tổng hợp Vì vậy, khi tập luyện cho HS khái quát hóa và những HĐ trí tuệ có lien quan, cần phải rèn luyện cho họ khả năng phân tích và tổng hợp coi đó là cơ sở để thực hiện các HĐ trí tuệ Nếu HS gặp khó khăn khi tiến hành một HĐ nào đó thì cần quay lại cơ sở của HĐ đó là phân tích và tổng hợp Chẳng hạn như, khi hướng dẫn HS khái quát một số ví dụ cụ thể để tìm ra quy luật, nếu HS khó khăn trong việc phát hiện ra đặc điểm chung thì yêu cầu họ trước hết hãy mô tả đặc điểm của từng ví dụ (phân tích) rồi đối chiếu với nhau để tìm ra các