Về nghiệm ổn định của một lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘINGUYỄN THỊ THÙY LINH VỀ NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 06 -

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

VỀ NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA

TUYẾN TÍNH CÓ TRỌNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 06 - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

VỀ NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA

TUYẾN TÍNH CÓ TRỌNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Dương Anh Tuấn

HÀ NỘI, 06 - 2017

Mục lục

1.1 Một số bất đẳng thức quan trọng 7

1.1.1 Bất đẳng thức H¨older 7

1.1.2 Bất đẳng thức Hardy 10

1.2 Nghiệm ổn định 12

1.2.1 Định nghĩa nghiệm ổn định 12

1.2.2 Ví dụ về nghiệm ổn định 16

2 Định lí kiểu Liouville cho nghiệm ổn định của phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng 22 2.1 Kết quả chính 23

2.2 Chứng minh các kết quả chính 26

2.2.1 Chứng minh Định lí 2.1.1 26

2.2.2 Chứng minh Định lí 2.1.2 36

2.2.3 Chứng minh Hệ quả 2.1.1 39

2.2.4 Chứng minh Hệ quả 2.1.2 40

2.2.5 Chứng minh Định lí 2.1.3 41

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũngnhư trong quá trình hoàn thành luận văn này

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS DươngAnh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trìnhlàm luận văn để luận văn được hoàn thành đúng thời hạn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, vàcác bạn trong nhóm Giải tích đã có rất nhiều giúp đỡ và góp ý cho tôitrong quá trình học tập cũng như làm luận văn

Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Thùy Linh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan bản luận án này là kết quả nghiên cứu của cá nhântôi Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận án là trung thực.Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã đượccông bố trước đó

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình

Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Thùy Linh

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học luôn có một vai trò đặc biệt quan trọng trong cuộc sống Làmột ngành khoa học phát triển đặc thù về tư duy, toán học đã manglại cho cuộc sống chúng ta nhiều ứng dụng thực tiễn hữu ích, làm nềntảng cho sự phát triển của các ngành khoa học khác Phương trình viphân là một chuyên ngành quan trọng của Toán học và có nhiều ứngdụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ, nó được coi như cầu nốigiữa lí thuyết và ứng dụng Vì vậy Phương trình vi phân là một chuyênngành được phát triển rộng rãi ở trong và ngoài nước

Xét phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính trong RN

−div(ω1∇u) = ω2f (u), (1)trong đó f (u) có dạng eu, up với p > 1 và −u−p với p > 0

Trong trường hợp ω1 = constant, các kết quả về sự tồn tại và khôngtồn tại nghiệm của phương trình (1) đã được nghiên cứu tương đối đầy

đủ trong những năm gần đây Tuy nhiên trường hợp ω1 6= constant, kếtquả định tính cho phương trình (1) vẫn còn tương đối ít

Dựa trên các nghiên cứu gần đây của C.Cowan và M.Fazly "On stableentire solutions of semi-linear elliptic equations with weights, Proceed-ings of AMS 2012", chúng tôi chọn đề tài "Về nghiệm ổn định của mộtlớp phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng"

2 Mục đích nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu khái niệm nghiệm ổn định củaphương trình đạo hàm riêng elliptic và quan tâm đến sự tồn tại haykhông tồn tại tính ổn định của nghiệm dưới - nghiệm trên của phương

trình (1), trong RN với ω1(x), ω2(x) dương, trơn và có trọng Chúng taxét các trường hợp f (u) = eu, up trong đó p > 1 và −u−p với p > 0 Tathu được các kết quả khác nhau phụ thuộc vào số chiều N, p và cáchđưa ω1, ω2 gần vô cùng Hơn nữa hàm ω1 đơn điệu được nâng lũy thừatrong một vài kết quả Chúng ta kiểm tra tính ổn định của nghiệm trên -nghiệm dưới trong các trường hợp cụ thể của trọng ω1(x) = | x |2 +1

α 2

và ω2(x) = | x |2 +1

β

2 g(x), trong đó g(x) là một hàm dương và có giớihạn hữu hạn tại vô cùng

3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu được sử dụng là phương pháp được đưa ra bởi

A Farina kết hợp với bất đẳng thức Hardy có trọng

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 2 chương với nội dung:

1 Chương 1: (Kiến thức chuẩn bị) trình bày một số bất đẳng thứcquan trọng, khái niệm và một số ví dụ nghiệm ổn định của phươngtrình elliptic nửa tuyến tính

2 Chương 2: (Định lí kiểu Liouville cho nghiệm ổn định của phươngtrình elliptic nửa tuyến tính có trọng) đây là nội dung chính của luậnvăn Trình bày sự tồn tại hay không tồn tại tính ổn định nghiệmtrên - nghiệm dưới của một lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính

có trọng

Do thời gian và năng lực có hạn nên luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế và thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến củacác thầy cô và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Thùy Linh

1.1.1 Bất đẳng thức H¨older

Bổ đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Young) Giả sử (p, q) là một cặp số mũliên hợp, tức là 1p + 1q = 1 với p > 1, q > 1 Khi đó với mọi a, b > 0 taluôn có

Chứng minh Bổ đề hiển nhiên đúng nếu a = 0 hoặc b = 0 Trong trườnghợp còn lại, giả sử a, b > 0, xét hàm số

q.

Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức H¨older) Giả sử p, q > 1 sao cho 1p+1q =

1 Khi đó với mọi f ∈ Lp(X), g ∈ Lq(X), (X ⊂ RN), ta có

1 Nếu một trong hai tích phân R

X

|f (x)|pdx hoặc R

X

| g(x) |q dx bằngkhông thì (1.2) đúng Thật vậy, giả sử



Z

a = |f (x)|

R

X

| f (x) |p dx

R

X

| g(x) |q dx

1q

≤ 1p

| f (x) |R

X

| f (x) |p dx +

1q

| g(x) |R

X

| g(x) |q dx.(1.3)Lấy tích phân hai vế ta có

R

X

|f (x)g(x)| dx

R

X

|f (x)|pdx

1p

R

X

|g(x)|qdx

1q!q

|g(x)|qdx

1q

≤ 1p

R

X

|f (x)|pdxR

X

|f (x)|pdx +

1q

R

X

|g(x)|qdxR

|f (x)|

R

X

|f (x)|pdx

1p = |g(x)|

R

1.1.2 Bất đẳng thức Hardy

Bổ đề 1.1.2 (Bất đẳng thức Hardy trong trường hợp có trọng)

Giả sử E > 0 là một hàm trơn, khi đó ta có

Z

E2τ |∇φ|2,(1.4)

∀φ ∈ Cc∞(Rn) và 0 6= τ < 12, τ ∈ R

Chứng minh Ta có

 1

2 − τ

 Z(−∆E)E2τ −1φ2

φ2

Chứng minh Áp dụng Bổ đề 1.1.2 với E = 1+ | x |2 và τ = α4 ta có

Z

(1+ | x |2)α2 |∇φ|2 ≥  α

4 − 12

2Z

4 |x|2(1 + |x|2)α2 −2φ2

+ 1

2 − α4

 Z(−2N )(1 + |x|2)α2 −2φ2

α

2 − 1

Z

N (1 + |x|2)α2 −1φ2 (1.6)Thay −1 bằng t trong bất đẳng thức trên ta được

(1.7)Như vậy ta có được bất đẳng thức cần chứng minh

EΩ(u) = 1

2Z

với u ∈ X, ở đây F : R → R là hàm cho trước thuộc lớp C2 Cố định

u ∈ X, chúng ta xét hàm E : R → R được định nghĩa với bởi

E(t) = EΩ(u + tϕ), t ∈ R (1.9)Khi nào 0 là điểm tới hạn ổn định của E? Ta xét

F (u + tϕ) − F (u)

t

≤ kf kL∞ ([−a,a]), ở đây f = F0

và chú ý rằng kukL2 (Ω) =

R

Ω

|u|pdx

1/2

.Bởi Định lý hội tụ bị chặn, chúng ta có thể lấy giới hạn khi t → 0 :

Nếu u thuộc X và phương trình trên đúng với ϕ ∈ X tùy ý, khi đó chúng

ta có thể kết luận rằng u là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng nửatuyến tính (PDE), được biết đến là phương trình Euler-Lagrange chophiếm hàm (1.8):

(

−∆u = f (u) trong Ω,

Nó là đúng trong trường hợp đặc biệt u là điểm tới hạn của EΩ, nghĩa

là nếu EΩ khả vi tại u và lấy đạo hàm Fréchet của nó DEΩ(u) = 0.Chú ý 1.2.2 Ta có EΩ định nghĩa bởi (1.8) là khả vi trong X và vớimọi u ∈ X, đạo hàm Fréchet của E tại u được cho bởi

Như vậy ta có Mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.2.1 Cho Ω là một miền biên trơn của RN, N ≥ 1 Cho

f : R → R là một hàm số thuộc lớp C1 và F là một nguyên hàm của f Cho

X = C02(Ω) = u ∈ C2

0(Ω) : u(x) = 0 với mọi x ∈ ∂Ω được trang bị chuẩn thông thường k.kC2 (Ω) Cho E : X → R định nghĩabởi (1.8) Khi đó, u ∈ C2(Ω) là một nghiệm của (1.10) nếu và chỉ nếu

u là điểm tới hạn của EΩ

Nghiệm nào được gọi là ổn định? Để tìm ra, chúng ta tính E00(0)

E0(t) − E0(0)

E0(t)t

= DEΩ(u + tϕ).ϕ

t

= 1tZ

Ta có định nghĩa tính ổn định như sau

Định nghĩa 1.2.3 Cho f ∈ C1(R) và Ω kí hiệu là một tập mở của

• Dạng bậc hai Qu được gọi là sự thay đạo hàm cấp hai của EΩ

• u là ổn định trong Ω nếu và chỉ nếu mọi miền con ω ⊂⊂ Ω Đặc biệt,khái niệm của sự ổn định cũng đúng với miền không bị chặn và/hoặcmiền Ω không trơn

• Tuy nhiên, nếu u là ổn định trong hai miền ω1, ω2 thì u không cần ổnđịnh trong ω1 ∪ ω2

• Nếu Ω là bị chặn hoặc nếu chỉ f0(u)− là bị chặn trong Ω thì có thể đưa

ra ϕ ∈ H01(Ω) trong định nghĩa ở trên

u ∈ X là một cực tiểu địa phương của EΩ nếu tồn tại t0 > 0 sao cho

EΩ(u) ≤ EΩ(u + ϕ) với mọi ϕ ∈ Cc1(Ω) sao cho kϕk < t0

Ví dụ 1.2.1 Cực tiểu địa phương của hàm liên tục E : R → R là ổnđịnh

Thật vậy, giả sử u là điểm cực tiểu địa phương của EΩ định nghĩa bởi(1.8) Khi đó 0 là một điểm cực tiểu địa phương của E định nghĩa bởi(1.9) Suy ra

 E0(0) = 0,

E00(0) ≥ 0

Vậy u là nghiệm ổn định của (1.10)

Định nghĩa 1.2.5 Cho X là một không gian Bannach chứa trong Cc1(Ω)

và EΩ : X → R là một hàm số Khi đó u ∈ X là một cực tiểu địa phươngmột phía của EΩ nếu tồn tại t0 > 0 và ε ∈ {−1, 1} sao cho

EΩ(u) ≤ EΩ(u + εϕ) với mọi ϕ ∈ Cc1(Ω) sao cho ϕ > 0 và kϕk < t0

Ví dụ 1.2.2 Điểm tới hạn làm cho E đạt cực tiểu từ một phía là ổnđịnh

Thật vậy, giả sử rằng u vừa là điểm tới hạn và vừa là điểm cực tiểu mộtphía của EΩ định nghĩa bởi (1.8) và ε = +1 Khi đó, cho ϕ ≥ 0, 0 làmột điểm cực tiểu địa phương của E|[0,t0), ở đây E được định nghĩa bởi(1.9) Suy ra E0(0) = 0, E00(0) ≥ 0 và (1.12) đúng với ϕ ≥ 0 Bây giờ tachọn hàm tùy ý ϕ ∈ Cc1(Ω) và tách nó thành các phần dương và phầnâm: ϕ = ϕ+− ϕ− Với Ω bị chặn, (1.12) đúng cho các phần ϕ+, ϕ− Khiđó

Qu(ϕ) = Qu(ϕ+) + Qu(ϕ−) ≥ 0 và như vậy u là ổn định

được gọi là nghiệm trên của (1.10).

Mệnh đề 1.2.2 Giả sử rằng nghiệm dưới và nghiệm trên đều tồn tại

và có: u ≤ u trong Ω Bởi nguyên lý cực trị mạnh ta có bất đẳng thức làngặt:

f (u(x)) nếu u < u(x),

f (u) nếu u(x) ≤ u ≤ u(x),

f (u(x)) nếu u > u(x)

Khi đó, EΩ bị chặn dưới Tồn tại dãy cực tiểu (un) của Eb Đặt a =min( ¯Ω) và b = max( ¯Ω)u, tồn tại các hằng số C¯ 1, C2, C3 > 0 sao cho

12Z

Chứng minh bất đẳng thức trước cho k ∇un kL2 (Ω), suy ra un bịchặn trên H01(Ω) Nó kéo theo một dãy con (ukn) hội tụ đến một hàm

u ∈ H01(Ω), hội tụ yếu trong H01(Ω), hội tụ mạnh trong L2(Ω) và hội tụhầu khắp nơi trong Ω

Bởi (1.14) và (1.16), u là một nghiệm của (1.10).

Cho u2 là một nghiệm trên khác của (1.10) sao cho u2 ≥ u Địnhnghĩa hàm cắt g2 của g bởi

Từ trên, ta có thể xây dựng một nghiệm u2 của (1.16), thỏa mãn u ≤

u2 ≤ u2 Dễ thấy rằng u2 là nghiệm của (1.10) và u2 ≤ u

Sau đó, lấy hữu hạn họ của các nghiệm trên i = {u, u2, , un} sao cho uk ≥

u với k = 2, , n Cho I là tập của tất cả các họ như vậy (sắp thứ tựbởi quan hệ bao hàm) Lặp lại quy trình phương pháp chặt cụt quynạp, chúng ta tìm được một nghiệm ui của (1.10) sao cho u ≤ ui ≤

u, u2, , un, i ∈ I Chúng ta có thể xây dựng định nghĩa dãy tổng quát(ui)i∈I, chứa trong tập K của tất cả các nghiệm u thỏa mãn u ≤ u ≤ u.Bởi ước lượng elliptic thông thường, K là một tập compact thuộc C2(Ω)nên tồn tại một dãy con suy rộng (uφ(j))j∈J hội tụ đến một nghiệm ucủa (1.10)

Bây giờ, kiểm tra nghiệm trên tùy ý ν ≥ u và cho i1 := {ν, u} ∈ I.Đưa ra , cho j0 ∈ J sao cho j > j0 =⇒k uφ(j)− u k∞< 

minh ý 1 của Bổ đề Từ đó, mỗi ui đạt cực tiểu toàn cục của phươngpháp chặt cụt năng lượng, uφ(j), j > j1 nhỏ nhất EΩ trong số tất cả cáchàm số ν ∈ C2(Ω) sao cho u ≤ ν ≤ ν Lấy giới hạn, ta có u.

Từ Bổ đề trên ta có ví dụ sau

Ví dụ 1.2.3 Nghiệm cực tiểu là ổn định Để thấy điều này, ta giả sử u

là nghiệm cực tiểu tương ứng của u, bởi nguyên lý cực trị mạnh suy rahoặc u ∈ {u, u} hoặc u < u < u Giả sử u = u (các trường hợp khác

có thể làm tương tự) Khi đó, bởi (1.13), cho ϕ ∈ Cc1(Ω), ϕ ≥ 0, tồntại t0 > 0 sao cho u ≤ u + tϕ ≤ u với 0 ≤ t < t0

Từ ý hai của Bổ đề trêm, ta kết luận rằng 0 là một điểm cực tiểu củaE|[0,t0) Vì u là nghiệm của (1.10), ta có E0(0) = 0 Do đó E00(0) ≥ 0

và (1.12) đúng với ϕ ≥ 0 Phân tích hàm số ϕ tùy ý thành phần âm vàphần dương như trong Chú ý (1.2.2), chúng ta kết luận u là ổn định.Xét phương trình trong RN có dạng

−div(ω1(x)∇u) = ω2(x)f (u), (1.17)trong đó f (u) là một trong những hàm không tuyến tính sau: eu, up với

p > 1 và −u−p với p > 0 Giả sử ω1(x) và ω2(x) có trọng, dương, trơn(ta cho ω2 = 0 tại một điểm) và thỏa mãn các điều kiện tăng trưởng tại

Ta chú ý rằng (1.17) có thể được viết lại như sau

−∆u + ∇γ(x).∇u = ω2/ω1f (u),trong RN, trong đó γ = −log(ω1), và do đó ta có chú ý sau

Chú ý 1.2.4 Nếu ω1 đủ điều kiện khả tích, khi đó nếu u là một nghiệm

ổn định của (1.17) thì ta có R ω2f0(u) = 0 (giả sử f là hàm tăng)

Để thấy điều này, ta lấy 0 ≤ ψ ≤ 1 bị giới hạn trong một hình cầubán kính 2R, tâm tại gốc (B2R) với ψ = 1 trên BRN và | ∇ψ |≤ CR trong

đó C > 0 không phụ thuộc vào R (độc lập với R)

Thay ψ vào (1.18) ta được

và do đó nếu vế phải dần đến 0 khi R → ∞ thì ta có kết quả mong muốn

Sự tồn tại hay không tồn tại nghiệm ổn định của −∆u = f (u) trong

RN hay −∆u = g(x)f (u) trong RN ngày nay được hiểu khá rõ, thamkhảo trong [5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13] Chú ý rằng trong số các kết quả

ta đang kiểm tra trong các trường hợp khi ∆ được thay thế bởi ∆p(p-Laplacian), và cũng có nhiều trường hợp tác giả quan tâm tính hữuhạn chỉ số Morse các nghiệm hoặc các nghiệm ổn định ngoài một tậpcompact Phần lớn sự quan tâm của các dạng định lí Liouville bắt nguồn

từ thực tế rằng việc không tồn tại của một nghiệm ổn định là liên quantới sự tồn tại của một đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm ổn định củamột phương trình liên quan trên một miền bị chặn

Trong [14] phương trình tương đương −∆u =| x |α up được kiểm tratrên hình cầu đơn vị trong RN với điều kiện biên Dirichlet 0 Nó chỉ rarằng với α > 0 ta có thể thu được nghiệm dương với p trên tới hạn đốivới phép nhúng Sobolev và do đó ta có thể thấy rằng số hạng | x |α đượckhôi phục một số tính compact Một đặc điểm tương tự xảy ra đối vớiphương trình có dạng

−∆u =| x |α f (u)trong RN, giá trị của α có thể làm thay đổi lớn sự tồn tại hay không tồntại của một nghiệm ổn định, tham khảo trong [7, 8, 9, 10]

Chương 2

Định lí kiểu Liouville cho nghiệm

ổn định của phương trình elliptic

Nhắc lại rằng u ∈ C2(RN) được gọi là nghiệm trên của (2.1) nếu

−div(ω1(x)∇u) ≥ ω2(x)f (u)

và u ∈ C2(RN) được gọi là nghiệm dưới của phương trình (2.1) nếu

−div(ω1(x)∇u) ≤ ω2(x)f (u)

Ta định nghĩa một số đại lượng sau:

ω2t2 )

1 p−1

IM := R−2

(p+2t+1) p+1

p+11dx

Bây giờ chúng ta đi đến các kết quả chính, cách tiếp cận ở đây đểnghiên cứu sự tồn tại hay không nghiệm ổn định là phương pháp củaFarina, (xem [5, 11, 12])

Định lý 2.1.1 1 (G) không có nghiệm dưới ổn định nếu IG, JG → 0khi R → ∞ với 0 < t < 2

2 (L) không có nghiệm dưới dương ổn định (nghiệm trên dương ổnđịnh) nếu IL, JL → 0 khi R → ∞ với p −pp(p − 1) < t < p +pp(p − 1) (0 < t < 1

2)

3 (M) không có nghiệm trên dương ổn định nếu IM, JM → 0 khi R →

∞ với 0 < t < p +pp(p + 1)

Nếu chúng ta giả thiết rằng ω1 đơn điệu thì ta có thể làm tốt hơn Ta

sẽ giả thiết các điều kiện đơn điệu được thỏa mãn với x lớn nhưng thực

sự tất cả ta cần là nó được thỏa mãn trên một chuỗi phù hợp của hìnhvành khăn

Định lý 2.1.2 1 (G) không có nghiệm dưới ổn định nếu ∇ω1(x).x ≤

0, (với x đủ lớn) và IG → 0 khi R → ∞ với 0 < t < 2

2 Giả sử IL → 0 khi R → ∞, khi đó (L) không có nghiệm dưới dương

ổn định nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

• Với 1 ≤ t < p +pp(p − 1) và ∇ω1(x).x ≤ 0 với x đủ lớn

• Với p −pp(p − 1) < t ≤ 1 và ∇ω1(x).x ≥ 0 với x đủ lớn.(L) không có nghiệm trên dương ổn định nếu IL → 0 khi R → ∞với 0 < t < 1

2 và ∇ω1(x).x ≤ 0 với x đủ lớn.

3 Nếu IM → 0 khi R → ∞ và ∇ω1(x).x ≥ 0 với x đủ lớn thì (M )không có nghiệm trên dương ổn định với 0 < t < p +pp(p + 1)

Hệ quả 2.1.1 Nếu ω1 ≤ Cω2 và ω2 ∈ L∞, ∇ω1(x).x ≤ 0 với x đủ lớn

1 (G) không có nghiệm dưới ổn định nếu N ≤ 9

2 (L) không có nghiệm dưới dương ổn định nếu

3 (M) không có nghiệm trên dương ổn định nếu

N < 2 + 4

p − 1



p +pp(p + 1)

Nếu ta cho ω1 = ω2 = 1 trong hệ quả trên thì kết quả thu được đốivới (G) và (L), và đối với một vài giá trị của p trong (M ) là tối ưu, thamkhảo trong [10, 11, 12].

Bây giờ chúng ta bỏ tất cả điều kiện đơn điệu trên ω1

Hệ quả 2.1.2 Giả sử ω1 ≤ Cω2 và ω2 ∈ L∞, | ∇ω1 |≤ Cω2 với x đủlớn

1 (G) không có nghiệm dưới ổn định nếu N ≤ 4

2 (L) không có nghiệm dưới dương ổn định nếu

3 (M) không có nghiệm trên dương ổn định nếu

Một vài điều kiện của ωi trong Hệ quả 2.1.1 có vẻ hơi nhân tạo Nếuchúng ta thay đổi phương trình có số hạng bình lưu (và chúng ta cho

ω1 = ω2 để đơn giản hóa)

−∆u + ∇γ.∇u = f (u),các điều kiện của γ trở thành: γ bị chặn dưới và có một gradient bị chặn.Trong phần tiếp theo chúng ta xét trường hợp khi

ω1(x) =



|x|2 + 1

α2, ω2(x) = g(x)



|x|2 + 1

β2,trong đó g(x) dương (ngoại trừ tại một điểm), trơn và

lim

|x|→∞g(x) = C ∈ (0; ∞)

Đối với trường hợp này chúng ta có thể đồng dạng các kết quả tối ưu.Định lý 2.1.3 Cho ω1 và ω2 như trên

1 Nếu N + α − 2 < 0, khi đó (G), (L) không có nghiệm dưới ổn định(ở phương trình (L) chúng ta yêu cầu nghiệm dương), (M ) không

có nghiệm trên dương ổn định

Giả thiết: Đối với các trường hợp còn lại, ta giả sử N + α − 2 > 0

2 Nếu N + α − 2 < 4(β − α + 2), thì (G) không có nghiệm dưới ổnđịnh

3 Nếu N + α − 2 < 2(β − α + 2)

p − 1



p +pp(p − 1), thì (L) không cónghiệm dưới dương ổn định

4 Nếu N + α − 2 < 2(β − α + 2)

p − 1



p +pp(p + 1), thì (M) không cónghiệm trên dương ổn định

5 Hơn nữa 2, 3, 4 là tối ưu, tức là nếu N + α − 2 > 0 và các bất đẳngthức còn lại không thỏa mãn (và ngoài ra chúng ta giả sử dấu ” = ”không xảy ra trong các bất đẳng thức), khi đó ta có thể tìm đượcmột nghiệm dưới hoặc nghiệm trên ổn định u và hàm g(x) phù hợpthỏa mãn các tính chất đã nêu trên đối với từng phương trình

Chứng minh 1 Giả sử u là một nghiệm dưới ổn định của (G) với

IG, JG → 0 khi R → ∞ và cho 0 ≤ φ ≤ 1 là một hàm trơn có giá

2 (L) nghiệm dương ổn định

3 (M) khơng có nghiệm dương ổn định

Một vài điều kiện ωi Hệ 2.1.1 nhân tạo Nếuchúng ta thay đổi phương trình có. .. ∇ω1(x).x ≤ với x đủ lớn

1 (G) khơng có nghiệm ổn định N ≤

2 (L) khơng có nghiệm dương ổn định

3 (M) khơng có nghiệm dương ổn định

N < + 4

p −

... chính, cách tiếp cận đểnghiên cứu tồn hay không nghiệm ổn định phương pháp củaFarina, (xem [5, 11, 12])

Định lý 2.1.1 (G) khơng có nghiệm ổn định IG, JG → 0khi R