Trọn bộ 15 chuyên đề môn Vật lí tham dự Hội thảo khoa học khối các trường THPT Chuyên khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Chuyên đề xếp loại xuất sắc ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN Biên soạn: Ngu

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

LỜI NÓI ĐẦU

Trong hành trình phát triển của nền giáo dục Việt Nam, hệ thống các trường THPT chuyên ngày càng khẳng định được vị thế quan trọng của mình trong việc phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng nhân tài, chắp cánh những ước mơ bay cao, bay xa tới chân trời của tri thức và thành công Đối với các trường THPT chuyên, công tác học sinh giỏi luôn được đặt lên hàng đầu, là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học Hội thảo khoa học các trường THPT chuyên Khu vực Duyên Hải và Đồng bằng Bắc Bộ là một hoạt động bổ ích diễn ra vào tháng 11 thường niên Đây là dịp gặp gỡ, giao lưu, học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế giữa các trường THPT chuyên trong khu vực Năm năm qua, các hội thảo khoa học đều nhận được sự hưởng ứng nhiệt tình của các trường, bước đầu đã đem đến những hiệu ứng tốt, tác động không nhỏ đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và chất lượng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của các trường Chuyên.

Năm 2013 là năm thứ 6, hội thảo khoa học của Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ được tổ chức tại Thái Bình - mảnh đất quê lúa, mang trong mình truyền thống yêu nước và truyền thống hiếu học Tại hội thảo lần này, chúng tôi chủ trương tập trung vào những vấn đề mới mẻ, thiết thực và có ý nghĩa đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi, để quý thầy cô đã, đang và sẽ đảm nhiệm công tác này tiếp tục trao đổi, học tập, nâng cao hơn nữa năng lực chuyên môn của mình.

Tập tài liệu của Hội thảo lần thứ VI bao gồm những chuyên đề khoa học đạt giải của quý thầy cô trong Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc bộ Các bài viết đều tập trung vào những vấn đề trọng tâm đã được hội đồng khoa học trường THPT chuyên Thái Bình thống nhất trong nội dung hội thảo Nhiều chuyên đề thực sự là những công trình khoa học tâm huyết, say mê của quý thầy cô, tạo điểm nhấn quan trọng cho diễn đàn, có thể coi là những tư liệu quý cho các trường trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Xin chân thành cảm ơn sự cộng tác của quý thầy cô đến từ các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ cùng các trường THPT chuyên với vai trò quan sát viên Chúng tôi hy vọng, sẽ tiếp tục nhận được nhiều hơn nữa sự phản hồi, đóng góp, trao đổi của quý thầy cô để các chuyên đề khoa học hoàn thiện hơn.

Thái Bình, tháng 11 năm 2013

TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH

Trường THPT Chuyên Thái Bình 1

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Chuyên đề xếp loại xuất sắc

ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN

Biên soạn: Nguyễn Chí Trung

Đơn vị công tác: THPT Chuyên Bắc Ninh

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng nhưchương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phầnkiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men độnglượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vìđây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giảitích vec tơ Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta cóthể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn Chính vì vậytôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠHỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năngvận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho họcsinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thihọc sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái BìnhDương cũng như Olympic quốc tế

Sau đây là nội dung của chuyên đề:

- Cơ sở lý thuyết

- Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức

- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết

- Các bài tập tự luyện tập với đáp số

Trường THPT Chuyên Thái Bình 2

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Khối tâm

a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm Mi có khối lượng mi,

gọi O là một điểm tùy ý, ta có

i i i i G

G

r

M dm

của S trong R bằng tổng cộng động lượng của cácchất điểm cấu tạo nên hệ S:

Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong

hệ quy chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ởtại khối tâm G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S

G

p mv=

ur rb) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R*

Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R*

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trong đó ∑Fext là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ

uur uuur uuuur uuur

4 Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năng

Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có:

m là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:

Định lý Koenig đối với động năng: 1 2 *

( ) ( ) 2

K = mv G +K G (7)

5 Mô men động lượng Định lý Koenig đối với mô men động lượng

a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ Strong HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S

= r i m i v i

L0   (8)b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R*, theođịnh nghĩa là:

Lr =∑GMuuuur∧m vr =∑rr ∧m vr (9)c) Định lý Koenig đối với mô men động lượng

Mô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của:

+ Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G cókhối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R

+ Mô men động lượng đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó(nghĩa là trong chuyển động của nó quanh G)

*

Lr =Lr +OG mvuuur∧ r (10)d) Mô men động lượng trọng tâm

Nếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*:

=uuur∧∑ uur+∑uuuur ∧ uur

Trường THPT Chuyên Thái Bình 4

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

ur ur ure) Mô men động lượng tại một điểm của trục

Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ HQC RS (O,xS, yS, zS) gắnvới vật rắn, quay với vận tốc góc Ω = Ω =ur eurz θ 'eurz trong HQC R

Ta viết biểu thức của mô men động lượng LurA

của vật rắn này tại mộtđiểm A cố định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn vớivật rắn) trong R:

ur uuuur ur uuuur ur uuuur

Ta đưa vào điểm H là hình chiếu của M trên

S

ur uuuur ur uuuur

f) Mô men động lượng đối với trục ∆ - Mô men quán tính:

Trường THPT Chuyên Thái Bình 5

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Theo định nghĩa, L∆ không phụ thuộc vào vị trí

của điểm A trên trục ∆

+ Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay

là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J∆ của vật rắn đối với trục quay ∆ như sau: 2

S

J∆ =∫∫∫ r dm

Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho mức quán tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến theo thời gian), chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn.

6 Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực

+ Mô men lực MuurO

tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là:

Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào

uur uuur uuuur uur uuur uur uuuur

Vì ∑m GM iuuuur ri = 0 và ∑m a i iuur uur r* =F* = 0 nên ta suy ra định lý Koenig đối với

uuuur uuur uuur

Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của:

+ Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khốilượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R

Trường THPT Chuyên Thái Bình 6

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa làtrong chuyển động của nó quanh G)

7 Mô men lực trọng tâm:

Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQCtrọng tâm R* không phụ thuộc vào điểm mà ta tính Chúng ta có thể viết mômen này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: * *

uur uur uur

8 Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lực

Ta xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mô men là điểm bất

ký P, điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọnlàm gốc tọa độ (hình vẽ)

Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần của hệ đối với điểm P là:

Thay tiếp ∑m r i i.r =mrrG, ta được

Trường THPT Chuyên Thái Bình 7

O

y

x 2

1

P1 Pr r r r2 P−

r r r r −1

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Cho hai vec tơ: urA= ( , , )a a a x y z , Bur= ( , , )b b b x y z

+ Tích vô hướng của hai vec tơ: ur urA B = (a b x x +a b y y+a b z z)

+ Tích có hướng của hai vec tơ: ur ur rA B i a b∧ = ( y z−a b z y) +rj a b( z x−a b x z) +k a br( x y−a b y x)

Với r r ri j k, ,

là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz

Trường THPT Chuyên Thái Bình 8

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

II BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1.

Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, có

khối lượng m liên kết với nhau bằng một thanh

chiều dài là b, khối lượng không đáng kể A dịch

chuyển trên vòng tròn tâm O bán kính b và thanh

AB có thể dao động quanh một trục đi qua A và

vuông góc mặt phẳng như hình vẽ Tính tổng động

lượng và mô men động lượng đối với O của hệ AB

theo các góc α, β và đạo hàm của chúng theo thời

uur uuur r uuur r

Với OAuuur= ( cos , sin ,0)b α b α

suy ra v Ar( ) =OAuuur' ( = −bα 'sin , α αb c' os ,0) α

và OBuuur= ( (cosb α +cos ), (sin β b α + sin ),0) β

( ) ' ( ( 'sin 'sin ), ( ' os ' os ),0)

r uuur

Suy ra urp mv A= r( ) +mv Br( ) =m b( (2 'sin − α α β + 'sin ), (2 ' os β b α c α β + ' os ), 0)c β

Và Luur uuurO =OA∧ mv Ar( ) +OBuuur∧ mv Br( ) =mb2 (2 ' α β + + ' 2 ' os( β c α β − ))eurz

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối

lượng m được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’

và BB’ có chiều dài b Thanh dao động trong mặt

phẳng thẳng đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn song

song với nhau

a) Tính động năng của thanh theo đạo hàm α '

của góc nghiêng α của các dây ở một thời điểm cho

b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong quá trình dao động

Trường THPT Chuyên Thái Bình 10

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

+ Thế năng của thanh là: U =mgb(1 −cos ) α (2)

+ Cơ năng của hệ là:

