Nghiên cứu vai trò của người điều khiển trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử hai qubit bất kì

Do đó tôi chọn đề tài: “Nghiên cứu vai trò của người điều khiển trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử hai qubit bất kì” để trên lí thuyết về rối lượng tử nghiên cứu vai trò của người

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRẦN THỊ LÊ

NGHIÊN CỨU VAI TRÒ CỦA NGƯỜI ĐIỀU KHIỂN

TRONG ĐỒNG VIỄN TẠO TRẠNG THÁI

LƯỢNG TỬ HAI QUBIT BẤT KÌ

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán

Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HỢP

HÀ NỘI - 2017

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Văn Hợp, người đã hết lòng dạy dỗ, động viên và cho em nhiều lời khuyên quý báu trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các quý thầy cô trong khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lí lí thuyết đã tận tình giảng dạy, chỉ bảo cho em trong suốt thời gian em học tập tại khoa

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đã luôn bên em và khích lệ em trong suốt thời gian học tập và làm việc

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả luận văn

Trần Thị Lê

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước

đó

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả luận văn

Trần Thị Lê

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 4

4 Giả thiết khoa học 4

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

6 Giới hạn phạm vi nghiên cứu 5

7 Phương pháp nghiên cứu 5

8 Bố cục luận văn 5

9 Những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả 5

Chương 1 Tổng quan về các giao thức trong thông tin lượng tử 7

1.1 Viễn chuyển trạng thái lượng tử 7

1.1.1 Viễn chuyển trạng thái lượng tử một quit không điều khiển………7

1.1.2 Viễn chuyển trạng thái lượng tử một qubit có điều khiển………….8

1.2 Viễn tạo trạng thái lượng tử 14

1.2.1 Viễn tạo trạng thái lượng tử một quit không điều khiển……… 14

1.2.2 Viễn tạo trạng thái lượng tử một quit không điều khiển………15

1.3 Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử 18

1.3.1 Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử một qubit bất kì không điều khiển 19

1.3.2 Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử một qubit bất kì có điều khiển 21

Chương 2.Đồng viễn tạo trang thái lượng tử hai qubit bất kì không có

điều khiển 29

2.1.Các phép đo và kết quả của Alice………29

2.2 Các phép đo và kết quả của Bob……… 31

2.3 Toán tử hồi phục của Charlie………36

Chương 3 Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử hai qubit bất kì có điều khiển 38

3.1.Người điều khiển nắm hai qubit 38

3.1.1 Các bước của giao thức 38

3.1.2 Quyền lực của người điều khiển 51

3.2.Người điều khiển nắm một qubit 59

3.2.1 Các bước của giao thức………59

3.2.2 Quyền lực của người điều khiển……… 66

KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

Alice, Bob và David khi David nắm hai qubit …… 47 Bảng 3 Các toán tử hồi phục của Charlie tương ứng với các kết quả đo của

Alice, Bob và David khi David nắm một qubit 64

tử, viễn chuyển trạng thái lượng tử (VCTTLT) hay mật mã lượng tử, v.v…Chúng được nhắc đến như những điều kì lạ song những điều kỳ lạ này lại xuất hiện như những điều kỳ diệu trong khoa học và công nghệ thông tin lượng tử, một lĩnh vực đang thực sự thu hút đông đảo các nhà khoa học trên thế giới trong những thập niên gần đây

Khoa học về thông tin lượng tử là một ngành khoa học mới, có tính chất cách mạng và hứa hẹn nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng trong tương lai của khoa học kĩ thuật và đời sống của con người Khoa học về thông tin lượng tử nó kết hợp và dựa trên các quy luật của vật lý, toán học, khoa học máy tính và kỹ thuật Mục đích của nó là làm thế nào mà có thể khai thác được một cách tối ưu những nguyên lí đã được phát hiện trước đó trong việc truyền tải và xử lí thông tin Viêc nghiên cứu khoa học thông tin lượng tử hoàn toàn có thể đưa ra cho con người những phương thức trao đổi thông tin hữu hiệu mà tương đối bảo mật với độ

chính xác cao Đặc biệt viễn chuyển thông tin lượng tử có thể thực hiện ở những khoảng cách rất xa Do vậy việc nghiên cứu về các lĩnh vực truyền tải thông tin lượng tử là cần thiết và quan trọng hiện nay

Theo lý thuyết thông tin cổ điển, đơn vị cơ bản của thông tin là bit – một hệ vật lý chỉ tồn tại ở một trong hai trạng thái biểu diễn hai giá trị logic không hoặc

có, đúng hay sai hay đơn giản là 0 và 1 Khi thông tin được truyền đi dưới dạng các bít cổ điển thì nó có thể dễ dàng bị đọc và sao chép trộm một cách y nguyên mà không bị phát hiện, vì vậy sự truyền thông tin cổ điển là một quá trình không an toàn Năm 1982 Feynman đã nghĩ đến một loại máy tính hoạt động dựa trên nguyên tắc của cơ học lượng tử sẽ giải quyết được những vấn đề khó mà máy tính

số bình thường không thực hiện được Đến năm 1985, David Deutsch dựa vào tính chất lượng tử song song đã chỉ ra sự tồn tại của máy tính lượng tử với việc xử lý thông tin được mã hóa trong các bit lượng tử một cách hoàn hảo [15] Hơn thế nữa,

lý thuyết lượng tử còn cho phép tồn tại một trạng thái đặc biệt của các qubit đó là trạng thái rối lượng tử, một tính lạ lùng, một mối tương quan phi định xứ vô cùng tính tế giữa các phần của một hệ lượng tử điều mà trong lý thuyết cổ điển không có được Nhờ vào tính chất kỳ lạ này mà các hạt lượng tử trở nên tương quan mật thiết với nhau Mỗi phép đo trên hạt này lại có ảnh hưởng ngay lập tức đến trạng thái của hạt kia cho dù chúng ở cách nhau bao xa Những tính chất này có ý nghĩa rất quan trọng trong việc truyền tải thông tin lượng tử

Xử lý thông tin lượng tử là một lĩnh vực hoàn toàn mới Giao thức bảo mật thông tin hiện đại nhất đã được khám phá đó là mật mã lượng tử, một công nghệ bảo mật được truyền đi bằng truyền thông quang, thông qua sợi quang học Tiếp đến là giao thức “viễn chuyển trạng thái lượng tử’’, giao thức này được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1993 bởi Bennet cùng năm cộng sự của ông Để hình dung về viễn chuyển lượng tử ta ví dụ như sau: Alice và Bob là hai người sống ở hai nơi

khác biệt Họ không gặp nhau kể từ khi tạo với nhau một cặp rối Một thời gian dài sau đó Alice có nhiệm vụ chuyển cho Bob một trạng thái lượng tử phải đảm bảo tuyệt đối giữ bí mật và đến nơi an toàn Điều đáng nói ở đây là Alice không được phép biết về trạng thái cần gửi Để hoàn thành nhiệm vụ này thì Alice chỉ gửi đi một lượng bit cổ điển thông báo kết quả đo trên các qubit của mình để Bob thu được trạng thái gốc chỉ bằng cách tác dụng toán tử địa phương Một tình huống mới được đưa ra cho bài toán trên là ban đầu Alice được phép biết về trạng thái cần gửi? Để giải quyết tình huống đó một giao thức khác đã ra đời

Viễn tạo trạng thái lượng tử (VTTTLT) [3] là việc chuyển thông tin lượng

tử khi mà người gửi biết được thông tin cổ điển về trạng thái gốc cần viễn tạo Trong trường hợp này Alice sẽ thực hiện phép đo Von Neumann trên qubit của mình dựa trên hệ cơ sở phụ thuộc vào những thông tin của trạng thái gốc Trong VTTTLT thì Alice nắm được toàn bộ thông tin được gửi đi Lúc này có một vấn đề đặt ra là nếu như Alice là người không đáng tin cậy, cô ta có thể viễn tạo một trạng thái giả (không đúng là trạng thái cần tạo) Vậy làm cách nào để thông tin truyền đi

là bảo mật? Một ý tưởng được đưa ra là thêm vào đó ít nhất một người nữa có nhiệm vụ gửi thông tin, hay cụ thể là quá trình truyền tin này cần có ít nhất hai người gửi và mỗi người chỉ được biết một phần thông tin của trạng thái cần viễn tạo nhờ vậy tránh được sự mất toàn bộ thông tin Những giao thức đầu tiên thực hiện theo ý tưởng này đã được công bố lần đầu tiên là năm 2008 do tác giả Nguyễn

Bá Ân đề xuất với tên gọi đồng viễn tạo trạng thái lượng tử (ĐVTTTLT) [5]

Đối với giao thức này nhiệm vụ chủ yếu đặt ra đó là việc phân bố rối, tìm ra chiến thuật để thực hiện quá trình truyền tin một cách đơn giản, tiết kiệm mà thu được xác suất thành công cao Có hai loại đồng viễn tạo trạng thái lượng tử Loại thứ nhất là giao thức “đồng viễn tạo trạng thái lượng tử không có người điều khiển”, khi đó người giao nhiệm vụ không thể can thiệp được vào quá trình truyền

tin do đó giao thức này không tuyệt đối an toàn Loại thứ hai là "Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử có điều khiển", ưu điểm của giao thức này là người điều khiển

có thể kiểm soát được quá trình truyền tin Trong trường hợp người điều khiển phát hiện người gửi không đáng tin cậy hoặc không cần viễn chuyển nữa, khi đó người này sẽ không thực hiện phép đo trên hạt của mình nắm hoặc không gửi kết quả đo, hay nói cách khác là người này không hợp tác Để xác định vai trò của người điều khiển người ta đã đưa vào một đại lượng vật lý mới đó là quyền lực của người điều khiển

Do đó tôi chọn đề tài: “Nghiên cứu vai trò của người điều khiển trong đồng

viễn tạo trạng thái lượng tử hai qubit bất kì” để trên lí thuyết về rối lượng tử

nghiên cứu vai trò của người điều khiển thông qua độ tin cậy của giao thức

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách định lượng quyền lực của người điều khiển và độ tin cậy trung bình trong đồng viễn tạo lượng tử trạng thái hai qubit bất kì có điều khiển, từ đó đưa ra biện pháp vừa đảm bảo độ tin cậy của đồng viễn tạo lượng tử vừa đảm bảo quyền lực của người điều khiển trong đồng viễn tạo lượng tử

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu: Hai kênh lượng tử rối không cực đại được đề xuất

Đối tượng nghiên cứu: Vai trò của người điều khiển trong đồng viễn tạo lượng tử

có điều khiển

4 Giả thiết khoa học

Luận văn dựa trên giả thiết là các kênh lượng tử, các cổng lượng tử là tồn tại

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu tổng quan về các giao thức trong thông tin lượng tử: “ Viễn chuyển trạng

thái lượng tử”, “ Viễn tạo trạng thái lượng tử”, “ Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử một qubit và hai qubit”

Nghiên cứu về mặt định lượng quyền lực của người điều khiển và độ tin cậy trung bình trong ĐVTTTLT 2 qubit bất kì có điều khiển Từ kết quả thu được rút ra các kết

luận

6 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về mặt định lượng quyền lực của người điều khiển trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử của hai qubit bất kì và độ tin cậy trung bình của đồng viễn tạo lượng tử có điều khiển này

7 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các lí thuyết: cơ học lượng tử và phép đo lượng tử

8 Bố cục luận văn

Mở đầu

Chương 1: Tổng quan về các giao thức trong thông tin lượng tử

Chương 2: Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử hai qubit bất kì không điều khiển

Chương 3: Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử hai qubit bất kì có điều khiển

Kết luận

Tài liệu tham khảo

9 Những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả

Trong luận văn này, đóng góp mới của tác giả là tính được cụ thể biểu thức quyền lực

của người điều khiển trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử hai qubit bất kì trong hai trường hợp, đó là người điều khiển nắm một qubit hoặc nắm hai qubit Qua đó phân tích được ưu điểm và nhược điểm của từng trường hợp

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CÁCGIAO THỨC TRONG

THÔNG TIN LƯỢNG TỬ 1.1 Viễn chuyển trạng thái lượng tử

1.1.1 Viễn chuyển trạng thái lượng tử 1 qubit không điều khiển

Bài toán được đặt ra ở đây là Alice được giao một nhiệm vụ là chuyển cho Bob (ở

xa so với Alice) một trạng thái lượng tử có dạng

〉 〉 〉 (1.1.1) Trong đó , là số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa    2 2 1 Người gửi

không biết thông tin về trạng thái gốc Qubit a được giao cho Alice nắm giữ Trước

đó Alice và Bob đã được tạo với nhau một cặp rối:

〉

√ 〉 〉 (1.1.2) trong đó qubit A là do Alice giữ còn qubit B do Bob giữ

Khi đó trạng thái của 3 hạt có dạng như sau:

〉 〉 〉 (1.1.3)

- Alice thực hiện phép đo Bell lên hai qubit a và A mà mình nắm giữ Trạng thái (1.3) được viết lại như sau:

〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 (1.1.4)

- Sau khi thu được kết quả phép đo của mình với xác suất tương ứng cho mỗi trường hợp là 1/4 thì Alice sẽ gửi kết quả đo của mình bằng hai bit cổ điển qua một kênh cổ điển đến cho Bob Dựa vào kết quả đo của Alice, Bob chỉ cần tác dụng toán tử Unita hồi phục địa phương tương ứng để thu được trạng thái cần gửi ban đầu Cụ thể:

+ Nếu Alice đo được 〉 thì trạng thái 〉 sẽ bị đổ sập về trạng thái:

〉 〉 〉 Toán tử hồi phục cần dùng để thu được trang thái cần gửi là toán tử đơn vị I + Nếu Alice đo được 〉 thì trạng thái 〉 sẽ bị đổ sập về trạng thái:

〉 〉 〉 Toán tử hồi phục cần dùng để thu được trang thái cần gửi là toán tử Pauli + Nếu Alice đo được 〉 thì trạng thái 〉 sẽ bị đổ sập về trạng thái:

〉 〉 〉 Toán tử hồi phục cần dùng để thu được trang thái cần gửi là toán tử Pauli + Nếu Alice đo được 〉 thì trạng thái 〉 sẽ bị đổ sập về trạng thái:

〉 〉 〉 Toán tử hồi phục cần dùng để thu được trang thái cần gửi là toán tử

Vì trong mọi trường hợp Bob đều thu được trạng thái cần gửi nên xác suất thành công của giao thức này là 4.1/4=1 Như vậy trạng thái cần gửi đã đến được với Bob một cách an toàn và nguyên vẹn

1.1.2 Viễn chuyển trạng thái lƣợng tử một qubit có điều khiển

Bài toán được đặt ra giống như phần trên chỉ khác là bây giờ ngoài người gửi

Alice, người nhận là Bob thì thêm người điều khiển Charlie

Để thực hiện được nhiệm vụ, Alice, Bob và Charlie chia sẻ với nhau một kênh lượng tử sau:

〉

√ 〉 〉 (1.1.5)

+ Nếu Charlie đo được trạng thái 〉 với xác suất thành công là 2

cos  thì trạng thái của hệ ngay sau khi đo đổ sập về trạng thái như sau

〉

√ 〉 〉 (1.1.6) Sau đó, Charlie mã hóa hai kết quả đo được tương ứng là 0, hoặc 1theo đường cổ

điển gửi cho Alice và Bob

- Bước 2: Alice thực hiện một phép đo Bell trên qubit a và A trong kênh

lượng tử 〉 và 〉

TH1: Nếu Charlie đo được 〉 thì Alice và Bob sẽ chia sẻ với nhau trạng thái

Bell (1.1.5)

Trạng thái tích của qubit cần viễn chuyển 〉 và trạng thái Bell chia sẻ giữa

Alice và Bob 〉 được biểu diễn như sau

〉 〉 〉 〉 〉

√ 〉 〉 Làm tương tự như trường hợp không có người điều khiển ở trên ta thu được các kết

quả:

Nếu Alice đo được kết quả lần lượt là các trạng thái 〉 〉 , 〉 〉 thì trạng thái 〉 lần lượt đổ sập về các trạng thái: 〉 〉 〉 〉

TH2: Nếu Charlie đo được 〉 thì Alice và Bob đang chia sẻ với nhau trạng thái Bell (1.1.6)

Trạng thái tích của qubit cần chuyển 〉 và trạng thái Bell chia sẻ giữa Alice và Bob 〉 được viết như sau:

+ 〉 〉 〉 〉 〉 〉

Giả sử, Alice đo được kết quả là các trạng thái 〉 〉 , 〉 〉 thì trạng thái 〉 đổ sập về các trạng thái tương ứng sau

〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉

- Bước 3: Dựa trên kết quả đo của Charlie và Alice, Bob cần phải tác dụng một

toán tử Unita phục hồi địa phương lên qubit B của mình để phục hồi lại trạng thái 〉 mà Alice cần truyền cho mình Cụ thể:

+ Nếu thu được 〉 〉 〉 〉 thì toán tử hồi phục tương ứng là I, Z,

X, ZX

+ Nếu thu được 〉 〉 〉 〉 thì toán tử hồi phục tương ứng là

XZ, X, Z, I

- Quyền lực của người điều khiển

Trong trường hợp: Người điều khiển phát hiện người gửi không đáng tin cậy

hoặc không cần viễn chuyển nữa, khi đó người này không thực hiện phép đo trên

hạt mình nắm hoặc đo mà không thông báo kết quả, hay nói cách khác người điều

khiển không hợp tác Để xác định vai trò của người điều khiển, người ta đã đưa

vào một đại lượng mới đó là quyền lực của người điều khiển:

̅ (1.1.7) Với ̅ là độ tin cậy lượng tử trung bình của trạng thái mà người nhận nhận được

khi người điều khiển không hợp tác, độ tin cậy trung bình có biểu thức như sau

̅ ∫ ∫ (1.1.8)

Độ tin cậy: ⟨ ⟩ (1.1.9)

Trong đó: là ma trận mật độ rút gọn của qubit mà người nhận nắm khi người

điều khiển không hợp tác:

〈 〉 〈 〉 (1.1.10)

Để tìm biểu thức (1.1.10), ta viết lại trạng thái tích của trạng thái cần gửi 〉 và

trạng thái của kênh lượng tử 〉 như sau:

〉 〉 〉

〉 〉

√ 〉 〉 〉 〉

〉 〉 〉 〉 〉 (1.1.13) 〉 〉 〉 〉 〉 (1.1.14) 〉 〉 〉 〉 〉 (1.1.15)

+ Khi Alice đo được kết quả là trạng thái 〉 thì trạng thái của các qubit do Bob và Charlie nắm giữ trong trường hợp này có dạng (1.1.12)

Ma trận mật độ rút gọn của qubit B của Bob khi đó được tính bằng công thức (1.1.10)

〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉

=( 〉 〈 〉 〈

+ ( 〉 〈 〉 〈

(1.1.16) Thay biểu thức (1.1.16) vào biểu thức (1.1.9) ta được:

(1.1.17) Đặt ;

rồi thay vào (1.1.17) được biểu thức của rồi sau

đó lại thay vào (1.1.8) ta sẽ thu đươc độ tin cậy trung bình:

̅ (1.1.18) Vậy quyền lực của người điều khiển khi đó là

̅ (1.1.19)

Tương tự cho các trường hợp còn lại:

+ Khi Alice đo được kết quả là trạng thá 〉 thì trạng thái của các qubit do Bob và Charlie nắm giữ trong trường hợp này có dạng (1.1.13)

thỏa mãn yêu cầu đặt ra đối với một người điều khiển Còn và thì phụ thuộc vào góc Tùy thuộc vào góc mà P có giá trị lớn hơn, nhỏ hơn

và bằng với giá trị cổ điển là 1/3 Như vậy trong giao thức này nếu chúng ta chọn giá trị của tham số γ hợp lí thì quyền lực của người điều khiển luôn có giá trị lớn hơn hoặc bằng 1/3, phù hợp với viễn chuyển trạng thái lượng tử theo cách nhìn của người điều khiển

Vậy nên trạng thái rối riêng phần ba qubit Q CABđược sử dụng ở đây có thể đóng vai trò là một kênh lượng tử cho viễn chuyển trạng thái lượng tử có điều khiển đạt kết quả với xác suất thành công là 100% mà vẫn đảm bảo quyền lực của người điều khiển

Tuy nhiên nhược điểm của giao thức này là Alice phải thực hiện phép đo Bell lên hai qubit a và A, khó thực hiện hơn so với phép đo trên một qubit và phải tạo ra hạt a mang trạng thái cần gửi bởi vì Alice hoàn toàn không biết trạng thái gốc Để khắc phục nhược điểm này, một giao thức truyền tin khác mà người gửi nắm toàn bộ thông tin cổ điển về trạng thái cần gửi đó là giao thức “Viễn tạo trạng thái lượng tử”

1.2 Viễn tạo trạng thái lƣợng tử

1.2.1 Viễn tạo thạng thái lƣợng tử một qubit không có điều khiển

Bài toán đặt ra là Alice phải chuyển đến cho Bob một trạng thái lượng tử một

qubit có dạng:

〉 〉 〉 (1.2.1) Trong đó a, b và đều là số thực, Alice đã biết được toàn bộ thông tin về trạng thái cần gửi đó là a, b và

Trước đó, Alice và Bob đã chia sẻ với nhau một nguồn rối lượng tử cực đại có

dạng:

〉

√ 〉 〉 (1.2.2) Trong đó Alice nắm giữ qubit A, Bob nắm qubit B

Đầu tiên, Alice tác dụng toán tử U có dạng: (

* (1.2.3) lên qubit A, rồi thực hiện phép đo vonNeuman trên hệ cơ sở:

( 〉 〉) (

〉 〉)Trạng thái (1.2.2) được viết lại như sau:

Trường hợp 1: Nếu Alice đo được kết quả 〉 với xác suất thành công là 1/2

thì trạng thái 〉 sau khi đo sẽ bị đổ sập về trạng thái:

〉 〉

Khi đó Bob không có cách nào để khôi phục lại trạng thái gốc hay nói cách khác

giao thức đến đây là thất bại nên phải thực hiện lại từ đầu

Trường hợp 2: Nếu Alice đo được kết quả 〉 với xác suất thành công là 1/2

thì trạng thái 〉 sau khi đo sẽ bị đổ sập về trạng thái:

〉 〉Lúc này, Bob chỉ cần tác dụng toán tử Pauli lên qubit B mà mình nắm là sẽ thu

được trạng thái cần gửi ban đầu

Vậy xác suất thành công của giao thức này chỉ là 1/2

1.2.2 Viễn tạo trạng thái lƣợng tử một qubit có điều khiển

Bài toán đặt ra là Alice phải chuyển đến cho Bob một trạng thái lượng tử một

qubit có dạng như (1.2.1) dưới sự điều khiển của thành viên thứ 3 đó là Charlie Trước đó, Alice, Bob và Charlie đã chia sẻ với nhau một nguồn rối lượng tử cực đại có dạng:

〉

√ 〉 〉 (1.2.4) Trong đó Alice nắm giữ qubit A, Bob nắm qubit B, Charlie nắm giữ qubit C

- Bước 1: Alice tác dụng toán tử U có dạng (1.2.3) lên qubit A rồi thực hiện

phép đo vonNeuman trên qubit mà mình nắm Trạng thái (1.2.4) lúc này được viết lại như sau:

〉

√ 〉 ( 〉 〉 )

√ 〉 〉 〉 Sau khi có kết quả đo, Alice sẽ gửi kết quả đo của mình qua kênh cổ điển đến cho Bob

Nếu Alice đo được kết quả 〉 với xác suất thành công là 1/2 thì trạng thái 〉 sau khi đo sẽ bị đổ sập về trạng thái:

〉 〉 〉 (1.2.5) Nếu Alice đo được kết quả 〉 với xác suất thành công là 1/2 thì trạng thái

〉 sau khi đo sẽ bị đổ sập về trạng thái:

〉 〉 〉 (1.2.6)

- Bước 2: Sau khi nhận được kết quả đo của Alice thì người điều khiển

Charlie thực hiện phép đo Von Neuman trên qubit của mình trong hệ cơ sở { 〉 〉 gồm 2 véc tơ trực chuẩn sau:

{

〉

√ 〉 〉 〉

√ 〉 〉 + Trạng thái (1.2.5) được viết lại như sau:

〉

√ 〉 ( 〉 〉 )

√ 〉 ( 〉 〉 ) Nếu kết quả đo của Alice là 〉 với xác suất là 1/2 thì 〉 sẽ đổ sập về trạng thái ( 〉 〉 ) và trong trường hợp này thì Bob không thể khôi phục trạng thái gốc

Tương tự nếu nếu kết quả đo của Alice là 〉 thì 〉 sẽ đổ sập về trạng thái ( 〉 〉 ) và Bob cũng không thể khôi phục trạng thái gốc

+ Trạng thái (1.2.6) được viết lại như sau:

Nếu kết quả đo của Alice là 〉 với xác suất là 1/2 thì 〉 sẽ đổ sập về trạng thái: ( 〉 〉 ) Lúc này Bob chỉ cần tác dụng toán tử lên qubit

B là sẽ thu được trạng thái cần gửi ban đầu

- Quyền lực của người điều khiển

Trong trường hợp Charlie không hợp tác thì anh ta sẽ không thực hiện phép đo lên qubit của mình nắm giữ

Quyền lực của người điều khiển: ̅

Với ̅ là độ tin cậy lượng tử trung bình có biểu thức:

̅

∫ ∫ (1.2.7) Với

Độ tin cậy ⟨ ⟩

Trong đó: là ma trận mật độ rút gọn

Quyền lực của người điều khiển:

+ Tương tự trong trường hợp sau khi thu được kết quả đo từ Alice thì trạng

thái 〉 bị đổ sập về 〉 (công thức (1.2.5)

(1.2.9) Thay (1.2.9) vào (1.2.7) ta được ̅

Quyền lực của người điều khiển: , trong trường hợp này quyền lực của người điều khiển ở rìa (mép) quyền lực

1.3 Đồng viễn tạo trạng thái lƣợng tử

Giao thức "Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử" ra đời để đảm bảo cho việc truyền tin là bảo mật ngay cả với người gửi tin Nhằm giải quyết vấn đề này, giao thức này thêm vào quá trình truyền tin ít nhất là một người nữa có nhiệm vụ gửi tin Thông tin cổ điển về trạng thái cần tạo được chia ra làm nhiều phần theo quy luật

mà chỉ có người giao nhiệm vụ biết được, do đó mỗi người gửi chỉ nắm được một phần thông tin về trạng thái cần gửi, vì vậy mỗi người này không tạo ra được trạng thái cần gửi, nhờ vậy tránh được việc lộ toàn bộ thông tin cần gửi Một giao thức đồng viễn tạo trạng thái lượng tử được hoàn thành yêu cầu những điều sau:

- Mỗi người gửi và người nhận chỉ thực hiện các phép đo địa phương và

thông báo kết quả đo trên kênh cổ điển

- Người nhận chỉ cần tác dụng toán tử Unita hồi phục địa phương để thu lại được trạng thái cần gửi

- Những người tham gia quá trình truyền tin không được biết toàn bộ thông tin về trạng thái

- Sau khi truyền tin chỉ có người nhận thu được trạng thái cần gửi

Để tiết kiệm thời gian và công sức thì xác suất thành công của giao thức phải cao Những giao thức "Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử" đầu tiên có xác suất thành công nhỏ hơn 1 Sau này, các giao thức sử dụng các chiến thuật hợp lí nên đã cho xác suất thành công bẳng 1 nên gọi là tất định

1.3.1 Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử một qubit bất kì không điều khiển Bài toán đặt ra là: Hai người Alice và Bob cùng tham gia quá trình tạo cho

Charlie trạng thái lượng tử có dạng:

〉 〉 〉 (1.3.1)

là các số thực, = 1

Trong đó: Alice biết bộ thông số {a,b}, Bob biết thông số {

Alice, Bob và Charlie chia sẻ với nhau nguồn rối lượng tử:

〉

√ 〉 〉 (1.3.2) Trong đó Alice giữ qubit A, Bob giữ qubit B, Charlie giữ qubit C

- Bước 1: Alice thực hiện phép đo vonNeuman lên qubit A trong hệ cơ sở

dưới đây và gửi thông tin đo được qua kênh truyền thông cổ điển:

( 〉 〉) (

〉 〉)Với ( )

Trạng thái (1.3.1) có thể viết lại dưới dạng:

〉

√ ∑ 〉 〉 (1.3.3)

Trong đó: 〉 〉 〉 (1.3.4) 〉 〉 〉 (1.3.5)

- Bước 2: Sau khi nhận được kết quả đo của Alice thì Bob sẽ thực hiện

phép đo vonNeuman lên qubit B mà mình nắm Cụ thể:

+ Nếu Alice thu được kết quả 〉 ứng với k = 0 thì trạng thái

〉 sẽ bị suy sụp về trạng thái (1.3.4) Khi đó Bob sẽ đo qubit B trong hệ cơ sở:

( 〉 〉) (

〉 〉)

Với

√ (

* + Nếu Alice thu được kết quả 〉 ứng với k=1 thì trạng thái 〉 sẽ bị suy sụp về trạng thái (1.3.5) Khi đó Bob sẽ đo qubit B trong hệ cơ sở:

( 〉 〉) (

〉 〉)

Với

√ (

* Trạng thái 〉 bây giờ được viết lại dưới dạng:

〉

√ ∑ 〉 〉 〉 (1.3.6)

Với

Từ công thức (1.3.6) ta thấy rằng nếu Bob thu được trạng thái 〉

với xác suất 1/2 cho mỗi trường hợp có thể của m thì trạng thái 〉 sẽ

bị suy sụp về trang thái 〉 〉 Lúc này thì Charlie chỉ cần tác dụng toán tử lên qubit C mà mình nắm để thu lại trạng thái ban đầu Xác suất thành công của giao thức này là:

1.3.2 Đồng viễn tạo trạng thái lƣợng tử một qubit bất kì có điều khiển

Vì trong giao thức này, người giao nhiệm vụ không can thiệp được vào quá trình truyền tin, tức là người này không thể cho tạm dừng hay hủy bỏ quá trình truyền tin khi cảm thấy không an toàn Chính vì vậy, có một ý tưởng ra đời để giải quyết vấn đề này đó là thêm vào quá trình truyền tin một "người điều khiển" có vai trò kiểm soát quá trình truyền tin Khi người điều khiển không thực hiện vai trò của mình thì giao thức truyền tin không được thực hiện thành công

Trước tiên chúng ta sẽ xem xét phương thức đồng viễn tạo có điều khiển trạng thái lượng tử với xác suất thành công bằng 1 (tất định) và độ tin cậy bằng 1 (hoàn hảo)

Bài toán: Alice và Bob cùng tham gia quá trình tạo cho người nhận Charlie

trạng thái lượng tử bất kì của 1 qubit dưới sự điều khiển của David Trạng thái cần tạo có dạng:

〉 〉 〉 (1.3.7)

trong đó   , là các số thực

Thông tin về trạng thái 〉 được chia sẻ cho Alice và Bob theo cách như sau:

- Người gửi Alice biết thông số 

- Người gửi Bob biết thông số 

Người gửi Alice và Bob, người nhận Charlie và người điều khiển David đã được chia sẻ với nhau một nguồn rối lượng tử là trạng thái rối không cực đại có dạng:

〉

√ 〉 〉 〉 (1.3.8) trong đó: Alice giữ qubit A, Bob giữ qubit B, David giữ qubit C1, người nhận Charlie giữ qubit C2 và chỉ duy nhất người điều khiển biết giá trị chính xác của 

(người nhận hoàn toàn không biết) Đây là yếu tố đảm bảo quyền lực của người điều khiển và cũng là yếu tố đảm bảo sự bí mật của giao thức truyền tin

Các bước của giao thức

Bước 1: Người gửi Alice tác dụng toán tử quay Ry - lên qubit A thông qua phép đo hình chiếu trong hệ cơ sở { 〉 với

 y

vonNeuman lên qubit B mà mình nắm Cụ thể:

- Nếu Alice thu được kết quả 〉 ứng với k = 0 thì trạng thái 〉

sẽ bị suy sụp về trạng thái:

〉 〉 〉 〉

Khi đó Bob sẽ đo qubit B trong hệ cơ sở:

( 〉 〉) (

〉 〉)

Với

√ (

* Viết lại trạng thái

〉 〉 〉 〉 Khi đó Bob sẽ đo qubit B trong hệ cơ sở:

(

〉 〉) ( 〉

〉)

Với:

√ (

* Toán tử được viết trong hệ cơ sở { 〉 với

Viết lại trạng thái

Bước 3: Sau khi nhận được kết quả đo từ Alice và Bob thì người điểu khiển David

tác dụng toán tử quay Ry - lên qubit C1 của mình nắm giữ thông qua phép đo hình chiếu trong hệ cơ sở { 〉 〉 hay{ 〉 với

 y

- Nếu Alice đo được kết quả là 〉 , Bob đo được kết quả 〉 , David

đo được kết quả là 〉 với xác suất là 2

cos2



thì trạng thái của hệ sẽ đổ

thì trạng thái của hệ sẽ đổ sập về: 〉 〉 〉

- Nếu Alice đo được kết quả là 0 A , Bob đo được kết quả 1 B, David

đo được kết quả là

1

C

1 với xác suất là 2

sin2



thì trạng thái của hệ sẽ đổ sập về: 〉 〉 〉

- Nếu Alice đo được kết quả là 1 A , B đo được kết quả 0 B, David đo



thì trạng thái của hệ sẽ

đổ sập về: 〉 〉 〉

- Nếu Alice đo được kết quả là 1 A , Bob đo được kết quả 0 B, David

đo được kết quả là

1

C

1 với xác suất là 2

sin2



thì trạng thái của hệ sẽ đổ sập về: 〉 〉 〉

- Nếu Alice đo được kết quả là 1 A , Bob đo được kết quả 1 B, David đo



thì trạng thái của hệ sẽ đổ sập

thì trạng thái của hệ sẽ đổ sập về: 〉 〉 〉

Bước 4: Như vậy người nhận Charlie chỉ cần tác dụng toán tử Unita địa phương

klm

R để thu được trạng thái mục tiêu 〉

Các ma trận phục hồi mà Charlie cần sử dụng để phục hồi lại trạng thái cần chuyển 〉phụ thuộc vào tính bằng công thức:

 

 k k l m klm x z

R  

Về mặt toán học, tổng xác suất thành công là

+ ]=1

Như vậy, trong mọi trường hợp ở trên ta thấy người nhận luôn nhận được trạng thái cần tạo nên xác suất thành công của giao thức bằng 1 (tất định), độ tin cậy bằng 1 (giao thức là hoàn hảo) mặc dù sử dụng kênh lượng tử có độ rối không cực đại (đã phân tích ở trên)

Trong trường hợp người điều khiển không hợp tác

Để xác định quyền lực của người điều khiển người ta đưa vào biểu thức sau:

̅ (1.3.9) với C được gọi là quyền lực của người điều khiển

Với ̅ là độ tin cậy lượng tử trung bình mà người điều khiển không hợp tác

̅ ∫ ∫ (1.3.10)

Độ tin cậy: ⟨ | | ⟩ ( 1.3.11)

