Về các bất đẳng thức dạng hermite hadamard cho hàm lồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCHOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCHOÀNG THỊ QUỲNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN

VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN

VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

1.1 Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi 41.2 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard 81.3 Một số mở rộng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard 121.4 Ứng dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard trong

lồi khả vi bậc nhất 302.1.2 Ứng dụng vào đánh giá các đại lượng trung bình 372.2 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả

vi cấp hai và ứng dụng 412.2.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm

lồi khả vi cấp hai 412.2.2 Ứng dụng vào đánh giá các đại lượng trung bình 46

Mở đầu

Giải tích lồi đã và đang đóng một vị trí quan trọng trong toán học Giảitích lồi liên quan đến rất nhiều ngành của toán học như giải tích, giải tíchhàm, giải tích số, hình học, toán kinh tế, tối ưu phi tuyến, Một kết quảkinh điển trong giải tích lồi là Bất đẳng thức Hermite - Hadamard (H-HInequality) cho hàm lồi, được phát biểu trong Định lý dưới đây

Định lý 0.0.1 (Hermite, 1881, [7], Hadamard, 1893, [6]) Nếu f :R → R

là hàm lồi trên đoạn [a; b] thì ta có

f



a + b2

Định lý 0.0.2 Nếu f : R →R là hàm lồi trên đoạn [a; b] vàg : [a; b] → R

là một hàm không âm, khả tích và đối xứng qua điểm x = a + b

Khi g(x) ≡ 1 thì bất đẳng thức Fejér trở thành bất đẳng thức Hermite

- Hadamard Sau đó, nhiều tác giả đã mở rộng bất đẳng thức Hermite

- Hadamard và bất đẳng thức Fejér Xem, thí dụ, các cuốn sách chuyênkhảo về bất đẳng thức [1], [2] và các tài liệu tham khảo khác

Các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard có nhiều ứng dụng thực

tế, thí dụ, trong các bài toán: đặc trưng hàm lồi, quan hệ giữa các đạilượng trung bình, lí thuyết xấp xỉ,

Mục đích chính của Luận văn là trình bày tổng quan về các bất đẳngthức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi

Luận văn bố cục theo hai chương:

Chương 1: Trình bày một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi, chứngminh các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi một biến,một số mở rộng và ứng dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard.Chương 2: Trình bày chứng minh các bất đẳng thức dạng Hermite -Hadamard cho hàm lồi một biến khả vi (cấp một, cấp hai) trên đoạn [a; b],đồng thời cũng nêu ứng dụng của nó trong đánh giá các giá trị trung bình.Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôi

đã hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình Để có được kết quả này, trướctiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất đếnthầy tôi, PGS TS Tạ Duy Phượng, người đã định hướng nghiên cứu khoahọc và luôn tận tình chỉ dạy cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luậnvăn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô ở trường Đại họcKhoa học, Đại học Thái Nguyên và các thầy cô ở Viện Toán học đã luôntận tình giúp đỡ, theo dõi và động viên cho tôi trong suốt quá trình thựchiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè thân yêu, đồng nghiệp đang công táctại trường THPT Trần Nhật Duật luôn thông cảm, chia sẻ khó khăn vàtạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể học tập, nghiên cứu và hoàn thành

những công việc của mình.

Tôi cũng xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới những người thânyêu trong gia đình đã luôn chia sẻ với tôi những khó khăn trong khi tôithực hiện luận văn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Tác giả

Hoàng Thị Quỳnh Liên

1.1 Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi

Định nghĩa 1.1.1 Tập X ⊆ Rn được gọi là lồi nếu với mọi λ ∈ [0; 1] và

x1 ∈ X, x2 ∈ X ta có xλ := λx1+ (1 − λ)x2 ∈ X Nghĩa là, tập lồi X chứamọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó

Định nghĩa 1.1.2 Hàm f : X ⊆ Rn → R được gọi là hàm lồi nếu X làtập lồi và với mọi λ ∈ [0; 1], x1 ∈ X, x2 ∈ X ta có

f (xλ) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) (1.1)

Định lý 1.1.3 (Theorem 2.1, [5], p 42-43) Hàm thực f (x) xác định trêntập mở (a, b) là lồi nếu và chỉ nếu nó liên tục trên (a, b) và có các đạohàm trái và phải

Chứng minh (i) Cho f (x) là hàm lồi Nếu 0 < s < tvà x + t < b thì điểm

(x + s, f (x + s)) là nằm dưới đoạn thẳng nối (x, f (x)) và (x + t, f (x + t)),bởi vậy

f (x + s) − f (x)

Điều này chỉ ra rằng hàm số t 7→ f (x + t) − f (x)

t là không tăng khi t ↓ 0.

Suy ra nó có một giới hạn f+0 (t) (hữu hạn hoặc bằng −∞) Tương tự,

f−0 (x) tồn tại (hữu hạn hoặc bằng +∞) Hơn nữa, đặt y = x + s, t = s + r,

Cho −s ↑ 0, r ↓ 0ta thu được f−0 (y) ≤ f+0 (y), điều này chứng minh chobất đẳng thức thứ nhất của (1.2) và tính hữu hạn của các đạo hàm này.

Vì tồn tại f−0 (x) nên suy ra

Do đó, f (x) liên tục tại mọi x ∈ (a, b)

Hơn thế nữa, đặt x = x1, y + r = x2 trong (1.4) ta có

g(x) = f (x) − f (c) − (x − c)f (d) − f (c)

Với mọi x = (1 − λ)c + λd, ta có

g(x) = f (x) − f (c) − λ [f (d) − f (c)]

= f (x) − [(1 − λ)f (c) + f (d)]

Để chứng minh tính lồi của f (x) thì ta cần phải chỉ ra rằng g(x) ≤ 0 vớimọi x ∈ [c, d] Giả sử điều ngược lại rằng, giá trị lớn nhất của g(x) trênđoạn [c, d] là dương (giá trị lớn nhất của g(x) tồn tại vì g(x) là hàm sốliên tục trên đoạn [c, d])

Lấy e ∈ [c, d] là điểm mà tại đó hàm số đạt được giá trị cực đại Lưu

ý rằng g(c) = g(d) = 0, (do đó c < e < d), và từ biểu diễn đó, g(x)

có cùng tính chất với hàm f (x), cụ thể là: g−0 (x), g+0 (x) tồn tại với mọi

có g0(x) = 0 với x ∈ [e, y), điều đó chỉ ra rằng g(y) = g(e) > 0 Từ

g(d) = 0, suy ra phải tồn tại y ∈ (e, d] sao cho g−0 (y) > 0 Lấy x1 ∈ [y, d)

là điểm mà tại đó hàm g(x) đạt được giá trị cực đại trên đoạn [y, d] Suy

ra, g0+(x1) ≤ 0 với mọi x ∈ [c, d], như đã được chứng minh ở trên 

Hệ quả 1.1.4 (Corollary 2.1, [3], p 44) Hàm f (x) khả vi trên tập mở

(a, b) là hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm của nó là một hàm không tăng

Hàm sốf là lồi trên X nếu và chỉ nếu với mỗia ∈ X và u ∈ Rn thì hàm

số ϕa,u(t) = f (a + tu) là lồi trên khoảng số thực mở {t | a + tu ∈ X} Với

x = a + tu ∈ X, ta có ϕ0a,u(t) = Du,∂x∂f

i

E Do đó, ϕ00a,u(t) = Du,∂x∂2f

i ∂x juE

= hu, Qxui Mà số ϕa,u(t) = f (a + tu) là lồi trên khoảng số thực mở

{t | a + tu ∈ X} nên theo Hệ quả 1.1.4 thì ϕ00a,u(t) ≥ 0 

Hình 1.1: Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Hermite - Hadamard (1.8), nếu S 1 = (b − a)f a+b2
là diện tích hình chữ nhật ABM N, S = Rb

a

f (t)dt là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm f (x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b,

S2 = (b − a)f (a)+f (b)2 là diện tích hình thang vuông ABCD, thì S1 ≤ S ≤ S2.

Chứng minh Vì tính lồi của f trên [a, b], chúng ta có

Bởi vậy ta nhận được bất đẳng thức thứ 2 của (1.7) từ (1.9).

Do đó bất đẳng thức thứ nhất của (1.7) được chứng minh 

Hệ quả 1.2.2 (Comment (a), [1], p 56-57) Nếu g : [a; b] → R là hàm

khả vi hai lần trên [a; b] và m ≤ g00(t) ≤ M với mọi x ∈ [a; b] thì

do vậy hàm f là lồi trên khoảng (a, b)

Áp dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard cho f ta nhận được

2

= f



a + b2

Như vậy, bất đẳng thức thứ nhất của (1.10) được chứng minh

Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai của (1.10), chúng ta áp dụngcách chứng minh tương tự như với bất đẳng thức thứ nhất cho

h(x) = M

2 x

2 − g(x), x ∈ [a, b]

Hệ quả 1.2.3 (Remark 1, [2], p.2) Bất đẳng thức sau đây đúng với mọihàm lồi f : [a; b] → R

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Hermite

- Hadamard cho hàm lồi f trên các đoạn



a, a + b2

và



a + b

2 , b

, ta có



b − a

Z b

a+b 2

f (x)dx

!

≤ 12



f (a) + f (b) + 2f



a + b2

f (x) − f (t) ≥ λ(x − t) với mọi x ∈ [a, b]

Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức này trên [a, b] theo biến x, ta có:

Z b a

Vậy bất đẳng thức (1.12) đã được chứng minh Giả sử hàm f là khả vi trên (a, b), khi đó bất đẳng thức thứ hai củabất đẳng thức kép Hermit-Hadamard có một số mở rộng như sau.

Định lý 1.3.2 (Dragomir,[1], p 59 ; Theorem 19, [2], p 10) Giả sử

f : R → R là hàm lồi trên đoạn [a; b] với a < b Khi ấy với mọi x ∈ [a; b]

bf (b) − af (a) − x (f (b) − f (a))

Chứng minh Do hàm f là hàm lồi và khả vi trên (a, b) nên ta có

f (t) − f (x) ≥ (t − x)f0(x) với mọi t, x ∈ (a, b)

Lấy tích phân hai vế cho bất đẳng thức này với biến x trên [a, b], ta thuđược

(b − a)f (t) −

Z b a

f (x)dx ≥ t(f (b) − f (a)) −

Z b a

xf0(x)dx (1.14)

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, ta có

Z b a

xf0(x)dx = bf (b) − af (a) −

Z b a

f (x)dx

Khi đó, (1.14) trở thành

(b − a)f (t) − t(f (b) − f (a)) + bf (b) − af (a) ≥ 2

Z b a

f (x)dx

Điều này tương đương với (1.13)

Giả sử f như trên và 0 ≤ a < b ta có bất đẳng thức sau ([1], p 59-60;Corollary 2, [2], p 10)

Định lý sau đây là mở rộng của kết quả trên.

Định lý 1.3.3 (Dragomir and Peace, [1], p 60-61; Theorem 20, [2], p.11-12) Giả sử f : R → R là hàm lồi trên đoạn [a; b] với a < b Giả sử

Chứng minh Do f là hàm lồi và khả vi trên (a, b) nên ta có

f (y) − f (x) ≥ f0(x)(y − x) với mọi x, y ∈ (a, b)

xf (x)dx ≥ xi(f (b) − f (a)) −

Z b a

xf0(x)dx (1.17)

Vì a < b nên b − a > 0, chia cả hai vế của bất đẳng thức (1.17) cho b − a

ta có

f (xi) − 1

b − a

Z b a

Bất đẳng thức (1.18) khá nổi tiếng tiếng trong nhiều tài liệu, nó được gọi

là bất đẳng thức Lah-Ribaric ([2, p 9]) Cộng cả hai vế của bất đẳng thức(1.18) với

Suy ra, bất đẳng thức (1.16) đã được chứng minh 

Hệ quả 1.3.4 ([1], p 61; Corrollary 3, [2], p 12]) Với các giả thiết ở trên

về hàm f về a, b và nếu x ∈ [a; b] thì

f (x)

12

bf (b) − af (a) − x [f (b) − f (a)]

Chứng minh Lập luận tương tự như Định lý 1.3.3 và chọn xi = t,

Ứng dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard vào các giá trịtrung bình

Trước tiên ta nhắc lại một số kí hiệu ([1], p 62-63):

(3) Trung bình điều hòa:

H = H(a, b) := 2

1

a +

1b, a, b > 0;

Các giá trị trung bình trên thường được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khácnhau của toán học Ta đã biết quan hệ sau đây giữa các giá trị trung bình:

H ≤ G ≤ L ≤ I ≤ A

và Lp là hàm không giảm theo p ∈ R với L0 và L−1 = L

Ta bắt đầu từ một kết quả sau

Mệnh đề 1.3.8 ([1], p 63; Proposition 1, [2], p 13) Giả sử p ∈ (−∞, 0)∪[1, ∞) \ {−1} và [a, b] ⊂ (0, ∞) Khi đó ta có bất đẳng thức

Lpp− tp

Chứng minh Xét ánh xạ f : [a, b] −→ [a, +∞) , f (x) = xp, với p thỏamãn

xpdx = Lpp(a, b) = Lpp

Suy ra, ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh (1.20) 

Sử dụng bất đẳng thức (1.20), ta có các bất đẳng thức sau đây cho cácgiá trị trung bình ([1], p 63; Remark 7, [2], p 13-14])

đúng với mọi t ∈ [a; b].

Ta cũng có các bất đẳng thức sau đây cho các giá trị trung bình ([1],

với mọi t ∈ [a; b].

Trường hợp riêng, với p ≥ 1 ta có ([1], p 65; Remark 10, [2], p 15):

0 ≤ 12

G2 − H2

Từ bất đẳng thức (1.13) ta cũng có ([1], p 66-67; Proposition 6, [2], p.16): Nếu 0 < a < b thì bất đẳng thức

L − t

L ≤ ln I − ln t

đúng với mọi t ∈ [a; b]

Các trường hợp riêng ([1], p 67; Remark 12, [2], p 17):

Trường hợp riêng, ([1], p 68; Remark 13, [2], p 17) Nếu trong bất đẳngthức trên chọn xi = t ∈ [a, b] , i = 1, , n thì ta có

Chứng minh Nếu ta chọn trong Định lý 1.3.3, f (x) = 1

x, x ∈ [a, b], ta có:

1

b − a

Z b a

b − a − An(x, p)

1

b − 1 a

Do đó,

1L(a, b) ≤

Trường hợp riêng, ([1], p 69; Remark 14, [2], p 18) Nếu trong bất đẳngthức trên chọn xi = t ∈ [a, b] , i = 1, , n thì ta có

ln I (a, b) − ln G (p, x) ≥ L (a, b) − An(x, p)

L (a, b)

≥ ln G2(a, b) − ln I (a, b) − ln Gn(p, x) , (1.22)trong đó, Gn(p, x) là trung bình nhân có trọng (weighted geometric mean),



L(a, b) − An(x, p)L(a, b)



1.4 Ứng dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard

trong toán sơ cấp

Trong chương trình toán sơ cấp bất đẳng thức Hermite - Hadamardđược sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức kép.Dưới đây chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa việc áp dụng bấtđẳng thức này



Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard cho hàm lồi f (x) tađược





2

≤ 12

Ví dụ 1.4.3 Cho p, q > 0, f là hàm lồi trên I ⊃ [a, b], v = pa + qb

Chương 2

Bất đẳng thức dạng Hermite

-Hadamard cho hàm lồi khả vi

Nếu hàm f không chỉ lồi, mà còn khả vi (cấp một, cấp hai, ) trên đoạn

[a; b] thì ta có những phát biểu tinh tế hơn cho bất đẳng thức Hermite Hadamard, trong đó tham gia đạo hàm các cấp Dựa trên cuốn sách [2],trang 29-53 và một số tài liệu khác, Chương 2 trình bày chứng minh cácbất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi một biến khả vi (cấpmột, cấp hai) trên đoạn [a; b] đồng thời cũng nêu ứng dụng của nó trongđánh giá các giá trị trung bình

-2.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho

hàm lồi khả vi bậc nhất và ứng dụng

khả vi bậc nhất

Nhận xét 2.1.1 ([2], p 29) Giả sử f :⊆ R → R là hàm khả vi trên I◦,cho a, b ∈ I◦ với a < b Nếu f0 ∈ L1[a; b] thì ta có đẳng thức:

Định lý 2.1.2 (Theorem 24, [2], p 29) Nếu f là hàm khả vi trên I◦và

ϕ(x)dx ≥ ϕ



a + b2

Định lý 2.1.4 (Theorem 25, [2], p 30-31) Giả sử f : [a; b] ⊂ R → R là

hàm lồi khả vi trên [a; b] Khi ấy ta có

x − a + b

2

| x−a + b

2 || f0(x) | dx−

Z b a

| x−a + b

2 | dx

Z b a

| f0(x) | dx

¯

B := (b − a)

Z b a

| x − a + b

2 | f0(x)dx −

Z b a

| x − a + b

2 | dx

Z b a

| f0(x) | dx

VớiA, B, C như đã cho ở trên, theo Bất đẳng thức (2.2) ta thu được (2.4).

Định lý 2.1.5 (Theorem 26, [2], p 32) Giả sử f : [a; b] ⊂ R → R là

hàm khả vi trên [a; b] và p > 1 Nếu |f0| là q− khả tích trên [a; b], trong

≤ 12

(2.9)

Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức H¨older với p > 1 và q > 1 thỏa mãn

x − a + b

2

... đó, bất đẳng thức (2.9) suy việc sử dụng tính đồng

Hệ 2.1.6 (Corollary 9, [2], p 32) Nếu thêm giả thiết hàm f lồitrên [a; b], vào điều kiện Định lý 2.1.5, ta có bất đẳng thứcngược chiều bất. .. 1)1p

Vậy bất đẳng thức (2.16) chứng minh Mệnh đề 2.1.14 (Proposition 13, [2], p 36) Cho p > < a < b.Khi đó, ta có bất đẳng thức

0 ≤ H−1(a,... p

Mệnh đề bất đẳng thức chứa giá trị trung bình I(a, b).Mệnh đề 2.1.15 (Proposition 14, [2], p 37) Cho p > < a < b.Khi đó, ta có bất đẳng thức

1 ≤ I(a, b)G(a,