2 2

0

1

' (1 os ) (1 os ) ons 2

Một vòng tròn đồng nhất có tâm O, khối lượng

m, bán kính a quay với tốc độ ω không đổi quanh trục

cố định của nó Tính mô men động lượng của vòng tròn

ở O và động năng của vòng tròn đó

Giải

Điểm M của vòng tròn được xác định bởi các tọa độ cực:OMuuuur=aeurr

Vận tốc của M là: v Mr( ) =a eωuurθ

Từ đây suy ra:

+ Mô men động lượng đối với O:

2 òng

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

uuuur uuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuur

Với HH G=a là khoảng cách giữa hai trục ∆ và ∆G và

Để ý rằng vec tơ uuuuurHH G

là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S ta

Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm thanh

OA khối lượng không đáng kể và chiều dài là R, người ta

hàn vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m có dạng

là một nửa vòng tròn mà thanh OA là bán kính Vị trí của

con lắc được xác định theo góc α giữa thanh OA và

đường thẳng đứng hướng xuống Xác định tổng động

lượng, mô men động lượng đối với O, mô men lực đối

với O và động năng của con lắc phụ thuộc vào α và các

Trường THPT Chuyên Thái Bình 12

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

đạo hàm của chúng

Giải

Một điểm M của nửa vòng tròn được xác định

bởi góc ϕ α β = + với β = const (hình vẽ)

C O

Ví dụ 6

Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2b

và khối tâm G là trung điểm của AB Thanh tựa

lên mặt đất nằm ngang và gối lên một bức

tường thẳng đứng Vị trí của thanh được xác

định theo góc α =(Ox,OGuuur uuur), góc này thay đổi

khi thanh trượt ở A và B

1) Xác định các thành phần của vận tốc

( )

v G

r

của điểm G theo α và đạo hàm của α

2) Tìm vec tơ quay Ωur của thanh

Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán

B y

G

O

+

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Vận tốc khối tâm: v G( ) d OG ( b 'sin ,b c' os ,0)

Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB

giống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài

2b và nối khớp ở A Hai thanh chuyển động trong

mặt phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của

chúng được xác định bởi các góc α, β so với

đường thẳng đứng Ox hướng xuống Tính mô men

động lượng đối với O và động năng của con lắc

G2

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

va chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật Sau va chạm, các vật thực hiện chuyểnđộng tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhấtbằng ω 1, của vật thứ hai bằng ω2 Mô men quán tính của chúng tính theo các trụ

thẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I1 và I2

a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất

kì của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâmcủa nó

Trường THPT Chuyên Thái Bình 15

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vậtchuyển động sau va chạm

c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là

2

v

cònvật thứ hai không quay Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d

uur uur ur uur ur

nên L uur uurO = LG + M r uur uurG ∧ vG (ĐPCM)

b) Gọi v1' là vận tốc của vật 1 (của G1) sau va chạm

Trường THPT Chuyên Thái Bình 16

G1m

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó:

mvur+mvuur=mv mvr− r r= ⇒ = − = −vur vuur vur

Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2

Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm làbằng nhau

mv

ωω

a) L uur uurO = LG + M r uur uurG ∧ vG

Trường THPT Chuyên Thái Bình 17

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

khối tam G, bán kính R và khối lượng m Hệ quy

chiếu Trái Đất (Oxyz) được xem là quán tính Tất

cả đều nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy) Ta

kí hiệu I là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và D Ta xác

định vị trí của D theo tọa độ x của tâm C của nó

theo góc α = ( ,CI CGuur uuur)

= = Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách:

a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I

b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phânbậc hai của α

c) Giả sử α rất nhỏ Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câub) để từ đó suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng

Giải

a) Tính mô men lực của D ở I

+ Cách 1 Dùng định lý Koenig đối với mô men lực

( ) "

Ta tìm được: MuuurI =((J m R+ ( 2 − 2bRcos )) " α α +mRbα ' sin 2 α)eurz

+ Cách 2 Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng của D đối với I

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

b) Vận dụng định lý về mô men lực đối với điểm I, phép chiếu lên trục

Oz cho ngay kết quả (chỉ có mô men của trọng lực đối với I là khác không)

((J m R+ ( 2 − 2bRcos )) " α α +mRbα ' sin 2 α) = −mgbsin α

c) Nếu α rất nhỏ, phương trình trên được đơn giản thành:

2 (J mR+ − 2mbR) " α = −mgbα

Như vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hòa quanh vị trícân bằng

8

R T

Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và

cứng, giống như một cái bút chì thông thường Khối

lượng của nó là M và được phân bố đều Tiết diện thẳng

do ma sát mà khối trụ không trượt và luôn chạm vào mặt nghiêng Vận tốc góccủa nó ngay trước khi một cạnh của nó đập vào mặt nghiêng là ωi và ngay sau

Trường THPT Chuyên Thái Bình 19

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

khi cạnh ấy đập vào mặt nghiêng là ωf Chứng minh rằng ta có thể viết : ωf =

d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng Ki sẽ dần tớimột giá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng Biếtrằng giá trị ấy tồn tại, chứng minh rằng Kio có thể viết dưới dạng : Kio = kMga,tìm biểu thức của k theo α và r

e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu αo để cho quá trình lăn mộtkhi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi

Giải.

a) Cách 1.

- Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F.Xung lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khốitrụ đối với trục F được bảo toàn trong quá trình va chạm Ta có :

Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen độnglượng của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig)

i

Ma Ma

f f

Ma I

C

vci

30ο

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Suy ra : Li = Lf 

17

11 12

17 12

Ma

ω

ω ω

+ Thành phần song song với mặt nghiêng là N//

+ Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N⊥

Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuônggóc với mặt nghiêng hướng từ dưới lên trên

Ta có:

2

3 ) (

30 sin )

) 5 ( 2

1 ) (

30 cos )

M dt

2

3 2

1 a N//dt a I C f i dt

N⊥ − = ω − ω (định lí biến thiên mômenđộng lượng đối với C)

b) Tốc độ dài của khối tâm ngay trước lúc va đập là aωi và ngay sau lúc

va đập là aωf

+ Động năng toàn phần của một vật quay là : ( 7 )

2 2

2

2 Cω

C I Mv

+ Trước va đập :

24

17 12

5 2

1 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

i i

i i

C C i

Ma Ma

Ma I

=

Ta thấyđộng năng tỉ lệ với ω2

2 2 2

2 2

2 2

2

f f

f i

C Cf f

Ma Ma

Ma I

Mv

ω ω

=

289

121 17

11 22

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

c) Động năng Kf sau va đập phải đủ lớn để có thể nâng khối tâm của khốitrụ lên vị trí cao nhất trên đường thẳng đứng đi qua tiếp điểm

+ góc mà véc tơ ruurC

phải quay là : x = 30o - α

+ năng lượng để khối tâm nâng lên là :

)) 30 cos(

1 ( )

cos 1

0 =Mga − x =Mga − − α

ta suy ra điều kiện :

Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - α))  r.Ki min = δMga =Eo

1

sin 1

sin

r

k r

Mga kMga

Ki,3 = r.Ki,2 + ∆ = r(r.Ki,1 + ∆) + ∆ = r2.Ki,1 + (1+r)∆

Ki,4 = r.Ki,3 + ∆ = r (r2.Ki,1 + (1+r)∆) + ∆ = r3.Ki,1 + (1 + r + r2)∆

1

1 ,

Khi n →∞, vì r < 1, nên ta có : ( 15 )

1

1 0 ,

Trường THPT Chuyên Thái Bình 22

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Nếu ta tính biến thiên động năng trong một chu kí nghĩa là từ trước lầnđập thứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được:

∆Ki,n = Ki,n+1 – Ki,n = (r – 1)rn-1Ki,1 + rn-1∆ = rn-1[∆ - (1 – r)Ki,1] (16)

Đại lượng này dương nếu giá trị ban đầu Ki,1 < Ki,o và khi ấy Ki,n tăng dần tới giátrị giới hạn Ki,o Ngược lại, nếu Ki,1 > Ki,o thì động năng trước va đập Ki,n sẽ giảmtới giá trị giới hạn Ki,o

e) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn Ki, trong phần d) phải lớn hơn giá trịnhỏ nhất để có thể tiếp tục lăn đã tìm được trong phần c):

) 17 ))(

30 cos(

1 ( 1

sin 1

0 0

Mga r

Giải phương trình lượng giác này ta được αo≈ 6,58o

+ Nếu α > αo và động năng trước lần va đập đầu tiên đủ lớn như đã nói ởcâu c) thì ta sẽ có một quá trình lăn liên tục

+ Chú ý: do đầu bài nói α là góc nhỏ nên cũng có thể áp dụng các côngthức gần đúng: sinx ≈x ; cosx ≈ 1- x2/2 để giải bất phương trình (18)

III BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1

Một bánh xe to ở chỗ chơi ngày

lễ hội có bán kính R quay với tốc độ góc

ω không đổi quanh trục nằm ngang của

bánh xe Ta xét một cái thùng treo (móc

nối rất tốt ở A trên bánh xe) và hành

khách (mà ta xem như hoàn toàn không

động đậy trong thùng treo), hệ thùng treo

Trường THPT Chuyên Thái Bình 23

O

b

O A G

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

và hành khách có khối lượng m, có khối

tâm G nằm trên đường thẳng đứng qua

Bốn thanh OD, OE, AC và BC có khối lượng

không đáng kể nối khớp với nhau tại các điểm O, A,

B và C Điểm O là cố định, ống C được xem là một

chất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng

(Oz) Ở các đầu mút D và E có hai chất điểm giống

nhau, cùng khối lượng m Ta xác định vị trí của hệ

bằng góc ϕ Hãy tìm tổng động lượng, mô men động

lượng đối với O và động năng của hệ theo đạo hàm

ϕ’ của góc ϕ Cho biết: OA = OB = AC = BC = AD =

Ở các đầu mút C, D, E và F có bốn

khối điểm giống hệt nhau m Tính mô men

động lượng đối với O và động năng của hệ

phụ thuộc vào các góc ϕ,α, β và các đạo

ϕ B A

+

ϕ β

+

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

2 (8 ' 2 ' 2 ' ) 2

Bài 4

Thanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khối lượng

m được treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn, cùng

chiều dài, được treo vào điểm O như hình vẽ Góc tạo bởi các

dây treo và thanh là α = 60o Hệ quy chiếu Trái Đất được xem

là HQC quán tính

O

α

a) Hệ cân bằng Tìm lực căng của dây T0 của dây OA tại A

b) Tìm lực căng T của dây OA khi dây OB đột ngột bị đứt (khi mà thanh

AB còn chưa kịp dịch chuyển) Tính tỉ số

0

T T

có các chất điểm khối lượng m và bỏ qua khối

lượng của các thanh nối Hãy xác định, trong

HQC R, động lượng, mô men động lượng đối

với A cũng như động năng

Một đồng tiền được xem lý tưởng

Trường THPT Chuyên Thái Bình 25

L A

ω

x y

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

như là một đĩa tròn đồng chất bán kính a

với bề dày không đáng kể và khối lượng m

lăn không trượt trên một đường tròn Khối

tâm C của đĩa chuyển động trên một

đường tròn bán kính b và trục của nó

nghiêng một góc θ so với phương thẳng

đứng Tìm vận tốc góc Ω của tâm của đĩa

Đáp số: 4 tan

6 a sin

g b

α ω

α

= +

IV KẾT LUẬN.

Giải bài toán về động lực học vật rắn là một chuyên đề cơ bản trong việc bồidưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải quyết được những yêu cầu đặt ra của bàitoán về chuyển động của vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển độngcủa vật thể, đặc điểm chuyển động của vật rắn, đặc điểm về va chạm của vậtrắn Từ phân tích đặc điểm đó mà vận dụng định luật động lực học một cáchphù hợp

Trong giải bài toán vật lý nói chung và bài toán cơ học vật rắn nói riêng thìviệc phân tích kĩ hiện tượng vật lý xảy ra rất quan trọng Từ việc hiểu được hiệntượng vật lý để vận dụng nguyên lí phù hợp thông qua các định lý, định luật.Các biểu thức thể hiện quan hệ đã đạt được dựa vào giả thiết bài toán để tìm rakết quả

Trong chương trình THPT chỉ mới giải quyết các bài toán cơ bản vận dụngcác phương trình động lực học vật rắn và phương trình chuyển động của vật rắn.Thường thì chúng ta gặp bài toán biết điều kiện động lực học suy ra chuyểnđộng và ngược lại biết chuyển động để tìm các đại lượng động lực học Việcgiải bài toán về phức tạp hơn của cơ học vật rắn, đặc biệt là bài toán va chạmcủa vật rắn có mức độ tổng hợp cao hơn đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu hơn vàgiải quyết tình huống phức tạp hơn, do đó học sinh cần phải rèn luyện kĩ năngvận dụng cao hơn

Trường THPT Chuyên Thái Bình 26

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” là một chuyên đề cơ bản góp phần hỗ trợ trong việc giải quyết các bài

toán tổng hợp, đặc biệt là các bài toán về va chạm vật rắn

Các ví dụ trên đây chỉ là những ví dụ điển hình minh hoạ một phần nào chochuyên đề này Rất mong các đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực sự

bổ ích trong công tác giảng dạy đối với học sinh chuyên cũng như công tác bồidưỡng học sinh giỏi các cấp

Tôi xin chân thành cảm ơn./.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trường THPT Chuyên Thái Bình 27

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

1 Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lí (Cơ học 2) NXBGD 2012 TôGiang

2 Mé canique du solide Hachette Supérieur 2003 J.P DURANDEAU

3 Mé canique du ponit Hachette Supérieur 2003 J.P DURANDEAU

4 Bài tập vật lý đại cương tập 1 (cơ học) NXBĐHQGHN 2008 Nguyễn QuangHậu

5 Các bài toán Vật lí chọn lọc THPT (Cơ - Nhiệt) NXBGD 2006 Vũ ThanhKhiết

6 Bài tập và lời giải cơ học NXBGD 2008 Yung – Kuo Lim

7 Cơ sở vật lý Tập 2 Cơ học David Halliday NXBGD 2002

8 Các đề thi học sinh giỏi Vật lý (2001 – 2010) NXBGD 2011 Vũ ThanhKhiết, Vũ Đình Túy./

Chuyên đề xếp loại A

Trường THPT Chuyên Thái Bình 28

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Các đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia hầu như năm nào cũng có các bàitoán cơ học vật rắn và chiếm tỉ trọng điểm khá lớn Trong khi đó, học sinh chủyếu quen với cách giải các bài toán cơ chất điểm, khi gặp các bài toán vật rắn tỏ

ra lúng túng

Các bài toán cơ học vật rắn thực sự phức tạp, đa dạng, đặc biệt các bàitoán trong đề thi HSG QG rất khó Muốn tìm ra lời giải đòi hỏi người học cầnvận dụng hết sức linh hoạt các kiến thức nền tảng Người học cần nắm vững các

kĩ thuật tính toán đặc trưng trong cơ học vật rắn như cách xác định tâm quay tứcthời, cách chọn hệ quy chiếu sao cho thích hợp và đặc biệt là phối hợp nhuầnnhuyễn giữa phương pháp các định luật bảo toàn và phương pháp động lực học

Với phương pháp dùng các định luật bảo toàn thì định luật bảo toàn cơnăng đóng vai trò quan trọng bậc nhất Trong đó việc sử dụng phương phápnguyên hàm năng lượng cho phép xác định chuyển động của một số hệ cơ phứctạp nào đó với một cách giải nhanh và đẹp Do đó, tôi chọn chuyên đề mang tên:

TÌM CHU KÌ DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG.

Trường THPT Chuyên Thái Bình 29

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

2 Mục đích của đề tài.

- Triển khai phương pháp dùng vi phân năng lượng để tìm chu kì dao động của cơ hệ

- Nhấn mạnh hơn cách dùng phương pháp năng lượng trong bài toán cơ vật rắn

- Tạo ra tài liệu tham khảo cơ bản nhất dành cho những ai bắt đầu tìmhiểu cơ vật rắn

B Nội dung.

I Cơ sở lí thuyết.

1 Khái niệm vật rắn

- Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nókhông đổi - Vật rắn có thể xem như một hệ chất điểm Vật rắn tuyệt đối thườngđược xem là hệ chất điểm liên kết chặt chẽ với nhau

- Khái niệm vật rắn chỉ là tương đối

2 Momen quán tính.

- Là đại lượng vật lí đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong

chuyển động quay

- Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens))

Xét với trục quay ∆ song song với trục quay ∆G qua khối tâm G của vậtrắn, chúng cách nhau một khoảng d Khối lượng vật rắn là M, mô men quán tínhcủa vật rắn đối với trục quay ∆ là I được xác định qua mô men quán tính IG đốivới trục quay ∆G

I = IG + Md2

3 Định luật Niu-tơn II cho chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

3.1 Trong trường hợp tổng quát, khi chịu các lực tác dụng, vật rắn vừachuyển động tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm

Trường THPT Chuyên Thái Bình 30

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Để tìm gia tốc →a của chuyển động tịnh tiến (cũng là gia tốc →a của khối

F = m→

a , hay: ∑Fx = max và ∑Fy = may

Để tìm gia tốc góc của chuyển động quay quanh một trục đi qua khối tâm,

Cần chú ý là, khi vật ở trạng thái cân bằng tĩnh thì ∑→

M= 0 không chỉ đốivới trục đi qua khối tâm, mà đối với cả một trục bất kỳ

3.3 Đối với một vật rắn quay quanh một trục cố định thì chuyển độngtịnh tiến của vật bị khử bởi phản lực của trục quay

4 Năng lượng của vật rắn.

4.1 Thế năng của vật rắn:

Xét với vật rắn tuyệt đối, trong trọng trường có gia tốc g, Z là độ cao củakhối tâm G tính từ một mốc nào đó, vật rắn có thế năng bằng thế năng của khốitâm mang tổng khối lượng của vật rắn: U = MgZ

4.2 Động năng của vật rắn:

- Khi vật rắn quay xung quanh một trục quay cố định ∆: W = 1

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

- Nếu vật quay quanh tâm quay tức thời K thì:

2 K K

W I

2

ω

=

4.3 Định luật bảo toàn cơ năng:

- Nội dung: Khi các lực tác dụng lên vật rắn là lực thế, thì cơ năng E của

hệ vật rắn được bảo toàn: W = Wđ + Wt = const

- Nếu trong quá trình biến đổi của hệ từ trạng thái 1 sang trạng thái 2, cólực ma sát, lực cản tác dụng mà ta tính được công A của các lực ấy thì có thể

áp dụng định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng:

W2 - W1 = A

II Ví dụ điển hình.

Bài 1.(Đề thi HSG quốc gia 2005) Cho cơ hệ như

hình vẽ, quả cầu đặc có khối lượng m, bán kính r lăn không

trượt trong máng có bán kính R Máng đứng yên trên mặt

phẳng nằm ngang Tìm chu kì dao động nhỏ của quả cầu

Cho biết momen quán tính của quả cầu đặc 2

Phương pháp năng lượng.

Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại tâm O của máng cong

Quả cầu lăn không trượt nên K là tâm quay tức thời

Trường THPT Chuyên Thái Bình 32

O

R r

K

H α

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Cơ năng của quả cầu tại li độ góc α

2 K K

Phương pháp động lực học.

Vì quả cẩu lăn không trượt nên K là tâm quay tức thời

Phương trình động lực học vật rắn đối với tâm K

Kmgrsin I

− Ta lại có kết quả trên.

Trường THPT Chuyên Thái Bình 33

O

R r

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Chú ý: Trong hai phương pháp giải quyết thì phương pháp năng lượng

phải chọn gốc thế năng cho phù hợp, còn phương pháp động lực học thì phảiphân tích lực và chọn một trục quay Trong bài toán này phương pháp nănglượng có vẻ dài hơn và chưa thể hiện tính ưu việt Nhưng trong các bài toán có

hệ lực phức tạp sau đây thì phương pháp năng lượng tỏ ra hiệu quả hơn

Bài 2 Một thanh đồng chất AB = 2l

có momen quán tính

2mI3

= l đối với trụcvuông góc với thanh và đi qua trọng tâm G

của thanh Thanh trượt không ma sát bên

trong một nửa vòng tròn bán kính R 2

3

= l Chứng minh thanh dao động điều hòa và

tìm chu kì dao động

Bài giải:

Phương pháp động lực học.

Xét mối quan hệ trong tam giác OAB ta được OG = R/2

Các lực tác dụng vào thanh gồm hai phản lực pháp tuyến tại A, B, vàtrọng lực Prtại G

Trong hệ quy chiếu Galile áp dụng cho thanh đối với khối tâm G Xéttheo các phương OG và Oz (hình vẽ)

A

A

A A

34

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Vì không có ma sát nên NrA

, NrBhướng vào tâm O Do đó:

Phương pháp năng lượng

Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại tâm O của nửa vòng tròn Vì bỏ qua ma sát ở nên

cơ năng của thanh bảo toàn Đường thẳng vuông góc với v , vr rA B

cắt nhau tại Onên O là tâm quay tức thời của thanh AB.Cơ năng của thanh tại li độ góc θ:

2 O

W I mg.OG cos const(*)

m

I ; = '12

= ωθ + θ θ ⇔ θ + θ = Ta thu được kết quả như trên

Chú ý: Trong bài toán trên thì phương pháp năng lượng cho thấy hiệu

quả rõ rệt của nó là có biến số đơn giản, không phải thực hiện phép chiếu véc tơ

và phép phân tích lực Số lượng phương trình cũng ít hơn nhiều so với phươngpháp năng lượng

Bài 3 Cho cơ hệ gồm ròng rọc hình trụ khối lượng M bán kính R và lò

xo có độ cứng k, vật có khối lượng m Dây không giãn, khối lượng không đáng

kể, đầu A cố định, dây không trượt trên ròng rọc Tìm chu kì dao động của vật m

Trường THPT Chuyên Thái Bình 35

θ G A

B

y A

A

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Bài giải.

Phương pháp động lực học.

Xét cơ hệ tại vị trí cân bằng: Fđh = 2Pm + PM = Mg + 2mg = k∆l o

Phương trình động lực học khi vật m ở dưới vị trí cân bằng đoạn x

Phương pháp năng lượng.

Chọn gốc thế năng hấp dẫn qua tâm C của ròng rọc khi ở vị trí cân bằng

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Với: vật m đi xuống đoạn x thì M đi xuống x/2 và quay thêm được cung có độ

dài x/2 ứng với góc quay α nên: x R

Bài 4 Một nửa vòng xuyến mảnh bán kính

R, khối lượng m thực hiện các dao động(không

trượt) trên mặt nhám nằm ngang Ở vị trí cân

bằng khối tâm G của nửa vòng xuyến ở dưới

tâm O đoạn d = 2R/π Tìm chu kì dao động T1

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Bài 5 Cho cơ hệ như hình vẽ, thanh đồng chất OC

khối lượng m, chiều dài 2R có thể quay quanh trục Oz

nằm ngang của một khối hình trụ cố định bán kính R

Đầu C của thanh gắn với trục của một đĩa mỏng đồng

chất có bán kính R, khối lượng 2m; đĩa tiếp xúc với

khối trụ Khi cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng xOy

vuông góc với Oz, đĩa lăn không trượt trên khối trụ

Kéo thanh OC lệch góc nhỏ φo so với phương thẳng

đứng rồi buông nhẹ Tính chu kì dao động của cơ hệ Bỏ

qua ma sát ở các ổ trục và ma sát lăn giữa đĩa mỏng và

38

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Thế năng hấp dẫn: Wt = - 2m.2Rcos φ – mgRcos φ = -5mgR cos φ

Cơ năng của hệ:

O5mgR c

Bài 6 Một người thợ đặt một cây thước gỗ đồng chất, tiết diện đều, chiều dài

AB = l trên một khối trụ có bán kính R cố định trên mặt phẳng nằm ngang(hv) Ở vị trí cân bằng trọng tâm G của cây thước gỗ trùng với điểm tiếp xúcgiữa thước và khối trụ Chứng minh thước dao động điều hòa khi bị lệch khỏi vịtrí cân bằng một góc nhỏ Tìm chu kì dao động của hệ, lấy g = 10 m/s2

Bài giải:

Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại O nằm trên trục đối xứng của hình trụ

Trường THPT Chuyên Thái Bình 39

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Xét năng lượng của thanh tại li độ góc α:

Thế năng: Wt = mg(Rcos α + R αsin α)

Động năng:

2 K

(Vì KG rất nhỏ so với chiều dài thanh)

Cơ năng của hệ:

2 2m

Bài 7.(Đề thi HSG quốc gia 2007) Một đĩa tròn đồng

chất, khối lượng m, bán kính R có thể quay quanh một trục

cố định nằm ngang đi qua tâm O của đĩa Lò xo có độ cứng

k, một đầu cố định, một đầu gắn với điểm A của vành đĩa

Khi OA nằm ngang thì lò xo có chiều dài tự nhiên Xoay

đĩa một góc nhỏ αo rồi thả nhẹ Coi lò xo luôn có phương

thẳng đứng và khối lượng lò xo không đáng kể

1 Bỏ qua mọi sức cản và ma sát Tính chu kì dao

động của đĩa

2 Thực tế luôn tồn tại sức cản của không khí và ma

sát ở trục quay Coi momen cản Mc có biểu thức là Mc =

kR2/200 Tính số dao động của đĩa trong trường hợp αo =

Trường THPT Chuyên Thái Bình

R O A