TÀI LIỆU - Toán kinh tế - HV Tài Chính (Bài giảng Bài tập Đề thi tham khảo)

Người ta đã chứng minh rằng: Phương án X của bài toán quy hoạch tuyến tính 1, 2, 3 là phương án cực biên khi 0 và chỉ khi phương án X0 làm thỏa mãn không ít hơn n ràng buộc chặt, trong đ

Bμi gi¶ng

Chương 0 Nhắc lại đại số tuyến tính (tự ôn)

Đ0.1 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ véc tơ

0.1.1 Khái niệm sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ véc tơ

* Định nghĩa 0.1.1: Một bộ gồm n số thực a1, a2, , an được sắp xếp theo một trật tự nhất định

được gọi là một véc tơ tơ n chiều, ký hiệu là A = (a1, a2, , an) Mỗi số thực ai được gọi là thành phần thứ i của véc tơ A

Ta thường biểu diễn véc tơ dưới dạng cột (véc tơ cột) hoặc dòng (véc tơ dòng) Các biểu diễn đó thường được sử dụng như nhau Trong một số trường hợp, người ta có phân biệt hai cách biểu diễn này Một số thực cũng được coi là một véc tơ một chiều

* Định nghĩa 0.1.2: Cho hai véc tơ n chiều A = (a1, a2, , an) và B = (b1, b2, , bn) Khi đó tổng của hai véc tơ A và B là một véc tơ mà nó được ký hiệu và xác định như sau:

A + B = (a1 + b1 , a2 + b2, , an + bn)

Từ đây cũng định nghĩa được cho tổng của nhiều véc tơ n chiều

* Định nghĩa 0.1.3: Cho véc tơ n chiều A và số thực α, khi đó tích của số thực α với véc tơ A

cũng là một véc tơ n chiều mà nó được ký hiệu và xác định như sau: α.A = (α.a1, α.a2, , α.an) Với α =–1 thì véc tơ –1.A = (–a1, –a2, , –an) được gọi là véc tơ đối của véc tơ A, ký hiệu là –A Phép cộng véc tơ A với véc tơ (–B) được viết là A – B Phép toán A – B được gọi là phép trừ của véc tơ A cho véc tơ B

* Định nghĩa 0.1.4: Một véc tơ n chiều mà tất cả các thành phần của nó đều bằng 0 được gọi là

véc tơ không n chiều, ký hiệu là Ο (0, 0, ,0)

0 số

n 43421

= Hiển nhiên véc tơ AưA=Ο

* Định nghĩa 0.1.5: Hai véc tơ n chiều A = (a1, a2, , an) và B = (b1, b2, , bn) được gọi là bằng nhau nếu ai =bi ∀i=1,n Ký hiệu là A = B

* Định nghĩa 0.1.6: Tập hợp các véc tơ n chiều cùng với hai phép tính cộng véc tơ và nhân một

véc tơ với một số thực được gọi là không gian véc tơ n chiều, ký hiệu là Rn

* Định nghĩa 0.1.7: Cho hai véc tơ n chiều A = (a1, a2, , an) và B = (b1, b2, , bn) Khi đó véc tơ A được gọi là lớn hơn hoặc bằng véc tơ B nếu ai ≥bi ∀i=1,n Ký hiệu là A ≥ B

* Định nghĩa 0.1.8: Cho hai véc tơ n chiều A = (a1, a2, , an) và B = (b1, b2, , bn) Khi đó tích

vô hướng của hai véc tơ n chiều A và B là một số mà nó được ký hiệu và xác định như sau:

định nghĩa 0.1.2 và định nghĩa 0.1.3 thì ∑

= α

= m

1 i

i

iA

T cũng là một véc tơ n chiều

* Định nghĩa 0.1.11: Véc tơ T nh− trên đ−ợc gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ (0.1.1), ta còn nói

véc tơ T biểu diễn tuyến tính (hay biểu thị tuyến tính) đ−ợc qua hệ véc tơ (0.1.1)

* Định nghĩa 0.1.12: Hệ véc tơ (0.1.1) đ−ợc gọi là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực

α1, α2, , αm không đồng thời bằng 0 (tức là 0

m 1 i

i

i =α

∑

= (0.1.2)

* Định nghĩa 0.1.13: Hệ véc tơ (0.1.1) đ−ợc gọi là hệ véc tơ độc lập tuyến tính nếu đẳng thức (0.1.2)

xảy ra khi và chỉ khi α1 = α2 = = αm = 0

0.1.2 Tính chất của sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ véc tơ

* Định lý 0.1.1: Một hệ véc tơ có chứa véc tơ Ο là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính

* Hệ quả 0.1.1: Hệ chỉ gồm một véc tơ khác véc tơ Ο là hệ véc tơ độc lập tuyến tính

* Định lý 0.1.2: Nếu một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ véc tơ chứa nó đều là hệ phụ

thuộc tuyến tính

* Hệ quả 0.1.2: Nếu một hệ véc tơ là độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều là hệ độc lập tuyến tính

* Định lý 0.1.3: Nếu thêm vào một hệ véc tơ một véc tơ khác biểu diễn tuyến tính đ−ợc qua các

véc tơ của hệ thì ta đ−ợc hệ véc mới phụ thuộc tuyến tính

* Định lý 0.1.4: Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một véc tơ của hệ

biểu diễn tuyến tính đ−ợc qua các véc tơ còn lại

* Hệ quả 0.1.3: Một hệ véc tơ có hai véc tơ giống nhau thì hệ đó là hệ phụ thuộc tuyến tính

* Định lý 0.1.5: Nếu một véc tơ biểu diễn tuyến tính đ−ợc qua một hệ véc tơ độc lập tuyến tính thì

biểu diễn đó là duy nhất

* Định nghĩa 0.1.11: Giả sử hệ véc tơ {A , A , , A } (0.1.3)

r 2

1 i i

i là hệ véc tơ con độc lập tuyến tính của hệ véc tơ (0.1.1), (tức là {i1, i2, ,ir} {⊂ 1,2, ,m} và dĩ nhiên r ≤ m) sao cho nếu thêm vào hệ (0.1.3) một véc tơ bất kỳ của hệ (0.1.1) thì ta đều đ−ợc hệ véc tơ mới phụ thuộc tuyến tuyến tính Khi đó

hệ véc tơ (0.1.3) đ−ợc gọi là hệ véc tơ độc tuyến tính cực đại của hệ véc tơ (0.1.1)

* Định lý 0.1.6: Mọi véc tơ của một hệ véc tơ đều biểu diễn tuyến tính đ−ợc một cách duy nhất

qua hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ đó

* Định lý 0.1.7: Số véc tơ của mọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của một hệ véc tơ đều bằng

nhau và số đó đ−ợc gọi là hạng của hệ véc tơ đã cho

Gọi A = {A1,A2, , Am}, khi đó hạng của hệ véc tơ A đ−ợc ký hiệu là hạngA (hay rankA)

* Định lý 0.1.8: Nếu thêm vào một hệ véc tơ một véc tơ biểu diễn tuyến tính đ−ợc qua các véc tơ

i i

* Định nghĩa 0.2.1: Một bộ gồm mìn số thực aij (i=1,m; j=1,n) sắp xếp với nhau theo một trật tự

nhất định thành một bảng hình chữ nhật gồm m dòng và n cột đ−ợc gọi là ma trận cấp mìn, ký hiệu là:

( )ij m nmn

2 m 1 m

n 22

21

n 12

11

aa

aa

a aa

a aa

ij , khi đó tích của ma trận A và số thực

α là ma trận C =( )cij mìn, trong đó cij = α.aij ∀i=1,m; j=1,n

Với α =–1 thì ma trận –1.A = C=( )cij mìn mà cij =−aij ∀i =1,m; j=1,n đ−ợc gọi là ma trận

đối của ma trận A, ký hiệu là –A

Phép cộng ma trận A với ma trận (–B) đ−ợc viết là A – B Phép toán A – B đ−ợc gọi là phép trừ

* Định nghĩa 0.2.8: Một ma trận vuông cấp n mà các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, các

phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là E hoặc I

* Định nghĩa 0.2.9: Một ma trận vuông cấp n mà các phần tử phía dưới đường chéo chính đều bằng 0

(aij =0∀i>j) được gọi là ma trận tam giác dưới hoặc các phần tử phía trên đường chéo chính đều

bằng 0 (aij =0∀i<j) được gọi là ma trận tam giác trên

* Định nghĩa 0.2.10: Một ma trận vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới được gọi

là ma trận chéo

* Định nghĩa 0.2.11: Nếu đổi toàn bộ các dòng của ma trận A thành các cột tương ứng (và tất nhiên

các cột thành các dòng tương ứng) thì ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị, ký hiệu là AC hoặc A’

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a aa

a aa

a aa

n

2 m 22

12

1 m 21

11

a aa

a aa

a aa

1

p 22

21

p 12

11

mn 2

m 1 m

n 22

21

n 12

11

b bb

b bb

b bbBvàa

aa

a aa

a aa

hai ma trận theo thứ tự A trước B sau là ma trận C =( )cij mìp, trong đó c a b i 1,m; j 1,p

n 1 k

kj ik

ij = ∑ ∀ = =

Tính phân phối: Cho các ma trận A=( )aij mìn,B=( )bij nìp và C=( )cij nìp, khi đó:

(B C) A B A C

Aì + = ì + ì Còn nếu A=( )aij mìn,B=( )bij mìn và C=( )cij nìp thì (A+B)ìC =AìC+BìC

Tính không giao hoán: Cho các ma trận A ( )a ,B ( )b với m p

p n ij n

m

= ì ì thì tồn tại AìB nhưng

ma trận Khi đó phần còn lại là ma trận vuông cấp n – 1, định thức của ma trận này đ−ợc gọi là định

thức con bù của phần tử aij, ký hiệu là Mij (i=1,n; j=1,n); còn Aij =(−1)i+jMij đ−ợc gọi là phần bù

đại số của phần tử aij (i=1,n; j=1,n)

* Định nghĩa 0.2.16: Ta gọi DetA D A a A ( 1) a M i 1,n (0.2.1)

n 1 j

ij ij j i n

1 j

ij ij j i n

1 i

− dấu mang

ng

ạ h số c c

+ dấu mang

ng

ạ h số c c

32 31 33

22 21 23

12 11 13

32 31

22 21

12 11

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

32 31

22 21

12 11

dấu mang

ng

ạ h số c c

33 32 31

23 22 21

13 12 11

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

43421

1

112

A ⇒ DetA = 8 + 1 + 0 + 0 + 2 + 2 = 1 3 ≠ 0

11

0 2

1.)1(A

;22

0 1

1.)1(A

;52

1 1

2.)1

(

A11 = − 1+1 − = 12 = − 1+2 − =− 13 = − 1+3 = ;

21

0 1

2.)1(A

;42

0 1

2.)1(A

;32

11 1.)1

(

A21 = − 2+1 − = 22 = − 2+2 = 23 = − 2+3 − =−

52

1 1

2.)1(A

;31

1 1

2.)1(A

;11

211.)1

(

A31 = − 3+1 − − =− 32 = − 3+2 − = 33 = − 3+3 − = □

( )

=

* Ví dụ 0.2.3: Với ma trận A như ở ví dụ 0.2.2 thì ma trận phụ hợp là ⎟⎟

34

m 1 m

k 22

21

k 12

11

mn 2

m 1 m

n 22

21

n 12

11

b bb

b bb

b bbBvàa

aa

a aa

a aa

m 1 m

k 22

21

k 12

11

mn 2

m 1 m

n 22

21

n 12

11

b bb

b bb

b bb

a aa

a aa

a aaB

A được gọi là ma trận ghép cột của ma trận

A và ma trận B

Hiển nhiên nếu ma trận C nhân được với ma trận A và B thì C.( ) (AB = CACB)

* Định nghĩa 0.2.22: Cho ma trận vuông cấp n: A=( )aij nìn, khi đó nếu tồn tại ma trận vuông X

cũng cấp n sao cho A.X = X.A = E (E là ma trận đơn vị cùng cấp) thì ma trận X được gọi là ma trận

nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là Aư1

* Định nghĩa 0.2.23: Các phép biến đổi sau đây

- Nhân toàn bộ một dòng hay một cột nào đó của một ma trận với một số khác 0

- Lấy một dòng (hay cột) nhân với một số rồi cộng tương ứng vào một dòng (hay cột) khác

- Đổi chỗ hai dòng (hay cột) của một ma trận cho nhau

được gọi là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên các dòng (hay cột) của ma trận

* Định nghĩa 0.2.24: Một loạt các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên các dòng của một ma trận

làm cho một cột nào đó của ma trận trở thành véc tơ cột đơn vị được gọi là phép khử toàn phần thực

hiện trên ma trận đó

0.2.2 Tính chất của ma trận và định thức:

* Định lý 0.2.1: Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị

Từ định lý này suy ra một mệnh đề về định thức được phát biểu đúng cho dòng thì cũng đúng cho cột

* Định lý 0.2.2: Định thức của một ma trận vuông khác 0 khi và chỉ khi hệ véc tơ cột (hoặc hệ véc

tơ dòng) của ma trận đó là hệ véc tơ độc lập tuyến tính

* Định lý 0.2.3: Một định thức có hai dòng hay cột giống nhau thì định thức đó bằng không

* Định lý 0.2.4: Nếu cộng vào một dòng hay cột của một định thức một tổ hợp tuyến của các dòng

hay cột khác thì giá trị của định thức không thay đổi

* Định lý 0.2.7: Cho ma trận vuông A=( )aij nìn và số thực α Khi đó α.A =αn.A

* Định lý 0.2.8: Cho hai ma trận vuông A=( )aij nìn và B=( )bij nìn,khi đó A.B = A.B

* Định lý 0.2.9: Cho ma trận vuông A=( )aij nìn, khi đó A.E

A 00

0 A0

0 0AA

.AA.A

cột n

4 34

4 21

13/313/413/2

13/113/313/5

tắc sau (gọi là qui tắc hình chữ nhật):

Phần tử phải tính bằng tích 2 phần tử trên đường chéo qua trục trừ tích 2 phần tử trên đường chéo không qua trục, được bao nhiêu chia cho phần tử trục

Dòng chuẩn có số 0 nào thì cột chứa số 0 đó giữ nguyên, cột xoay có số 0 nào thì dòng chứa số 0

db

)a(

dc

;d

a/bc

d

)a(b

;d

a/bd

10

d′= ư

đổi lên ma trận ghép ( )AE mang nội dung: ( ) ( )1

AEE

A → ư , tức là nếu phần bên trái của ma trận ghép ( )AE sau phép biến đổi trên trở thành ma trận đơn vị thì phần bên phải của nó trở thành ma trận

1

Aư Phép biến đổi như vậy chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận ( )AE

* Ví dụ 0.2.5: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A như ở ví dụ 0.2.2 bằng phương pháp

0 2 51

21

0 0 51

)13(00

10

0 1 0

0 2 01

2)1(

1 5 30

10

0 1 0

0 0 01

210

12)1

13/113/313/5

13/513/213/101

0 0 0

1 0 101

0

0 2 51

21

0 0 5

1

)13(0

0

Đến đây, ta lấy phần bên phải của

dòng có số 1 (bên trái) nằm ở cột đầu là dòng một của ma trận Aư1, phần bên phải của dòng có số 1 nằm ở cột hai là dòng hai của ma trận Aư1, phần bên phải của dòng có số 1 nằm ở cột ba là dòng ba của ma trận Aư1:

13/313/413/2

13/113/313/5

A 1 □

Đ0.3 Hệ phương trình tuyến tính

0.3.1 Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

* Định nghĩa 0.3.1: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát được cho như sau:

+

=+

+

)1.3.0(b

xa xaxa

bxa xaxa

bxa xaxa

m n mn 2

2 m 1 1 m

2 n n 2

22 1 21

1 n n 2

12 1 11

11

a aa

a aa

A được gọi là ma trận các hệ số của hệ phương trình (0.3.1)

tuyến tính (0.3.1)

* Định nghĩa 0.3.2: Véc tơ X=(x1, x2,K,xn) thoả mãn (0.3.1) được gọi là nghiệm (hay lời giải) của hệ phương trình tuyến tính đã cho

* Định nghĩa 0.3.3: Một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm được gọi là hệ tương thích Nếu hệ

phương trình tuyến tính không có nghiệm thì hệ đó được gọi là hệ không tương thích

* Định nghĩa 0.3.4: Một hệ phương trình tuyến tính chỉ có một nghiệm được gọi là hệ xác định

* Định nghĩa 0.3.5: Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nhau nếu nghiệm của

hệ phương trình tuyến tính này cũng là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính kia và ngược lại

* Định nghĩa 0.3.6: Các phép biến đổi sau đây

– Nhân toàn bộ một phương trình nào đó của một hệ phương trình tuyến tính với một số khác 0 – Lấy một phương trình nào đó của một hệ phương trình tuyến tính nhân với một số thực rồi cộng tương ứng vào một phương trình khác của hệ

– Đổi chỗ hai phương trình nào đó của một hệ phương trình tuyến tính cho nhau

được gọi là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một hệ phương trình tuyến tính

* Định lý 0.3.1: Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một hệ phương trình tuyến tính cho ta

một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ phương trình tuyến tính đã cho

* Định lý 0.3.2 (định lý Cronecker- Kapelli): Hệ phương trình tuyến tính (0.3.1) có nghiệm khi và

chỉ khi rankA =rankA~

Từ hai định lý trên suy ra cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử toàn phần như sau: Không làm mất tính tổng quát, có thể biến đổi ma trận A~ =( )AB (vì nếu cần thì có thể đánh số lại các

+ +

m

1 r r

2 1

n , r 1 r , r

n , 2 1 r , 2

n , 1 1 r , 1

b.bb.bb

0.00.00

0.00.00

a.a

1.00

a.a

0.10

a.a

0.01

(0.3.2) (hiển nhiên r ≤min{ }m,n )

– Nếu r ≤m,r <n và b′i =0∀i=r+1,m thì hệ phương trình tuyến tính đã cho có vô số nghiệm

phụ thuộc n – r tham số:

x

n,1rjýtuỳx

n 1 r k

k k j j

j j

(0.3.3)