- Nếu kết quả đo của Alice là k = 0, kết quả đo của Bob là l = 0 thì trạng

thái của hệ suy sụp thành trạng thái

̅

Vậy quyền lực của người điều khiển

Tương tự cho các trường hợp còn lại ta tính đươc:

- Nếu kết quả đo của Alicelà k=0, kết quả đo của Bob l=1 thì quyền lực

của người điều khiển:

- Nếu kết quả đo của Alice là k=1, kết quả đo của Bob l=0 thì quyền lực

của người điều khiển:

- Nếu kết quả đo của Alice là k=1, kết quả đo của Bob l=1thì quyền lực của người điều khiển:

Từ các biểu thức quyền lực người điều khiển thu được ở trên, ta thấy rằng thỏa mãn yêu cầu đặt ra đối với một người điều khiển Còn và thì phụ thuộc vào góc Tùy thuộc vào góc mà P có giá trị lớn hơn, nhỏ hơn

và bằng với giá trị cổ điển là 1/3 Như vậy trong giao thức này nếu chúng ta chọn giá trị của tham số γ hợp lí thì quyền lực của người điều khiển luôn có giá trị lớn hơn hoặc bằng 1/3, phù hợp với đồng viễn tạo trạng thái lượng tử theo cách nhìn của người điều khiển

CHƯƠNG 2: ĐỒNG VIỄN TẠO TRẠNG THÁI LƯỢNG

TỬ HAI QUBIT BẤT KÌ KHÔNG ĐIỀU KHIỂN

Bài toán đặt ra là hai người Alice và Bob cùng tham gia quá trình tạo cho

Charlie trạng thái lượng tử hai qubit bất kì có dạng:

〉 〉 〉 〉 〉 (2.1) Trong đó, x, y, z, t, , và là các tham số thực thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa: + =1

Thông tin về trạng thái 〉 được chia sẻ cho Alice và Bob theo cách sau:

- Alice biết bộ thông số {x,y,z,t}

- Bob biết bộ thông số { , , }

Alice, Bob và Charlie chia sẻ với nhau một nguồn rối có dạng:

〉 〉 〉

√ 〉 〉

√ 〉 〉 (2.2) Trong đó Alice nắm giữ qubit , Bob nắm giữ 2 qubit và Charlie nắm giữ 2 qubit

Vậy trạng thái rối được viết cụ thể như sau:

〉 〉 〉 〉 (2.3)

Các bước của giao thức được trình bày như sau:

2.1 Các phép đo và kết quả của Alice

- Alice tác dụng toán tử U lên hai qubit mà mình nắm giữ Với toán tử

U có dạng:

z, t)= (

)

được viết trong hệ cơ sở của hai qubit và :

{ 〉 〉 〉 〉 Cụ thể:

{

〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 Thay hệ (1) vào (2.3) ta thu được:

〉 〉 〉 〉 〉

(2.6) 〉 〉 〉 〉 〉

(2.7)

- Sau đó Alice thực hiện phép đo lên qubit và trong hệ cơ sở

{ 〉 〉 〉 〉 để thu được các trạng thái 〉 với Sau phép đo Alice sẽ công bố kết quả đo trên kênh truyền thông cổ điển Trong bước này hoạt động của Bob sẽ phụ thuộc vào kết quả đo của Alice là

2.2 Các phép đo và kết quả của Bob?

- Nếu kết quả đo của Alice là với xác suất thành công 1/4 thì trạng thái 〉 sẽ suy sup về trạng thái 〉 Lúc này Bob sẽ tác dụng toán tử lên hai qubit và mà mình đang nắm, với:

- Nếu kết quả đo của Alice là với xác suất thành công là 1/4 thì

trạng thái 〉 sẽ suy sup về trạng thái 〉 Lúc này Bob sẽ tác dụng toán tử lên hai qubit và mà mình đang nắm, với: = (

)

được viết trong hệ cơ sở { 〉 〉 〉 〉 Cụ thể:

{

〉 〉 〉 〉 〉

〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉

〉 ( 〉 〉 〉 〉 )

〉 ( 〉 〉 〉 〉 ) 〉 〉 〉

〉 〉 ∑ 〉 〉

Trong đó:

+ Nếu kết quả đo của Bob là mn =00 thì 〉 sẽ đổ sập về trạng thái: 〉 〉 〉 〉 〉

+ Nếu kết quả đo của Bob là mn =01 thì 〉 sẽ đổ sập về trạng thái: 〉 〉 〉 〉 〉

+ Nếu kết quả đo của Bob là mn =10 thì 〉 sẽ đổ sập về trạng thái: 〉 〉 〉 〉 〉

+ Nếu kết quả đo của Bob là mn =11 thì 〉 sẽ đổ sập về trạng thái: 〉 〉 〉 〉 〉

- Nếu Nếu kết quả đo của Alice là với xác suất thành công là 1/4 thì trạng thái 〉 sẽ suy sup về trạng thái 〉 Lúc này Bob sẽ tác dụng toán tử lên hai qubit và mà mình đang nắm, với: = (

) được viết trong hệ cơ sở { 〉 〉 〉 〉 Cụ thể:

Thay (4) vào (2.6) ta được: