SỬ DỤNG TOÁN HỌC HOÁ ĐỂ PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH LỚP 10

Khả năng học sinh sử dụng kiến thức toán đã học để giải quyết hiệu quả các tình huống thực tế, như hai ví dụ trên, là những biểu hiện của hiểu biết định lượng HBĐL.. Trong chương trình t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TRẦN VUI

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện Các

số liệu và kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được công bố bởi bất kỳ tác giả nào hay ở bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Tân An

LỜI CẢM ƠN

Tá c giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Huế, tổ Didactic Toán trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh, phòng Sau đại học trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả làm Nghiên cứu sinh cũng như đã đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận án

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt tác giả trong suốt thời gian qua

Tác giả xin trân trọng cám ơn sự hợp tác, giúp đỡ từ phía giáo viên

và học sinh các trường THPT Đặng Huy Trứ, THPT Nguyễn Huệ và THPT Hai Bà Trưng, Tỉnh Thừa Thiên Huế trong thời gian tác giả tổ chức thực nghiệm đề tài

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp, gia đình luôn động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận án này

Do điều kiện chủ quan và khách quan, bản luận án chắc chắn còn những thiếu sót Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu

Tác giả

Nguyễn Thị Tân An

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 11

CHƯƠNG 1 23

TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG 23

1.1 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 23

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 24

1.1.2 Khái niệm mô hình hóa toán học 26

1.1.3 Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học 26

1.1.4 Sự khác nhau giữa mô hình hóa và áp dụng toán 30

1.1.5 Nền tảng lịch sử và các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán 33

1.1.6 Toán học hóa 36

1.1.7 Phân tích việc dạy học sử dụng toán học hóa dưới quan điểm lý thuyết kiến tạo xã hội 40

1.2 HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG 42

1.2.1 Khái niệm hiểu biết định lượng 42

1.2.2 Mối quan hệ giữa Hiểu biết định lượng và Toán học 48

1.2.3 Các thành phần liên quan đến hiểu biết định lượng 49

1.2.4 Sơ lược lịch sử của hiểu biết định lượng 58

1.3 MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG 61

CHƯƠNG 2 66

SỬ DỤNG TOÁN HỌC HÓA ĐỂ PHÁT TRIỂN 66

CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG 66

2.1 XÂY DỰNG QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA PHÙ HỢP VỚI CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG HIỆN NAY 66

2.1.1 Các tình huống toán học 66

2.1.2 Tìm hiểu thể hiện của mô hình hóa trong chương trình 72

2.1.3 Những khó khăn thường gặp khi sử dụng MHH trong lớp học toán 79

2.1.4 Xây dựng quá trình toán học hóa 80

2.2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA 83

2.2.1 Lựa chọn nội dung toán 83

2.2.2 Tiêu chí thiết kế tình huống 88

2.2.3 Thiết kế tình huống 89

2.2.4 Các mức độ của tình huống toán học hóa 91

2.2.5 Thử nghiệm và sửa chữa 95

2.3 XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ ĐỂ ĐO MỨC ĐỘ PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH QUA QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA 101

CHƯƠNG 3 110

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 110

3.1 MỤC ĐÍCH, NGỮ CẢNH VÀ KẾ HOẠCH THỰC NGHIỆM 110

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 110

3.1.2 Ngữ cảnh thực nghiệm 110

3.1.3 Kế hoạch thực nghiệm 112

3.1.4 Tổ chức dạy học thực nghiệm 113

3.1.5 Thu thập dữ liệu và phân tích 114

3.2 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM 115

3.2.1 Tình huống thực nghiệm 1 115

3.2.2 Tình huống thực nghiệm 2 126

3.2.3 Tình huống thực nghiệm 3 135

3.2.4 Tình huống thực nghiệm 4 145

3.2.5 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng thể hiện qua bốn buổi dạy học thực nghiệm 153

3.3 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA PRETEST VÀ POSTTEST 160

3.3.1 Bài kiểm tra pretest 160

3.3.2 Bài kiểm tra posttest 167

3.3.3 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng của học sinh thể hiện qua hai bài kiểm tra 176

3.4 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BẢNG HỎI 180

3.4.1 Mục đích của việc học toán 181

3.4.2 Khó khăn khi giải quyết các tình huống 181

3.4.3 Nắm được quá trình toán học hóa 182

3.4.4 Tự đánh giá về sự tiến bộ 184

3.4.5 Thái độ đối với các tình huống thực tế 185

KẾT LUẬN 188

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ 193

TÀI LIỆU THAM KHẢO 194

PHỤ LỤC 200

PHỤ LỤC 1 200

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

AAC&U : Hiệp hội các trường Đại học ở Mỹ

ĐH : Đại học HBĐL : Hiểu biết định lượng

HS : Học sinh MHH : Mô hình hóa PISA : Chương trình đánh giá học sinh quốc tế SBT : Sách bài tập

SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên

TB : Trung bình THH : Toán học hóa THPT : Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1.1 Tỷ giá ngoại tệ 44

Bảng 1.2 Dân số và diện tích của các đảo ở Indonesia năm 1980 47

Bảng 1.3 Các năng lực HBĐL thể hiện qua quá trình toán học hóa 63

Bảng 2.1 Thống kê số tình huống toán học trong SGK 72

Toán 10 cơ bản và nâng cao 72

Bảng 2.2 Thống kê các tình huống toán học ở SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao 73

Bảng 2.3 Thống kê các tình huống toán học ở SGK, SBT Hình học 10 Nâng cao 74

Bảng 2.4 Tỉ lệ các tình huống toán học trong SGK và SBT Toán 10 Nâng cao 74

Bảng 2.5 Thống kê tình huống mô hình toán theo chủ đề 76

Bảng 2.6 Nội dung toán 84

Bảng 2.7 Các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế - SGK Toán 10 Nâng cao (không kể chương Thống kê) 85

Bảng 2.8 Các tình huống THH chứa đựng yếu tố định lượng (Xem nội dung chi tiết ở phụ lục 3) 90

Bảng 2.9 Các mức độ của tình huống toán học hóa 92

Bảng 2.10 Phân loại các tình huống THH theo mức độ phức tạp 92

Bảng 2.11 Các tình huống dạy thực nghiệm và kiểm tra 95

Bảng 2.12 Sắp xếp các tình huống theo mục đích thực nghiệm 101

Bảng 2.13 Thang đánh giá năng lực giao tiếp với toán học 103

Bảng 2.14 Thang đánh giá năng lực phân tích và xây dựng mô hình toán học 104

Bảng 2.15 Thang đánh giá năng lực suy luận 105

Bảng 2.16 Thang đánh giá năng lực sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán 106

Bảng 2.17 Thang đánh giá năng lực biểu diễn 107

Bảng 2.18 Thang đánh giá năng lực giải quyết vấn đề 108

Bảng 3.1 Kết quả thống kê điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp 10A2 111

Bảng 3.2 Kết quả thống kê điểm pretest và postest 177

Bảng 3.3 Điểm trung bình đối với mỗi câu 177

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Trang

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979) 28

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình MHH của Blum và Leiß (2006) 29

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007) 30

Sơ đồ 1.4 Các hoạt động của quá trình toán học hóa 37

Sơ đồ 1.5 Toán học hóa trong quá trình mô hình hóa 38

Sơ đồ 1.6 Quá trình toán học hóa theo PISA 39

Sơ đồ 1.7 Mối quan hệ giữa hiểu biết định lượng và các loại hiểu biết khác 43

Sơ đồ 1.8 Ba thành phần liên quan đến HBĐL (Hogan, 2000, [33]) 50

Sơ đồ 2.1 Quá trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards 67

Sơ đồ 2.2 Ba giai đoạn đơn giản hóa một tình huống thực tế 68

Sơ đồ 2.3 Mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế 69

Sơ đồ 2.4 Phân loại các tình huống toán học 69

Sơ đồ 2.5 Quá trình toán học hóa 81

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.1 Mái che di động 31

Hình 1.2 Mô hình toán cho tình huống mái hiên 32

Hình 1.3 Khoảng cách giữa hai tàu 33

Hình 1.4 Sự khác nhau giữa áp dụng toán và mô hình hóa 33

Hình 1.5 Chương trình ca nhạc ngoài trời 44

Hình 1.6 Chiều cao trung bình của giới trẻ ở Hà Lan năm 1998 45

Hình 1.7 Cửa hàng áo quần 45

Hình 1.8 Đèn hiệu giao thông và xe cứu thương 46

Hình 1.9a Tổng giá trị xuất khẩu từ Zedland 1996 – 2000 47

Hình 1.9b Phân phối xuất khẩu ở Zedland năm 2000 47

Hình 1.10 Bánh Pizza 51

Hình 1.11 Khoảng cách giữa hai gót chân liên tiếp 57

Hình 1.12 Trải thảm 62

Hình 2.1a Ly cocktail thủy tinh 70

Hình 2.1b Các ly thủy tinh với kích thước khác nhau 70

Hình 2.1c Phần thân ly cùng với đường kính và dung tích 71

Hình 2.1d Phần thân ly với chiều cao H và thể tích V 71

Hình 2.2a Ném bóng 86

Hình 2.2b Đá bóng 86

Hình 2.2c Trượt tuyết 86

Hình 2.2d Biểu diễn mô tô bay 86

Hình 2.3a Cầu Golden Gate ở San Francisco – California, Mỹ 86

Hình 2.3b Cầu cảng Sydney, Úc 86

Hình 2.3c Tháp Eiffel, Pháp 87

Hình 2.3d Hồ cá hải dương học ở Valencia, Tây Ban Nha 87

Hình 2.4… 87

Hình 2.5a Đo chiều cao ngọn núi 88

Hình 2.5b Ví trí hai diễn viên nhào lộn có thể “bắt” nhau 88

Hình 2.5c Dắt sà lan biển với hai tàu kéo 88

Hình 2.5d Xác định vị trí trên biển 88

Hình 3.1 Biểu đồ tần số hình cột 111

Hình 3.2 Kế hoạch thực nghiệm 113

Hình 3.3 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Út và nhóm Nguyệt 154

Hình 3.4 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Duyệt, Việt và Phú 155

Hình 3.5 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Thiện 155

Hình 3.6 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Phượng và nhóm Mơ 156 Hình 3.7 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Nhi và nhóm An 157

Hình 3.8 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Hòa và nhóm Linh 157

Hình 3.9 Mức độ trung bình của các năng lực HBĐL qua bốn buổi thực nghiệm 158 Hình 3.10 Biểu đồ đường biểu diễn điểm trung bình mỗi câu 178

Hình 3.11 Biểu đồ hình hộp điểm của hai bài kiểm tra 178

Hình 3.12 Biểu đồ đám mây điểm của điểm pretest và postest 179

Hình 3.13 Điểm trung bình của các năng lực HBĐL qua hai bài kiểm tra 179

Hình 3.14 Điểm trung bình của các năng lực HBĐL qua hai bài kiểm tra và bốn buổi thực nghiệm 180

MỞ ĐẦU

1 Giới thiệu về hiểu biết định lượng

Trong lớp học toán, học sinh thường áp dụng các quá trình toán đã được học vào những nhiệm vụ cụ thể Nhưng để sử dụng các quá trình đó một cách linh hoạt và phù hợp khi cần thiết ở bên ngoài lớp học thì học sinh cần hiểu ý nghĩa đằng sau các phép toán, các quá trình, các khái niệm và có khả năng kết nối các ý tưởng toán học khác nhau Kiến thức được học để hiểu và có thể sử dụng khi cần thiết là quan trọng hơn học để ghi nhớ, thuộc lòng Nếu học sinh tập luyện và thực hành một quá trình

mà không hiểu ý nghĩa của quá trình đó thì khó có thể sử dụng trong các tình huống thực tế một cách phù hợp

Ví dụ: Học sinh lớp 5 có thể dễ dàng trả lời câu hỏi “21000×1,3 = ?” bằng cách sử dụng quy tắc nhân với số thập phân đã được học Tuy nhiên, trong trường hợp không có giấy viết hoặc máy tính trên tay, chẳng hạn “đi chợ, em mua 1,3 kg táo, giá mỗi kilogam táo là 21000 đồng, vậy em phải trả bao nhiêu tiền?”, học sinh cần

có khả năng tính nhẩm Khi hiểu quy tắc thực hiện phép nhân, nhân một số thập phân với 10, hiểu vị trí của các chữ số, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, học sinh có thể thay thế 21000×1,3 bởi 2100×13 và tính nhẩm bằng cách 2100×10+2100×3 hoặc 2000×13+100×13 hoặc 21000+2100×3 Không phải học sinh lớp 5 nào cũng trả lời đúng trong tình huống này

Hoặc dựa vào sơ đồ (hình 1) biểu diễn doanh thu đạt được (phần màu đen) so với mục tiêu đề ra ban đầu (phần màu trắng) của hai công ty A và B trong năm 2012,

một học sinh so sánh như sau: để đạt được mục tiêu, công ty A cần tăng thêm 50 triệu VNĐ, công ty B chỉ cần tăng thêm 30 triệu VNĐ do đó công ty B gần đạt mục tiêu hơn Một học sinh khác sử dụng tỉ lệ để so sánh và nhận thấy công ty A gần đạt mục tiêu ban đầu hơn vì đã thực hiện được 5/6 (83,33%) mục tiêu của mình trong khi công ty B chỉ đạt 3/4 (75%)

0 50 100 150 200 250 300 350

Công ty A Công ty B

Mục tiêu Doanh thu

Hình 1 Doanh thu đạt được so với mục tiêu đề ra của công ty A và B

Trong ví dụ trên, hiểu các khái niệm phân số, phần trăm cho phép học sinh đưa ra lời giải ý nghĩa khi so sánh các phần của các đại lượng có kích thước khác nhau Khả năng học sinh sử dụng kiến thức toán đã học để giải quyết hiệu quả các tình huống thực tế, như hai ví dụ trên, là những biểu hiện của hiểu biết định lượng (HBĐL)

2 Lý do chọn đề tài

2.1 Nhu cầu từ thực tế

Thế kỉ 21 là một thế kỉ tràn ngập các số liệu Chúng ta có thể tìm thấy rất nhiều ví

dụ trong cuộc sống hàng ngày và trên các phương tiện truyền thông, ở đó đòi hỏi khả năng phân tích, xử lý thông tin một cách “hiểu biết” để đưa ra những nhận định

có cơ sở (Steen, 2001, [57]):

- Các bài viết sử dụng các phép đo định lượng để báo cáo sự gia tăng giá xăng (phụ lục 1), thay đổi trong tỉ lệ đậu đại học, nguy hiểm chết người từ bệnh ung thư đường ruột

- Các quảng cáo sử dụng các con số để cạnh tranh về giá của các hợp đồng điện thoại (phụ lục 2), cho vay mua xe ô tô với lãi suất thấp

triệu VNĐ

- Các bản tin thể thao thường có nhiều thống kê về các đội thi đấu và tỉ lệ thắng thua cho những trận đấu sắp tới

- Hoặc gần gũi hơn đối với cuộc sống của mỗi cá nhân như đọc hiểu lịch trình

xe buýt, hiểu các loại hóa đơn (điện, nước, điện thoại), lên kế hoạch chi tiêu, trang trí sắp xếp đồ đạc trong nhà

Cuộc điều tra của Hiệp hội các trường Đại học ở Mỹ AAC&U (Association of American Colleges and Universities) năm 2009 đã chỉ ra mối quan tâm của những người sử dụng lao động về các kĩ năng HBĐL, họ nhận thấy rằng gần như tất cả sinh viên ngày nay sẽ cần một lớp rộng các kĩ năng HBĐL để có thể thực hiện tốt công việc của nghề nghiệp tương lai “Để thành công ở nơi làm việc, HBĐL là một trong những nhân tố cần thiết” (Steen, 2001, [57])

2.2 Sự thay đổi nhu cầu toán học của xã hội

Mọi người thường nghĩ toán học là một môn học không thay đổi từ trước đến nay, bao giờ cũng gồm các công thức, khái niệm, định lý, chứng minh, thuật toán Thực

ra, các phát minh toán học đã phát triển với tốc độ nhanh chóng trong ba thế kỉ qua, cùng lúc đó vai trò của toán học trong xã hội cũng được mở rộng chứ không còn hạn chế với một số lĩnh vực như trước đây Điều này đòi hỏi một sự gia tăng về HBĐL và yêu cầu để đưa HBĐL vào trường học (Hallett, 2003, [32])

Quan trọng hơn là ngày càng có nhiều người cần phải sử dụng tư duy định lượng ở nơi làm việc, trong giáo dục và hầu như mọi lĩnh vực khác của xã hội Ví dụ:

- Nông dân sử dụng kiến thức toán để tính lượng hạt giống, phân bón, hóa chất cần thiết cho đất canh tác của mình, hoặc tính toán chi phí đầu tư bao gồm chi phí giống, công lao động, máy móc, phân bón hóa học, từ đó ước lượng giá thành của sản phẩm

- Một đầu bếp cần có hiểu biết về tỉ lệ để có thể tăng hoặc giảm số lượng mà không ảnh hưởng đến tỉ lệ các thành phần của một công thức nấu ăn

- Luật sư sử dụng các bằng chứng thống kê và những lập luận liên quan đến xác suất để thuyết phục thành viên ban hội thẩm

2.3 Quan tâm của các nghiên cứu trong giáo dục

Con người cần những năng lực toán nào để thành công trong xã hội ngày nay? Câu hỏi này đã đưa các nhà giáo dục đến việc nghiên cứu chương trình và chỉ ra những nhu cầu liên quan đến học sinh Một trong những mục tiêu mà giáo dục toán hướng đến là khuyến khích mối liên hệ giữa kiến thức, kĩ năng thu nhận được trong lớp học với khả năng thực hiện các tình huống thực tế đòi hỏi sử dụng các kiến thức, kĩ năng đó Ngoài ra, ngày càng có nhiều nhà giáo dục nhận ra tầm quan trọng của HBĐL trong thế giới hiện nay:

- “HBĐL là một loại hiểu biết cần thiết trong thời đại của chúng ta” (Skalicky,

- “Khi xã hội ngày càng phụ thuộc vào thông tin và khi công nghệ ngày càng trở thành một phần của cuộc sống thì nhu cầu HBĐL càng gia tăng” (Shavelson,

2008, [53])

Theo Hallett (2003, [32]), sự gia tăng này là cần thiết bởi vì “nếu năng lực HBĐL hạn chế thì khả năng để các công dân đưa ra những quyết định thiếu hiểu biết ở nơi làm việc, nơi công cộng và trong cuộc sống cá nhân sẽ tăng” Kaiser (2005, [35])

cũng cho rằng, đây là một phản ứng tự nhiên khi thế giới chuyển từ thời đại công nghiệp sang thời đại thông tin

Trên phạm vi toàn cầu, HBĐL đã và đang thu hút nhiều sự quan tâm của các tổ chức giáo dục có uy tín, chẳng hạn:

- Nhiều hội nghị giữa các nhà giáo dục, các nhà toán học, những nhà lãnh đạo công nghiệp, những người tham gia trong lĩnh vực giáo dục nhà trường trao đổi xung quanh vấn đề làm thế nào để gia tăng HBĐL cho con người ngày nay một cách thích hợp để họ có thể đương đầu với những thách thức định lượng của cuộc sống trong thế kỉ 21

- IALS (The International Adult Literacy Survey) – một chương trình điều tra quốc tế về hiểu biết của người trưởng thành trên quy mô lớn được thiết kế để xác định và đo lường các kĩ năng cần thiết của một cá nhân tham gia hiệu quả vào xã hội thông tin hiện nay, bao gồm HBĐL, giải quyết vấn đề, sử dụng công nghệ thông tin

- NECQL (Northeast Consortium on Quantitative Literacy) Diễn đàn vùng Đông Bắc về HBĐL – là một diễn đàn thảo luận và phổ biến các thông tin liên quan đến HBĐL được tổ chức vào mùa xuân hàng năm tại các trường ĐH tại

Mỹ

- Năm 2000, chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) của tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development) bắt đầu một cuộc điều tra quốc tế, đánh giá sự sẵn sàng của học sinh mười lăm tuổi cho cuộc sống bên ngoài trường học, tập trung vào ba phần chính: đọc hiểu, HBĐL và hiểu biết khoa học Về phần HBĐL, PISA ít chú trọng đến kiểm tra kiến thức toán thuần túy mà quan tâm nhiều đến việc học sinh thực hiện các áp dụng toán trong những ngữ cảnh thực tế, nghĩa là học sinh có thể làm gì với kiến thức toán đã học được từ nhà trường

2.4 Hiểu biết định lượng là cầu nối giữa toán học nhà trường và thế giới thực

Trước khi trẻ đến trường, các em thấy toán học như là một cách hữu ích để xác định

số lượng và hiểu biết thế giới xung quanh Nhưng khi đến trường, nếu việc học toán chủ yếu chỉ tập trung vào nhớ lại, lặp lại, giải thích các sự kiện, qui tắc thì học sinh

dễ đánh mất niềm tin toán học là một khoa học dựa trên kinh nghiệm và khó thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn Hiểu biết định lượng sẽ giúp các em:

- Hiểu và nhận ra lợi ích của toán học;

- Gắn kết toán với thế giới thực;

- Sử dụng toán một cách thích hợp trong những tình huống khác nhau;

- Giao tiếp toán học bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán một cách phong phú;

- Phân tích, tổng hợp, đánh giá tư duy toán học của người khác

Do đó, hiểu biết định lượng là năng lực cần được trang bị ở nhà trường phổ thông,

nó không chỉ cần thiết cho sự thành công ở trường học mà còn giúp cho việc học các môn khoa học, nghiên cứu xã hội và công nghệ được tốt hơn (NCTM, 2002) Hiện nay, việc đánh giá năng lực hiểu biết định lượng của học sinh phổ thông được thực hiện ở nhiều kỳ thi mang tính quốc tế như SAT (Scholastic Assessment Test), PISA (Programme for International Student Assessment) Các kỳ thi này xem hiểu biết định lượng là năng lực không thể thiếu của một công dân có giáo dục trong xã hội hiện đại Tuy nhiên, ở nước ta hầu như chưa có nghiên cứu nào trong giáo dục toán đề cập đến vấn đề này Chúng ta cần tiến hành nhiều nghiên cứu hơn nữa để phát triển năng lực hiểu biết định lượng của học sinh

Trong chương trình toán hiện nay ở Việt Nam, học sinh lớp 10 được trang bị phần lớn các kiến thức đại số và hình học phẳng như phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, thống kê, hàm số bậc nhất và bậc hai, lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác, đường tròn, ba đường conic, vectơ… điều này thuận lợi cho việc các em

sử dụng những kiến thức và kĩ năng toán đã học được vào giải quyết nhiều tình huống thực tế khác nhau của cuộc sống Đồng thời, theo chúng tôi đây là thời điểm

nên bắt đầu chú trọng đến phát triển các năng lực HBĐL cho học sinh để chuẩn bị cho các em bước vào cuộc sống trưởng thành

Từ các lý do trên, chúng tôi chọn “SỬ DỤNG TOÁN HỌC HOÁ ĐỂ PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH LỚP 10” làm đề tài nghiên cứu của luận án này

3 Sơ lược các nghiên cứu liên quan đến đề tài

Trong khi có nhiều tài liệu đề cập đến khái niệm HBĐL cũng như sự cần thiết để phát triển năng lực này cho học sinh và sinh viên (Madison, 2006, [42], Hallett,

2001, [31], Steen, 2001, [57], Wallace, 2009, [68]), tuy nhiên đối với câu hỏi “làm thế nào để phát triển năng lực HBĐL?” thì câu trả lời đưa ra thường chung chung và thiếu chi tiết, chẳng hạn như:

Hallett (2001, [31]), đứng trên quan điểm của một nhà nghiên cứu giáo dục, đã đưa

ra một số đề nghị để phát triển HBĐL:

- HBĐL cần được dạy trong các ngữ cảnh thực tế; để học sinh có thể áp dụng kiến thức toán đã học trong nhiều ngữ cảnh khác nhau thì trước hết các em cần nhận ra những kiến thức toán trong các ngữ cảnh đó, muốn vậy các em phải hiểu được tình huống, điều này phụ thuộc vào mối quan hệ, kinh nghiệm của học sinh đối với lĩnh vực được đặt ra

- Học sinh cần “hiểu biết sâu sắc” các kiến thức toán để có thể phát hiện các mối quan hệ định lượng và nhận ra các mối quan hệ này trong những ngữ cảnh không quen thuộc

- Tạo cho học sinh thói quen sẵn sàng sử dụng các công cụ định lượng để phân tích, phản ánh, phán xét các hiện tượng tự nhiên, xã hội, muốn vậy các em cần được thực hành các kĩ năng này thường xuyên trong lớp học

Tuy nhiên, bà cũng cho rằng để làm được điều này là một thử thách lớn đối với các giáo viên, các nhà giáo dục, và để thực hiện hiệu quả cần có sự chia sẻ của nhiều

môn học, cũng như có sự phối hợp giữa các cấp học từ phổ thông đến cao đẳng, đại học

Theo De Lange (2003, [21]), HBĐL có mối liên hệ chặt chẽ với toán học vì vậy ông

đã đưa ra những chỉ dẫn mà theo ông dạy học toán có thể giúp để phát triển HBĐL:

- Các khái niệm toán nên được học thông qua giải quyết vấn đề trong môi trường phù hợp, tạo cơ hội cho toán học hóa và tổng quát hóa

- Kiến thức toán được dạy không chỉ trong ngữ cảnh toán học mà còn trong cả những ngữ cảnh thực tế

Hoặc “Để phát triển hiểu biết định lượng, giáo viên cần khuyến khích học sinh nhận

ra và sử dụng toán trong mọi tình huống định lượng May mắn là các tình huống định lượng có thể được tìm thấy rất nhiều trong thực tế vì vậy chúng ta có nhiều cơ hội để phát triển hiểu biết định lượng của học sinh thông qua chương trình” (Steen,

đã sử dụng 5 mức độ hiểu biết toán được xếp từ thấp đến cao dựa trên tiếp cận của Bybee và tập trung vào (i) khả năng giải quyết các vấn đề thực tế bằng phương tiện toán học, (ii) khả năng suy luận toán học, (iii) khả năng sử dụng các khái niệm và phương pháp toán một cách linh hoạt, phản ánh Phát triển hiểu biết toán được thực hiện qua một năm đối với 31 học sinh lớp 7 và 8 được chọn từ 6 trường phổ thông của thành phố Hamburg, đây là những học sinh có năng lực cao về toán để đảm bảo

có các kĩ năng toán cơ bản cần thiết cho việc giải quyết vấn đề Kết quả nghiên cứu cho thấy học sinh có những thay đổi đáng kể, thể hiện sự tiến bộ rõ rệt ở mức độ 3 – nghĩa là hiểu các kiến thức, quy tắc toán học và có thể áp dụng linh hoạt trong nhiều ngữ cảnh khác nhau Ngược lại, ở các mức độ cao hơn (4 và 5) sự tiến bộ là rất ít

Dingman và Madison (2010, [23]), Boersma (2011, [16]) đã mô tả những thành công và thách thức trong quá trình thực hiện và phát triển khóa học Hiểu biết định lượng đối với sinh viên ngành báo chí tại trường Đại học Arkansas ở Mỹ, đây là một phần trong dự án quốc gia NSF Khóa học, MATH 2183, được thiết kế để sinh viên làm việc hợp tác theo nhóm, thảo luận và trả lời các câu hỏi liên quan đến thông tin định lượng xuất hiện từ những bài báo được đăng tải trên các tạp chí Dựa trên kết quả có được từ khóa học và phân tích những điểm mạnh, điểm yếu của sinh viên khi làm việc trong môi trường đòi hỏi hiểu biết định lượng, các tác giả đã đưa

ra những kết luận từ nghiên cứu này như nguồn tài liệu phục vụ giảng dạy khá hạn chế, sinh viên gặp nhiều khó khăn khi giải quyết vấn đề, giáo viên thiếu kinh nghiệm và sự linh hoạt khi xử lý các tình huống xảy ra trong lớp học… Tuy nhiên qua 6 năm thực hiện, nhiều thách thức đã được cải thiện, kết quả của khóa học có sự tiến bộ mặc dù khá khiêm tốn, nhiều sinh viên cảm thấy tự tin hơn về năng lực hiểu biết định lượng của mình sau khi tham gia khóa học

