Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục đối với bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian lp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOMVANG SISOUPHET SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN Lp N

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SOMVANG SISOUPHET

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG

KHÔNG GIAN Lp( N )

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SOMVANG SISOUPHET

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG

KHÔNG GIAN Lp( N)

Chuyên ngành: Giải Tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là luận văn cao học của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào khác

Somvang Sisouphet

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Thị Thủy Nhân dịp này em xin cảm ơn Cô về sự hướng dẫn nhiệt tình và sự truyền thụ những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học

và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn gia đình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong được sự góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Thái Nguyên, tháng……năm 2017

Somvang Sisouphet

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích của luận văn 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số khái niệm 3

1.2 Một số khái niệm xét tính chất của tập hút toàn cục 10

1.3 Một số bất đẳng thức thường dùng 16

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN L p( N) 18

2.1.Đặt bài toán 18

2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu 20

2.3 Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục 23

2.3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2( N) 27

2.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L p( N) 33

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất hiện nhiều trong các quá trình của vật lí, hóa học và sinh học Chẳng hạn các quá trình truyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các phản ứng hóa học, các mô hình quần thể trong sinh học… việc nghiên cứu những phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ Chính vì vậy nó

đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhà khoa học trên thế giới Các vấn đề đặt ra là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm theo dữ kiện đã cho) và các tính chất định tính của nghiệm (tính trơn, dáng điệu tiệm cận của nghiệm,…)

Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng là rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó ta có thể

có những điều chỉnh thích hợp để đặt được kết quả mong muốn Về mặt toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong ba thập kỉ gần đây đó là lí thuyết các hệ động lực tiến hoá vô hạn chiều Lí thuyết này nằm ở giao của 3 chuyên ngành là lý thuyết hệ động lực, lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và lý thuyết phương trình vi phân thường

Lí thuyết cơ bản của bài toán này là nghiên cứu sự tồn tại và tính chất cơ bản của tập hút, chẳng hạn đánh giá số chiều fractal hoặc số chiều Hausdorff, sự phụ thuộc liên tục của tập hút theo tham biến, tính trơn của tập hút Tập hút toàn cục

cổ điển là một tập compact, bất biến, hút tất cả các quĩ đạo của hệ và chứa đựng nhiều thông tin về dáng tiệm cận của hệ Cụ thể với mỗi quĩ đạo cho trước của

hệ và một khoảng thời gian T tùy ý, ta đều tìm được một quỹ đạo nằm trên tập

hút toàn cục mà dáng điệu khi thời gian đủ lớn của hai qũy đạo này sai khác đủ

nhỏ trên một khoảng có độ dài T Hơn nữa, trong nhiều trường hợp tập hút toàn

cục có số chiều fractal hữu hạn và khi đó ta có thể quy việc nghiên cứu dáng điệu

tiệm cận của một nghiệm bất kì về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm trên tập hút toàn cục, tức là qui việc nghiên cứu một hệ động lực vô hạn chiều về nghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều trên tập hút toàn cục

Với những lí do ở trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “ Sự tồn tại và tính trơn

của tập hút toàn cục đối với bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian L P( N)’’ làm nội dung nghiên cứu

2 Mục đích của luận văn

Mục đích của luận văn là trình bày định lý về sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian L P( N)

3 Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh sự tồn tại tập hút và tính trơn của tập hút, chúng tôi sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, nói riêng là phương pháp đánh giá phần đuôi của nghiệm

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 38 trang trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

khái niệm về không gian hàm, toán tử được sử dụng trong Chương 2; kết quả

tổng quát về tập hút toàn cục, một số kiến thức bổ trợ khác

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Sự tồn tại và tính trơn của tập

hút toàn cục đối với bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian

( )

P N

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng làm nền tảng

để nghiên cứu chương sau Đó là các kiến thức về không gian hàm, kết quả tổng quát về tập hút toàn cục và một số khái niệm xét tính chất của tập hút toàn cục Các nội dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [4], [5], [6], [7], [9]

1.1 Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1.1 (không gian metric)

Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số

Khi đó r được gọi là một metric hay khoảng cách trên X Cặp ( , )X r gọi

là không gian metric Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm, ( , )r x y gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y của X

Ta thường gọi điều kiện 1 là tiên đề đồng nhất, điều kiện 2 là tiên đề đối xứng, điều kiện 3 là tiên đề tam giác

Ví dụ: Một tập M bất kỳ của đường thẳng , với khoảng cách thông thường ( , )x y x y

r   (độ dài đoạn nối x và y ), là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian metric đầy đủ) Giả sử ( , ) X r là một không gian

metric Dãy  x n các phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu

các tọa độ của x n hội tụ tới các tọa độ tướng ứng của x nên x n  x.

Định nghĩa 1.1.3 Một tập hợp E gọi là không gian tuyến tính định chuẩn trên

trường K (K là trường số thực hoặc phức) nếu:

i.) E là không gian tuyến tính trên trường K

ii.) Mỗi phần tử u E  đặt tương ứng được với một số thực gọi là chuẩn của

u và kí hiệu là u thỏa mãn các tiên đề:

Sự hội tụ của dãy   uj j1

 các phần tử của E tới phần tử u E  được xác định như sau: u j u  0 khi j  , kí hiệu u j u

gian E được gọi là khả vi

Định nghĩa 1.1.5 Nếu đối với mỗi dãy bất kì  u j thuộc không gian E, sao cho u p u q  0 khi ,p q  , đều hội tụ trong E thì E được gọi là không gian đầy

Định nghĩa 1.1.6 Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian

Banach

Định nghĩa 1.1.7 (Không gian Hilbert)

Cho không gian vectơ trên trường số K K(  hoặcK  C Một ánh xạ )

từ X  X vào K ,  x y,  y x, được gọi là tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) x x,  0  x X , x x,   0 x q

(b) y x,  x y,  y x,  x y, nếu K  , x y, X,

Nếu , là tích vô hướng trên X thì cặp X, ,  gọi là một không gian

tiền Hilbert (hay không gian Unita, không gian với tích vô hướng) Sự hội tụ

khái niệm tập mở,…, trong X, ,  luôn được gắn với chuẩn sinh bởi , Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói X, ,  là không gian Hilbert

Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên một khái niệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó Nói riêng một không gian tiền Hilbert có thể đủ hay không đủ Một không gian tiền Hilbert

đủ gọi là một không gian Hilbert

Ví dụ: Không gian n chiều n với tích vô hướng xác định bởi:

1

n

k k k



  trong đó x ( , , ,x x1 2 x n) n và y ( ,h h1 2, ,h n) n, là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.8 L p( ),W 1  p , là không gian Banach bao gồm tất cả các

hàm khả tích Lebesgue bậc p trên W với chuẩn được định nghĩa như sau:

Chú ý rằng L W p( ) là không gian Banach phản xạ khi 1    p

Định nghĩa 1.1.9 L W( ) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được

và bị chặn hầu khắp trên W với chuẩn:

0( )

C W là không gian các hàm khả vi liên tục cấp vô hạn trên miền W với giá

compact

C0( )W u x( )C( ), ( )W u x  0 trong lân cận của biên W

Định nghĩa 1.1.11 ( Đạo hàm suy rộng )

n

R

W hàm v x( )L1,loc( ).W gọi là đạo hàm suy rộng cấp a của hàm ( )u x

Nếu với y( )x C0( ),W ( u x( )L1,loc( )W )

W W   p là không gian bao gồm tất cả các hàm ( )u x L W p( ), sao cho

tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp a a, m thuộc L W và được trang bị p( )

chuẩn

m p

p

p W

ta kiểm tra được W m p( )W là một không gian Banach với 1    p và là không

gian Hilbert với p  2 Không gian W p m( )W với chuẩn (1.1) được gọi là không

gian Sobolev

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử s W :  là hàm đo được Lebesgue, không âm và thỏa mãn các điều kiện sau:

,

(Ha b ) s thỏa mãn điều kiện (Ha) và lim infxz x b s( )x  0 với b  2 Khi đó ta định nghĩa không gian 1

0( , )Ws

D là bổ sung đủ của không gian C o( )W

đối với chuẩn

1

0

1 2 2

Bổ đề 1.1.14 Giả sử rằng W là miền bị chặn trên N , N  2, và s thỏa mãn

điều kiền (Ha) Khi đó:

Bổ đề 1.1.15 Giả sử rằng W là miền không bị chặn trên N ,N  2, và s thỏa mãn điều kiện (Ha b, ). Khi đó:

(i) phép nhúng D01( , )Ws ↪ L W p( ) là liên tục với mọi p 2 2b, a;

(ii) phép nhúng D01( , )Ws ↪ L W p( ) là compact nếu p2 2b, a 

Định nghĩa 1.1.16 Ta định nghĩa không gian Sobolev có trọng 2

D ở đó C là hằng số vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.1.18 C a b X, ;  là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm X

liên tục từ u : a b,  vào X với chuẩn

1.2 Một số khái niệm xét tính chất của tập hút toàn cục

Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.1 Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họ các ánh xạ

(iii) S t u( ) 0 liên tục đối với ( ,t u0)0;  X

Định nghĩa 1.2.2 Tập Y  X được gọi là bất biến dương nếu ( ) S t Y Y ,   t 0.

Tập Y  X được gọi là bất biến âm nếu S t Y( ) Y , t 0

Tập Y  X được gọi là bất biến nếu S t Y( ) Y, t 0.

Định nghĩa 1.2.3 Nửa nhóm ( ) S t gọi là tiêu hao điểm (tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0  X hút các điểm (hút các tập bị chặn) của X

Nếu ( )S t là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0  X sao cho với mọi tập bị chặn B0  X , tồn tại T T B( )  0 sao cho S t B( )  B0, t T Tập B0 như

vậy gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm ( ) S t

Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các nửa nhóm trong không gian hữu hạn chiều

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X là một không gian Banach Nửa nhóm ( ) S t gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t  0, S t có thể biểu diễn dưới dạng ( )

Là compact trong X , ở đây   g là bao đóng của tập g

Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy S( )2( )t  0 trong biểu diễn (1.2).Rõ ràng rằng bất kì hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều nào cũng là compact

Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B  X , tồn tại t B0( ) sao cho

Bổ đề 1.2.5. Nửa nhóm ( ) S t là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập compact

K sao cho

lim

xdist( ( ) ,s t B K)  0,

với mọi tập B bị chặn trong X

Chứng minh Vì K là tập compact nên với mọi t  0 và u X  , tồn tại phần tử

S t u S t u S t u dễ thấy sự phân tích (1.2) thỏa mãn tất

cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm cận

Chú ý Nếu X là một không gian Banach lồi đều và nửa nhóm ( )S t có

một tập hấp thụ bị chặn B, thì ba điều kiện sau là tương đương:

i) Nửa nhóm ( )S t là compact tiệm cận;

ii) Nửa nhóm ( )S t thuộc lớp A K , tức là với mọi dãy bị chặn  x k trong X và

mọi dãy k ,  ( )k k 1

k



  là compact tương đối trong X

iii) Tồn tại một tập compact K  X sao cho

Dist( ( ) ,S t B K)  0 khi t  

Định nghĩa 1.2.6 Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn cục

đối với nửa nhóm ( ) S t nếu:

1) A là một tập đóng và bị chặn;

2) A là bất biến, tức là ( ) S t A  A với mọi t  0;

3) A hút mọi tập con bị chặn B của X , tức là

lim

xdist ( ( ) ,S t B A)  0,

ở đó dist( , ) sup inf ( , )

Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa

Mệnh đề 1.2.7. Giả sử ( ) S t có tập hút toàn cục A Khi đó:

1) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B A (tính cực đại);

2) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì A  B (tính cực tiểu); 3) A là duy nhất

Định lí 1.2.8. Giả sử nửa nhóm ( ) S t có tập hút toàn cục A Khi đó mọi quĩ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quĩ đạo tuần hoàn, nếu có) đều nằm trên A Hơn nữa, nếu ( ) S t là đơn ánh trên A thì A là hợp của tất cả các quĩ đạo đầy đủ bị chặn

Định lí 1.2.9. Giả sử hệ động lực ( , ( )) X S t có tập hút toàn cục A Cho trước một quĩ đạo u t( )  S t u( ) 0, một sai số ò > 0 và một khoảng thời gian T > 0.

Khi đó tồn tại một thời điểm t = t( , )òT và một điểm v Î A0 sao cho

u(t + t)- S t v( ) 0 £ ò với mọi 0£ £t T

Để xấp xỉ quĩ đạo đã chọn ( )u t trong một khoảng thời gian dài hơn, ta phải dùng

nhiều quĩ đạo trên tập hút toàn cục A Mệnh đề sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lí 1.2.9

Hệ quả 1.2.10 Cho trước một quĩ đạo ( ), u t tồn tại một dãy các sai số  n n 1

Định lí 1.2.11 Giả sử ( ) S t là nửa nhóm liên tục trên không gian Banach X Giả sử ( ) S t là tiêu hao và compact tiệm cận Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn

của ( ) S t thì A  w( )B là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với ( ) S t Hơn nữa, tập hút toàn cục A là liên thông trong X

Hệ quả 1.2.12 Nếu nửa nhóm ( ) S t là tiêu hao và B là một tập hấp thụ compact

thì ( ) S t có một tập hút toàn cục compact liên thông A  w( )B Mệnh đề 1.2.13 Giả sử  ( ) 0

Kết quả sau thường dùng để chứng minh một nửa nhóm là liên tục mạnh - yếu

Bổ đề 1.2.15. Giả sử X,Y là hai không gian Banach và X,Y  là các không gian đối ngẫu tương ứng Ta cũng giả sử rằng X là một không gian con trù mật của Y , phép chiếu i X :  Y là liên tục và liên hợp của nó i :Y  X là phép chiếu trù mật Giả sử  ( ) 0

t

S t

 là một nửa nhóm trên X và Y tương ứng

và giả sử ( ) S t là liên tục hoặc liên tục yếu trên Y Khi đó  ( ) 0

t

S t

 là liên tục

mạnh - yếu trên X nếu và chỉ nếu  ( ) 0

 được gọi là thỏa mãn điều kiện ( ) C trong

X nếu và chỉ nếu với bất kì tập bị chặn B của X và bất kì ò  0, tồn tại một hằng số dương t B và một không gian con hữu hạn chiều X1 của X , sao cho tập PS t x x( ) B t, t B bị chặn và

(I P S t x) ( ) ò với bất kì t  t B và x  B,

trong đó P : X  X1 là phép chiếu tắc

Các định lí sau thường dùng để chứng minh tính trơn của tập hút toàn cục, tức là chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục trong các không gian “trơn hơn” không gian chứa điều kiện ban đầu

(ii) với bất kì ò  0 và bất kì một tập con bị chặn B của L W q( ), tồn tại các hằng

số dương M  M( , )òB và T T( , )òB sao cho

Định lí 1.2.18 Giả sử X là không gian Banach và  ( ) 0

t

S t

 là một nửa nhóm liên tục mạnh - yếu trên X Khi đó  ( ) 0

 thỏa mãn điều kiện (C) trong X,

Bổ đề 1.2.19 Giả sử X ↪ H ↪ Y , trong đó X Y H , , là ba không gian Banach với X là phản xạ và phép nhúng X trong H là compact Giả sử  u n là dãy bị

một dãy con của  u n hội tụ mạnh trong L2( , ;0T H).

Bổ đề 1.2.20.Giả sử O là tập mở bị chặn trong N là dãy trong L O p( ) thỏa mãn: