Tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2017... Trong

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Lý Vinh Hạnh

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Đỗ Đức Thuận

Lời cảm ơn

Được sự phân công của Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN và

sự đồng ý của thầy giáo hướng dẫn TS Đỗ Đức Thuận tôi đã thực hiện đề tài "Tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc".

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường Đại học Khoa học Tự nhiên.

Xin chân thành cám ơn thầy giáo hướng dẫn TS Đỗ Đức Thuận đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này.

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng do bản thân vẫn còn hạn chế nên khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tôi rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.

Tôi xin chân thành cám ơn!

Hà nội, tháng 3 năm 2017 Nguyễn Lý Vinh Hạnh

Mục lục

Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt 2

1.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục 3

1.1.1 Khái niệm điều khiển được 3

1.1.2 Đặc trưng cho tính điều khiển được 4

1.2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc 11

1.2.1 Mô hình rời rạc và khái niệm điều khiển được 11

1.2.2 Đặc trưng cho tính điều khiển được 13

2 Hệ tuyến tính rời rạc có trễ 23 2.1 Khái niệm điều khiển được tương đối 23

2.2 Đặc trưng cho tính điều khiển được tương đối 24

2.3 Dạng của hàm điều khiển được 31

Lời mở đầu

Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước đâykhi sự thực hiện các điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và phântích một cách toán học Từ đó, nó đóng vai trò rất quan trọng trongnhiều ngành khoa học, đặc biệt là trong kĩ thuật và toán học (xem[3, 4, 5, 6]) Ví dụ các vấn đề như làm sao để điều khiển tàu vũ trụ, tênlửa, điều kiển kinh tế của một quốc gia, điều khiển robot, Khi xétcác hệ rời rạc, mô hình tuyến tính thuần nhất có thể biểu diễn bởi hệphương trình sai phân

x(n + 1) = Ax(n), (1)trong đó A là ma trận cỡ k × k Hệ này không có yếu tố nào tác động tớicác biến x1(n), x2(n), , xk(n) Do đó ta không thể điều khiển hệ trênđược Vì vậy, một mô hình điều khiển của hệ rời rạc tuyến tính đượcphát triển có dạng

x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n), (2)trong đó B là ma trận cỡ k × m, được gọi là ma trận đầu vào vàu(n) là một vector m × 1 Trong hệ này, ta có m biến điều khiển

u1(n), u2(n), , um(n), trong đó m ≤ k

Trong luận văn này chúng tôi tập trung trình bày tính điều khiển đượccủa hệ tuyến tính rời rạc Nội dung khóa luận gồm phần mở đầu, phầnkết luận, danh mục tài liệu tham khảo và 2 chương với nội dung sau:Chương 1: Trình bày tính điều khiển được của hệ tuyến tính

Chương 2: Trình bày tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc

có trễ

Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt

Chương 1

Hệ điều khiển tuyến tính

Trong mục này, chúng tôi trình bày ngắn gọn các kết quả về tính điềukhiển được của hệ điều khiển tuyến tính liên tục, dựa trên tài liệu thamkhảo [7]

1.1.1 Khái niệm điều khiển được

Hệ điều khiển tuyến tính liên tục được mô tả bởi phương trình vi phân

dy

dt = Ay(t) + Bu(t), y(0) = x ∈ R

n

, u(t) ∈Rm (1.1)với A : Rn → Rn, B : Rm → Rn là các toán tử tuyến tính, u(t) là hàmkhả tích địa phương, tức là u(t) ∈ L1[0, T ;Rm] với mọi T > 0 Ta đã biếtphương trình (1.1) có nghiệm duy nhất

y(t) = S(t)x +

Z t 0

Định nghĩa 1.1.2 Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a haytrạng thái a dịch chuyển được đến trạng thái b nếu b đạt được từ a trongthời gian T > 0 nào đó.

Định nghĩa 1.1.3 Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được trong thời gian

T > 0 nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a trongthời gian T

Định nghĩa 1.1.4 Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được nếu b và a làhai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a

1.1.2 Đặc trưng cho tính điều khiển được

Một hàm bất kỳ u(.) xác định trên [0; +∞) khả tích địa phương và cócác giá trị trong Rn sẽ được gọi là điều khiển hoặc đầu vào của hệ (1.1).Nghiệm tương ứng của phương trình (1.1) sẽ được ký hiệu là yx,u(.) đểnhấn mạnh sự phụ thuộc vào điều kiện ban đầu x và đầu vào u(.) Tanói một điều khiển u chuyển một trạng thái a tới trạng thái b nếu tồntại thời điểm T > 0 sao cho

ya,u(T ) = b (1.2)Khi đó trạng thái a bị chuyển sang trạng thái b tại thời điểm T haytrạng thái b đạt được từ trạng thái a tại thời điểm T Mệnh đề dưới đâynêu lên công thức điều khiển chuyển từ a tới b Trong công thức này matrận QT gọi là ma trận điều khiển được Gramian:

QT =

Z T 0

S(r)BB∗S∗(r)dr, T > 0

QT là đối xứng và xác định không âm

Bổ đề 1.1.1 Giả sử với T > 0 nào đó, ma trận QT không suy biếnkhi đó với mọi a, b ∈ Rn điều khiển u(s) = −B∗S∗(t − s)Q−1T (S(T )a −b), s ∈ [0, T ] dịch chuyển từ trạng thái a đến trạng thái b trong thờigian T , tức là với điều khiển như trên hệ (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãny(0) = a, y(T ) = b

Chứng minh Ta có

y(t) = S(t)a +

Z t 0

S(t − s)Bu(s)ds

= S(t)a −

Z t 0

S(t − s)BB∗S∗(t − s)Q−1T (S(T )a − b)ds

Dễ thấy y(0) = S(0)a = a

y(T ) = S(T )a −

 Z T 0

S(r)Bu(T − r)dr

Suy ra LTu = yu(t) trong đó yu(t) là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn

yu(0) = 0 Đặt ET = LT(L1[0, T ;Rm]) là không gian véc tơ con của Rn

Vì mọi b ∈ Rn đều đạt được từ 0 nên ∪T >0ET = Rn Nếu T < T0 thì

ET ⊂ ET0, từ đó suy ra tồn tại T0 sao cho ET = Rn, ∀T ≥ T0 Với mọi

T > 0, v ∈ Rn, u ∈ L1[0, T ;Rm] ta có

hQTv, vi = h

 Z T 0

S(r)BB∗S∗(r)dr



v, v =

Z T 0

kB∗S∗(r)vk2dr

hLTu, vi =

Z T 0

hu(r), B∗S∗(T − r)vidr

Vì thế nếu QTv = 0 với v nào đó thuộc Rn, T > 0 thì hàm B∗S∗(r)vđồng nhất bằng 0 trong [0, T ] Do hàm f (r) = B∗S∗(r)v là hàm giảitích (có thể khai triển thành chuỗi Taylor vô hạn) và f (r) = 0 với mọi

r ∈ [0, T ] cho nên f (r) phải bằng 0 với mọi r ∈ R+ Từ công thức biểudiễn của LT suy ra hLTu, vi = 0, ∀u, ∀T > 0 Tức là v⊥ET∀T > 0 mà

∪T >0ET = Rn Do đó, v⊥Rn Vậy v = 0, hay QT là không suy biến vớimọi T > 0.

Bổ đề 1.1.3 Im(LT) = Im(ln) với mọi T > 0 Trong đó,

LTu =

Z T 0

S(r)Bu(T − r)dr

ln(u0, u1, , un−1) = Bu0 + ABu1 + + An−1Bun−1

Chứng minh ∀v ∈ Rn, u ∈ L1[0, T ;Rm], uj ∈ Rm, j = 0, 1 , n − 1 tacó:

hLTu, vi =

Z T 0

hu(s), B∗S∗(T − s)vids = 0, ∀u ∈ L1[0, T ;Rm], ∀T > 0

Ngược lại, giả sử hLTu, vi = 0, ∀u ∈ L1[0, T,Rm] Suy ra B∗S∗(t)v = 0với mọi t ∈ [0, T ] Đặt f (t) = B∗S∗(t)v Suy ra f(n)(0) = 0, ∀n ∈ N Suy

ra B∗(A∗)kv = 0, ∀k ≥ 0 Do đó

hln(u0, , un−1), vi = 0, ∀u0, , un−1 ∈ Rm.Vậy Im(LT)⊥ = Im(ln)⊥, điều này tương đương với Im(LT) = Im(ln).Mệnh đề 1.1.1 Giả sử rằng với T > 0, ma trận QT không suy biến.Khi đó, trong tất cả các điều khiển u(.) chuyển a tới b tại thời điểm Tđiều khiển u tối thiểu tích phânb R0T|u(s)|2ds Hơn nữa,

Z T 0

hu(s), B∗S∗(T − s)Q−1T (S(T )a − b)ids

= −

Z T 0

|bu(s)|2ds +

Z T 0

|u(s) −bu(s)|2ds ≥

Z T 0

|bu(s)|2ds

Suy ra R0T|u(s)|b 2ds là cực tiểu

Cho hai ma trận A ∈ M (n, n), B = M (n, m), ký hiệu [A|B] bằng matrận [B, AB, , An−1B] ∈ M (n, nm) chứa các cột lần lượt là B, AB, ,

An−1B

Định lý 1.1.1 Các điều kiện sau là tương đương

i Một trạng thái tùy ý b ∈ Rn luôn có thể đạt được từ 0;

ii Hệ (1.1) là điều khiển được;

iii Hệ (1.1) điều khiển được tại thời điểm T > 0 cho trước;

iv Ma trận QT không suy biến với một vài T > 0;

v Ma trận QT không suy biến với mọi T > 0;

vi rank[A|B] = n

Chứng minh i −→ v: Áp dụng Bổ đề 1.1.2

v −→ iv: Hiển nhiên

iv −→ iii: QT không suy biến ở thời gian T > 0 nào đó Áp dụng Bổ đề1.1.1 suy ra Hệ (1.1) là điều khiển được trong thời gian T

iii −→ ii: Hiển nhiên

ii −→ i: Do hệ là điều khiển được nên ∀b ∈Rn đều đạt được từ 0.iii −→ vi: Hệ (1.1) là điều khiển được ở thời gian T > 0 nào đó.Suy ra LT là toàn ánh Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra ln là toàn ánh Do đórank[A|B] = n

vi −→ i: rank[A|B] = n suy ra ln là toàn ánh Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra LT

là toàn ánh với mọi T > 0 Do đó mọi b ∈ Rn đạt được từ 0

Ví dụ 1.1 Xét tính điều khiển được của hệ sau

"

31

#

;

rank[A, AB] = 3 6

1 3 = 2, với AB =

6

3 .Vậy hệ đã cho là điều khiển được (theo điều kiện Kalman)

dt(n−1)(t), t ≥ 0 là tọa độ của hàm y(t), t ≥ 0 và

ξ1, , ξn là tọa độ của vecto x Khi đó phương trình vi phân trên đượcđưa về phương trình vi phân cấp 1

˙

y = Ay + Bu, y(0) = x ∈ Rntrong đó, ma trận A và B có dạng

01

01

Vậy do điệu kiện hạng Kalman phương trình vi phân tuyến tính cấp caovới hệ số hằng là điều khiển được

Định lý 1.1.2 (Điều kiện hạng Hautus) Hệ (1.1) là điều khiển đượckhi và chỉ khi

rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈C.Chứng minh Một cách tổng quát ta xét A ∈ Cn×n, B ∈ Cn×m Giả sử

hệ (1.1) là điều khiển được Khi đó bởi điều kiện hạng Kalman suy ra

BCm + ABCm + + An−1BCm = Cn.Mặt khác ta có AkBu = (A − λI + λI)kBu = (A − λI)v + λkBu với mọi

u ∈ Cm Suy ra AkBCm ⊂ (A − λI)Cn+ BCm với mọi k Do đó

Cn = BCm + ABCm + + An−1BCm = (A − λI)Cn + BCm,điều này tương đương với rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C Ngượclại, giả sử rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C Gọi λ1, λ2, , λn làcác nghiệm của phương trình Pn(λ) = det[A − λI] = 0 Theo Định lýCaley-Hamilton ta có

Do vậy rank[A|B] = n cho nên hệ (1.1) là điều khiển được

Ví dụ 1.3 Xét hệ điều khiển ˙x = Ax + Bu với A =

"

0 1

1 0

#, B =

"10

#

Ta có rank[A − λI, B] = rank −λ 1 1

1 −λ 0 = 2 với mọi λ ∈ C Vậy bởiđiều kiện hạng Hautus hệ này là điều khiển được

Trên thực tế các giữ kiện đầu vào không được cung cấp giống như mộthàm liên tục theo biến thời gian vì vậy một mô hình khác của hệ điềukhiển là hệ điều khiển rời rạc ra đời Các kết quả trong mục này đượctrình bày dựa trên tài liệu tham khảo [2]

1.2.1 Mô hình rời rạc và khái niệm điều khiển được

Xét hệ rời rạc có dạng

x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n), (1.4)trong đó B là ma trận cỡ k ×m B được gọi là ma trận đầu vào và u(n) làmột vector m × 1 Trong hệ này, ta có m biến điều khiển u1(n), u2(n), ,

um(n), trong đó m ≤ k Một hệ liên tục với điều khiển hằng từng khúc

có thể xem như một hệ rời rạc Thật vậy, xét hệ phương trình vi phân

˙ˆx(t) = ˆA(t)ˆx(t) + ˆBu(t), (1.5)Với u(t) = u(k), t ∈ [kT, (k + 1)T ] Đặt

eA(t−τ )ˆ Bu(τ )dτ.ˆ (1.7)

Tại t = (k + 1)T kết hợp với (1.6) và (1.7), ta có

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), (1.8)trong đó

A = eATˆ , B = T eATˆ B.ˆ (1.9)

Ví dụ 1.4 Dòng điện DC của mô tơ có thể được mô hình hóa bởi phươngtrình vi phân

˙x(t) = −1

τx(t) +

K

τ u(t),trong đó, x là vận tốc góc của mô tơ, K và τ là hằng số

Mô hình rời rạc tương ứng trong trường hợp này là

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),trong đó, A = eATˆ = e−Tτ và B = T eATˆ B =ˆ KTτ e−Tτ

Trong phần này, ta quan tâm đến vấn đề có thể điều khiển hệ từ trạngthái ban đầu cho trước đến một trạng thái bất kỳ trong một khoảng thờigian hữu hạn hay không Nói một cách khác, ta mong muốn xác địnhđược tính điều khiển được của hệ Cho tới năm 1960, các phương phápbiến đổi là công cụ chính trong việc đánh giá và thiết kế hệ điều khiển.Vào năm 1960, nhà toán học, kỹ sư người Thụy Sỹ R.E Kalman đã đưa

ra lý thuyết điều khiển hiện đại bằng phương pháp không gian trạngthái Sau này phương pháp không gian trạng thái đã trở thành công cụchính cho ngành lý thuyết điều khiển hiện đại

Định nghĩa 1.2.1 Hệ (1.4) được gọi là điều khiển được nếu với mọi

n0 ∈ Z+, mọi trạng thái bất kỳ x(n0) = x0 và trạng thái kết thúc chotrước xf, tồn tại thời gian hữu hạn N > n0 và hàm điều khiển u(n), n0 <

Ở đây,

A = a11 a12

0 a22

!, B = b

0

!

Ta có thể dễ dàng nhận ra rằng hệ này không hoàn toàn điều khiểnđược vì u(n) không thể tác động lên biến x2(n) Hơn thế nữa, x2(n)được định nghĩa trong phương trình số hai có công thức tổng quát là

x2(n) = an22x2(0)

1.2.2 Đặc trưng cho tính điều khiển được

Ví dụ trên cho thấy ta có thể xác định tính điều khiển được của một hệ.Tuy nhiên, đối với các hệ phức tạp, ta sẽ nghiên cứu một vài tiêu chuẩnđơn giản hơn để xét tính điều khiển được của hệ

Định nghĩa 1.2.2 Ma trận điều khiển W của hệ (1.4) là ma trận

k × km được cho bởi công thức sau

đó ma trận đầu vào B chỉ là vector b có cỡ m × 1 Do đó ma trận điềukhiển trong trường hợp này là ma trận k × k

W = [b, Ab, , Ak−1b]

Hệ trên điều khiển được khi W có hạng là k, tức là ma trận W khôngsuy biến hay các cột của nó độc lập tuyến tính Trong trường hợp tổngquát, điều kiện điều khiển được là trong km cột, có k cột là độc lậptuyến tính Bây giờ chúng ta thử vận dụng định lý trên qua ví dụ sau

Ví dụ 1.6 Xét hệ

y1(n + 1) = ay1(n) + by2(n),

y2(n + 1) = cy1(n) + dy2(n) + u(n),trong đó, ad − bc 6= 0.

Ở đây,

A = a b

c d

!, B = 0

1

!

và u(n) là hàm điều khiển vô hướng Ta có,

sử tới một số r > 1 nào đó, ta có rank W (r + 1) = rank W (r) Khi

đó, các cột của ma trận ArB là độc lập tuyến tính với các cột của

W (r) = [B, AB, , Ar−1B] Do đó,

ArB = BM0 + ABM1 + + Ar−1BMr−1,trong đó mỗi Mi là ma trận m × m Nhân cả hai vế của ma trận trênvới A, ta được

Ar+1B = ABM0 + A2BM1 + + ArBMr−1.Vậy các cột của ma trận Ar+1B là độc lập tuyến tính với các cột của matrận W (r + 1) Suy ra, rank W (r + 2) = rank W (r + 1) = rank W (r) Cứtiếp tục như vậy ta có kết luận sau

rank W (n) = rank W (r) ∀n > r

Kết luận: rank W (n) tăng lên nhiều nhất là 1 khi n tăng lên 1 cho đến

sẽ tính được sau nhiều nhất là k bước Nên sau n ≤ k bước, ta sẽ córank W = rank W (k) = rank W (N ) ∀N ≥ k.

¯u(k) =

u ∈ Rk Dẫn đến hệ (1.4) điều khiển được

Điều kiện cần Giả sử hệ (1.4) điều khiển được và rank W < k Sửdụng bổ đề ở trên ta có thể kết luận tồn tại r ∈ Z+ sao cho

rank W (1) < rank W (2) < < rank W (r) = rank W (r+1) = = rank W.Hơn thế nữa, rank W (n) = rank W với mọi n > k Và do W (j + 1) =(W (j), AjB), nên ta có

rangeW (1) ⊂ rangeW (2) ⊂ ⊂ rangeW (r)

= rangeW (r + 1) = = rangeW = = rangeW (n)

với mọi n > k

Do rank W < k, rangeW 6= Rk Do đó tồn tại ξ /∈ rangeW (n) với mọi

n ∈ Z+ Nếu ta lấy x0 = 0 trong công thức (1.11) với k = n, ta cóx(n) = W (n)¯u(n) Do đó với ξ = x(n) với một số n, ξ phải trong miềngiá trị của W (n) Nhưng ξ /∈ rangeW (n) với mọi n ∈ Z+, suy ra ξ có

thể không đạt tới giá trị mong muốn trong thời gian hữu hạn Điều nàymâu thuẫn với giả thiết Do đó, rank W = k.

Ví dụ 1.7 Xét hệ điều khiển x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n) với

A = 0 1

0 0

!, B = 1

!u(0) = x02

0

!+ u(0)

0

!

Do đó, nếu ta lấy u(0) = −x02, thì ta có x(1) = 0 Do đó, hệ (1.12) điềukhiển được tới 0 Tuy nhiên, ta cũng thấy

rank(B, AB) = rank 1 0

0 0

!

= 1 < 2

Do đó theo định lý trên, hệ (1.12) không điều khiển được

Ví dụ 1.8 Xét hệ y(n + 1) = Ay(n) + Bu(n) với

A = 0 1

2 −1

!, B = 1

1

!

hạng bằng 1 do ma trận này tương đương với ma trận 1 1

0 0

! Theođịnh lý chính, hệ trên không điều khiển được Tuy nhiên chú ý rằng

Ví dụ 1.9 Một xe đẩy chở một vật nặng có khối lượng m bị ghim vàotường thông qua một hệ giao động Phương trình chuyển động của hệnày có dạng

m¨x + b ˙x + kx = u, (1.13)trong đó k và b tương ứng là độ cứng (stiffness) và hệ số giao động tắtdần (damping) của hệ giao động và u là lực tác dụng

Phương trình (1.13) có thể viết lại dưới dạng phương trình trạng tháinhư sau

#+

"

01/m

"

01/m

#

Trong trường hợp tổng quát, ta sẽ chọn trước một chu kỳ lấy mẫu T,các ma trận A và B của hệ rời rạc tương đương với hệ giao động trênđược cho bởi công thức

A = eATˆ , B = T eATˆ B.ˆNhư vậy các tính toán của chúng ta cần tìm ra ma trân mũ của ma trậnˆ

A Điều này không quá khó vì ít nhất ˆA có thể chéo hóa được, tức là ta

có thể tìm ra ma trận P sao cho

ˆ

A = P DP−1, (1.15)trong đó D là ma trận đường chéo