Với giá trị nào của x, y thì A đạt giá trị bé nhất, hãy tìm giá trị bé nhất đó.. Hai đờng tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPF cắt nhau ở điểm thứ hai Q.. Chứng minh rằng PQ||AD.. Gọi
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi chuyên Toán)
Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm):
Tìm 3 số x,y,z thoả mãn điều kiện:
44 1750 2
6 1750
256 2
4 6
16
z y
Câu 2 (1,5 điểm):
Cho biểu thức: A=x2+xy+y2-3x-3y+2009 Với giá trị nào của x, y thì A đạt giá trị bé nhất, hãy tìm giá trị bé nhất đó
Câu 3 (1,5 điểm):
Giải hệ phơng trình sau:
14 7 6
2 2
x
zx yz
xy
z y x
Câu 4 (2 điểm):
Tìm các cặp số nguyên x; y thoả mãn điều kiện :
(x-2006)2=y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 5 (2,5 điểm):
Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy hai điểm E và F (E gần A hơn);
P là giao điểm của CE và DF Hai đờng tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPF cắt
nhau ở điểm thứ hai Q Chứng minh rằng PQ||AD.
Câu 6 (1 điểm):
Cho hình tứ diện ABCD có AD=BC, AC=BD Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng EF vuông góc với AB và CD
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
Trang 2Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi chuyên Toán)
hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn này gồm 3 trang
I Hớng dẫn chung:
- Đáp án dới đây chỉ trình bày một lời giải, nếu học sinh làm bằng cách khác mà đúng, vẫn cho điểm tối đa
- Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) phải đúng với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong toàn Hội đồng chấm thi
- Điểm toàn bài lấy theo thang điểm 10 và làm tròn đến 0,5 (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5;
lẻ 0,5 làm tròn thành 1,0)
II Đáp án và thang điểm:
Câu 1
Điều kiện để đẳng thức có nghĩa là x>6; y>2 và z>1750
Ta có:
6
) 6 4
( 6
6 6
6
4 2 6
x x
x x
x
Từ đó đẳng thức đã cho tơng đơng với:
0 1750
1750 16
2
2 2
6
6
z
z y
y x
Suy ra
16 1750
2 2
4 6
z y
x
2006 6 22
z
0,25đ 0,5đ
0,5đ
0,25đ
Câu 2
Ta có :
A=x2-2x+1+y2-2y+1+xy-x-y+1+2006
A=(x-1)2+(y-1)2+(x-1)(y-1)+2006
A=[(x-1)+
2
1
(y-1)]2+
4
3
(y-1)2+2006
Amin=2006 khi x=1, y=1
0,5đ
0,25đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ
Trang 3D
C Q
B
M
Câu 3
Hệ đã cho tơng đơng với
14 ) (
2 ) (
7 6
2 xy yz zx z
y x
zx yz xy z y x
11 7 6
zx yz
xy
zx yz
xy
z y x
(3) 7
( 2) 9
) (
(1) 6
zx yz
xy
z x y
z y x
Từ (1) và (2) suy ra xy và x+z là nghiệm của phơng trình bậc hai:
t2-6t+9=0, phơng trình này có hai nghiệm t1=t2=3
Thay vào trên ta có:
2 3 3
zx z
x x, z là nghiệm của phơng trình m2 -3m+2=0,
m1=1, m2=2
Vậy hệ có nghiệm là (1;3;2) và (2;3;1)
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,5đ 0,25đ
Câu 4
Ta có (x-2006)2 = (y2+3y)(y2+3y+2)
Đặt t= y2+3y, ta đợc (x-2006)2 = t2+2t
Nếu t>0 thì t2<t2+2t<t2+2t+1=(t+1)2 nên (x-2006)2 không phải là số
chính phơng
Vậy t<0, hay y2+3y=y(y+3)<0, hay y chỉ có thể bằng 0,-1, -2 hoặc
-3 (do y` nguyên) Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (2006 ;-3),
(2006 ;-2), (2006 ;-1), (2006 ;0)
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Câu 5
Hình vẽ:
Kéo dài PQ căt
AB tại
K, cắt CD tại M,
ta chứng minh
KM//AD hay ta
chứng minh
MC
MD KB
KA
là đủ
Thật vậy: tứ giác
AQPE nội tiếp , suy ra KAQ đồng dạng với KPE, suy ra
KE.KA=KP.KQ, tơng tự ta có KF.KB=KP.KQ, từ đó suy ra
KE.KA=KF.KB hay
KE
KF KB
KA
Theo giả thiết PKF đồng dạng với PMD nên
PM
KP MD
KF
(2) và
PKE đồng dạng với PMC nên
PM
KP MC
KE
(3)
0,5đ
0,5 0,5đ 0,5đ
Trang 4B
C
D E
F
Từ (2) và (3) suy ra
MC
KE MD
KF
hay
MC
MD KE
KF
(4) Từ (1) và (4) suy ra
MC
MD KB
KA
(điều phải chứng minh) 0,5đ
Câu 6
Từ giả thiết ta có ACD=BCD
(ccc)
Suy ra hai trung tuyến tơng ứng
AF và
BF bằng nhau, vậy tam giác AFB
cân,
Do đó trung tuyến FE cũng là
đ-ờng cao, vậy FE vuông góc
vớiAB
Chứng minh tơng tự, tam giác
CED
cân, suy ra EF vuông góc với
CD,
từ đó suy ra điều cần phải chứng minh
0,5đ
0,5đ
