ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN, COMPACT YẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU

Tính lồi đều, lồi chặt của không gian thì lại đặc trưng bởi tính khả vi Frechet, khả vi Gateaux của ánh xạ chuẩn.. Vì vậy, luận văn sẽ nghiên cứu tính khả vi Gateaux, khả vi Frechet, mối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Mai Văn Duy

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Mai Văn Duy

Chuyên ngành : Toán Gi ải Tích

Mã số : 60 46 01 02

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những lời đầu tiên để gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS

Lê Hoàn Hoá- người đã ân cần chỉ bảo, hướng dẫn nhiệt tình về mặt chuyên môn cũng như phương pháp học tập quý báu, giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này Xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở phòng sau đại học, các thầy cô đang công tác

tại trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong toàn bộ quá trình học tập tại trường và trong quá trình làm luận văn Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân- những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mai Văn Duy

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu và viết tắt

M Ở ĐẦU 1

C hương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian Banach 4

1.2 Không gian Hilbert 5

1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ 9

1.4 Tính khả vi Gateaux và khả vi Frechet 14

1.5 Tập định hướng và lưới 18

1.6 Tập có thứ tự và bổ đề Zorn 19

C hương 2 TÍNH KHẢ VI GATEAUX CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI CH ẶT CỦA KHÔNG GIAN 21

2.1 Tính khả vi Gateaux của chuẩn, không gian trơn 21

2.2 Không gian lồi chặt 29

C hương 3 TÍNH KHẢ VI FRECHET CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI ĐỀU CỦA KHÔNG GIAN 33

3.1 Tính khả vi Frechet của chuẩn 33

3.2 Tính khả vi Frechet đều của chuẩn, không gian trơn đều, không gian lồi đều 42

C hương 4 CẤU TRÚC CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 65

4.1 Cấu trúc chuẩn tắc 65

4.2 Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động 67

K ẾT LUẬN 76

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 77

DANH M ỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

x Chuẩn của x trên không gian định chuẩn

M Ở ĐẦU

Điểm bất động của ánh xạ là một đối tượng đã được nghiên cứu từ rất lâu và

có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và công nghệ Các định lý

về điểm bất động được bắt đầu nghiên cứu từ lớp các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều, đó là các định lý Brouwer:

Định lý Brouwer: Cho X là không gian hữu hạn chiều, Blà quả cầu đơn vị đóng trong X. Khi đó, mọi ánh xạ liên tục U B: →B đều có điểm bất động

Định lý Brouwer mở rộng: Cho X là không gian hữu hạn chiều, Clà tập lồi đóng

bị chặn trong X. Khi đó, mọi ánh xạ liên tục U C: →C đều có điểm bất động

Thực chất, điều kiện của định lý là ánh xạ liên tục trên một tập lồi đóng bị

chặn trong không gian hữu hạn chiều(do đó là compact) Ta biết rằng lớp các không gian hữu hạn chiều là khá khiêm tốn Do đó, người ta muốn mở rộng định lý này lên không gian vô hạn chiều, khi số chiều của không gian là vô hạn thì tính liên tục trở nên yếu đi và tính compact của các tập lồi đóng bị chặn cũng mất đi Do đó, các điều kiện cũng cần phải mạnh hơn:

Định lý Brouwer cho không gian Hilbert: Cho X là không gian Hilbert, C⊂X là

tập lồi đóng bị chặn và U C: →C là ánh xạ không giãn Khi đó, U có điểm bất động trong C.

Định lý Shauder: Cho X là không gian Banach, C⊂ Xlà tập lồi đóng,

:

U C→Cliên tục và U C( )compact tương đối Khi đó, Ucó điểm bất động trong C.