00000

002110/9

103010/17

7313

51110

8 0 30 0 10

176 1 7 0 3

)10(0300

=

β

ưα

ư

=

β+α

=

310

1710

3x

42

12

11x

210

910

1x

x

;x

5 4 2

3 1

b.bb

⇒ hệ phương trình có duy nhất nghiệm : xj =b′j ∀j=1,n

* Định nghĩa 0.3.7: Hệ phương trình tuyến tính đặc biệt như vậy được gọi là hệ phương trình

tuyến tính Cramer

0.3.2 Cách giải hệ phương trình tuyến tính Cramer

a/ Phương pháp khử toàn phần áp dụng cho hệ phương trình tuyến tính Cramer là phương pháp thứ nhất giải hệ Cramer Có thể mô tả phương pháp này theo lược đồ A~ =( ) (AB → EX0), tức là nếu biến

đổi cho phần bên trái của ( )AB trở thành E thì phần bên phải trở thành nghiệm X0 của hệ phương trình

+

16x3xx

12x2xx

11x

x3x2

3 2

1

3 2

1

3 2 1

1x

3x

13201

0 0 0110013

1090)13(

0 7 01

111017

1011

083

07)1(

13216

121131

3 1 23

)1(32

3 2

1

□

b/ Phương pháp ma trận: Vì A là ma trận không suy biến nên tồn tại ma trận nghịch đảo Aư1,

từ dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Cramer suy ra X=Aư1B, chính công thức này đã

13

121

3 3 11

2D

;133

163212

3 11 1

2D

;393

116

21

12 3 1

11D

;133

13

21

3 3 1

2DetA

13

26D

Dx

;113

13D

Dx

;313

39D

* Định nghĩa 0.3.8: Trong hệ phương tình tuyến tính (0.3.1) nếu bi =0∀i=1,m thì hệ phương

trình tuyến tính đó được gọi là hệ phương trình tuyến thuần nhất tương ứng của hệ (0.3.1)

Hiển nhiên, véc tơ không n chiều là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên và ta gọi

nó là nghiệm tầm thường của hệ, còn nghiệm khác không (nếu có) được gọi là nghiệm không tầm thường

* Định lý 0.3.3: Hệ phương trình tuyến thuần nhất tương ứng của hệ (0.3.1) có nghiệm không tầm

thường khi và chỉ khi rankA<n

* Định lý 0.3.4: Tập hợp các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng của hệ

(0.3.1) lập thành không gian con của không gian véc tơ Rn mà số chiều của nó là n ưrankA

Ký hiệu không gian con ở trên là K, khi đó mỗi cơ sở của K được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của

hệ phương trình tuyến thuần nhất tương ứng

Muốn tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến thuần nhất tương ứng của hệ (0.3.1), trong công thức nghiệm tổng quát của hệ (phụ thuộc n ưrankA tham số) ta cho các tham số nhận lần lượt các giá trị của các thành phần phần của các dòng của một ma trận vuông không suy biến cấp rankA

n ư (thường là ma trận đơn vị cấp n ưrankA)

* Định lý 0.3.5: Gọi X0 là một nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính (0.3.1), K là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến thuần nhất tương ứng của hệ (0.3.1), khi đó mọi nghiệm của

xx

2

x

31xx3x2x

x

2

8x3x2xx

3

x

3x2xx3x

2

x

4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

xx2x

0xx3x2xx2

0x3x2xx3x

0x2xxx2x

4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

00)6(100

001830

0 7 5 0 11

1225

1132220

0

1)1(25

0 2 3 1 21

15

3183

0112

21 3 1 2 3

2132)1

(

A~

x

a

)1.4.0(p

,1ib

x

a

i n

1

j

j

ij

được gọi là hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính

Vì (0.4.1) là một trường hợp đặc biệt của (0.4.2) nên trong một chừng mực nào đó hệ (0.4.1) – (0.4.2) có thể được viết lại là n a x bi i 1,m (0.4.3)

1 j

m

ij ; X x ; B ba

+ +

+ +

+

m

2 p

1 p 2

p 2 1 1

n , m 2

, m 1 , m

n , 2 p 2 , 2 p 1 , 2 p

n , 1 p 2 , 1 p 1 , 1 p

2 pn

2 1

n 22

21

n 12

11

1

bb

bB

;bb

bB

;a aa

a aa

a aaA

;a aa

a aa

a aa

xx

xX

1 1

BX.A

BX.A

* Định nghĩa 0.4.1: Tập hợp L được gọi là tập lồi nếu với mọi X′ ∈ L và X ′′ ∈ L tuỳ ý thì

1XA2

1XA2

12

XX.AX

A1 0 = 1 ′+ ′′ = 1 ′+ 1 ′′= + = (1)

2

1B2

1X.A2

1X.A2

12

XX.A

Chương I Bμi toán quy hoạch tuyến tính vμ thuật toán đơn hình

Đ1.1 Đại cương về bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1.1 Các ví dụ thực tiễn dẫn tới bài toán quy hoạch tuyến tính

a- Bài toán lập kế hoạch sản xuất

* Nội dung bài toán: Một đơn vị sản xuất có 3 loại nguyên vật liệu khác nhau dùng để

sản xuất 4 loại sản phẩm Lượng nguyên vật liệu mỗi loại mà đơn vị có và định mức về nguyên vật liệu mỗi loại cho việc sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại cùng với giá bán một đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:

SPNVL SP 1 SP 2 SP 3 SP 4

Trữ lượng NVL

NVL3 5 2 4 3 41.000 Giá bán

(1000đ) 11 6,5 10 7 Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho phù hợp với điều kiện hạn chế về nguyên vật liệu đồng thời tổng doanh thu khi bán các sản phẩm sản xuất ra được là cao nhất

* Mô hình toán học của bài toán:

Gọi xj là số sản phẩm thứ j cần sản xuất ( =j 1,4) khi đó:

#Tổng thu nhập là 11x1 + 6,5x2 + 10x3 + 7x4 (1000đ )

#Tổng lượng nguyên vật liệu loại 1 cần huy động là 4x1 + 3x2 + 5x3 + 3x4

#Tổng lượng nguyên vật liệu loại 2 cần huy động là 3x1 + 4x2 + 6x3 + 5x4

#Tổng lượng nguyên vật liệu loại 3 cần huy động là 5x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4

Theo bài ra ta có mô hình toán học sau đây:

Tìm véctơ X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) sao cho:

4,1j0x

000.41x3x4x2x5

000.50x5x6x4x

000.44x3x5x3x4

maxx

7x10x5,6x11)X(

j

4 3 2

1

4 3 2

1

4 3 2

1

4 3 2

Mô hình toán học này được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính

Phương án sản xuất có tổng thu nhập cao nhất là lời giải của bài toán này

b- Bài toán phân công lao động

* Nội dung bài toán: Một phân xưởng có 4 dây chuyền sản xuất khác nhau có thể sản

xuất 3 loại sản phẩm Lượng sản phẩm mỗi loại sản xuất ra được khi sử dụng một dây chuyền sản xuất mỗi loại trong một giờ và chi phí sản xuất ở dây chuyền đó sau một giờ hoạt động cùng với nhu cầu tối thiểu về các sản phẩm được cho trong bảng sau:

Dây chuyền sản xuất

Nhu cầu tối thiểu

Chi phí (1000đ) 10 5 13 16 Hãy bố trí thời gian cho các dây chuyền sản xuất sao cho thoả mãn nhu cầu tối thiểu về

các sản phẩm đồng thời tổng chi phí sản xuất là thấp nhất

* Mô hình toán học của bài toán:

Gọi xj là thời gian (giờ) áp dụng dây chuyền sản xuất thứ j (j =1,4) khi đó ta có:

000.2x5x4xx3

200.2x4x3x2x

600.1xx

x3x2

minx

16x13x5x10)X(

j

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

=

∀

≥

≥+

Mô hình toán học này cũng được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

* Định nghĩa 1.1.1: Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát được cho như sau:

Tìm véc tơ X=(x1,x2,K, xn) sao cho:

(X)= c x min (hoặcmax)

n j j

)b(q,pibxa

)a(p

,ibxa

i n

j j ij

i n

j j ij

i n

j j ij

21

21

21

1 1

jxc

1

được gọi là hàm mục tiêu

Hệ các phương trình và bất phương trình (2) và (3) được gọi là hệ ràng buộc của bài

toán, các ràng buộc (2) được gọi là các ràng buộc chính, các ràng buộc (2a) và (2b) được gọi

là các ràng buộc về bất phương trình, các ràng buộc (2c) gọi là các ràng buộc về phương trình

của bài toán,các ràng buộc (3) gọi là các ràng buộc về dấu của bài toán

* Định nghĩa 1.1.2: Véctơ X = ( x1, x2, ,xn ) thỏa mãn hệ ràng buộc (2), (3) được gọi là

một phương án (alternative) của bài toán

Ký hiệu tập hợp các phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính là d Có 3 khả năng

xảy ra đối với d:

- Bài toán (1), (2), (3) có vô số phương án, tức là tập d có vô số phần tử

- Bài toán (1), (2), (3) chỉ có một phương án, tức là tập dchỉ có một phần tử

- Bài toán (1), (2), (3) không có phương án nào, tức là tập d = ỉ

* Định nghĩa 1.1.3: Phương án X* của bài toán (1), (2), (3) được gọi là phương án tối ưu

của bài toán nếu:

)X()

X

( * ≤ với ∀X ∈d đối với bài toán có (X)→min hoặc

)X()

X

( * ≥ với ∀X∈d đối với bài toán có (X)→max

Ký hiệu tập các phương án tối ưu của một bài toán quy hoạch tuyến tính là d* Cũng có

ba khả năng xảy ra như sau:

- Tập d* chỉ có một phần tử, tức là bài toán chỉ có một phương án tối ưu

- Tập d* không có phần tử nào, tức là bài toán không có phương án tối ưu

- Tập d* có vô số phần tử, tức là bài toán có vô số phương án tối ưu

* Định nghĩa 1.1.4: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì bài toán

được gọi là bài toán giải được (hay bài toán có lời giải) và phương án tối ưu của bài toán còn

được gọi là lời giải của bài toán Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính không có phương án tối

ưu thì bài toán được gọi là bài toán không giải được (hay là bài toán không có lời giải)

* Định nghĩa 1.1.5: Phương án X của bài toán quy hoạch tuyến tính (1), (2), (3) được 0

gọi là phương án cực biên nếu không thể tìm được 2 phương án khác nhau X′ và X ′′ của bài

toán sao cho

2

0

XX

X ′+ ′′

phương án X không phải phương án cực biên của bài toán (hay 0 X là phương án không cực 0

biên của bài toán)

Về mặt hình học, định nghĩa trên được phát biểu như sau:

Điểm X0 của tập hợp các phương án d được gọi là điểm cực biên của d nếu không thể

tìm được hai điểm khác nhau X′ và X ′′ của d để cho X là điểm giữa của đoạn thẳng nối 0

hai điểm X′ và X ′′

* Định nghĩa 1.1.6: Nếu phương án X của một bài toán quy hoạch tuyến tính làm thoả

mãn với dấu đẳng thức thì phương án X được gọi là làm thoả mãn chặt ràng buộc tương ứng

Nếu phương án X làm cho một ràng buộc nào đó thoả mãn với dấu bất đẳng thức thực sự

thì phương án X được gọi là thoả mãn lỏng ràng buộc tương ứng

Người ta đã chứng minh rằng:

Phương án X của bài toán quy hoạch tuyến tính (1), (2), (3) là phương án cực biên khi 0

và chỉ khi phương án X0 làm thỏa mãn không ít hơn n ràng buộc chặt, trong đó phải có n

ràng buộc chặt độc lập tuyến tính (n là số biến của bài toán)

Nếu phương án X0 của bài toán (1), (2), (3) làm thỏa mãn ít hơn n ràng buộc chặt (hoặc

nếu nó làm thỏa mãn không ít hơn n ràng buộc chặt nhưng không có n ràng buộc nào độc lập tuyến tính) thì phương án X0 không phải cực biên của bài toán (hay X0 là phương án không cực biên của bài toán)

Trong thực hành, các mệnh đề trên thường được sử dụng như một định nghĩa của phương

án cực biên và phương án không cực biên

* Định nghĩa 1.1.7: Nếu một phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính (1),

(2), (3) làm thỏa mãn đúng n ràng buộc chặt thì phương án cực biên đó được gọi là phương

án cực biên không suy biến

Nếu một phương án cực biên của bài toán trên làm thỏa mãn nhiều hơn n ràng buộc chặt thì phương án cực biên đó gọi là phương án cực biên suy biến

* Định nghĩa 1.1.8: Nếu mọi phương án cực biên của một bài toán quy hoạch tuyến tính đều

là những phương án cực biên không suy biến thì bài toán đó được gọi là bài toán không suy biến

* Chú ý 1.1.1: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính chỉ có một phương án thì phương án

duy nhất đó vừa là phương án cực biên vừa là phương án tối ưu của bài toán

* Định nghĩa 1.1.9: Nếu một phương án của một bài toán quy hoạch tuyến tính vừa là

phương án cực biên vừa là phương án tối ưu thì phương án đó được gọi là phương án cực biên tối ưu (hay là phương án tối ưu cực biên)

* Ví dụ 1.1.1: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

f(X)= 8x1 + 2x2 + 9x3 – x4→ min

3x1 + 2x3 – x4 ≥ 14

x1 – 4x2 – 2x4 = 8

–x1 + 7x2 + x3 + 3x4 ≤ –7

x1 ≥ 0 ; x2≤ 0 ; x3 ≥ 0

Xét xem véc tơ X0= (0, -1, 6, -2 ) có phải là phương án cực biên của bài toán đã cho hay không? • Thay X vào hệ ràng buộc của bài toán ta được: 0 3x1 + 2x3 - x4 = 14 = vp (1)

x1 - 4x2 - 2x4 = 8 = vp (2)

- x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = -7 = vp (3)

x1 = 0 (4)

x2 = -1 < 0 (5)

x3 = 6 > 0 (6)

Như vậy X0 là phương án của bài toán • Phương án X0 làm thỏa mãn 4 ràng buộc chặt là (1), (2), (3), (4) Số ràng buộc chặt đúng bằng số biến của bài toán và định thức của ma trận các hệ số ứng với hệ 4 ràng buộc chặt (1), (2), (3), (4) là: D = ư ư = ư ư = ư ư ư ư 3 1 7 2 0 4 1 2 0 0 0 0 1 3 1 7 1 2 0 4 1 1 2 0 3 (0.0.3+2.(ư2).7+(ư1).(ư4).1ư(ư1).0.7ư2.(ư4).3ư0.(ư2).1)=28ư4ư24=0 ư suy ra hệ 4 ràng buộc chặt (1) (2) (3) (4) là hệ ràng buộc chặt phụ thuộc tuyến tính, do đó phương án X không phải phương án cực biên của bài toán 0 Vẫn hỏi như vậy với véctơ X′ = (4, 0, 0, -2) • Thay X′ vào hệ ràng buộc của bài toán ta được 3x1 + 2x3 - x4 = 14 = vp (1)

x1 - 4x2 - 2x4 = 8 = vp (2)

- x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = -10 < vp = -7 (3) x1 = 4 > 0 (4)

x2 = 0 (5)

x3 = 0 (6)

Như vậy X′ là phương án của bài toán

• Phương án X′ làm thoả mãn 4 ràng buộc chặt là (1), (2), (5), (6) Số ràng buộc chặt

đúng bằng số biến của bài toán và định thức của ma trận các hệ số ứng với hệ 4 ràng buộc chặt trên là

0521

13010

241

103

0100

0010

2041

1203

Vẫn vậy với vectơ X ′′ = ( 0, 0, 5, -4 )

• Thay X ′′ vào hệ ràng buộc của bài toán ta được

• Phương án X ′′ làm thỏa mãn 5 ràng buộc chặt là (1), (2), (3), (4), (5), số ràng buộc chặt nhiều hơn số biến của bài toán Xét 4 ràng buộc chặt nào đó trong số 5 ràng buộc chặt trên, chẳng hạn (2), (3), (4), (5) Định thức của ma trận các hệ số ứng với hệ 4 ràng buộc chặt

001

311

201

0010

0001

3171

2041

• Phương án X~ làm thỏa mãn 3 ràng buộc chặt là (2), (5), (6) Số ràng buộc chặt ít hơn số biến của bài toán, do đó phương án X~ không phải phương án cực biên của bài toán

Trong số hai phương án cực biên trên thì phương án cực biên X′ là phương án cực biên

không suy biến, phương án cực biên X ′′ là phương án cực biên suy biến

* Định nghĩa 1.1.10: Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc được cho như sau:

Tìm véc tơ X=(x1,x2,K, xn) sao cho

(X)=c1x1 + c2x2 + L + cnxn →min (hoặc max) (1.1.4)

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a

b x a x a x a b x a x a x a L L L 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1.1.5) xj ≥0 (j=1,n) (1.1.6) Nếu ký hiệu ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mn 2 m 1 m n 22 21 n 12 11 a

a a

a

a a a

a a A là ma trận cấp mìn gọi là ma trận ràng buộc của bài toán; ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n x x x X M 2 1 là ma trận cấp nì1; ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m b b b B M 2 1 là ma trận cấp mì1; Ο là ma trận không cấp 1 ì n ; C =(c1,c2, ,cn) là ma trận cấp 1ìn Khi đó bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc (4), (5), (6) viết được dưới dạng ma trận sau: ) ( X ) ( B AX ) ( max) hoặc ( min CX ) X ( 6 Ο 5 4 ′ ≥ ′ = ′ → = Ký hiệu ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mj j 2 j 1 j a a a A M là véc tơ cột thứ ) n , j ( j =1 của ma trận ràng buộc A Khi đó bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc viết được dưới dạng véc tơ sau đây: (X) c x min n j j j → = ∑ =1 (hoặc max) ( 4 ′′ )

∑

=n = j j jA B x 1 ( 5 ′′ )

xj ≥0 (j=1,n) (6 ′′)

Ma trận ghép A~ =( )A B được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc (1.1.4) – (1.1.6) * Định nghĩa 1.1.11: Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc được cho như sau: Tìm véc tơ X=(x1,x2,K, xn) sao cho: (X)=c1x1 + c2x2 +L+ cnxn →min (1.1.7)

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ≥ + + + ≥ + + + ≥ + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

L

L L

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

(1.1.8)

xj ≥0 (j=1,n) (1.1.9)

Vẫn với các ký hiệu về ma trận như ở định nghĩa 1.1.10, bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc viết được dưới dạng ma trận sau:

BX.A

minX

.C)X(

* Định nghĩa 1.1.12: Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng hoàn thiện là bài toán quy

hoạch tuyến tính dạng chính tắc đặc biệt trong đó bi ≥0∀i=1,m và ma trận ràng buộc A có

đủ m véctơ cột đơn vị độc lập tuyến tính

1.1.3 Tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính:

* Định lý 1.1.1: Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể đưa được về bài toán quy

hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Chứng minh: - Nếu gặp biến xj ≤ 0 thì ta đặt x′j =ưxj ≥0

– Nếu gặp biến xj không có ràng buộc gì về dấu thì ta coi nó như là hiệu của 2 biến không

âm : xj =x′jưx′′j với x′j ≥0và xj′′≥0

Các biến x′j và xj′′ được sử dụng như trong 2 trường hợp trên được gọi là các biến phụ

– Nếu gặp ràng buộc loại (2a) thì ta đặt biến mới 0

n j j ij i

n j

i i n j

ijx x ba

1

Về mặt hình thức, ta đã thêm vào vế trái của(2a) một

lượng không âm phù hợp để cho vế trái trở nên bằng vế phải

– Nếu gặp ràng buộc loại (2b) thì ta đặt biến mới 0

n a x b

tương đương với n i i

n j j

ijx x b

a ư + =

=

∑1

Về mặt hình thức, ta đã bớt đi ở vế trái của (2b) một

lượng không âm phù hợp để cho vế trái trở nên bằng vế phải

Các biến mới xn+i được sử dụng như hai trường hợp cuối gọi là các biến bù □

Công việc chuyển bài toán không chính tắc về bài toán chính tắc được gọi là chính tắc hoá bài toán

* Định lý 1.1.2: (Định lý về điều kiện đủ để bài toán quy hoạch tuyến tính giải được)

Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án và nếu hàm mục tiêu (X) bị chặn (chặn trên đối với bài toán max, chặn dưới đối với bài toán min) trong tập hợp d thì bài toán phải có phương án tối ưu

* Ví dụ 1.1.2: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

310

633

39

2

165

12

33

3 2

1

3 2

3 1

3 2 1

3 2 1

,jx

xx

x

xx

xx

xxx

minx

xx

ư

ư

ư

≥+

ư

≤+

≥+

ư

→+

ư

ư

= Chứng minh bài toán này có lời giải

* Giải: • Chứng tỏ bài toán có phương án:

Xét véc tơ X0 =(0, 0,2), thay X0 vào hệ ràng buộc của bài toán, ta được:

x1 - 2x2 + x3 = 2 > vp = 1 (thoả mãn lỏng)

x1 + 5x3 = 10 < vp = 16 (thoả mãn lỏng) -2x2 + 9x3 = 18 > vp = -3 (thoả mãn lỏng) -3x1 – x2 + 3x3 = 6 = vp (thoả mãn chặt)

xj ≥ 0 ∀j

Như vậy X là phương án của bài toán, tức là bài toán có phương án 0

• Chứng tỏ hàm mục tiêu f(X) bị chặn dưới: Ký hiệu d là tập hợp các phương án của bài toán Nhân hai vế của ràng buộc thứ hai với –1, ta được: ưx1ư5x3 ≥ư16, cộng ràng buộc này với các ràng buộc thứ nhất và thứ tư, ta được: ư3x1ư3x2 ưx3 ≥ư9 ∀ X∈ d (♠1)

Vì xj ≥ 0 ∀j nên x3 ≥ưx3 ⇒ ư3x1ư3x2 +x3 ≥ư3x1ư3x2 ưx3 ∀ X∈ d (♠2)

Từ (♠1) và (♠2) ⇒ (X)=ư3x1ư3x2 +x3 ≥ư9 ∀ X∈ d, tức là hàm mục tiêu f(X) bị chặn dưới trong d Theo định lý 1.1.2 thì bài toán phải có phương án tối ưu

* Ví dụ 1.1.3: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

jx

xxxx

xxx

x

xxxx

minx

xxx)

=

0

73

5225

4 3 2 1

4 3 2

1

4 3 2 1

4 3 2 1

Chứng minh rằng bài toán có phương án nhưng không có phương án tối ưu

* Giải: • Xét họ véc tơ phụ thuộc tham số X(β)=(0, 2β,0,β) ∀β tuỳ ý Thay X(β) vào

hệ ràng buộc của bài toán, ta được:

04

10

77

32

48

24

33

15

52

2

4 3 2 1

4 3 2

1

4 3 2 1

ư

β,

jx

ββ

xxxx

ββ

xxx

x

ββ

xxxx

jKết hợp lại ta được β ≥ 0 Như vậy với mọi β ≥ 0 thì X(β) là phương án của bài toán

• Thay họ phương án X(β) vào hàm mục tiêu f(X), ta được (X(β))=ưβ ∀β Cho

Vì vậy bài toán không có phương án tối ưu nhưng vẫn có phương án

* Định lý 1.1.3: Nếu hệ ràng buộc của một bài toán quy hoạch tuyến tính có hạng bằng

số biến của bài toán và nếu bài toán có phương án thì phải có phương án cực biên

* Định lý 1.1.4: Nếu hệ ràng buộc của một bài toán quy hoạch tuyến tính có hạng bằng số

biến của bài toán và nếu bài toán có phương án tối ưu thì phải có phương án cực biên tối ưu

* Hệ quả 1.1.1: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có phương án tối ưu thì

bài toán phải có phải có phương án cực biên tối ưu

Theo định lý 1.1.1, muốn giải bài toán không chính tắc, ta chính tắc hoá bài toán rồi giải bài toán chính tắc:

Nếu bài toán chính tắc có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng có phương án tối ưu và phương án tối ưu của bài toán gốc có được từ phương án tối ưu của bài toán chính tắc bằng cách bỏ đi các biến bù và tính lại các biến gốc theo các biến phụ

Nếu bài toán chính tắc có phương án nhưng không có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng có phương án nhưng không có phương án tối ưu

Nếu bài toán chính tắc không có phương án thì bài toán gốc cũng không có phương án

Do hệ quả 1.1.1, nếu bài toán chính tắc có phương án tối ưu thì ta chỉ cần tìm phương án tối ưu trong tập hợp các phương án cực biên là đủ Nhưng do những tính chất đặc thù của phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc mà nhờ đó ta có được những tiêu chuẩn tối ưu rất dễ nhận biết

Với tất cả những lý do trên nên ta sẽ đi sâu nghiên cứu điều kiện và tính chất của phương

án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Đ 1.2 Phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng

chính tắc

1.2.1 Điều kiện và tính chất của phương án cực biên

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

f(X) = CX → min (hoặc max) (1.2.1)

AX = B (1.2.2)

X≥Ο (1.2.3) trong đó A =(aij)mìn được giả thiết có rankA =m<n, giả thiết này không làm mất tính tổng quát của vấn đề Vì nếu gặp bài toán có rankA ≠rankA~ thì hệ phương trình (1.2.2) vô nghiệm, bài toán không có gì để làm, nên ta chỉ quan tâm đến trường hợp rankA =rankA~, khi đó rankA=rankA~ ≤m Nếu rankA=rankA~ <m thì ta có thể bỏ đi một số phương trình trong (1.2.2) mà véc tơ dòng tương ứng với chúng của ma trận A biểu diễn tuyến tính được qua các véc tơ dòng còn lại Còn lại chỉ là rankA =rankA~ =m≤n, nếurankA=rankA~ =m=n thì hệ phương trình (1.2.2) có duy nhất nghiệm, khi đó bài toán chỉ có thể có một phương án hoặc không có phương án nào, cũng không có gì để làm Cuối cùng chỉ còn rankA=rankA~ =m<n, điều đó tương đương với rankA=m<n

Ta biết rằng một phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính trên chính là một nghiệm không âm của hệ phương trình tuyến tính (1.2.2) Ta sẽ đặc biệt quan tâm đến các thành phần dương của phương án

* Định lý 1.2.1: Phương án X0 của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là phương án cực biên khi và chỉ khi hệ vectơ cột của ma trận ràng buộc A ứng với các thành phần dương của phương án lập thành hệ véc tơ độc lập tuyến tính

* Ví dụ 1.2.1: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

- Thay X vào hệ ràng buộc của bài toán ta được 0

1

2

A , hệ véc tơ này có số véc

tơ ít hơn số chiều (số véc tơ là 2) Xét định thức con cấp 2 nào đó trích ra từ hệ vectơ trên, chẳng hạn định thức con cấp 2 tạo bởi 2 thành phần đầu là: 3 0

11

12

rank 1 2 = 2= tơ của hệ, vì vậy hệ véc tơ {A1,A2} là hệ độc lập tuyến tính Theo

định lý 1.2.1 thì phương án X là phương án cực biên của bài toán 0

Cũng hỏi như vậy với vectơ X′ = ( 2, 8, 0, 1, 0 )

- Thay X′ vào hệ ràng buộc của bài toán ta được:

2x1 + x2 - x3 + x4 + 3x5 = 13 = vp -x1 + x2 + x3 - 5x4 + 2x5 = 1 = vp 3x1 - x2 + x3 + 9x4 - 3x5 = 7 = vp

51

0 j ,

xj ≥ ∀ =Như vậy X′ là phương án của bài toán

- Phương án X′ có 3 thành phần dương là x1 , x2, x4 Hệ vectơ cột của ma trận ràng buộc A ứng với các thành phần dương của phương án X′ là {A1,A2,A4}, hệ vectơ này có số vectơ bằng số chiều và định thức của ma trận tạo bởi chúng là:

31 1 5

112

số chiều và định thức của ma trận tạo bởi chúng là:

02534936631

31 1 2

312

vectơ độc lập tuyến tính, do đó phương án X ′′ là phương án cực biên của bài toán

Ta biết rằng mọi hệ vectơ có số véctơ nhiều hơn số chiều đều là hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính nên ta có:

* Hệ quả 1.2.1: Số các thành phần dương của một phương án cực biên của bài toán chính

tắc (1.2.1 - 1.2.3) không vượt quá m (m là hạng của ma trận ràng buộc của bài toán)

* Hệ quả 1.2.2: Một phương án cực biên của bài toán (1.2.1 - 1.2.3) có số thành phần

dương đúng bằng m thì phương án cực biên đó là phương án cực biên không suy biến

Một phương án cực biên của bài toán trên có số thành phần dương ít hơn m thì phương án cực biên đó là phương án cực biên suy biến

Chẳng hạn, theo phép giải đối với phương án X ′′ thì ma trận ràng buộc A của bài toán có 3

rankA = , tức là m =3 ⇒ phương án cực biên X ′′ là phương án cực biên không suy biến, còn phương án cực biên X0 là phương án cực biên suy biến

* Chú ý 1.2.1: Một phương án của bài toán (1.2.1 - 1.2.3) có số thành phần dương không

vượt quá m không hẳn là phương án cực biên

1.2.2 Cơ sở của phương án cực biên của bài toán chính tắc

* Định lý 1.2.2: Với mỗi phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng

chính tắc (1.2.1 - 1.2.3) đều có một hệ con gồm m véc tơ cột độc lập tuyến tính của ma trận ràng buộc A, trong đó phải có các véc tơ cột ứng với các thành phần dương của phương án

* Định nghĩa 1.2.1: Mỗi hệ con gồm m véc tơ cột như trong định lý 1.2.2 đều được gọi là

* Ví dụ 1.2.2: Tìm tất cả các cơ sở của phương án cực biên suy biến X0 ở ví dụ trên

- Bổ sung thêm véc tơ cột A3 vào hệ vectơ {A1,A2} ta được hệ véc tơ {A1,A2,A3}, định thức của ma trận tạo bởi hệ véc tơ này là

010213132113

111

112

≠

=+++

ư+

độc lập tuyến tính do đó hệ này là một cơ sở của phương án cực biên suy biến X 0

- Bổ sung thêm A4 vào hệ véctơ {A1,A2}, ta được hệ véctơ {A1,A2,A4}, hệ véc tơ này như đã khảo sát là hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính Vì vậy hệ véctơ {A1,A2,A4} không phải là cơ sở của phương án cực biên suy biến X 0

- Bổ sung thêm véctơ A5 vào hệ véctơ {A1,A2}, ta được hệ véctơ {A1,A2,A5}, định thức của ma trận tạo bởi hệ véctơ này là:

05439366313

211

312

≠

ư

=+

ư

ư++

lập tuyến tính do đó hệ này cũng là một cơ sở của phương án cực biên suy biến X0

Như vậy phương án cực biên suy biến X có 2 cơ sở là 0 J1 ={1,2,3}, J2 ={1,2,5}

1.2.3 Biểu diễn các véctơ ngoài cơ sở theo các vectơ cơ sở

Muốn tìm phép biểu diễn các véctơ ngoài cơ sở theo các véctơ cơ sở, ta xuất phát từ ma trận ràng buộc A, dùng các phép khử toàn phần, đưa ma trận A về dạng mà trong đó các véctơ cơ sở trở thành các véctơ đơn vị Khi đó các thành phần trên các cột ứng với các véctơ ngoài cơ sở chính là các hệ số biểu diễn của véctơ ngoài cơ sở tương ứng theo các véctơ cơ sở

* Ví dụ 1.2.3: Trở lại ví dụ 1.2.2 với cơ sở J =2 {1, 2,5} của phương án cực biên X0

200

1100

100

162

3110015323

23951113

111

112

)()

(

)(

5 2

3

23

25

01020300

1

20

0

51

0

AA

A

AA

A

Z , có thể thử kết quả như sau:

4 1

2 3

5

2

9516

243

3

32

31

116

465

5

52

Qui tắc khử toàn phần : Trong phép khử toàn phần, phần tử a′ij ≠0 ở bảng trước trở thành

số 1 của véctơ đơn vị A =′j Ei ở bảng sau được gọi là phần tử trục, dòng i được gọi là dòng chuẩn, cột j được gọi là cột xoay

Dòng chuẩn chia cho phần tử trục, cột xoay trở thành cột đơn vị Đối với các phần tử không nằm trên dòng chuẩn và không nằm trên cột xoay thì chúng được tính theo qui tắc sau (gọi là qui tắc hình chữ nhật):

Phần tử phải tính bằng tích 2 phần tử trên đường chéo qua trục trừ tích 2 phần tử trên

đường chéo không qua trục, được bao nhiêu chia cho phần tử trục

Dòng chuẩn có số 0 nào thì cột chứa số 0 đó giữ nguyên, cột xoay có số 0 nào thì dòng chứa số 0 đó cũng giữ nguyên

* Quy ước: hệ số biểu diễn của véctơ ngoài cơ sở Ak theo véctơ cơ sở Aj ký hiệu là zjk

∀j∈J và k∉J Theo đó, ở ví dụ trên thì: z13 =0; z23 =5;z53 =ư2;z14 =2; z24 =ư3; z54 =0

Đ1.3 Thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

1.3.1 Cơ sở lý luận của thuật toán đơn hình:

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

) (B

AX

) (min

CX)X(

331Ο

231

131

trong đó A=(aij)mìn được giả thiết có rankA =m<n

Giả sử X0 =(x01,x02,L,x0n) là phương án cực biên với cơ sở J , X=(x1,x2,L,xn) là phương án tuỳ ý của bài toán Khi đó ta luôn có:

x x z xk j J

J k jk j

j jk

k jk j

J k

k kΔ

0 d (1.3.7)

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra như sau:

* Trường hợp 1: (Định lý 1.3.1 về tiêu chuẩn tối ưu cho một phương án cực biên)

Nếu tồn tại cơ sở J của phương án cực biên X0 có Δk ≤ 0∀k∉J thì phương án X0 là phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính (1.3.1 – 1.3.3)

Số Δ như vậy được gọi là ước lượng kiểm tra của biến thứ k (hay là của véctơ cột Ak k)

* Trường hợp 2: Nếu tồn tại cơ sở J của phương án cực biên X0 có Δk > 0 thì chưa kết luận được gì về phương án cực biên X0 (nếu X0 là phương án cực biên không suy biến thì trong trường hợp này ta khẳng định được phương án X0 không phải là phương án tối ưu của bài toán) Đến đây ta xét hai trường hợp nhỏ như sau:

- Trường hợp 2a: (Định lý 1.3.2: về dấu hiệu không giải được của bài toán )

Nếu tồn tại cơ sở J của phương án cực biên X0 có Δk > 0, k∉J và trong số các Δk >0tồn tại Δs >0 mà zjs ≤0∀j∈J thì bài toán không có phương án tối ưu

- Trường hợp 2b: (Về cải tiến phương án) Nếu gặp cơ sở J của phương án cực biên X0của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có Δk >0 và với ∀Δk >0 đều ∃zjk >0thì ta xây dựng phương án cực biên mới X′ như sau:

Lấy Δs > nào đó trong số các0 Δk >0 (thông thường ta chọn Δs =max{Δk >0}, tuy nhiên điều đó không quan trọng) Với Δs> 0 cũng phải tồn tại zj s > 0

Thực hiện các phép chia x0j cho zj s > 0 rồi lấy cực tiểu:

j 0 0

θ thì ta đưa Ar ra khỏi cơ số cũ, cho

As vào thay thế vị trí của Ar lập nên cơ sở mới của phương án cực biên mới X′ Khi đó ta có: (X′)= (X0)ưθ0Δs (1.3.9) Như vậy cơ sở mới J'=J\ { } { }r U s

Theo (1.3.8) thì θ0 ≥ 0 ( vì x0j ≥0∀j∈J và zjs >0), theo giả thiết thì Δs > vì vậy 0

)X

0)X(

* Ví dụ 1.3.1: Trở lại ví dụ 1.2.3 Xuất phát từ cơ sở J2,Tìm câu trả lời của bài toán

# Giải: Nhập các số liệu đặc trưng vào bảng đơn hình:

ở bảng đơn hình số 2 có Δk≤ 0∀k suy ra phương án cực biên ở bảng 2 là phương án tối

ưu của bài toán: X∗ = (0, 11, 0 ,2, 0) với fmin = - 20

* Chú ý 1.3.5: Nếu gặp bài toán có yêu cầu cực đại hóa hàm mục tiêu thì ta khảo sát

phương án cực biên X0 theo các dấu hiệu trực tiếp dành cho bài toán max sau đây:

- Trường hợp 1: Nếu tồn tại cơ sở J của phương án cực biên X0 có Δk ≥ 0∀k thì phương

án cực biên X0 là phương án tối ưu của bài toán

- Trường hợp 2: Nếu tồn tại cơ sở J của phương án cực biên X0 có Δk<0 thì ta chưa kết luận được gì về phương án cực biên X0 (nếu phương án X0 là phương án cực biên không suy biến thì trong trường hợp này ta khẳng định được phương án X0 không phải phương án tối ưu của bài toán) Đến đây ta xét 2 trường hợp nhỏ như sau:

+ Trường hợp 2a: Trong số các Δk<0,tồn tại Δs<0mà zjs ≤0∀j∈J thì ta kết luận

được bài toán không có phương án tối ưu

+ Trường hợp 2b: Với ∀Δk < 0 đều tồn tại zjk > 0, thì ta thực hiện việc chuyển sang cơ

sở mới như sau:

Chọn Δs< 0 nào đó trong số các Δk<0 (thường ta chọn Δs= min {Δk <0}, tuy nhiên

điều đó cũng không quan trọng) Với chỉ số s ta vẫn tìm cực tiểu θ như (1.3.8), nếu cực tiểu 0này đạt tại r thì vẫn đưa Ar ra khỏi cơ sở cũ và cho As vào thay thế vị trí của Ar lập nên cơ sở mới của phương án cực biên mới Vẫn lặp lại như trước, cuối cùng ta tìm được phương án tối

ưu của bài toán hoặc phát hiện bài toán không có phương án tối ưu

* Định nghĩa 1.3.1: Cơ sở J như ở các trường hợp 1 của hai bài toán min và max trên

được gọi là cơ sở tối ưu của bài toán tương ứng

* Định nghĩa 1.3.2: Nếu Δs>0 thì f(X(θ0))≤ (X0), tức là f(X(θ0)) không tăng so với )

X

( 0 Khi đó phương Zs theo cơ sở J có Δs>0 như vậy được gọi là phương giảm tại điểm X0 Nếu Δs<0 thì f(X(θ0))≥ (X0), tức là f(X(θ0)) không giảm so với (X0) Khi đó phương Z theo cơ sở J có s Δs<0 như thế được gọi là phương tăng tại điểm X 0

* Ví dụ 1.3.2: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

là phương án cực biên của bài toán

b/ Xuất phát từ X0 tìm lời giải của bài toán bằng phương pháp đơn hình

# Giải: a/ + Thay X0 vào hệ ràng buộc của bài toán ta được:

+ Phương án X0 làm thỏa mãn 4 ràng buộc chặt là (1), (2), (4), (6) Số ràng buộc chặt

đúng bằng số biến của bài toán và định thức của ma trận các hệ số ứng với hệ 4 ràng buộc

001

210

121

0100

0001

2110

1421

b/ + Chính tắc hóa bài toán:

012

001110

110

4211

03

012

001110

110

421

)(

Z/

//

//

//

//

)(

0310

0321316035

37132

320311

15

012

023200

110

201

ưu của bài toán chính tắc: X* =(5,0,0,3,0,4) suy ra phương án tối ưu của bài toán gốc là

),

b/ Xuất phát từ X0, tìm câu trả lời của bài toán

# Giải: a/ • Thay X0 vào hệ ràng buộc của bài toán, ta được:

Như vậy X0 là phương án của bài toán

• Phương án X0 làm thỏa mãn 5 ràng buộc chặt là (2), (3), (4), (5), (8) Số ràng buộc chặt

đúng bằng số biến của bài toán và định thức của ma trận các hệ số ứng với hệ 5 ràng buộc

22

111

10000

00010

00001

32215

11111

1 3 2 4 5

buộc chặt trên là hệ ràng buộc chặt độc lập tuyến tính, do đó phương án X0 là phương án cực

biên của bài toán, hơn nữa nó là phương án cực biên không suy biến

b/ • Chính tắc hoá bài toán: Đặt x6 = 2 – 2x1 – x2 +x3 – x5 ≥ 0;

x7 = 5x1 – x2 + 2x3 – 2x4 – 3x5 – 1 ≥ 0 Khi đó ta được bài toán quy hoạch tuyến dạng chính

tắc sau đây: f(X) = x1 – x2 + 2x3 + x4 - 5x5 → min

001

010411017

111

0011

00032

011

110215

111

112

)(

)(A

/

//

//

///

//

41045

411411041

0143

004147

43

411

.x

,,

1.3.2 Tập phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

* Định lý 1.3.3: Nếu tồn tại cơ sở J của phương án cực biên tối ưu của bài toán quy hoạch

tuyến tính dạng chính tắc có Δk <0∀k∉J (đối với bài toán min) hoặc Δk > 0∀k∉J (đối với bài toán max) thì bài toán chỉ có một phương án tối ưu

* Hệ quả 1.3.1: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có vô số phương án tối

ưu thì ở mọi cơ sở tối ưu J đều tồn tại k∉Jsao choΔk=0

Điều ngược lại không hẳn đúng

* Định lý 1.3.4: Nếu một bài toán quy hoạch tuyến tính có hai phương án tối ưu khác

nhau thì bài toán có vô số phương án tối ưu

Giả sử X1* và X*2 là hai phương án tối ưu khác nhau của một bài toán quy hoạch tuyến thì mọi véctơ có dạng 1 2 ∀ >0 >0

+

+

qp

qXpX

)q,p(X

*

*

đều là những phương án tối ưu của

bài toán (hơn nữa chúng là những phương án tối ưu không cực biên); hoặc cũng vậy, mọi véc tơ có dạng X(α)=αX1* +(1ưα)X*2 ∀α∈[ ]0,1 là phương án tối ưu của bài toán

* Hệ quả 1.3.2: Nếu tồn tại cơ sở tối ưu J của phương án cực biên tối ưu

)x ,,x,

x

(

X* = *01 *2 *n của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có Δk = 0, k∉J

và nếu zjk ≤ 0 ∀j∈J thì bài toán có vô số phương án tối ưu dạng:

kjvàJjnếu0

Jkjnếu0

)(x

jk

* j 0

j

αα

α (1.3.10)

*Hệ quả 1.3.3: Nếu tồn tại cơ sở tối ưu J của phương án cực biên tối ưu

)x ,,x

* j 0

x

kjvàJjnếu0

Jkjnếu,

0)

(x

k j

* j 0

0 j

α

θα

α (1.3.11)

* Định nghĩa 1.3.3: Các công thức (1.3.10) và (1.3.11) được gọi là tập phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc tương ứng

Ví dụ 1.3.4: Trở lại ví dụ 1.3.2 hãy chứng minh bài toán có vô số phương án tối ưu

Tìm tập phương án tối ưu và tìm một phương án tối ưu không cực biên của bài toán

# Giải: Cách 1: Trở lại bảng đơn hình tối ưu ở ví dụ 1.3.2:

421

3θ

63

06 43

minz

x,z

xmin

*

*

, vì vậy bài toán có vô số phương án tối ưu

Để tìm tập phương án tối ưu của bài toán, ta cho x3 =α∈[ ]0,6 ,x2 =x5 =0, suy ra

2

α75α

α 4304

4(α)=x ư z = ư

2

463 06

αz

.α

α3α02

α75

α75

(

X là phương án tối ưu của bài toán gốc với

mọi α∈[ ]0,6 Đó là tập phương án tối ưu của bài toán gốc

Với mọi α∈(0,6) thì X(α) là phương án tối ưu không cực biên của bài toán, chẳng hạn với

α =4, ta được X(4) = (19, 0, 4, 1) là một phương án tối ưu như vậy

Cách 2: Phương án tối ưu cực biên thứ nhất của bài toán là X1* =(5,0,0,3) Do tồn tại 0

phương án tối ưu cực biên thứ nhất Bài toán có hai phương án tối ưu khác nhau nên bài toán

5, , , ) ( , , , )

= (19, 0, 4, 1)

là một phương án tối ưu không cực biên của bài toán

Ví dụ tự làm: Cho bài toán quy hoạch quy hoạch tuyến tính:

f(X) = x1 + 8x2 + x3 - 6x4 - x5 → max

3x1 + 4x2 + 2x3 - 2x4 + x5 = 6 -2x1 - 3x2 - x3 + 3x4 - x5 = 1

4x1 + 3x2 + 3x3 - x4 + 4x5 = 13

.,j

xj ≥0 ∀ =15a/ Xét xem các vectơ X0 =(4,0,0,3,0);X′=(2, 0,5/2,5/2,0);X′′=(0,3,0, 4,2) có phải là những phương án cực biên của bài toán đã cho hay không?

Biểu diễn các vectơ ngoài cơ sở theo các vectơ cơ sở của phương án cực biên không suy biến

Đ 1.4 Phương pháp biến giả giải bài toán quy hoạch tuyến tính

++

=+

++

=+

++

m n mn m

m

n n

n n

bxax

axa

axa

bxax

axa

L

LL

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1

11

(1.4.2)

xj ≥0, j=1,n (1.4.3) Trong đó vẫn giả thiết ma trận ràng buộc A có rankA = m < n Giả thiết thêm bi ≥ 0 ∀ m

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu một phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính không hoàn thiện thông qua câu trả lời của một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng hoàn thiện tương ứng:

+++

=+

+++

=+

+++

+

+ +

m m n n

mn m

m

n n

n

n n n

bx

xax

axa

bx

xax

axa

bx

xax

axa

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

LL

2 2 1 1

2 2

2 2

22 1 21

1 1

1 2

12 1

11

(1.4.5)

xj ≥0, j=1,n+m (1.4.6) trong đó M là số dương đủ lớn

Bài toán (1.4.4) – (1.4.6) được gọi là bài toán “M”, còn bài toán (1.4.1) – (1.4.3) được gọi

là bài toán chính, các biến mới thêm vào: xn+i ∀i=1,m được gọi là các biến giả

Cho x1 =x2 =L=xn =0 ⇒ xn+1 = b1, xn+2 = b2, ,xn+m = bm Vì bi ≥0 ∀i=1,m nên

)b,

,b,b,0,,

n

0 = 1 K4243 là phương án của bài toán “M”

Vì hệ véc tơ cột {An+1 ,An+2 , ,An+m} là hệ véc tơ độc lập tuyến tính nên X0 là phương

án cực biên của bài toán “M” với cơ sở {An+1 ,An+2 , ,An+m} Vì hệ véc tơ cơ sở là hệ véc tơ

đơn vị nên ma trận ràng buộc A của bài toán “M” chính là ma trận các hệ số biểu diễn Z Dùng phương pháp đã biết, ta tìm được câu trả lời của bài toán “M”, từ đó suy ra câu trả lời của bài toán chính theo các dấu hiệu sau:

* Định lý 1.4.1: Nếu X =(x1,x2,K,xn) là phương án của bài toán chính thì

),

,,,x,

n 14243

0

2

= là phương án của bài toán “M” và ngược lại, đồng thời (X)=F(X)

* Định lý 1.4.2: Nếu bài toán “M” có phương án tối ưu với ít nhất một biến giả nhận giá trị dương thì bài toán chính không có phương án nào

* Định lý 1.4.3: Nếu bài toán “M” có phương án tối ưu dạng X (x ,x , ,x ,0,0, ,0)

0 số m

* n

* 2

* 1

*

442

1 KK

* Chú ý 1.4.2: Vì ma trận dòng C của bài toán “M” có một số thành phần là M, nên F( )X

và Δ là những hàm bậc nhất đối với M, tức là k Δk =αk +βkM còn F( )X =α0 +β0M Vì vậy để thuận tiện cho việc khảo sát phương án , ta chia dòng Δ làm hai dòng nhỏ: dòng trên ghi các số tự do αk (k= 0,n+m); dòng dưới ghi các hệ số βk (k = 0,n+m) Vì M là só dương đủ lớn nên việc đánh giá các số Δ được thực hiện như sau:

15x

xxx

2

10x

x2xx

9x

xx2x

3

minx

4x2xx

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

+

→+

ư+

=

a/ Tìm câu trả lời của bài toán trên

b/ Tìm một phương án không tối ưu của bài toán

* Giải: - Chính tắc hóa bài toán:

Đặt x5 =9ư3x1 ư2x2 +x3 ưx4 ≥0; x6 =2x1ưx2 +x3 ưx4 ư15≥0 Khi đó ta được bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc sau đây:

6,1j0x

15x

xxxx2

10x

x2xx

9x

xxx2x3

minx

4x2xx4)X

(

j

6 4

3 2 1

4 3 2 1

5 4 3 2 1

4 3 2 1

+

→+

ư+

=

* Hoàn thiện hóa bài toán: Trước hết ta nhận thấy các số tự do ở vế phải của bài toán chính tắc

đều là những số dương và ma trận ràng buộc của bài toán đã có một vectơ cột đơn vị là A5 = E1, Ta cần phải thêm hai biến giả x7 và x8 để lập bài toán “M” với ma trận ràng buộc có A7 = E2 ; A8 = E3:

( )

8,1j0x

15x

xx

xxx2

10x

xx2xx

9x

xxx2x

minMx

Mxx

4x2xx4X

F

j

8 6

4 3 2 1

7 4

3 2 1

5 4 3 2 1

8 7

4 3 2 1

=

∀

≥

=+

ư

ư+

+

→+

++

ư+

a- Tìm câu trả lời của bài toán

b- Nếu thay dấu “=” ở ràng buộc (1) bởi dấu “ ≤ ” thì câu trả lời của bài toán mới sẽ như thế nào?

* Giải: a/ - Hoàn thiện hóa bài toán: Sau khi đổi dấu 2 vế của phương trình (2), ma trận ràng buộc của bài toán vẫn không có vectơ cột đơn vị nào vì vậy ta phải thêm 3 biến giả là ,

x5 x6, x7 để lập bài toán “M” với ma trận ràng buộc có A5 = E1; A6 = E2 ; A7 = E3:

đã cho không có phương án nào

b/ Khi thay dấu “=” ở ràng buộc (1) bởi dấu “ ≤ ” thì trước khi hoàn thiện hoá bài toán ta phải chính tắc hóa bài toán bằng cách thêm biến bù x5 vào vế trái của ràng buộc (1) ⇒ ma trận ràng buộc của bài toán chính tắc có A5 = E1 Vì vậy khi hoàn thiện hóa bài toán ta chỉ thêm 2 biến giả là x6 & x7 với ma trận ràng buộc có A6 = E2 ; A7 = E3 Như vậy khi thay dấu

“=” ở ràng buộc (1) bởi dấu “≤” thì biến giả x5 trở thành biến bù: c5 = 0, khi đó bảng đơn hình số 3 trở thành:

* Ví dụ 1.4.3: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

a- Tìm câu trả lời của bài toán

b- Chứng minh bài toán có vô số phương án tối ưu

c- Tìm phương án tối ưu của bài toán làm cho vế trái của ràng buộc (3) đúng bằng 4, phương án đó có phải phương án cực biên hay không?

Giải : a/ -Chính tắc hóa bài toán

Đặt x5 = x1 + 2x2 - 4x3 - x4 - 2 ≥ 0 ; x6 = 13 + x1 + x2 + 2x3 + x4 ≥ 0

x7 = 12 + x1 + x2 + x3 - x4 ≥ 0, khi đó ta được bài toán chính tắc sau đây:

f(X) = -2x1 - x2 + 6x3 + 4x4 → max

x1 + 2x2 - 4x3 - x4 - x5 = 2 -x1 + x2 + 2x3 + 6x4 + x6 = 13

-x + x + x + 5x +x = 12

Cho x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 0 ⇒ x6 = 13 ; x7 = 12 ; x8 = 2, ta được

)2,12,13,0,0,

b/ ở bảng đơn hình tối ưu trong số các Δk ngoài cơ sở có Δ1 = 0, trên cột một lại có

J

j

zj1 ≤ 0∀ ∈ , theo hệ quả 1.3.2 thì bài toán chính tắc có vô số phương án tối ưu dạng:

08

α20008

α34

α7

α7α

c/ Vì -x1 + x2 + x3 + 5x4 = 4 nên biến bù x7 = 12 – 4 = 8 Cho 8

8

32

X* = với fmax =107.000.000đ

Như vậy phải sản xuất 5000 sản phẩm 1 ; 8000 sản phẩm 2 khi đó sẽ phù hợp với điều kiện về hạn chế nguyên vật liệu đồng thời tổng doanh thu là cao nhất fmax = 107 triệu đồng

Chương II : Lý thuyết đối ngẫu

Đ 2.1 Khái niệm cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

2.1.1 Cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu không đối xứng

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

⎫

→+

++

)X

được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu của bài toán gốc (I) Cặp hai bài toán

đối ngẫu nhau: Bài toán ( )I và bài toán ( )~I được gọi là cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu không đối xứng

* Định nghĩa 2.1.2: Các cặp bất phương trình sau:

n 0 và a y c

x

LLL

được gọi là các cặp điều kiện đối ngẫu

Nếu ký hiệu các ma trận như ở định nghĩa 1.1.10 và ký hiệu thêm Y = (y1, y2, , ym) là

ma trận cấp 1ì m, khi đó cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu không đối xứng trên viết được dưới dạng ma trận sau:

CYA

maxYB

)Y(gΟ

X

BAX

minCX

966

443

13

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

,j,x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

minx

xxx

ư

ư

=

* Giải:

- Bài toán đối ngẫu:

g(Y) = 44y1 + 23y2 + 96y3 → max

Bài toán gốc: (X) c x min

n 1 j j

j →

=∑

= Bài toán đối ngẫu: g(Y) b y max

m i i

i

j i

ijy ca

1

=

≥m

i

j i

ijy ca

1

* Nếu xj không ràng buộc gì về dấu thì ∑

=

=m

i

j i

ijy ca

1

* Nếu ∑

=

=n

j

i j

ijx ba

j

i j

ijx ba

* Nếu ∑

=

≥n

j

i j

ijx ba

i

j i

ijy ca

1

=

≤m

i

j i

ijy ca

1

* Nếu xj không ràng buộc về dấu thì ∑

=

=m

i

j i

ijy ca

1