KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA

R + là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị.. Nếu mọi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

M ỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

K x ϕ Vành đa thức biến x cùng với tự đồng cấu trên K

K G Vành sinh bởi tập G trên K

Spec(R) Tập các ideal nguyên tố của vành R

R

8

LỜI NÓI ĐẦU

Cho vành R giao hoán có đơn vị 1 Một tập S R⊂ được gọi là tập con nhân (đóng nhân) của R nếu 1 S∈ và ,∀x y∈ ⇒S xy∈ S

Xác định quan hệ “∼” trên tập R× như sau: S

RS− trở thành một vành giao hoán Vành 1

RS− được gọi là vành các thương của vành R theo tập con nhân S

Hơn nữa, nếu I là một ideal nguyên tố của R ta có tập nhân đóng S = R\I, vành các thương RR S R là vành địa phương Khi R là một miền nguyên giao hoán và S = R\{0}, vành các thương RR S R là một trường, gọi là trường các thương của R Như vậy, mỗi miền nguyên giao hoán R đều được nhúng vào

một trường các thương duy nhất sai khác một đẳng cấu

Vấn đề đặt ra là đối với một miền nguyên không giao hoán, có thể nhúng nó vào một vành chia hay không? Nếu được thì có duy nhất hay không?

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản

Phần này ta nhắc lại một số định nghĩa, tính chất và các định lý cơ bản

của đại số không giao hoán

1.1.1 Định nghĩa

Cho tập hợpR khác r ỗng , trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu là “+ ” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân) Ta nói , ,

R + là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép

nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị

1.1.2 Định nghĩa

Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành

R cảm sinh trên A là một vành thì ta nói A là vành con của vành R

1.1.3 Định nghĩa

Cho R là một vành, một vành con A của R được gọi là ideal trái (ideal ph ải) của vành R nếu thỏa mãn điều kiện: ra∈A(ar∈A), ∀ ∈a A,

r R

∀ ∈ Vành con A của R được gọi là ideal của vành R nếu A v ừa là ideal

trái v ừa là ideal phải của vành R

1.1.4 Định nghĩa

Cho R là một vành có đơn vị Nếu mọi phần tử của R đều không phải là

ước của 0 thì R được gọi là một miền nguyên

Chú ý: để tránh nhầm lẫn với đại số giao hoán ta gọi miền nguyên R

(như định nghĩa trên) là miền

1.1.5 Định nghĩa

Cho R là m ột vành có đơn vị Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả

ngh ịch thì R được gọi là một vành chia (thể)

1.1.6 Định nghĩa

Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập không rỗng các ideal

phải của R đều có phần tử tối tiểu

Các định nghĩa vành Artin trái, vành Artin một cách tương tự Ta có thể định nghĩa vành Artin phải thông qua dây chuyền giảm: Vành R là vành Artin

phải khi và chỉ khi mọi dây chuyền giảm các ideal phải của R

Vành R được gọi là vành Noether phải nếu mọi tập không rỗng các

ideal phải của R đều có phần tử tối đại

Các định nghĩa vành Noether trái, vành Noether một cách tương tự

1.1.8 M ệnh đề

Cho vành R các điều kiện sau là tương đương:

i) R là vành Noether phải

ii) R thỏa điều kiện dây chuyền tăng

iii) Mỗi ideal phải của R là hữu hạn sinh

iv) Mỗi tập khác rỗng của các ideal phải của R có một phần tử tối đại

1.1.9 Định nghĩa

Cho R là m ột vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben M được gọi là

một R-môđun phải nếu có một ánh xạ : f MxR→M thỏa (m r, )mrsao cho

Chú ý:

R

M là R- môđun phải, tương tự ta có R M là R- môđun trái Nếu không

nói gì thêm thì R-môđun phải M gọi tắt là R-môđun M

1.1.10 Định nghĩa

Cho R-môđun M và tập∅ ≠ ⊂N M N được gọi là môđun con của M

nếu với phép toán cảm sinh trên M thì N là một R-môđun N Hơn nữa, khi N

là môđun con của M , v R ới phép toán cảm sinh trên M thì M/N cũng là một R-môđun phải và được gọi là môđun thương

1.1.11 Định lý

Cho M là một R- môđun phải và N là tập con khác rỗng của M Khi đó

N là một môđun con của M khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:

i)∀x y, ∈N x: − ∈y N.ii) ∀ ∈ ∀ ∈a R, x N : xa∈N

1.1.12 Định nghĩa

R-môđun M được gọi là môđun đơn hay bất khả quy nếu MR≠ và 0

M có đúng hai môđun con là M và 0

Nếu mỗi môđun con của MR R R là h ạng tử trực tiếp của MR R R thì MR R R được

gọi là môđun phải nửa đơn

1.1.13 Định nghĩa

R-môđun M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (d.c.c) nếu

mọi dãy giảm các môđun M ⊃M ⊃ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn

tại n sao cho: M n =M n+1 = .

R-môđun được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (a.c.c) nếu mọi

dãy tăng các môđun: M1⊂ M2 ⊂ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho: M n =M n+1 =

R-môđun phải M được gọi là môđun Noether nếu mọi tập không rỗng

các môđun con của M đều có phần tử tối đại

R-môđun M được gọi là môđun Artin nếu mọi nếu mọi tập không rỗng

các môđun con của M đều có phần tử tối tiểu

1.1.14 M ệnh đề

Giả sử A là môđun con của môđun M Các điều kiện sau đây là tương đương:

i) M là môđun Artin

ii) A và M/A là môđun Artin

iii) M thỏa điều kiện dây chuyền giảm (d.c.c)

1.1.15 M ệnh đề

Giả sử A là môđun con của môđun M Các điều kiện sau đây là tương đương:

i) M là môđun Noether

ii) A và M/A là môđun Noether

iii) M thỏa điều kiện dây chuyền tăng (a.c.c)

iiii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

1.1.16 Định nghĩa

M được gọi là R-môđun trung thành nếu với r∈R mà Mr = 0 thì r = 0

1.1.17 M ệnh đề

Cho M là R-môđun Khi đó A M( ) {= ∈r R Mr| = là ideal hai phía 0}

của R Hơn nữa, M là R A M - / ( ) môđun trung thành

1.1.18 B ổ đề

Cho M là R-môđun Với mỗi r∈Rta có một tự đồng cấu nhóm cộng: :

r

T M →M cho bởi T m r( )=mr,∀ ∈m M Kí hiệu E(M) là vành các tự đồng

cấu nhóm cộng M và C M( )={ϕ∈E M( )|T rϕ ϕ= T r,∀ ∈r R} Khi đó, nếu

M là môđun đơn thì ( )C M là vành chia

Cho vành R các điều kiện sau là tương đương:

i) R là vành Artin phải đơn

ii) Tồn tại n∈ sao choRM n( )D , trong đó D là một vành chia nào

đó

1.1.21 Định nghĩa

Một phần tử a của vành R là lũy linh nếu tồn tại n sao cho a n = 0

Nếu mọi phần tử của một ideal A của R là lũy linh thì A được gọi là nil

ideal

Ideal A của vành R là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho A n = 0

1.1.22 Định lý

Cho vành R các điều kiện sau là tương đương:

i) R là tích trực tiếp hữu hạn các vành Artin đơn

ii) R là R-môđun nửa đơn

iii) R là Artin phải và không có ideal lũy linh khác 0

iv) R là Artin phải và giao của các ideal phải tối đại của nó là 0

1.1.23 Định nghĩa

Vành R được gọi là nửa đơn phải nếu môđun RR R Rlà môđun phải nửa

đơn

1.1.24 Định nghĩa

Cho vành R Radical của R là tập tất cả các phần tử của R linh hóa tất

cả các R-môđun đơn Kí hiệu J(R) Nếu R không có môđun đơn nào thì ta đặt J(R) = R

Radical được định nghĩa như trên được gọi là radical (căn) Jacobson

của R

1.1.25 Định lý

( ) ( : )

J R = p R , trong đó p chạy khắp tập các ideal phải tối đại của

R và (p R: ) {= ∈x R Rx| ⊂ p} Hơn nữa, (p R là ideal hai phía c: ) ủa R lớn

Ideal A của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu / R A là vành

nguyên tố Tập của các ideal nguyên tố của R được ký hiệu Spec(R)

1.1.29 Định nghĩa

Radical nguyên t ố của R là giao tất cả các ideal nguyên tố của R, kí

hiệu là ( )N R Rõ ràng radical nguyên tố của R chứa tất cả các ideal lũy linh

của R

1.1.30 M ệnh đề

Cho R là vành các điều kiện sau tương đương:

i) R không có ideal phải lũy linh khác không

ii) R không có ideal lũy linh khác không

iii) N R( )= 0

1.1.31 Định lý

Nếu R là vành Artin phải thì N R( ) lũy linh và là ideal lũy linh lớn nhất

của R Hơn nữa, R N R/ ( ) là vành nửa đơn và J R( )=N R( )

1.1.32 Định nghĩa

Vành R là n ửa nguyên tố nếu vành R không có ideal lũy linh khác 0

1.1.33 Định nghĩa

Nếu vành R có một môđun đơn trung thành M R thì R được gọi là vành

nguyên th ủy phải

Ideal A của vành R là được gọi là ideal nguyên thủy nếu R/A là vành

nguyên thủy

1.1.34 B ổ đề

i) Vành đơn có đơn vị thì nguyên thủy

ii) Vành nguyên thủy thì nguyên tố

1.1.35 Định lý

A là ideal của vành R có đơn vị thì các điều kiện sau là tương đương: i) A=J R( )

ii) A là giao của tất cả các ideal phải tối đại của R

iii) A là tập các phần tử x∈R sao cho 1 ax− là khả nghịch phải với

mọi a∈R

Cho vành R không có ideal lũy linh khác (0) Giả sử ρ ≠ là một ideal 0

phải tối tiểu của R Khi đó, tồn tại phần tử lũy đẳng e trong R sao cho ρ =eR

1.1.39 B ổ đề

Cho R là một vành và a R∈ sao cho 2

a − a lũy linh Khi đó, hoặc a là lũy linh hoặc tồn tại một đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e=aq a( ) là

Cho R là vành không có ideal lũy linh khác không và giả sử rằng e≠0

là phần tử lũy đẳng trong R Khi đó, eR là ideal phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là vành chia

1.1.43 Hệ quả

Cho R không có ideal lũy linh khác không và e≠ là một phần tử lũy 0đẳng trong R Khi đó, eR là ideal tối tiểu của vành R nếu và chỉ nếu Re là ideal tối tiểu của vành R

1.1.44 Định nghĩa

Phần tử x R∈ là chính quy phải nếu r 0x = thì r= 0

Phần tử x R∈ là chính quy trái nếu rx= thì 0 r = 0

Phần tử x R∈ là chính quy nếu nó vừa chính quy phải và chính quy trái

Kí hiệu: ( )C O là t R ập tất cả các phần tử chính quy của R

1.1.45 Định nghĩa

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Tập A được gọi là đại số trên

R nếu thỏa các tính chất sau đây:

i) A là R-môđun

ii) A là vành

iii) ∀x y, ∈ ∀ ∈A, r R r xy: ( ) ( )= rx y = x ry( ) Cho X là vị nhóm tự do sinh bởi các phần tử x x1, 2, ,x G n ọi R X là đại

số của vị nhóm X trên R, khi đóR X được gọi là đại số tự do sinh bởi các phần

tử x x1, 2, ,x Kí hi n ệu là:R x x1, 2, ,x n

1.2 Địa phương hóa vành giao hoán

1.2.1 Định nghĩa

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị là 1 ≠ 0 Một tập S ⊂ A được

gọi là tập (con) nhân (tập đóng nhân) của A nếu:

i) 1 S∈ ii) ∀x y, ∈S xy: ∈S

Ví d ụ:

• S = A\P với P là ideal nguyên tố của A là một tập con nhân

• S = {fP

n

P| n ≥ 0} với f A∈ là một tập con nhân

• Với A là miền giao hoán, S = A\{0} là một tập con nhân

• S = 1 + I, với I là một ideal của A, là một tập con nhân

Trên tập A×S ta xác định quan hệ “∼” như sau:

(a,s) ∼ (b,t) ⇔ ∃u ∈S: (at - bs)u = 0

Dễ kiểm tra “∼” là quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương của (a,s) được ký hiệu: a/s và gọi là một thương (phân số) Gọi SP

1.2.2 Tính chất

• Mọi phần tử u/v với u, v ∈ S đều khả nghịch

• Nếu A là miền giao hoán, S = A\{0} thì SP

-1

P

A là trường (trường các thương của A)

Cho g: A  B là một đồng cấu vành sao cho g(s) khả nghịch trong B

với mọi s ∈ S Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành h: SP

-1

P

A  B sao cho g = hR o Rf

-1

P = g(b).g(t)P

-1

P(vì g(s),g(t) khả nghịch) Vậy: h(a/s) = h(b/t)

-1

P = g(a.b).g(s.t)P

-1

P = g(a).g(t).g(s)P

-1

P.g(t)P

-1

P + g(b).g(s) g(s)P

-1

P.g(t)P

-1

P = [g(a).g(t) + g(b).g(s)] g(s)P

-1

P.g(t)P

-1

P = g(a.t + b.s) g(s.t)P

= h’(a/1).h’(s/1)P

-1

P = h’f(a) [h’f(s)]P

-1

P = g(a).g(s)P

-1

P= h(a/s) Do đó: h = h’ □

1.2.4 H ệ quả

Nếu :g A→ là một đồng cấu vành sao cho: B

i) g(s) khả nghịch trong B với mọi s S∈ ii) Với mọi a∈kerg đều tồn tại s S∈ sao cho as = 0

iii) Mỗi phần tử của B đều được viết dưới dạng g(a)g(s)P

-1

Ptrong đó ,

a∈A s∈ S

Khi đó: tồn tại duy nhất một đẳng cấu vành 1

:

h S A− → sao cho g = hB R o Rf

Thậy vậy: Vì g(s) khả nghịch trong B với mọi s S∈ nên theo kết quả

mệnh đề 1.2.3 tồn tại duy nhất đồng cấu vành 1

:

h S A− → sao cho g = hB R o Rf + h là toàn ánh: Vì mỗi phần tử b B∈ có dạng 1

1.2.5 Địa phương hóa

Cho P là ideal nguyên tố của vành A Tập S = A\P là tập con nhân của

A Trong trường hợp này vành các thương SP

Ngoài ra, ∀a s/ ∉S P a−1 , ∉ ta có ngay P a∈ ⇒S a s/ khả nghịch Nếu

J là một ideal thật sự của AR P R thì J không có phần tử khả nghịch Suy ra

Chương 2: KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA 2.1 Xây d ựng vành các thương của vành không giao hoán

Mở rộng hơn cho vành không giao hoán, cách xây dựng vành các thương bằng phương pháp địa phương hóa theo tâm của lý thuyết vành giao hoán như trên cũng có thể áp dụng để xây dựng vành các thương cho một số vành không giao hoán Tuy nhiên, không phải với vành không giao hoán bất

kỳ nào chúng ta cũng có thể xây dựng được RR S R bằng phương pháp 1.2 trên

2.1.1 Định nghĩa

Cho S là một tập con đóng nhân của vành R Một đồng cấu α: R → R'

được gọi là một S-nghịch đảo nếu α(S) ⊂ U(R') (U(R') là nhóm nhân các phần

tử khả nghịch của vành R')

Vành R' được gọi là vành các thương phải của vành R (tương ứng với

S ⊂ R ) nếu có một đồng cấu : Rϕ →R ' sao cho:

Th ật vậy: Với mọi a ∈ R và s ∈ S, ϕ ( ) 1

(iii) ta được: (as' − sr)s" = 0, với s" ∈ S Vậy: as's" = srs" ∈ aS ∩ sR □

Với tính chất này S được gọi là khả hoán bên phải (hoặc S là một tập

Ore ph ải)

2.1.3 M ệnh đề

Cho R tồn tại vành các thương phải (ứng với S) và a ∈ R Nếu tồn tại s'

∈ S sao cho as' = 0 thì as = 0 với mọi s ∈ S

Th ật vậy: Từ as'=0 ta có ngay ϕ (a)ϕ (s ') = 0 do đó ϕ (a) = 0, theo (iii)

ta được as = 0 với s ∈ S □

Tập S thỏa mãn tính chất này được gọi là khả nghịch phải

2.1.4 Định nghĩa

Tập con đóng nhân S ⊆ R vừa là tập khả hoán bên phải, vừa khả nghịch

phải thì ta gọi S là tập mẫu số phải

2.1.5 Định lý

Vành R có vành các thương phải tương ứng với S khi và chỉ khi S là

một tập mẫu số phải

Chứng minh:

+ Chiều thuận: Dễ dàng suy ra từ mệnh đề 2.1.2 và 2.1.3

+ Chiều ngược: giả sử S là một tập mẫu số phải, và ta ký hiệu vành các thương phải tương ứng với S (nếu có) là RS− 1

Trước hết ta đi xây dựng cấu trúc của tập RS− 1(tương tự như cách xây

dựng đối với vành giao hoán): Vì mọi phần tử của RS− 1

phải có dạng “as− 1

” (với a ∈ R và s ∈ S), nên ta bắt đầu với tập R × S và định nghĩa một quan hệ

" ~ " trên R × S như sau: (a, s) ~ (a ', s ') (trong R × S ) nếu và chỉ nếu tồn

tại b, b' ∈ R sao cho: sb = s'b' ∈ S và ab = a'b' ∈ R

Ta sẽ chứng minh " ~ " là một quan hệ tương đương:

+ Tính phản xạ: với b = b' = 1ta có ngay (a, s) ~ (a, s)

+ Tính đối xứng: Giả sử (a, s) ~ (a', s ') khi đó tồn tại b, b' ∈ R sao cho:

sb = s'b' ∈ S và ab = a'b' ∈ R ta suy ra (a', s') ~ (a, s)

+ Tính bắc cầu: Giả sử (a, s) ~ (a', s') và (a', s') ~ (a", s") Khi đó tồn

tại b, b' ∈ R sao cho sb = s'b'∈ S và ab = a'b' ∈ R, và tồn tại c, c' ∈ R sao cho

sc = s'c' ∈ S và ac = a'c' ∈ R Do (s'c)S ∩ (s'b') R ≠ ∅ nên tồn tại r ∈ R và t ∈

S sao cho sb'r = s'ct ∈ S, áp dụng tính khả nghịch phải, ta có: b'rt' = ctt' với t'

∈ S Khi đó: sbr = s'b'r = s"c't ∈ S ⇒ s(brt') = s"(c'tt') ∈ S và a(brt') = a'b'rt ' = a'ctt' = a"(c'tt') Vậy:(a, s) ~ (a", s") Để ý: (a, s) ∼ (ab, sb) nếu sb ∈ S (với b'

=1)

Ta ký hiệu lớp tương đương của (a, s) là a

s (hoặc as− 1

), và tập tất cả các lớp tương đương này ký hiệu là RS− 1 Định nghĩa phép toán cộng trên

RSP

-1

P: Để ý hai thương 1 2

Bước tiếp theo ta xây dựng phép toán nhân trên 1

a S∩s R≠ ∅ nên tồn tại r∈R và s∈ sao cho: S s r1 =a s2 , do đó ta định

nghĩa phép toán nhân như sau: 1 2 1

ϕ = ,do đó ϕ là một S nghịch đảo và a ( ) ( ) 1

a s

s =ϕ ϕ − Vậy 1

RS− là một vành các thương phải của R tương ứng với S □

2.1.6 Hệ quả

Nếu S là một tập mẫu số phải và 1

ϕ → − là một đồng cấu S – nghịch đảo khi đó ϕ có tính chất phổ dụng Nói riêng, có duy nhất một đẳng