Phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán giải tích lớp 11 cho học sinh ở nước CHDCND lào

Tuy nhiên, khi bắt tay vào việc giải toán, HS thường gặp không ít những khó khăn và mắc phải những sai lầm dẫn đến những yếu kém nhất định trong kết quả học tập của HS.. Để giúp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Nguời hướng dẫn khoa học: TS Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Tác giả luận văn

Vongsy PHOMMANICHAN

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư

phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Trần Việt Cường

Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng

dẫn của mình, TS Trần Việt Cường, người thầy đã đưa ra đề tài và tận tình

hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Đồng thời tôi xin

trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học,

Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học

sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn

thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các

thành viên trong lớp cao học Toán K21A đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi

trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn

không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận

tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tôi xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Tác giả luận văn

Vongsy PHOMMANICHAN

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv

DANH MỤC BẢNG v

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Cấu trúc của đề tài 3

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Bài tập và chức năng của bài tập toán 4

1.1.1 Bài tập toán 4

1.1.2 Các chức năng của bài tập toán 6

1.2 Một số dạng toán thuộc nội dung Giải tích lớp 11 7

1.2.1 Một số dạng toán về giới hạn 7

1.2.2 Một số dạng toán về đạo hàm 11

1.2.3 Một số dạng toán về nguyên hàm, tích phân 14

1.3 Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của HS khi giải toán 16

1.4 Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS THPT khi giải toán giải tích lớp 11 18

1.4.1 Sai lầm do không hiểu đúng khái niệm 18

1.4.2 Sai lầm do áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc 19

1.4.3 Sai lầm do lập luận thiếu lôgic 23

1.4.4 Sai lầm do cảm nhận trực quan 25

1.4.5 Sai lầm do phân chia các trường hợp riêng 27

1.5 Dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho HS 31

1.5.1 Nội dung chương trình giải tích lớp 11 ở trường phổ thông 31

1.5.2 Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho HS 32

1.5.3 Một số vấn đề lưu ý trong dạy học giải toán giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân 34

1.5.4 Thực trạng giải bài tập nội dung Giải tích lớp 11 của HS 37

1.6 Kết luận chương 1 39

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GIÚP HS THPT PHÒNG TRÁNH VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN GIẢI TÍCH LỚP 11 41

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 41

2.2 Một số biện pháp sư phạm giúp HS THPT phòng tránh và sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải toán giải tích lớp 11 42

2.2.1 Biện pháp 1: Hạn chế và khắc phục những sai lầm thường mắc phải cho HS thông qua phân tích các bài toán có chứa sai lầm 42

2.2.2 Biện pháp 2: Hệ thống hóa các dạng và các phương pháp tìm giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân 47

2.2.3 Biện pháp 3: Tổ chức cho HS phát hiện thực hành quy tắc thuật giải, tựa thuật giải 52

2.3 Kết luận chương 2 59

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 60

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 60

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 60

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 61

3.4 Đánh giá thực nghiệm sư phạm 62

3.4.1 Phân tích định lượng 62

3.4.2 Phân tích định tính 64

3.5 Kết luận chương 3 65

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 PHỤ LỤC

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

CHDCND : Cộng hòa dân chủ nhân dân

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1 Nguyên nhân sai lầm của HS khi học chủ đề giới hạn, đạo hàm,

nguyên hàm và tích phân 38 Bảng 3.1 Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học (Thực hiện

tháng 9 năm 2014) 61 Bảng 3.2 Bảng phân bổ tần số kết quả kiểm tra 45 phút của HS hai lớp 11A4,

11A6 trường THPT Thêt sa ban khoeng 64

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nước Cộng hòa dân chủ nhân dân (CHDCND) Lào đang trong thời kỳ đổi mới, đòi hỏi Ngành Giáo dục và Đào tạo có những bước đi đổi mới về mọi mặt, nhằm đào tạo ra những con người lao động có đủ kiến thức, năng lực sáng tạo, trí tuệ và phẩm chất đạo đức tốt, đáp ứng được yêu cầu nhân lực của đất nước

Môn toán là một trong những môn học quan trọng trong trường phổ thông ở nước CHDCND Lào Nó có tiềm năng to lớn trong việc phát triển năng lực cho học sinh (HS) và rèn luyện trí thông minh, sự sáng tạo, đức tính cần cù kiên nhẫn, cẩn thận của người lao động Ở trường phổ thông, dạy toán

là dạy hoạt động toán học Đối với HS có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của dạy học toán Tuy nhiên, khi bắt tay vào việc giải toán, HS thường gặp không ít những khó khăn và mắc phải những sai lầm dẫn đến những yếu kém nhất định trong kết quả học tập của HS Một trong những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó của HS là giáo viên (GV) chưa chú ý một cách đúng mức trong việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho HS ngay trong các giờ dạy học toán Vì điều đó nên ở HS nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Hơn nữa, bản thân HS sau nhiều lần mắc phải sai lầm trong giải toán thường có tâm lý tự ti, thậm chí chán nản, mất lòng tin và mất hứng thú trong việc học toán

Trong chương trình Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào, nội dung Giải tích gồm các nội dung: Giới hạn, Đạo hàm và Nguyên hàm, tích phân

Để HS hiểu đúng được bản chất và làm được các dạng toán này không phải là điều đơn giản vì đây là các nội dung trừu tượng và tương đối khó ở trường phổ thông Để giúp HS học tốt môn toán nói chung và học tốt nội dung Giải tích ở lớp 11 nói riêng thì việc hiểu đúng bản chất bài toán và làm thành thạo các bài tập là điều rất cần thiết

Xuất phát từ nhu cầu của bản thân trong việc học tập, tự nghiên cứu các vấn đề dạy học, tự rèn luyện và nâng cao kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm

Vì vậy, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài nghiên cứu: Phát hiện và

sửa chữa sai lầm trong giải toán giải tích lớp 11 cho học sinh ở nước CHDCND Lào

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu, phát hiện những sai lầm thường gặp của HS khi giải toán Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào theo phương diện hoạt động giải toán

để giúp HS khắc phục và sửa chữa những sai lầm đó

3 Giả thuyết khoa học

Nếu phát hiện ra được những sai lầm mà HS thường mắc phải và đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm giúp HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm đó trong dạy học nội dung Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào cho HS thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này và qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông nước CHDCND Lào

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của một số nội dung liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu một số sai lầm thường mắc phải của HS nước CHDCND Lào trong giải toán Giải tích lớp 11, xác định nguyên nhân chính dẫn đến những sai lầm đó

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm đã chỉ ra ở trên

- TN sư phạm để kiểm chứng tính khả thi của các biện pháp sư phạm đã

đề xuất

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu về

phương pháp dạy học môn toán, sách giáo khoa, sách GV, sách bài tập, sách tham khảo lớp 11 và một số tài liệu khác liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành dự giờ một số tiết học

thuộc nội dung Giải tích lớp 11, trao đổi với GV dạy toán ở trường trung học phổ thông (THPT) ở nước CHDCND Lào Từ đó, tổng kết những dạng sai lầm HS thường mắc phải và đề xuất một số biện pháp khắc phục

- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của một số chuyên gia về những

sai lầm HS thường mắc phải khi giải toán nội dung Giải tích lớp 11 và hướng khắc phục

- Phương pháp TN sư phạm: Thử nghiệm sử phạm để bước đầu kiểm

nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu

7 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần “Mở đầu” và “Kết luận” nội dung luân văn được trình bày

trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm giúp HS phổ thông phát hiện và sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải toán Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Bài tập và chức năng của bài tập toán

1.1.1 Bài tập toán

Theo Nguyễn Bá Kim [2]: Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của HS Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định như: nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc - phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học Do hoạt động của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học nên vai trò của bài tập toán được thể hiện trên ba bình diện sau:

- Về mặt mục tiêu dạy học: Bài tập toán thể hiện những chức năng khác

nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán như:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng Toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học;

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ;

+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt

nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức

đã học ở phần lý thuyết

- Về mặt Phương pháp dạy học: Bài tập toán học là giá mang những

hoạt động để HS kiến tạo những nội dung kiến thức nhất định và trên cơ sở đó

thực hiện các mục đích dạy học khác Việc người GV khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của HS, cũng như hiệu quả giảng dạy của người GV

Bài tập toán với tư cách là một phương pháp dạy học, giữ một vị trí đặc biệt quan trọng trong việc hoàn thành nhiệm vụ dạy học Toán ở trường phổ thông Việc giải bài tập toán có những tác dụng sau:

- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh động Khi giải quyết bài toán, HS phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải quyết được bài tập Tất cả những thao tác tư duy đó góp phần củng cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho HS;

- Một trong những phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho HS, bồi dưỡng cho HS một phương pháp nghiên cứu khoa học bởi giải bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực của HS Trong khi giải bài tập toán, HS phải phân tích, lập luận từ đó tư duy logic, tư duy sáng tạo của HS được phát triển và năng lực của HS được nâng cao;

- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tế, đời sống từ đó có tác dụng giáo dục cho HS về phẩm chất đạo đức, rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói riêng và học tập nói chung;

- Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS

Qua những điều nói trên, bài tập toán có những tác dụng to lớn về cả giáo dục lẫn giáo dưỡng Vì thế trong giải bài tập toán, mục đích cuối cùng không chỉ là giúp HS tìm ra đáp số của bài toán (tuy rằng điều này rất quan trọng và cần thiết) mà HS nắm vững cách giải bài toán, nắm vững được các kiến thức đã học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận dụng một cách nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc

1.1.2 Các chức năng của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy học là dạy hoạt động toán học cho HS trong

đó giải toán là hoạt động chủ yếu Do vậy, dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng như [2]:

- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

những vấn đề lý thuyết đã học cho HS Qua đó, HS hiểu được sâu sắc hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì lý do nào đó không đưa vào lý thuyết cho nên qua việc giải bài tập HS mở rộng được tầm hiểu biết của mình

- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan

duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của

người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho

HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất

của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS

1.2 Một số dạng toán thuộc nội dung Giải tích lớp 11

b) Dạng 2: Dùng định lí, quy tắc, công thức để tính giới hạn

 Các bài toán áp dụng trực tiếp định lí giới hạn

x x



 

 Các bài toán không áp dụng trực tiếp định lí giới hạn

Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn, chúng ta phải tiến hành biến đổi biểu thức xác định đã cho về dạng áp dụng được định lí Sau đây là một số cách biến đổi thường dùng:

- Đối với dãy số:

+ Nếu biểu thức ở dạng phân thức mà tử và mẫu đều chữa các lũy thừa

của n, thì chia cả tử và mẫu cho n k , với k là số mũ cao nhất

+ Nếu biểu thức đã cho có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân cả tử số

và mẫu số với cùng một biểu thức liên hợp

Chia cả tử và mẫu cho x n với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x (hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử x n rồi giản ước)

+ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức thì ta đưa x k ra

ngoài dấu căn (với k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của x

x

x x

 

b)

4

2lim

x

x I

 Hàm số liên tục tại một điểm

Ví dụ 1.5 Xét tính liên tục của hàm số   2 9

 Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn

Ví dụ 1.6 Xét tính liên tục của hàm số sau trên TXĐ của nó

1lim

Ta thấy f(x) liên tục bên phải của điểm 1

 Sử dụng tính chất liên tục xác định nghiệm của phương trình

Ví dụ 1.7 Xác định nghiệm của phương trình sau trên :

c) Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Ví dụ 1.10 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

yx  x  biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ

Lời giải: Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm Do phương trình tiếp tuyến cần tìm đi qua gốc tọa độ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

d) Dạng 3: Ứng dụng Tích phân

 Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 1.19 Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường

cong c1 sinxvà c2 cosx trong khoảng  0;

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong (c1) và

 Tính thể tích của vật thể

Ví dụ 1.20 Tìm thể tích của hàm số 2

yx khi y0,x2 xoay quanh trục hoành

Lời giải: Theo bài toán ta có 2 2 2 2 4

325

Tuy nhiên, khả năng giải toán của HS vẫn còn hạn chế do mắc những sai lầm dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm Trình độ học toán của HS đến mức độ nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải toán Vai trò của bài tập trong dạy học toán là vô cùng qua trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu

về phương pháp dạy học môn toán lại gắn với việc xây dựng hệ thống bài tập Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P.M Ecđơnnhiev trong [7]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học toán" Tuy nhiên, nói như vậy không có nghĩa là GV tách rời việc dạy học giải toán cho HS với dạy học các khái niệm và định lý toán học Bởi lẽ, một khi HS mắc phải khó khăn, sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó đồng nghĩa với việc HS đó chưa nắm vững hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã học vào thực hành giải toán Do đó, khi phát hiện thấy HS còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải toán thì người GV nên nhấn mạnh lại những điểm cần chú ý trong quá trình dạy học khái niệm và định lý toán học cho HS

Thực tiễn dạy học cho thấy, HS khi giải toán thường mắc phải nhiều kiểu sai lầm khác nhau Từ những sai lầm bình thường về tính toán đến những sai lầm do biến đổi, do suy luận và thậm chí có những kiểu sai lầm rất khó phát hiện Nhìn nhận một cách khách quan, các sai lầm ấy là do chính bản thân người học, nhưng trong đó cũng có một phần trách nhiệm thuộc về người

GV Bởi vì, GV chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa kịp thời các sai lầm cho HS trong các giờ học toán; cũng có trường hợp GV phát hiện sai lầm của HS nhưng chưa làm rõ nguyên nhân, nguồn gốc chính dẫn đến sai lầm đó, hoặc chỉnh sửa một cách qua loa Vì điều này mà

HS không những không khắc phục được sai lầm mà còn tiếp tục mắc sai lầm

Mặt khác, với đa số HS phổ thông, môn toán được xem là một trong những môn học khó Nếu người GV không nghiên cứu, lường trước được những khó khăn và sai lầm mà HS thường gặp khi giải toán thì sau vài lần vấp phải, HS sẽ “sợ” hơn, sẽ mất lòng tin hơn và không còn hứng thú để học toán

Như vậy, có thể khẳng định rằng, việc nghiên cứu những sai lầm của

HS để từ đó lựa chọn ra được những cách thức giảng dạy thích hợp là một việc làm cấp thiết Bởi vì, nếu chúng ta hình dung tốt, lường trước được những sai lầm thì ta sẽ có cách để phòng tránh, ngăn ngừa; còn nếu không thì đôi khi rơi vào tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm” và do đó hạn chế đến chất lượng giáo dục

1.4 Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS THPT khi giải toán giải tích lớp 11

1.4.1 Sai lầm do không hiểu đúng khái niệm

Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới HS hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm HS không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới

Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu

có tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến việc HS giải các bài toán không chính xác

Vì vậy, có thể nói sự “mất gốc” của HS về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về các khái niệm Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn

tới sự nhận thức khái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:

- HS không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và thể hiện khái niệm sai

- Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi suy luận chứng minh)

Ví dụ 1.21 Tìm tập xác định của hàm số sau:

 

D \ 1;1 mà thực chất tập xác định của hàm số này là D    1; 

Ví dụ 1.22 Khái niệm giới hạn của hàm số là một khái niệm khó hiểu

đối với HS (thậm chí là đối với GV) Khi dạy học khái niệm giới hạn, GV không quan tâm tới việc giải thích tập xác định của hàm số có vai trò như thế nào trong tính giới hạn nên khi tính  2 

giới hạn tại x 1 vì biểu thức  2  

1 x x 1 chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x1 Do đó không thể định nghĩa

x 1

limf (x)

 vì không thể lấy bất kì dãy

 xn với xn thuộc tập xác định, xn 1 mà lim xn 1

1.4.2 Sai lầm do áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc

Theo phương hướng đổi mới chương trình và sách giáo khoa thì những nội dung phức tạp đã được giảm tải, giảm bớt những điều có tính chất “hàn

lâm”, giảm bớt những suy luận quá trừu tượng, giảm các phép biến đổi cầu kỳ Do đó, HS chỉ giải toán với những phép biến đổi đơn giản, chủ yếu là áp dụng định lý, các công thức, các quy tắc Tuy nhiên không phải nội dung định

lý nào cũng được HS nắm bắt trọn vẹn Khi giải toán, thường HS trong tư thế rất sẵn sàng vận dụng định lý, công thức, quy tắc vào giả thiết bài toán mà bỏ qua việc xem xét rằng giả thiết đó có thuộc phạm vi áp dụng được định lý, công thức hay không Chính vì thế nhiều khi nhận được kết quả sai nhưng HS vẫn không phát hiện được vì sao mình đã sai

Ví dụ 1.23 Tính giới hạn của dãy số:

- Phân tích sai lầm: Sai lầm mắc phải trong bài toán trên là do HS đã

áp dung sai định lí về các phép toán trên các giới hạn của dãy số Định lí đó chỉ đúng cho các phép toán thực hiện trên một số hữu hạn dãy số có giới hạn Nhưng ở cách giải trên, HS đã áp dụng định lí đó cho tổng vô hạn các dãy số

có giới hạn không Do đó, lời giải của bài toán là không chính xác

Ví dụ 1.25 Tính đạo hàm của hàm số y 5 x3 trên TXĐ của nó

- Một HS giải như sau:

y x  x thì phép biến đổi này chỉ đúng trong trường hợp

x   3 0 x 3, không phải đúng với mọi xR Do đó, lời giải của bài toán là chưa chính xác

- Lời giải đúng:  x R ta có y5 x 3 y5 x 3 xem y là hàm số hợp (theo biến x) Lấy đạo hàm hai vế ta được:

 5   4  

y  x  y y  Trường hợp 1: Nếu y     0 x 3 0 x 3 thì (*) vô nghiệm

Do đó, tại x = 3 hàm số không có đạo hàm

Trường hợp 2: Nếu y  0 x 3 thì ta

có

 4

5

1'

2

t tdt

1.4.3 Sai lầm do lập luận thiếu lôgic

Suy luận là một trong những hình thức của tư duy Suy luận là một quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho

Người ta phân biệt hai kiểu suy luận, đó là suy luận quy nạp và suy

luận diễn dịch Suy luận quy nạp là phép suy luận mà xuất phát từ một hay

nhiều tiền đề đã biết ta rút ra một phán đoán mới bao hàm một tri thức mới

Kết quả của phép suy luận quy nạp chỉ mang tính chất ước đoán Còn suy luận diễn dịch (hay suy diễn) là phép suy luận trong đó tư duy dựa trên một

bộ phận đối tượng để đi đến kết luận chung cho một lớp dối tượng chứa bộ phận đối tượng ban đầu Do vậy, suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, kết quả của phép suy luận này luôn luôn đúng

Một suy luận thường có cấu trúc logic A  B, trong đó A là tiền đề, B

là kết luận Cách thức logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận Ta thường sử dụng những quy tắc sau đây để suy luận:

Ví dụ 1.27 Tính giới hạn của hàm số: I =

x

2

1

1 1lim

x

x x x

- Phân tích sai lầm: Lời giải trên đã chia cả tử và mẫu của phân thức

x

x

x x

 là hàm phân thức hữu tỉ nên f(x)

liên tục trên khoảng 2;

+ Với x2 ta có f x  5 x là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên nên liên tục trên khoảng ;2

Do đó, hàm số liên tục trên

- Phân tích sai lầm: Lời giải trên chưa chính xác vì HS đã lầm tưởng

rằng nếu hàm số liên tục trên ;a và a; thì hàm số liên tục trên Điều này không đúng vì nếu f(x) liên tục trên ;a thì chỉ tồn tại

điều kiện để kết luận hàm số liên tục tại x a nên chưa thể kết luận hàm số liên tục trên

 là hàm phân thức hữu tỉ nên f(x)

liên tục trên khoảng 2;

+ Với x2 ta có f x  5 x là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên nên liên tục trên khoảng ;2

  nên hàm số liên tục tại x2

Vậy hàm số f(x) liên tục trên

1.4.4 Sai lầm do cảm nhận trực quan

Trong cuộc sống cũng như trong toán học, cảm nhận và cảm thụ là rất quan trọng Trực quan giúp cho ta phát hiện vấn đề, có những bài toán nếu ta giải nhiều lần thì sẽ phát hiện ra một số quy luật và lần sau khi gặp lại dạng

toán như vậy nhìn vào ta có thể dự đoán được cách giải hoặc đáp số của bài toán đó Tuy nhiên, trong toán học không chấp nhận việc chứng minh mà không có những lập luận có căn cứ một cách rõ ràng Vì vậy, trực quan chỉ là chỗ dựa khám phá chứ không phải là phép chứng minh Nếu không nhận thức được điều đó nhiều khi ta sẽ đưa ra những kết luận sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan

Ví dụ 1.29 Tính giới hạn của hàm số: I =





- Một HS giải như sau:

e x

- Phân tích sai lầm: Sai lầm trên do cảm nhận trực quan của HS HS

  và nghĩ rằng vai trò của hàm sin và cosin là như nhau

nên kết luận

1.4.5 Sai lầm do phân chia các trường hợp riêng

Phân chia khái niệm là một thao tác thường gặp và trong hoạt động giải toán cũng vậy ta thường xuyên phải xét trường hợp này, xét trường hợp kia Việc xét các trường hợp như vậy có thể gọi chung là phân chia trường hợp

Mặc dù sách giáo khoa hiện nay đã tinh giảm rất nhiều những bài toán

có chứa tham số Tuy nhiên, trong quá trình giải toán ở phổ thông, HS còn phải gặp khá nhiều bài toán liên quan đến hoạt động phân chia trường hợp, đặc biệt là những bài toán có chứa tham số

Nhìn nhận từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quá trình giải toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu cố định nào Do đó, khi thực hiện HS gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để tiến hành phân chia các trường hợp

Trong quá trình giải toán, nhiều khi chúng ta chia ra một số trường hợp,

có thể hầu hết mọi trường hợp đều có thể dễ dàng kết luận được, nhưng bên cạnh đó lại có một trường hợp rất khó Chất lượng của việc giải một bài toán, trong đó có phân chia trường hợp, là không phụ thuộc vào số trường hợp mình đã xét; bởi vì đôi khi chỉ một trường hợp nào đó thôi lại là bước khó nhất của bài toán

- Phân tích sai lầm: Lời giải trên HS đã không xét các giới hạn khi

x - và x + Do đó, lời giải của bài toán là chưa chính xác

của hàm số f(x) tại x = 5

- Một HS giải như sau:

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 5

- Phân tích sai lầm: Trong lời giải trên, HS không để ý ở đây a là tham số

nên mặc định luôn 25a+1 21 Do đó, lời giải của bài toán là chưa chính xác

- Lời giải đúng:

5 5

x x

- Phân tích sai lầm: Trong lời giải trên, bài giải của HS chưa chính xác

vì trường hợp này HS chưa sử dụng hết điều kiện đã cho Do đó, lời giải của

bài toán là chưa chính xác

1.5 Dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho HS

1.5.1 Nội dung chương trình giải tích lớp 11 ở trường phổ thông

Chủ đề Giải tích lớp 11 ở trường phổ thông được trình bài trong 56 tiết với bốn nội dung là: Giới hạn, Đạo hàm, Nguyên hàm và Tích phân

- Chủ đề Giới hạn thuộc chương I, được trình bày trong 18 tiết Đây là một chương mới, trừu tượng và khó, cung cấp cho HS những kiến thức mở đầu về giải tích Chương này gồm 3 bài: Giới hạn của hàm số, giới hạn của hàm số liên tục và hàm số ngược Khái niệm giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số có các khái niệm: Giới hạn là 0, giới hạn là một số thực, giới hạn là +, giới hạn là -, các định lý về giới hạn của hàm số Giới hạn hàm số tại một điểm, tại vô cực, giới hạn một bên của hàm số, giới hạn vô cực Tiếp đó là các khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn, các định lý về giới hạn của hàm số, các quy tắc tìm giới hạn vô cực, một vài tính chất của hàm số liên tục và một số bảng công thức quan trọng

Mục tiêu của chương này là HS nhớ được công thức quan trọng, biết các định nghĩa, các định lí về giới hạn, các quy tắc tìm giới hạn và biết vận dụng chúng để tính giới hạn các hàm số

- Chủ đề đạo hàm, Nguyên hàm thuộc chương II, được trình bài trong

20 tiết Chương này bao gồm 3 bài: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm hợp, đạo hàm cấp n, vi phân

Mục tiêu của chương này là HS nắm được các khái niệm, các quy tắc tính đạo hàm, ứng dụng chúng để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hạm, nắm được ý nghĩa của đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số

- Chủ đề tích phân thuộc chương V, được trình bài trong 18 tiết Chương này bao gồm 4 bài: tích phân của hàm số liên tục, đặc điểm đại số của tích phân, cách tính tích phân và sử dụng tích phân tính diện tích và thể tích