[THCS-TOÁN 6] Chứng minh các bài toán chia hết

Tách thành các số nguyên tố cùng nhau rồi áp dụng.. Có thể tổng quát với nhiều số.. i Tích của n số nguyển dương liên tiếp luôn chia hết cho n!. 4 Phương pháp giải: + Phương pháp phân tí

Chứng minh các bài toán chia hết, chia có dư I/ Lý thyết

1/ Khái niệm:

Với a; b ∈ Ζ; b ≠ 0 luôn tồn tại mọi số q và r: a=b.q+r trong đó q; r ∈ Ζ, <

+ Nếu r = 0 ⟺ a ⋮ b (a chia hết cho b – a là bội của b (a ∈ Β (b)) hay b | a (b chia

hết a – b là ước của a (b ∈ Ư (a)) Khi đó, phép chia a cho b gọi là phép chia hết.

+ Nếu r ≠ 0 ⟺ a b (a không chia hết cho b) Khi đó, phép chia a cho b là phép chia có

dư.

2/ Dấu hiệu chia hết:

a) Sử dụng chữ số tận cùng: số chia là lũy thừa của 2 và 5 2 hoặc 5 lũy thừa n thì ta xét

số được tạo từ n chữ số tận cùng (các bạn tự chứng minh)

b) Sử dụng tổng các chữ số: số chia là 3, 9 (ví dụ 2), 11 (các bạn tự chứng minh)

c) Sử dụng tích hợp: Số chia là hợp số Tách thành các số nguyên tố cùng nhau rồi áp dụng (Hệ quả của ý f) mục 3)

3/ Tính chất chia hết: Với a; b; c; m; n; p; q ∈ Ζ

a) 0 ⋮ a (a ≠ 0); a ⋮ ±a (a ≠ 0), a ⋮ ±1

b) a ⋮ b và b ⋮ c ⇒ a ⋮ c (bắc cầu)

c) Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì pa ± qb ⋮ m Có thể tổng quát với nhiều số

d) Nếu a ⋮ (m.n) thì a ⋮ m và a ⋮ n (m; n ≠ 0)

e) Nếu a ⋮ m; b ⋮ n thì ab ⋮ mn Hệ quả: Nếu a ⋮ m thì (m; n ≠ 0)

f) Nếu a ⋮ m, a ⋮ n và (m,n)=1 thì a ⋮ (mn) (m; n ≠ 0)

g) Nếu ab ⋮ m và (b,m)=1 thì a ⋮ m (b; m ≠ 0)

h) Nếu ab ⋮ p (p là số nguyên tố) thì hoặc a ⋮ p hoặc b ⋮ p

i) Tích của n số nguyển dương liên tiếp luôn chia hết cho n!

4) Phương pháp giải:

+ Phương pháp phân tích thành thừa số

+ Dùng các dấu hiệu

+ Dùng các tính chất

+ Phương pháp quy nạp toán học

+ Phương pháp sử dụng đồng dư thức (có chuyên đề riêng)

+ Phương pháp xét tập hợp số dư

II/ Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n là tự nhiên lẻ thì: A=

PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý:

+ Phương pháp quy nạp toán học

+ Phương pháp phân tích thành nhân tử

*Kiến thức vận dụng: Ý e), i) mục 3

GIẢI: (Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử)

Vì n lẻ, đặt n = 2k + 1 với k ∈ Ν

Ta có: A = = =

= Thay n = 2k + 1

Khi đó, A = =

=

Mà k, k+1, k+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên ⋮ 6

⇒ A ⋮ (8.6) hay A ⋮ 48 (đpcm)

Ví dụ 2: Giả sử S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a Chứng minh rằng:

a) a – S(a) ⋮ 9 (chứng minh lý thuyết)

b) Nếu S(a) = S(2a) thì a ⋮ 9 Điều lại có đúng không?

PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý:

+ Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9 và đặc biệt lưu ý: Số a và tổng các chữ số của a có cùng số dư khi chia cho 9

+Ý mục 3: Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì pa ± qb ⋮ m

GIẢI:

a) Đặt a = =

Khi đó, S(a) =

⇒ a – S(a) =

Vì ⋮ 9 ⇒ a – S(a) ⋮ 9 (đpcm)

b) S(a) = S(2a) ⇒ a = ⇒ a ⋮ 9 (đpcm)

Ví dụ: a = 18 → S(a) = 9 và 2a = 36 → S(2a) = 9

NHƯNG a = 432 ⋮ 9 → S(a) = 9 và 2a = 864 → S(2a) = 18

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (với a, b ∈ Ν*)

a)

b) với n chẵn

PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý:

+ Sử dụng phương pháp quy nạp toán học gồm 3 bước:

*Ta cần giải bài toán chứng minh mệnh đề P(n) đúng với ∀n ∈ Ν*.

* Phương pháp:

Bước 1: Chỉ ra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Với ∀k ∈ Ν*, nếu mệnh đề đúng với n = k thì ta sẽ chứng minh mệnh đề

P(n) đúng với n = k + 1.

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với ∀n ∈ Ν*

* Kiến thức vận dụng:

- Ý c) mục 3: Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì pa ± qb ⋮ m

- Kỹ thuật thêm bớt hạng tử

+ Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử

* Kiến thức vận dụng:

GIẢI: (Sử dụng phương pháp quy nạp toán học)

a) Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề (1)

Bước 1: Với n = 1, ta có: ⇒ (1) đúng với n = 1

Bước 2: Với ∀k ∈ Ν*, giả sử (1) đúng với n = k: (2)

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có: = =

Theo (2) ta có: ⇒

Bước 3: Kết luận: Vậy với ∀n ∈ Ν*

*Lưu ý: Khi trình bày không cần nêu rõ các bước.

b) Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề (3) với n chẵn Với n = 2, ta có:

⇒ (3) đúng với n = 2

Với ∀k ∈ Ν*, giả sử (2) đúng với n = k: (4)

Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 2

Ta có:

Theo (4) ta có: ⇒

Vậy với n là số tự nhiên chẵn

GIẢI: (Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử) a) Đặt A =

Ta có:

Mà A ∈ Ν ⇒

b) Đặt n là 2k (k ∈ Ν) vì n chẵn

⇒ (c/m a)

mà p ∈ Ν

⇒ với n là số tự nhiên chẵn

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với n ∈ N và n chẵn thì: A =

PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý:

+Kiến thức:

*

* với n chẵn

* Ý f) mục 3: Nếu a ⋮ m, a ⋮ n và (m,n)=1 thì a ⋮ (mn) (m; n ≠ 0)

GIẢI:

+) 323 = 17.19

Ta có:

Vì (17,19)=1 nên A ⋮ (17.19) ⇒ A ⋮ 323

III/ Bài tập vận dụng:

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

-Bài 4: Cho n là số tự nhiên

Bài 5: (trích)

Bài 6: (trích)

Bài 7: (trích)

Bài 8: Cho 3 số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: CMR: abc ⋮ 60

Bài 9: a, b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp CMR (a-1)(b-1) ⋮ 192

Bài 10: Chứng minh rằng lập phương của tổng các số nguyên dương từ 1 đến n sẽ chia hết cho tổng các bình phương của n số nguyên dương đầu tiên