Rõ ràng khi mở rộng lên không gian Hilbert, tính liên tục không còn đảm bảo cho sự tồn tại điểm bất động, ta cần tính không giãn Còn khi mở rộng lên không gian Banach, tính lồi đóng cũng không còn đảm bảo được sự tồn tại điểm bất động,

do đó ta cần một điều kiện không dễ đạt được, đó là tính compact mạnh

Vấn đề được đặt ra là ta cần phải thay được điều kiện compact mạnh bằng

một điều kiện nhẹ hơn mà định lý vẫn đúng trên không gian Banach Điều đó đã dẫn chúng ta đến việc nâng cấp không gian lên một lớp không gian mạnh hơn là không gian lồi đều và cần thêm các cấu trúc mới là cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu Đặc

trưng của các cấu trúc này dựa vào các khái niệm lồi đều, lồi chặt của không gian Tính lồi đều, lồi chặt của không gian thì lại đặc trưng bởi tính khả vi Frechet, khả vi Gateaux của ánh xạ chuẩn Vì vậy, luận văn sẽ nghiên cứu tính khả vi Gateaux, khả

vi Frechet, mối liên quan giữa chúng với tính lồi chặt, lồi đều và cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu, không gian lồi đều để từ đó có được các định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn

Luận văn được làm dựa theo [1,tr 20-57] Luận văn được trình bày trong 4 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị:

Nhắc lại một số kiến thức, khái niệm về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert và các tính chất, sự hội tụ của dãy trong các không gian này Ngoài ra chương này còn phát biểu và chứng minh

một số khái niệm, tính chất, định lý về tôpô yếu, tôpô yếu sao, tính phản xạ, tập định hướng và lưới, tập sắp thứ tự và bổ đề Zorn, tính khả vi Gateaux và khả vi Frechet của ánh xạ

Chương 2: Tính khả vi Gateaux của chuẩn và tính lồi chặt của không gian

Chương này trình bày sự khả vi Gateaux của ánh xạ chuẩn, tính trơn của không gian, tính lồi chặt của không gian và định lý về mối liên hệ giữa các tính chất này thông qua một khái niệm là ánh xạ tựa

Chương 3: Tính khả vi Frechet của chuẩn và tính lồi đều của không gian

Chương này trình bày khái niệm, tính chất và phân biệt giữa khả vi Gateaux và khả

vi Frechet của ánh xạ chuẩn Chương này còn trình bày khái niệm, tính chất và phân

biệt giữa tính lồi chặt và lồi đều của không gian Bên cạnh đó còn nghiên cứu về tính trơn đều của không gian, tính khả vi Frechet đều của ánh xạ chuẩn và tính compact yếu trong không gian lồi đều

Chương 4: Cấu trúc chuẩn tắc và các định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn

Chương 4 là nội dung chính của luận văn Chương này trình bày khái niệm, tính chất của tập có cấu trúc chuẩn tắc, tập có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian

tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trên tập lồi đóng bị chặn trong không gian lồi đều và sự tồn tại điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn giao hoán

C hương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, tôpô yếu, tính phản

xạ, tập sắp thứ tự, bổ đề Zorn, khả vi Gateaux, khả vi Frechet Chương này được làm dựa theo [4,chương 1,3]

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1:Cho X là không gian vector trên  Ánh xạ  : X →  được

gọi là một chuẩn nếu:

Định nghĩa 1.1.2: Không gian vector X được trang bị ánh xạ chuẩn  gọi là

không gian vector định chuẩn hay gọi tắt là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.3: Cho X là không gian định chuẩn và { }x n n N∈ * là dãy trong X

Ta nói { }x n n N∈ * hội tụ về x nếu:

0, n 0 : n n xn x

∀ > ∃ > ∀ ≥ ⇒ − <

Định nghĩa 1.1.4: Cho X là không gian định chuẩn và { }x n n N∈ * là dãy trong X

Ta nói { }x n n N∈ * là dãy Cauchy nếu:

1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1: Cho X là một không gian vector trên  Ánh xạ

2 '

, ,

x y f

Định nghĩa 1.2.3: Không gian tiền Hilbert mà mỗi dãy Cauchy đều hội tụ theo

chuẩn sinh bởi tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert

1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ

Cho X là không gian Banach, B X ( ) : = { x ∈ X | x ≤ 1 } là quả cầu đơn vị đóng trong X X * là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  với chuẩn xác định bởi: *

1

sup ( )

X x

=

= , B X( *) :={f ∈X* | f X* ≤1}là quả cầu đơn vị đóng trong X * X ** là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X *

vào  với chuẩn xác định bởi:

Khi đó tôpô xác định bởi họ lân cận { }U x x X∈ , mỗi tập mở là tập thuộc σ ( , X X *)

được gọi là tôpô yếu trên X và kí hiệu là σ ( , X X *). Như vậy, trên X ta xét hai tôpô, tôpô yếu và tôpô thông thường trên X sinh bởi chuẩn ( gọi là tôpô mạnh)

M ệnh đề 1.3.1: Tôpô yếu là tôpô yếu nhất (ít tập mở nhất ) để tất cả các ánh xạ

tuyến tính liên tục trên X

với tôpô yếu Giả sử mọi ánh xạ f ∈ X *đều liên tục với tôpô τ Suy ra

{ x ∈ X | f x ( − x0) < ε } là tập mở trong τ với mọi f ∈ X *, ε > 0.

Ta chứng minh τ σ ⊃ ( , X X *).

Lấy x0∈X Ta chứng minh với mọi U là lân cận mở của x0 trong σ ( , X X *), tồn

tại lân cận mở V của x0 trong τ sao cho V ⊂U Thật vậy, tồn tại

| ( ) , {1, 2, , }

| ( )

i k

i i

ε ε

τ Ta chứng minh tồn tại lân cận mở V của x0 trong σ( ,X X*) sao cho V ⊂U

Chọn r >0 sao cho B = ∈ { x X : x − x0 < r } ⊂ U Do X là không gian hữu hạn

0 0

x trong tôpô yếu và với mọi x V ∈ :

( )

M ệnh đề 1.3.3: Cho X là không gian Banach và C ⊂ X , C là tập lồi Khi đó C

là đóng yếu nếu và chỉ nếu C đóng mạnh

là đóng mạnh Ta chứng minh C là đóng yếu bằng cách chứng minh X C \ là mở

X Cmở yếu hay C đóng yếu

M ệnh đề 1.3.4: Cho X là không gian Banach, { }x n n N∈ * là dãy trong X Khi đó: i)

∞

=

 suy ra x nằm trong bao đóng yếu của C Do C

lồi nên bao đóng yếu của C chính là bao đóng mạnh của C Suy ra xnằm trong bao đóng mạnh của C Suy ra tồn tại dãy { }n * , n

n N

y ∈ ⊂C y → x Ta có { }y n n N∈ * ⊂Cnghĩa là mỗi y n là bao lồi tuyến tính của hữu hạn các x n Ta có điều

phải chứng minh

M ệnh đề 1.3.5: Tập compact yếu thì bị chặn theo chuẩn

,

x∈A ta có thể coi x∈X**, :x X*→, ( )x f = f x, ,∀ ∈f X* Do A compact yếu

ị chặn với mọi ∈ Nghĩa là

x A

x

∈ < ∞ Nghĩa là A bị chặn theo chuẩn

Định nghĩa 1.3.2: (Xem [4]) Cho X là không gian Banach, X * là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  và f0∈X* Với mỗi ε > 0 và hữu hạn các x i∈X i, ∈{1, 2, , }.k Đặt

được gọi là tôpô yếu sao trên X * và kí hiệu là σ ( *, X X ).

M ệnh đề 1.3.6: (Xem [4,trang 62] ) Cho X là không gian Banach, f ∈ X *,

{ }f n n N∈ * là dãy trong X * Xem như X là không gian con của X ** ta có các kết

quả sau tương tự như với tôpô yếu:

( *, )

X X n

σ

→

Định lý 1.3.3: (Định lý Banach- Alaoglu, Xem [4,trang 66]) Quả cầu đơn vị đóng

trong X * là compact trong tôpô yếu sao

Định nghĩa 1.3.3: Cho X là không gian Banach Với mỗi x∈X,ánh xạ

Định lý 1.3.5: (Định lý James) Không gian Banach X là không gian phản xạ nếu

và chỉ nếu với mọi f ∈ B X ( *), tồn tại x ∈ B X ( ) sao cho

λ

λ λ

→

(1)