Ngoài ra, một số nghiên cứu báo cáo kết quả của việc phát triển năng lực hiểu biết định lượng thông qua chương trình ở nhiều trường đại học của Mỹ đối với những ngành học có các khóa học về toán Để đánh giá, các nghiên cứu này thường sử dụng một bài kiểm tra đầu vào đối với sinh viên năm thứ nhất và bài kiểm tra đầu ra đối với những sinh viên đó ở năm cuối, ví dụ trường ĐH James Madison (Sundre và Thelk, 2010, [63]), ĐH Miami (Ward, 2011, [69]), ĐH Michigan (Sikorskii, 2011, [54]), rồi dựa trên kết quả thu được để so sánh, xem xét tính hiệu quả của chương trình có tích hợp hiểu biết định lượng Bên cạnh đó, một số trường xây dựng thang đánh giá để đo các năng lực hiểu biết định lượng của sinh viên thể hiện qua hồ sơ học tập hoặc dự án như trường ĐH Carleton, Hiệp hội các trường đại học Mỹ AAC&U (Taylor, 2009, [65])

Về phần các nghiên cứu trong nước, hầu như chưa có nghiên cứu nào đề cập đến hiểu biết định lượng cũng như phát triển hiểu biết định lượng

4 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu này là tìm kiếm cách thức để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10 thông qua quá trình toán học hóa, trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết về mô hình hóa toán học, hiểu biết định lượng và chương trình toán 10 nâng cao hiện nay

Với mục đích trên, luận án sẽ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:

4.1 Xây dựng quá trình toán học hóa như thế nào để có thể sử dụng phù hợp trong chương trình toán phổ thông hiện nay?

4.2 Sử dụng quá trình toán học hóa như thế nào để có thể phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh?

4.3 Làm thế nào để đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng thông qua quá trình toán học hóa?

4.4 Năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10 phát triển như thế nào thông qua việc sử dụng các tình huống toán học hóa trong dạy học toán?

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án có nhiệm vụ nghiên cứu những vấn đề sau đây:

5.1 Nghiên cứu lý thuyết về mô hình hóa toán học và chương trình toán 10 nâng cao hiện nay để tìm ra quá trình toán học hóa phù hợp với hướng nghiên cứu của đề tài

5.2 Phân tích mối liên quan giữa quá trình toán học hóa và các năng lực hiểu biết định lượng để chứng tỏ rằng về mặt lý thuyết có thể sử dụng quá trình toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng

5.3 Tìm hiểu các nội dung toán lớp 10 để thiết kế các tình huống toán học hóa tạo

cơ hội thúc đẩy học sinh phát triển các năng lực hiểu biết định lượng

5.4 Xây dựng thang đánh giá giúp cho điểm các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh thông qua quá trình toán học hóa

5.5 Phân tích mức độ phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp

10 thông qua việc sử dụng các tình huống toán học hóa trong dạy học toán?

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về mô hình hóa toán học và hiểu biết định lượng

- Phân tích, tổng hợp các công trình nghiên cứu về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài

6.2 Phương pháp điều tra

- Điều tra kết quả học tập môn toán của học sinh để biết được khả năng toán của lớp thực nghiệm tại thời điểm bắt đầu nghiên cứu

- Điều tra độ tin cậy của bộ công cụ đánh giá thông qua tiến hành thử nghiệm bộ công cụ

- Điều tra tác động của nghiên cứu lên nhận thức, thái độ của học sinh đối với các tình huống định lượng

6.3 Phương pháp quan sát, phỏng vấn: Quan sát, phỏng vấn được tiến hành trong

suốt quá trình thực nghiệm để hỗ trợ quá trình phân tích

6.4 Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia về phạm vi

nghiên cứu của đề tài

6.5 T ổ chức dạy học thực nghiệm

- Tổ chức dạy học thực nghiệm sư phạm để nghiên cứu sự phát triển các năng lực HBĐL của học sinh

- Sử dụng phương pháp định tính và định lượng để xử lý, phân tích, giải thích

dữ liệu thu được

7 Những đóng góp của luận án

7.1 Về mặt lý luận

- Luận án đưa ra một cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp với chương trình hiện nay

- Luận án bước đầu kiểm nghiệm được rằng có thể sử dụng quá trình toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh

- Luận án cũng đã đề xuất thang đánh giá giúp đo mức độ đạt được các năng lực hiểu biết định lượng trong những nhiệm vụ toán học hóa chứa đựng yếu tố định lượng

7.2 Về mặt thực tiễn

- Kết quả nghiên cứu cho phép chúng ta tin rằng học sinh lớp 10 chương trình nâng cao có thể phát triển các năng lực hiểu biết định lượng thông qua bộ công

cụ được trình bày trong luận án

- Hệ thống các tình huống trong luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên phổ thông, vận dụng vào thực tiễn dạy học theo hướng phát triển HBĐL của học sinh

8 Bố cục của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chính của

luận án được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Toán học hóa và hiểu biết định lượng Chương 2 Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

C HƯƠNG 1

TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG

Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu mà đề tài đặt ra, tiếp cận lý thuyết chúng tôi sử dụng trong luận án này tập trung vào mô hình hóa toán học và hiểu biết định lượng Qua đó tìm hiểu, phân tích mối quan hệ giữa hai khái niệm toán học hóa và hiểu biết định lượng cũng như xem xét việc sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học toán dưới quan điểm lý thuyết kiến tạo xã hội

1.1 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

Một trong những lý do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn của chương trình giáo dục toán ở hầu hết các nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trong thực tiễn, toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau trong nhiều môn học (vật lý, hóa học, sinh học, địa lý, kĩ thuật), trong công việc và trong cuộc sống hàng ngày của mỗi người (Muller và Burkhardt, 2007, [45])

Theo Blum và Niss (1991, [11]), bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng liên quan đến toán học như khái niệm, định lý, công thức, quy tắc, dạy toán cần giúp học sinh phát triển khả năng kết nối các kiến thức, kĩ năng đó để giải quyết những tình huống thực tế Khi sử dụng toán để giải quyết các vấn đề, tình huống trong lĩnh vực ngoài toán thì mô hình toán học và quá trình mô hình hóa toán học là những công cụ cần thiết

Những thập kỉ gần đây, mô hình hóa toán học trong nhà trường ngày càng được thúc đẩy nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng thực tế, được đặt ra bởi nhiều quan điểm giáo dục từ giữa thế kỉ 20 đến nay (Kaiser, 2007, [39]) Vậy tại sao mô hình hóa toán học lại cần thiết đối với học sinh? Blum (1993, [12]), Stillman (2010, [61]) đã đưa ra các lý do chính sau đây:

- Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống, môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn

- Mô hình hóa toán học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán như một công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ

đó giúp các em thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế Khả năng sử dụng toán vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự động của sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện

- Mô hình hóa toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và phong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học mà còn là một phần của lịch sử và văn hóa loài người

- Các nội dung toán có thể được hình thành, củng cố bởi các ví dụ mô hình hóa phù hợp, điều này giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thái độ tích cực của các em đối với toán, tạo động cơ, thúc đẩy việc học toán

- Mô hình hóa toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực toán học của học sinh như suy luận, khám phá, sáng tạo, giải quyết vấn đề

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Để làm cơ sở cho việc trình bày của luận án, dưới đây chúng tôi sẽ mô tả ngắn gọn khái niệm của một số thuật ngữ liên quan

Để dễ hình dung, các nhà giáo dục toán quan niệm là thế giới mà chúng ta đang sống được xem như tách thành hai phần, thế giới thực và thế giới toán học

- Thế giới toán học: là phần thế giới bao gồm các đối tượng, kí hiệu, quan hệ,

cấu trúc toán học (Blum và Niss, 1991, [11])

- Thế giới thực: là thuật ngữ được sử dụng để mô tả phần thế giới bên ngoài thế

giới toán học, đó có thể là một môn học, một ngành khoa học khác, một lĩnh vực thực hành, một phạm vi liên quan đến cuộc sống cá nhân hoặc xã hội (Blum và Niss, 1991, [11])

Khi đó, tình huống thực tế là tình huống được đặt ra trong thế giới thực với các dữ

liệu thực Tuy nhiên, ở đây chúng tôi chỉ xét các tình huống thực tế mà có thể sử dụng toán học để phân tích và mô tả

- Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý (Swetz và Hartzler, 1991, [64])

- Mô hình vật lý là một bản sao, thường khác về kích cỡ, nhưng có cùng nhiều

tính chất với đối tượng gốc mà mô hình đó biểu diễn (Swetz và Hartzler, 1991, [64]) Ví dụ, một mô hình thuyền buồm cũng có thể nổi và được đẩy đi bởi gió như thuyền thật Ngoài ra, các mô hình lý thuyết cũng được xây dựng

- Mô hình lý thuyết là tập hợp các quy tắc biểu diễn một sự vật hiện tượng trong

đầu của người quan sát Khi các quy tắc đó là quy tắc toán học thì một mô hình

toán được tạo ra Hay nói cách khác, mô hình toán học là một cấu trúc toán

học (đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ phương trình, biểu thức đại số, hàm số…) gồm các kí hiệu và các quan hệ toán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu (Swetz và Hartzler, 1991, [64]) Ví dụ, trong xây dựng, thay vì đo độ võng của dầm sau khi thi công, một mô hình lý thuyết cho phép tính độ võng dưới một tải trọng là cần thiết, giúp tiết kiệm nhiều thời gian và công sức Thông qua thử

nghiệm, quan sát, tính toán, mô hình được xác định bởi công thức: độ võng f =

PL3 / 48EJ , với P là tải trọng, L là chiều dài dầm, E là môđun đàn hồi và J là

mômen quán tính Dựa vào mô hình trên, người kĩ sư có thể tính toán, điều chỉnh các thông số ngay từ khi thiết kế để đảm bảo độ võng cho phép

- Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi đã được

đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống

thực tế ban đầu (Blum và Niss, 1991, [11])

1.1.2 Khái niệm mô hình hóa toán học

Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa và mô tả về khái niệm mô hình hóa toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa mô hình hóa toán học của Edwards và Hamson (2001, [24]) như sau:

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn

đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận

Phát biểu một cách cụ thể hơn, mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý Tuy nhiên, nếu nói một cách ngắn gọn thì

mô hình hóa toán học chỉ là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học

Dựa vào định nghĩa trên, ta thấy rằng mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế được xem xét

Để thuận tiện trong việc trình bày luận án, kể từ lúc này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ “mô hình hóa”, viết tắt là MHH, thay cho thuật ngữ “mô hình hóa toán học”

1.1.3 Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học

Các tác giả thường sử dụng những sơ đồ khác nhau, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tế được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu…

để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đều nhằm minh họa các

bước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tốt hơn

Các sơ đồ quá trình mô hình hóa phục vụ nhiều mục đích trong dạy học và nghiên cứu như Stillman (2007, [60]) đã chỉ ra:

- Mô tả tóm tắt quá trình mô hình hóa;

- Cung cấp cho những người mới bắt đầu MHH các bước hướng dẫn khi đứng trước một nhiệm vụ thách thức và mơ hồ cũng như khi gặp khó khăn trong quá trình giải quyết một tình huống thực tế;

- Cung cấp một công cụ giúp giáo viên lên kế hoạch dạy học MHH và dự kiến những can thiệp, hỗ trợ khi sử dụng các tình huống thực tế trong dạy học;

- Hướng dẫn các quan sát và phân tích trong nghiên cứu về quá trình MHH của học sinh để xác định những giai đoạn nào được thực hiện, các hoạt động nhận thức nào xảy ra, những khó khăn nào học sinh gặp phải trong hoạt động MHH;

- Nhận ra các yếu tố cơ bản của hoạt động MHH;

- Cơ sở để lựa chọn và thiết kế các tình huống MHH

Phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu ba sơ đồ khác nhau mô tả quá trình mô hình hóa, được sắp xếp theo trình tự thời gian và mức độ phức tạp

1.1.3.1 Sơ đồ của Pollak

Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979) là một trong những sơ đồ đầu tiên biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán và thực tế theo cả hai chiều khi thực hiện MHH (xem Ferri, 2006, [27])

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979)

Giải thích sơ đồ: Từ một tình huống trong thực tế, người MHH thực hiện “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán, rồi giải toán trong mô hình đó, và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho phép đi quanh sơ đồ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần

Qua thời gian, các sơ đồ đã phát triển để cung cấp những hình ảnh chi tiết hơn về quá trình MHH Phần lớn sự phát triển này tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Blum và Leiß (2006, [13])

1.1.3.2 Sơ đồ của Blum và Leiß

Blum và Leiß (2006) đã sử dụng một sơ đồ gồm 7 bước (sơ đồ 1.2) để mô tả quá trình giải quyết một nhiệm vụ MHH Sơ đồ này được xem là cơ sở cho phần lớn các hoạt động MHH và các biến thể của những sơ đồ hiện nay (Siller, 2011, [55]) Điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực

tế và mô hình thực, bởi vì Blum cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình MHH mà mỗi học sinh ít nhiều đều phải trải qua

Thế giới

thực

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình MHH của Blum và Leiß (2006)

Bước 1: Hiểu tình huống thực tế được cho, xây dựng một mô hình cho tình

huống đó;

Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa vào các biến phù hợp để được mô

hình thực của tình huống;

Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;

Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện quá trình lần 2; Bước 7: Trình bày cách giải quyết

Nhiều mở rộng và cải tiến liên quan đến quá trình MHH thường làm gia tăng mức

độ phức tạp và chi tiết của sơ đồ, một ví dụ cho trường hợp này là sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007, [60])

1.1.3.3 Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards

Ngược lại với hai sơ đồ trên, sơ đồ này không tách biệt giữa thế giới thực và thế giới toán học Để biểu diễn sự phức tạp của sơ đồ, bên cạnh việc mô tả quá trình

MHH, Stillman và các cộng sự đã nhấn mạnh tính chất phản ánh của quá trình thông qua hai chiều mũi tên tại các điểm chuyển tiếp giữa mỗi giai đoạn, đồng thời chú ý đến các hoạt động nhận thức của học sinh xảy ra trong suốt quá trình

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007)

Các mục từ A đến G thể hiện các bước của quá trình MHH, các mũi tên đậm biểu thị sự chuyển đổi giữa các bước Quá trình MHH đi theo dấu mũi tên cùng chiều kim đồng hồ và kết thúc bằng việc thể hiện kết quả hoặc tiếp tục một quá trình MHH khác nếu kết quả là không thỏa đáng ở một phương diện nào đó Các hoạt động trí tuệ mà học sinh cần nổ lực để chuyển từ giai đoạn này sang giai đoạn tiếp theo được mô tả bởi các bước 1-7 Các mũi tên ngược lại (màu nhạt) nhấn mạnh sự tồn tại của hoạt động phản ánh, nghĩa là người thực hiện MHH có thể quay lại ở bất

kì bước nào của quá trình để xem xét nếu không thể tiếp tục thực hiện

1.1.4 Sự khác nhau giữa mô hình hóa và áp dụng toán

Mô hình hóa và áp dụng toán là hai hoạt động quan trọng trong dạy học toán, và cả hai thuật ngữ này đều được sử dụng để biểu thị các mối quan hệ giữa thế giới thực

và toán, tuy nhiên giữa chúng có sự khác biệt

1 Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống

2 Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán

3 Giải toán

4 Giải thích kết quả toán

5 So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lý

6 Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình thỏa đáng)

7 Lặp lại quá trình (nếu mô hình không thỏa đáng)

a MHH có xu hướng tập trung vào chiều “từ thực tế đến toán”

MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tế, xây dựng mô hình toán học, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay trở lại

thực tế xem xét tính hữu ích của mô hình toán đã sử dụng để mô tả và phân tích tình huống thực Sẽ có nhiều công cụ toán học khác nhau hữu ích đối với mỗi tình huống, tùy thuộc vào cách phân tích tình huống đó, vì vậy đứng trước một nhiệm vụ MHH, câu hỏi đặt ra là: kiến thức toán nào phù hợp để giải quyết?

V í dụ MÁI HIÊN

Tình huống sau được đặt ra khi học sinh đã hoàn thành chương 1, hình học 10

“Nhà anh Bình quay mặt về hướng Đông nên buổi sáng thường bị nắng chiếu vào nhà Anh muốn lắp một mái che di động ở mặt trước của ngôi nhà để che không cho ánh nắng mặt trời chiếu vào nhà sau 9 giờ, khi góc tới của tia nắng (góc hợp bởi tia nắng và mặt đất) lớn hơn 600 Anh Bình cần một mái che như thế nào? Giải thích phương pháp của em?”

Hình 1.1 Mái che di động

Trước tình huống này, học sinh chưa biết phải sử dụng kiến thức toán nào Các em

có thể làm cho tình huống cụ thể hơn bằng cách tìm thêm một số thông tin cần thiết

để xây dựng một mô hình toán theo mục đích của mình Chẳng hạn, một học sinh quan tâm đến việc tính góc giữa mái che và tường thì có thể tạo ra một mô hình thực của tình huống như sau: vị trí mái che được gắn vào tường cách mặt đất 3,5 m, chiều rộng tối đa của mái che là 1,8 m, khoảng cách từ điểm thấp nhất của mái che

đến mặt đất nên lớn hơn 2,5 m để trong nhà không bị tối, tìm góc mà mái che cần tạo với tường đáp ứng các điều kiện trên Khi đó, học sinh có thể sử dụng định lý cosin và sin để tính số đo của góc trong tam giác khi biết hai cạnh và một góc Học sinh khác lại muốn lắp mái che vuông góc với tường nhà, cách mặt đất 3,5 m, như

vậy em này chỉ cần tính chiều rộng của mái che bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Áp dụng toán

Các công cụ toán khác nhau

Tình huống thực tế

Mô hình hóa

kết quả xuất sắc về môn học này? Dạy toán cần phải tiến hành sao cho học sinh có thể áp dụng toán vào những tình huống đơn giản của cuộc sống

Mối liên hệ giữa toán và MHH tiếp tục được đề cập đến tại hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977) – bao gồm các thảo luận về những khía cạnh của toán học ứng dụng trong giáo dục Một dấu mốc quan trọng trong việc giới thiệu MHH vào nhà

trường là nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác ở nhà trường Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày Từ đó, dạy và học MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu (Blum, 2007, [14])

Ví dụ:

- Nghiên cứu của chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA nhấn mạnh mục đích của giáo dục toán là phát triển khả năng học sinh sử dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương lai

- Hội nghị quốc tế về dạy mô hình hóa toán học và áp dụng toán ICTMA (International Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications) tổ chức hai năm một lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng và MHH trong tất cả các lĩnh vực của giáo dục toán

- Từ hội nghị lần thứ 4 (2005) đến hội nghị lần thứ 8 (2013) của hiệp hội nghiên cứu giáo dục toán châu Âu CERME (Congress of European Research in Mathematics Education), mô hình hóa và áp dụng toán là một trong những chủ

đề chính của thảo luận

Ngoài ra, xu hướng đưa MHH vào chương trình, sách giáo khoa với các mức độ khác nhau ngày càng gia tăng Chẳng hạn:

- Ở Đức, Pháp, Hà Lan, Úc, Mỹ, Thụy Sĩ, MHH là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán (Blum, 2007, [14], Stillman, 2010, [61])

- Ở Singapore, MHH được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của MHH trong việc học toán cũng như đáp ứng các thách thức của thế kỉ 21 (Balakrishnan, 2010, [9])

1.1.5.2 C ác tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán

Trong nghiên cứu giáo dục toán về lĩnh vực MHH, có rất nhiều hướng tiếp cận khác nhau, bắt nguồn từ các quan điểm lý thuyết khác nhau, mục đích khác nhau và đặc trưng cho các khía cạnh khác nhau của MHH (Kaiser và Sriraman, 2006, [38]) Các quan điểm này có những nét riêng và phát triển trong những môi trường nghiên cứu khác nhau, tuy nhiên giữa chúng vẫn có những phần giao và đôi khi khó để phân biệt (Blomhøj, 2008, [10], Frejd, 2010, [26], Kaiser, 2006, [37], Rau, 2010, [52])

- Quan điểm “Nhận thức luận”: cho rằng sự phát triển của lý thuyết toán là một

bộ phận của quá trình MHH thể hiện qua bộ ba Tình huống – Mô hình – Lý thuyết, nghĩa là các mô hình được xây dựng từ tình huống thực tế và đi đến sự phát triển của một lý thuyết toán thông qua thúc đẩy kết nối giữa hoạt động

MHH và hoạt động toán Freudenthal có thể xem là người đi đầu theo hướng tiếp cận này và sau đó được phát triển bởi Stainer, Revuz, Garcia, Bosh

- Quan điểm “Thực tế”: quan tâm đến khả năng người học áp dụng toán để giải quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học, kinh tế, công nghiệp… giúp

họ hiểu biết hơn về thế giới thực và thúc đẩy các năng lực MHH Quá trình

MHH là một quá trình hoàn chỉnh, được thực hiện như một nhà toán học ứng dụng, với mục đích giải quyết một vấn đề thực tế chứ không phải để phát triển một lý thuyết mới như quan điểm nhận thức luận Các nhà giáo dục toán tiêu biểu cho tiếp cận này là Pollak, Burkhardt, Kaiser và Schwarz

- Quan điểm “Giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được phát triển trong lĩnh vực

MHH thuộc quan điểm này, như Blum, Niss, Blomhoj, Jensen, Maass, Galbraith, Stillman Quan điểm này chú trọng tích hợp MHH vào dạy học toán; thông qua các ví dụ thực tế và mối quan hệ của chúng đối với toán học để xây dựng việc hiểu các khái niệm và thúc đẩy quá trình học toán; quan tâm đến

các bước của quá trình MHH; phát triển các năng lực MHH cũng như ý nghĩa của việc học toán

- Quan điểm “Phản ánh”: nhấn mạnh vai trò, chức năng của toán học nói chung, của mô hình hóa toán học nói riêng đối với sự phát triển tư duy phê phán, tư duy phản ánh của người học trước những tình huống trong xã hội, ví dụ như D’Ambrosio, Araujo, Barbosa

- Quan điểm “Ngữ cảnh”: phát triển các hoạt động học tập, cho phép học sinh hiểu được ý nghĩa của toán học thông qua các tình huống thực tế thường gặp trong cuộc sống hàng ngày được MHH Đại diện cho quan điểm nghiên cứu này là Lesh và Doerr

- Quan điểm “Nhận thức”: Đây là một tiếp cận mới về MHH, thông qua việc phân tích các quá trình mô hình hóa và các kiểu tình huống khác nhau để hiểu được quá trình nhận thức, xây dựng lại quá trình MHH của mỗi cá nhân, nhận

ra những rào cản, khó khăn của học sinh liên quan đến MHH Các nhà nghiên cứu được xếp theo quan điểm này là Blum, Leiß, Ferri, Carreira

1.1.6 Toán học hóa

Một khái niệm thường gặp trong các tài liệu về MHH toán học và liên quan đến quá trình MHH là toán học hóa Chúng tôi nhận thấy có nhiều quan điểm khác nhau về khái niệm toán học hóa mà có thể phân chia thành ba nhóm sau:

1.1.6 1 Toán học hóa bao gồm hai quá trình – dọc và ngang

Freudenthal (xem Van den Heuvel-Panhuizen, 2003, [67]) quan niệm rằng “toán học có quan hệ mật thiết với thực tế” và “toán học là kết quả hoạt động của con người” Vì vậy, học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có sẵn mà học toán là quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế hay trong nội tại toán học để xây dựng lại kiến thức toán và ông gọi quá trình đó là toán học hóa (mathematization)

Sau đó, Treffer (xem Gellert và Jablonka, 2007, [29]) đã trình bày khái niệm này rõ ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của toán học hóa trong bối cảnh giáo dục:

- Toán học hóa theo chiều ngang: chỉ quá trình mô tả một vấn đề thực tế theo ngôn ngữ toán học để có thể giải quyết vấn đề đó với công cụ toán Trong trường hợp này, toán học hóa là hoạt động chuyển đổi từ thế giới thực vào thế giới toán học

- Toán học hóa theo chiều dọc: là quá trình xảy ra trong thế giới toán học Thông qua quá trình này, học sinh đạt được một trình độ toán học cao hơn

Trong thực tế ranh giới của hai quá trình này không phải luôn luôn rõ ràng Sơ đồ dưới đây biểu diễn một số hoạt động có thể xuất hiện khi thực hiện quá trình toán học hóa theo hai chiều (de Lange, 1996, [20]):

Sơ đồ 1.4 Các hoạt động của quá trình toán học hóa

Các hoạt động của toán học hóa theo chiều dọc

Các hoạt động của toán học hóa theo chiều ngang

Phát biểu một khái niệm toán học mới Chứng minh các quy tắc

Biểu diễn mối quan hệ toán học bởi một công thức

Sử dụng các phương pháp giải khác nhau Điều chỉnh, cải tiến các phương pháp giải Khái quát hóa

Khám phá các quy luật Khám phá các mối quan hệ Hình dung vấn đề theo những cách khác nhau Chuyển một vấn đề thực tế sang một mô hình toán học Nhận ra những nội dung toán trong tình huống được cho

Như vậy, theo quan điểm này, quá trình toán học hóa xảy ra không chỉ khi giải quyết một vấn đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề toán học, nhằm khám phá các cấu trúc toán học Các tình huống thực tế chỉ đóng vai trò là môi trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất hiện các kiến thức toán

1.1.6.2 Toán học hóa là một phần của quá trình mô hình hóa

Trong quá trình MHH, thực tế và toán học thường được xem như hai thế giới riêng biệt và người mô hình hóa sẽ thực hiện một số bước biến đổi giữa hai môi trường này cũng như trong mỗi môi trường để giải quyết tình huống đặt ra Theo Blum và Leiß (2006, [13]), Kaiser (2007, [39]), Niss (2012, [48]), bước biến đổi từ mô hình thực tế sang mô hình toán học trong quá trình MHH được gọi là toán học hóa (sơ đồ 1.5)

S ơ đồ 1.5 Toán học hóa trong quá trình mô hình hóa

Khi học sinh bước vào quá trình toán học hóa, tình huống thực tế đã được đặc biệt hóa, lý tưởng hóa, lúc này học sinh cần chuyển đổi các đối tượng và quan hệ ngoài toán thành các đối tượng và quan hệ toán học, chuyển đổi câu hỏi đặt ra trong tình huống thực tế sang câu hỏi toán học, mục tiêu là biểu diễn mô hình thực tế bằng ngôn ngữ toán Nói cách khác, toán học hóa theo quan điểm này là một hoạt động

hay quá trình gắn liền với quá trình MHH nhằm biễu diễn hoặc giải thích mô hình thực tế bằng các phương tiện toán học

1.1.6 3 Toán học hóa là toàn bộ quá trình mô hình hóa

Trong chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, khái niệm toán học hóa (mathematisation) được mô tả là quá trình cơ bản mà học sinh sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tích lũy được từ trường học cùng với kinh nghiệm sống để giải quyết các vấn đề thực tế (PISA, 2009, [50])

Quá trình toán học hóa này bao gồm 5 bước, thể hiện ở sơ đồ dưới đây:

S ơ đồ 1.6 Quá trình toán học hóa theo PISA

Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế được đặt ra trong thế giới thực;

Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề

theo các khái niệm toán học;

Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một

bài toán thể hiện trung thực cho tình huống;

Bước 4: Giải quyết bài toán;

Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế,

xác định những hạn chế của lời giải

Như vậy, khái niệm toán học hóa được trình bày trong nghiên cứu của PISA thực chất là toàn bộ quá trình mô hình hóa Và trong phạm vi của luận án, chúng tôi quan

Lời giải thực tế Lời giải toán học