Toán 9 - Ôn thi vào lớp 10 - Chuyên đề toán quỹ tích

Phương pháp 2 : Phương pháp vị trí giới hạn Trong bài toán nếu ta có điểm A nào đó chuyển động kéo theo sự chuyển động của điểm M cần tìm tập hợp điểm, thì từ các vị trí giới hạn của A

Chuyên đề 4:

TẬP HỢP ĐIỂM (QUỸ TÍCH)

I NHỮNG ĐIỀU LƯU Ý

1 Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích)

Một hình H được gọi là tập hợp điểm (quỹ tích) của những điểm M thỏa mãn tính chất A khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A

2 Phương pháp giải toán tập hợp điểm

Để tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn tính chất A, ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 Tìm cách giải

– Xác định các yếu tố cố định và không đổi

– Xác định các điều kiện của điểm M

– Giải bài toán tập hợp điểm thường tìm cách đưa về một trong các tập hợp điểm

Có hai phương pháp để tìm phần B của hình H

Phương pháp 1 : Phương pháp phần giao

Sau khi xác định được điểm M phải thuộc hình H là tập hợp điểm cơ bản, dựa vào giả thiết bài toán xem điểm M phải thuộc miền nào của mặt phẳng Phần giao của hình H với miền này sẽ cho ta tập hợp điểm M

Phương pháp 2 : Phương pháp vị trí giới hạn

Trong bài toán nếu ta có điểm A nào đó chuyển động kéo theo sự chuyển động của điểm M cần tìm tập hợp điểm, thì từ các vị trí giới hạn của A ta tìm ra vị trí tương ứng của M trên hình H

Sau khi đã xác định được, tập hợp điểm M thuộc hình H là tập hợp điểm cơ bản

3 Giải bài toán tập hợp điểm bằng phương pháp đại số

Một số bài toán về tập hợp điểm, để tìm được lời giải có khi phải sử dụng đến phương pháp đại số như sau :

Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Gọi M(x; y) là điểm thuộc tập hợp điểm cần tìm Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y, hệ thức này là phương trình của tập hợp điểm

M cần tìm

Giả sử hệ thức đó là y = f(x) hoặc x = a

– Nếu f(x) = ax + b (a, b là hằng số) hoặc x = a thì M thuộc đường thẳng

– Nếu f(x)  ax + b và x  a (a, b là hằng số) thì M thuộc đường cong

4 Các tập hợp điểm cơ bản

a) Tập hợp điểm là “đường trung trực”

Tập hợp các điểm M cách đều hai

điểm phân biệt A, B cố định là đường

trung trực của đoạn thẳng AB

Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là

xOy, khác góc bẹt và cách đều hai

cạnh của góc xOy là tia phân giác của

góc xOy

Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là “tia

phân giác”

Hệ quả :

Tập hợp các điểm M cách đều hai

đường thẳng cắt nhau xOx và yOy là

bốn tia phân giác của các góc xOy,

xOy, xOy, xOy và bốn tia này tạo

thành hai đường thẳng vuông góc với

nhau tại O

c) Tập hợp điểm là “hai đường thẳng song song”

Định lí :

Tập hợp các điểm M cách một đường

thẳng d cho trước một khoảng bằng a

(a > 0) cho trước là hai đường thẳng

song song với đường thẳng d đã cho

Tập hợp các điểm M cách điểm O cho

trước một khoảng cách không đổi (r > 0) là

Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút

của đoạn thẳng AB cho trước một góc

AM B có số đo không đổi  (0o <  < 180o)

là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB

Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là “cung

II CÁC VÍ DỤ

VÍ DỤ 1 : Cho góc vuông xOy, điểm A cố định nằm ở trong góc xOy Một góc vuông quay xung quanh điểm A cắt các tia Ox ở B, cắt tia Oy ở C Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng BC

b) Phần đảo : Lấy M bất kì thuộc đoạn thẳng M1M2 ta có MO = MA Vẽ đường tròn (M, MO), đường tròn này qua A và cắt Ox tại B, cắt Oy tại C

BOC = 90o BC là đường kính của (M)  M là trung điểm của đoạn thẳng BC

c) Kết luận : Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng BC là đoạn thẳng M1M2

thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA nằm trong góc vuông xOy (M1 và

M2 lần lượt là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng OA với các tia

vuông cân tại C) ACH BCK (hai góc

cùng phụ với góc ACK) Do đó CAH =

CH = CK và xOy cố định do đó C thuộc đường cố định là tia phân giác Oz của góc vuông xOy

Khi B  O thì C  C1; C1 thuộc tia phân giác Oz và C1OA vuông cân tại C1 Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Oz

Vậy C chuyển động trên tia C1z của tia phân giác Oz của góc xOy

b) Phần đảo : Lấy C bất kì thuộc tia C1z

Vẽ đường thẳng vuông góc với CA tại C cắt tia Oy tại B

Vẽ CH  Ox (H  Ox), CK  Oy (K  Oy), ta có : CH = CK, K CH = 90o

Xét CAH và CBK có : CHA BKC (= 90o), CH = CK, ACH BCK (hai góc cùng phụ với góc ACK) Do đó CAH = CBK (g.c.g) Suy ra : CA = CB

ABC vuông tại C có CA = CB ABC vuông cân tại C

c) Kết luận : Tập hợp các điểm C là tia C1z của tia phân giác Oz của góc xOy

VÍ DỤ 3 : Cho đường thẳng xy Tìm tập hợp tâm của các đường tròn có bán kính 2cm và tiếp xúc với đường thẳng xy

Do đó O thuộc hai đường thẳng d

và d song song với xy và cách xy

c) Kết luận : Tập hợp các tâm O của các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy là

hai đường thẳng d và d song song với xy và cách xy một khoảng bằng 2cm

VÍ DỤ 4 : Cho đường tròn (O ; R) đướng kính AB C là điểm chuyển động trên đường tròn (O ; R) Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Tìm tập hợp các điểm D

Điểm C chuyển động trên (O ; R) nên D chuyển động trên (A ; 2R)

b) Phần đảo : Lấy điểm D bất kì thuộc đường tròn (A ; 2R), ta có

AD = 2R và DB cắt (O ; R) tại C

Ta có : AD = AB = 2R ABD cân tại A

Mặt khác : ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ABD cân tại A, AC  BD  AC là đường trung tuyến của ABD

Vậy C là trung điểm của BD

c) Kết luận : Tập hợp điểm D là đường tròn (A ; 2R)

VÍ DỤ 5 : Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB CD là dây cung chuyển động trên nửa đường tròn đó sao cho CD = R 2 AD cắt BC tại N, AC cắt BD tại M

N thuộc cung chứa góc 135o dựng trên đoạn thẳng AB

 Khi C  A thì D  I (I là điểm chính giữa cung AB) và N  A

 Khi D  B thì C  I và N  B

Vậy N chuyển động trên cung chứa góc 135o dựng trên đoạn thẳng AB

b) Phần đảo : Lấy điểm N bất kì thuộc cung chứa góc 135o dựng trên đoạn thẳng

Vẽ AN cắt (O) tại D, BN cắt (O) tại C

ANB = 1

2 (sđ CD + sđ AB ) Suy ra : 135o = 1

2(sđ CD + 180o)  sđCD = 2.135o – 180o = 90o

Ta có OC = OD (= R) OCD cân tại O

OCD vuông cân tại O  CD = R 2

c) Kết luận : Tập hợp các điểm N là cung chứa góc 135o dựng trên đoạn thẳng AB

Do đó M thuộc cung chứa góc 45o dựng trên đoạn thẳng AB

 Khi C  A thì D  D1 (D1 là điểm chính giữa của cung AB) và M  M1 (M1 là giao điểm của BD1 và cung chứa góc nói trên)

 Khi D  B thì C  D1 và M  M2 (M2 là giao điểm của cung CD1 và cung chứa góc nói trên)

Vậy M chuyển động trên cung M1M2 của cung chứa góc 45o dựng trên đoạn thẳng AB

b) Phần đảo : Lấy điểm M bất kì thuộc cung M1M2

MA, MB lần lượt cắt nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB tại C, D

 = 90o

OCD vuông tại O có OC = OD (= R)

OCD vuông cân tại O

Do đó CD2 = OC2 + OD2 = R2 + R2 = 2R2

 CD = R 2

c) Kết luận : Tập hợp các điểm M là cung M1M2 là một phần của cung chứa góc

45o dựng trên đoạn thẳng AB

III BÀI TẬP

1 Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại A C là

điểm chuyển động trên đường thẳng (d) BC cắt (O) tại D (D  B) Gọi E là trung điểm của BD Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC

2 Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O ; R) có AB = AC = R 2 M là điểm

chuyển động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D Tìm tập hợp các điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD

3 Cho đoạn thẳng AB cố định M là điểm sao cho MA > MB và

MA2 – MB2 = a2 (không đổi) Tìm tập hợp các điểm M

4 Cho đường tròn (O ; R) ; A là điểm cố định nằm trong đường tròn (O) ; B là điểm

chuyển động trên đường tròn (O) Gọi C (C  B) là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và tiếp tuyến của (O) tại B Tìm tập hợp các điểm C

5 Cho đường tròn (O ; R) và điểm A cố định nằm trong đường tròn (A  O) B là điểm chuyển động trên (O) Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại M, cắt tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) tại D Tìm tập hợp các điểm D

6 Cho đường tròn (O ; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn B là điểm chuyển

động trên (O) Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại M, cắt tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) tại D Tìm tập hợp các điểm D

7 Cho đường tròn (O ; R) và điểm A cố định trong đường tròn (A  0), BC là dây cung di động quay quanh A Các tiếp tuyến tại B và C với đường tròn (O) cắt nhau tại D Tìm tập hợp các điểm D

8 Cho góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó Một góc vuông đỉnh

A có hai cạnh thay đổi cắt Ox, Oy lần lượt ở B, C M là điểm đối xứng của A qua

BC Tìm tập hợp điểm M

9 Tam giác ABC cân tại A cố định nội tiếp trong đường tròn (O ; R) Điểm M di động

trên cạnh BC Gọi D là tâm đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B Gọi E là tâm đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C Tìm tập hợp các điểm I là trung điểm của DE

10 Cho A và B là hai điểm di động lần lượt trên hai cạnh Ox và Oy của góc vuông

xOy cố định Tìm tập hợp các trung điểm M của AB khi có OA + OB = 2m (m là

độ dài cho trước, m > 0)

11 Cho đường tròn (O ; R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O) Đường tròn tâm

I di động qua A cắt (O) tại B, C Gọi M là giao điểm của BC và tiếp tuyến tại A của đường tròn (I) Tìm tập hợp các điểm M

12 Cho đoạn thẳng AB cố định, C là điểm chuyển động trên đoạn thẳng AB Trên

cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE, CBFG có tâm lần lượt là

O1, O2 Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng O1O2

13 Cho đường tròn (O ; R), đường kính cố định AB và đường kính CD di động AC

và AD cắt tiếp tuyến (a) với (O) tại B lần lượt tại M và N Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

14 Cho đoạn thẳng AB cố định, C di động trên tia đối của tia BA Vẽ đường tròn (O)

đường kính BC Vẽ các tiếp tuyến AD, AE của đường tròn (O) (D, E là các tiếp điểm), BD cắt CE tại M Tìm tập hợp các điểm M

15 Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O bán kính R C là điểm chính giữa của

cung AB M là điểm chuyển động trên cung BC, AM cắt CO tại N Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Tìm tập hợp các điểm I

16 Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia BA, CA có hai điểm di động theo thứ tự M, N

sao cho BM = CN Tìm tập hợp các trung điểm I của MN

17 Cho tam giác ABC, M là điểm chuyển động trên cạnh BC Dựng hình chữ nhật

MNPQ (N  AB, P  AB, Q  AC) Khi điểm M chuyển động trên cạnh BC thì tâm I của hình chữ nhật MNPQ chuyển động trên đường nào?

18 Cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng d quay quanh A và cắt đoạn thẳng BC

Trên đường thẳng d lấy điểm M sao cho MB + MC nhỏ nhất Tìm tập hợp điểm M

19 Cho hai điểm A, B cố định C là điểm di động sao cho tam giác ABC có ba góc

nhọn H là trực tâm của tam giác ABC, D là chân đường vuông góc vẽ từ C của tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm C để tích DH.DC đạt giá trị lớn nhất

20 Cho đoạn thẳng AB = a cố định, M là điểm chuyển động sao cho

MA : MB = m (0 < m < 1) Tìm tập hợp các điểm M

21 Cho góc xOy cố định có số đo bằng 30o Các điểm A, B lần lượt chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho AB = a (a không đổi) Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

22 Cho đường tròn (O ; R) ; A là điểm cố định ở ngoài (O) Kẻ tiếp tuyến AB với

đường tròn (O) Đường thẳng (d) quay quanh A cắt đường tròn (O) tại hai điểm C,

D Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác BCD

23 Cho AB là dây cung cố định của đường tròn cố định (O ; R) ; C là điểm chuyển

động trên (O) ; M là trung điểm của dây BC H là hình chiếu của M trên đường thẳng AC Tìm tập hợp các điểm H

24 Cho tam giác đều ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A

27 Cho đường tròn (O ; R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến PA và

cát tuyến PBC bất kì (A, B, C trên (O ; R)) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Khi cát tuyến PBC quay quanh P

a) Tìm quỹ tích (tập hợp) điểm đối xứng của O qua BC

b) Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) H

28 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho SMAB = SMBC = SAMC

29 Cho tam giác ABC nhọn, với mỗi điểm M nằm trong tam giác ABC (M không

thuộc cạnh của tam giác) gọi a, b, c lần lượt là độ dài của các khoảng cách từ M đến các cạnh BC, AC, AB Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn hệ thức a < b <

c

30 Cho đường tròn (O ; R), hai đường kính AB và CD vuông góc E là điểm chuyển

động trên đường tròn (O) Trên tia OE lấy M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ E đến các đường thẳng AB và CD Tìm tập hợp các điểm M

GỢI Ý – HƯỚNG DẪN

1 E là trung điểm BC suy ra OE 

BD Tứ giác OECA có

OECOAC = 180o nên nội tiếp

được trong đường tròn, suy ra tâm

I của đường tròn ngoại tiếp tam

giác AEC là tâm của đường tròn

ngoại tiếp tứ giác OECA Do đó

cân tại I mà CI D = 90o nên ICD

vuông cân tại I, suy ra

OBC = 90o (CB là tiếp tuyến của

(O)) suy ra OAC = 90o ; OAC =

90o, OA cố định Do đó C thuộc

đường thẳng (d) vuông góc OA tại

A

Tập hợp các điểm C là đường thẳng (d)

vuông góc với đường thẳng OA tại A

5 Vẽ DH  OA (H  OA) Xét OMA và OHD có : MOA chung, OMA OHD(= 90o) Do đó OMA ~ OHD suy ra :

Tập hợp các điểm D là đường thẳng (d) vuông góc với OA tại H (với OH =

2

R

OA)

7 Gọi M là giao điểm của OD và BC

Vẽ DH  OA (H  OA) DB = DC (định lí tiếp tuyến), OB = OC (= R) suy ra DO

là trung trực của BC  DO  BC

Xét OMA và OHD có M OA chung,

OMA OHD (= 90o) Do đó OMA

M thuộc đường thẳng đối xứng với

đường thẳng OA qua Ox

Tập hợp điểm M là đoạn thẳng A1A2

(A1, A2 lần lượt là điểm đối xứng của A

qua Ox, Oy)

9 Vẽ đường kính AF của đường tròn (O)

ABF = 90o

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ;

ABD = 90o (AB tiếp xúc (D) tại B)

O C

I 1 1

Vậy I thuộc đường thẳng (d) song song với BC cách BC một khoảng bằng 1

2FH Tập hợp các điểm I là đường trung bình của tam giác FBC (với F là điểm chính giữa của cung BC)

y + x = m

y = –x + m

Vậy M thuộc đường thẳng (d) có phương trình là y = –x + m

Tập hợp các điểm M là đoạn thẳng M1M2 của đường thẳng (d)

Cách 2

Trên cạnh Ox lấy điểm M2, trên

cạnh Oy lấy điểm M1 sao cho

M 1

K O

y

x

MB

M1

O

C

do đó OM M1 2 BCM1  M1B = BC (1)

Mặt khác : OA + OB = OM1 + OM2 (= 2m)

OM2 + M2A + OM1 – M1B = OM1 + OM2 Suy ra : M2A – M1B = 0  M1B = M2A (2)

Vậy M thuộc đoạn thẳng cố định M1M2

Tập hợp các điểm M là đoạn thẳng M1M2 (với M1 trên tia Oy và OM1 = m, M2 trên tia Ox và OM2 = m)

Chú ý : Cách 1 trình bày ngắn gọn hơn, tuy nhiên cách 2 giúp giải quyết được bài toán

tổng quát, trường hợp xOy  90o)

11 Vẽ tiếp tuyến MD với (O) (D  (O))

Xét MAC và MBA có :

AMC chung, MACMBA (góc tạo

bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp

cùng chắn cung AC của (I))

Do đó : MAC ~ MBA  M A M C

M B  M A

 MA2 = MB.MC Tương tự : MD2 = MB.MC

Tương tự, O2 thuộc đường thẳng cố định BI

Vẽ MH  AB, IK  AB (H, K  AB)  MH // IK

Tứ giác O1IO2C là hình chữ nhật (O1  I O2 = 90o)  M là trung điểm của IC

IKC có MH // IK, M là trung điểm của IC  MH là đường trung bình của IKC

 MH = 1

2IK (không đổi), mà đường thẳng AB cố định Do đó M thuộc đường thẳng (d) cố định song song với đường thẳng AB và cách AB một khoảng bằng 1

DAC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

AMN có A = 90o, AE là trung tuyến