Ánh xạ A xgọi là đạo hàm Gateaux của F tại x

Định nghĩa 1.4.2: Cho ( ,X  X) và ( ,Y  Y)là các không gian Banach

X

O h h

Nh ận xét 1.4.1: Ánh xạ khả vi Frechet tại x thì liên tục tại x

M ệnh đề 1.4.1: Cho ( ,X  X) và ( ,Y  Y)là các không gian Banach

x∈X ,F X: →Y

i) Nếu F khả vi Frechet tại x thì F khả vi Gateaux tại x

ii) Nếu F khả vi Gateaux tại x và giới hạn (1) là đều theo y∈S X( ) thì F khả vi Frechet tại x

i) Do F kh ả vi Frechet tại x nên tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A :X →Y sao

O h h

λ

λ λ

Suy ra:

0

( ) ( ) lim F x y F x A yx( )

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

0, 0 : ( ) ( ) ( ) , : 0 , : 1 (*)

F x+h −F x −A h <ε h Như vậy:∀ > ∃ >ε 0, δ 0 :∀ ∈h X h, ≠0 ,X h X <δ

O h h

→ = Nghĩa là F khả vi Frechet

tại x

Ví d ụ 1.4.1: Ta thấy rằng mỗi ánh xạ khả vi Frechet thì khả vi Gateaux nhưng

ngược lại có thể không đúng Xét ánh xạ 2

Ta chứng minh f khả vi Gateaux tại ( ) 0,0 nhưng không liên tục tại điểm này và

do đó không khả vi Frechet tại ( ) 0,0 Thật vậy, đặt

0

(0,0) ( , ) (0,0)

0, 0 lim

0, 0 (0,0) ( , ) (0,0)

t t

x∈X ,F X: →Y , F kh ả vi Gateaux tại x và liên tục Lipschitz hệ số L trên một lân

cận U của x Khi đó, F khả vi Frechet tại x

Ch ứng minh: Gọi A x là đạo hàm Gateaux của F tại x Lấy ε >0

Do X hữu hạn chiều nên S X ( ) compact, tồn tại u u1, 2, ,u k ∈X sao cho

1

k i i

λ λ

Ví d ụ 1.5.1 : B x là họ các lân cận của x trong một không gian tôpô Xét quan hệ ≤

được định nghĩa như sau:V1≤V2 ⇔ ⊃V1 V2,∀V V1, 2∈B x Khi đó, dễ dàng kiểm tra được (B x, )≤ là tập có hướng

Định nghĩa 1.5.2: Cho A là tập có hướng và X là tập tuỳ ý Một ánh xạ từ A vào

X,α xα được gọi là một lưới (dãy suy rộng) trong X Kí hiệu :{ }xα α∈A

Định nghĩa 1.5.3: Nếu B là tập có hướng và ánh xạ a B : → A thoả mãn:

0 A, 0 B: B, 0 a( ) 0

β∈ được gọi là lưới con của lưới { }xα α∈A

Định nghĩa 1.5.4: Lưới{ }xα α∈A trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ về x

iii) ∀ a b , ∈ A a , ≤ b b , ≤ ⇒ = a a b

Định nghĩa 1.6.2: Tập ( A , ≤ ) được gọi là tập sắp thứ tự tốt (tập sắp thứ tự toàn

phần) nếu với mọi a b , ∈ A thì a ≤ b hoặc b ≤ a

Định nghĩa 1.6.3: Cho ( A , ≤ )là tập sắp thứ tự và x ∈ A x được gọi là phần tử tối đại ( tối tiểu) nếu: ∀ ∈ a A x , ≤ ⇒ = a x a (∀ ∈ a A a , ≤ ⇒ = x x a)

Định nghĩa 1.6.4: Cho ( A , ≤ )là tập sắp thứ tự Phần tử x ∈ A được gọi là phần tử

lớn nhất ( nhỏ nhất) nếu: ∀ ∈ ⇒ ≤ a A a x (∀ ∈ ⇒ ≤ a A x a)

Định lý 1.6.1: Cho ( A , ≤ )là tập sắp thứ tự Nếu mọi tập con sắp thứ tự tốt của A

đều có phần tử tối tiểu thì A có phần tử tối tiểu

C hương 2 TÍNH KHẢ VI GATEAUX CỦA CHUẨN

VÀ TÍNH LỒI CHẶT CỦA KHÔNG GIAN

Chương này trình bày về khả vi Gateaux khi xét với ánh xạ chuẩn, tính lồi

chặt của không gian, mối tương quan giữa ánh xạ tựa, khả vi Gateaux, tính lồi chặt

và tính trơn của không gian Chương này được làm dựa theo [1,chương 2]

2.1 Tính kh ả vi Gateaux của chuẩn, không gian trơn

M ệnh đề 2.1.1: Cho ( , X  ) là không gian Banach và x ∈ S X ( ) Giả sử với mọi

λ

λ λ

λ λ

→

+ −

=

Vậy ρ '( , ) x  tuyến tính liên tục Nghĩa là  khả vi Gateaux tại x

Định nghĩa 2.1.1: Nếu  khả vi Gateaux tại mọi x ∈ S X ( )thì ta nói X có chuẩn

khả vi Gateaux

Định nghĩa 2.2.3: Không gian Banach X được gọi là trơn tại x0∈S X( ) nếu tồn

tại duy nhất *

( )

f ∈ S X sao cho f x ( ) 10 = Nếu X trơn tại mọi điểm thuộc S(X) thì

X được gọi là trơn

Để nghiên cứu mối liên quan của tính khả vi của ánh xạ chuẩn với tính trơn

Định nghĩa 2.1.2: Cho ( , X  ) là không gian Banach Ánh xạ

f X →X x  f được gọi là ánh xạ tựa nếu:

i) ∀ ∈ x X x , = ⇒ 1 fx = = 1 f xx( )

ii) ∀ ∈x X x, ≠ ∀ ∈0, λ R,λ ≥ ⇒0, fλx =λf x

Ví d ụ 2.1.1: Xét một không gian Banach X có chuẩn khả vi Gateaux tại mọi x0 ≠0

theo mọi phương y ∈ X Theo hệ quả của định lý Hahn- Banach, với mỗi x≠0,

, ( ) ,

f ∈ X f x = x f = x Xét ánh xạ x f x, ta chứng minh ánh xạ này là ánh xạ tựa Thật vậy

i)Lấy x∈S X( )⇒ x = ⇒1 f x =1, f x x( ) 1=

ii)Với x∈S X( )bất kì cố định và với mọiy ∈ X , ε > 0 ta có:

2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

, , ' 0 '

' ( )

, , ' 0 '

x x

x x

λ λ

Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tựa

M ệnh đề 2.1.2: Cho f là ánh xạ tựa Khi đó, với mọi x∈S X( ) ta có:

Ch ứng minh:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

( ) 1 ( ) 1

x x

+ +

Vậy mệnh đề được chứng minh xong

Định lý 2.1.1: Cho x0∈S X( ), các phát biểu sau là tương đương:

i)X trơn tại x0

ii)Mỗi ánh xạ tựa từ S X ( ) (với tôpô sinh bởi chuẩn ) vào *

iv)Chuẩn trên X khả vi Gateaux tại x0

Ch ứng minh:

) ) :

i ⇒ ii Cho X trơn tại x0 Giả sử ii) không xảy ra Gọi f là ánh xạ tựa mà không

liên tục tại x0 Khi đó, tồn tại lưới { } xα α∈I ⊂ X , { } xα hội tụ theo chuẩn về x0 và

{ } fxα không hội tụ yếu sao về fx0 Do bổ đề 1.5.1, tồn tại một lưới con của lưới

{ } fxα mà ta có thể xem là { } fxα thoả mãn fxα ∉ ∀ ∈ U , α I Theo định lý Banach- Alaoglu, B X( *) : {= ∈f X*: f ≤1} là compact đối với tôpô yếu sao nên

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 0 ( ) 1

x

x x

x x x

Do X có chuẩn khả vi Gateaux tại x0, cho λ → 0 , '+ λ → 0− trong hai bất đẳng thức trên ta có:

Vậy g = g ' Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví d ụ 2.1.2: Xét không gian tiền Hilbert H với chuẩn sinh bởi tích vô hướng Ta

chứng minh H là không gian có chuẩn khả vi Gateaux Thật vậy,tại x ∈ S H ( ) Với

→

+ −

không tồn tại Vậy 2

 với chuẩn max không khả vi Gateaux và do đó 2 với chuẩn max cũng không là không gian trơn

Nh ận xét 2.1.1: Từ định lý 2.1.1 và phần chứng minh định lý 2.1.1, X có chuẩn khả

+ −

= ∀ ∈ ,trong đó f là ánh xạ tựa liên tục từ S X ( )

với tôpô sinh bởi chuẩn đến S X ( *) với tôpô yếu sao

2.2 Không gian l ồi chặt

Định nghĩa 2.2.1: Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu S X ( ) không

chứa một đoạn thẳng không tầm thường nào Nghĩa là

[ ] x y , ⊄ S X ( ), ∀ x y , ∈ S X x ( ), ≠ y

Định nghĩa lồi chặt như trên mang tính hình học, trực quan dễ tưởng tượng nhưng áp dụng vào chứng minh có nhiều bất cập Mệnh đề sau đây đưa ra cách khác ti ếp cận khái niệm lồi chặt:

M ệnh đề 2.2.1: Các phát biểu sau là tương đương:

Suy ra X* không lồi chặt

ii)Giả sử X không lồi chặt Khi đó tồn tại x y, ∈S X x( ), ≠ y sao cho

(1 ) ( ), [0,1]

2 x + 2 y ∈ S X ,tồn tại

H ệ quả: Một không gian Banach phản xạ X là lồi chặt nếu và chỉ nếu X * là trơn

Một không gian Banach phản xạ X là trơn nếu và chỉ nếu X *là lồi chặt

C hương 3 TÍNH KHẢ VI FRECHET CỦA CHUẨN

VÀ TÍNH LỒI ĐỀU CỦA KHÔNG GIAN

Chương này trình bày khả vi Frechet xét với ánh xạ chuẩn, phân biệt chuẩn

khả vi Gateaux với chuẩn khả vi Frechet, trình bày tính lồi đều, trơn đều của không gian và mối tương quan giữa khả vi Frechet, khả vi Frechet đều, tính lồi đều, trơn đều của không gian Chương này được làm dựa trên [1,chương 2,3], [2], [3], [4], [5]

3.1 Tính khả vi Frechet của chuẩn

M ệnh đề 3.1.1: Cho ( , X  ) là không gian Banach và x ∈ S X ( ) Khi đó,  khả

vi Frechet tại x khi và chỉ khi

0

lim x y x

λ

λ λ

( ) ⇒ Do  khả vi Frechet tại x nên tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A x :X → 

và O X: →Rsao cho: x+ =h x + A h x( )+O h( ),∀ ∈h X Trong đó:

+ −

= tồn tại và đều theo y ∈ S X ( )

Định nghĩa 3.1.1: Nếu  khả vi Frechet tại mọi x ∈ S X ( )thì X được gọi có chuẩn khả vi Frechet

Ví d ụ 3.1.1: Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian có chuẩn khả vi

Vậy  là chuẩn khả vi Frechet

M ệnh đề 3.1.2: Không gian Banach khả vi Frechet thì khả vi Gateaux Không gian

Banach hữu hạn chiều khả vi Gateaux thì khả vi Frechet

Nếu  khả vi Frechet x ∈ S X ( )thì theo 2.1.1 và mệnh đề 3.1.1 ta có  khả vi Gateaux tại x

Cho  khả vi Gateaux tại mọi x ∈ S X ( ), do ánh xạ chuẩn là ánh xạ liên tục

Lipschitz với hệ số Lipschitz L=1 ( x − y ≤ − x y , ∀ x y , ∈ X ) Áp dụng

mệnh đề 1.4.2 ta được  khả vi Frechet tại mọi x ∈ S X ( )

Như vậy, tính khả vi Frechet kéo theo tính khả vi Gateaux Trong không gian

trùng nhau Tuy nhiên, điều này không còn đúng với các không gian vô hạn chiều

Ví d ụ 3.1.2:Không gian ( ,l1  1)với 1

1

i i

∞