8 đề toán cao cấp 2 có lời giải chi tiết (NEU)

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh... Xác định cơ cấu tiêu dùng để tối đa hóa lợi ích biết giá của hàng hóa thứ nhất là 2$, giá của hàng hóa thứ hai là 3$ và thu nhập dành

Trang 1

GROUP HỘI SINH VIÊN NEU YÊU TCC, VI, VĨ

Tác giả: Nguyễn Văn Hinh – 0966547320

FB: Đức Hinh Chỉnh sửa: Nguyễn Đức Thành, Đỗ Thế Thành

GIẢI CÁC ĐỀ THI K57

TOÁN CAO CẤP 2

HÀ NỘI, 2017

Trang 2

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh

MỤC LỤC

Trang

Đề 1 3

Đề 2 9

Đề 3 16

Đề 4 23

Đề 5 29

Đề 6 37

Đề 7 44

Đề 8 51

Trang 3

Trang 4

Đề 1

Câu 1: Tính

 tan 2x

x 4

dxx

Câu 7: Cho hàm lợi ích U = x0,5y0,5

Trong đó x là lượng hàng hóa thứ nhất, y là lượng hàng hóa thứ hai Xác định cơ cấu tiêu dùng

để tối đa hóa lợi ích biết giá của hàng hóa thứ nhất là 2$, giá của hàng hóa thứ hai là 3$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 64$

Câu 8: Giải phương trình vi phân:

x –y x

Trang 5

lim tan 2x ln(tan x)





= x 4

sin 2x.ln(tan x)lim

sin 2x(1 tan x)2cos 2x.ln(tan x)

tan xlim

(1 tan x)lim

= x với mọi x thuộc miền xác định của f(x)

Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta có:

Trang 6

63! x3 + o.x3

Câu 4:

I =

2 2

dxx

 = 4xdx +

2 2

8 9x

dxx



 = 4ln|x|

+

2 2

8 9x

dxx





Xét tích phân Io =

2 2

8 9x

dxx

2 2sin t3

8 8sin t 2 2

cos t.dt

sin t9





Trang 7

Io =

2 2

= 4ln|x| – 3cot

3xarcsin

Trang 8

Điều kiện cần:

x y z

u″xx = 12 u″xy = 0 u″xz = – 2

u″yx = 0 u″yy = 8 u″yz = 0

u″zx = – 2 u″zy = 0 u″zz = 6

Trang 9

x y

x 1632y3

320,25.16

Trang 10

 nghiệm tổng quát của phương trình là:

e ln e 1  ln C

(  )Thay x = 1, y = 0 vào (  ) ta được:

Trang 11

Đề 2

Câu 1: Xác định khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: y = x 7 2x 2

Câu 2: Tìm đạo hàm riêng tại điểm (0, 3) của hàm số:

ln(5x 2)

dxx

y = x0,5y0,3 với điều kiện 5x + 2y = 656

2

8xx.y –2y =

y



Trang 12

2–



 Hàm số có 4 điểm tới hạn: x =

142



; x =

72

y

+

7 24



7 24

Trang 13

hàm số giảm trên các khoảng

hàm số đạt cực tiểu tại x =

72



 yCT =

7 24

x





 =

11 π2

x





 =

11 π2

 =

3 2

4x y2y 2

Trang 14

b, I =

+

2 1

ln(5x 2)

dxx

ln(5x 2)x

–dx



Trang 15

5 dx

2 x

+

t 1

 –

5ln 32

– 2t

5ln52

Trang 16

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh = 3,5(Q1 + Q2) + 0,025(Q1 + Q2)2 + a

 Q ,Q = (50, 60) là điểm cực đại của hàm số1 2

Vậy để tối đa hóa lợi nhuận, công ty bán 50 sản phầm ở thị trường 1 với mức giá P1 = 16,5 bán 60 sản phầm ở thị trường 2 với mức giá P2 = 13,5

Câu 6: Xét hàm Lagrange:

L = x0,5y0,3 + (656 – 5x – 2y)

Trang 17

x y λ

0,5.x y 5λ = 00,5.x y 2λ = 0

656 5x 2y =

––

xy



 

(  )Đặt y = x.u với u = u(x)  y′ = u + x.u′

Thay y′ và y vào (  ) ta được :



Trang 18

Trang 19

Đề 3

Câu 1: Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: y = x 3 – 2x2

Câu 2: Tính đạo hàm riêng tại điểm (2, 0) của hàm số

Xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để hãng thu lợi nhuận tối đa

Câu 6: Tìm cực trị hàm w = x0,6y0,5 , với điều kiện 3x + 5y = 1210

Trang 20

3

2–



62

 ; x =

32

y

0

3 24



3 24

Trang 21

32



 yCT =

3 24

ylim

 

 Không tồn tại w′y(2; 0)

Câu 3:

2 2

y



 

Trang 22



=

3

y xy2x

xy 3x y y y2x

ln(3x )

dxx

–1





Trang 23

Xét tích phân Io =

t 2 1

ln(3x )x

– 1dx

xx

dx3x

Trang 24

 M(75, 90) là điểm cực đại của hàm số

Trang 25

L = x0,6y0,5 + (1210 – 3x – 5y)

Điều kiện cần :

x y λ

0,6.x y λ = 00,5.x y

– 3– 5– 3 – 5

xy



 

(  )Đặt y = x.u với u = u(x)  y′ = u + x.u′



Trang 26

 

Trang 27

a Tính  biết P = 115 Nêu ý nghĩa kinh tế?

b Xác định Q để  max với MC = 5Q2 + 2Q + 120, chi phí cố định là 90

Câu 4: Cho hàm ẩn z(x, y) xác định bởi x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 2z – 3 = 0

Tính đạo hàm riêng cấp 1, 2 của z(x, y)

Câu 5: Cho hàm lợi ích U = x10,5.x20,6 Biết giá hàng hóa thứ nhất là P1 = 15, giá hàng hóa thứ hai là P2 = 18 và thu nhập cố định dành cho tiêu dùng là 330 Xác định cơ cấu mua sắm để tối

đa hóa lợi ích

x 0

ln(x cos x)lim

x 0

ln(x cos x)lim

x





( Do sin2x  x2 khi x  0 )

Trang 28

2xlim

111,5



Tại P = 115 ta có:

Trang 29

Trang 30

=  2

2x 22(2z 2) (2x 2).2

2z 22z 2

(2x 2)2z(2z– 2)





2y 4(2x 2).2

2z2

2(2z 2) (2y 4)2z(2z 2)

2z 2(2z 2)

0,5 0,6

x 10

x 101

10 1030

Trang 31

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh gx 1

udu1cos u



=

arctan t 0

u.sin u



arctan t 0

sin u.du



I =

arctan t 0

u.sin u

+

arctan t 0

cos u

Trang 32

I = sin arctan t  arctan t + cos(arctant)  1

Xét tlim arctan t.sin arctan t  cos arctan t  1

Trang 33

Đề 5

Câu 1: Xác định khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: y x 4 3x  2

Câu 2: Tìm các đạo hàm riêng tại điểm (0, 1) của hàm số

Trang 34

6

3–



23

 ; x =

63

y

0

2 33



2 33

–

Trang 35

Vậy hàm số tăng trên khoảng

63



 yCT =

2 33

Trang 36

w (0,1)y 

12



 y′(x) =

x y

x yx2yx



=

2

x y2xy



y″(x) =

2

x y2xy

Trang 37

ln(4x )x

– 3dx

4 dx

3 x

+

t 1

– 3t

Trang 38

4

ln 43

Trang 39

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn HinhĐiều kiện đủ: πQ Q 1 1

 M(115, 15) là điểm cực đại của hàm số

L = x0,4y0,5 + (162 – 2x – 5y)

x y λ

0,4.x y λ = 00,5.x y

– 2– 5– 2 – 5

Trang 40

Trang 41

y =

2x – 3x 2

2 0

ln(2014 + x)

dxx





Câu 6: Cho hàm lợi ích U = 25x0,7y0,3 Biết giá của hàng hóa x là Px = 15$, giá của hàng hóa y là

Py = 10$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là M = 25000$

a Xác định mức tiêu dùng để tối đa hóa lợi ích

b Khi thu nhập dành cho tiêu dùng tăng 1% thì lợi ích tiêu dùng thay đổi như thế nào?

Câu 7: Giải phương trình vi phân: (2x – 1)y′ = 6x – 3y

Giải

Câu 1:

Trang 42

e

 lim f (x)x 0

 = f(0) =

5 2

eVậy hàm số liên tục tại xo = 0

x 21x2

Trang 43

1

;2

8

2 0

–4y

y = 0+ 4y

Trang 44

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh u″xx = – 6 u″xy = 6 u″xz = 0

u″yx = 6 u″yy = – 8 u″yz = 0

u″zx = 0 u″zy = 0 u″zz = – 2

ln(2014 + x)

dxx

ln(2014+ x)

dxx

dxx(2014 x)

t 1

Trang 45

+

l n 20152014

7,5.x

– 15– 20– 15 – 20

3500

x =3

Trang 46

 M

0,3 0,3

u =

250000,83

20749,41 = 1Vậy khi thu nhập dành cho tiêu dùng tăng 1% thì lợi ích tăng 1 lượng xấp xỉ = 

Trang 47

y C 2x 1  

Coi C = C(x), tìm C sao cho  

3 2

y C 2x 1   là nghiệm của phương trình (  )

5



+ KVậy nghiệm tổng quát của phương trình là :

Trang 48

Trang 49

Đề 7

Câu 1: Tính đạo hàm hàm số y =f(x) = x 1 – 2 x 2

Câu 2: Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị hàm số:

14 3x 2

2 1

Câu 4: Khai triển Mac – Laurin đến bậc 4 của x của hàm số: f(x) = ln(x2 – 7x + 10)

Câu 5: Cho hàm w = f(x, y) khả vi

Chứng minh rằng w =

2 2

a Xác định mức sử dụng K, L để tối ưu hóa sản lượng

b Nếu ngân sách tăng 1% thì sản lượng thay đổi như thế nào?

Câu 8: Giải phương trình vi phân:  3 3  1 2 2

Trang 50

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh– TH2: Với – 1 < x < 2

Trang 51

Vậy hàm số tăng trên khoảng (1; + )

hàm số giảm trên khoảng (– ; 1)

Trang 52



 Khai triển Mac – Laurin với phần dư Peano:

f(x) = ln10 – 0,7x +

29200



x2 –

1333000



x3 +

1923120000



x4 + o.x4

Câu 5: Đặt u =

2 2

x5

y ; v =

ycosx

10xy

Trang 53

Trang 54

Trang 55

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn HinhVậy (K, L) = (80, 72) là mức sử dụng tư bản và lao động cho sản lượng tối ưu Qmax =25.800,7720,3

b Ta có =

bQ

04,5.80

7272



= 8,54Vậy khi ngân sách tăng 1% thì sản lượng cực đại tăng xấp xỉ 8,54%

Trang 56

Đề 8

Câu 1: Tính giới hạn:

cot x x

xlim sinx

Câu 2: Khai triển Mac – Laurin đến x3 với phần dư dạng Peano của hàm số: y = e4x 1 3x

Câu 3: Xác định khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: y =

Câu 7: Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = 40.K0,6L0,4 Biết giá thuê một đơn vị

tư bản là 30$, giá thuê một lao động là 10$ Tìm mức sử dụng tư bản và lao động để tối thiểu hóa chí phí khi sản lượng không đổi và bằng 3500 đơn vị sản phẩm

Câu 8: Giải phương trình vi phân: x(3x – 2y)dx + (y – x2)dy = 0

Giải:

Câu 1: Đặt y =

cot x

xsinx

Trang 57

1cos x cos xx

sinxlim

xsin x

Trang 58

Trang 59

32

1 d( 2x 2)

11 2(x 1)2

t

dxlim

Câu 5: Đặt

xuy

  x

1uy

 

Đặt v =

y xsin

Trang 60

Câu 6:

x y z

11273z224

Trang 61

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn HinhXét hàm Lagrange: L = 30K + 10L + (3500 – 40.K0,6L0,4)

K L

2175L254.2

Trang 62

Vế trái của phương trình là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số (x ; y)

x3  x2y +

2

y

2 = C, với C là hằng số

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	1,46 MB